清华大学微积分高等数学课件第16讲定积分一演示课件
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《高数》定积分课件
《高数》定积分ppt 课件
目录
• 定积分的概念 • 定积分的计算 • 微积分的应用 • 定积分的物理应用 • 定积分的进一步理解
01
CATALOGUE
定积分的概念
定积分的定义
01
定积分是积分的一种，是函数在区间上积分和的极 限。
02
定积分常用于计算平面图形的面积、体积等。
03
定积分的定义基于极限思想，通过分割、近似、求 和、取极限等步骤来定义。
物体在重力作用下的功与能
总结词
通过定积分计算重力做功和能量变化
详细描述
在重力作用下，物体运动过程中重力所做的功和能量变化可以用定积分表示。 通过定积分计算，可以得出重力做功和能量变化的具体数值。
05
CATALOGUE
定积分的进一步理解
定积分的极限思想
定积分是通过对曲线下的面积进行极限分割，再求和得到的结果，这个过 程体现了极限的思想。
可加性
对于任意分割的两个区间上的定积分，其和等于两区间上定积分的和 。
区间区间上定积分的值 之和。
比较性质
如果函数在不同区间上单调增加或减少，则其定积分的值也相应增加 或减少。
02
CATALOGUE
定积分的计算
微积分基本定理
总结词
微积分基本定理是定积分计算的基础， 它建立了积分与微分的联系，为解决定 积分问题提供了重要的思路和方法。
另一个函数的定积分进行计算。这些方法在实际应用中具有广泛的应用价值。
积分中值定理
总结词
积分中值定理揭示了定积分与被积函数之间 的关系，它是解决定积分问题的一个重要工 具。
详细描述
积分中值定理指出，对于连续函数f(x)在闭 区间[a,b]上的定积分∫baf(x)dx=f(ξ)(b−a) ，其中ξ∈[a,b]。这个定理说明了定积分的 结果等于被积函数在一个子区间上的取值与 该区间长度的乘积。这个定理在解决定积分 问题时非常有用，特别是当我们需要找到被
目录
• 定积分的概念 • 定积分的计算 • 微积分的应用 • 定积分的物理应用 • 定积分的进一步理解
01
CATALOGUE
定积分的概念
定积分的定义
01
定积分是积分的一种，是函数在区间上积分和的极 限。
02
定积分常用于计算平面图形的面积、体积等。
03
定积分的定义基于极限思想，通过分割、近似、求 和、取极限等步骤来定义。
物体在重力作用下的功与能
总结词
通过定积分计算重力做功和能量变化
详细描述
在重力作用下，物体运动过程中重力所做的功和能量变化可以用定积分表示。 通过定积分计算，可以得出重力做功和能量变化的具体数值。
05
CATALOGUE
定积分的进一步理解
定积分的极限思想
定积分是通过对曲线下的面积进行极限分割，再求和得到的结果，这个过 程体现了极限的思想。
可加性
对于任意分割的两个区间上的定积分，其和等于两区间上定积分的和 。
区间区间上定积分的值 之和。
比较性质
如果函数在不同区间上单调增加或减少，则其定积分的值也相应增加 或减少。
02
CATALOGUE
定积分的计算
微积分基本定理
总结词
微积分基本定理是定积分计算的基础， 它建立了积分与微分的联系，为解决定 积分问题提供了重要的思路和方法。
另一个函数的定积分进行计算。这些方法在实际应用中具有广泛的应用价值。
积分中值定理
总结词
积分中值定理揭示了定积分与被积函数之间 的关系，它是解决定积分问题的一个重要工 具。
详细描述
积分中值定理指出，对于连续函数f(x)在闭 区间[a,b]上的定积分∫baf(x)dx=f(ξ)(b−a) ，其中ξ∈[a,b]。这个定理说明了定积分的 结果等于被积函数在一个子区间上的取值与 该区间长度的乘积。这个定理在解决定积分 问题时非常有用，特别是当我们需要找到被
定积分与微积分基本定理 课件
【解析】 (2)由定积分的几何意义知,
3
1
和 x=1,x=3,y=0 围成的图形的面积,∴
3
1
3 1 2
dx=2·
= .
3 0 3
2
x
3 + 2- 2 dx 表示半圆(x-1)2+y2=4(y≥0)
1
4
3 + 2- 2 dx= ×π×4=π.
点拨：运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点:
为了方便,常把 F(b)-F(a)记作
即
曲边梯 F(x)
,
f(x)dx=F(x) =F(b)-F(a).
四、定积分与曲边梯形面积的关系
设阴影部分的面积为 S.
(1)S= f(x)dx;
(2)S=-
(3)S=
(4)S=
f(x)dx-
f(x)dx;
f(x)dx;
f(x)dx-
[f1(x)±f2(x)]dx=
f(x)dx=
1
f(x)dx+
f (x)dx± f2(x)dx.
f(x)dx(其中 a<c<b).
