2020届二轮复习 离散型随机变量 学案(全国通用)
离散型随机变量教案
离散型随机变量教案教案标题：离散型随机变量教案一、教学目标：1. 了解离散型随机变量的基本概念和性质；2. 掌握离散型随机变量的概率质量函数和累积分布函数的计算方法；3. 理解离散型随机变量的期望值和方差的含义和计算方法；4. 能够应用离散型随机变量的知识解决实际问题。
二、教学内容：1. 离散型随机变量的概念和特点；2. 离散型随机变量的概率质量函数和累积分布函数；3. 离散型随机变量的期望值和方差；4. 离散型随机变量的应用实例。
三、教学重点和难点：1. 离散型随机变量的概念和性质；2. 离散型随机变量的概率质量函数和累积分布函数的计算方法；3. 离散型随机变量的期望值和方差的含义和计算方法。
四、教学方法：1. 讲授与示范相结合的方法，通过具体的例子引导学生理解离散型随机变量的概念和性质；2. 引导学生通过计算概率质量函数和累积分布函数来掌握离散型随机变量的计算方法；3. 通过实际问题的分析和解决，帮助学生理解离散型随机变量的应用。
五、教学工具：1. 教材：离散型随机变量相关章节；2. 计算器；3. 板书。
六、教学过程：1. 导入：通过一个具体的例子引导学生思考，什么是随机变量，什么是离散型随机变量。
2. 概念讲解：介绍离散型随机变量的定义、概率质量函数和累积分布函数的概念和计算方法。
3. 计算练习：让学生通过计算给定离散型随机变量的概率质量函数和累积分布函数，加深对概念和计算方法的理解。
4. 期望值和方差：讲解离散型随机变量的期望值和方差的定义和计算方法，并通过实例进行说明。
5. 应用实例：给出几个实际问题，引导学生运用离散型随机变量的知识解决问题。
6. 总结与拓展：对本节课的内容进行总结，并引导学生思考离散型随机变量的更多应用领域。
七、教学评估：1. 课堂练习：布置一些计算题，检查学生对离散型随机变量的概念和计算方法的掌握程度；2. 问题解答：鼓励学生提问，解答他们在学习过程中遇到的问题；3. 实际应用评估：通过学生对应用实例的解答，评估他们运用离散型随机变量知识解决实际问题的能力。
离散型随机变量教案
离散型随机变量及其分布列第一课时2．1.1离散型随机变量教学目标：1.知识与技能：理解随机变量和离散型随机变量的概念，能够应用随机变量表示随机事件，学会恰当的定义随机变量；2.过程与方法：在教学过程中，以不同的实际问题为导向，引导学生分析问题，归纳共性，提高分析能力和抽象概括能力；3.情感、态度与价值观：列举生活实例，使学生进一步感受到数学与生活的零距离，增强数学的应用意识.教学重点：随机变量、离散型随机变量概念的理解及随机变量的实际应用.教学难点：对随机变量概念的透彻理解及对引入随机变量目的的认识.教学方法：问题情境法、引导探究.教学手段：多媒体.教学过程：一、创设情境，引出随机变量问题1：掷一枚骰子，向上的点数有哪些？问题2：某人射击一次，射中的环数有哪些？问题3：掷一枚硬币的结果有哪些？思考：掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示？任何随机试验的结果都可以用数字表示吗？二、探究发现，归纳概念问题4：从装有黑色，白色，黄色，红色四个球的箱子中摸出一个球，可能会出现哪几种结果？能否用数字来刻画这种随机试验的结果？引导学生从例子归纳出：如果将实验结果与实数建立了对应关系，那么随机试验的结果就可以用数字表示。
由于这个数字随着随机试验的不同结果而取不同的值，因此是个变量．随机变量的概念：在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示，在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化。
像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母X ，Y ，ξ，η，…表示.思考：随机变量和函数有类似的地方吗？函数随机变量问题5：在掷骰子的试验中，如果我们仅关心的是“掷出的点数是否为偶数”，怎样构造随机变量？问题6：在含有10件次品的100件产品中，任意抽取4件，设其中含有的次品件数为X ，思考：（1）求出随机变量X 的所有可能取值（2）{X=4}表示什么事件？（3）{X ＜3}表示什么事件？（4）事件“抽出3件以上次品”如何用X 表示？（5）事件“至少抽出1件次品”如何用X 表示？思考：前面所涉及的随机变量，从取值的角度看有什么共同特点？(取值可以一一列出)0,掷出奇数点1，掷出偶数点{Y 实数 实数离散型随机变量的概念：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量.问题7：下面两个例题中的随机变量是离散型随机变量吗？(1)某网页在24小时内被浏览的次数(2)某人接连不断的射击,首次命中目标需要射击的次数合作交流：你能举出一些离散型随机变量的例子吗？问题8：下列随机变量是离散型随机变量吗？（1）在某项体能测试中，某同学跑1km所花费的时间；（2）公交车每10分钟一趟，一乘客等公交车的时间；（3）笔记本电脑的寿命.非连续型随机变量的概念：有的随机变量，它可以取某一区间内的一切值这样的随机变量叫做连续型随机变量.问题9：上例体能测试中，如果跑1km时间在3'39"之内的为优秀；时间在3'39"到3'49"之间的为良好；时间在3'49"到4'33"之间的为及格，其他的不及格.（1）如果我们只关心该同学是否能够取得优秀，应该如何定义随机变量？（2）如果我们关心学生的成绩等级，是优秀、良好还是及格，又应该如何定义随机变量呢？三、实际应用，加深理解练习：下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示？若能，则写出它可能的取值，并说明这些值所表示的随机试验的结果.(1)一袋中装有5个同样的球，编号依次为1,2,3,4,5.从该袋中随机取出3个球．三个球中的最小编号，最大编号呢？(2)袋子中有2个黑球6个红球，从中任取 3个，其中含有的红球个数？含有的黑球个数呢？(3)某同学打篮球投篮5次，投中的次数；(4)甲乙两队进行乒乓球单打比赛，采用“5局3胜制”，则分出胜负需要进行的比赛次数；四、课堂小结本节课你学到了什么？两个概念：随机变量、离散型随机变量一种思想：数字化五、布置作业必做题：1.有5把钥匙串在一起,其中有1把是有用的,若依次尝试开锁,若打不开就扔掉,直到找到能开锁的钥匙为止,则试验次数X 的所有可能取值是_______；2.在考试中，需回答三个问题，考试规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，求这名同学回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值及对应的试验结果.选做题：先后抛掷两枚骰子，向上的点数之和 X 的所有可能取值及取这些值时对应的概率.六、板书设计多媒体 典例分析 学生练习区： （1） （2） （3） （4） 2.1.1离散型随机变量1.随机变量的概念和本质：2.离散型随机变量概念：3.非离散型随机变量概念：。
离散型随机变量及其分布复习课教案
离散型随机变量及其分布复习课教案一、教学目标1. 回顾和巩固离散型随机变量的概念、性质和常用分布律。
2. 提高学生运用离散型随机变量及其分布解决实际问题的能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力和团队合作精神。
二、教学内容1. 离散型随机变量的定义及其性质。
2. 离散型随机变量的分布律及其计算方法。
3. 常用离散型随机变量的分布律（如二项分布、泊松分布、均匀分布等）。
4. 离散型随机变量期望和方差的计算方法及其性质。
5. 离散型随机变量及其分布在实际问题中的应用。
三、教学方法1. 采用案例分析法，通过具体例子引导学生回顾和巩固离散型随机变量及其分布的知识。
2. 运用小组讨论法，培养学生团队合作精神和独立思考能力。
3. 采用互动式教学法，激发学生的学习兴趣，提高课堂参与度。
4. 利用多媒体辅助教学，增强学生对知识点的理解。
四、教学准备1. 教案、课件及教学素材。
2. 计算器、投影仪等教学设备。
3. 练习题及答案。
五、教学过程1. 导入新课：通过一个简单的案例，引导学生回顾离散型随机变量的定义及其性质。
2. 知识回顾：讲解离散型随机变量的分布律及其计算方法，引导学生复习常用分布律。
3. 案例分析：分析实际问题，运用离散型随机变量及其分布解决这些问题，巩固知识。
4. 小组讨论：让学生分组讨论离散型随机变量期望和方差的计算方法及其性质。
5. 课堂练习：布置练习题，让学生运用所学知识解决问题，教师点评答案。
6. 总结与展望：对本节课的主要内容进行总结，并提出下一节课的教学内容。
7. 课后作业：布置课后作业，巩固课堂所学知识。
六、教学评估1. 课堂问答：通过提问方式检查学生对离散型随机变量及其分布的理解程度。
2. 练习题解答：评估学生运用离散型随机变量及其分布解决实际问题的能力。
3. 小组讨论：观察学生在团队合作中的表现，评价其团队合作精神和独立思考能力。
七、教学拓展1. 介绍离散型随机变量及其分布在其他学科领域的应用。
离散型随机变量学案2
2．1．1离散型随机变量教学目标：1.理解随机变量的意义；2.学会区分离散型与非离散型随机变量，并能举出离散型随机变量的例子；3.理解随机变量所表示试验结果的含义，并恰当地定义随机变量.教学重点：随机变量、离散型随机变量的意义教学难点：随机变量、离散型随机变量的意义一、复习引入：（1）某人射击一次，可能出现命中0环，命中1环，…，命中10环等结果，即可能出现的结果可能由0，1，……10这11个数表示；（2）某次产品检验，在可能含有次品的100件产品中任意抽取4件，那么其中含有的次品可能是0件，1件，2件，3件，4件，即可能出现的结果可以由0，1，2，3，4这5个数表示；（3）抛一枚硬币，所有可能的结果是：正面向上或反面向上；不能用数字来表示。
但是在数学中我们可以做到用数字表示：“1”代表正面向上，“0”代表反面向上二、新课讲解：1.在试验中，实验可能的结果可以用一个来表示，并且变量随着试验结果变化而变化，这样的变量称为随机变量．随机变量常用字母 X , Y，ξ，η，…表示；2. 所有取值可以的随机变量，称为离散型随机变量（相应的还有连续性随机变量）；思考：1. 随机变量和函数有相似的地方吗？2. 电灯的寿命是离散型随机变量吗？三、讲解范例：例1．写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果：一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5 现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数ξ；变式：写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果：一袋中装有2只同样大小的白球和5只同样大小的黑球，现从该袋内随机取出3只球，被取出的球所含白数的个数ξ；例2． 抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ，试问：“ξ> 4”表示的试验结果是什么？四、课堂练习：1.①某寻呼台一小时内收到的寻呼次数ξ；②长江上某水文站观察到一天中的水位ξ；③某超市一天中的顾客量ξ其中的ξ是离散型随机变量的是（ ）A ．①；B ．②；C ．③；D ．①③２.随机变量ξ的所有等可能取值为1,2,,n …，若()40.3P ξ<=，则（ ）A ．3n =；B ．4n =；C ．10n =；D ．不能确定3.抛掷两次骰子，两个点的和不等于8的概率为（ ）A ．1112；B ．3136；C ．536； D ．112 4.某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，ξ可能的取值为（ ）A.5 ；B.1,2,3,4,5；C.0,1,2,3,4；D. 0,1,2,3,4，5；5.某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则“5ξ=”表示的实验结果是（ ）A.第5次击中目标 ；B. 第5次未击中目标；C.前4次均未击中目标；D. 第 4次击中目标。
(统编版)2020高中数学第二章离散型随机变量及其分布列第2课时预习导航学案新人教A版选修2_109
