3.1 函数的单调性与极值 课件4 (北师大选修2-2)
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3-6x2+7,求证： 引例 已知函数y=2x
Байду номын сангаас
这个函数在区间(0,2)上是单调递 增的. 用定义法判断函数单调性的步骤：
（1）在给定取值范围内任取x1<x2
( 2 ) 作差f（x1）-f（x2）
（3）变形 （4）判断符号
（5）下结论
引入： 函数单调性体现出了函数值 y随自变量x的变化而变化的情况, 而导数是函数值的瞬时变化率, 刻画了函数变化的趋势. 于是我们设想一下能否利用 导数来研究单调性呢？
3进行思考 y＝f(x)=-x
如果函数y＝f(x)在这个区间内 单调递减，那么恒有f ’(x)<0吗?
理解训练：
学以致用
2
求函数y 3 x 3 x的递增区间与递减区间.
解 : y ' 6 x 3
1 1 令y ' 0得x , 令y ' 0得x 2 2
1 y 3 x 3 x的单调递增区间 , 2 1 单调递减区间是( , ) 2
x (1) f ( x ) ln(1 x ) 1 2
x 1 0,得x<-1或x>1. 2(1 x )
由 f ( x ) 0 即
注意到函数的定义域是(-1,+∞),故f (x)的递增区 间是(1,+∞); 由 f ( x ) 0 解得-1<x<1,故f (x)的递减区间是(-1,1).
-0.2
观察图像3
2.5
1 f ( x) 0 x ln 2
2 1.5 1 0.5 -2
f ( x) log 2 x
1 2 3 4
对数函数的导数的正负与函数 的递增或递减有同样的关系吗？
f ( x)
1
-1
1 x ln 2
0
-0.5 -1 -1.5
f ( x) log 1 x
2
2
变1：求函数 y 3 x 3 x 的单调区间
3 2
理解训练：
解： y ' 9 x 6 x 3 x(3 x 2) 2 令y ' 0得x 或x 0 3 2 令y ' 0得0 x 3 2 3 2 y 3 x 3 x 的单调递增区间为 ( ,0),( , )
2
单调递减区间为 (0, 2 )
3
3
利用导数判断函数单调性的基本步骤：
(1)确定定义域； (2)求f ´(x);
(3)在f(x)的定义域内解不等式f ´(x)>0 和f ´(x)<0; (4)确定函数f(x)的单调区间。
注意：单调区间不 以“并集”出现。
巩固提高：
变2：求函数 y 3e 区间。
-2
抽象概括
一般地，函数 y＝f(x)在某个区间内
1) 如果恒有f ′ >0，那么y＝f(x)在这 (x) 个区间内单调递增；
2) 如果恒有f ′ <0，那么y＝f(x)在这 (x) 个区间内单调递减。
如果在某个区间内恒有 f ( x) 0 , 则 f (x)为常数.
发散思维
试结合函数 y＝f(x)=x3进行思考 如果函数y＝f(x)在这个区间内单 调递增，那么恒有f ’(x)>0吗? 试结合函数
课下巩固作业：
P62 习题3-1 A组1(2)(3)(4)
2.
解:
x
3 x 的单调
x0
y ' 3e 3
x
令y ' 0得e 1 e
x
x
0
令y ' 0得e 1 e x 0
0
y 3e 3 x的单调递增区间为(0, ) 单调递减区间为(,0)
x
拓展提高
例4: 确定下列函数的单调区间:
1 1 x 1 . 解:函数的定义域是(-1,+∞), f ( x ) 2 1 x 2(1 x )
2 2 因此, f(x)的递增区间是:(2k ,2k )(k Z ); 3 3 2 4 递减区间是: (2k 3 ,2k 3 )(k Z ).
谈谈你的收获
小结：根据导数确定函数的单调性 1.确定函数f(x)的定义域. 2.求出函数的导数. 3.解不等式f ′ (x)>0,得函数单增区间; 解不等式f ′ (x)<0,得函数单减区间.
导数是处理函数单调性问题的金钥匙
观察图像1 y＝f(x) ＝2x+5
3
y＝f(x)＝-3x+4
y＝f(x) ＝x
2.5
函数的导数的正负与函数的递 增或递减有什么关系呢？
1.5
2
f(x) ＝x, f’(x) ＝1
1
f(x) ＝2x+5, f’ (x) ＝2 f(x)＝-3x+4, f ’(x) ＝-3
0.5 -2 -1 1 2
观察图像2
1 f ( x) 3
x
2.2 2 1.8
f ( x) 3
x
1.6
指数函数的导数的正负与函数 的递增或递减有同样的关系呢？
1.2 1 0.8
1.4
f ( x) 0
-2 -1.5 -1 -0.5
0.6
0.4
0.2
f ( x) 0
0.5 1 1.5 2
拓展提高
x (2) f ( x ) sin x 2 f ( x) 1 cos x. 解:(1)函数的定义域是R,
例4: 确定下列函数的单调区间:
2 1 2 2 令 cos x 0 ,解得 2k x 2k (k Z ). 3 3 2
1 cos x 0 ,解得 2k 2 x 2k 4 ( k Z ). 令 2 3 3
3-6x2+7,求证： 引例 已知函数y=2x
Байду номын сангаас
这个函数在区间(0,2)上是单调递 增的. 用定义法判断函数单调性的步骤：
（1）在给定取值范围内任取x1<x2
( 2 ) 作差f（x1）-f（x2）
（3）变形 （4）判断符号
（5）下结论
引入： 函数单调性体现出了函数值 y随自变量x的变化而变化的情况, 而导数是函数值的瞬时变化率, 刻画了函数变化的趋势. 于是我们设想一下能否利用 导数来研究单调性呢？
3进行思考 y＝f(x)=-x
如果函数y＝f(x)在这个区间内 单调递减，那么恒有f ’(x)<0吗?