答案
三、微积分基本定理
一般地,如果 f(x)是区间[a,b]上的连续函数,且 F'(x)=f(x),那么
f(x)dx= F(b)-F(a) ,
这个结论叫作微积分基本定理,又叫作牛顿-莱布尼茨公式.
−π
π
+ 2)dx=(-cos x+2x)
通用版2020版高考数学大一轮复习第16讲定积分与微积分基本定理课件理新人教A版ppt版本
0 +t
10
0 =60(m).
(2)该质点在第 5 s 到第 10 s 所经过的路程 S2=
10 5
(t+1)dt=12t2
10
5 +t
10
5 =42.5(m).
(3)设质点到达另一点所需要的时间为
x,显然
x>0,则根据题意有
������ 0
(t+1)dt=112,即
1 2
������2
+
������
个小区间,在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点
������
������
ξi(i=1,2,…,n),作和式 ∑ f(ξi)Δx= ∑
������ =1
������ =1
������-������ ������
f(ξi),当
n→∞时,上述和式无限接近某个 常数 ,这个常数叫作函数 f(x)在区间[a,b]上的定积分,记
������ ������
f(x)dx=
.
4.微积分基本定理
如果
f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且有
F'(x)=f(x),那么
������ ������
f(x)dx=
F(b)F(a)
.
课前双基巩固
常用结论
若 f(x)是区间[-a,a](a>0)上的连续的偶函数,则
������ -������
.
[答案] 8
[解析]
2 1
f(x)dx+
4 2
f(x)dx=
4 1
f(x)dx=8.
课前双基巩固
4.[教材改编] 直线 y=x-4、曲线 y= 2������及 x 轴所围成的封闭
10
0 =60(m).
(2)该质点在第 5 s 到第 10 s 所经过的路程 S2=
10 5
(t+1)dt=12t2
10
5 +t
10
5 =42.5(m).
(3)设质点到达另一点所需要的时间为
x,显然
x>0,则根据题意有
������ 0
(t+1)dt=112,即
1 2
������2
+
������
个小区间,在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点
������
������
ξi(i=1,2,…,n),作和式 ∑ f(ξi)Δx= ∑
������ =1
������ =1
������-������ ������
f(ξi),当
n→∞时,上述和式无限接近某个 常数 ,这个常数叫作函数 f(x)在区间[a,b]上的定积分,记
������ ������
f(x)dx=
.
4.微积分基本定理
如果
f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且有
F'(x)=f(x),那么
������ ������
f(x)dx=
F(b)F(a)
.
课前双基巩固
常用结论
若 f(x)是区间[-a,a](a>0)上的连续的偶函数,则
������ -������
.
[答案] 8
[解析]
2 1
f(x)dx+
4 2
f(x)dx=
4 1
f(x)dx=8.
课前双基巩固
4.[教材改编] 直线 y=x-4、曲线 y= 2������及 x 轴所围成的封闭
清华微积分高等数学课件第一讲函数
理等。
在清华，微积分课程是理工科学生的必修课，对于培养学生的
03
逻辑思维、分析问题和解决问题的能力具有重要意义。
课程目标
01
掌握微积分的基本概念和原理，如极限、连续性、 可微性、积分等。
02
学会运用微积分的方法解决实际问题，提高分析问 题和解决问题的能力。
03
培养学生对微积分的兴趣和热爱，为后续学习打下 坚实的基础。
通过选取一定数量的x值，计算对应的 y值，然后在坐标纸上标出这些点，再 用直线连接这些点。这种方法适用于 绘制简单的函数图像。
计算机绘制
使用数学软件或编程语言，如Matlab、 Python等，可以快速绘制函数的图像， 并可以自定义坐标轴范围、刻度等参 数。
函数图像的变换
平移变换
将函数图像沿x轴或y轴方向平移一定的距离。平移变换包括左移和右 移、上移和下移。
02 函数的基本概念
函数的定义
总结词
函数是数学中的基本概念，用于描述两个集合之间的映射关 系。
详细描述
函数是建立在两个数集之间的一种对应关系，对于数集A中的每 一个元素x，按照某种法则，数集B中都有唯一确定的元素y与之 对应。
函数的表示
总结词
函数的表示方法有多种，包括解析法、 表格法和图象法。
详细描述
解析法是用数学表达式表示函数关系， 是最常用的一种表示方法；表格法是 用表格列出函数值，便于查找和计算； 图象法则是通过绘制函数图像来表示 函数关系。
函数的性质
总结词
函数的性质包括有界性、单调性、周期性和奇偶性等。
详细描述
有界性是指函数在一定区间内的取值范围有限；单调性是指函数在某一区间内的增减性；周期性是指函数按照一 定周期重复的特性；奇偶性则是指函数图像关于原点或y轴的对称性。
