第3讲 曲线梁桥结构力学分析方法
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OA
0 0 TAP P aP RBP R(1 cos 0 ) 0 0 P bP RBP R sin 0 0
0 0 RBP RAP P0
0
（2）
Y 0
0 RBP P
将式（1）代入式（2）中，即
sin( 0 P ) sin 0
（1）静定基本体系在荷载P作用下的反力与内力
如图所示，当集中荷载作用于基本结构上任意位置时，荷载至AC和OA
的距离分别为
10
2. 单跨简支曲线梁桥结构力学求解方法
aP R[1 cos( 0 P )]
bP R sin( 0 P )
对基本结构体系取平衡，则
（1）
M AC 0 M
应用范围：截面为开口薄壁或分离式闭口薄壁截面的曲线梁，翘曲扭矩 在总 扭矩中的比值较大，必须考虑翘曲扭转的影响，即翘曲双力矩的影响。在工 程实际中如：如曲线钢箱梁、壁厚较薄的预应力混凝土曲线梁桥需要考虑翘 曲扭转的影响。（采用空间壳单元模拟或考虑翘曲扭转的薄壁曲梁单元来模 拟。）
7
1. 曲线梁桥结构分析方法综述
PR
sin( 0 Z ) sin P sin 0
扭矩：
sin( 0 P ) Tdp (0 z P ) PR cos z P 1 0 sin 0
sin P Tdp ( P z 0 ) PR P cos( 0 z ) 0 sin 0
17
2. 单跨简支曲线梁桥结构力学求解方法
2.3 超静定简支曲线梁在集中扭矩作用下的内力与反力
采用相似的推导方法，可以得到集中扭矩荷载MT作用下的内力及反力表达 式，即 弯矩
M XT (0 z P ) M T sin( 0 P ) sin z sin 0 sin( 0 z ) sin P sin 0
基本结构在B端作用单位赘余力TB=1时,根据平衡条件可知
M AC 0 M OA 0
TA 1 cos 0 RB R(1 cos 0 ) 0
RB
1 sin 0 RB R sin 0 0
R A RB 0
RA
1 R
1 R
Y 0
（1）
EI IV GI d '' EI IV EI x w 2 w 2 r r r
mx EI GI d x ' ' q y r z
（2）
2 my my q q 2 1 V x z EI y v 2 v' ' ' 4 v' 2 2 r r z r z r
5
1. 曲线梁桥结构分析方法综述
纯扭转理论基本假定： 1）当曲线梁横截面各项尺寸与跨长之比很小，可将曲线梁作为集中在梁 轴中心线的弹性杆件来处理（一般L/B>3~4即可）；
2）曲线梁横截面没有畸变，即横隔板加劲作用明显；
3）平截面假定：梁截面受载后仍保持平截面（即不发生翘曲）； 4）剪切中心的曲线半径与曲线梁轴线的曲线半径相等。 理论和试验证实，在钢筋混凝土和预应力混凝土桥梁结构中，由于截面翘
（3）
上式即为曲线梁桥基本微分方程，从式（1）、（2）中可以看出，竖向变 形与扭转变形“相互影响”，反应了曲线梁桥的弯扭“耦合特性”。 从上式可知，曲线梁桥的分析较直线桥复杂的多，实际曲线梁桥的设计往 往要采用有限元方法来进行计算。本章仅针对最简单的简支曲线梁桥进行分析， 以增加对曲线梁桥的结构力学特性进行理解。
TB
BP
BB
PR
P sin( 0 P ) PR 1 sin 0 0
15
2. 单跨简支曲线梁桥结构力学求解方法
根据叠加原理，超静定简支曲线梁桥在集中荷载作用下的内力为荷载P与 赘余力TB分别作用在基本结构上的内力之和，即 弯矩：
扭矩
sin( 0 Z ) sin P sin 0 sin( 0 P ) 0 TdP (0 z P ) PR (1 cos z ) sin 0 PR
sin( 0 P ) cos( 0 z ) sin P 0 TdP ( P z 0 ) P R 1 sin 0
16
2. 单跨简支曲线梁桥结构力学求解方法
剪力：
P Q yP (0 z P ) P 1 0
Q yP ( P z 0 ) P
P 0
令 z 0 、 z 0 可达到简支超静定曲线梁支反力，即
注：tan
2
1 cos sin
根据静力平衡条件，可得到任意截面的内力 弯矩
