高等数学：第一节 微分中值定理
微分中值定理【高等数学PPT课件】
可导，且
证：设辅助函数
显然 在 因此至少存在
上满足罗尔定理条件, 使得
推广： 存在
使
例3. 若
可导, 试证在其两个零点间一定有 的零点.
的零点. 的零点.
(2) 提示: 欲证:
使
只要证
亦即
二、拉格朗日中值定理
满足: (1) 在区间 [ a , b ] 上连续
(2) 在区间 ( a , b ) 内可导
证: 在 I 上任取两点
日中值公式 , 得
由 的任意性知, 在 I 上为常数 .
例1. 证明等式 证: 设
由推论可知
(常数)
令x=0,得
又 经验: 欲证
故所证等式在定义域
上成立.
时
只需证在 I 上
自证:
例2. 证明不等式 证: 设 中值定理条件, 因此应有
即 因为
故 推论2: 若函数f 和g 均在区间上可导,且
证: M 和最小值 m .
若M=m,则 因此
故在[ a , b ]上取得最大值
若 M > m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等,
不妨设
则至少存在一点
使
则由费马引理得
注意: 1) 定理条件条件不全具备, 结论不一定成立. 例如,
2) 定理条件只是充分的. 本定理可推广为 在 ( a , b ) 内可导, 且
至少存在一点
使
证: 问题转化为证
作辅助函数
显然 ,
在 [ a , b ] 上连续 , 在 ( a , b ) 内可导, 且 由罗尔定理知至少存在一点
思路: 利用逆向思维找即出定一理个结满论足成罗立尔.定证理毕条件的函数
拉格朗日中值定理的有限增量形式:
高等数学微分中值定理
定理2（拉格朗日中值定理） 设函数 f ( x ) 在 a , b 上连续，在 a , b 内可导， 则至少存在一点 a, b ，
f (b ) f (a ) . 使得 f ( ) ba
分析：如 图3.3，定理2实际是让我们证明曲线 f ( x )
B 点所在直线 其切线平行于 A， 上存在一点 , f ， y f ( ) l ( x ) 0 l ( x )， 即 y f ( x)
y
C
y f ( x)
o a
1
2
b
x
物理解释: 变速直线运动在 折返点处,瞬时速 度等于零.
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定理1（罗尔定理） 设
f ( x ) 在 a , b 上连续，在
y
y f (x)
(a , b) 内可导，且 f (a ) f (b)， o
则至少存在一点 a, b 使得 f ( ) 0 ．
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§3.1 微分中值定理
第三章
微分中值定理与导数的应用
第二我们给出了函数导数的定义，研究了导性态与函数的图像．
由于函数在一点的导数只反映函数的局部性态，因此要
用导数来研究函数的性质及其图像，就必须在函数的定义域
内研究函数的自变量、因变量与导数之间的关系，这一理论 就是微分中值定理，微分中值定理是研究函数性态和函数图 像的理论基础．
f (b ) f (a ) . 使得 f ( ) ba
f ( ) l ( x ) 0 f ( x ) l ( x ) x = 0．
因此，只要证明 f ( x ) l ( x ) 在 a , b 上满足罗尔定理条件， 定理即可证明. 事实上, 易知
微分中值定理【高等数学PPT课件】(2024版)
证: M 和最小值 m .
若M=m,则 因此
故在[ a , b ]上取得最大值
若 M > m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等,
不妨设
则至少存在一点
使
则由费马引理得
注意:
1) 定理条件条件不全具备, 结论不一定成立. 例如,
2) 定理条件只是充分的. 本定理可推广为 在 ( a , b ) 内可导, 且
至少存在一点
使
证: 问题转化为证
作辅助函数 显然 , 在 [ a , b ] 上连续 , 在 ( a , b ) 内可导, 且
由罗尔定理知至少存在一点 思路: 利用逆向思维找即出定一理个结满论足成罗立尔.定证理毕条件的函数
拉格朗日中值定理的有限增量形式:
令
则
推论: 若函数 在区间 I 上满足
则
在 I 上必为常数.
在( a , b ) 内至少存在一点 使 证明提示: 设
证 F(x) 在 [a , b] 上满足罗尔定理 .
例如,
例1 证明方程 至少有一个小于1的正实根.
证： 作辅助函数
显然
在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，并且
由罗尔定理知，在(0,1)内至少
存在一点续， 使
则在区间I上，f(x)=g(x)+c (c为常数).
证: 在 I 上任取两点
日中值公式 , 得
由 的任意性知, 在 I 上为常数 .
例1. 证明等式 证: 设
由推论可知
(常数)
令x=0,得
又
故所证等式在定义域
上成立.
经验: 欲证 时
只需证在 I 上
自证:
例2. 证明不等式 证: 设 中值定理条件, 因此应有
高等数学2(同济版)第三章复习资料
第三章 微分中值定理与导数的应用第一节 微分中值定理一、罗尔定理1.费马引理: 设函数)(x f 在点0x 的某个邻域)(0x U 内有定义，并且在0x 处可导，若对)(0x U x ∈∀，有)()(0x f x f ≤ (或)()(0x f x f ≥)，则0)('0=x f . 证明：不妨设)(0x U x ∈∀，有)()(0x f x f ≤. 若),(00x x x δ-∈，则有0)()(00≥--x x x f x f ，从而0)()(lim )('0000≥--=-→-x x x f x f x f x x ；若),(00δ+∈x x x ，则有0)()(00≤--x x x f x f ，从而0)()(lim )('0000≤--=+→+x x x f x f x f x x .又)(x f 在0x 处可导，有)(')(')('000x f x f x f +-==，从而0)('0=x f . 注：1°.费马引理的几何意义:若曲线)(x f y =上某一点的纵坐标不比它左右邻近点的纵坐标小 (或大)，而曲线在这点又有非铅直的切线，则这条切线必定是水平的. 2°.称使函数)(x f 导数)('x f 等于零的点为函数)(x f 的驻点(或稳定点、临界点). 2.罗尔定理:若函数)(x f 满足下列条件(1).在闭区间],[b a 上连续;(2).在开区间),(b a 内可导;(3). )()(b f a f =， 则至少存在一点),(b a ∈ξ，使0)('=ξf .证明：根据费马引理，只需证明)(x f 在),(b a 内取得最大值和最小值即可.由闭区间上连续函数的最值性知：函数)(x f 在],[b a 上一定取得最大值M 和最小值m ，这样只有两种情况：(1).若m M =，则)(x f 为常数，于是),(b a x ∈∀，有0)('=x f . 故),(b a ∈∀ξ，有0)('=ξf . (2).若m M >，则M 和m 中至少有一个不等于)(a f ，不妨令)(a f M ≠，从而)(b f M ≠，因此)(x f 只能在),(b a 内取得最大值，即),(b a ∈∃ξ，使M f =)(ξ，即),(b a x ∈∀，)()(ξf x f ≤，从而由费马引理知0)('=ξf .注：1°.罗尔定理的几何意义:若闭区间],[b a 上的连续曲线)(x f y =上每一点都存在非垂直的切 线，且在],[b a 的两个端点处的函数值相等，则该曲线上至少有一点处的切线是水平的，即 平行于x 轴.2°.罗尔定理的三个条件只要有一个不满足，都不能保证结论成立，例如：①．函数⎩⎨⎧=<≤=1,010,)(x x x x f 在闭区间]1,0[上不连续；②．函数)11()(≤≤-=x x x f 在闭区间)1,1(-内不可导； ③．函数)10()(≤≤=x x x f 有)1()0(f f ≠； 它们在各自给定的开区间上不存在水平的切线.3°.罗尔定理的推广形式: 若函数)(x f 在开区间),(b a 内可导，且)(lim )(lim x f x f bx ax -+→→=，则至少存在一点),(b a ∈ξ，使0)('=ξf .证明提示：设⎪⎩⎪⎨⎧=<<==-+b x b f b x a x f ax a f x F ,)(),(,)()(，则)(x F 在],[b a 上满足罗尔定理的条件.