《复变与积分变换》讲义笔记【高斯课堂】
复变函数与积分变换第3章 3.1积分的概念
f (i ,i )si
n
n
L
P(x,
y)dx
Q(x,
y)dy
lim[
n
i 1
P(i ,i )xi
i 1
Q(i ,i )yi ]
n
f (x, y, z)dS lim n i1
f (i ,i , i )Si
回顾:（分段）光滑曲线的概念
对于简单曲线C: z x(t) iy(t) t 如果在
复积分计算的 参数变换法
ux '(t)dt vy '(t)dt i vx '(t)dt uy '(t)dt
= β f(z(t))z'(t)dt α
定理 1. 设曲线C的参数方程为:
z=z(t)=x(t)+iy(t) t
2. f(z)沿曲线C连续
C
f
(z)dz
u(t)x(t) v(t) y(t)dt
第一节 复变函数积分的概念 及其简单性质
3.1.1 复变函数的原函数与不定积分 3.1.2 复变函数积分的定义 3.3.3复变函数积分的基本性质 3.3.4 复变函数积分的计算
3.1.1 原函数的定义:
如果函数 (z) 在区域 D 内的导数为f (z),即 (z) f (z),
则称 (z) 为 f (z) 在区域 D 内的一个原函数.
不论对 C 的分法任何, 点 (k , k )的取法如何,
下式两端极限存在,
16
n
n
f ( k )zk [u(k ,k )xk v(k ,k )yk ]
k 1
k 1
均为第二型曲 线积分
n
i [v(k ,k )xk u(k ,k )yk ]
复变函数与积分变换知识点总复习
解析函数 f (z) 的导数仍为解析函数, 它的 n阶
导数为:
f
(n)
( z0
)
n! 2πi
C
(z
f
(z) z0 )n1
dz
(n 1,2,)
其中C 为在函数 f (z) 的解析区域 D内围绕 z0 的
任何一条正向简单闭曲线, 而且它的内部全含于 D.
8.调和函数与解析函数的关系
调和函数
满足 Laplace
但u iv不是解析函数。
证明：
因为 u x
2x,
2u x 2
2,
u y
2 y,
2u y 2
2,
2u 2u 2 2 0,所以，u是调和函数。 x2 y2
同理 2v 6x2 y 2y3 , 2v 6x2 y 2y3 , x2 (x2 y2 )3 y2 (x2 y2 )3
2v x 2
解：u(x, y) a ln(x2 y2 ),v(x, y) arct an y ,则 x
u 2ax , u 2ay , v y , v x , x x2 y2 y x2 y2 x x2 y2 y x2 y2 在区域x 0内连续，且 u v , v u 在区域x 0上成立时，2a 1, x y x y 即，当a 1 时，函数f (z)在区域x 0内是解析的。
Байду номын сангаас
而 u y2, u 2xy, v 2xy, v x2,在复平面上
x
y
x
y
处处连续，当x y 0时满足C R方程，
故f (z)仅在(0,0)点可导，在复平面上处处不解析。
2）因为f (z) x2 iy,则u(x, y) x2, v(x, y) y,
复变函数与积分变换复习重点
复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.2.复数的表示1）模：z=2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3）()arg z 与arctan y x之间的关系如下：当0,x > arg arctanyz x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩； 4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。
5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。
(二) 复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
2）若121122,i i z z e z z e θθ==, 则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z e z z θθ-=3.乘幂与方根1） 若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )nnn in z z n i n z e θθθ=+=。
