材料力学(单辉祖)第九章强度理论
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材料力学第9章强度理论
亦即
s 1 s 2 s 3 s u
s 1 s 2 s 3 s
而相应的强度条件为
按照这一理论，似乎材料在二轴拉伸或三轴拉伸应力 状态下反而比单轴拉伸应力状态下不易断裂，而这与实际 情况往往不符，故工程上应用较少。
5
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
(3) 最大切应力理论(第三强度理论) 低碳钢在单轴拉
与翼缘交界处的强度
在Mmax和FS,max同时存在的横截面C稍稍偏左的横截面 上，该工字形截面腹板与翼缘交界点a处，正应力和切应力
分别比较接近前面求得的smax和tmax，且该点处于平面应力
状态，故需利用强度理论对该点进行强度校核。
24
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
应力状态下，当一点处的最大拉应力（s1）达到该材料的 极限应力su时就发生脆性断裂。 第一强度理论关于脆性断裂的判据为:
s1 s u
su
在单轴拉伸试验或其它使材料发生脆性断裂的试验中测定
强度条件则是
s 1 s
其中，[s]为对应于脆性断裂的许用拉应力，[s]＝su/n，
而n为安全因数。由单轴拉伸试验可得， su sb
低碳钢一类的塑性材料，纯剪切和单轴拉伸应力状态 下均发生塑性的屈服，故可用单轴拉伸许用应力[s]按第三 或第四强度理论推算许用切应力[t]。按第三强度理论，纯 剪切应力状态下的强度条件为
t－－t s
可见
15
亦即
t
s
2
s t 0.5s
2
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
1 1 s 1 s 2 2 s 2 s 3 2 s 3 s 1 2 2s s2 6E 6E
最新课件-材料力学第九章复杂应力状态强度问题北航 推
工作应变：
1
1 E
1
-
2
+ 3
单拉极限应力
1u
1 E
1
-
2
+ 3 u
1 E
b
转换为由应力表示的断裂条件
1 - 2 +3 b
强度条件：
1
-
2
+
3
b
n
r2 1 - 2 +3
第二强度理论的 相当应力
• 第一强度理论适用范围：
t,max
c max
Page10
三、 第一、二强度理论综合示图（平面应力状态）
➢ 不论材料处于何种应力状态，只要最大拉应变1达到材 料单向拉伸断裂时的最大拉应变1u，材料即发生断裂。
工作应变：
1
1 E
1
-
2
+ 3
单拉极限应力 1 b , 2 3 0
单拉极限应变
1u
1 E
1
-
2
+ 3 u
b
E
Page 9
二、最大拉应变理论（第二强度理论）
断裂条件： 1 1u
材料力学（I II） 北航 精品课件
北京航空航天大学单辉祖教授编著的《材料力学 (I)》、《材料力学(Ⅱ)》是教育部“高等教育面向 21世纪教学内容和课程体系改革计划”的研究成果， 是面向21世纪课程教材和教育部工科力学“九五” 规划教材，也是普通高等教育“九五”国家级重点 教材 。该教材1999年初版，获2000年度中国高校科 学技术奖（教材类）二等奖，教学改革成果获2001 年度国家级教学成果二等奖、北京市教学成果一等 奖 ；2004年修订出版第2版，修订版已列入“普通 高等学校‘十五’国家教材规划”、高教社“高等 教育百门精品教材”。以材料力学I、II为主教材的 材料力学立体化教学包已作为高等教育出版社的 “名品”向全国推广。
单辉祖材料力学-第九章 压杆稳定
4 I min I y 2 I y1 2 23.63 47.26cm21
i
I min A
47 .26 1.68cm 2 8.367
150 89.3 p 100 i 1.68
所以，应由经验公式求临界压力。 σcr=304-1.12λ=304-1.12*89.3=204（MPa）
2E p cr p cr 2 p
2E p
2E p （临界柔度） A3钢λ p=100，λ s=61.6 p
则1：大柔度杆（细长压杆）采用欧拉公式计算。 2 EI 2E p ( p ) Fcr cr 2 2 ( l ) 2：中柔度杆（中长压杆）采用经验公式计算。
2 [25.6 12.74 (1.52 a / 2)2 ]
即:
198 .3 25.6 12.74(1.52 a / 2) 2 时合理
a=4.32cm
28
2、求临界力：
L
i
0.7 6 Iz 2 A1
0.7 6 396 .6 10 2 12 .74 10 4
A1 12 .74 cm , z0 1.52 cm,
I z1 198 .3cm4 , I y1 25 .6cm4
两根槽钢图示组合之后， （z1） I 2 I 2 198.3 396.6cm4
Z Z1
I y 2[ I y1 A1 ( z0 a / 2) 2 ]
边界条件为: w
Fcr
w
m0
Fcr m0
14
m0 c , d 0, kL 2n F
为求最小临界力， “ n”应取除零以外的最小值，即取：
i
I min A
47 .26 1.68cm 2 8.367
150 89.3 p 100 i 1.68
所以，应由经验公式求临界压力。 σcr=304-1.12λ=304-1.12*89.3=204（MPa）
2E p cr p cr 2 p
2E p
2E p （临界柔度） A3钢λ p=100，λ s=61.6 p
则1：大柔度杆（细长压杆）采用欧拉公式计算。 2 EI 2E p ( p ) Fcr cr 2 2 ( l ) 2：中柔度杆（中长压杆）采用经验公式计算。