例1. 证明方程0155=+-x x 有且仅有一个小于1的正实根. 证明：(1).存在性：设15)(5+-=x x x f ，则)(x f 在]1,0[连续，且1)0(=f ，3)1(-=f ，由介值定理知存在)1,0(0∈x ，使0)(0=x f ，即方程有小于1的正根0x ，(2).唯一性：假设另有)1,0(1∈x 且01x x ≠,使0)(1=x f ，所以)(x f 在以0x 和1x 为端点的区间上满足罗尔定理的条件，于是在0x 和1x 之间至少存在一点ξ，使得0)(='ξf .但当)1,0(∈x 时，0)1(5)(4<-='x x f ，矛盾,所以假设不真.例2.设)(x f 是可导函数，证明在)(x f 的任意两个零点之间必有)()('x f x f -的零点. 证明：设21,x x 是)(x f 的两个零点，且21x x <，往证),(21x x ∈∃ξ，使得0)()('=-ξξf f .因为0]')([0)]()('[0)()('=⋅⇔=-⇔=-=--ξξξξξξx x x f e f f e f f ，所以只需证明),(21x x ∈∃ξ，使0]')([=⋅=-ξx x x f e .令)()(x f e x F x ⋅=-，则)(x F 在闭区间],[21x x 上连续，在开区间),(21x x 内可导，且0)()(21==x F x F ，则由罗尔定理知，存在一点),(21x x ∈ξ，使0)('=ξF ，从而0)()('=-ξξf f . 二、拉格朗日中值定理： 若函数)(x f 满足下列条件(1).在闭区间],[b a 上连续; (2).在开区间),(b a 内可导; 则至少存在一点),(b a ∈ξ，使ab a f b f f --=')()()(ξ.证明：往证0)()()(=---'ab a f b f f ξ.作辅助函数x ab a f b f x f x ---=)()()()(ϕ，显然)(x ϕ在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导，且)()()()(b a b b f a a f b a ϕϕ=--=，由罗尔定理知至少存在一点),(b a ∈ξ，使得0)(='ξϕ，即0)()()(=---'ab a f b f f ξ,或写成))(()()(a b f a f b f -'=-ξ. 注：1°. 拉格朗日中值定理几何意义：若闭区间],[b a 上的连续曲线弧)(x f y =除端点外处处具有不垂直于x 轴的切线，则该曲线弧上至少有一点处的切线平行于过两个端点的直线. 2°. 罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例，(因为若•b f a f )()(=，则有0)(='ξf .)而拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广.3°. 拉格朗日中值定理的有限增量形式: )10()(0<<+'=θ∆∆θ∆x x x f y .推导：由于),(b a ∈ξ，所以10<--<ab aξ，令ab a--=ξθ，则)(a b a -+=θξ，于是有)10()))((()()(<<--+'=-θθa b a b a f a f b f .若取0x 与x x ∆+0为],[b a 上任意两个不同点，则在以0x 和x x ∆+0为端点的区间内，有)10()(0<<+'=θ∆∆θ∆xx x f y .注：函数的微分给出了函数增量的近似公式：x x f y d y ∆∆⋅'=≈)(，一般说来，以y d 近似代替y ∆时所产生的误差只有当0→x ∆时才趋于零；而有限增量公式•x x x f y ∆∆θ∆)(0+'=)10(<<θ却给出了自变量取得有限增量x ∆(||x ∆不一定很小)时，函数增量y ∆的准确表达式.推论1：设函数)(x f 在开区间),(b a 内可导，),(b a x ∈∀，0)('=x f ⇔ 函数)(x f 在),(b a 内是常数.证明：充分性显然.必要性：任取),(,21b a x x ∈，不妨令21x x <，在闭区间],[21x x 上应用拉格朗日中值定理，知),(),(21b a x x ⊂∈∃ξ，使得0))((')()(1212=-=-x x f x f x f ξ,即)()(21x f x f =，由1x 和2x 的任意性知)(x f 在),(b a 内是常数.推论2：若函数)(x f 与)(x g 在开区间),(b a 内可导，且)(')('x g x f =(),(b a x ∈∀)，则在),(b a 内恒有C x g x f +=)()(，其中C 为常数. 例3. 证明不等式)0()1ln(1><+<+x x x xx. 证明：设)1ln()(t t f +=，则)(t f 在],0[x 上满足拉格朗日中值定理条件，因此应有)0)(()0()(-'=-x f f x f ξ(x <<ξ0)，即ξ+=+1)1ln(x x (x <<ξ0)，因为x xx x <+<+ξ11，故)0()1ln(1><+<+x x x x x . 三、柯西中值定理：若函数)(x f 与)(x F 满足下列条件(1).在闭区间],[b a 上连续;(2).在开区间),(b a 内可导;(3). ),(b a x ∈∀，0)('≠x F ; 则至少存在一点),(b a ∈ξ，使)(')()()()()(ξξF f a F b F a f b f '=--.证明：往证0)()(')()()()(='---ξξf F a F b F a f b f .作辅助函数)()()()()()()(x f x F a F b F a f b f x ---=ϕ，显然)(x ϕ在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导，且)()()()()()()()(b a F b F b F a f a F b f a ϕϕ=--=，由罗尔定理知至少存在一点),(b a ∈ξ，使得0)(='ξϕ，即)()()()()()(ξξF f a F b F a f b f ''=--.注：1°.柯西中值定理几何意义：若闭区间],[b a 上的连续曲线弧AB ：⎩⎨⎧==)()(x f Y x F X 除端点外处处具有不垂直于x 轴的切线，则该曲线弧上至少有一点))(),((ξξf F 处的切线的斜率)(')(ξξF f '与弦AB 的斜率)()()()(a F b F a f b f --相同，即切线平行于过两个端点的直线.2°. 拉格朗日中值是柯西中值定理的特例，因为若x x F =)(，则a •b a F b F -=-)()(，1)('=x F ，从而)(1)()()()()()()(ξξf f a b a f b f a F b F a f b f '='=--=--.思考题：柯西定理的下述证法对吗?由于函数)(x f 与)(x F 都满足拉格朗日中值定理的条件，于是⎭⎬⎫∈-'=-∈-'=-),(,))(()()(),(,))(()()(b a a b F a F b F b a a b f a f b f •ξξξξ)(')()()()()(ξξF f a F b F a f b f '=--⇒. 两个等式中的ξ未必相同，故上述证法不正确.例4. 设函数)(x f 在闭区间]1,0[上连续，在开区间)1,0(内可导，证明至少存在一点)1,0(∈ξ，使)]0()1([2)(f f f -='ξξ. 证明：只需证明ξξ2)(01)0()1(f f f '=--，而ξξξ=''='x x x f f )()(2)(2. 设2)(x x F =，则)(x f 与)(x F 在]1,0[上满足柯西中值定理的条件，因此至少存在一点)1,0(∈ξ,使得ξξ2)(01)0()1()0()1()0()1(f f f F F f f '=--=--，即)]0()1([2)(f f f -='ξξ.例5. 试证至少存在一点)e ,1(∈ξ，使ξln cos 1sin =. 证法一：用柯西中值定理 ，令)sin(ln )(x x f =，x x F ln )(=，则)(x f 与)(x F 在],1[e 上满足柯西中值定理条件, 因此至少存在一点e),1(∈ξ，使)()()1((e))1((e)ξξF f F F f f ''=--，即ξξξξln cos /1/)cos(ln 1sin ==. 