2.1 离散型随机变量及其分布列 2预习导航1．离散型随机变量的分布列(1)一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，以表格的形式表示如下：的概率分布列，简称为的分布列．用等式可表示为P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1,2，…，n ，也可以用图象来表示X 的分布列．(2)离散型随机变量的分布列的性质：①p i≥0，i ＝1,2，…，n ；② i =1np i ＝1.思考1 随机变量X 的分布列为则m 为( )A ．12B ．13C ．14D ．16提示：由概率分布列的性质知，14＋m ＋13＋16＝1，得m ＝14.2．两点分布(1)随机变量X 的分布列为若随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称X 服从两点分布． (2)上表中的p ＝P (X ＝1)为成功概率．思考2 如果随机变量X 的分布列由下表给出，它服从两点分布吗？提示：不服从两点分布，因为 1. 3．超几何分布一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC n N，k ＝0,1,2，…，m ，即其中m ＝的形式，则称随机变量X 服从超几何分布．思考3 设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为( )A ．C 480C 610C 10100 B ．C 680C 410C 10100C ．C 480C 620C 10100 D ．C 680C 420C 10100提示：由超几何分布概率公式为：P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC n N ，k ＝0,1,2，…，m .根据题意知N ＝100，M ＝80，n ＝10，k ＝6，所以P (X ＝6)＝C 680C 420C 10100.。
离散型随机变量及其分布复习课 教案
离散型随机变量及其分布列【教学目标】1、知识与技能（1）复习离散型随机变量的分布列，会求某些简单的离散型随机变量的分布列（2）通过实例，理解超几何分布和二项分布以及它们的特点，并能进行简单应用（3）通过实例，理解取有限值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些具体问题（4）在对具体问题的分析中，认识分布列对刻画随机现象的重要性2、过程与方法在教学中要掌握思维过程，引导学生发现问题的方法，达到举一反三的目的；还要进行题后反思，形成良好的数学认知结构。
3、情感态度和价值观通过引导学生对解决问题的过程的参与，使学生进一步感受到生活与数学“零距离”，从而激发学生的学习热情，使学生获得良好的情感态度和价值观。
【教学重点】求离散型随机变量的分布列；对超几何分布、二项分布的理解【教学难点】求离散型随机变量的分布列；超几何分布、二项分布的应用【授课类型】复习课【教学过程】一、知识点回顾（1）离散型随机变量的分布列（2）几个特殊的分布列：两点分布、二项分布，超几何分布二、例题讲解例1、设离散型随机变量X的分布列为求2X＋1的分布列．例2、某袋中有7个黑球和3个红球1、任取4个球，取到红球的个数X的分布列2、每次取一个（取后不放回）取4次，取到红球个数X的分布列3、每次取一个（取后放回），取4次，则到红球的个数X的分布列4、每次取一个，取后不放回直到取到黑球的次数X的分布列三、课堂练习1、种植某种树苗，成活率为90%，现在种植这种树苗5棵，则（1）全部成活的概率为；（2）全部死亡的概率为；（3）恰好3棵成活的概率为；（4）至少4棵成活的概率为。
2、（2010广东理6）甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要在赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为A．12B．35C．23D．34四、课后作业：1、某批发市场对某种商品的周销售量(单位:吨)进行统计,最近100周的统计结果如下表所示:（1）根据上面统计结果,求周销售量分别为2吨,3吨和4吨的频率;（2）已知每吨该商品的销售利润为2千元,ξ表示该种商品两周销售利润的和(单位:千元),若以上述频率作为概率,且各周的销售量相互独立,求ξ的分布列和数学期望.2、（2011广东理17）为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x,y的含量（单位：毫克）。
2.1.1离散型随机变量(导学案)
§2.1.1离散型随机变量（导学案）一、教学目标1.复习古典概型、几何概型有关知识。
2.理解离散型随机变量的概念，学会区分离散型与非离散型随机变量。
3.理解随机变量所表示试验结果的含义，并恰当地定义随机变量. 二、复习引入： 1. 在一定条件下_______________________的事件，叫做随机事件，试验的每一个可能的结果称为基本事件。
2.一次试验中 的两个事件叫做互斥事件（或称互不相容事件）。
互斥事件的概率加法公式 。
3. 一次试验中 的两个事件叫做互为对立事件， 事件A 的对立事件记作 ，对立事件的概率公式4. 古典概型的两个特征：（１） .（２） .5. 概率的古典定义：P （A ）= 。
6.几何概型中的概率定义：P(A)= 。
三、预习自测： 1.在随机试验中，试验可能出现的结果 ，并且X 是随着试验的结果的不同而 的，这样的变量X 叫做一个 。
常用 表示。
2.如果随机变量X 的所有可能的取值 ，则称X 为 。
四、典例解析： 例1 写出下列各随机变量可能取得值： （1）抛掷一枚骰子得到的点数。
（2）袋中装有6个红球，4个白球，从中任取5个球，其中所含白球的个数。
（3）抛掷两枚骰子得到的点数之和。
（4）某项试验的成功率为0.001，在n 次试验中成功的次数。
（5）某射手有五发子弹，射击一次命中率为0.9，若命中了就停止射击，若不命中就一直射到子弹耗尽.求这名射手的射击次数X 的可能取值例2 随机变量X 为抛掷两枚硬币时正面向上的硬币数，求X 的所有可能取值及相应概率。
变式训练 一只口袋装有6个小球，其中有3个白球，3个红球，从中任取2个小球，取得白球的个数为X ，求X 的所有可能取值及相应概率。
例3 △ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，向△ABC 内部随意投入一个小球，求小球落在△ADE中的概率。
五、当堂检测 1.将一颗均匀骰子掷两次，不能作为随机变量的是：（ ） (A)两次出现的点数之和； (B)两次掷出的最大点数； (C)第一次减去第二次的点数差； (D)抛掷的次数。
离散型随机变量学案
第二章概率2．1．1 离散型随机变量【使用说明】：1.课前完成预习学案的问题导学及例题和深化提高。
2.认真限时完成，规范书写，课上小组合作探究，答疑解惑。
【重点难点】:重点：会用随机变量表示随机试验的结果和每一个随机变量所代表的随机事件。
难点：随机变量的概念，随机变量和随机变量每一个实验结果形成的映射。
一．学习目标：1.了解随机变量的概念。
2.会用随机变量表示随机试验的结果和解释每一个随机变量所代表的随机事件。
3.以极度的热情投入学习，不浪费一分一秒，体验成功的快乐。
二．问题导学。
阅读课文33页回答下列问题（1）你能否举出一些简单的随机现象？（2）您能否用数学语言表示每一个随机试验的每一个结果？（3）随机变量的的概念是什么？如何表示？能否举例说明？三。
基础训练1. 已知在10件产品中有2件不合格产品。
现从这10件产品中任取3件，这是一个随机现象。
I）写出该随机现象的所有可能出现的结果II）试用随机变量来描述上述结果。
2连续投掷一枚均匀的硬币两次，用X表示这两次投中的正面朝上的次数，则X是一个随机变量。
分别说明下列集合所代表的随机事件：I）{X=0} II） {X=0}III) {X<=1} IV) {X>0}四．合作探究写出下列随机变量可能取得的值，并说明每一个随机变量所代表的随机实验的结果。
（1）一袋子中装有5只同样大小的白球，编号为1,2,3,4,5.现从该袋中随机的取出3只球，被取出的球的最大号码数是X.（2）某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数Y.五课时总结1.2.六．巩固与提高1．用随机变量来描述随机现象的可能结果：（1）连续掷一枚均匀的硬币3次，正面朝上的次数；（2）一个口袋装有除颜色外其他均相同的8个红球，3个黄球，任意摸出两个，摸到黄球的个数。
2.用表示10次射击中命中目标的次数，分别说明下列集合所代表的随机事件：I）{X=8} II） {1<X<=9}III) {X>=1} III) {X<1}. .。
《2.1.1 离散型随机变量》导学案(新部编)2
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《2.1.1 离散型随机变量》导学案2目标要求1． 理解随机变量及离散型随机变量的含义 2． 了解随机变量与函数的区别和联系 3． 会用离散型随机变量描述随机现象教学重点随机变量及离散型随机变量的概念教学难点用离散型随机变量描述随机现象教学过程一. 复习回顾1.随机事件在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S 的随机事件。
2.基本事件的特点（1）任何基本事件都是互斥的；（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和。
3.古典概型概率的计算基本事件的总数包含的基本事件的个数A P(A)=4.几何概型概率的计算积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A P(A)=二. 知识探究问题一 某人在射击训练中，射击一次，命中的环数.可能出现的结果有哪些?请填在表问题二 某纺织公司的某次产品检验，在可能含有次品的100件产品中任意抽取4件，其中含有的次品件数.问题三把一枚硬币向上抛，可能会出现哪几种结果？能否用数字来刻划这种随机试验问题四从装有黑色，白色，黄色，红色四个球的箱子中摸出一个球，可能会出现哪几小结:①每一个试验的结果可以用一个确定的数字来表示；②每一个确定的数字都表示一种试验结果.同一个随机试验的结果,可以赋不同的数字;③数字随着试验结果的变化而变化，是一个变量.④每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能预知这个变量的取值．三知识形成1.随机变量的定义:在随机试验中,确定了一个对应关系,使得每一个都用一个表示,在这个对应关系下, 随着变化而变化.像这样随着实验结果变化而变化的变量称为随机变量.表示:随机变量常用 , , , …表示.例如:（1）射击训练中,命中的环数X（2）在含有次品的100件产品中,任意抽取4件,含次品的件数Y例1 判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由.(1)某天博文学校校办接到的电话的个数.(2)标准大气压下，水沸腾的温度.(3)在一次比赛中，设一二三等奖，你的作品获得的奖次.(4)体积64立方米的正方体的棱长.(5)抛掷两次骰子,两次结果的和.(6)袋中装有6个红球，4个白球，从中任取5个球，其中所含白球的个数.解:是随机变量的有 .2. 随机变量与函数的区别和联系联系：随机变量和函数都是映射。
2020版高考数学二轮复习第2部分专题3概率与统计第1讲概率、随机变量及其分布教案理(最新整理)
第1讲概率、随机变量及其分布［做小题——激活思维］1．若随机变量X的分布列如表所示，E(X）＝1。
6,则a－b＝( ）X0123P0。
1a b0。
1A．0.2C．0。
8 D．－0。
8B［由0。
1＋a＋b＋0.1＝1,得a＋b＝0。
8,又由E(X)＝0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0。
1＝1。
6，得a＋2b＝1.3，解得a＝0。
3,b＝0.5，则a－b＝－0。
2.］2．已知甲在上班途中要经过两个路口,在第一个路口遇到红灯的概率为0。
5,两个路口连续遇到红灯的概率为0。
4，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为( )A．0。
6 B．0.7C．0.8 D．0。
9C［记“第一个路口遇到红灯"为事件A，“第二个路口遇到红灯”为事件B，则P（A）＝0.5，P（AB)＝0。
4，则P（B｜A)＝错误!＝0.8，故选C。
]3．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为错误!和错误!,两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( ）A。
错误!B。
错误!C。
14D。
错误!B［设事件A：甲实习生加工的零件为一等品；事件B：乙实习生加工的零件为一等品，且A，B相互独立，则P(A)＝错误!,P(B）＝错误!，所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为P(A错误!)＋P（错误!B)＝P（A)P（错误!）＋P(错误!）P(B）＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!。