《高数定积分》课件
05
广义积分及其收敛性判别法
广义积分的概念及分类
广义积分的定义
广义积分是相对于正常积分而言的一种特殊积分，其积分区间可能包含无穷大或者无界 函数。
广义积分的分类
根据被积函数和积分区间的不同，广义积分可分为无穷限广分的收敛性判别法
比较判别法
通过比较被积函数与已知收敛或发散的函数，来判断广义积分的收敛性。
换元法求解定积分
01
换元法的基本思想
通过变量代换简化定积分的计算 。
02
常见的换元方法
03
换元法的注意事项
三角函数代换、倒代换、根式代 换等。
代换后需调整积分上下限，并验 证代换的可行性。
分部积分法求解定积分
分部积分法的基本思想
将复杂函数拆分为简单函数 进行积分。
常见的分部积分公式
幂函数与三角函数、幂函数 与指数函数、幂函数与对数 函数等。
06
定积分在经济学等领域的应用
由边际函数求原经济函数
边际函数与定积分的关系
边际函数描述的是经济量变化的瞬时速率，而定积分则可用于求取原经济函数，即总量 函数。
求原经济函数的步骤
首先确定边际函数的表达式，然后根据定积分的定义，对边际函数进行积分，得到原经 济函数的表达式。
示例
已知某产品的边际收益函数为MR(q)，通过对其进行定积分，可以得到总收益函数 TR(q)。
曲线的长度、图形的面积等。
THANKS
感谢观看
原函数与不定积分概念
原函数定义
原函数是指一个函数的导数等于给定函数的函数。根据微积分基本定理，不定积分就是求原函数的过 程。
不定积分性质
不定积分具有线性性质、常数倍性质和积分区间可加性。这些性质在求解复杂函数的定积分时非常有 用。
《高数定积分》课件
五、定积分的综合应用
微积分基础
我们将回顾一些微积分的基本概念和公式，为 之后的应用题做好准备。
微积分的发展
我们将探索微积分在数学及其他领域中的发展 历程，并了解它对现代科学的重要影响。
微积分与实际问题
我们将讨论微积分在实际问题中的应用，包括 物理、工程、经济等领域。
综合应用题
通过解决一些具体应用题，我们将展示定积分 在解决实际问题中的威力和价值。
《高数定积分》PPT课件
欢迎来到《高数定积分》PPT课件！在本课程中，我们将深入探讨定积分的概 念、计算方法、应用及扩展。准备好跟我们一起进入数学的奇妙世界吧！
一、定积分的概念和性质
定积分的定义
通过讨论函数的变化率， 我们引入了定积分的概念， 它能够帮助我们计算函数 曲线下的面积。
定积分的性质
定积分具有线性性、可加 性、保号性等特点，这些 性质为积分计算提供了便 利。
的问题的一种方法，我们将展示如何
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
有理函数的积分
4
运用它解决实际问题。
通过学习有理函数的积分，我们能够 解决一类常见的函数积分问题。
三、定积分应用
几何应用
我们将介绍如何使用定积分 计算曲线长度、旋转体体积 等与几何相关的应用。
物理应用
通过物理应用的例子，我们 将展示定积分在速度、加速 度、质量等物理概念中的用 途。
经济应用
我们将探讨定积分在经济学 中的应用，如利润、成本、 消费者剩余等问题。
四、定积分的扩展
1 不定积分
不定积分是定积分的逆运算，通过学习不定积分，我们可以还原出原函数。
2 反常积分
反常积分用于计算无界函数、无法普通方法计算的函数等特殊情况下的积分问题。
清华大学微积分(高等数学)课件第16讲_定积分(一)
a
c
14
[注意1] 定积分的值只依赖于被积函数和积分的上、 下限，而与积分变量用什麽字母表示无关。即
b
b
b
af(x)d xaf(t)d taf(u)du
[注意2] 定积分的定义中，下限a小于上限b，否则， 做如下规定:
当 ab 时 ,规 : 定 bf(x )d x af(x )dx
a
b
关于区间可加性的推广
(2) 取近似：
任 k [ x k 取 1 ,x k ] 记 , :x k x k x k 1
将第k个曲边梯形的面积 形用 面矩 积近似
A kf(k)xk
2021/4/28
4
(3)求和:
n
n
AAkf(k)xk
(4) 取极限: k1
k1
n
分 点 越 “ , 密 f(” k)xk 越 接 近 曲 边
li m 0k1D(k)xk 0
故 Diric函 hl数 e[t0,在 1]上不可积
2021/4/28
11
三、可积性条件与可积函数类
定积分作为黎曼和式的极限，其构造十分 复杂，因此想通过计算这个和式的极限来研 究定积分，实际上是不可行的. 另一途径是 先研究其存在性，得到有关可积性的理论。
定理1： 若f(x)在[a, b]上 可 积f(， x) 则
b
g(x)dx
a
a
2021/4/28
18
y
y f(x)
f ()
f()b1aabf(x)dx函平数均平高均度值
o
2021/4/28
a
bx
19
[证] 不g 妨 (x ) 0 设 (a x b )
f(x)C[a, b]
高等数学-定积分及其应用ppt课件.ppt
一、引例
在变速直线运动中, 已知位置函数
与速度函数
之间有关系:
物体在时间间隔
内经过的路程为
这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .
