三角公式化简求值

三角函数与解三角形知识拓展

(1) 诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变,符号看象限．

(2)同角三角函数基本关系式的常用变形：

(sin α±cosα)2＝1±2sin αcosα；

(sin α＋cosα)2＋(sin α－cosα)2＝2；

(sin α＋cosα)2－(sin α－cosα)2＝4sin αcosα.

(3)降幂公式：cos2α＝1＋cos 2α

2

,sin2α＝

1－cos 2α

2

.

(4)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α,1－cos 2α＝2sin2α.

题型分析

(一) 三角变换,角为先锋

三角函数作为一种特殊函数,其“角”的特殊性不容忽视,因此我们在三角函数恒等变换中,应该首先注意角的形式,从统一角的角度出发,往往能够达到事半功倍的效果.

【例1】【江苏省苏州市2017-2018学年高三上学期期中】已知

π

tan2

4

α⎛⎫

-=

⎪

⎝⎭

,则cos2α的

值是_____．

【答案】

4 5 -

【解析】因为

π

tan2

4

α⎛⎫

-=

⎪

⎝⎭

,

所以cos2α=

π

sin2

2

α

⎛⎫

--

⎪

⎝⎭

=

22

ππ

2sin cos

44

ππ

sin cos

44

αα

αα

⎛⎫⎛⎫

--

⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭

-

⎛⎫⎛⎫

-+-

⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭

=

2

π

2tan

4

π

tan1

4

α

α

⎛⎫

-

⎪

⎝⎭

-

⎛⎫

-+

⎪

⎝⎭

=

4

5

-

【点评】(1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．

(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β),α＝(α＋β)－β,β＝α＋β

2

－

α－β

2,α＝

α＋β

2

＋

α－β

2

,

α－β

2

＝(α＋

β

2

)－(

α

2

＋β)等．

(3)常见的互余和互补的角①常见的互余的角：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π

4

＋

α与π

4－α等．②常见的互补的角：π3＋θ与

2π3－θ；π4＋θ与3π

4

－θ等． 【小试牛刀】【江苏省前黄、如东、姜堰中学等五校2018届高三上学期第一次学情监测】已知536ππ

α⎛⎫

∈

⎪

⎝⎭

，，且3cos 35πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin α的值是__________．

【解析】5,03632ππππαα⎛⎫

⎛⎫∈∴-∈

⎪

⎪⎝

⎭⎝⎭

Q ，，， 结合同角三角函数基本关系有：

4sin 35

πα⎛

⎫

-

== ⎪⎝

⎭，则：

3333334135252sin sin sin cos cos sin

ππααππππαα⎡⎤

⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥

⎝

⎭⎣⎦⎛⎫⎛

⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⨯+⨯=

(二) 函数变换,乃是重点

三角函数作为一类特殊的函数,其六种三角函数(当今教材要求重点掌握正弦函数、余弦函数、正切函数)之间有着密切的联系,因此,充分注意函数之间的关系,是三角函数变形的另一个重点.

【例2】若

sin cos 3sin cos αα

αα

+=-,tan()2αβ-=,则tan(2)βα-= ．

【分析】先统一函数名称,化弦为切,再利用两角和的正切公式求值. 【解析】由sin cos tan 1

3tan 2sin cos tan 1

ααααααα++==⇒=--,

所以

tan()tan 224

tan(2)tan(2)tan()1tan()tan 1223

αβαβααβαβααβα-++-=--=--+=-

=-=

---⨯.

【点评】(1)利用sin 2α＋cos 2

α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化,利用sin αcos α＝tan α

可以实现角α的弦切互化．

(2)形如a sin α＋b cos α和a sin 2

α＋b sin αcos α＋c cos 2

α的式子分别称为关于sin α,cos α的一次齐次式和二次齐次式,对涉及它们的三角变换通常转化为正切(分子分母同除以cos α或cos 2

α)求解．如果分母为1,可考虑将1写成sin 2

α＋cos 2

α.(3)已知tan α＝m 的条件下,求解关于sin α,cos α的齐次式问题,必须注意以下几点：①一定是关于sin α,cos α的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式．②因为cos α≠0,所以可以用cos n α(n ∈N *

)除之,这样可以将被求式化为关于tan α的表示式,可整体代入tan α＝m 的值,从而完成被求式的求值运算．③注意1＝sin 2

α＋cos 2

α的运用． 【小试牛刀】【江苏省常熟市2018届高三上学期期中】已知tan 24πα⎛

⎫

-= ⎪⎝

⎭

，则cos2α的值是__________． 【答案】45

-

(三) 常数化角,曲径通幽

三角公式中有不少常数,如1322

,在三角变换中,若能巧妙利用它们与三角函数