］4．设随机变量X~B(2，p），Y～B（4，p)，若P（X≥1）＝错误!,则P(Y≥1）＝( ）A.错误!B。
错误!C。
错误!D．1C[∵X～B(2，p），∴P（X≥1）＝1－P(X＝0）＝1－C错误!（1－p)2＝错误!，解得p＝错误!,∴P(Y≥1）＝1－P（Y＝0)＝1－C0，4（1－p)4＝1－错误!＝错误!，故选C.］5．罐中有6个红球和4个白球，从中任取1球,记住颜色后再放回，连续取4次,设X为取得红球的次数，则X的方差D（X）的值为________．错误!［因为是有放回地取球，所以每次取球（试验）取得红球（成功）的概率均为错误!，连续取4次(做4次试验），X为取得红球（成功）的次数,则X~B错误!，∴D(X）＝4×错误!×错误!＝错误!.]6．已知某批零件的长度误差（单位：毫米)服从正态分布N（0,32)，从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6）内的概率为________．（附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2），则P(μ－σ＜X＜μ＋σ）＝0。
离散型随机变量及其分布复习课教案
离散型随机变量及其分布复习课教案一、教学目标1. 复习离散型随机变量的概念及其性质。
2. 掌握离散型随机变量的概率分布及其数学期望。
3. 能够运用离散型随机变量及其分布解决实际问题。
二、教学内容1. 离散型随机变量的定义及其性质。
2. 离散型随机变量的概率分布，包括概率质量函数和累积分布函数。
3. 离散型随机变量的数学期望。
4. 离散型随机变量的方差及其性质。
5. 实际问题中的离散型随机变量及其分布的应用。
三、教学方法1. 采用讲解、案例分析、练习相结合的教学方法。
2. 通过具体的例子和问题，引导学生理解离散型随机变量及其分布的概念和性质。
3. 利用数学软件或图形计算器，进行离散型随机变量的模拟实验，增强学生对离散型随机变量分布的理解。
四、教学准备1. 教学PPT或教案。
2. 数学软件或图形计算器。
3. 相关的练习题和案例分析题。
五、教学过程1. 复习离散型随机变量的定义及其性质，通过具体的例子进行解释和说明。
2. 讲解离散型随机变量的概率分布，包括概率质量函数和累积分布函数的定义和计算方法。
3. 引入离散型随机变量的数学期望的概念，讲解其计算方法和性质。
4. 引入离散型随机变量的方差的概念，讲解其计算方法和性质。
5. 通过案例分析，让学生运用离散型随机变量及其分布解决实际问题，如概率计算、期望和方差的估计等。
教案内容待补充六、教学评估1. 通过课堂练习和讨论，评估学生对离散型随机变量及其分布的理解程度。
2. 通过课后作业和练习题，评估学生对离散型随机变量及其分布的掌握程度。
3. 结合学生的参与度和提问反馈，评估学生的学习效果。
七、教学拓展1. 介绍离散型随机变量及其分布在其他学科领域的应用，如物理学、化学、生物学等。
2. 探讨离散型随机变量及其分布在实际问题中的应用，如统计学、经济学、社会学等。
八、教学资源1. 离散型随机变量及其分布的教材或参考书。
2. 离散型随机变量的模拟实验软件或图形计算器。
高中数学高考二轮复习随机变量及其分布列教案(全国专用)
1．(2014·课标Ⅱ，5，易)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6.已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是()A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.451．A设“一天的空气质量为优良”为事件A，“连续两天为优良”为事件AB，则已知某天的空气质量为优良，随后一天的空气质量为优良的概率为P(B|A)．由条件概率可知，P(B|A)＝P（AB）P（A）＝0.60.75＝45＝0.8，故选A.2．(2015·湖南，18，12分，中)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球．在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X .求X 的分布列和数学期望．2．解：(1)记事件A 1＝{从甲箱中摸出的1个球是红球}， A 2＝{从乙箱中摸出的1个球是红球}， B 1＝{顾客抽奖1次获一等奖}， B 2＝{顾客抽奖1次获二等奖}， C ＝{顾客抽奖1次能获奖}．由题意，A 1与A 2相互独立，A 1A －2与A －1A 2互斥，B 1与B 2互斥，且B 1＝A 1A 2，B 2＝A 1A －2＋A －1A 2，C ＝B 1＋B 2.因为P (A 1)＝410＝25，P (A 2)＝510＝12，所以P (B 1)＝P (A 1A 2)＝P (A 1)P (A 2) ＝25×12＝15，P (B 2)＝P (A 1A －2＋A －1A 2)＝P (A 1A －2)＋P (A －1A 2)＝P (A 1)P (A －2)＋P (A －1)P (A 2)＝P (A 1)[1－P (A 2)]＋[1－P (A 1)]P (A 2) ＝25×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25×12＝12.故所求概率为P (C )＝P (B 1＋B 2)＝P (B 1)＋P (B 2)＝15＋12＝710.(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为15，所以X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，15. 于是P (X ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫150⎝ ⎛⎭⎪⎫453＝64125， P (X ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫151⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝48125， P (X ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫152⎝ ⎛⎭⎪⎫451＝12125，P (X ＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫153⎝ ⎛⎭⎪⎫450＝1125. 故X 的分布列为X 的数学期望为E (X )＝3×15＝35.3．(2014·山东，18，12分，中)乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分．如图，甲上有两个不相交的区域A ，B ，乙被划分为两个不相交的区域C ，D .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球．规定：回球一次，落点在C 上记3分，在D 上记1分，其他情况记0分．对落点在A 上的来球，队员小明回球的落点在C 上的概率为12，在D 上的概率为13；对落点在B 上的来球，小明回球的落点在C 上的概率为15，在D 上的概率为35.假设共有两次来球且落在A ，B 上各一次，小明的两次回球互不影响．求：(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率； (2)两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望．3．解：记A i 为事件“小明对落点在A 上的来球回球的得分为i 分”(i ＝0，1，3)， 则P (A 3)＝12，P (A 1)＝13，P (A 0)＝1－12－13＝16；记B i 为事件“小明对落点在B 上的来球回球的得分为i 分”(i ＝0，1，3)， 则P (B 3)＝15，P (B 1)＝35，P (B 0)＝1－15－35＝15.(1)记D 为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”． 由题意，D ＝A 3B 0＋A 1B 0＋A 0B 1＋A 0B 3， 由事件的独立性和互斥性，得 P (D )＝P (A 3B 0＋A 1B 0＋A 0B 1＋A 0B 3) ＝P (A 3B 0)＋P (A 1B 0)＋P (A 0B 1)＋P (A 0B 3)＝P (A 3)P (B 0)＋P (A 1)P (B 0)＋P (A 0)·P (B 1)＋P (A 0)P (B 3)＝12×15＋13×15＋16×35＋16×15＝310，所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为310.(2)由题意，随机变量ξ可能的取值为0，1，2，3，4，6， 由事件的独立性和互斥性，得 P (ξ＝0)＝P (A 0B 0)＝16×15＝130，P (ξ＝1)＝P (A 1B 0＋A 0B 1)＝P (A 1B 0)＋P (A 0B 1)＝13×15＋16×35＝16， P (ξ＝2)＝P (A 1B 1)＝13×35＝15，P (ξ＝3)＝P (A 3B 0＋A 0B 3)＝P (A 3B 0)＋P (A 0B 3)＝12×15＋15×16＝215， P (ξ＝4)＝P (A 3B 1＋A 1B 3)＝P (A 3B 1)＋P (A 1B 3)＝12×35＋13×15＝1130， P (ξ＝6)＝P (A 3B 3)＝12×15＝110. 可得随机变量ξ的分布列为所以数学期望Eξ＝0×130＋1×16＋2×15＋3×215＋4×1130＋6×110＝9130.4．(2013·课标Ⅰ，19，12分，中)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n .如果n ＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n ＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为12，且各件产品是否为优质品相互独立． (1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X (单位：元)，求X 的分布列及数学期望． 4．解：(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A 1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A 2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B 1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A＝(A1B1)∪(A2B2)，且A1B1与A2B2互斥，所以P(A)＝P(A1B1)＋P(A2B2)＝P(A1)P(B1|A1)＋P(A2)P(B2|A2)＝416×116＋116×12＝364.(2)X可能的取值为400，500，800，并且P(X＝400)＝1－416－116＝1116，P(X＝500)＝116，P(X＝800)＝14.所以X的分布列为E(X)＝400×1116＋500×116＋800×14＝506.25.相互独立事件的概率是高考的常考考点，是解决复杂问题的基础，一般情况下，一些较为复杂的事件可以拆分为一些相对简单事件的和或积，这样就可以利用概率公式转化为互斥事件和独立事件的组合，通常以解答题出现，与数学期望等知识结合，难度中等．1(2015·北京，16，13分)A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下：A组：10，11，12，13，14，15，16；B组：12，13，15，16，17，14，a.假设所有病人的康复时间互相独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．(1)求甲的康复时间不少于14天的概率；(2)如果a＝25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；(3)当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？(结论不要求证明)(1)甲的康复时间不少于14天→甲是A组的第5人或第6人或第7人→每人康复时间互斥→互斥事件概率加法公式 (2)甲康复时间比乙长→相互独立事件同时发生→列举每种情况→互斥事件加法求解【解析】 设事件A i 为“甲是A 组的第i 个人”，事件B j 为“乙是B 组的第j 个人”，i ，j ＝1，2， (7)由题意可知P (A i )＝P (B j )＝17，i ，j ＝1，2， (7)(1)由题意知，事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A 组的第5人，或者第6人，或者第7人”，所以甲的康复时间不少于14天的概率是P (A 5∪A 6∪A 7)＝P (A 5)＋P (A 6)＋P (A 7)＝37.