5.3 定积分的计算
则积分上限函数
证:
则有
定理1. 若
5.3.1 牛顿 – 莱布尼兹公式
说明:
1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的.
2) 变限积分求导:
5.6.1 广义积分
引例. 曲线
和直线
及 x 轴所围成的开口曲
边梯形的面积
可记作
其含义可理解为
1 连续函数在无限区间上的积分
定义1. 设
若
存在 ,
则称此极限为 f (x) 在区间 的广义积分,
记作
这时称广义积分
收敛 ;
如果上述极限不存在,
就称广义积分
发散 .
类似地 , 若
公式, 复化求积公式等,
并有现成的数学软件可供调用.
性质1 常数因子可提到积分号外 性质2 函数代数和的积分等于它们积分的代数和。
5.2 定积分的简单性质
性质3 若在区间 [ a , b ]上 f (x)≡K，则 性质4 定积分的区间可加性 若 c 是 [ a , b ] 内的任一点，则
的面积 .
解:
例3. 汽车以每小时 36 km 的速度行驶 ,
速停车,
解: 设开始刹车时刻为
则此时刻汽车速度
刹车后汽车减速行驶 , 其速度为
当汽车停住时,
即
得
故在这段时间内汽车所走的距离为
刹车,
问从开始刹
到某处需要减
设汽车以等加速度
车到停车走了多少距离?
在变速直线运动中, 已知位置函数
与速度函数
之间有关系:
物体在时间间隔
内经过的路程为
这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .
5.3 定积分的计算
则积分上限函数
证:
则有
定理1. 若
5.3.1 牛顿 – 莱布尼兹公式
说明:
1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的.
2) 变限积分求导:
5.6.1 广义积分
引例. 曲线
和直线
及 x 轴所围成的开口曲
边梯形的面积
可记作
其含义可理解为
1 连续函数在无限区间上的积分
定义1. 设
若
存在 ,
则称此极限为 f (x) 在区间 的广义积分,
记作
这时称广义积分
收敛 ;
如果上述极限不存在,
就称广义积分
发散 .
类似地 , 若
公式, 复化求积公式等,
并有现成的数学软件可供调用.
性质1 常数因子可提到积分号外 性质2 函数代数和的积分等于它们积分的代数和。
5.2 定积分的简单性质
性质3 若在区间 [ a , b ]上 f (x)≡K，则 性质4 定积分的区间可加性 若 c 是 [ a , b ] 内的任一点，则
的面积 .
解:
例3. 汽车以每小时 36 km 的速度行驶 ,
速停车,
解: 设开始刹车时刻为
则此时刻汽车速度
刹车后汽车减速行驶 , 其速度为
当汽车停住时,
即
得
故在这段时间内汽车所走的距离为
刹车,
问从开始刹
到某处需要减
设汽车以等加速度
车到停车走了多少距离?
定积分及其应用高数(共68张PPT)
例2 计算广义积分
例1 计算广义积分
例(2)4参数计方算程以所下(表定2示积)的分函. 数(t)在 [, ]或 ([,]上 )具有连续导数,
〔2〕无界函数的广义积分
R[a,b], 且其值域 奇、偶函数在对称区间上的定积分性质
变上限的定积分函数的性质
〔1〕无穷限的广义积分
那么有 〔2〕定积分的分部积分法
0
0
1
1(xx3)dx2(x3x)dx5
0
1
2
例3 计算 si3n xsi5n xd.x 0 3
解 f(x)si3x n si5x ncoxssinx2
si3nxsi5n xdx
coxssin x2 3dx
0
0
3
2coxssinx2dx
0
coxssinx23dx
3
2 sinx2dsinx
A1 A2
A3 A4
a bf(x )d x A 1 A 2A 3 A 4
2.定积分的性质
b
b
b
性质1 a [f(x ) g (x )d ] x af(x ) d x a g (x ) dx
性质2
b
b
a kf ( x)dx ka f ( x)dx
( k 为常数)
性质3 〔区间可加性〕
b
c
b
af(x)d x af(x)d x cf(x)dx
0
这个公式就是说： 周期函数在任何长为一周期的
区间上的定积分都相等.