复变函数与积分变换总结_1
复变函数与积分变换总结_1复变函数与积分变换总结_11.复变函数复变函数是定义在复数域上的函数。
和实变函数类似，复变函数也具有实部和虚部。
复变函数有很多重要的性质和定理，以下是其中的一些重要内容：（1）柯西-黎曼方程：对于复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中u和v为实变函数，它们分别表示f的实部和虚部。
如果f在局部有定义且可导，则f满足柯西-黎曼方程：∂u/∂x=∂v/∂y，∂u/∂y=-∂v/∂x。
这个方程是复变函数可导的充分必要条件。
（2）柯西积分定理：柯西积分定理是复变函数理论中的重要定理，它表示若f是一个在区域D上解析的函数，则对于D内任意闭合曲线C，有∮Cf(z)dz=0。
这个定理说明，对于解析函数来说，沿着闭合曲线的积分值为0。
（3）柯西积分公式：柯西积分公式是复变函数理论中的另一个重要定理，它给出了在解析函数上对闭合曲线上的导数的表达式。
设f是D内的解析函数，z0是D内任意一点，且C是以z0为中心的一条简单闭曲线，且完全在D内，则有f(n)(z0)=n!/2πi∮C(f(z)/(z-z0)^(n+1))dz，其中n为正整数，f(n)(z0)表示f的n次导数在z0处的值。
2.积分变换积分变换是将一个函数通过其中一种数学变换转换为另一个函数的过程，常用的积分变换有傅里叶变换、拉普拉斯变换和z变换。
（1）傅里叶变换：傅里叶变换是将一个时间域上的函数转换为频域上的函数。
对于一个函数f(t)，它的傅里叶变换表示为F(ω)，其中ω是频域上的变量。
傅里叶变换具有线性性、位移性、尺度性和频域去掉奇点的特性。
傅里叶变换广泛应用于信号处理、图像处理等领域。
（2）拉普拉斯变换：拉普拉斯变换是将一个时间域上的函数转换为复平面上的函数。
对于一个函数f(t)，它的拉普拉斯变换表示为F(s)，其中s是复平面上的变量。
拉普拉斯变换具有线性性、位移性、尺度性和频域去掉奇点的特性。
拉普拉斯变换在控制系统、信号处理等领域具有重要应用。
复变函数与积分变换第1章
*
复数 复平面点集 扩充复平面及其球面表示
第一章 复数和复平面
*
§1.1 复数
1.复数的概念
在实数范围, 方程 x2=-1是无解的. 引进一个新数i, 称为虚数单位, 并规定 i2 =-1 从而i是方程x2=-1的一个根. 对于任意二实数x,y, 称z=x+iy或z=x+yi为复数, x,y分别称为z的实部和虚部, 记作 x=Re(z), y=Im(z)
汇报人姓名
*
在复平面上, 复数z还与从原点指向点z=x+iy的平面向量一一对应, 因此复数z也能用向量OP来表示. 向量的长度称为z的模或绝对值, 记作
O
x
y
x
y
q
P
z=x+iy
|z|=r
*显然, 下列各式成立来自Oxy
x
y
q
P
z=x+iy
|z|=r
*
在z0的情况, 以正实轴为始边, 以表示z的向量OP为终边的角的弧度q称为z的幅角, 记作 Arg z=q 这时, 有
上述结论可简明地表示为
*
乘幂 n个相同复数z的乘积称为z的n次幂,记作zn
zn=rn(cos nq+isin nq). (1.14)
如|z|=1,则(棣莫弗(De Moivre)公式).
(cos q+isin q)n = cos nq+isin nq. (1.15)
则对任意正整数n, 我们有
如果E内的每个点都是它的内点, 则称E为
开集。
01
03
02
平面点集D称为一个区域, 如果它满足下列 两个条件: 1) D是一个开集; 2) D是连通的, 就是说D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连接起来.
高等教育出版社《复变函数》与《积分变换》第四版课后习题参考答案
⎝ 12
12 ⎠
6 2ei5π / 4 = 6 2⎜⎛ cos 5π + i sin 5π ⎟⎞ 。
⎝4
4⎠
15．若 (1+ i)n = (1− i)n ，试求 n 的值。
5
解 由题意即 ( 2eiπ / 4 )n = ( 2e−iπ / 4 )n , einπ / 4 = e−inπ / 4 ， sin n π = 0 ， 4
+
2kπ
= − arctan 5 + 2kπ, 3
k = 0,±1,±2,".