(2)设事件C 为“甲的康复时间比乙的康复时间长”．由题意知，C ＝A 4B 1∪A 5B 1∪A 6B 1∪A 7B 1∪A 5B 2∪A 6B 2∪A 7B 2∪A 7B 3∪A 6B 6∪A 7B 6. 因为P (C )＝P (A 4B 1)＋P (A 5B 1)＋P (A 6B 1)＋P (A 7B 1)＋P (A 5B 2)＋P (A 6B 2)＋P (A 7B 2)＋P (A 7B 3)＋P (A 6B 6)＋P (A 7B 6)＝10P (A 4B 1)＝10P (A 4)P (B 1)＝1049. (3)a ＝11或a ＝18.(2014·大纲全国，20，12分)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立． (1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2)X 表示同一工作日需使用设备的人数，求X 的数学期望．解：设A i 表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i 人需使用设备，i ＝0，1，2， B 表示事件：甲需使用设备， C 表示事件：丁需使用设备，D 表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．(1)D ＝A 1BC ＋A 2B ＋A 2B －C ， P (B )＝0.6，P (C )＝0.4， P (A i )＝C i 2×0.52，i ＝0，1，2，所以P (D )＝P (A 1BC ＋A 2B ＋A 2B －C )＝P (A 1BC )＋P (A 2B )＋P (A 2B －C )＝P (A 1)P (B )P (C )＋P (A 2)P (B )＋P (A 2)P (B －)P (C ) ＝0.31.(2)X 的可能取值为0，1，2，3，4，则有P (X ＝0)＝P (B －A 0C －)＝P (B －)P (A 0)P (C －)＝(1－0.6)×0.52×(1－0.4) ＝0.06，P (X ＝1)＝P (BA 0C －＋B －A 0C ＋B －A 1C －)＝P (B )P (A 0)P (C －)＋P (B －)P (A 0)P (C )＋P (B －)P (A 1)P (C －)＝0.6×0.52×(1－0.4)＋(1－0.6)×0.52×0.4＋(1－0.6)×2×0.52×(1－0.4) ＝0.25，P (X ＝4)＝P (A 2BC )＝P (A 2)P (B )P (C )＝0.52×0.6×0.4＝0.06， P (X ＝3)＝P (D )－P (X ＝4)＝0.25，P (X ＝2)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)－P (X ＝3)－P (X ＝4) ＝1－0.06－0.25－0.25－0.06 ＝0.38， X 的分布列为数学期望E (X )＝0×P (X ＝0)＋1×P (X ＝1)＋2×P (X ＝2)＋3×P (X ＝3)＋4×P (X ＝4)＝0.25＋2×0.38＋3×0.25＋4×0.06＝2.相互独立事件概率的求法(1)首先要搞清事件间的关系(是否彼此互斥、是否相互独立、是否对立)，正确区分“互斥事件”与“对立事件”．当且仅当事件A 和事件B 相互独立时，才有P (AB )＝P (A )·P (B )．(2)A ，B 中至少有一个发生：A ∪B .①若A ，B 互斥：P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )，否则不成立．②若A ，B 相互独立(不互斥)，则概率的求法：方法一：P (A ∪B )＝P (AB )＋P (AB －)＋P (A －B )；方法二：P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (AB )＝1－P (A －)P (B －)．(3)某些事件若含有较多的互斥事件，可考虑其对立事件的概率，这样可减少运算量，提高准确率．要注意“至多”“至少”等题型的转化．条件概率在高考中经常作为解答题的一小问，或以选择题、填空题出现，难度较小，一般以直接考查公式的应用为主，分值约为5分．2(2015·湖北荆门模拟，20，12分)某工厂生产了一批产品共有20件，其中5件是次品，其余都是合格品，现不放回地从中依次抽取2件．求： (1)第一次抽到次品的概率；(2)第一次和第二次都抽到次品的概率；(3)在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率．【解析】 设“第一次抽到次品”为事件A ，“第二次抽到次品”为事件B ，事件A 和事件B 相互独立．依题意得：(1)第一次抽到次品的概率为P (A )＝520＝14. (2)第一次和第二次都抽到次品的概率为P (AB )＝520×419＝119.(3)方法一：在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率为P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝119÷14＝419.方法二：第一次抽到次品后，还剩余产品19件，其中次品4件，故第二次抽到次品的概率为P (B )＝419.(2015·湖北荆州质检，13)把一枚硬币任意抛掷三次，事件A ＝“至少一次出现反面”，事件B ＝“恰有一次出现正面”，则P (B |A )＝________． 【解析】 由题意知，P (AB )＝323＝38，P (A )＝1－123＝78，所以P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝3878＝37. 【答案】 37,条件概率的求法(1)利用定义，分别求P (A )和P (AB )，得P (B |A )＝P （AB ）P （A ）.注意：事件A 与事件B 有时是相互独立事件，有时不是相互独立事件，要弄清P (AB )的求法．(2)当基本事件适合有限性和等可能性时，可借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再在事件A 发生的条件下求事件B 包含的基本事件数，即n (AB )，得P (B |A )＝n （AB ）n （A ）.1．(2016·湖北荆门一模，6)把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A ，“第二次出现正面”为事件B ，则P (B |A )等于( ) A.12 B.14 C.16 D.181．A 由古典概型知P (A )＝12，P (AB )＝14，则由条件概率知P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝1412＝12.2．(2016·河北石家庄质检，9)小明准备参加电工资格考试，先后进行理论考试和操作考试两个环节，每个环节各有两次考试机会，在理论考试环节，若第一次考试通过，则直接进入操作考试；若第一次未通过，则进行第二次考试，若第二次考试通过则进入操作考试环节，第二次未通过则直接被淘汰．在操作考试环节，若第一次考试通过，则直接获得证书；若第一次未通过，则进行第二次考试，若第二次考试通过则获得证书，第二次未通过则被淘汰．若小明每次理论考试通过的概率为34，每次操作考试通过的概率为23，并且每次考试相互独立，则小明本次电工考试中共参加3次考试的概率是( ) A.13 B.38 C.23 D.342．B 设小明本次电工考试中共参加3次考试为事件A ，小明本次电工考试中第一次理论考试没通过，第二次理论考试通过，第一次操作考试通过为事件B ，小明本次电工考试中第一次理论考试通过，第一次操作考试没通过为事件C ，则P (A )＝P (B ∪C )＝P (B )＋P (C )，又P (B )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×34×23＝18，P (C )＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝14，所以P (A )＝18＋14＝38.3．(2015·河南郑州一模，10)1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则从2号箱取出红球的概率是( ) A.1127 B.1124 C.1627 D.9243．A 方法一：记事件A ：从2号箱中取出的是红球；事件B ：从1号箱中取出的是红球，则根据古典概型和对立事件的概率和为1，可知：P (B )＝42＋4＝23，P (B －)＝1－23＝13；由条件概率公式知P (A |B )＝3＋18＋1＝49，P (A |B －)＝38＋1＝39.从而P (A )＝P (AB )＋P (AB －)＝P (A |B )·P (B )＋P (A |B －)·P (B －)＝1127，选A.方法二：根据题意，分两种情况讨论：①从1号箱中取出白球，其概率为26＝13，此时2号箱中有6个白球和3个红球，从2号箱中取出红球的概率为13，则这种情况下的概率为13×13＝19.②从1号箱中取出红球，其概率为23.此时2号箱中有5个白球和4个红球，从2号箱中取出红球的概率为49，则这种情况下的概率为23×49＝827.则从2号箱中取出红球的概率是19＋827＝1127.4．(2016·江苏扬州一模，4)在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲乙两人各抽取一张(不放回)，两人都中奖的概率为________．4．【解析】 方法一：不妨设甲先抽奖，设甲中奖记为事件A ，乙中奖记为事件B ，两人都中奖的概率为P ，则P ＝P (AB )＝23×12＝13.方法二：甲乙从三张奖券中抽两张的方法有A 23＝6种，两人都中奖的可能有2种，设两人都中奖的概率为P ，则P ＝26＝13. 【答案】 135．(2016·江苏盐城二模，10)如图所示的电路有a ，b ，c 三个开关，每个开关开或关的概率都是12，且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为________．5．【解析】 灯泡甲亮满足的条件是a ，c 两个开关都开，b 开关必须断开，否则短路．设“a 闭合”为事件A ，“b 闭合”为事件B ，“c 闭合”为事件C ，则甲灯亮应为事件AB －C ，且A ，B ，C 之间彼此独立，且P (A )＝P (B )＝P (C )＝12，由独立事件概率公式知P (AB －C )＝P (A )P (B －)P (C )＝12×12×12＝18.【答案】 186．(2016·湖南常德一模，18，12分)某旅游景点，为方便游客游玩，设置自行车骑游出租点，收费标准如下：租车时间不超过2小时收费10元，超过2小时的部分按每小时10元收取(不足一小时按一小时计算)．现甲、乙两人独立来该租车点租车骑游，各租车一次．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为13，12；2小时以上且不超过3小时还车的概率分别为12，13，且两人租车的时间都不超过4小时．(1)求甲、乙两人所付租车费用相等的概率；(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望． 6．解：(1)甲、乙所付费用可以为10元、20元、30元， 甲、乙两人所付费用都是10元的概率为P 1＝13×12＝16. 甲、乙两人所付费用都是20元的概率为P 2＝12×13＝16.甲、乙两人所付费用都是30元的概率为P 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12－13＝136.故甲、乙两人所付费用相等的概率为P ＝P 1＋P 2＋P 3＝1336. (2)随机变量ξ的取值可以为20，30，40，50，60. P (ξ＝20)＝12×13＝16. P (ξ＝30)＝13×13＋12×12＝1336.P (ξ＝40)＝12×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12－13×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13－12×12＝1136.P (ξ＝50)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13－12×13＝536. P (ξ＝60)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12－13＝136.