证法二：用罗尔中值定理 ，令x x x f ln 1sin )sin(ln )(⋅-=，则)(x f 在],1[e 上满足罗尔中值定理条件,因此至少存在一点e),1(∈ξ，使0)(='ξf ，即01sin 1)cos(ln 1)('==⎪⎭⎫⎝⎛-==ξξx x x x x x f ，从而有ξln cos 1sin = 总结：微分中值定理的应用 (1). 证明恒等式； (2). 证明不等式；(3). 证明有关中值问题的结论. 关键: 利用逆向思维设辅助函数.第二节 洛比达法则一、型未定式的洛比达则(仅给出0x x →的情形，对于∞→x ，也有类似的结论.) 定理 1.若函数)(x f 与)(x F 在点0x 的某去心邻域)(0x U o内满足：(1).0)(lim )(lim 0==→→x F x f x x x x ；(2). )(x f 与)(x F 在)(0x U o均可导，且0)(≠'x F ； (3). A x F x f x x =''→)()(lim(A 为有限数或∞)， 则A x F x f x F x f x x x x =''=→→)()(lim )()(lim00.证明：不妨假设0)()(00==x F x f ，在邻域)(0x U o内任取一点0x x ≠，则)(x f 与)(x F 在以0x 和x 为端点的区间内满足柯西中值定理的条件，故在0x 和x 之间至少存在一点ξ，使)()()()()()()()(00ξξF f x F x F x f x f x F x f ''=--=， 从而)()(lim )()(lim )()(lim000x F x f F f x F x f x x x x x x ''=''=→→→ξξ. 推论：若)()(l i mx F x f x x ''→仍然是00型未定式，且)('x f 与)('x F 满足定理1的条件，则有)('')(''lim )()(lim )()(lim000x F x f x F x f x F x f x x x x x x →→→=''=,且可以以此类推. 二、∞∞型未定式的洛比达则(仅给出0x x →的情形，对于∞→x ，也有类似的结论.) 定理 2.若函数)(x f 与)(x F 在点0x 的某去心邻域)(0x U o内满足：(1). ∞==→→)(lim )(lim 0x F x f x x x x ；(2). )(x f 与)(x F 在)(0x U o均可导，且0)(≠'x F ； (3).A x F x f x x =''→)()(lim(A 为有限数或∞)，则A x F x f x F x f x x x x =''=→→)()(lim )()(lim00.证明：)()(lim)(')('lim )(/)(')(/)('lim )(/1)(/1lim )()(lim 2222000000x F x f x f x F x f x f x F x F x f x F x F x f x x x x x x x x x x →→→→→⋅=--==， 整理得1)()(lim )(')('lim 00=⋅→→x F x f x f x F x x x x ，故A x F x f x F x f x x x x =''=→→)()(lim )()(lim 00三、其他未定式： 1. ∞⋅0型：取倒数gfg f 1=⋅转化成00/10=∞型； 2. ∞-∞型：通分fg f g g f g f 11111111⋅-=-=-转化成00；3. 00型、 0∞型、∞1型：取对数f g g f ln e =转化成∞⋅0型. 注：1°.若)()(limx F x f ''因∞≠而不存在时，求)()(lim x F x f 不能用洛比达法则，)()(lim x F x f 可能存在. 例如：1cos 1lim sin limx x x x x x +=++∞→∞∞+∞→不存在，但1sin 1lim sin lim =⎪⎭⎫⎝⎛+=++∞→+∞→x x x x x x x . 2° .在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决计算问题.例如：x x xx x x x x x 2221lim 1lim 1lim +=+=++∞→∞∞+∞→∞∞+∞→，但实际上111lim 1lim 22=+=++∞→+∞→x x x x x . 3° .在用洛必达法则求极限时可结合无穷小量等价代换、重要极限等方法同时使用.例如：313tan lim 31sec lim tan lim sin tan lim ~tan 220)sectan 1(220030sin ~2022x x x x x x x xx x x x xx x x x x x x x ==-=-=-→=+→→→ 例1. babx b ax a bx ax x x ==→→cos cos lim sin sin lim0000.例2. 2346266lim 12333lim 123lim100221002331==-=---=+--+-→→→x x x x x x x x x x x x x .例3. 616sin lim 3cos 1lim sin lim00020030==-=-→→→x x x x x x x x x x .例4. 122lim 1lim 11lim arctan 2lim 2200220-==+=-+-=-∞+→∞∞∞+→∞+→∞+→x x x x xx x xx x x x π.例5. 01lim 1lim )0(ln lim 1===>+∞→-+∞→∞∞+∞→nx n x n x nx nx x n x x .例6. )00(elim >>+∞→λλ ,n x x nx .解：(1). n 为正整数的情形.0e !lime )1(lime lim e lim221===-==+∞→∞∞∞∞-+∞→∞∞-+∞→∞∞+∞→xn x xn x x n x x nx n x n n nx x λλλλλλλ . (2). n 不为正整数的情形: 存在正整数k ，使当1>x 时，有1+<<k n k x x x ，从而x k x n x k x x x λλλe e e 1+<<，由 (1) 知0e lim e lim 1==++∞→+∞→x k x x k x x x λλ，于是由夹逼准则知0e lim =+∞→x n x x λ. 例7. 0lim lim ln lim )0(ln lim 0110000=-=-==>++++→---→∞∞-→∞⋅→nx nx x x x n x x nx n x n x nx . 例8. 0sin cos lim cos sin 1lim cos sin cos 1lim )tan (sec lim 2/02/2/2/=--=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-→→→∞-∞→x x x x x x x x x x x x x ππππ. 例9. 1lim lim 0lim /1ln lim0ln lim ln 0000000======-∞∞∞⋅→→+→+→+→++e eeee x xx xx x xx x xx x x x .例10. 222)sin ln(cos lim)sin ln(cos 011lim )sin (cos lim x x x x xx x x x x x x eex x x ++→→→∞==+21)sin (cos 2cos lim)sin (cos 2cos lim000e eex x x xx x x x xx x x ===++→→.第四节 函数的单调性与凹凸性一、函数的单调性1. 单调函数：设函数)(x f 在区间],[b a 上有定义，若),(21b a x x ∈∀，，只要21x x <，就有)()(21x f x f <(或)()(21x f x f <)，则称)(x f 在],[b a 上是单调增加(或单调减少).统称单调增加与单调减少的函数为单调函数； 称区间],[b a 为函数的的单调区间. 2.函数单调性的判定法定理1. 设函数)(x f 在区间],[b a 上连续，在区间),(b a 内可导， (1). ),(b a x ∈∀，0)('>x f .⇔)(x f 在],[b a 上单调增加. (2). ),(b a x ∈∀，0)('<x f .⇔)(x f 在],[b a 上单调减少. 