2 [25.6 12.74 (1.52 a / 2)2 ]
即:
198 .3 25.6 12.74(1.52 a / 2) 2 时合理
a=4.32cm
28
2、求临界力：
L
i
0.7 6 Iz 2 A1
0.7 6 396 .6 10 2 12 .74 10 4
A1 12 .74 cm , z0 1.52 cm,
I z1 198 .3cm4 , I y1 25 .6cm4
两根槽钢图示组合之后， （z1） I 2 I 2 198.3 396.6cm4
Z Z1
I y 2[ I y1 A1 ( z0 a / 2) 2 ]
边界条件为: w
Fcr
w
m0
Fcr m0
14
m0 c , d 0, kL 2n F
为求最小临界力， “ n”应取除零以外的最小值，即取：
材料力学(单辉祖)第九章强度理论
2
2
2
2
0 0
2 0
28
四个强度理论
各种强度理论相当应力
第一强度理论(最大拉应力理论)
r1
1
2
2
2
2
第二强度理论(最大拉应变理论)
r2
1
( 2
3)
(1
)
2
(1
)
2 2
2
29
四个强度理论
第三强度理论(最大切应力理论)
r3 1 3 2 4 2 第四强度理论(形状改变比能理论)
26
四个强度理论
一种常见平面应力状态相当应力
图示应力状态在弯曲、弯扭、 扭拉(压)等组合变形极件中经
常出现。设其泊松比为，现
计算各种强度理论中相当应力
27
四个强度理论
此时 x , xy , y 0
代入平面应力枀值应力公式
从而
max min
x
y
2
x
2
y
2
2 xy
1 3
最大拉应力理论(第一强度理论)
适用材料及应力状态
主要适用于砖、石、铸铁等极件的脆性断裂破坏 脆性材料在二向或三向受拉断裂时，此理论不试
验结果基本相吻合 在受压情冴下，只要最大压应力值丌超过最大拉
应力值时，该理论也是相当正确的 3 1
缺点 : 没有考虑2 3的影响;
丌适合无拉应力的状态
14
四个强度理论
r4
1 2
(1
2
)2
(
2
3
)2
(
3
1)2
2 3 2
30
强度理论的应用
31
Example-1
工程力学(静力学与材料力学)第二篇第九章扭转
P = Mω
2πn P ×10 = M × 60
3
M N⋅m = 9549
P kW nr / min
例: P＝5 kW, n=1450 r/min, 则 ＝
5 kW M＝9549× (N⋅m) = 32.9 N⋅m 1450r/min
单辉祖:材料力学教程 8
扭矩与扭矩图
扭矩
扭矩定义－矢量方向垂直于横截面的内力偶矩， 扭矩定义－矢量方向垂直于横截面的内力偶矩， 并用 T 表示 符号规定－按右手螺旋法则将扭矩用矢量表示， 符号规定－按右手螺旋法则将扭矩用矢量表示， 矢量方向与横截面外法线方向一致 的扭矩为正， 的扭矩为正，反之为负
极惯性矩与抗扭截面系数
空心圆截面
dA=2πρdρ
Ip = ρ dA =
2
∫A
∫
D/ 2
d/2
ρ2 ⋅ 2πρ dρ
πD4 α= d Ip = 1−α4 D 32 Ip πD3 W= = 1−α4 p D 16 2
(
)
(
)
实心圆截面
πd4 Ip = 32
单辉祖:材料力学教程
πd 3 W= p 16
24
γ ≈tanγ =1.0×10−3rad
τ = Gγ
τ = (80×109 Pa)(1.0×10−3 rad) = 80 MPa
注意： 虽很小， 很大， 注意：γ 虽很小，但 G 很大，切应力 τ 不小
单辉祖:材料力学教程 18
例 3-2 一薄壁圆管，平均半径为 0，壁厚为δ，长度为 ， 一薄壁圆管，平均半径为R 长度为l， 横截面上的扭矩为T，切变模量为G， 横截面上的扭矩为 ，切变模量为 ，试求扭转角ϕ。
解：1. 扭矩分析
材料力学第9章 强度理论
解：
max
2 2 2
2
1 ＋ 2 2 2
2
min
－ 2 2 2
2
2 0
3 2 2 2
2
1 ＋ 2 2 2
（3）单元体（c）
σ1 80MPa σ 2 -70MPa
σ3 -140MPa
70 MPa
σr 3 220MPa
（4）单元体（d）
σr 4 195MPa
140 MPa （c） 80 MPa
max 70 30 94.72 70 30 2 2 ( ) 40 2 2 min 5.28 30MPa
2.强度理论
是关于“构件发生强度失效起因”的假说.
根据材料在复杂应力状态下破坏时的一些现象与形式 ,进行分 析,提出破坏原因的假说。在这些假说的基础上,可利用材料在单 向应力状态时的试验结果 , 来建立材料在复杂应力状态下的强度 条件。 基本观点 构件受外力作用而发生破坏时,不论破坏的表面现象如何复 杂,其破坏形式总不外乎几种类型,而同一类型的破坏则可能是某 一个共同因素所引起的。
120 MPa
110 MPa
（a ）
70 MPa 30MPa
（ b）
40MPa 70MPa
140 MPa
80 MPa 50MPa （c）
（ d）
解：（1）单元体（a）
120 MPa
σ1 0
σ 2 σ 3 120MPa
（a ）
120 MPa
σr 3 σ1 σ 3 0 ( 120) 120MPa
r2 1 u 2 3
材料力学_单祖辉_第三版课后答案_第九章—第十九章
式中：足标 b 系指翼缘与腹板的交界点；足标 a 系指上翼缘顶边中点。 3．应力计算及强度校核 三个可能的危险点（ a ， b 和 c ）示如图 9-5。
图 9-5
a 点处的正应力和切应力分别为
