《复变与积分变换》讲义笔记【高斯课堂】

解： z1 z2 1 2i 3 4i 1 3 2 4i 4 6i
z1 z2
1 2i 3 4i
1 2i3 4i 3 4i 3 4i
13 1 4i 2i3 2i 4i 3 4 6 i 8
32 4i2
32 42
11 2i 25
Re
z1 z2
11 25
A. 1
B.
2
C. 4
解： arctan1 4
arg z 4
答案: C
D.
y
4 O
x
i
z
题 2. 数 1 i 3 的指数形式为 22
，三角形式为
解： r z
x2 y2
1 2
2
3 2
2
1
arctan y
x3
3
Fra Baidu bibliotek
z
rei
e
3
i
r
cos
i
sin
cos
i 2 1
i3 i
i4 1
i5 i
z100 z75 z50 i425 i4183 i412 2 i0 i3 i2 1 i 1 i
... z1 r1ei1
z2 r2ei2
答案： B
cos 4 i sin 4 2
题 3.
复数
cos 3
i sin 3 3
的指数形式为
1. z1 z2 r1 r2ei12
(3)代入
1
rn
，
2k
,
n
k 0,1,..., n 1
1
1 63
18
1
1
26
cos
18
i
sin
18
2
1 6
3
2
7 18
2
1
26
cos
7 18
i sin
7 18
3
1 6
3
2 2
13 18
3
1
26
cos
13 18
i
sin
13 18
4
1 6
3
2 3
19 18
4
1
26
cos
19 18
i sin
19 18
5
1 6
3
2 4
25 18
5
1
26
cos
25 18
i
sin
25 18
6
1 6
3
2
5
31 18
6
1
26
cos
31 18
i sin 31 18
3
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1. i 2 1 2. z x iy , z x iy
3. x1 iy1 x2 iy2 x1 x2 i y1 y2
4. x1 iy1 x2 iy2 x1x2 y1 y2 i x2 y1 x1 y2
5.
x1 iy1 x2 iy2
x1 iy1 x2 iy2 x2 iy2 x2 iy2
C. 中心为 2 3i ，半径为 2 的圆周 D. 中心为 2 3i ，半径为 2 的圆周
解： z 2 3i 2 ， z 点到 2 3i 点的距离等于 2
答案： C
2、复数的运算
题 1. 设 z1 1 2i ， z2 3 4i ，则 z1 z2
，
Re
z1 z2
。
题 2.求方程 z3 8 0 的所有根。
1
1
1
解： z3 8 z3 3 83 z 8 3
8 8cos isin
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复变函数 与
积分变换
习题答案
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。
2. z1 r1 ei12
z2 r2
解：原式
cos 4 i sin 4 2
cos 3 isin 3
3
ei 4 ei3
2 3
e24i e33i
e24i 33i
e17i
3.复数的方根
1
题 1. 设 z 1 3i ，求 z 6
解：把 z 化成三角表示式 z 1
2
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题 2. 当 z 1 i 时， z100 z75 z50 的值等于（ ）。 1i
A. i
B. i
C. 1
D. 1
解：
z
1 1
i i
1 i2 1 i 1
i
1
2i 2
1
i
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y
i
1 i2 O
1 i4
x
i i3
i1 i
虚轴 y x
y :虚部， Im z
r : z 的模长， z x2 y2
r
O
:
z
的辐角
Arg z arg z
2k, ,
k
0, 1, 2, , 辐角主值，也叫主辐角
（2） z rei
指数表示
（3） z r cos i sin 三角表示
y
x 实轴
题 1. 设 z 1 i ,则 arg z （ ）。
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考点 1.复数的表示、几何意义 2.复数的运算 3.复数的方根
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课时一 复数
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重要程度 ★★★★
分值 6 12 34 38
常见题型 选择、填空 选择、填空 计算题、选择、填空
1.复数的表示、几何意义
（1） z x iy
x :实部， Re z
整理得 x i y 2 x i y 2
x2 y 22 x2 y 2 2 两边平方得： x2 y 22 x2 y 2 2
化简得 y 0
题 5. 方程 z 2 3i 2 所代表的曲线是（ ）。
A. 中心为 2 3i ，半径为 2 的圆周
B. 中心为 2 3i ，半径为 2 的圆周
3i
2
cos
3
i
sin
3
1
设
cos
i sin
2
cos
3
i sin
3
6
1
代入 2 6
2k
3
, k 0,1,...,5
6
1
n x iy x iy n
(1) x iy r cos i sin
(2)设 cos i sin
1
r cos i sin n
3
i
sin
3
1
。
y1
2
O
x
3i 2
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题 3. sin i cos 的三角表示式
，指数表示式
解：
sin
cos
2
cos
sin
2
sin
i cos
cos
2
i
sin
2
e i
2
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题 4. 把方程 z 2i z 2i 表示成直角坐标方程。 解：令 z x iy ，代入得 x iy 2i x iy 2i