传动轴的强度和刚度计算
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2.扭矩和扭矩图
M1
m
M2
M3
(a)
M1
(b)
截 面 法
(c)
m
T （扭矩，单位为N·m ）
T M1 0 T M1
T
M2
M3
T′+Ｍ2-M3=0 T′=M3-M2
➢外力偶矩、扭矩与扭矩图
2.扭矩和扭矩图
Me (＋ )
n
(＋ )
T
x
(a)
n
x T
Me
(b)
扭矩方向规定
➢外力偶矩、扭矩与扭矩图
由平衡方程T1-500=0 得： AB段：如图（c）所示。
T1 =500 N·m
T2+2000-500=0 T2 =-1500 N·m (2) 绘制扭矩图如图 (d)所示。
【例3-3】 已知一传动轴如 图(a)所示， 主动轮 A上 输 入功率为15 kW，B、C轮 为输出轮，输出轮B上输出 功率为10 kW， 轴的转速 为n=1000 r/min。试求各段 轴横截面上的扭矩，并绘 出扭矩图。
2.扭矩和扭矩图 扭矩的求法：假截留半，内力代换，内外平衡
简便的方法：受扭转杆件某截面上的扭矩等于截面任一侧外力矩的代数和。外力偶矩的 正负号仍用右手螺旋法则：以右手四指表示外力偶矩转向，拇指指向与截面外发线方向 相反时取正值，相同时取负值。
扭矩图
为了直观地表示圆轴上扭矩的作用情况，把圆轴的轴线作为x轴（横 坐标轴），以纵坐标轴表示扭矩T，这种用来表示圆轴横截面上扭矩沿轴线 方向变化情况的图形称为扭矩图。
T
T
传动轴：用于传递转矩而不承受弯矩，或所承受弯矩很小的轴。
受力特点：传动轴承受作用面与杆件轴线垂直的力偶作用。
变形特点：传动轴各横截面绕轴线发生相对转动，且杆轴线始终保 持直线。任意两横截面间相对转过的角度，称为相对扭 转角，以φ表示。
传动轴（受扭圆轴）实例
F d
F
A
F
M
F
Me
B
➢外力偶矩、扭矩与扭矩图
max
T Wp
显然，Wp=Ip/R。上式中, Wp为抗扭截面系数，单位为m3、mm3。
实心圆轴：
Wp
d 3
16
空心圆轴：
Wp
D3
16
(1 4 )
其中α=d/D。
d
d
D
➢圆轴扭转的切应力与强度计算
•强度计算
圆轴扭转的强度条件为：圆轴危险截面上的最大切应力小于或等于材料的许用 切应力，即：
τmax≤［τ］ 对于等截面圆轴有：
τρ=Tρ/Ip
式中，Ip为横截面对圆心O点的极惯性矩，按下列公式计算：
实心圆截面：
Ip
d 4
32
空心圆截面：
Ip
d 4
32
(1 4 )
d
D
➢圆轴扭转的切应力与强度计算
由上图可知：在圆轴横截面上，当ρ=0时，τ=0；当ρ=R时，即圆轴横截面上边缘
上点的切应力为最大值τmax，且切应力沿半径方向呈线性增长。其最大切应力τmax为：
【例3-2】 绘出图 (a)所示的悬臂梁的扭矩图。
20 00 N·m
2
1 50 0N·m
(a)
B1
C
A
2
1 50 0N·m
T1
(b)
1 2 20 00 N·m
50 0N·m
T2 (c)
2 T(N ·m)
B
C
50 0N·m
(d)
O
x
－ 15 00 N·m
解： (1) 计算梁上各段横截面上的扭矩。
因为是悬臂梁，可取截面的自由端部分BC段, 如图（b）所示。
①圆周线的形状和大小不变， 相邻两圆周线的间距保持不变， 仅绕轴线作相对转动。
②纵向线均倾斜了一角度。
横截面不存在正应力，而仅有垂直于半径方向的切应力。
➢圆轴扭转的切应力与强度计算
T
O
max
T
max
横截面上任意一点的切应力与该点到轴心的距离成正比，其方向与半 径垂直，可以证明横截面上任意一点的切应力计算公式为：
3.2课题二：轴
3.2.1 轴的分类与材料 3.2.2 传动轴的强度和刚度计算 3.2.3 心轴的强度和刚度计算计算 3.2.4 转轴的强度设计
➢传动轴的概念与实例 ➢外力偶矩、扭矩与扭矩图 ➢圆轴扭转的切应力与强度计算 ➢圆轴扭转变形与刚度计算 ➢剪切与挤压的实用计算 ➢思考与练习
➢传动轴的概念与实例
Βιβλιοθήκη Baidu
方向与轴的转向相同 方向与轴的转向相反
T1+MA=0
T1= -MA=-143.24N·m
由图 (c)可得：
T2+MA-MB=0 T2=MB-MA=-47.75N·m
(3) 绘制扭矩图如图 (d)所示。由图可知，AB段所承受的扭矩最大，其值为-143.24 N·m。