σ τ FS S z ( a ) I zt M 7.80 104 N 1.545108 Pa 154.5 MPa Wz 5.0510 4 m 2 130103 1.11510 4 N 1.496107 Pa 14.96 MPa 2 5 7.07 10 0.0137m
r 3 2 2 62.7MPa 125.4MPa
结论：该梁满足强度要求。 4．强度校核 依据第三强度理论，上述三点的相当应力依次为
σ r3( a ) σ1 σ 3 [155.9 ( 1.44)] MPa 157.3 MPa σ r3(b ) [154.4 ( 15.05)] MPa 169.5 MPa σ r3( c ) 2 τ 2 62.7 MPa 125.4 MPa
(b)
按照第三强度理论，(a)与(b)两种情况相当应力的比值为
r
σ r3( a ) σ r3(b )
1 μ 1 1 2μ
这表明加刚性方模后对棱柱体的强度有利。
9-5
图示外伸梁，承受载荷 F = 130 kN 作用，许用应力[ ]=170 MPa。试校核梁的强
度。如危险点处于复杂应力状态，采用第三强度理论校核强度。
2
题 9-5 图 解：1.内力分析 由题图可知， B 截面为危险截面，剪力与弯矩均为最大，其值分别为
FS F 130kN， M Fl2 130103 N 0.600m 7.80104 N m
2011材料力学强度理论(水电)
12
圆柱形大理石试样， 圆柱形大理石试样，在轴向压缩并利用液体径向施压 时会产生显著的塑性变形而失效。 时会产生显著的塑性变形而失效。
13
四种强度理论的适用范围： 四种强度理论的适用范围： （1）在三向拉应力状态下，不论是塑形材料，还是脆性 ）在三向拉应力状态下，不论是塑形材料， 材料，都会发生脆性断裂破坏。宜采用最大拉应力（ 材料，都会发生脆性断裂破坏。宜采用最大拉应力（第 一强度）理论。 一强度）理论。 （2）对于脆性材料，在二向拉伸应力状态下应采用最大拉 ）对于脆性材料， 应力（第一强度）理论； 应力（第一强度）理论；在二向应力状态中压应力的绝对 值比拉应力大的情况下，宜采用第二强度理论（ 值比拉应力大的情况下，宜采用第二强度理论（最大伸长 线应变理论）。 线应变理论）。 （3）对于塑形材料，除了三向拉伸应力状态外，宜采用第三、 ）对于塑形材料，除了三向拉伸应力状态外，宜采用第三、 第四强度理论。 第四强度理论。 特别地，对承受内压的钢管，宜采用第三强度理论； 特别地，对承受内压的钢管，宜采用第三强度理论； 而横力弯曲的钢梁，宜采用第四强度理论。 而横力弯曲的钢梁，宜采用第四强度理论。 （4）在三向压应力状态下，不论是塑形材料还是脆性材料， ）在三向压应力状态下，不论是塑形材料还是脆性材料， 普遍地发生屈服失效，因此，都应采用第四强度理论。 普遍地发生屈服失效，因此，都应采用第四强度理论。 14
3
解决这类问题，往往是依据部分实验的结果，经过推理， 解决这类问题，往往是依据部分实验的结果，经过推理，提出 一些假说，推测材料强度失效的原因，从而建立强度条件。 一些假说，推测材料强度失效的原因，从而建立强度条件。 3.构件由于强度不足而引起的两种失效（破坏）形式 3.构件由于强度不足而引起的两种失效（破坏） 构件由于强度不足而引起的两种失效 (1) 脆性断裂： 脆性断裂： 以出现裂纹或断裂为破坏标志。 以出现裂纹或断裂为破坏标志。
材料力学第九章强度理论教育研究
章节课堂
19
必须指出，即使是同一材料，在不同的应力状态下 也可以有不同的破坏形式。 无论是塑性材料或脆性材料：
在三向拉应力接近相等的情况下，都以断裂的形 式破坏，所以应采用最大拉应力理论；
在三向压应力接近相等的情况下，都可以引起塑 性变形，所以应该采用第三或第四强度理论。
如何选用强度理论，并不单纯是个力学问题。 在不同的工程技术部门中，对于在不同情况下如何 选用强度理论的问题，在看法上并不完全一致。
(1
2
)2
(
2
3
)2
(
3
1
)2
章节课堂
18
一般说来，在常温和静载的条件下，脆性材料 多发生脆性断裂，故通常采用第一、第二强度理论； 塑性材料多发生塑性屈服，故应采用第三、第四强度 理论。
影响材料的脆性和塑性的因素很多，例如：低 温能提高脆性，高温一般能提高塑性； 在高速动载 荷作用下脆性提高，在低速静载荷作用下保持塑性。
C截面
a．正应力强度校核（K1）点
max
k1
MC WZ
32 103 237 106 135Mpa
章节课堂
150Mpa
36
b．剪应力强度校核(K2)点
C截面
max
k2
FS hb
100 103 (200 22.8) 103 7 103
80.1Mpa
95Mpa
正应力和切应力强度条件均满足。
章节课堂
16
形状改变比能理论
2 1
3
=s
Uu
1
6E
2s2
U f Uu
1
2
( 1 2 )2
( 2
3)2
( 3 1 )2
材料力学：第九章 强度理论
不论材料处于何种应力状态，只要最大拉应力σ1 达到材料单向拉 伸断裂时的最大拉应力 σ1u (即σb)，材料即发生断裂
－材料的断裂条件
强度条件
σ1 － 构件危险点处的最大拉应力 [σ] － 材料单向拉伸时的许用应力
最大拉应变理论（第二强度理论）
理论要点
引起材料断裂的主要因素－最大拉应变 e1
e1 e1u
宜用第一强度理论考虑强度问题
一种常见应力状态的强度条件
单向、纯剪切联合作用
塑性材料 强度条件：
纯剪切许用应力
单向、纯剪 切联合作用
纯剪切情况下（s = 0）
塑性材料强度条件:
[σ] τmax 2
[σ] τmax 3
强度理论的应用
使用强度理论进行强度校核的步骤：
