高考数学大一轮复习高考专题突破四高考中的立体几何问题教师用书理新人教版

高考专题突破四高考中的立体几何问题教师用书理新人教版

1．正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为BC中点，E为A1C1中点，则DE与平面A1B1BA的位置关系为( )

A．相交B．平行

C．垂直相交D．不确定

答案 B

解析如图取B1C1中点为F，连接EF，DF，DE，

则EF∥A1B1，DF∥B1B，

∴平面EFD∥平面A1B1BA，

∴DE∥平面A1B1BA.

2．设x、y、z是空间不同的直线或平面，对下列四种情形：

①x、y、z均为直线；②x、y是直线，z是平面；③z是直线，x、y是平面；④x、y、z均为平面．

其中使“x⊥z且y⊥z⇒x∥y”为真命题的是( )

A．③④ B．①③ C．②③ D．①②

答案 C

解析由正方体模型可知①④为假命题；由线面垂直的性质定理可知②③为真命题．3．(2016·成都模拟)如图是一个几何体的三视图(侧视图中的弧线是半圆)，则该几何体的表面积是( )

A ．20＋3π

B ．24＋3π

C ．20＋4π

D ．24＋4π

答案 A

解析 根据几何体的三视图可知，该几何体是一个正方体和一个半圆柱的组合体，其中正方体的棱长为2，半圆柱的底面半径为1，母线长为2，故该几何体的表面积为4×5＋2×π＋2×

1

2π＝20＋3π.

4．(2017·沈阳调研)设α，β，γ是三个平面，a ，b 是两条不同直线，有下列三个条件： ①a ∥γ，b ⊂β；②a ∥γ，b ∥β；③b ∥β，a ⊂γ.如果命题“α∩β＝a ，b ⊂γ，且________，则a ∥b ”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________．(把所有正确的序号填上) 答案 ①或③

解析 由线面平行的性质定理可知，①正确；当b ∥β，a ⊂γ时，a 和b 在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故应填入的条件为①或③.

5.如图，在三棱锥P －ABC 中，D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点．若PA ⊥AC ，PA ＝6，BC ＝8，DF ＝5.则直线PA 与平面DEF 的位置关系是________；平面BDE 与平面ABC 的位置关系是________．(填“平行”或“垂直”)

答案 平行 垂直

解析 ①因为D ，E 分别为棱PC ，AC 的中点， 所以DE ∥PA .

又因为PA ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ， 所以直线PA ∥平面DEF .

②因为D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，PA ＝6，BC ＝8， 所以DE ∥PA ，DE ＝12PA ＝3，EF ＝1

2BC ＝4.

又因为DF ＝5，故DF 2

＝DE 2

＋EF 2

， 所以∠DEF ＝90°，即DE ⊥EF . 又PA ⊥AC ，DE ∥PA ，所以DE ⊥AC .

因为AC ∩EF ＝E ，AC ⊂平面ABC ，EF ⊂平面ABC ， 所以DE ⊥平面ABC ，又DE ⊂平面BDE ， 所以平面BDE ⊥平面ABC .

题型一 求空间几何体的表面积与体积

例1 (2016·全国甲卷)如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，点E ，F 分别在AD ，

CD 上，AE ＝CF ，EF 交BD 于点H ，将△DEF 沿EF 折到△D ′EF 的位置．

(1)证明：AC ⊥HD ′；

(2)若AB ＝5，AC ＝6，AE ＝5

4

，OD ′＝22，求五棱锥D ′ABCFE 的体积．

(1)证明 由已知得AC ⊥BD ，AD ＝CD ，又由AE ＝CF 得AE AD ＝CF CD

，故AC ∥EF ，由此得EF ⊥HD ，折后EF 与HD 保持垂直关系，即EF ⊥HD ′，所以AC ⊥HD ′.

(2)解 由EF ∥AC 得OH DO ＝AE AD ＝1

4

.

由AB ＝5，AC ＝6得DO ＝BO ＝AB 2

－AO 2

＝4， 所以OH ＝1，D ′H ＝DH ＝3，

于是OD ′2

＋OH 2

＝(22)2

＋12

＝9＝D ′H 2

， 故OD ′⊥OH .

由(1)知AC ⊥HD ′，又AC ⊥BD ，BD ∩HD ′＝H ， 所以AC ⊥平面DHD ′，于是AC ⊥OD ′，

又由OD ′⊥OH ，AC ∩OH ＝O ，所以OD ′⊥平面ABC . 又由EF AC ＝

DH DO 得EF ＝9

2

.

五边形ABCFE 的面积S ＝12×6×8－12×92×3＝694.

所以五棱锥D ′ABCFE 的体积V ＝13×694×22＝232

2

.

思维升华 (1)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解．其中，等积转换法多用来求三棱锥的体积．

(2)若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解．

(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．

正三棱锥的高为1，底面边长为26，内有一个球与它的四个面都相切(如

图)．求：

(1)这个正三棱锥的表面积；

(2)这个正三棱锥内切球的表面积与体积．

解 (1)底面正三角形中心到一边的距离为13×3

2×26＝2，

则正棱锥侧面的斜高为12

＋2

2

＝ 3.

∴S 侧＝3×1

2×26×3＝9 2.

∴S 表＝S 侧＋S 底＝92＋12×32×(26)2

＝92＋6 3.

(2)设正三棱锥P －ABC 的内切球球心为O ，连接OP ，OA ，OB ，OC ，而O 点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径r .

∴V P －ABC ＝V O －PAB ＋V O －PBC ＋V O －PAC ＋V O －ABC ＝13S 侧·r ＋13S △ABC ·r ＝1

3S 表·r ＝(32＋23)r .

又V P －ABC ＝13×12×32×(26)2

×1＝23，

∴(32＋23)r ＝23，