➢圆轴扭转的切应力与强度计算
在轴的右端施加一个力偶矩M使其 产生扭转变形，可观察到如下现象：
1.外力偶矩的计算
在工程中，作用于圆轴上的外力偶矩一般不是直接给出的， 通常给出的是
圆轴所需传递的功率和转速。因此，需要了解功率、 转速和外力偶矩三者之间
的关系， 即：
M 9549 P n
式中, M——作用于轴上的外力偶矩, 单位: N·m；
P——轴所传递的功率, 单位: kW；
n——轴的转速, 单位: r/min。
1
2
(a)
A MA
1
B MB
2
C MC
1
(b)
T1
MA 1
例题3-3图
(c) MA
T
2
T2
MB
2
(d) 0
x － 47 .75N·m
－ 14 3.24 BN·m
解 (1) 计算外力偶矩M。
M
A
9549
15 1000
143.24N
m
MB
9549 10 1000
95.49N
m
(2) 计算扭矩T。 由图(b)可得：
例3-4图
【解】 (1) 绘制扭矩图如图 (b)所示。 (2) 校核AB段的强度。
max
6000 0.123
17.69MPa [ ]
(a)
16
则强度足够。
(3) 校核BC段的强度。
max
2000 0.083
19.90MPa [ ]
(b)
16
则强度足够。
【例3-5】 某机器传动轴由45号钢制成，已知材料的［τ］=60MPa，轴传递的功率 P=16 kW，转速n=100 r/min，试确定其直径。
说明：轴上输入力偶矩是主动力偶矩，其转向与轴的转向相同； 轴上输出力偶 矩是阻力偶矩， 其转向与轴的转向相反。
【例3-1】已知某传动轴传递的功率为7.5 kW，转速为300 r/min，试计算此传动轴传 递的外力偶矩。
解：
M 9549 7.5 238.725N m 300
➢外力偶矩、扭矩与扭矩图
max
Tm a x Wp
[
]
【例3-4】 一阶梯圆轴如图 (a)所示，轴上受到外力偶矩
10 00
M1=6 kN·m，
M 1
M2=4kN·m
(a)
M3=2kN·m，轴材料的许用 切应力［τ］=60 MPa，试校 核此轴的强度。
A
T 6k N·m
(b) 0
120 80
80 0
M
2
M3
B
C
2k N·m X
M1
m
M2
M3
(a)
M1
(b)
截 面 法
(c)
m
T （扭矩，单位为N·m ）
T M1 0 T M1
T
M2
M3
T′+Ｍ2-M3=0 T′=M3-M2
➢外力偶矩、扭矩与扭矩图
2.扭矩和扭矩图
Me (＋ )
n
(＋ )
T
x
(a)
n
x T
Me
(b)
扭矩方向规定
➢外力偶矩、扭矩与扭矩图
由平衡方程T1-500=0 得： AB段：如图（c）所示。
T1 =500 N·m
T2+2000-500=0 T2 =-1500 N·m (2) 绘制扭矩图如图 (d)所示。
【例3-3】 已知一传动轴如 图(a)所示， 主动轮 A上 输 入功率为15 kW，B、C轮 为输出轮，输出轮B上输出 功率为10 kW， 轴的转速 为n=1000 r/min。试求各段 轴横截面上的扭矩，并绘 出扭矩图。
2.扭矩和扭矩图 扭矩的求法：假截留半，内力代换，内外平衡
简便的方法：受扭转杆件某截面上的扭矩等于截面任一侧外力矩的代数和。外力偶矩的 正负号仍用右手螺旋法则：以右手四指表示外力偶矩转向，拇指指向与截面外发线方向 相反时取正值，相同时取负值。
扭矩图
为了直观地表示圆轴上扭矩的作用情况，把圆轴的轴线作为x轴（横 坐标轴），以纵坐标轴表示扭矩T，这种用来表示圆轴横截面上扭矩沿轴线 方向变化情况的图形称为扭矩图。
T
T
传动轴：用于传递转矩而不承受弯矩，或所承受弯矩很小的轴。
受力特点：传动轴承受作用面与杆件轴线垂直的力偶作用。
变形特点：传动轴各横截面绕轴线发生相对转动，且杆轴线始终保 持直线。任意两横截面间相对转过的角度，称为相对扭 转角，以φ表示。
传动轴（受扭圆轴）实例
F d
F
A
F
M
F
Me
B
➢外力偶矩、扭矩与扭矩图
max
T Wp
显然，Wp=Ip/R。上式中, Wp为抗扭截面系数，单位为m3、mm3。
实心圆轴：
Wp
d 3
16
空心圆轴：
Wp
D3
16
(1 4 )
其中α=d/D。
d
d
D
➢圆轴扭转的切应力与强度计算
•强度计算
圆轴扭转的强度条件为：圆轴危险截面上的最大切应力小于或等于材料的许用 切应力，即：