(1)画剪力图、弯矩图，确定危险截面； (2)据应力公式，确定截面上的危险点； (3)求最大应力； (4)根据材料性质, 选择合适的强度理论,
当
时, 材料屈服
强度条件
－材料的屈服条件
s1 , s2 , s3 － 构件危险点处的工作应力 [s] － 材料单向拉伸时的许用应力
例题 例2-1 铸铁构件危险点处受力如图,
试校核强度，[s]=30 MPa
解： (1) 列出已知条件
(2) 计算应力最大值
(3) 选择强度理论, 进行校核 （压应力 < 拉应力）
承压薄壁圆筒应力分析
三种应力: 轴向x, 周向y, 径向z
承压薄壁圆筒应力分析
(1) 轴向应力 筒底压力
筒壁应力
(2) 周向应力
1
(3) 径向应力
径向应力/周向应力
很小的量
故 s r 很小, 忽略不计
承压薄壁圆筒强度条件
－材料的断裂条件
强度条件
σ1 － 构件危险点处的最大拉应力 [σ] － 材料单向拉伸时的许用应力
最大拉应变理论（第二强度理论）
理论要点
引起材料断裂的主要因素－最大拉应变 e1
e1 e1u
宜用第一强度理论考虑强度问题
一种常见应力状态的强度条件
单向、纯剪切联合作用
塑性材料 强度条件：
纯剪切许用应力
单向、纯剪 切联合作用
纯剪切情况下（s = 0）
塑性材料强度条件:
[σ] τmax 2
[σ] τmax 3
强度理论的应用
使用强度理论进行强度校核的步骤：
(1)画剪力图、弯矩图，确定危险截面； (2)据应力公式，确定截面上的危险点； (3)求最大应力； (4)根据材料性质, 选择合适的强度理论,
当
时, 材料屈服
强度条件
－材料的屈服条件
s1 , s2 , s3 － 构件危险点处的工作应力 [s] － 材料单向拉伸时的许用应力
例题 例2-1 铸铁构件危险点处受力如图,
试校核强度，[s]=30 MPa
解： (1) 列出已知条件
(2) 计算应力最大值
(3) 选择强度理论, 进行校核 （压应力 < 拉应力）
承压薄壁圆筒应力分析
三种应力: 轴向x, 周向y, 径向z
承压薄壁圆筒应力分析
(1) 轴向应力 筒底压力
筒壁应力
(2) 周向应力
1
(3) 径向应力
径向应力/周向应力
很小的量
故 s r 很小, 忽略不计
承压薄壁圆筒强度条件
材料力学9强度理论
11
9.2 四个基本的强度理论
强度理论的统一形式：
相当应力
r [ ]
• 最大拉应力(第一强度)理论： • 最大拉应变(第二强度)理论：
r1 1
r 2 1 2 3
• 最大切应力(第三强度)理论： r 3 1 3
• 形状改变能密度(第四强度)理论：
A
0.42m
C
B
1 2 3 4 5 y
z
200kN
(b)
Mmax作用面上max作用点
FQ图 200kN
－距中性轴最远处； FQmax作用面上max作用点
(c)
M图 84kN· m
中性轴－上各点；
FQ和M都比较大的作用面 上 和 都比较大的作用点
－少数特殊情形；
21
9.3 各种强度理论的适用范围
该理论认为：引起材料屈服的主要因素是形状改变能密度。
不论材料处于何种应力状态，只要形状改变能密度ud达到材
料单向拉伸屈服时的形状改变能密度udS ，材料即发生屈服。
2
1 3 1
屈服条件： ud＝uds
s
ud
6E
1 2 2 3 3 1 2 2
16
2 3 2 2
9.3 各种强度理论的适用范围
对图b所示应力状态，有：
1 2
(b)
3
所以： r 3 1 3 2
r4
1 1 2 2 2 3 2 1 3 2 2
2
1 3
屈服条件:
max s
材料力学第9章 强度理论
第9章 强度理论
第一节 概述 在前面研究杆件基本变形的强度问题时，所用 的强度条件是以杆件横截面上的最大正应力，或最 大切应力为依据的，即
而材料的许用应力［σ］和［τ］是通过拉伸(压 缩)试验和剪切试验，测定出材料破坏时横截面上的 极限应力，然后除以适当的安全因数得到的。
1
解释材料破坏因素的一些假说是否正确，或适 用于什么情况．必须由实践来检验。实际上，也正 是在反复试验与实践的基础上，强度理论才逐步得 到发展并日趋完善。 下面介绍工程中关于各向同 性材料在常温、静载荷条件下几个常用的强度理论。
6
假设单向拉伸直到断裂时，仍可用胡克定律
由广义胡克定律，有
将式(b)、式(c)代入式(a)，该理论的脆性断裂 准则改写为
7
相应的强度条件为 最大伸长线应变理论也称为 第二强度理论。
8
二、关于屈服的强度理论 塑性破坏（plastic failure）一般是对塑性材料 而言的，破坏时，以出现屈服或产生显著的塑性变 形为标志。例如，低碳钢拉伸屈服时，出现与轴线 成45°的滑移线。这类破坏与最大切应力τmax、 畸变能密度有关。
12
于是屈服准则改写为
相应的强度条件为
13
对于梁来说，由于 三、第四强度理论的相当应力为
于是第
关于以上4个强度理论的应用，一般来说，如 铸铁、石料、混凝土、玻璃等脆性材料通常以脆断 方式破坏，宜选用第一和第二强度理论。如低碳钢、 铝、铜等塑性材料通常以屈服的方式失效，宜选用 第三和第四强度理论。
2
第二节 常用的强度理论 一、关于断裂的强度理论 脆性断裂（brittle fracture）一般是对脆性材 料而言，破坏时，材料没有明显的塑性变形，突然 断裂。例如，铸铁拉伸、扭转破坏。这类破坏与σ max（拉）、εmax（拉）有关。
第一节 概述 在前面研究杆件基本变形的强度问题时，所用 的强度条件是以杆件横截面上的最大正应力，或最 大切应力为依据的，即
而材料的许用应力［σ］和［τ］是通过拉伸(压 缩)试验和剪切试验，测定出材料破坏时横截面上的 极限应力，然后除以适当的安全因数得到的。
1