理解训练：
学以致用
2
求函数y 3 x 3 x的递增区间与递减区间.
解 : y ' 6 x 3
1 1 令y ' 0得x , 令y ' 0得x 2 2
1 y 3 x 3 x的单调递增区间 , 2 1 单调递减区间是( , ) 2
x (1) f ( x ) ln(1 x ) 1 2
x 1 0,得x<-1或x>1. 2(1 x )
由 f ( x ) 0 即
注意到函数的定义域是(-1,+∞),故f (x)的递增区 间是(1,+∞); 由 f ( x ) 0 解得-1<x<1,故f (x)的递减区间是(-1,1).
-0.2
观察图像3
2.5
1 f ( x) 0 x ln 2
2 1.5 1 0.5 -2
f ( x) log 2 x
1 2 3 4
对数函数的导数的正负与函数 的递增或递减有同样的关系吗？
f ( x)
1
-1
1 x ln 2
0
-0.5 -1 -1.5
f ( x) log 1 x
2
2
变1：求函数 y 3 x 3 x 的单调区间
3 2
理解训练：
解： y ' 9 x 6 x 3 x(3 x 2) 2 令y ' 0得x 或x 0 3 2 令y ' 0得0 x 3 2 3 2 y 3 x 3 x 的单调递增区间为 ( ,0),( , )
2
单调递减区间为 (0, 2 )
3
3
利用导数判断函数单调性的基本步骤：
(1)确定定义域； (2)求f ´(x);
(3)在f(x)的定义域内解不等式f ´(x)>0 和f ´(x)<0; (4)确定函数f(x)的单调区间。
注意：单调区间不 以“并集”出现。
巩固提高：
变2：求函数 y 3e 区间。
-2
抽象概括
一般地，函数 y＝f(x)在某个区间内
1) 如果恒有f ′ >0，那么y＝f(x)在这 (x) 个区间内单调递增；
2) 如果恒有f ′ <0，那么y＝f(x)在这 (x) 个区间内单调递减。
如果在某个区间内恒有 f ( x) 0 , 则 f (x)为常数.
发散思维
试结合函数 y＝f(x)=x3进行思考 如果函数y＝f(x)在这个区间内单 调递增，那么恒有f ’(x)>0吗? 试结合函数
课下巩固作业：
P62 习题3-1 A组1(2)(3)(4)
2.
解:
x
3 x 的单调
x0
y ' 3e 3
x
令y ' 0得e 1 e
x
x
0
令y ' 0得e 1 e x 0
0
y 3e 3 x的单调递增区间为(0, ) 单调递减区间为(,0)
x
拓展提高
例4: 确定下列函数的单调区间:
1 1 x 1 . 解:函数的定义域是(-1,+∞), f ( x ) 2 1 x 2(1 x )
2 2 因此, f(x)的递增区间是:(2k ,2k )(k Z ); 3 3 2 4 递减区间是: (2k 3 ,2k 3 )(k Z ).
谈谈你的收获
小结：根据导数确定函数的单调性 1.确定函数f(x)的定义域. 2.求出函数的导数. 3.解不等式f ′ (x)>0,得函数单增区间; 解不等式f ′ (x)<0,得函数单减区间.
导数是处理函数单调性问题的金钥匙
观察图像1 y＝f(x) ＝2x+5
3
y＝f(x)＝-3x+4
y＝f(x) ＝x
2.5
函数的导数的正负与函数的递 增或递减有什么关系呢？
1.5
2
f(x) ＝x, f’(x) ＝1
1
f(x) ＝2x+5, f’ (x) ＝2 f(x)＝-3x+4, f ’(x) ＝-3
0.5 -2 -1 1 2
观察图像2
1 f ( x) 3
x
2.2 2 1.8
f ( x) 3
x
1.6
指数函数的导数的正负与函数 的递增或递减有同样的关系呢？
1.2 1 0.8
1.4
f ( x) 0
-2 -1.5 -1 -0.5
0.6
0.4
0.2
f ( x) 0
0.5 1 1.5 2
拓展提高
x (2) f ( x ) sin x 2 f ( x) 1 cos x. 解:(1)函数的定义域是R,
例4: 确定下列函数的单调区间:
2 1 2 2 令 cos x 0 ,解得 2k x 2k (k Z ). 3 3 2
1 cos x 0 ,解得 2k 2 x 2k 4 ( k Z ). 令 2 3 3