证明：只证明(1)的情形.充分性：任取),(,21b a x x ∈，不妨令21x x <，在区间],[],[21b a x x ⊂上应用拉格朗日中值定理，得0))(()()(1212>-'=-x x f x f x f ξ ),(21x x ∈ξ，故)()(21x f x f <，即)(x f 在],[21x x 上单调增加，再由21,x x 的任意性，有)(x f 在],[b a 上单调增加. 必要性：由于)(x f 在],[b a 上单调增加，则),(b a x ∈∀，0)()(>-+xx f x x f ∆∆，又)(x f 在),(b a 内可导，故0)()(lim )('0>-+=→xx f x x f x f x ∆∆∆.注：1° .单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点，即不可导点.例如, ),(,)(32∞+-∞∈=x x x f ，332)('xx f =，但∞==0)('x x f .2°.如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性. 例如, ),(,)(3∞+-∞∈=x x x f ，23)('x x f =，但0)('0==x x f .例1.确定函数31292)(23-+-=x x x x f 的单调区间. 解：函数)(x f 的定义域为),(∞+-∞，函数)(x f 的导数为：12186)(2+-='x x x f )2)(1(6--=x x ，令0)(='x f ，解得1=x ，2=x ，于是),(∞+-∞被分成了三个子区间：]1,(-∞、]2,1[以及],2[∞+， 在)1,(-∞内，0)(>'x f ，故)(x f 在]1,(-∞上单调增加； 在)2,1(内，0)(<'x f ，故)(x f 在]1,(-∞上单调减少； 在],2(∞+内，0)(>'x f ，故)(x f 在],2[∞+上单调增加. 例2. 证明：当1>x 时，xx 132->.证明：令⎪⎭⎫ ⎝⎛--=x x x f 132)(，则)1(111)('22-=-=x x x xx x f .当1>x 时0)('>x f ，故)(x f 在),1(+∞上单调增加，从而)1()(f x f >0=，即0132>⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x ，整理得x x 132->.二、函数的凹凸与曲线的拐点1.函数的凹凸性：设函数)(x f 在区间I 上连续， (1).若对I x x ∈∀21,，恒有2)()(22121x f x f x x f +<⎪⎭⎫⎝⎛+，则称)(x f 在I 上是凹函数，或称)(x f 在I 上的图形是(向上)凹的.(2).若对I x x ∈∀21,，恒有2)()(22121x f x f x x f +>⎪⎭⎫⎝⎛+，则称)(x f 在I 上是凸函数，或称)(x f 在I 上的图形是(向上)凸的.2.曲线的拐点：若曲线)(x f y =在经过点))(,(00x f x 时改变了凹凸性，则称点))(,(00x f x 是曲线)(x f y =的一个拐点.直接利用定义判断函数的凹凸性比较困难，如果函数)(x f 在区间I 内可导，可利用导数的单调性判断函数的凹凸性. 3.函数的凹凸性的判定定理2. 设函数)(x f 在区间I 内可导，(1).若导函数)('x f 在I 内单调增加，则)(x f 在区间I 上为凹函数. (2).若导函数)('x f 在I 内单调减少，则)(x f 在区间I 上为凸函数. 证明：只证(1)的情形证明.I x x ∈∀21,,不妨令21x x <,记2210x x x +=，则201x x x <<，在],[01x x 和],[20x x 上分别应用拉格朗日中值定理，存在),(011x x ∈ξ，),(202x x ∈ξ，使得))((')())((')()(010001101x x x f x f x x f x f x f -+>-+=ξ， ))((')())((')()(020002202x x x f x f x x f x f x f -+>-+=ξ，于是有2)()(22121x f x f x x f +<⎪⎭⎫ ⎝⎛+，即)(x f 在区间I 上为凹函数. 由定理2直接得到如下的定理.定理3. 设函数)(x f 在区间I 内二阶可导，(1).若I x ∈∀，0)(''>x f ，则)(x f 在I 上为凹函数.(2).若I x ∈∀，0)(''<x f ，则)(x f 在I 上为凸函数.注：拐点的判别法如下:若函数)(x f y =在点0x 连续，0)(0=''x f 或不存在，但)(x f ''在点0x 两侧异号，则点))(,(00x f x 是曲线)(x f y =的一个拐点.例3. 判断曲线x y ln =的凹凸性. 解：由于x y 1'=，01''2<-=xy ，故曲线x y ln =在),0(+∞上是凸的. 例4. 判断曲线3x y =的凹凸性.解：由于23'x y =，x y 6''=，当),0[+∞∈x 时，06''≥=x y ，故曲线3x y =在),0[+∞上是凹的；当]0,(-∞时，06''≤=x y ，故曲线3x y =在),0[+∞上是凸的.例5. 求曲线14334+-=x x y 的凹凸区间及拐点.解：函数14334+-=x x y 的定义域为),(+∞-∞.231212x x y -=';x x y 24362-=''. 令0323624362=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=''x x x x y ，解得01=x ，322=x . 01=x 和322=x 将区间),(+∞-∞分成三部分]0,(-∞、⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,0，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞+,32. 在]0,(-∞内，0≥''y ，故该曲线在]0,(-∞内是凹的； 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,0内，0≤''y ，故该曲线在⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,0内是凸的； 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞+,32内，0≥''y ，故该曲线在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞+,32内是凹的，故点)1,0(和⎪⎭⎫ ⎝⎛2711,32是该曲线的两个拐点. 例6.求曲线3x y =的拐点.解：函数3x y =在),(∞+-∞内有定义，当0≠x 时，3231'-=x y ，3592''--=x y .当0=x 时，'y 与''y 都不存在. 0=x 将),(∞+-∞分成两个区间：]0,(-∞；),0[∞+. 在)0,(-∞内，092''35>-=-x y ，故该曲线在]0,(-∞时凹的； 在),0(∞+内，092''35<-=-x y ，故该曲线在]0,(-∞时凸的； 于是点)0,0(是该曲线的一个拐点.思考题：设在]1,0[上，0)(>''x f ，则)0(f '，)1(f '，)0()1(f f -或)1()0(f f -的大小顺序是 ( B ).A ．)0()1()0()1(f f f f ->'>'；B . )0()0()1()1(f f f f '>->'；C . )0()1()0()1(f f f f '>'>-；D ．)0()1()0()1(f f f f '>->'.提示：)(0)(x f x f '⇒>'' 单调增加 )0()1(f f '>'⇒；)10()()0()1(<<'=-ξξf f f .第五节 函数的极值与最值一、函数的极值及其求法1. 函数极值的定义: 设函数)(x f 在),(b a 内有定义，点),(0b a x ∈，若存在0x 的某个邻域),()(0b a x U ⊂，对)(0x U x o ∈∀，若)()(0x f x f <，则称0x 是)(x f 的极大值点，称)(0x f 是)(x f 的极大值.若)()(0x f x f >，则称0x 是)(x f 的极小值点，称)(0x f 是)(x f 的极小值. 