故ξ的分布列为∴ξ的数学期望是Eξ＝20×16＋30×1336＋40×1136＋50×536＋60×136＝35. 7．(2016·山东德州一模，18，12分)某科技公司组织技术人员进行新项目研发，技术人员将独立地进行项目中不同类型的实验A ，B ，C ，若A ，B ，C 实验成功的概率分别为45，34，23.(1)对A ，B ，C 实验各进行一次，求至少有一次实验成功的概率；(2)该项目要求实验A ，B 各做两次，实验C 做三次，如果A 实验两次都成功则进行实验B 并获奖励10 000元，两次B 实验都成功则进行实验C 并获奖励30 000元，三次实验C 只要有两次成功，则项目研发成功并获奖励60 000元(不重复得奖)．且每次实验相互独立，用X 表示技术人员所获奖励的数值，写出X 的分布列及数学期望．7．解：(1)设A ，B ，C 实验成功分别记为事件A ，B ，C 且相互独立，A ，B ，C 至少有一次实验成功为事件D .则P (D )＝1－P (A －B －C －)＝1－P (A －)P (B －)P (C －)＝1－15×14×13＝5960.(2)X 的取值为0，10 000，30 000，60 000.则P (X ＝0)＝15＋45×15＝925.P (X ＝10 000)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452×⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋34×14＝725.P (X ＝30 000)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452×⎝ ⎛⎭⎪⎫342×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫233－C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232×13＝775.或P (X ＝30 000)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452×⎝ ⎛⎭⎪⎫342×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫133＋23×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋13×23×13＝775. P (X ＝60 000)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452⎝ ⎛⎭⎪⎫342×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫233＋C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232×13＝415.∴X 的分布列为∴X 的数学期望是 E (X )＝0×925＋10 000×725＋30 000×775＋60 000×415＝21 600(元)．1．(2015·湖北，4，易)设X ～N (μ1，σ21)，Y ～N (μ2，σ22)，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是( )A ．P (Y ≥μ2)≥P (Y ≥μ1)B ．P (X ≤σ2)≤P (X ≤σ1)C ．对任意正数t ，P (X ≤t )≥P (Y ≤t )D．对任意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t)1．C由正态分布密度曲线可得，μ1＜μ2，σ1＜σ2.结合正态曲线的概率的几何意义，对于A，∵μ1＜μ2，∴P(Y≥μ2)＜P(Y≥μ1)；对于B，∵σ1＜σ2，∴P(X≤σ2)＞P(X≤σ1)；对于C，D，结合图象可知，C正确．2．(2015·课标Ⅰ，4，中)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为()A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.3122．A记A i＝{投中i次}，其中i＝1，2，3，B表示该同学通过测试，故P(B)＝P(A2∪A3)＝P(A2)＋P(A3)＝C23×0.62×0.4＋C33×0.63＝0.648.3．(2015·湖南，7，中)在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0，1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954 4.A．2 386 B．2 718C．3 413 D．4 7723．C由于曲线C为正态分布N(0，1)的密度曲线，则阴影部分面积为S＝0.682 62＝0.341 3，∴落入阴影部分的点的个数为10 000×0.341 31＝3 413.故选C.4．(2016·四川，12，易)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是________．4．【解析】 由题可知：在一次试验中成功的概率P ＝1－14＝34，而该试验是一个2次的独立重复试验，成功次数X 服从二项分布X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，34，∴E (X )＝2×34＝32.【答案】 325．(2015·广东，13，中)已知随机变量X 服从二项分布B (n ，p )，若E (X )＝30，D (X )＝20，则p ＝________.5．【解析】 由E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )，得⎩⎨⎧np ＝30，np （1－p ）＝20，解得p ＝13.【答案】 136．(2012·课标全国，15，中)某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N (1 000，502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为________．6．【解析】 由题意知每个电子元件使用寿命超过1 000小时的概率均为12，元件1或元件2正常工作的概率为1－12×12＝34，所以该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为12×34＝38.【答案】 387．(2013·山东，19，12分，中)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率是23.假设每局比赛结果相互独立． (1)分别求甲队以3∶0，3∶1，3∶2胜利的概率；(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分，对方得1分，求乙队得分X 的分布列及数学期望．7．解：(1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A 1，“甲队以3∶1胜利”为事件A 2，“甲队以3∶2胜利”为事件A 3，由题意，各局比赛结果相互独立，故 P (A 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827，P (A 2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23＝827， P (A 3)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232×12＝427.所以，甲队以3∶0胜利、以3∶1胜利的概率为827，以3∶2胜利的概率为427. (2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A 4， 由题意，各局比赛结果相互独立， 所以P (A 4)＝C 24⎝⎛⎭⎪⎫1－232⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝427. 由题意，随机变量X 的所有可能的取值为0，1，2，3， 根据事件的互斥性得P (X ＝0)＝P (A 1＋A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝1627， P (X ＝1)＝P (A 3)＝427， P (X ＝2)＝P (A 4)＝427，P (X ＝3)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)－P (X ＝2)＝19， 故乙队得分X 的分布列为数学期望E (X )＝0×1627＋1×427＋2×427＋3×19＝79.二项分布是一种重要的概率模型，在高考中经常出现，选择题、填空题、解答题都可能出现，解答题出现频率更高，一般会综合相互独立、互斥或对立事件等知识进行考查，难度中等．1(2014·辽宁，18，12分)一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图．如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X)．【解析】(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量不低于100个且另1天的日销售量低于50个”．因此P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，P(A2)＝0.003×50＝0.15，P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.(2)X可能的取值为0，1，2，3，相应的概率为P(X＝0)＝C03·(1－0.6)3＝0.064，P(X＝1)＝C13·0.6(1－0.6)2＝0.288，P(X＝2)＝C23·0.62(1－0.6)＝0.432，P(X＝3)＝C33·0.63＝0.216，所以X的分布列为因为X～B(3，0.6)，所以期望E(X)＝3×0.6＝1.8，方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.(1)读图→计算小矩形面积，得相应概率→利用独立事件的概率公式求解(2)确定X的所有可能值→运用n次独立重复试验计算公式，得相应概率→列出分布列→利用二项分布求出期望和方差(2012·天津，16，13分)现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率； (3)用X ，Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X －Y |，求随机变量ξ的分布列与数学期望E (ξ)．解：依题意知，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的概率为23.设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件A i (i ＝0，1，2，3，4)， 则P (A i )＝C i 4⎝ ⎛⎭⎪⎫13i ⎝ ⎛⎭⎪⎫234－i. (1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为P (A 2)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝827.(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B ，则B ＝A 3∪A 4，由于A 3与A 4互斥，故P (B )＝P (A 3)＋P (A 4)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫133⎝ ⎛⎭⎪⎫231＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝19.所以这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为19. (3)ξ的所有可能的取值为0，2，4，由于A 1与A 3互斥，A 0与A 4互斥，故P (ξ＝0)＝P (A 2)＝827，P (ξ＝2)＝P (A 1)＋P (A 3)＝4081，P (ξ＝4)＝P (A 0)＋P (A 4)＝1781. 