τmax≤［τ］ 对于等截面圆轴有：
τρ=Tρ/Ip
式中，Ip为横截面对圆心O点的极惯性矩，按下列公式计算：
实心圆截面：
Ip
d 4
32
空心圆截面：
Ip
d 4
32
(1 4 )
d
D
➢圆轴扭转的切应力与强度计算
由上图可知：在圆轴横截面上，当ρ=0时，τ=0；当ρ=R时，即圆轴横截面上边缘
上点的切应力为最大值τmax，且切应力沿半径方向呈线性增长。其最大切应力τmax为：
【例3-2】 绘出图 (a)所示的悬臂梁的扭矩图。
20 00 N·m
2
1 50 0N·m
(a)
B1
C
A
2
1 50 0N·m
T1
(b)
1 2 20 00 N·m
50 0N·m
T2 (c)
2 T(N ·m)
B
C
50 0N·m
(d)
O
x
－ 15 00 N·m
解： (1) 计算梁上各段横截面上的扭矩。
因为是悬臂梁，可取截面的自由端部分BC段, 如图（b）所示。
①圆周线的形状和大小不变， 相邻两圆周线的间距保持不变， 仅绕轴线作相对转动。
②纵向线均倾斜了一角度。
横截面不存在正应力，而仅有垂直于半径方向的切应力。
➢圆轴扭转的切应力与强度计算
T
O
max
T
max
横截面上任意一点的切应力与该点到轴心的距离成正比，其方向与半 径垂直，可以证明横截面上任意一点的切应力计算公式为：
3.2课题二：轴
3.2.1 轴的分类与材料 3.2.2 传动轴的强度和刚度计算 3.2.3 心轴的强度和刚度计算计算 3.2.4 转轴的强度设计
➢传动轴的概念与实例 ➢外力偶矩、扭矩与扭矩图 ➢圆轴扭转的切应力与强度计算 ➢圆轴扭转变形与刚度计算 ➢剪切与挤压的实用计算 ➢思考与练习
➢传动轴的概念与实例
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方向与轴的转向相同 方向与轴的转向相反
T1+MA=0
T1= -MA=-143.24N·m
由图 (c)可得：
T2+MA-MB=0 T2=MB-MA=-47.75N·m
(3) 绘制扭矩图如图 (d)所示。由图可知，AB段所承受的扭矩最大，其值为-143.24 N·m。
➢圆轴扭转的切应力与强度计算
在轴的右端施加一个力偶矩M使其 产生扭转变形，可观察到如下现象：
1.外力偶矩的计算
在工程中，作用于圆轴上的外力偶矩一般不是直接给出的， 通常给出的是
圆轴所需传递的功率和转速。因此，需要了解功率、 转速和外力偶矩三者之间
的关系， 即：
M 9549 P n
式中, M——作用于轴上的外力偶矩, 单位: N·m；
P——轴所传递的功率, 单位: kW；
n——轴的转速, 单位: r/min。
1
2
(a)
A MA
1
B MB
2
C MC
1
(b)
T1
MA 1
例题3-3图
(c) MA
T
2
T2
MB
2
(d) 0
x － 47 .75N·m
－ 14 3.24 BN·m
解 (1) 计算外力偶矩M。
M
A
9549
15 1000
143.24N
m
MB
9549 10 1000
95.49N
m
(2) 计算扭矩T。 由图(b)可得：
例3-4图
【解】 (1) 绘制扭矩图如图 (b)所示。 (2) 校核AB段的强度。
max
6000 0.123
17.69MPa [ ]
(a)
16
则强度足够。
(3) 校核BC段的强度。
max
2000 0.083
19.90MPa [ ]
(b)
16
则强度足够。
【例3-5】 某机器传动轴由45号钢制成，已知材料的［τ］=60MPa，轴传递的功率 P=16 kW，转速n=100 r/min，试确定其直径。
说明：轴上输入力偶矩是主动力偶矩，其转向与轴的转向相同； 轴上输出力偶 矩是阻力偶矩， 其转向与轴的转向相反。
【例3-1】已知某传动轴传递的功率为7.5 kW，转速为300 r/min，试计算此传动轴传 递的外力偶矩。
解：
M 9549 7.5 238.725N m 300
➢外力偶矩、扭矩与扭矩图
max
Tm a x Wp
[
]
【例3-4】 一阶梯圆轴如图 (a)所示，轴上受到外力偶矩
10 00
M1=6 kN·m，
M 1
M2=4kN·m
(a)
M3=2kN·m，轴材料的许用 切应力［τ］=60 MPa，试校 核此轴的强度。
A
T 6k N·m
(b) 0
120 80
80 0
M
2
M3
B
C
2k N·m X