0 M XP (0 z P ) PR
sin( 0 P ) sin z sin 0
0 M XP ( P z 0 ) P
sin( 0 P ) R sin Z P R sin( Z P ) sin 0
TA 1
13
2. 单跨简支曲线梁桥结构力学求解方法
基本结构在B端作用单位赘余力TB=1下曲线梁任意截面内力
M X RB R sin z 1 sin z 0
Td 1 cos z RB R(1 cos z ) 1
1 Q y RB R
（3）一次超静定简支曲线梁在P作用下的反力与内力
2.2 一次超静定简支曲线梁在集中荷载作用下的内力求解
解除B端多余扭转约束，以赘余力矩TB代替，则在外荷载作用下B端扭转 变形协调，即
BBTB BP 0
BP 为集 式中 BB 为单位扭矩荷载作用下基本结构体系在B端的扭转角位移；
中荷载P作用下结构结构体系在B端的扭转角位移； TB为赘余力矩。
4
1. 曲线梁桥结构分析方法综述
采用结构力学方法分析曲线梁桥时，通常采用单根曲线梁来分析， 具体分为纯扭转理论和翘曲扭转理论两种，两者之间区别如下： （1）纯扭转理论：在横截面始终保持平截面假定的基础下，考虑了 曲线梁的弯扭耦合作用的反应特性； （2）翘曲扭转理论：考虑截面翘曲引起的截面双力矩和弯曲扭转力矩 的内力影响，也考虑了曲线梁的弯扭耦合作用。
剪力
QyT 0
18
2. 单跨简支曲线梁桥结构力学求解方法
对应的反力计算公式为
TAT M T
sin P sin 0
TBT M T
sin( 0 P ) sin 0
RAT RBT 0
根据以上公式即可绘制简支曲线梁桥的内力及支反力影响线，进而根据影
响线进行加载，求得简支曲线梁桥的弯矩、扭矩、剪力及支反力包络图，进而
梁格系理论
梁格系理论即将桥梁上部结构用一个等效的梁格来代替，进行分析，并 将该计算结果还原到原结构。 评价：该方法概念清楚，便于使用，应用范围广，而且是比较精确的方法， 在各种类型的桥梁分析中得到了广泛的应用。（多通过有限元方法求解）
其他方法
梁系理论、正交异性板理论、板梁组合系理论、折板理论、有限单元 法、能量法等等。
BB
l M l 1 T R 0 d dz X dz dz 0 GI 0 EI 0 GI GI d d d l 2 2
BP
故
0 Td TdP PR 2 dz 0 GI GI d d l
sin( 0 P ) 0 0 P sin 0
第3讲 曲线梁桥结构力学分析方法
1
目
录
1.曲线梁桥结构分析方法综述 2.单跨简支曲线梁桥结构力学求解方法
3.单跨简支曲线梁内力及反力影响线计算示例
2
1. 曲线梁桥结构分析方法综述
EI IV EI x GI d '' EI x IV w w EI GI d ' ' 2 m z r r r
8
2. 单跨简支曲线梁桥结构力学求解方法
2.1 一次超静定简支曲线梁定义 两端具有竖向约束，且可以发生绕横向轴自由挠曲位移；（简支特点） 两端具有抗扭支承；（超静定特点） 具备以上两个特点的曲线梁桥称为简支超静定曲线梁桥（如下图所 示）。
Fig. 2-1 简支超静定曲线梁桥
9
2. 单跨简支曲线梁桥结构力学求解方法
M XT ( P z 0 ) M T TdT (0 z P ) M T
sin( 0 P ) cos z sin 0 sin P cos( 0 z ) sin 0
扭矩
TdT ( P z 0 ) M T
P sin P TAP PR sin 0 0
sin( 0 P ) P TBP PR 1 sin 0 0
z 0
z 0
R AP P
RBP
P 0 P P 1 0
wenku.baidu.com
sin( 0 P ) 0 R AP P 1 sin 0
11
2. 单跨简支曲线梁桥结构力学求解方法
sin( 0 P ) 0 TAP PR tan 0 1 cos( 0 P ) 2 sin 0
12
2. 单跨简支曲线梁桥结构力学求解方法
剪力
0 Q yP (0 z P ) P
sin( 0 P ) sin 0
sin( 0 P ) 0 Q yP ( P z 0 ) P 1 sin 0
（2）静定基本体系在单位赘余扭矩作用下的反力与内力
0 M XP (0 z P ) PR