所以ξ的分布列为故E (ξ)＝0×827＋2×4081＋4×1781＝14881.n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次可看作是C k n 个互斥事件的和，其中每一个事件都可看作是k 个A 事件与n －k 个A －事件同时发生，只是发生的次序不同，其发生的概率都是p k (1－p )n －k .因此n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率为C k n p k (1－p )n －k.判断某随机变量是否服从二项分布的方法(1)在每一次试验中，事件发生的概率相同． (2)各次试验中的事件是相互独立的．(3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生．正态分布及其应用在近几年新课标高考中时常出现，主要考查正态曲线的性质(特别是对称性)，常以选择题、填空题的形式出现，难度较小；有时也会与概率与统计结合，在解答题中考查．2(1)(2015·辽宁十校联考，7)设两个正态分布N (μ1，σ21)(σ1>0)和N (μ2，σ22)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则( )A ．μ1<μ2，σ1<σ2B ．μ1<μ2，σ1>σ2C ．μ1>μ2，σ1<σ2D ．μ1>μ2，σ1>σ2(2)(2015·山东，8)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N (0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为( )(附：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ<ξ ＜μ＋σ)＝68.26%，P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.44%.)A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74% 【解析】 (1)由正态分布N (μ，σ2)的性质知，x ＝μ为正态分布密度函数图象的对称轴，故μ1<μ2；又σ越小，图象越高瘦，故σ1<σ2.(2)由正态分布的概率公式知P (－3<ξ<3)＝68.26%，P (－6＜ξ＜6)＝95.44%，故P(3<ξ<6)＝12[] P（－6<ξ<6）－P（－3<ξ<3）＝12(95.44%－68.26%)＝13.59%.【答案】(1)A(2)B1.(2015·广东佛山一模，7)已知随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P(2≤X≤4)＝0.682 6，则P(X>4)＝()A．0.158 8 B．0.158 7 C．0.158 6 D．0.158 51．B由正态曲线性质知，其图象关于直线x＝3对称，∴P(X>4)＝1－P（2≤X≤4）2＝0.5－12×0.682 6＝0.158 7，故选B.2．(2016·江西八校联考，6)在某次数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布N(100，σ2)(σ>0)，若ξ在(80，120)内的概率为0.8，则ξ在(0，80)内的概率为() A．0.05 B．0.1 C．0.15 D．0.22．B由题意得，P(80<ξ<100)＝P(100<ξ<120)＝0.4，P(0<ξ<100)＝0.5，∴P(0<ξ<80)＝0.1.,利用正态曲线的对称性求概率的方法(1)解题的关键是利用对称轴x＝μ确定所求概率对应的随机变量的区间与已知概率对应的随机变量的区间的关系，必要时，可借助图形判断．(2)对于正态分布N(μ，σ2)，由x＝μ是正态曲线的对称轴知：①对任意的a，有P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)；②P(X<x0)＝1－P(X≥x0)；③P(a<X<b)＝P(X<b)－P(X≤a)．(3)对于特殊区间求概率一定要掌握服从N(μ，σ2)的随机变量X在三个特殊区间的取值概率，将所求问题向P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)转化，然后利用特定值求出相应概率．同时，要充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1这些特殊性质．1．(2016·贵州八校联考，3)设随机变量ξ～N(2，4)，若P(ξ>a＋2)＝P(ξ<2a－3)，则实数a的值为()A ．1 B.53 C ．5 D ．91．B 因为P (ξ>a ＋2)＝P (ξ<2a －3)，所以由正态分布的对称性知，（a ＋2）＋（2a －3）2＝2，解得a ＝53.2．(2015·河南郑州二模，9)小王通过英语听力测试的概率是13，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是( ) A.49 B.29 C.429 D.2272．A 由独立重复试验的概率公式，知所求概率P ＝C 13·⎝ ⎛⎭⎪⎫131·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－133－1＝49. 3．(2015·福建福州模拟，5)已知随机变量ξ服从正态分布N (0，σ2)，若P (ξ>2)＝0.023，则P (－2≤ξ≤2)＝( ) A ．0.477 B ．0.628 C ．0.954 D ．0.9773．C ∵μ＝0，正态曲线关于μ＝0对称， ∴P (ξ＞2)＝P (ξ＜－2)＝0.023，∴P (－2≤ξ≤2)＝1－2×0.023＝0.954，故选C.4．(2015·豫北六校联考，10)设ξ是服从二项分布B (n ，p )的随机变量，又E (ξ)＝15，D (ξ)＝454，则n 与p 的值分别为( ) A ．60，34 B ．60，14 C ．50，34 D ．50，144．B 由ξ～B (n ，p )，得E (ξ)＝np ＝15，D (ξ)＝np (1－p )＝454，则p ＝14，n ＝60. 5．(2016·山西四校联考，14)设随机变量X ～N (3，σ2)，若P (X >m )＝0.3，则P (X >6－m )＝________.5．【解析】 因为P (X >m )＝0.3，X ～N (3，σ2)，所以m >3，P (X <6－m )＝P (X <3－(m －3))＝P (X >m )＝0.3，所以P (X >6－m )＝1－P (X <6－m )＝0.7.【答案】 0.76．(2016·河北唐山一模，18，12分)小王在某社交网络的朋友圈中，向在线的甲、乙、丙随机发放红包，每次发放1个．(1)若小王发放5元的红包2个，求甲恰得1个的概率；(2)若小王发放3个红包，其中5元的2个，10元的1个，记乙所得红包的总钱数为X (单位：元)，求X 的分布列和期望．6．解：(1)设“甲恰得1个红包”为事件A ，则P (A )＝C 12×13×23＝49. (2)X 的所有可能取值为0，5，10，15，20. P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827，P (X ＝5)＝C 12×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝827，P (X ＝10)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132×23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232×13＝627＝29.P (X ＝15)＝C 12×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×23＝427， P (X ＝20)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝127.所以X 的分布列为E (X )＝0×827＋5×827＋10×29＋15×427＋20×127＝203(元)．7．(2016·江西南昌一模，18，12分)某市教育局为了了解高三学生体育达标情况，对全市高三学生进行了体能测试，经分析，全市学生体能测试成绩X 服从正态分布N (80，σ2)(满分为100分)，已知P (X <75)＝0.3，P (X ≥95)＝0.1，现从该市高三学生中随机抽取三位同学．(1)求抽到的三位同学该次体能测试成绩在区间[80，85)，[85，95)，[95，100]各有一位同学的概率；(2)记抽到的三位同学该次体能测试成绩在区间[75，85]的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ.7．解：(1)P(80≤X<85)＝P(75<X≤80)＝0.5－P(X≤75)＝0.2，P(85≤X<95)＝0.5－0.2－0.1＝0.2，所以所求概率P＝A33×0.2×0.2×0.1＝0.024.(2)P(75≤X≤85)＝1－2P(X<75)＝0.4，所以ξ服从二项分布B(3，0.4)，P(ξ＝0)＝0.63＝0.216，P(ξ＝1)＝C13×0.4×0.62＝0.432，P(ξ＝2)＝C23×0.42×0.6＝0.288，P(ξ＝3)＝0.43＝0.064，所以随机变量ξ的分布列是E(ξ)＝3×0.4＝1.2(人)．1．(2013·广东，4，易)已知离散型随机变量X的分布列为则X的数学期望E(X)＝()A.32B．2 C.52D．31．A由数学期望公式得E(X)＝1×35＋2×310＋3×110＝32.2．(2014·浙江，9，难)已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n 个蓝球(m≥3，n≥3)，从乙盒中随机抽取i(i＝1，2)个球放入甲盒中．(1)放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi(i＝1，2)；(2)放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p i(i＝1，2)．则( )A ．p 1>p 2，E (ξ1)<E (ξ2)B ．p 1<p 2，E (ξ1)>E (ξ2)C ．p 1>p 2，E (ξ1)>E (ξ2)D ．p 1<p 2，E (ξ1)<E (ξ2) 2．A 随机变量ξ1，ξ2的分布列如下：所以E (ξ1)＝n m ＋n ＋2m m ＋n ＝2m ＋nm ＋n， E (ξ2)＝C 2n C 2m ＋n ＋2C 1m C 1n C 2m ＋n ＋3C 2mC 2m ＋n ＝3m ＋n m ＋n，所以E (ξ1)<E (ξ2)．因为p 1＝m m ＋n ＋n m ＋n ·12＝2m ＋n 2（m ＋n ），p 2＝C 2m C 2m ＋n ＋C 1m C 1n C 2m ＋n ·23＋C 2nC 2m ＋n ·13＝3m ＋n 3（m ＋n ），p 1－p 2＝n 6（m ＋n ）>0，所以p 1>p 2.思路点拨：列出随机变量ξ1，ξ2的分布列，计算期望值并比较大小；利用分步计数原理计算p 1，p 2并比较大小．3．(2014·浙江，12，易)随机变量ξ的取值为0，1，2，若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________.3．【解析】 设ξ＝1时的概率为p ，则E (ξ)＝0×15＋1×p ＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－p －15＝1，解得p ＝35，故D (ξ)＝(0－1)2×15＋(1－1)2×35＋(2－1)2×15＝25.【答案】 254．(2016·课标Ⅰ，19，12分，中)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需要更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．(1)求X的分布列；(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？4．解：由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2.从而P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04；P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24；P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24；P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2；P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08；P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04.所以X的分布列为(2)由(1)知P(X≤18)＝0.44，P(X≤19)＝0.68，故n的最小值为19.(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)．当n＝19时，EY＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4 040.当n＝20时，EY＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4 080.可知当n＝19时所需费用的期望值小于n＝20时所需费用的期望值，故应选n＝19.5．(2016·天津，16，13分，中)某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．5．解：(1)由已知，得P(A)＝C13C14＋C23C210＝13.所以，事件A发生的概率为1 3.(2)随机变量X的所有可能取值为0，1，2.P(X＝0)＝C23＋C23＋C24C210＝415，P(X＝1)＝C13C13＋C13C14C210＝715，P(X＝2)＝C13C14C210＝415.所以，随机变量X的分布列为随机变量X的数学期望EX＝0×415＋1×715＋2×415＝1.6．(2016·山东，19，12分，中)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮。