极大值点与极小值点统称为极值点.注：1°.函数的极值是函数的局部性质.2°.可导函数的极值点一定是其驻点(费马引理)，但反之未必，例如：对函数3)(x x f =，0=x 是其驻点，但不是其极值点，因为3)(x x f =是单调增加的.3°.连续函数的极值点还可能在不可导点处取得，但反之未必，即连续函数的不可导点也不一定都是极值点，例如：对函数||)(x x f =，0=x 是其不可导点，但||)(x x f =在0=x 取得极小值. 例如：对函数31)(x x f =，0=x 是其不可导点，但在0=x 的任何邻域内，函数)(x f 既有正值又有负值.可能极值点：称函数的驻点及不可导点为函数的可能极值点.2.函数极值的判别方法:定理1(第一判别法)：设函数)(x f 在点0x 的某邻域),(0δx U 内连续，在),(0δx U o 内可导，(1).若),(00x x x δ-∈时，0)('>x f ，而),(00δ+∈x x x 时，0)('<x f ，则)(x f 在点0x 处取得极大值.(2).若),(00x x x δ-∈时，0)('<x f ，而),(00δ+∈x x x 时，0)('>x f ，则)(x f 在点0x 处取得极小值.(3).若),(00δδ+-∈x x x 时，)('x f 的符号保持不变，则)(x f 在点0x 处没有极值. 证明：(1). ),(00x x x δ-∈∀时，0)('>x f .⇒)(x f 在),(00x x δ-内单调增加，故)()(0x f x f <， ),(00δ+∈∀x x x 时，0)('<x f .⇒)(x f 在),(00x x δ-内单调减少，故)()(0x f x f <，因此)(x f 在点0x 处取得极大值.类似可证(2)、(3).注：求函数极值的步骤.(1).求出)('x f(2).求出)(x f 的所有驻点及不可导点；(3).考察)('x f 在每个驻点的左右两侧是否变号，判定它们是否为极值点，若是极值点，判断出是极大值点还是极小值点.(4).求出)(x f 的极值.例1. 求函数32)1()4()(+⋅-=x x x f 的极值.解：(1).当1-≠x 时，333313213)1(513)4(213)1(3)1(32)4()1()('+-=+--++=+⋅-++=-x x x x x x x x x x f . (2).令0)('=x f ，得驻点1=x ，1-=x 是)(x f 的不可导点.(3).在)1,(--∞内，0)('>x f ；在)1,1(-内，0)('<x f ，故不可导点1-=x 是)(x f 的一个极大值点.又在),1(+∞内，0)('>x f ，故驻点1=x 是)(x f 的一个极小值点.(4).极大值为0)1(=-f ；极小值为343)1(⋅-=f .我们还可以利用二阶导数在驻点处的符号判定驻点是否为极值点.定理2(第二判别法)：设函数)(x f 在点0x 处具有二阶导数且0)('0=x f ，0)(''0≠x f ，(1).若0)(''0<x f 时，则)(x f 在点0x 处取得极大值.(2).若0)(''0>x f ，则)(x f 在点0x 处取得极小值.证明：(1).由于0)(''0<x f ，按二阶导数的定义有0)(')('lim )(''0000<--=→x x x f x f x f x x ，根据函数极限的局部保号性，当x 在0x 的足够小的去心邻域内时，0)(')('00<--x x x f x f ，但0)('0=x f ，故有0)('0<-x x x f .由此可见，在此邻域内，当0x x <时，0)('>x f ；当0x x >时，0)('<x f ，于是由第一判别法知)(x f 在点0x 处取得极大值.注：若在驻点0x 处0)(''0=x f ，则用第二判别法无法判定0x 是否为极值点，此时或者借助于更高阶的导数，或者用第一判别法判定驻点是否为极值点.定理3 (判别法的推广) 设函数)(x f 在点0x 具有直到n 阶导数，且0)()('')('0)1(00====-x f x f x f n ，0)(0)(≠x f n ，(1).若n 为偶数，则0x 为极值点，且当0)(0)(>x f n 时，0x 是)(x f 的极小值点；当0)(0)(<x f n 时，0x 是)(x f 的极大值点.(2).若n 为奇数，则0x 不是极值点.证明：利用)(x f 在点0x 的泰勒公式得))(()(!)()()(000)(0n n x x o x x n x f x f x f -+-=-，当x 充分接近0x 时, 上式左端正负号由右端第一项确定, 故结论正确.例2. 求函数1)1()(32+-=x x f 的极值.解：(1).求导数：22)1(6)(-='x x x f ,)15)(1(6)(22--=''x x x f .(2).求驻点：令0)(='x f ，得驻点1,0,1321==-=x x x .(3).判定：因为06)0(>=''f ，故0)0(=f 为极小值.又0)1()1(=''=-''f f ，故第二判别法失效， ①．用第一判别法判别：由于)(x f '在1±=x 左右邻域内不变号，所以)(x f 在1±=x 无极值. ②．用推广判别法判别：由于)35(24)(2-='''x x x f ，0)1(≠±'''f ，所以)(x f 在1±=x 无极值.二、函数的最值在讨论了函数极值及其求法的基础之上，我们来进一步讨论函数在一个区间上的最大值和最小值的求法问题.1.函数在区间上的最值：假定函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内除了有限个点外可导，且至多有有限多个驻点,则)(x f 最值只能在可能极值点或端点处达到.2.求函数最值的方法:(1). 求出函数)(x f 在),(b a 内的所有可能极值点：m x x x ,,,21 .(2). 最大值: {})(),(,)(,,)(,)(max 21b f a f x f x f x f M m =；最大值: {})(),(,)(,,)(,)(min 21b f a f x f x f x f m m =.注：1°.当)(x f 在],[b a 内只有一个可能极值点,若在此点取极值, 则也是最值.2°.当)(x f 在],[b a 上单调时，最值必在端点处达到.3°.对应用问题, 有时可根据实际意义判别求出的可能点是否为最大值点或最小值点. 例3.求函数|23|)(2+-=x x x f 在]4,3[-上的最大值与最小值.解：由于⎪⎩⎪⎨⎧∈-+--∈+-=),2,1(,23],4,2[]1,3[,23)(22x x x x x x x f ，有⎩⎨⎧∈+--∈-=),2,1(,32],4,2[]1,3[,32)('x x x x x f . 在)4,3(-内，)(x f 的驻点为23=x ；不可导点为1=x 、2=x . 由于20)3(=-f ，0)1(=f ，4123=⎪⎭⎫ ⎝⎛f ，0)2(=f ，6)4(=f ， 故20)3()(max =-=f x f ，0)2()1()(min ===f f x f .。
经典洛必达法则
即 f ( ) 0
例 设0 a b,证明b a ln b b a .
b
aa
证明： 设f ( x) ln x,
f ( x)在［a,b］上满足拉格朗日中值定理的条件，
所以， (a,b),使 f (b) f (a) f ( )(b a),
因为f ( x) 1 ,上式即为
拉格朗日（Lagrange）中值定理(1)如果函数 f(x)在 闭区间[a, b]上连续(,2)在开区间(a, b)内可导,那末在 (a, b)内至少有一点(a b)，使等式
f (b) f (a) f ' ()(b a) 成立.
推论 如果函数 f ( x) 在区间 I 上的导数恒为零, 那末 f ( x) 在区间 I 上是一个常数.
lim sin x sin
x 1
2
2
1.
2
例
求
lim
x0
cos
x
x3
1
x
.
(
0 0
)
sin x 1
解 原式 lim x0
2 3x2
1 x
.
例
求
lim
x1
x
x3 3
x
3x 2
x
2
1
.
(0) 0
解：
×
正解：
高等数学第四章课件.ppt
e 解 原式 lim e xln x x0
lim x ln x
x0
( 00 )
ln x lim x0 1
e x
1
e lim x0
x 1
x2
e0 1.