（3）
(3
+
4i)(2
2i
−
5i)
=
(3
+
4i)(2 − (2i)(−
5i)(− 2i)
2i)
=
(26
−
7i)(−
4
2i)
所以
= −7 − 26i = − 7 −13i
2
2
Re⎨⎧ (3
+
4i)(2
−
5i)⎫
⎬
=
−
7
，
⎩ 2i ⎭ 2
Im⎨⎧ ⎩
(3
+
4i)(2
2i
−
5i)⎫
⎬ ⎭
=
−13
，
1
⎡ ⎢ ⎣
(3
+
4i)(2
2i
−
5i)⎤
⎥ ⎦
=
−
7 2
+
l3i
(3 + 4i)(2 − 5i) = 5 29 ，
2i
2
Arg⎢⎣⎡ (3
+
4
复变函数与积分变换公式笔记
复变函数与积分变换第一章复数与复变函数1.任何一个复数z≠0有无穷多个辐角，如θ1是辐角，则有Arg z=θ1+2kπ(k=0,±1,±2,…)表示z的全部辐角，其中满足-π＜θ0≤π的辐角θ0称为辐角Argz的主值，记为θ0=arg z.2.棣莫弗公式：（cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ第二章解析函数1.柯西–黎曼方程：∂u ∂x =∂v∂y，∂u∂y=−∂v∂x2.如果二元实函数u(x,y)在区域D内有二阶连续偏导数，并且满足拉普拉斯方程：∂2u ∂x2+∂2u∂y2=0则称u(x,y)为区域D内的调和函数。
3.共轭调和函数公式：v(x,y)=∫−∂u ∂y(x,y)(x0,y0)dx+∂u∂xdy+C其中(x0,y0)为D内一个定点，(x,y)为D内任一点，C为任意常数。
该积分与路径无关。
4.指数函数的定义e z=e x+iy=e x(cosy+isiny)5.指数函数的性质e2πi=16.lnz,称为Ln z的主值，于是有ln z=ln|z|+iargz而其他各支可由下式表达：Lnz=lnz+2kπi (k=±1,±2,…)7.余弦函数与正弦函数：cosz=e iz+e−iz2sinz=e iz−e−iz2i8.双曲正弦函数和双曲余弦函数：shz=e z−e−z2chz=e z+e−z2第三章复变函数的积分1.复积分的计算∫f(z)dz=∫f[z(t)]z′(t)dttβtαC2.计算：C为单位圆周|z|=1的上半部分从z1=1到z2=−1的弧。
C的参数方程为z=e it(0≤t≤π)，dz=ie it dt.3.柯西积分公式：f(z0)=12πi∮f(z)z−z0dzC∮f(z)z−z0dzC=2πi∙f(z0) 4.高阶导数公式:f(n)(z0)=n!2πi∮f(z)(z−z0)n+1dz (n=1,2,⋯).C∮f(z)(z−z0)n+1dz=2πin!f(n)(z0)(n=1,2,⋯).C第四章级数1.幂级数∑c n z n∞n=0收敛半径公式为R=limn→∞|c n c n+1|.2.幂级数基本展开公式：11−z=1+z+z2+⋯+z n+⋯，|z|<1；1 1+z =∑(−1)n z n，|z|<1；∞n=0e z=∑z nn!，|z|<+∞；∞n=0sinz=∑(−1)nz2n+1(2n+1)!，|z|<+∞；∞n=0cosz =∑(−1)n z 2n(2n)!，|z |<+∞；∞n=03. 函数展开结果中可能不含z 的负幂项，原因在于f(z)在C 内是解析的。
复变函数与积分变换学习笔记
复变函数与积分变换学习笔记第二章解析函数一、复变函数的导数及微分1、导数的定义2、可导与连续3、求导法则实变函数的求导法则可以不加更改地推广到复变函数中来4、微分的概念与一元实变函数的微分概念完全一致二、解析函数的概念1、解析函数的定义如果函数f（z）在z0及z0的邻域内处处可导，那么称f（z）在z0解析。
如果函数f（z）在区域D内每一点解析，则称f（z）在区域D内解析。
或称f（z）是区域D内的一个解析函数（全纯函数或正则函数）2、奇点的定义如果函数f（z）在z0不解析，那么称z0为f（z）的奇点。
根据定义可知，函数在区域内解析和区域内可导是等价的。
但是，函数在一点处解析和一点处可导是不等价的，即在一点处可导，不一定在该点处解析。
函数在一点处解析比在该点处可导的要求高得多。
定理（1）在区域D内解析的两个函数f（z）和g（z）的和、差、积、商（除去分母为零的点）在D内解析。
（2）设函数h=g（z）在z平面上的区域D内解析，函数w=f （h）在h平面上的区域G内解析。
如果对于D内的每个点z，函数g （z）的对应值h都属于G，那么复合函数w=f|g（z）|在D内解析。
根据定理可知：（1）所有多项式在复平面内是处处解析的。
（2）任何一个有理分式函数P（z）/Q（z）在不含分母为零的点的区域内是解析的，使分母为零的点是它的奇点。
注意：复变函数的导数定义与一元实变函数的导数定义在形式上是完全一样的，它们的求导公式与求导法则也一样，然而复变函数极限存在要求与z趋于零的方式无关，这表明它在一点可导的条件比实变函数严格得多。