例1 设
f(x)52x
0x1, 求 1x2
2
0 f (x)d.x
解2
1
2
0f(x )d x 0f(x )d x 1f(x )dx
例1 计算广义积分
例(2)4参数计方算程以所下(表定2示积)的分函. 数(t)在 [, ]或 ([,]上 )具有连续导数,
〔2〕无界函数的广义积分
R[a,b], 且其值域 奇、偶函数在对称区间上的定积分性质
变上限的定积分函数的性质
〔1〕无穷限的广义积分
那么有 〔2〕定积分的分部积分法
0
0
1
1(xx3)dx2(x3x)dx5
0
1
2
例3 计算 si3n xsi5n xd.x 0 3
解 f(x)si3x n si5x ncoxssinx2
si3nxsi5n xdx
coxssin x2 3dx
0
0
3
2coxssinx2dx
0
coxssinx23dx
3
2 sinx2dsinx
A1 A2
A3 A4
a bf(x )d x A 1 A 2A 3 A 4
2.定积分的性质
b
b
b
性质1 a [f(x ) g (x )d ] x af(x ) d x a g (x ) dx
性质2
b
b
a kf ( x)dx ka f ( x)dx
( k 为常数)
性质3 〔区间可加性〕
b
c
b
af(x)d x af(x)d x cf(x)dx
0
这个公式就是说： 周期函数在任何长为一周期的
区间上的定积分都相等.
例1 设
f(x)52x
0x1, 求 1x2
2
0 f (x)d.x
解2
1
2
0f(x )d x 0f(x )d x 1f(x )dx
高三第一轮复习课件——第十六讲定积分与微积分基本定理
（7）bexdxex a
|baeb
ea
第21页
课堂小结：
定积分的计算（利用微积分基本定理）
（1）求函数f(x)在某个区间上的定积分，关键是求函数
f(x)的一个原函数，正确运用求导运算与求原函数运算互
为逆运算的关系；若原函数不易寻找时，先把f(x)进行变
形。
（2）计算简单定积分的步骤
①把被积函数变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函
由 此 得 到 N 个 点 (xi , yi )(i 1, 2,…,N) ， 再 数 出 其 中 满 足
yi f (xi )(i 1, 2,…,N) 的 点 数 N1 ， 那 么 由 随 机 模 拟 方 案 可 得 积 分
1
0
f
(
x)dx
的近似值为
。
第20页
常见函数的定积分运算：
（1）a bkdxkx|bak(ba)（k是常数）
a
a
a
(2)定积分性质②可推广到任意有限个函数的情况.
第8页
2.微积分基本定理
一般地,如果f(x)在区间[a,b]上连续,且F'(x)=f(x),那
么
b
f(x )d x F(b)F(a).
a
这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿—莱布
尼茨公式.
也可表示为
bf(x)dxF
a
(x)
b a
.
第9页
注意:(1)①用定义求定积分的方法:分割､近似代替､求和､取 极限,要借助于求曲边梯形的面积､变力作功等案例,体会定 积分的基本思想方法.
3
．
y 3x2
任取一个点 M x, y ，则点 M
取自阴影部分的概率为
通用版高考数学大一轮复习第16讲定积分与微积分基本定理课件理新人教A版
1 0 1 4 1 0
(2)[2018· 湖北咸宁重点高中联考] 若
1 0
1-������ 2 dx= π,∴
x x 2
1 4
1 -π
f(x)dx= -2,故选
1
π 4
(e -2ax)dx=e,则 a=
x
.
(e -2ax)dx=(e -ax ) 0 =e-a-1=e,
∴-a-1=0,∴a=-1.
课堂考点探究
图 2-16-2 A.4 2 B.2 2 C. 2 D.
2 2
(2)[2018· 安徽江南十校联考] 直线 l 过抛物线 E:y2=8x 的焦点且与 x 轴垂直,则直线 l 与 E 所围成的封闭图形的面积为 ( A.13 B.
11 3
) D.
28 3
C.
32 3
课堂考点探究
[答案] (1)B (2)C
5π 4 π 4
[解析] (1)根据定积分的几何意义可得,阴影部分的面积 S= x-sin x)
5π 4 π 4
(sin x-cos x)dx=(-cos
=2 2,故选 B.
(2)由题意得,直线 l 的方程为 x=2, 将 y2=8x 化为 y=± 2 2������ . 由定积分的几何意义得,所求面积 S=2
(-x2)dx=2
1 0
x2dx=3 .
2
课前双基巩固
7.计算
-1 1 dx= -2 ������
.
[答案]
-ln 2
-1 1 dx -2 ������
[解析] 根据
的几何意义,可得 x 1 =-ln 2. x
-1 -2 2
-1 1 2 1 d x=dx=-ln -2 ������ 1 ������
(2)[2018· 湖北咸宁重点高中联考] 若
1 0
1-������ 2 dx= π,∴
x x 2
1 4
1 -π
f(x)dx= -2,故选
1
π 4
(e -2ax)dx=e,则 a=
x
.
(e -2ax)dx=(e -ax ) 0 =e-a-1=e,
∴-a-1=0,∴a=-1.
课堂考点探究
图 2-16-2 A.4 2 B.2 2 C. 2 D.