解释材料破坏因素的一些假说是否正确，或适 用于什么情况．必须由实践来检验。实际上，也正 是在反复试验与实践的基础上，强度理论才逐步得 到发展并日趋完善。 下面介绍工程中关于各向同 性材料在常温、静载荷条件下几个常用的强度理论。
6
假设单向拉伸直到断裂时，仍可用胡克定律
由广义胡克定律，有
将式(b)、式(c)代入式(a)，该理论的脆性断裂 准则改写为
7
相应的强度条件为 最大伸长线应变理论也称为 第二强度理论。
8
二、关于屈服的强度理论 塑性破坏（plastic failure）一般是对塑性材料 而言的，破坏时，以出现屈服或产生显著的塑性变 形为标志。例如，低碳钢拉伸屈服时，出现与轴线 成45°的滑移线。这类破坏与最大切应力τmax、 畸变能密度有关。
12
于是屈服准则改写为
相应的强度条件为
13
对于梁来说，由于 三、第四强度理论的相当应力为
于是第
关于以上4个强度理论的应用，一般来说，如 铸铁、石料、混凝土、玻璃等脆性材料通常以脆断 方式破坏，宜选用第一和第二强度理论。如低碳钢、 铝、铜等塑性材料通常以屈服的方式失效，宜选用 第三和第四强度理论。
2
第二节 常用的强度理论 一、关于断裂的强度理论 脆性断裂（brittle fracture）一般是对脆性材 料而言，破坏时，材料没有明显的塑性变形，突然 断裂。例如，铸铁拉伸、扭转破坏。这类破坏与σ max（拉）、εmax（拉）有关。
材料力学第9章强度理论
第9章 强度理论
9.1强度理论概述
9.1.1引言
构件发生轴向拉（压）、扭转和纯弯曲变形时，危险点处于单向应力状态或 纯剪切应力状态，相应的强度条件为
式中σ °和
°——分别表示材料在轴向拉（压）和纯剪切时的极限应力
，其值是通过试验测定。
可见，简单应力状态下的强度条件是建立在试验基础上的，相对比较简单。
图9.1
图9.2
从主应力角度考虑，复杂应力状态单元体的3个主应力可以
有无限多个组合，因此，要想重现实际中遇到的各种复杂应
力状态并不容易。同时，进行复杂应力状态试验的设备和试 件加工相当复杂，因此，要想通过直接试验来建立复杂应力 状态下的强度条件实际上是不行的，需要寻找新的途径。
9.1.2强度理论的概念 为了解决问题，只能从简单应力状态的试验结果出发，推测材料破坏的主要 原因。构件在外力作用下，任意一点都有应力和变形，而且积蓄了应变能。 可以设想，材料的破坏与危险点的应力、应变或应变能等某个因素有关。从 长期的实践和试验数据中分析材料破坏的现象，进行推理，对材料破坏的原 因提出各种假说。这种假说认定材料的破坏是某一特定因素引起的，不论是 在简单应力状态还是在复杂应力状态下，都是由同一因素引起的破坏，所以 可以将简单应力状态下的试验结果与复杂应力状态下构件的破坏联系起来。 这样就建立了强度理论。 综合分析材料破坏的现象发现，材料破坏也遵循一定的规律，构件由于强度 不足所引起的失效主要有以下两种形式：
也比较多。
9.4莫尔强度理论 随着科学技术的进步和试验条件的改进，在上述4种常用 强度理论的基础上，又有其他的强度理论陆续被提出， 如莫尔强度理论、双剪强度理论等。其中，莫尔强度理 论比较典型，在工程中也得到了较为广泛的应用。
莫尔提出了极限应力圆的定义，即在
9.1强度理论概述
9.1.1引言
构件发生轴向拉（压）、扭转和纯弯曲变形时，危险点处于单向应力状态或 纯剪切应力状态，相应的强度条件为
式中σ °和
°——分别表示材料在轴向拉（压）和纯剪切时的极限应力
，其值是通过试验测定。
可见，简单应力状态下的强度条件是建立在试验基础上的，相对比较简单。
图9.1
图9.2
从主应力角度考虑，复杂应力状态单元体的3个主应力可以
有无限多个组合，因此，要想重现实际中遇到的各种复杂应
力状态并不容易。同时，进行复杂应力状态试验的设备和试 件加工相当复杂，因此，要想通过直接试验来建立复杂应力 状态下的强度条件实际上是不行的，需要寻找新的途径。
9.1.2强度理论的概念 为了解决问题，只能从简单应力状态的试验结果出发，推测材料破坏的主要 原因。构件在外力作用下，任意一点都有应力和变形，而且积蓄了应变能。 可以设想，材料的破坏与危险点的应力、应变或应变能等某个因素有关。从 长期的实践和试验数据中分析材料破坏的现象，进行推理，对材料破坏的原 因提出各种假说。这种假说认定材料的破坏是某一特定因素引起的，不论是 在简单应力状态还是在复杂应力状态下，都是由同一因素引起的破坏，所以 可以将简单应力状态下的试验结果与复杂应力状态下构件的破坏联系起来。 这样就建立了强度理论。 综合分析材料破坏的现象发现，材料破坏也遵循一定的规律，构件由于强度 不足所引起的失效主要有以下两种形式：
也比较多。
9.4莫尔强度理论 随着科学技术的进步和试验条件的改进，在上述4种常用 强度理论的基础上，又有其他的强度理论陆续被提出， 如莫尔强度理论、双剪强度理论等。其中，莫尔强度理 论比较典型，在工程中也得到了较为广泛的应用。
莫尔提出了极限应力圆的定义，即在
材料力学课件 第9章 强度理论
18
第九章 强度理论
首页
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例题 一铸铁构件 bL= 400MPa， by= 1200MPa，一平面应力状
态点按莫尔强度理论屈服时，最大剪应力为450MPa，试求该点
的主应力值。 M
[ y]
P
O2 3
解：做莫尔理论分析图
KL
sinO2M O1L
oN
O3 O1 1 [ L]
O1O2
by
首页
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例题 某铸铁构件危险点的应力如图所示，若许用拉应力
