导数与微分练习题答案

高等数学练习题 第二章 导数与微分

第一节 导数概念

一．填空题 1.若)(0x f '存在，则x

x f x x f x ∆-∆-→∆)

()(lim

000

= )(0x f '-

2. 若)(0x f '存在，h

h x f h x f h )

()(lim

000

--+→= )(20x f ' .

000

(3)()

lim

x f x x f x x

∆→+∆-∆=03()f x '.

3.设20-=')(x f , 则=--→)()2(lim

)000

x f x x f x

x 4

1

4.已知物体的运动规律为2

t t s +=(米)，则物体在2=t 秒时的瞬时速度为5（米/秒） 5.曲线x y cos =上点（

3π，2

1

）处的切线方程为03

123=-

-+π

y x ，法线方程为

03

22332=-+

-π

y x 6.用箭头⇒或⇏表示在一点处函数极限存在、连续、可导、可微之间的关系， 可微 ⇔

可导

<≠

⇒

| 连续 <≠

⇒ 极限存在。

二、选择题

1．设0)0(=f ,且)0(f '存在，则x

x f x )

(lim

0→= [ B ]

（A ）)(x f ' ( B) )0(f ' (C) )0(f (D) 2

1

)0(f

2. 设)(x f 在x 处可导，a ,b 为常数，则x

x b x f x a x f x ∆∆--∆+→∆)

()(lim 0 = [ B ]

（A ）)(x f ' ( B) )()(x f b a '+ (C) )()(x f b a '- (D) 2

b

a +)(x f ' 3. 函数在点0x 处连续是在该点0x 处可导的条件 [ B ] （A ）充分但不是必要 （B ）必要但不是充分 （C ）充分必要 （D ）即非充分也非必要

4．设曲线22

-+=x x y 在点M 处的切线斜率为3，则点M 的坐标为 [ B ] （A ）(0,1) ( B) (1, 0) (C) ( 0,0) (D) (1,1)

5.设函数|sin |)(x x f =，则 )(x f 在0=x 处 [ B ] （A ）不连续。 （B ）连续，但不可导。 (C)可导，但不连续。 （D ）可导，且导数也连续。

三、设函数⎩

⎨⎧>+≤=11

)(2x b ax x x x f 为了使函数)(x f 在1=x 处连续且可导，a ，b 应取什

么值。

解：由于)(x f 在1=x 处连续, 所以 )1()1(1)1(f b a f f =+===+-

即

1=+b a

又)(x f 在1=x 处可导，所以

2'11

(1)lim 21

x x f x --

→-==-

'1()

(1)lim 1

x ax b a b f a

x +

+→+-+==-

有 2=a ， 1-=b 故 求得 2=a ， 1-=b 四、如果)(x f 为偶函数，且)0(f '存在，证明)0(f '=0。

解：由于)(x f 是偶函数, 所以有 )()(x f x f -=

0()(0)

(0)lim 0

x f x f f x →-'=-

0()(0)

lim 0

x f x f x →--=-

()(0)

lim (0)x t

t f t f f t

=→-'==--令 即 0)0(2='f ， 故 0)0(='f

五、 证明：双曲线2

a xy =上任一点处的切线与两坐标轴构成三角形的面积为定值。

解：22

2,x

a y x a y -='=在任意),(00y x 处的切线方程为 )(020

2

0x x x a y y --=-

则该切线与两坐标轴的交点为：)2,0(0

2

x a 和)0,2(0x

所以切线与两坐标轴构成的三角形的面积为

20

2

22221a x x a A =⋅⋅=，

（a 是已知常数） 故其值为定值.

第二节 求导法则

一、填空题

1．x x y sin )sec 2(+=, y '=1cos 2tan

2

++x x ; x e y sin -=, y '=x xe sin cos --.

2．)2cos(x

e y =，y '= 2sin(2)x x

e e -; y =

x x

2sin ，y '=2

2sin 2cos 2x x x x - 3．2

tan

ln θ

ρ=，ρ'=θcsc ; =r 2ln log 2+x x , r '=e x 22log log +

4. )tan ln(sec t t w +=, w '=t sec . 2

arccos()y x x =+，y '

=

5. =

'+)1(2x 2

1x

x +; (

c x ++21 )'=

2

1x

x + .

6. ]2

tan [ln 'x = ; ( c x x +++)1ln(2

)'=

2

11x

+ .

二、选择题 1．已知y=

x

x

sin ，则 y '= [ B ] （A ）2cos sin x x x x - (B) 2sin cos x x x x - (C) 2

sin sin x

x x x - (D)x x x x sin cos 2

3- 2. 已知y=x

x

cos 1sin + ，则 y '

= [ C ] （A ）1cos 21cos +-x x (B) 1cos 2cos 1-+x x (C) x cos 11+ (D) x

x cos 11

cos 2+-

3.

已

知

x

e y sec =，则

y '

=

[ A ]

（A ）x

x

x

e e e tan sec (B) x x

e e tan sec

(C) x e tan (D)x

x e e cot

4.

已

知

)

1ln(2x x y ++=，

则

y '

=

[ A ]