2 2
(2)[2018· 安徽江南十校联考] 直线 l 过抛物线 E:y2=8x 的焦点且与 x 轴垂直,则直线 l 与 E 所围成的封闭图形的面积为 ( A.13 B.
11 3
) D.
28 3
C.
32 3
课堂考点探究
[答案] (1)B (2)C
5π 4 π 4
[解析] (1)根据定积分的几何意义可得,阴影部分的面积 S= x-sin x)
5π 4 π 4
(sin x-cos x)dx=(-cos
=2 2,故选 B.
(2)由题意得,直线 l 的方程为 x=2, 将 y2=8x 化为 y=± 2 2������ . 由定积分的几何意义得,所求面积 S=2
(-x2)dx=2
1 0
x2dx=3 .
2
课前双基巩固
7.计算
-1 1 dx= -2 ������
.
[答案]
-ln 2
-1 1 dx -2 ������
[解析] 根据
的几何意义,可得 x 1 =-ln 2. x
-1 -2 2
-1 1 2 1 d x=dx=-ln -2 ������ 1 ������
高等数学(微积分学)教学课件
三、两个重要极限
重要极限Ⅰ lim sin x 1 x0 x
它可以拓展为 lim sin[ f (x)] 1 f (x)0 f (x)
sin 2x
例：lim x 2x
1
1 cos x
lim
x0
x2
lim
x0
2 sin 2 x 2
4 x2 4
lim
1
sin
x 2
x0 2 x
2
2
1 2
判断：lim sin x 1
叫做因变量.
数集 D 称为这个函数的定义域.
全体函数值的集合称为函数的值域.
2. 函数的表示法
解析法（公式法）：用解析表达式（或公式）表示函数关系.
y x 1
表格法：用列表的方法来表示函数关系.
x123456789 y 1 4 9 16 25 36 49 64 81
图示法：用平面直角坐标系 xoy 上的曲线来表示函数关系.
x
x
1 0
x
x
1
1
1 lim( x0 1
x
)
1 x
x
lim
x0
(1 (1
x) x
1
x) x
lim x0
(1 x) x
1 (1)
[1 (x)] x
e e1
e2
一类特殊极限
若f
(x)
a0 xm a1xm1 a2 xm2 b0 xn b1xn1 b2 xn2
am1x am bn1x bn
x 果对于定义区间的任意点 , 恒有 f (x) f (x) , 则称f (x)
为 D 内的偶函数；如果恒有 f (x) f (x) , 则称 f (x)为D
《高数》定积分课件
《高数》定积分PPT课件
一场深入浅出、生动有趣的《高数》定积分知识演讲，解构常见问题，让你 真正掌握定积分的要点和方法。
定积分的概念
什么是定积分？
定积分是用来计算曲线下面的 面积或体积的方法。
定积分的意义
它可以帮助我们解决各种实际 问题，如曲线下面的面积、体 积等。
定积分的计算方法
定积分的基本计算方法包括换 元法、分部积分法、换限积分 法。
定积分的性质
基本性质
定积分满足线性性、可加性、伸缩性、位移性等基本性质。
运算法则
定积分的运算法则包括换元法、ຫໍສະໝຸດ 部积分法、换限积分法。应用领域
定积分在物理、经济、工程等领域有广泛应用。
定积分的计算
1
几何意义
定积分的计算可以用几何形象的方法
基本计算方法
2
来理解，几何意义明显。
常见的计算方法包括基本公式、分部
定积分在货币供应量计算、经 济模型构建等方面有广泛应用。
定积分的拓展
除了用于计算面积和体积外，定积分还可以用于求解各类几何和物理现象的 积分，以及概率论、统计分布、微积分方程等领域。
致谢
感谢各位聆听，希望新掌握的知识可以为您的学习和工作带来帮助。
积分法、换元法、反常积分。
3
常见例题解析
例题分析，掌握方法和技巧，熟练掌 握定积分的计算方式
定积分的应用
在几何学中的应用
在物理学中的应用
在经济学中的应用
通过定积分可以计算平面图形 的面积、曲线图形的弧长，从 而在建筑设计中得到广泛应用。
在牛顿定律、万有引力等天文、 力学问题中，定积分可以发挥 关键作用。
一场深入浅出、生动有趣的《高数》定积分知识演讲，解构常见问题，让你 真正掌握定积分的要点和方法。
定积分的概念
什么是定积分？
定积分是用来计算曲线下面的 面积或体积的方法。
定积分的意义
它可以帮助我们解决各种实际 问题，如曲线下面的面积、体 积等。
定积分的计算方法
定积分的基本计算方法包括换 元法、分部积分法、换限积分 法。
定积分的性质
基本性质
定积分满足线性性、可加性、伸缩性、位移性等基本性质。
运算法则
定积分的运算法则包括换元法、ຫໍສະໝຸດ 部积分法、换限积分法。应用领域
定积分在物理、经济、工程等领域有广泛应用。
定积分的计算
1
几何意义
定积分的计算可以用几何形象的方法
基本计算方法
2
来理解，几何意义明显。
常见的计算方法包括基本公式、分部
定积分在货币供应量计算、经 济模型构建等方面有广泛应用。
定积分的拓展
除了用于计算面积和体积外，定积分还可以用于求解各类几何和物理现象的 积分，以及概率论、统计分布、微积分方程等领域。
致谢
感谢各位聆听，希望新掌握的知识可以为您的学习和工作带来帮助。
积分法、换元法、反常积分。
3
常见例题解析
例题分析，掌握方法和技巧，熟练掌 握定积分的计算方式
定积分的应用
在几何学中的应用
在物理学中的应用
在经济学中的应用
通过定积分可以计算平面图形 的面积、曲线图形的弧长，从 而在建筑设计中得到广泛应用。
在牛顿定律、万有引力等天文、 力学问题中，定积分可以发挥 关键作用。
【备战】高中数学 第16讲 定积分与微积分基本定理配套课件 理 新人教B版
a
(2)一物体在变力 F＝F(x)的作用下运动，则变力在 位移区间 [a ，b]内所做的功，是函数 F＝F(x)在[a，b] b 上的定积分，即 W＝ ) F(x)dx.(
[答案] (1)√
(2)√
a
[解析] 根据物理学知识和定积分的概念可得．
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第16讲
定积分与微积分基本定理
考点统计 1.定积分的计算
b bg(x)dx f(x)dx±
a
a c ___________________ .