洛必达法则
型
00 ,1 , 0 型
0型 0 型
0 型
第三节 函数的单调性
一、函数单调性的判定方法 二、函数单调性的应用
其中 C 为常数．
三、柯西中值定理
定理 设函数f(x)与g(x)满足： (1)在闭区间[a,b]上都连续，
(2)在开区间(a,b)内都可导，
(3)在开区间(a,b)内，g(x) 0,
则至少存在一点 (a,b)，使 f (b) f (a) f ( ) .
g(b) g(a) g( )
在柯西中值定理中，若取g(x)=x，则得到拉格 朗日中值定理.因此柯西中值定理可以看成是拉格朗 日中值定理的推广.
定理 3 设函数 f (x) 在点 x0 处存在二阶导 数，且 f (x0 ) 0, f (x0 ) 0 ，（1）若 f (x0 ) 0 ， 则 函 数 f (x) 在 点 x0 处 取 得 极 大 值 ；（ 2 ） 若 f (x0 ) 0 ，则函数 f (x) 在点 x0 处取得极小值．
求极值的步骤:
(1) 求出导数 f ( x); (2) 求出f ( x)的全部驻点，即方程 f ( x) 0的根;
(3) 考察 f ( x) 在驻点左右的正负号,判断极值点; (4) 求出各极值点处的函数值.
三、函数的最值
函数最大值和最小值统称为函数的最值；使 得函数取得最大值或最小值的点，统称为函数的 最值点．
f (0) 0 ，从而推出当 x 0 时， f (x) 0 ，即
第一节 微分中值定理与洛必达法则_高等数学_[共6页]
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第三章导数的应用– 59 –第三章 导数的应用在上一章中，我们已经研究了导数与微分的概念及运算。
本章在介绍微分中值定理的基础上引出求极限的新方法—洛必达法则，并以导数为工具进一步研究函数以及曲线的某些性态，以及利用这些知识解决一些实际问题。
本章要求：了解罗尔定理、拉格朗日中值定理的条件和结论，会用拉格朗日定理证明简单的不等式；掌握洛必达法则，会用它求未定式极限；了解驻点、极值点、极值、凹凸、拐点等概念；掌握用一阶导数求函数单调区间、极值与极值点的方法，了解可导函数极值存在的必要条件；知道极值点与驻点的区别与联系；会利用函数的增减性证明简单的不等式；会用二阶导数求曲线的凹凸区间，会求曲线的拐点；会求曲线的水平渐近线和垂直渐近线；掌握求解一些简单的实际问题中最大值和最小值的方法，以几何问题、经济问题为主。
第一节 微分中值定理与洛必达法则一、微分中值定理微分中值定理在微积分理论中占有重要地位，它们是应用导数研究函数性态的理论基础。
微分中值定理主要包括罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西定理。
1．罗尔定理定理1 若函数()f x 满足下列条件：（1）在闭区间[]a b ，上连续；（2）在开区间()a b ，内可导；（3）在区间端点处的函数值相等，即()()f a f b =；那么在区间()a b ，内至少存在一点ξ，使得()0f ξ′=。
罗尔定理的几何意义：如图3-1所示，函数()y f x =在[]a b ，上连续，在()a b ，内可导说明了函数()y f x =的图形是一条光滑的连续曲线，且除端点外处处都有不垂直于x 轴的切线，()()f a f b =说明两端点的纵坐标相等，定理的结论表示，曲线图3-1高等数学– 60 – 上至少存在一点（曲线的最高点或最低点），该点处的切线是水平的。
【例1】验证函数()f x =在区间[03]，上满足罗尔定理，并求出ξ的值。
解函数()f x =在区间[03]，上显然满足罗尔定理的前两个条件，且(0)0f =，(3)0f =，即第三个条件也成立，因此函数()f x =在区间[03]，上满足罗尔定理。
高等数学第一节 微分中值定理 洛必达法则
2 1. 2
2020/4/30
例 14 计算l i m 1x2 . x x
解 所求极限为 “ ” 型若. 不断运用法则，则有
1x2
( 1x2)
lim
lim
lim
x
x x
x (x)
x 1 x2
l i m (x)
1x2
lim
.
( x 1x2 ) x x
解 显然, f (x) 在区间 [1, 2]，[2, 3] 上都满
足罗尔定理，所以至少有 x1 (1, 2)，x2 (2, 3)， 使 f (x1) = 0， f (x2) = 0， 即方程 f (x) = 0 至少
有两个实根，又因为 f (x) = 0 是一个一元二次方程， 最多有两个实根，所以方程 f (x) = 0 有且仅有两个 实根，且分别在区间(1, 2) 和 (2, 3)内.
”型未定型，我们连续 n
x l ie x m x n x l in m e x n 1 x x l in ( m n e 1 x ) x n 2 x l ie n x m ! 0 .
2020/4/30
三、其他类型未定型极限的计算
未定型的类型虽然很多， 但是
“0
第三章 导数的应用
第一节 微分中值定理 洛必达法则
一、微分中值定理 二、洛必达法则 三、其他类型未定型极限的计算
2020/4/30
一、微分中值定理
罗尔定理 如果函数 y = f (x) 在闭区间[a, b] 上连续，在开区间 (a, b)内可导， 且在区间端点处 的函数值相等，即 f (a) = f (b) ，那么至少存在一点
exco xs exsixn
3-1第一节 微分中值定理
再证明只有一个实根,用反证法.假设还有x1∈(a,b), x1∈(a,b),x1≠x0,使f(x1) =0.那么由罗尔定理知道,必 定存在一点ξ ∈(a,b),使f ‘(ξ)=0,则与题设导数恒 不为零相矛盾.因此方程f(x)=0只有一个实根x0.
高 二 拉格朗日(Lagrange)定理 等 定理2 设函数f(x)在闭区间[a,b] 数 y f(x)=k B 学 A 电 上连续,在开区间(a,b)内可导,则 f(b) f(ξ) 子 f(a) x 教 在(a,b)内至少存在一点ξ,使得 o a ξ1 ξ2 b 案
高 等 数 学 电 子 教 案
(中值定理与导数的应用)
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
高 等 数 学 电 子 教 案
第三章
微分中值定理与导数的应用
这一章提供了各种各样的方法来研究函数。这其中 又提供了两种求极限的方法---洛必达法则与泰勒式；另 外利用微分中值定理,函数的单调性，凹凸性，泰勒公式
a
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
即f(a)=f(b)，且除了端点外
b
处处有不垂直于x轴的切
线。
高 等 数 学 电 子 教 案
可发现在曲线弧的最高点或最低点C处，曲线有水
平的切线.如果记C点的横坐标为ξ ，那么有 f ' ( ) = 0。我 们用数学语言来描述这个情况,先介绍费马定理。
引理(费马定理) 设函数f(x)在点x0的某一邻域U(x0)内有
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
m ξ2 b
x
高 等 数 学 电 子 教 案
定理1的几何意义是: 对于满足条件的f(x)在(a,b)内至少有
一点ξ(即中间值),使f(x)在x=ξ时有水平切线,即f ’(ξ)=0. 罗尔中值定理: 若函数y=f(x)满足条件 (1)在闭区间[a,b]上连续;
《高等数学》 第三章
1
1
2
(b
a)
，所以
arctan b arctan a
1
12
(b a)
„baBiblioteka ．第一节 微分中值定理例 3 证明 arctan x arccot x π ． 2
证明 令 f (x) arctan x arccot x ，则 f (x) 在 R 上可导，且 xR 有
x
第一节 微分中值定理
例 4 如 果 f (x) 在 [a ，b] 上 连 续 ， 在 (a ，b) 内 可 导 ， 并 且
f (a) f (b) 0 ．证明，至少存在一点 (a ，b) ，使得 f () f () ．
证明 令 F (x) f (x)ex ，由已知，不难验证 （1） F(x) 在闭区间[a ，b] 上连续；（2） F(x) 在开区间 (a ，b) 内可导． 又因为 f (a) f (b) 0 ，所以 F(a) F(b) 0 ．因此， F(x) 在 [a ，b] 满足
f (b) f (a) f ( ) ． g(b) g(a) g( )
第二节 洛必达法则
在讲述极限运算法则的时候，经常会遇到类似下面的问题：
（1） lim x2 1 ； x1 x 1
（2） lim x ． x 1 x2
第一节 微分中值定理
二、拉格朗日（Lagrange）中值定理
定理 2 （拉格朗日中值定理）如果函数 f (x) 满足： （1） f (x) 在闭区间[a ，b] 上连续； （2） f (x) 在开区间 (a ，b) 内可导． 则在 (a ，b) 内至少存在一点 ，使
f ( ) f (b) f (a) ．
同济大学高等数学第六版第一册第三章第一节微分中值定理
3) 罗尔定理的结论中不是唯一的. 4) 将罗尔定理的条件（2）换为[a,b]上可导,结论 仍成立.