[ ] 30MPa ，试校核其强度。
y 20MPa
解 由图可知，x与y截面的应力为
10MPa x
15MPa
x 10MPa, x 15MPa, y 20MPa
计算最大正应力与最小正应力，得到
max m in
26.2MPa 16.2MPa
密度值，材料即发生屈服。
ud max uds
ud
1
6E
1 2 2 2 3 2 3 1 2
1）破坏判据： 2）强度准则
1
2
1
2 2
2
3 2
3
1 2
s
1
2
1
2 2
2
3 2
3
1 2
3）实用范围：实用于破坏形式为屈服的构件。
10
第九章 强度理论
即主应力为： 1 26.2MPa, 2 0, 3 16.2MPa
上式中主应力 3 虽为压应力，但其绝对值小于主应力 1 所以，宜采用
最大拉应力理论校核强度，显然有1
[
]
说明该构件满足强度要求。
11
第九章 强度理论
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29
2
四个强度理论
第三强度理论(最大切应力理论)
r3 1 3 4
2
2
第四强度理论(形状改变比能理论)
1 2 2 2 r4 ( ) ( ) ( ) 1 2 2 3 3 1 2 2 3 2
材料单向拉伸时，与屈服强度u相应的极限 最大切应力为 u= s /2
19
四个强度理论
破坏条件(塑性屈服)
强度条件
1 3 s
s
ns
1 3
适用材料及应力状态
该强度理论与塑性材料的试验结果较为吻合， 符合塑性材料在达到一定的载荷后会出现明 显的塑性变形而最后剪断的试验现象
筒体在内压p作用下将在其横截面、纵截面 以及环形截面上引起轴向正应力x、环向正 应力t和径向正应力r。 由于筒体很薄，可认为x和t沿壁厚均布。
33
Example-1
x t t x
p
计算轴向应力，采用横截 t 面将圆筒截开，并选用左 D 段为研究对象 内压作用于筒底总压力
x
D2 P p 4
14
缺点 : 没有考虑2 3的影响;
四个强度理论
最大伸长线应变理论(第二强度理论) 破坏观点: 材料断裂的强度极限状态取决于
它的最大伸长线应变。 即无论应力状态如何，只要最大伸长线应变e1 达到极限线应变eu时,材料将发生断裂破坏 eu---单向拉伸试验所测得最大拉伸应变值
破坏条件
e1=eu
30
强度理论的应用
31
Example-1
t
p
D
已知受均匀内压的圆筒形薄壁容器， 内径D=1060mm，壁厚t=25mm， 内压p=2.5MPa，许用应力[]=80MPa， 试按最大切应力理论校核筒体的强度。
32
Example-1
x t t
t
t r x
x
p
D
解 计算筒体上应力分布
缺点 该强度理论未考虑主应力2的影响 相当应力 r3= 13
20
四个强度理论
畸变能理论(第四强度理论)
它的畸变能密度。 即无论应力状态如何，只要畸变能密度uf达到 材料屈服极限状态的畸变能密度ufu，材料即 发生屈服破坏 。 ufu---材料单向拉伸屈服时所测得畸变能密度
破坏观点: 材料屈服的强度极限状态取决于
四个常用的强度理论分为两类
第一类强度理论(第一、二强度理论) 断裂破坏强度理论 第二类强度理论(第三、四强度理论) 屈服破坏强度理论
24
四个强度理论
强度理论的适用范围及其应用
所谓脆性和塑性材料，一般指在常温、静载、 简单受力条件下，危险状态分为脆性断裂和 塑性屈服。此时，脆性材料选用关于脆断强 度理论，塑性材料选用关于屈服的强度理论 材料危险状态不仅与材料有关，还与材料所 处应力状态、温度、变形速率等因素有关
P 横截面
均匀分布在横截面上内力
x Dt
根据轴向平衡
x Dt P
由此得
D2
4 p
D x p 4t
34
Example-1
x t
p
t t
x
p
t
计算环向正应力，采用相距 t 单位长度的两个横截面从圆 筒中切出一个圆环，再用一 D 径向纵截面将其切成两半， 并保留一半为研究对象。 根据垂直方向平衡
4
强度理论的概念
复杂应力状态强度研究方法 假 说
部分实验 推测复杂应力状态下破坏原因
强度条件
强度理论：
实验与理论不一致推动理论发展
对材料破坏起主要作用的某种因素判断或假说 观点：不论材料处于何种应力状态， 只要该因素超过极限值，就形成破坏。
5
强度理论的概念
材料的破坏现象
铸铁
拉伸时，沿拉应力最大的横截面断裂 扭转时，沿拉应力最大的450螺旋面断裂
27
四个强度理论
此时
x , xy , y 0
代入平面应力极值应力公式
x y max x y 2 xy 2 2 min
2
从而
1 2 2 2 3
2 t t
0
D p sin d 0 2
径向纵截 轴向单位长度
由此得
D t p 2t
35
Example-1
x t t
t
x
p
D
计算径向正应力，采用相 距单位长度两个横截面从 圆筒中切出一个圆环，再 用环向纵截面将内部掏出 径向平衡
环 向 纵 截 轴向 单位 厚度
[]=80MPa
x
t t
t
x
p
D
故 r3 1 3 53 MPa 因此，圆筒满足强度要求。
38
Example-2
P A a L B a P
300 126 14.4 9 14.4
已知 a=0.6m，P=100 kN， 许用应力[]=120MPa 试 全面校核钢梁强度
25
四个强度理论
塑性材料在三向拉应力、低温或冲击(高 变形速率)等条件下将导致脆性断裂破坏。 脆性材料在三向压应力作用下，也表现出 明显的塑性变形能力 因此，对于较复杂的应力状态，首先要确 定材料是处于脆性状态还是塑性状态，而 后选用相应的的强度理论进行校核或设计