c
b f(x)dx＋ f(x)dx
a
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第16讲
双 向 固 基 础
定积分与微积分基本定理
如果 f(x)是[a，b]上的连续函数，并且有 F′(x)＝f(x)， b F(b)－F(a) 则 f(x)dx＝________ ．
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第16讲
双 向 固 基 础
定积分与微积分基本定理
三、定积分的性质
bf(x)dx k 1． 常数因子可提到积分号前， 即 kf(x)dx＝________(k
b
a
a
为常数)．
b 2． 代数和的积分等于积分的代数和， 即 [f(x)± g(x)]dx
a a ＝________________________ ． 3．(定积分的可加性)如果积分区间[a，b]被点 c 分成 b 两 个 小 区 间 [a ， c] 与 [c ， b] ， 则 f(x)dx ＝
双 向 固 基 础 点 面 讲 考 点 多 元 提 能 力 教 师 备 用 题
第16讲
定积分与微积分基本 定理
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考试大纲
(2)一物体在变力 F＝F(x)的作用下运动，则变力在 位移区间 [a ，b]内所做的功，是函数 F＝F(x)在[a，b] b 上的定积分，即 W＝ ) F(x)dx.(
[答案] (1)√
(2)√
a
[解析] 根据物理学知识和定积分的概念可得．
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第16讲
定积分与微积分基本定理
考点统计 1.定积分的计算
b bg(x)dx f(x)dx±
a
a c ___________________ .
c
b f(x)dx＋ f(x)dx
a
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双 向 固 基 础
定积分与微积分基本定理
如果 f(x)是[a，b]上的连续函数，并且有 F′(x)＝f(x)， b F(b)－F(a) 则 f(x)dx＝________ ．
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第16讲
双 向 固 基 础
定积分与微积分基本定理
三、定积分的性质
bf(x)dx k 1． 常数因子可提到积分号前， 即 kf(x)dx＝________(k
b
a
a
为常数)．
b 2． 代数和的积分等于积分的代数和， 即 [f(x)± g(x)]dx
a a ＝________________________ ． 3．(定积分的可加性)如果积分区间[a，b]被点 c 分成 b 两 个 小 区 间 [a ， c] 与 [c ， b] ， 则 f(x)dx ＝
双 向 固 基 础 点 面 讲 考 点 多 元 提 能 力 教 师 备 用 题
第16讲
定积分与微积分基本 定理
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所 走 过s的 . 路 程 (1)细分：在[a, b]区间任意插入分点:
a t 0 t 1 t k 1 t k t n b
将 [ a ,b ] 分 n 个 成 [ t k 子 1 ,t k ] ( k 1 区 ,2 , ,n )间
(2)取近似：任k 取 [tk1,tk]以匀速近似变速 s k v (k ) t k( i 1 , ,n )
则至少在一个子区间上无界，所以黎曼
和式无界，与和式极限存在相矛盾.
09.10.2020
12
定理2：
若函f(数 x)在 [a, b]上连 ,则 续 f(x)在 [a,b]上可 . 积
定理3： 若 有 界f(函 x)在 [数 a, b]上 只 有
有 限 个,则 间f(断 x)在 [点 a,b]上 可 . 积
作业
P166 习题6.2
1(1)(5). 2(2). 3(1)(3).
4(4)(5). 5(1).