2020高中数学 2.1.2离散型随机变量的分布列(2)导学案 新人教A版选修2-3
课题：2.1.2离散型随机变量的分布列（2）【三维目标】知识与技能：认识概率分布对于刻画随机现象的重要性；会求出某些离散型随机变量的概率分布。
过程与方法：通过求某些简单的离散型随机变量的概率分布，培养自己分析问题解决问题的能力情感态度与价值观：通过学习，使学生体会数学源于生活又服务于生活，激发学习热情【学习重点】求离散型随机变量的分布列【学习难点】求离散型随机变量的分布列【学法指导】在理解随机变量、离散型随机变量的分布列概念的基础上，学会分析问题解决问题【知识链接】A 1、离散型随机变量的分布列的概念及其性质A2、写出下列各随机变量可能的取值.1）、一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球数2）、接连不断地射击，首次命中目标需要的射击次数 ．B3、在一次英语口语考试中，有备选的10道试题，已知某考生能答对其中的8道试题，规定每次考试都从备选题中任选3道题进行测试，至少答对2道题才算合格，求该考生答对试题数X 的分布列，并求该考生及格的概率。
【学习过程】B 例1、已知随机变量 的分布列如下ξξ分别求出随机变量 求（1） （2）B 例2、袋中有个5红球，4个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得1分，取到一个黑球得0分，现从袋中随机摸4个球，求所得分数X 的概率分布列。
C 例3、袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为 ，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球在每一次被取到的机会是等可能的，用 表示取球终止时所需112ηξ=22ηξ=17要的取球次数。
（1）求袋中原有白球的个数；（2）求随机变量的概率分布； （3）求甲取到白球的概率。
【达标检测】B1、C2、从一批有10个合格品与3个次品的产品中，一件一件的抽取产品，设各个产品被抽到的可能性相同，每次取出的产品都不放回，求出取到合格品为止时所需抽取次数 的分布列。
《离散型随机变量及其分布》学案
《离散型随机变量及其分布》学案
一、情境引入
二、知识探究
（1）射击选手每次射击时，命中的环数；（2）抛掷一枚之地均匀的骰子，朝上一面的点数；
问题1：说出上述随机事件的结果。
问题2：上述随机试验结果有什么共同特点？
知识点：随机变量定义：
问题3：在含有6件次品的100件产品中，任意抽取4件．因为含有的次品件数X将随着抽取结果的不同而变化，所以X是一个随机变量，X的取值可能什么？
问题4：根据问题3总结随机变量的特点是什么？
知识点：随机变量的特点
离散型随机变量的定义
问题5：根据定义，判断一个随机变量是离散型随机变量的关键是什么
问题6：用X表示抛掷一枚骰子出现的点数，则{X=6}表示随机试验的结果是什么？而{1<X≤3}？
问题7：在抛掷一枚质地均匀的骰子的随机试验中，用X 表示骰子向上一面出现的点数，则 X是一个随机变量，请把X可能取值和对应的概率表示出来
知识点：离散型随机变量的分布列
三、实例讲解，性质探索
问题4：根据例1观察求离散型随机变量分布列的步骤
离散型随机变量分布列的性质
四拓展提升
将一枚硬币抛掷3次，记正面朝上的次数为X，求X的分布列
五总结。
【人教版】2020高中数学 第二章阶段复习课 第2课 随机变量及其分布学案 新人教A版选修2-3
第二课随机变量及其分布[核心速填](建议用时5分钟)1．离散型随机变量如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列出，则称X为离散型随机变量．2．条件概率的性质(1)非负性：0≤P(B|A)≤1.(2)可加性：如果是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．3．相互独立事件的性质(1)推广：一般地，如果事件A1，A2，…，A n相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…A n)＝P(A1)×P(A2)×…×P(A n)．(2)对于互斥事件A与B有下面的关系：P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．4．二项分布满足的条件(1)每次试验中，事件发生的概率是相同的．(2)各次试验中的事件是相互独立的．(3)每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生．(4)随机变量是这n次独立重复试验中某事件发生的次数．5．超几何分布与二项分布的概率计算(1)超几何分布：P(X＝k)＝C k M C n－kN－MC n N(其中k为非负整数)．(2)二项分布：P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)．6．期望与方差及性质(1)E(X)＝X1·P1＋X2·P2＋…＋X n P n.(2)D(X)＝(X1－E(X))2·P1＋(X2－E(X))2·P2＋…＋(x n－E(X))2·P n.(3)若η＝aξ＋b(a，b是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，E(η)＝E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b.(4)D(aξ＋b)＝a2D(ξ)．(5)D(ξ)＝E(ξ2)－(E(ξ))2.7．正态变量在三个特殊区间内取值的概率(1)P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈68.27%.(2)P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈95.45%.(3)P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈99.73%.[体系构建][题型探究]的概率．求条件概率的主要方法有： (1)利用条件概率公式P (B |A )＝P ABP A；(2)针对古典概型，可通过缩减基本事件总数求解．在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题，求： (1)第1次抽到理科题的概率；(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率；(3)在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率.【导学号：95032213】[解] 设“第1次抽到理科题”为事件A ，“第2次抽到理科题”为事件B ，则“第1次和第2次都抽到理科题”为事件AB .(1)从5道题中不放回地依次抽取2道题的事件数为n (Ω)＝A 25＝20.根据分步乘法计数原理，n (A )＝A 13×A 14＝12. 于是P (A )＝n An Ω＝1220＝35. (2)因为n (AB )＝A 23＝6，所以P (AB )＝n AB n Ω＝620＝310.(3)法一(定义法)：由(1)(2)可得，在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率 P (B |A )＝P ABP A ＝31035＝12.法二(直接法)：因为n (AB )＝6，n (A )＝12， 所以P (B |A )＝n AB n A ＝612＝12.AB P B ⎝ ⎛⎭⎪⎫或B |＝P AB P A 求解．n ABn A求解．其中(2)常用于古典概型的概率计算问题．1．抛掷5枚硬币，在已知至少出现了2枚正面朝上的情况下，问：正面朝上数恰好是3枚的条件概率是多少？ [解] 法一(直接法)：记至少出现2枚正面朝上为事件A ，恰好出现3枚正面朝上为事件B ，所求概率为P (B |A )，事件A 包含的基本事件的个数为n (A )＝C 25＋C 35＋C 45＋C 55＝26，事件B 包含的基本事件的个数为n (B )＝C 35＝10，P (B |A )＝n AB n A ＝n B n A ＝1026＝513.法二(定义法)：事件A ，B同上，则 P (A )＝C 25＋C 35＋C 45＋C 5525＝2632， P (AB )＝P (B )＝C 3525＝1032，所以P (B |A )＝P AB P A ＝P B P A ＝513.在此基础上用基本事件之间的交、并、补运算表示出有关事件，并运用相应公式求解．特别注意以下两公式的使用前提：(1)若A ，B 互斥，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )，反之不成立． (2)若A ，B 相互独立，则P (AB )＝P (A )P (B )，反之成立．一个暗箱里放着6个黑球、4个白球．(1)依次取出3个球，不放回，若第1次取出的是白球，求第3次取到黑球的概率． (2)有放回地依次取出3个球，若第1次取出的是白球，求第3次取到黑球的概率．(3)有放回地依次取出3个球，求取到白球个数ξ的分布列和期望.【导学号：95032214】[解] 设事件A 为“第1次取出的是白球，第3次取到黑球”，B 为“第2次取到白球”，C 为“第3次取到白球”，(1)P (A )＝C 1416C 15＋C 13C 16C 14A 29＝23.(2)因为每次取出之前暗箱的情况没有变化，所以每次取球互不影响， 所以P (C －)＝610＝35.(3)设事件D 为“取一次球，取到白球”，则P (D )＝25，P (D －)＝35，这3次取出球互不影响，则ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，25，所以P (ξ＝k )＝C k 3⎝ ⎛⎭⎪⎫25k⎝ ⎛⎭⎪⎫353－k(k ＝0,1,2,3)．E (ξ)＝3×25＝65.提醒：有放回地依次取出3个球，相当于独立重复事件，即ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，25，则可根据独立重复事件的定义求解．2．红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A ，B ，C 进行围棋比赛，甲对A 、乙对B 、丙对C 各一盘．已知甲胜A 、乙胜B 、丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立．(1)求红队至少两名队员获胜的概率；(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求P (ξ≤1)．[解] (1)设“甲胜A ”为事件D ，“乙胜B ”为事件E ，“丙胜C ”为事件F ，则D －，E －，F －分别表示甲不胜A 、乙不胜B 、丙不胜C 的事件．因为P (D )＝0.6，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5，由对立事件的概率公式，知P (D －)＝0.4，P (E －)＝0.5，P (F －)＝0.5.红队至少两人获胜的事件有DE F －，D E －F ，D －EF ，DEF .