第二节、函数解析的充要条件一、主要定理定理一：设函数f（z）=u（x，y）+iv（x，y）定义在区域D内，则f（z）在D内一点z=x+yi 可导的充要条件是：u（x，y）与v（x，y）在点（x，y）可微，并在该点满足柯西-黎曼方程：?u?v?u==-，x?y?y ?vx 。
根据定理一，可得函数f（z）=u（x，y）+iv（x，y）在点z=x+yi处的导数公式：f＇（z）u =+ix ?vx1=iu?v+y?y。
复变函数与积分变换重要知识点
sin2 z 0, cos2 z 0 在复数中均不成立。
3
复变函数与积分变换复习要点
2013 年 11 月中旬至 12 月中旬
shz ez ez , chz ez ez
双曲函数
2
2；
shz 奇函数， chz 是偶函数。 shz, chz 在 z 平面内解析，且 shz chz,chz shz
6 辐角：Argz 1 2k k为任意整数,其中把满足- 0 的0称为Argz的主值，
记作，0 = arg z. z 0 辐角的主值
arg
z
arctan
π, 2
arctan
y x
y
, x 0, x 0, y 0,
π, x 0, y
3! 5!
zn n!
zn (R ) n0 n!
(1)n z2n1 (2n 1)!
, (R )
cos z 1 z2 z4 (1)n z2n
2! 4!
(2n)!
1 1 z z2 (1)n zn ,| z | 1 1 z
如果我们定义
zn
1 zn
,
那么当
n
为负整数时,
上式仍成立.
棣莫佛公式：当 z 的模 r 1, 即 z cos i sin,
(cos i sin )n cos n i sin n.
方程 wn
z
的根：
w
n
z
1
rn
cos
《复变函数与积分变换》§6.2 分式线性映射
一 分式线性映射
分式线性映射定义为 w az b cz d
a 、b 、c 、d 均为复常数．
ab
其中
0
cd
条件 ad bc 0
是为了使
dw dz
ad bc (cz d )2
0
因此分式线性映射是保角映射．
对于分式线性映射 w az b cz d
在扩充复平面上补充定义如下：
当c0时
z d 映射为 w c
z 映射为 w a c
当 c0时
z 映射为 w
一 分式线性映射
一 分式线性映射
容易求出该映射的逆映射 z dw b cw a
d b
由于
c
ad bc 0 a
因此分式线性映射的逆映射仍是分式线性映射, 且为扩充 复平面上的一一映射．容易验证分式线性映射的复合仍是分式 线性映射．
则映射化为
u v
x y
b1 b2
平移公式
(2) w ei z 为实数
由 w z , Arg w Arg z
则该映射保持 z 的模不变，辐角旋转 ．
二 分式线性映射的分解
(3) w kz (k 0)
则 w k z , Arg w Arg kz Arg z
该映射保持 z 的方向不变，模放大 k 倍．
C
r
O P
P
二 分式线性映射的分解
如图，从 P 作圆周 C 的切线 PT ，
CT
由 T 作 OP 的垂线 TP 与 OP 交于P ，
r
则 P 与 P关于圆周 C 对称．
O P
P
规定
无穷远点 关于圆周的对称点为圆心 O ．
二 分式线性映射的分解
复变函数与积分变换重要知识点归纳
复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数,()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.2.复数的表示1）模：22zx y =+；2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3）()arg z 与arctan y x之间的关系如下：当0,x >arg arctan y z x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩； 4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。
5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。
(二)复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
2）若121122,i i z z e z z e θθ==,则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z ez z θθ-=3.乘幂与方根1） 若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )nnn in z z n i n z e θθθ=+=。
复变函数与积分变换 课程笔记