sin( 0 P ) sin z sin 0
0 M XP ( P z 0 ) P
sin( 0 P ) R sin Z P R sin( Z P ) sin 0
进行简支曲线梁桥设计。
19
3. 单跨简支曲线梁内力及反力影响线计算示例
3.1 单跨简支曲线梁桥结构设计流程
曲线梁跨径、曲率半径、支承条件
根据简支曲线梁桥内力及反力公式计算其关 键截面内力及反力影响线（P=1kN）
根据B端的变形协调条件，即
TB BB BP 0
根据虚功原理，可知计算结构变形的最为通用的公式为
0 0 0 MM P T TP0 Q QP NN P dz dz dz dz EI GI d GA EA
14
2. 单跨简支曲线梁桥结构力学求解方法
曲线梁桥一般仅考虑弯矩和扭矩对变形的贡献，则
曲反应所引起的正应力和剪应力，与基本弯曲和扭转的应力值相比甚小，因此
一般采用纯扭转理论来分析已经足够了。但对钢曲线梁桥或钢混凝土组合结构 曲线梁桥，则建议采用翘曲扭转理论来进行分析。
6
1. 曲线梁桥结构分析方法综述
翘曲扭转理论基本假定： 1）杆件：将曲线梁当作集中在梁轴中心线处的弹性杆件来处理；
2）截面不发生畸变：即截面形状不变。
3
1. 曲线梁桥结构分析方法综述
结构力学方法是分析曲线梁的内力和变形的另一途径，具有如下 主要优点： （1）简单明了，且可以得到精确解； （2）便于计算影响线，从而可以十分方便地计算曲线梁截面内力设计 控制值（最大值和最小值）； （3）分析曲线连续梁桥也有一定的优势，不过对于变截面连续曲线梁
的较为繁琐。
0 0 TAP P aP RBP R(1 cos 0 ) 0 0 P bP RBP R sin 0 0
0 0 RBP RAP P0
0
（2）
Y 0
0 RBP P
将式（1）代入式（2）中，即
sin( 0 P ) sin 0
（1）静定基本体系在荷载P作用下的反力与内力
如图所示，当集中荷载作用于基本结构上任意位置时，荷载至AC和OA
的距离分别为
10
2. 单跨简支曲线梁桥结构力学求解方法
aP R[1 cos( 0 P )]
bP R sin( 0 P )
对基本结构体系取平衡，则
（1）
M AC 0 M
应用范围：截面为开口薄壁或分离式闭口薄壁截面的曲线梁，翘曲扭矩 在总 扭矩中的比值较大，必须考虑翘曲扭转的影响，即翘曲双力矩的影响。在工 程实际中如：如曲线钢箱梁、壁厚较薄的预应力混凝土曲线梁桥需要考虑翘 曲扭转的影响。（采用空间壳单元模拟或考虑翘曲扭转的薄壁曲梁单元来模 拟。）
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1. 曲线梁桥结构分析方法综述
PR
sin( 0 Z ) sin P sin 0
扭矩：
sin( 0 P ) Tdp (0 z P ) PR cos z P 1 0 sin 0
sin P Tdp ( P z 0 ) PR P cos( 0 z ) 0 sin 0
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2. 单跨简支曲线梁桥结构力学求解方法
2.3 超静定简支曲线梁在集中扭矩作用下的内力与反力
采用相似的推导方法，可以得到集中扭矩荷载MT作用下的内力及反力表达 式，即 弯矩
M XT (0 z P ) M T sin( 0 P ) sin z sin 0 sin( 0 z ) sin P sin 0
基本结构在B端作用单位赘余力TB=1时,根据平衡条件可知
M AC 0 M OA 0
TA 1 cos 0 RB R(1 cos 0 ) 0
RB
1 sin 0 RB R sin 0 0
R A RB 0
RA
1 R
1 R
Y 0
（1）
EI IV GI d '' EI IV EI x w 2 w 2 r r r
mx EI GI d x ' ' q y r z
（2）
2 my my q q 2 1 V x z EI y v 2 v' ' ' 4 v' 2 2 r r z r z r
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1. 曲线梁桥结构分析方法综述