设 p ( x) 为多项式函数, 证明:如果方程 p' ( x) 0 没有 例1 实根,则方程 p( x) 0 至多有一个实根.
3. 若 f (x )可导, 试证在其两个零点间一定有
f ( x ) f ( x ) 的零点.
1. 设 f ( x) C[ 0 , ], 且在 ( 0 , )内可导, 证明至少存
在一点 ( 0 , ) , 使 f ( ) f ( ) cot .
提示: 由结论可知, 只需证
f (b) f (a ) 结论亦可写成 f ( ). ba
几何解释:
在曲线弧 AB 上至少有 一点 C , 在该点处的切 线平行于弦 AB.
y
C
y f ( x)
M N
D
Байду номын сангаас
B
A
o a
1
x
2 b
x
证 分析: 条件中与罗尔定理相差 f (a ) f (b).
f (b) f (a ) ( x a ). 弦AB方程为 y f (a ) ba
证明: 假设方程 p( x) 0 有两个实根 x1 和 x2 ( x1 x2 ) , 则 p( x1 ) p( x2 ) 0 .
因为多项式函数 p ( x) 在 x1 , x2 上连续,在 ( x1 , x2 ) 内可导, 根据罗尔定理,必然存在一点 x1, x2 ,使得 p ( ) 0 ,这样
由此得 f ( x ) 0. (a , b ),
高等数学：第3章 第一节：微分中值定理
罗尔（Rolle）定理 如果函数 f ( x) （1）在闭区间 [a, b]上连续, （2）在开区间(a, b)内可导,
（3）在区间端点的函数值相等，即 f (a) f (b),
那末在(a, b)内至少有一点(a b),使得函数
f ( x)在该点的导数等于零，即 f ' () 0
证 (2) 若 M m. f (a) f (b),
y x
o 2
2x
在 [2,2] 上, 满足罗尔定理的条件 (1) 和 (3), 但 f (0) 不存在, 不满足条件 (2), 在区间[-2，2]内找不到一点能使 f ( x) 0.
注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其 结论可能不成立.
又如 y
f
(
x
)
1 0,
x, x
x 0
(0点(a b),使得函数
f ( x)在该点的导数等于零，即 f ' () 0
例如, f ( x) x 2 2x 3 ( x 3)( x 1).
在[1,3]上连续, 在(1,3)上可导, 且 f (1) f (3) 0, f ( x) 2( x 1), 取 1, (1 (1,3)) f () 0.
费马（Fermat）引理 设函数 f ( x)在U ( x0 )内有定义, 并且在 x0处可导,如果 x U( x0 ),有
f ( x) f ( x0 ) (或 f ( x) f ( x0 ) ),
那末 f '( x0 ) 0
证明：不妨设 f ( x) f ( x0 ), x U( x0 )
分别在(1, 2)和(2, 3)内.
P132,12 例2 证明方程 x5 5x 1 0 有且仅有一个小于
1 的正实根. 证 设 f ( x) x5 5x 1, 则 f ( x)在[0,1]连续,
高教社2024高等数学第五版教学课件-3.1 微分中值定理与洛必达法则
二
洛必达法则
1.未定式
当 → 0 （→ ∞ ） 若两个函数()与()都趋于零或者
()
都趋于无穷大，则极限
可能存在，也可能不存在.
()
→0
这种极限叫做未定式
通常把
0
∞
并简记为“ ”型或“ ”型．例如，
0
−
′ − ′()
显然 如果取() = 那么() − () = − ′ () = 1 从而柯西中值公
式就可以写成
() − () = ′ ()( − )
( < < ) .
这样就变成拉格朗日中值公式了，因此拉格朗日中值定理是柯西中值定理在取
′ () ≡ 0.
若 ≠ 由于() = ()，则最大值和最小值至少有一个在区间内部取
得，不妨设有一点 ∈ (, )使() = (如图3—1)．从而有
−
−
→
≥0
−
+
−
→
≤0
−′ = −
+′
=
故 ′ = 0.
→0
1
2
∞
这是1 型未定式,( )
1
2
+ ( ) =
→0
1
2
2
→0+
=
=
(
−
→0+ 2
1
)2
1
2
−
=
= .
2
,
0
0
∞
∞
本节的定理只能用于 或 型的函数的极限,对其他未定型必须先化为两种类
高等数学 第一节 微分中值定理
f ( x )
1 1 x
2
1 1 x
2
0
在 ( 1, 1 ) 内成立 .
所以 f ( x ) 在 ( 1, 1 ) 内取常数 c .
又 f (0) arcsin 0 arccos0 0 , 所以 c . 2 2 2 又 f ( 1) , 2 2 f ( 1) 0 . 2 2
2 2 为求 , 需解方程 cos x 2 . 1 sin x 2
9
设 y x, 2 y y 2 sin cos cos x sin y 2 2 cot y 2 . 则 2 2 1 sin x 1 cos y 2 sin 2 y 2 y tan 1 , y 2 arc tan 1 , 2 2 2 x y 2 arc tan 1 . 2 2 2 0 2 1 1 , 0 arctan 1 , 2 4 x 2 arc tan 1 0 , . 2 2 2 因此 , 取 2 arc tan 1 0 , . 2 2 2 ( ) ( 0) ( ) 2 确能使 ) (0) 成立 . 10 ( ) ( 2
使
或
y f (b) f (a ) f ( ) , ba f (b) f (a ) f ( ) (b a ) .
f (b) f (a ) 注 . 1. 弦的斜率 k . ba
2 . 若令 f (a ) f (b) ,
o
a
b
xБайду номын сангаас
第一节微分中值定理
f ( x 0 ) 0.
x x0
x x0
0
x
高等数学
二、罗尔中值定理
罗尔定理 若函数 f ( x ) 满足 : (1)在闭区间 [ a , b ] 上连续 ;
在开区间 ( a , b ) 内可导 ; (2)
y
f (a ) f (b)
y f ( x)
A
B
(3) f ( a ) f ( b ),
例2. 证明方程 x 5 5 x 1 0 有且仅有一个小于
的正实根 .
高等数学
1
证: (1)存在性
设 f ( x ) x 5 x 1,
5
则 f ( x ) 在 [ 0 ,1 ]连续 ,
且 f ( 0 ) 1 , f (1 ) 3 .