26
四个强度理论
一种常见平面应力状态相当应力 图示应力状态在弯曲、弯扭、 扭拉(压)等组合变形构件中经 常出现。设其泊松比为，现 计算各种强度理论中相当应力
㊉
x
max
max
M
㊀
Pa
Pa
x
41
Example-2
危险截面上危险点
max点：翼缘上下边 (考虑水平切应力 ) max点：腹板中间
翼缘和腹板交界处点C： 和 都较大，亦是危险点
C
max max
42
Example-2
应力计算
max
M max h Qmax S I 2 I b
破坏条件(塑性屈服) uf= ufu
21
四个强度理论
复杂应力状态下的畸变能密度为
1 2 2 2 uf ( ) ( ) ( ) 1 2 2 3 3 1 6E
单向应力状态下，当材料达到屈服极限f时， 畸变能密度为
1 2 ufu s 3E
39
Example-2
P A B P
300 126 14.4 9 14.4
a
Q
㊀
L
P P
㊉
a
解 内力分析
x
作内力图 由图可见，A左(B右) 截面为危险截面
M
㊀
Pa
Pa
x
40
Example-2
危险截面上应力分布
(水平切应力公式参见下册P7例题12-3)
注：以前分析中忽略了翼缘中的水平切应力 Q
㊀
P P
p
d
p D 1 r ( D 2d ) 1
D 1 r p p D 2d 1 2d / D
p
r
外表面承受大气压
36
Example-1
p
应力计较
r
max
D t p 2t
p r 1 2d / D
t
r
t r
r max 2d p, t D
d非常小,忽略r影响
薄壁圆筒各点处于二向应力状态， 则主应力
1 t
D D p, 2 x p, 3 0 2t 4t
37
状态判断
t x
Example-1
按最大切应力理论校核强度 由于
1 t 53 MPa 2 x 26.5 MPa 3 0
11
常用的四个强度理论
常温和静载条件下
12
四个强度理论
最大拉应力理论(第一强度理论) 破坏观点: 材料断裂强度极限状态取决于
它承受的最大拉应力。 即无论应力状态如何，只要最大拉应力1达 到极限应力u时，材料将发生断裂破坏 u---简单拉伸试验时所测得极限应力
破坏条件 强度条件
1=u
1 u
18
四个强度理论
最大切应力理论(第三强度理论)
破坏观点: 材料屈服的强度极限状态取决于
最大切应力 即无论应力状态如何，只要最大切应力max达 到单向拉伸屈服极限应力u时，材料将在最大 切应力所在的截面上发生滑移而出现屈服破坏 在三向应力状态下，最大切应力为
max= (1 3 )/2
第九章 强度理论
主 讲人： 张能辉
1
强度理论的概念
2
强度理和压缩 圆直杆扭转
T T
max
max [ ]
通过实验手段确定许用应力[][]
3
强度理论的概念
复杂应力状态强度条件
复杂应力状态不可能仅通过 实验手段来解决强度条件 (1 , 2, 3 无数种组合, 实 验条件很难实现, 无法穷尽） 如何描述复杂应力状态情形下 材料破坏的机理和条件呢？
15
四个强度理论
最大伸长线应变理论(第二强度理论)
e1=eu
利用胡克定理，给出在线弹性范围内， 以主应力表示的破坏条件
1 ( 2 3 ) u ,
强度条件
u Ee u
u
nu
16
1 ( 2 3 )
四个强度理论
最大伸长线应变理论(第二强度理论) 适用材料及应力状态
2
四个强度理论
第三强度理论(最大切应力理论)
r3 1 3 4
2
2
第四强度理论(形状改变比能理论)
1 2 2 2 r4 ( ) ( ) ( ) 1 2 2 3 3 1 2 2 3 2
材料单向拉伸时，与屈服强度u相应的极限 最大切应力为 u= s /2
19
四个强度理论
破坏条件(塑性屈服)
强度条件
1 3 s
s
ns
1 3
适用材料及应力状态
该强度理论与塑性材料的试验结果较为吻合， 符合塑性材料在达到一定的载荷后会出现明 显的塑性变形而最后剪断的试验现象
筒体在内压p作用下将在其横截面、纵截面 以及环形截面上引起轴向正应力x、环向正 应力t和径向正应力r。 由于筒体很薄，可认为x和t沿壁厚均布。
33
Example-1
x t t x
p
计算轴向应力，采用横截 t 面将圆筒截开，并选用左 D 段为研究对象 内压作用于筒底总压力
x
D2 P p 4
14
缺点 : 没有考虑2 3的影响;
四个强度理论
最大伸长线应变理论(第二强度理论) 破坏观点: 材料断裂的强度极限状态取决于
它的最大伸长线应变。 即无论应力状态如何，只要最大伸长线应变e1 达到极限线应变eu时,材料将发生断裂破坏 eu---单向拉伸试验所测得最大拉伸应变值
破坏条件
e1=eu
30
强度理论的应用
31
Example-1
t
p
D
已知受均匀内压的圆筒形薄壁容器， 内径D=1060mm，壁厚t=25mm， 内压p=2.5MPa，许用应力[]=80MPa， 试按最大切应力理论校核筒体的强度。
32
Example-1
x t t
t
t r x
x
p
D
解 计算筒体上应力分布
缺点 该强度理论未考虑主应力2的影响 相当应力 r3= 13
20
四个强度理论
畸变能理论(第四强度理论)
它的畸变能密度。 即无论应力状态如何，只要畸变能密度uf达到 材料屈服极限状态的畸变能密度ufu，材料即 发生屈服破坏 。 ufu---材料单向拉伸屈服时所测得畸变能密度
破坏观点: 材料屈服的强度极限状态取决于
四个常用的强度理论分为两类
第一类强度理论(第一、二强度理论) 断裂破坏强度理论 第二类强度理论(第三、四强度理论) 屈服破坏强度理论
24
四个强度理论
强度理论的适用范围及其应用