纯扭转理论基本假定： 1）当曲线梁横截面各项尺寸与跨长之比很小，可将曲线梁作为集中在梁 轴中心线的弹性杆件来处理（一般L/B>3~4即可）；
2）曲线梁横截面没有畸变，即横隔板加劲作用明显；
3）平截面假定：梁截面受载后仍保持平截面（即不发生翘曲）； 4）剪切中心的曲线半径与曲线梁轴线的曲线半径相等。 理论和试验证实，在钢筋混凝土和预应力混凝土桥梁结构中，由于截面翘
（3）
上式即为曲线梁桥基本微分方程，从式（1）、（2）中可以看出，竖向变 形与扭转变形“相互影响”，反应了曲线梁桥的弯扭“耦合特性”。 从上式可知，曲线梁桥的分析较直线桥复杂的多，实际曲线梁桥的设计往 往要采用有限元方法来进行计算。本章仅针对最简单的简支曲线梁桥进行分析， 以增加对曲线梁桥的结构力学特性进行理解。
TB
BP
BB
PR
P sin( 0 P ) PR 1 sin 0 0
15
2. 单跨简支曲线梁桥结构力学求解方法
根据叠加原理，超静定简支曲线梁桥在集中荷载作用下的内力为荷载P与 赘余力TB分别作用在基本结构上的内力之和，即 弯矩：
扭矩
sin( 0 Z ) sin P sin 0 sin( 0 P ) 0 TdP (0 z P ) PR (1 cos z ) sin 0 PR
sin( 0 P ) cos( 0 z ) sin P 0 TdP ( P z 0 ) P R 1 sin 0
16
2. 单跨简支曲线梁桥结构力学求解方法
剪力：
P Q yP (0 z P ) P 1 0
Q yP ( P z 0 ) P
P 0
令 z 0 、 z 0 可达到简支超静定曲线梁支反力，即
注：tan
2
1 cos sin
根据静力平衡条件，可得到任意截面的内力 弯矩
0 M XP (0 z P ) PR
sin( 0 P ) sin z sin 0
0 M XP ( P z 0 ) P
sin( 0 P ) R sin Z P R sin( Z P ) sin 0
TA 1
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2. 单跨简支曲线梁桥结构力学求解方法
基本结构在B端作用单位赘余力TB=1下曲线梁任意截面内力
M X RB R sin z 1 sin z 0
Td 1 cos z RB R(1 cos z ) 1
1 Q y RB R
（3）一次超静定简支曲线梁在P作用下的反力与内力
2.2 一次超静定简支曲线梁在集中荷载作用下的内力求解
解除B端多余扭转约束，以赘余力矩TB代替，则在外荷载作用下B端扭转 变形协调，即
BBTB BP 0
BP 为集 式中 BB 为单位扭矩荷载作用下基本结构体系在B端的扭转角位移；
中荷载P作用下结构结构体系在B端的扭转角位移； TB为赘余力矩。
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1. 曲线梁桥结构分析方法综述
采用结构力学方法分析曲线梁桥时，通常采用单根曲线梁来分析， 具体分为纯扭转理论和翘曲扭转理论两种，两者之间区别如下： （1）纯扭转理论：在横截面始终保持平截面假定的基础下，考虑了 曲线梁的弯扭耦合作用的反应特性； （2）翘曲扭转理论：考虑截面翘曲引起的截面双力矩和弯曲扭转力矩 的内力影响，也考虑了曲线梁的弯扭耦合作用。
剪力
QyT 0
18
2. 单跨简支曲线梁桥结构力学求解方法
对应的反力计算公式为
TAT M T
sin P sin 0
TBT M T
sin( 0 P ) sin 0
RAT RBT 0
根据以上公式即可绘制简支曲线梁桥的内力及支反力影响线，进而根据影
响线进行加载，求得简支曲线梁桥的弯矩、扭矩、剪力及支反力包络图，进而
梁格系理论
梁格系理论即将桥梁上部结构用一个等效的梁格来代替，进行分析，并 将该计算结果还原到原结构。 评价：该方法概念清楚，便于使用，应用范围广，而且是比较精确的方法， 在各种类型的桥梁分析中得到了广泛的应用。（多通过有限元方法求解）
其他方法
梁系理论、正交异性板理论、板梁组合系理论、折板理论、有限单元 法、能量法等等。
BB