笔记前言：本笔记的内容是去掉步骤的概述后，视频的所有内容。
本猴觉得，自己的步骤概述写的太啰嗦，大家自己做笔记时，应该每个人都有自己的最舒服最简练的写法，所以没给大家写。
再是本猴觉得，不给大家写这个概述的话，大家会记忆的更深，掌握的更好！所以老铁！一定要过呀！不要辜负本猴的心意！~~~【祝逢考必过，心想事成~~~~】【一定能过！！！！！】复变函数与积分变换第一课一、 复数的加减乘除举例：①(2+3i)+(3+4i)=(2+3)+(3+4)i =5+7i②(3+4i)−(2+3i)=(3−2)+(4−3)i =1+i③(2+3i)×(3+4i)=2×3+2×4i+3i×3+3i×4i =6+8i+9i −12 =−6+17i ④ 2+3i 3+4i=(2+3i)(3−4i)(3+4i)(3−4i)=6−8i+9i+1232−(4i)2=18+i 9+16=1825+125i二、 求复数的实部与虚部例1：已知z=9−10i ，试求Re(z)，Im(z)。
Re(z)=9，Im(z)=−10例2：已知z=3+3i ，w=z−1z+i ，试求Re(w)，Im(w)。
w=z−1z+i=3+3i−13+3i+i=2+3i 3+4i=1825+125i猴博士爱讲课Re(w)=1825，Im(w)=125三、 求某复数的共轭复数例1：已知z=9−10i ，试求 z̅。
z ̅=9+10i例2：已知z=3+3i ，试求z−1z ̅+7i 。
z−1z̅+7i =3+3i−13−3i+7i =2+3i3+4i =1825+125i四、 求模、辐角和辐角主值例1：已知z=1+i ，试求z 的模、辐角、辐角主值。
∵ Re(z)=1，Im(z)=1 ∴ |z|=√12+12=√2∵ arg(z)∈(−π,π]猴博士爱讲课∴ arg(z)=π4Arg(z)=π4+2kπ，k=0,±1,±2···例2：已知w=−2+2i ，试求w 的模、辐角、辐角主值。
(完整word版)复变函数与积分变换重要知识点归纳
复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数,()()Re ,Im x z y z ==.21i =-.注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小. 2.复数的表示1）模：22zx y =+；2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3）()arg z 与arctan y x之间的关系如下：当0,x > arg arctanyz x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩； 4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。
5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。
(二) 复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
2）若121122,i i z z e z z e θθ==, 则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z ez z θθ-=3.乘幂与方根1） 若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )nnn in z z n i n z e θθθ=+=。
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考点 1.复数的表示、几何意义 2.复数的运算 3.复数的方根
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课时一 复数
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重要程度 ★★★★
分值 6 12 34 38
常见题型 选择、填空 选择、填空 计算题、选择、填空
1.复数的表示、几何意义
（1） z x iy
x :实部， Re z
1. i 2 1 2. z x iy , z x iy
3. x1 iy1 x2 iy2 x1 x2 i y1 y2
4. x1 iy1 x2 iy2 x1x2 y1 y2 i x2 y1 x1 y2
5.
x1 iy1 x2 iy2
x1 iy1 x2 iy2 x2 iy2 x2 iy2
i 2 1
i3 i
i4 1
i5 i
z100 z75 z50 i425 i4183 i412 2 i0 i3 i2 1 i 1 i
... z1 r1ei1
z2 r2ei2
答案： B
cos 4 i sin 4 2
题 3.