由零点定理
x 0 ( 0 ,1 ),
高等数学
( x a)
x
B
y f ( x)
说明: 1.辅助函数 F ( x ) 的几何解释
2. 这样的辅助函数可有无穷多个
ba
O
A
a 1
y
f (b) f (a ) ba
x
f (a ) 欲证 ) f xa , )f, ( bs).t . f ( a ) x Cf ( b )C为任意常数 ( b F (x ( ) f ( )
高等数学 例1. 验证函数
f ( x ) x 2 x 3 在区间 [ 1 , 3 ]
2
上满足罗尔定理条件
, 并求出一个
.
解: (1) 验证定理的假设条件满足
因为 f ( x ) 在 [ 1 , 3 ] 上连续 ,
又因为
大学高等数学微分中值定理
例1 设 f ( x ) 在闭区间 [a , b] 上连续，
在开区间 (a , b)上可导， 0 a b) ( 证明: 在(a, b)内至少存在一点 ，使
f (b)
f (a ) f ( )ln
f ( ) 0.
例1 验证 y x 3 x 在 [0,3]上满足罗尔 定理的条件, 并求出定理中的 值.
例2 证明方程 cos x 0 的任意两根之间
必有 sin x 0 的根.
推广 若f (x)可导, 则方程 f ( x ) 0 的任意两个根之间必有 (1) f ( x ) 0 的根.
第三章 微分中值定理与导数应用 第一节 微分中值定理 一、函数的极值及其必要条件 定义1 设函数f (x)在点 x0 的某邻域U ( x0 , ) 有定义, 若对 x U ( x0 , ) 且 x x0 , 有
f ( x ) f ( x0 ), (或 f ( x ) f ( x0 ) )
x3
f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x3 )
证明在 x1 , 分析
内至少有一点 ，使得
f ( ) 0.
2.拉格朗日(Lagrange)中值定理 定理3 若 f ( x ) 满足： （1）在闭区间 [a , b] 上连续； （2）在开区间 (a , b)内可导, 则在 (a , b) 内至少有一点 , 使
n 1
(b a ) b a nb
n n
n 1
(b a ).
例3
证明: x 0, e 1 x . 分 x 0, x 0
x
证明思路:
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由费马引理，f ( ) 0. 证毕
6
注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其 结论可能不成立. 例如, y x , x [2,2]; 在[2,2]上除f (0)不存在外,满足罗尔定理的 一切条件, 但在内找不到一点能使f ( x) 0. 又例如,
若 x 0,
则有 f ( x0 x) f ( x0 ) 0; x
由函)=f(
x0
)
lim
x 0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) 0;
f
( x0 )=f( x0 )
lim
x 0
f ( x0
x) x
f ( x0 )
0;
f ( x0 ) 0.
9
y 几何解释:
在曲线弧 AB 上至少有
C
y f (x)
M
B
一点 C,在该点处的切线 A
N
D
平行于线段 AB.
o a 1 x
2 b
x
证 分析: 条件中与罗尔定理相差 f (a) f (b). 直线AB方程为 y f (a) f (b) f (a) ( x a).
ba 曲线 f ( x) 减去弦 AB,
在
性 x0 (0,1), 使 f ( x0 ) 0, 即 x0 为方程小于1的正根.
唯 一
设另有 x1 (0,1), x1 x0 , 使 f ( x1 ) 0.
性 f ( x) 在 x0, x1 之间满足罗尔定理的条件,
至少存在一个 (在 x0, x1 之间),使得 f () 0.
但 f ( x) 5( x4 1) 0, ( x (0,1)) 矛盾, 为唯一实根.
8
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理
拉格朗日（Lagrange）中值定理
如果函数
(1)
f(x)在
闭区间[a, b]上连续,在开区间(a, b)内可导, 那么在
(2)
(a, b)内至少有一点(a b)，使等式
f (b) f (a) f ' ()(b a) 成立。
注意 : 与罗尔定理相比条件中去掉了 f (a) f (b). 结论亦可写成 f (b) f (a) f (). ba
f ( x0 ) 0. 注：若 f ( x0 ) 0，则 x0 称为函数 f ( x) 的驻点(或临界点).
2
证：
设x0，x0 x U ( x0 ), 不妨设 f ( x0 x) f ( x0 ),
f ( x0 x) f ( x0 ) 0,
若 x 0,
则有 f ( x0 x) f ( x0 ) 0; x
所得曲线a, b两端点的函数值相等.
10
作辅助函数
F ( x) f ( x) [ f (a) f (b) f (a) ( x a)]. ba
F ( x) 满足罗尔定理的条件,
则在(a, b)内至少存在一点, 使得 F () 0.
即 f () f (b) f (a) 0 ba
或 f (b) f (a) f ()(b a).
f '() 0.
例如, f ( x) x2 2x 3 ( x 3)(x 1).
在[1,3]上连续, 在(1,3)上可导, 且 f (1) f (3) 0, f ( x) 2( x 1), 取 1, (1 (1,3)) f () 0.
4
几何解释:
y
C
在曲线AB上至少有一 点C , 在该点处的切线是 水平的.
增量y的精确表达式. 拉格朗日中值公式又称有限增量公式. 微分中值定理 拉格朗日中值定理又称有限增量定理.
推论：如果函数 f ( x) 在区间 I 上的导数恒为零, 那么 f ( x) 在区间 I 上是一个常数.
12
例2 证明 arcsin x arccos x (1 x 1). 2
证 设 f ( x) arcsin x arccos x, x [1,1]
拉格朗日中值公式
注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的 增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.
11
设 f ( x)在 在(a, b)内可导, x0 , x0 x (a, b), 则有
f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 x) x (0 1). 也可写成 y f ( x0 x) x (0 1).
第一节 微分中值定理
一、罗尔（Rolle）定理 二、拉格朗日（Lagrange）中值定理 三、柯西（Cauchy）中值定理 四、小结 五、作业
1
费马引理
设函数 f ( x) 在 x0 的某个邻域 U( x0 )有定义，且在 x0 可导. 若对任意 x U( x0 )，有 f ( x) f ( x0 )(或 f ( x) f ( x0 )),则
3
一、罗尔(Rolle)定理
罗尔（Rolle）定理 如果函数 f ( x()1在) 闭区间 [a, b] 上连续(,2在) 开区间(a, b)内可导,且(3在) 区间端点的函数值 相 等 ， 即 f (a) f (b) , 那 末 在 (a,b) 内 至 少 有 一 点 (a b),使得函数 f ( x)在该点的导数等于零，即
o a 1
y f (x)
2 b x
5
证 f ( x) 在 [a,b] 连续, 必有最大值 M 和最小值 m.
(1) 若 M m, 则 f ( x) M . 由此得 f ( x) 0. (a, b), 都有 f () 0. (2) 若 M m. f (a) f (b), 最值不可能同时在端点取得. 设 M f (a),
f ( x) 1 ( 1 ) 0.
1 x2
1 x2
f ( x) C, x [1,1]
又 f (0) arcsin 0 arccos0 0 , 22
即 C . arcsin x arccos x .
y 1 x, x (0,1], f (0) 0; y x, x [0,1].
7
例1 证明方程 x5 5x 1 0 有且仅有一个小于
1 的正实根.
证 设 f ( x) x5 5x 1, 则 f ( x)在[0,1]连续,
存 且 f (0) 1, f (1) 3. 由零点定理，