l M l 1 T R 0 d dz X dz dz 0 GI 0 EI 0 GI GI d d d l 2 2
BP
故
0 Td TdP PR 2 dz 0 GI GI d d l
sin( 0 P ) 0 0 P sin 0
第3讲 曲线梁桥结构力学分析方法
1
目
录
1.曲线梁桥结构分析方法综述 2.单跨简支曲线梁桥结构力学求解方法
3.单跨简支曲线梁内力及反力影响线计算示例
2
1. 曲线梁桥结构分析方法综述
EI IV EI x GI d '' EI x IV w w EI GI d ' ' 2 m z r r r
8
2. 单跨简支曲线梁桥结构力学求解方法
2.1 一次超静定简支曲线梁定义 两端具有竖向约束，且可以发生绕横向轴自由挠曲位移；（简支特点） 两端具有抗扭支承；（超静定特点） 具备以上两个特点的曲线梁桥称为简支超静定曲线梁桥（如下图所 示）。
Fig. 2-1 简支超静定曲线梁桥
9
2. 单跨简支曲线梁桥结构力学求解方法
M XT ( P z 0 ) M T TdT (0 z P ) M T
sin( 0 P ) cos z sin 0 sin P cos( 0 z ) sin 0
扭矩
TdT ( P z 0 ) M T
P sin P TAP PR sin 0 0
sin( 0 P ) P TBP PR 1 sin 0 0
z 0
z 0
R AP P
RBP
P 0 P P 1 0
wenku.baidu.com
sin( 0 P ) 0 R AP P 1 sin 0
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2. 单跨简支曲线梁桥结构力学求解方法
sin( 0 P ) 0 TAP PR tan 0 1 cos( 0 P ) 2 sin 0
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2. 单跨简支曲线梁桥结构力学求解方法
剪力
0 Q yP (0 z P ) P
sin( 0 P ) sin 0
sin( 0 P ) 0 Q yP ( P z 0 ) P 1 sin 0
（2）静定基本体系在单位赘余扭矩作用下的反力与内力
0 M XP (0 z P ) PR
sin( 0 P ) sin z sin 0
0 M XP ( P z 0 ) P
sin( 0 P ) R sin Z P R sin( Z P ) sin 0
进行简支曲线梁桥设计。
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3. 单跨简支曲线梁内力及反力影响线计算示例
3.1 单跨简支曲线梁桥结构设计流程
曲线梁跨径、曲率半径、支承条件
根据简支曲线梁桥内力及反力公式计算其关 键截面内力及反力影响线（P=1kN）
根据B端的变形协调条件，即
TB BB BP 0
根据虚功原理，可知计算结构变形的最为通用的公式为
0 0 0 MM P T TP0 Q QP NN P dz dz dz dz EI GI d GA EA
14
2. 单跨简支曲线梁桥结构力学求解方法
曲线梁桥一般仅考虑弯矩和扭矩对变形的贡献，则
曲反应所引起的正应力和剪应力，与基本弯曲和扭转的应力值相比甚小，因此
一般采用纯扭转理论来分析已经足够了。但对钢曲线梁桥或钢混凝土组合结构 曲线梁桥，则建议采用翘曲扭转理论来进行分析。
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1. 曲线梁桥结构分析方法综述
翘曲扭转理论基本假定： 1）杆件：将曲线梁当作集中在梁轴中心线处的弹性杆件来处理；
2）截面不发生畸变：即截面形状不变。
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1. 曲线梁桥结构分析方法综述
结构力学方法是分析曲线梁的内力和变形的另一途径，具有如下 主要优点： （1）简单明了，且可以得到精确解； （2）便于计算影响线，从而可以十分方便地计算曲线梁截面内力设计 控制值（最大值和最小值）； （3）分析曲线连续梁桥也有一定的优势，不过对于变截面连续曲线梁
的较为繁琐。