复数
cos 3
i sin 3 3
的指数形式为
1. z1 z2 r1 r2ei12
A. 1
B.
2
C. 4
解： arctan1 4
arg z 4
答案: C
D.
y
4 O
x
i
z
题 2. 数 1 i 3 的指数形式为 22
，三角形式为
解： r z
x2 y2
1 2
2
3 2
2
1
arctan y
x3
3
z
rei
e
3
i
r
cos
i
sin
cos
。
2. z1 r1 ei12
z2 r2
解：原式
cos 4 i sin 4 2
cos 3 isin 3
3
ei 4 ei3
2 3
e24i e33i
e24i 33i
e17i
3.复数的方根
1
题 1. 设 z 1 3i ，求 z 6
解：把 z 化成三角表示式 z 1
解： z1 z2 1 2i 3 4i 1 3 2 4i 4 6i
z1 z2
1 2i 3 4i
1 2i3 4i 3 4i 3 4i
13 1 4i 2i3 2i 4i 3 4 6 i 8
32 4i2
32 42
11 2i 25
Re
z1 z2
11 25
整理得 x i y 2 x i y 2
x2 y 22 x2 y 2 2 两边平方得： x2 y 22 x2 y 2 2
化简得 y 0
题 5. 方程 z 2 3i 2 所代表的曲线是（ ）。
A. 中心为 2 3i ，半径为 2 的圆周
B. 中心为 2 3i ，半径为 2 的圆周
(3)代入
1
rn
，
2k
,
n
k 0,1,..., n 1
1
1 63
18
1
126ຫໍສະໝຸດ cos18i
sin
18
2
1 6
3
2
7 18
2
1
26
cos
7 18
i sin
7 18
3
1 6
3
2 2
13 18
3
1
26
cos
13 18
i
sin
13 18
4
1 6
3
2 3
19 18
题 2.求方程 z3 8 0 的所有根。
1
1
1
解： z3 8 z3 3 83 z 8 3
8 8cos isin
4
1
26
cos
19 18
i sin
19 18
5
1 6
3
2 4
25 18
5
1
26
cos
25 18
i
sin
25 18
6
1 6
3
2
5
31 18
6
1
26
cos
31 18
i sin 31 18
3
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复变函数 与
积分变换
习题答案
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C. 中心为 2 3i ，半径为 2 的圆周 D. 中心为 2 3i ，半径为 2 的圆周
解： z 2 3i 2 ， z 点到 2 3i 点的距离等于 2
答案： C
2、复数的运算
题 1. 设 z1 1 2i ， z2 3 4i ，则 z1 z2
，
Re
z1 z2
。
虚轴 y x
y :虚部， Im z
r : z 的模长， z x2 y2
r
O
:
z
的辐角
Arg z arg z
2k, ,
k
0, 1, 2, , 辐角主值，也叫主辐角
（2） z rei
指数表示
（3） z r cos i sin 三角表示
y
x 实轴
题 1. 设 z 1 i ,则 arg z （ ）。
3i
2
cos
3
i
sin
3
1
设
cos
i sin
2
cos
3
i sin
3
6
1
代入 2 6
2k
3
, k 0,1,...,5
6
1
n x iy x iy n
(1) x iy r cos i sin
(2)设 cos i sin
1
r cos i sin n
2
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题 2. 当 z 1 i 时， z100 z75 z50 的值等于（ ）。 1i
A. i
B. i
C. 1
D. 1
解：
z
1 1
i i
1 i2 1 i 1
i
1
2i 2
1
i
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y
i
1 i2 O
1 i4
x
i i3
i1 i
3
i
sin
3
1
。
y1
2
O
x
3i 2
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题 3. sin i cos 的三角表示式
，指数表示式
解：
sin
cos
2
cos
sin
2
sin
i cos
cos
2
i
sin
2
e i
2
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题 4. 把方程 z 2i z 2i 表示成直角坐标方程。 解：令 z x iy ，代入得 x iy 2i x iy 2i