复习：P158—166
预习：P168—174
09.10.2020
1
第十六讲 定积分（一）
一、两个典型例子
二、定积分的概念
三、可积性条件与可积类
四、定积分的基本性质
09.10.2020
2
一、两个典型例子 y [例1] 曲边形的面积问题
曲边梯形 y f(x)
oa
09.10.2020
xi1 i x i
x
3
d
(1) 细分:
在[a, b]区间任意插入分点:
a x 0 x 1 x i 1 x i x n b
将 [ a ,b ] 分 n 个 成 [ x k 子 1 ,x k ] ( k 1 区 ,2 , ,n )间
a
a
09.10.2020
10
[例2] 证 明 Diric函 hle数 t
1 D(x)0
xx为 为有 无理 理在 数 数 [0, 1]上 不 可 积
[证] 任[0 给 , 1]的 一 个 xk n k 划 0 分
任 k 取 [x k 1 ,x k ]是有 (k 1 , 理 ,n ) 数
n
性质二：关于区间的可加性
若 f R [a,b ]c , (a,b )则 , f R [a,c],
n
n
(3)求和： sskv(k)tk
k1
k1
n
(4) 取极限: 09.10.2020
sli m 0k1v(k)tk
6
二、定积分的概念
（一）黎曼积分定义：
设 函 数 f :[a, b] R, 对 区 间[a, b]
作 任 意 划 分, 即 在[a, b]中 插 入 一 组 分 点:
a x0 x1 xk1 xk xn b 记 第k 个 小 区 间[ xk1 , xk ] (k 1,, n) 的
定理4：
若 函f(数 x)在 [a, b]上 单 ,则 调 f(x)在 [a,b]上 可 . 积
09.10.2020
13
四、定积分的基本性质
定积分是一种极限，因此其性质与极限 性质密切相关
性质一： 线性性质
若f,gR[a, b],则对任意 ,常 ,有数
b
b
b
a [ f(x )g (x )d ] x af(x )d x a g (x )dx
k1
n
分点越“ , 密 f(” k)xk 越接近曲边
k1
的面积
无,限 即 m 1 k 细 n x a k 分 x 0
n
如 果l极 i0m k1限 f(k)xk 存 在 n
则limf( ) 09.10.2020 0k1
k
xkA
5
[例2] 变速直线运动的路程问题 已 知v速 v(度 t)求 , 在 时[间 a, b]内 间 隔
将 曲 边 梯 形n个 分小 成曲 边 梯 形
(2) 取近似：
任 k [ x k 取 1 ,x k ] 记 , :x k x k x k 1
将 第k个 曲 边 梯 形 的 面 积 形用 面矩 积 近 似
A kf(k)xk
09.10.2020
4
(3)求和:
n
n
AAkf(k)xk
(4) 取极限: k1
称 此 极 限 值 f(x为 )在[a, b]上 的 定 积 . 分
记作:
积分上限
b
n
f(x)dx limf(
a
0k1
k)
xk
积分下限
[a, b] 称为积分区间
定积分是 : 积分和式的极限
b
[例1]曲边梯形的面积 A f (x)dx a
b
[例2]变速直线运动的路程 s v(t)dt
09.10.2020
a
8
（二）定积分的几何意义
(1)若f (x) 0, 则 b f (x)dx A, 即 a 定积分表示曲边梯面形积的
(2)若f(x)0,则 b f(x)dxA, 即 a 定 积 分 表 示 曲 边面 梯积 形的 的负 值
x
y
a
o
xi1 i x i
b
Ai f(i)xi
f (i )
y f(x)
09.10.2020
长 度 为 xk xk xk1 ; 任 取k [ xk1 , xk ],
n
构 造和 式:
k 1
f
( k
)xk ,
记
max
1 k n
xk
,
09.10.2020
7
n
如 果
和
式 极 l i m 限
0 k1
f (k)xk
存
在 ,则
称f 在[a, b]上 可 ,积 记f R[a, b];并 且
9
[例 1]证f明 (x)C 在 [a,b]上可积
[证] 任[给 a, b]的一个 xk划 n k0 分
任取 k[xk
k1
k1
n
Cxk C(ba)
k1
n
limf( 0k1
k)
xkC (ba)
即 bf(x )d xb C d x C (b a )
n
n
D( k) xk
k1
k1
xk1li m 0k1D(k)xk
1
另 k [ 取 x k 1 ,x k ] 是 无 ( k 1 , 理 ,n )
n
n
D(k)xk 0 k1
li m 0k1D(k)xk 0
故 Diric函 hl数 e[t0,在 1]上不可积
09.10.2020
11
三、可积性条件与可积函数类
定积分作为黎曼和式的极限，其构造十分 复杂，因此想通过计算这个和式的极限来研 究定积分，实际上是不可行的. 另一途径是 先研究其存在性，得到有关可积性的理论。
定理1： 若f(x)在[a, b]上可积f(， x) 则
在[a,b]上有. 界
证明思路：反证法。假设 f(x) 在[a,b]上无界，