所谓脆性和塑性材料，一般指在常温、静载、 简单受力条件下，危险状态分为脆性断裂和 塑性屈服。此时，脆性材料选用关于脆断强 度理论，塑性材料选用关于屈服的强度理论 材料危险状态不仅与材料有关，还与材料所 处应力状态、温度、变形速率等因素有关
P 横截面
均匀分布在横截面上内力
x Dt
根据轴向平衡
x Dt P
由此得
D2
4 p
D x p 4t
34
Example-1
x t
p
t t
x
p
t
计算环向正应力，采用相距 t 单位长度的两个横截面从圆 筒中切出一个圆环，再用一 D 径向纵截面将其切成两半， 并保留一半为研究对象。 根据垂直方向平衡
4
强度理论的概念
复杂应力状态强度研究方法 假 说
部分实验 推测复杂应力状态下破坏原因
强度条件
强度理论：
实验与理论不一致推动理论发展
对材料破坏起主要作用的某种因素判断或假说 观点：不论材料处于何种应力状态， 只要该因素超过极限值，就形成破坏。
5
强度理论的概念
材料的破坏现象
铸铁
拉伸时，沿拉应力最大的横截面断裂 扭转时，沿拉应力最大的450螺旋面断裂
27
四个强度理论
此时
x , xy , y 0
代入平面应力极值应力公式
x y max x y 2 xy 2 2 min
2
从而
1 2 2 2 3
2 t t
0
D p sin d 0 2
径向纵截 轴向单位长度
由此得
D t p 2t
35
Example-1
x t t
t
x
p
D
计算径向正应力，采用相 距单位长度两个横截面从 圆筒中切出一个圆环，再 用环向纵截面将内部掏出 径向平衡
环 向 纵 截 轴向 单位 厚度
[]=80MPa
x
t t
t
x
p
D
故 r3 1 3 53 MPa 因此，圆筒满足强度要求。
38
Example-2
P A a L B a P
300 126 14.4 9 14.4
已知 a=0.6m，P=100 kN， 许用应力[]=120MPa 试 全面校核钢梁强度
25
四个强度理论
塑性材料在三向拉应力、低温或冲击(高 变形速率)等条件下将导致脆性断裂破坏。 脆性材料在三向压应力作用下，也表现出 明显的塑性变形能力 因此，对于较复杂的应力状态，首先要确 定材料是处于脆性状态还是塑性状态，而 后选用相应的的强度理论进行校核或设计
26
四个强度理论
一种常见平面应力状态相当应力 图示应力状态在弯曲、弯扭、 扭拉(压)等组合变形构件中经 常出现。设其泊松比为，现 计算各种强度理论中相当应力
㊉
x
max
max
M
㊀
Pa
Pa
x
41
Example-2
危险截面上危险点
max点：翼缘上下边 (考虑水平切应力 ) max点：腹板中间
翼缘和腹板交界处点C： 和 都较大，亦是危险点
C
max max
42
Example-2
应力计算
max
M max h Qmax S I 2 I b
破坏条件(塑性屈服) uf= ufu
21
四个强度理论
复杂应力状态下的畸变能密度为
1 2 2 2 uf ( ) ( ) ( ) 1 2 2 3 3 1 6E
单向应力状态下，当材料达到屈服极限f时， 畸变能密度为
1 2 ufu s 3E
39
Example-2
P A B P
300 126 14.4 9 14.4
a
Q
㊀
L
P P
㊉
a
解 内力分析
x
作内力图 由图可见，A左(B右) 截面为危险截面
M
㊀
Pa
Pa
x
40
Example-2
危险截面上应力分布
(水平切应力公式参见下册P7例题12-3)
注：以前分析中忽略了翼缘中的水平切应力 Q
㊀
P P
p
d
p D 1 r ( D 2d ) 1
D 1 r p p D 2d 1 2d / D
p
r
外表面承受大气压
36
Example-1
p
应力计较
r
max
D t p 2t
p r 1 2d / D
t
r
t r
r max 2d p, t D
d非常小,忽略r影响
薄壁圆筒各点处于二向应力状态， 则主应力
1 t
D D p, 2 x p, 3 0 2t 4t
37
状态判断
t x
Example-1
按最大切应力理论校核强度 由于
1 t 53 MPa 2 x 26.5 MPa 3 0
11
常用的四个强度理论
常温和静载条件下
12
四个强度理论
最大拉应力理论(第一强度理论) 破坏观点: 材料断裂强度极限状态取决于
它承受的最大拉应力。 即无论应力状态如何，只要最大拉应力1达 到极限应力u时，材料将发生断裂破坏 u---简单拉伸试验时所测得极限应力
破坏条件 强度条件
1=u
1 u
18
四个强度理论
最大切应力理论(第三强度理论)
破坏观点: 材料屈服的强度极限状态取决于
最大切应力 即无论应力状态如何，只要最大切应力max达 到单向拉伸屈服极限应力u时，材料将在最大 切应力所在的截面上发生滑移而出现屈服破坏 在三向应力状态下，最大切应力为
max= (1 3 )/2
第九章 强度理论
主 讲人： 张能辉
1
强度理论的概念
2
强度理和压缩 圆直杆扭转
T T
max
max [ ]
通过实验手段确定许用应力[][]
3
强度理论的概念
复杂应力状态强度条件
复杂应力状态不可能仅通过 实验手段来解决强度条件 (1 , 2, 3 无数种组合, 实 验条件很难实现, 无法穷尽） 如何描述复杂应力状态情形下 材料破坏的机理和条件呢？
15
四个强度理论
最大伸长线应变理论(第二强度理论)
e1=eu
利用胡克定理，给出在线弹性范围内， 以主应力表示的破坏条件
1 ( 2 3 ) u ,
强度条件
u Ee u
u
nu
16
1 ( 2 3 )
四个强度理论
最大伸长线应变理论(第二强度理论) 适用材料及应力状态