由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为P ＝P (DE F －)＋P (D E －F )＋P (D －EF )＋P (DEF )＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55. (2)由题意，知ξ的可能取值为0,1,2,3.P (ξ＝0)＝P (D －E －F －)＝0.4×0.5×0.5＝0.1，P (ξ＝1)＝P (D －E －F )＋P (D －E F －)＋P (D E －F －)＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.35，所以P (ξ≤1)＝P (ξ＝0)＋P (ξ＝1)＝0.45.1.2．应用范围：均值和方差在实际优化问题中应用非常广泛，如同等资本下比较收益的高低、相同条件下比较质量的优劣、性能的好坏等．3．求解思路：应用时，先要将实际问题数学化，然后求出随机变量的概率分布列．对于一般类型的随机变量，应先求其分布列，再代入公式计算，此时解题的关键是概率的计算．计算概率时要结合事件的特点，灵活地结合排列组合、古典概型、独立重复试验概率、互斥事件和相互独立事件的概率等知识求解．若离散型随机变量服从特殊分布(如两点分布、二项分布等)，则可直接代入公式计算其数学期望与方差．一次同时投掷两枚相同的正方体骰子(骰子质地均匀，且各面分别刻有1,2,2,3,3,3六个数字) (1)设随机变量η表示一次掷得的点数和，求η的分布列．(2)若连续投掷10次，设随机变量ξ表示一次掷得的点数和大于5的次数，求E (ξ)，D (ξ)．[解] (1)由已知，随机变量η的取值为：2,3,4,5,6.设掷一次正方体骰子所得点数为η0，则η0的分布列为：P (η0＝1)＝16，P (η0＝2)＝13， P (η0＝3)＝12，所以η的分布列为：P (η＝2)＝16×16＝136， P (η＝3)＝2×16×13＝19， P (η＝4)＝2×16×12＋13×13＝518， P (η＝5)＝2×13×12＝13. P (η＝6)＝12×12＝14.(2)由已知，满足条件的一次投掷的点数和取值为6，设其发生的概率为p ，由(1)知，p ＝14，因为随机变量ξ～B ⎝⎛⎭⎪⎫10，14，所以E (ξ)＝np ＝10×14＝52，D (ξ)＝np (1－p )＝10×14×34＝158.3．为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．(1)设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A 发生的概率；(2)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望． [解] (1)由已知，有P (A )＝C 22C 23＋C 23C 23C 48＝635. 所以，事件A 发生的概率为635.(2)随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4. P (X ＝k )＝C k 5C 4－k3C 48(k ＝1,2,3,4)．所以，随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望E (X )＝1×14＋2×7＋3×7＋4×14＝2.线函数关系式；(2)理解正态分布曲线的性质；(3)记住正态分布在三个区间内取值的概率，运用对称性结合图象求相应的概率．正态分布下两类常见的概率计算(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x ＝μ对称，曲线与x 轴之间的面积为1.(2)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ、σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个．设X ～N (10,1)．(1)证明：P (1＜X ＜2)＝P (18＜X ＜19)． (2)设P (X ≤2)＝a ，求P (10＜X ＜18).【导学号：95032215】[解] (1)证明：因为X ～N (10,1)，所以，正态曲线φμ，σ(x )关于直线x ＝10对称，而区间(1,2)和(18,19)关于直线x ＝10对称，所以⎠⎛12φμ，σ(x )dx ＝⎠⎛1819φμ，σ(x)dx即P (1＜X ＜2)＝P (18＜X ＜19)．(2)因为P (X ≤2)＋P (2＜X ≤10)＋P (10＜X ＜18)＋P (X ≥18)＝1，P (X ≤2)＝P (X ≥18)＝a ， P (2＜X ≤10)＝P (10＜X ＜18)，所以，2a ＋2P (10＜X ＜18)＝1， 即P (10＜X ＜18)＝1－2a 2＝12－a .4．为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1 000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X (kg)服从正态分布N (μ，22)，且正态分布密度曲线如图22所示．若体重大于58.5 kg 小于等于62.5 kg 属于正常情况，则这1 000名男生中属于正常情况的人数是( )图22A．997 B．954 C．819 D．683D[由题意，可知μ＝60.5，σ＝2，故P(58.5<X≤62.5)＝P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 7，从而属于正常情况的人数是1 000×0.682 7≈683.]。
【新部编版】2020版高中数学 第二章 2.1.2 离散型随机变量的分布列(二)学案 新人教A版选修2-3
2.1.2 离散型随机变量的分布列(二)学习目标 1.进一步理解离散型随机变量的分布列的求法、作用.2.理解两点分布和超几何分布．知识点一 两点分布随机变量X 的分布列为若随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称X 服从两点分布，并称p ＝P (X ＝1)为成功概率． 知识点二 超几何分布思考 在含有5名男生的100名学生中，任选3人，求恰有2名男生的概率表达式． 答案 C 25C 195C 3100.梳理 一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC n N，k ＝0,1,2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *，称分布列为超几何分布列．如果随机变量X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量X 服从超几何分布．类型一 两点分布例1 (1)某运动员射击命中10环的概率为0.9，求他在一次射击中命中10环的次数的分布列； (2)若离散型随机变量X 的分布列为求出c ，并说明X 是否服从两点分布，若是，则成功概率是多少？ 考点 离散型随机变量的分布列 题点 两点分布解 (1)设该运动员射击一次命中10环的次数为X ， 则P (X ＝1)＝0.9，P (X ＝0)＝1－0.9＝0.1.(2)由(9c 2－c )＋(3－8c )＝1，解得c ＝13或c ＝23，又9c 2－c ≥0,3－8c ≥0，所以19≤c ≤38，所以c ＝13.X 的取值为0,1，故X 服从两点分布，成功概率为3－8c ＝13.反思与感悟 两步法判断一个分布是否为两点分布 (1)看取值：随机变量只取两个值：0和1.(2)验概率：检验P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝1是否成立．如果一个分布满足以上两点，则该分布是两点分布，否则不是两点分布．跟踪训练1 已知一批100件的待出厂产品中，有1件不合格品，现从中任意抽取2件进行检查，若用随机变量X 表示抽取的2件产品中的次品数，求X 的分布列． 考点 离散型随机变量的分布列 题点 两点分布解 由题意知，X 服从两点分布，P (X ＝0)＝C 299C 2100＝4950，P (X ＝1)＝1－4950＝150.所以随机变量X 的分布列为类型二 超几何分布例2 一个袋中装有6个形状、大小完全相同的小球，其中红球有3个，编号为1,2,3；黑球有2个，编号为1,2；白球有1个，编号为1.现从袋中一次随机抽取3个球． (1)求取出的3个球的颜色都不相同的概率；(2)记取得1号球的个数为随机变量X ，求随机变量X 的分布列． 考点 超几何分布题点 求超几何分布的分布列解 (1)从袋中一次随机抽取3个球，基本事件总数n ＝C 36＝20，取出的3个球的颜色都不相同包含的基本事件的个数为C 13C 12C 11＝6，所以取出的3个球的颜色都不相同的概率为P ＝620＝310.(2)由题意知X ＝0,1,2,3.P (X ＝0)＝C 33C36＝120，P (X ＝1)＝C 13C 23C 36＝920， P (X ＝2)＝C 23C 13C 36＝920，P (X ＝3)＝C 33C 36＝120.所以X 的分布列为引申探究1．在本例条件下，若记取到白球的个数为随机变量η，求随机变量η的分布列． 解 由题意可知η＝0,1，服从两点分布．又P (η＝1)＝C 25C 36＝12，所以η的分布列为2．将本例的条件“一次随机抽取3个球”改为“有放回地抽取3次球，每次抽取1个球”，其他条件不变，结果又如何？解 (1)取出3个球颜色都不相同的概率 P ＝C 13×C 12×C 11×A 3363＝16. (2)由题意知X ＝0,1,2,3. P (X ＝0)＝3363＝18，P (X ＝1)＝C 13×3×3×363＝38. P (X ＝2)＝C 23C 13×3×363＝38， P (X ＝3)＝3363＝18.所以X 的分布列为反思与感悟 超几何分布的求解步骤(1)辨模型：结合实际情景分析所求概率分布问题是否由具有明显的两部分组成，如“男生、女生”，“正品、次品”“优劣”等，或可转化为明显的两部分．具有该特征的概率模型为超几何分布模型．(2)算概率：可以直接借助公式P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC n N 求解，也可以利用排列、组合及概率的知识求解，需注意借助公式求解时应理解参数M ，N ，n ，k 的含义．(3)列分布表：把求得的概率值通过表格表示出来．跟踪训练2 某市A ，B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐了3名男生、2名女生，B 中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．(1)求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X 表示参赛的男生人数，求X 的分布列． 考点 超几何分布题点 求超几何分布的分布列解 (1)由题意知，参加集训的男生、女生各有6人．代表队中的学生全从B 中学抽取(等价于A 中学没有学生入选代表队)的概率为C 33C 34C 36C 36＝1100，因此，A 中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－1100＝99100.(2)根据题意，X 的所有可能取值为1,2,3. P (X ＝1)＝C 13C 33C 46＝15，P (X ＝2)＝C 23C 23C 46＝35，P (X ＝3)＝C 33C 13C 46＝15.所以X 的分布列为1．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ去表示1次试验的成功次数，则P (ξ＝0)等于( ) A ．0 B.12 C.13 D.23考点 离散型随机变量的分布列 题点 两点分布答案 C解析 由题意知该分布为两点分布，又P (ξ＝1)＝2P (ξ＝0)且P (ξ＝1)＋P (ξ＝0)＝1， ∴P (ξ＝0)＝13.2．已知在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示10个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率中等于C 47×C 68C 1015的是( )A ．P (X ＝2)B ．P (X ≤2)C ．P (X ＝4)D ．P (X ≤4)考点 超几何分布题点 利用超几何分布求概率 答案 C解析 X 服从超几何分布，基本事件总数为C 1015，所求事件数为C X 7C 10－X8，∴P (X ＝4)＝C 47×C 68C 1015.3．若随机变量X 服从两点分布，且P (X ＝0)＝0.8，P (X ＝1)＝0.2.令Y ＝3X －2，则P (Y ＝－2)等于( ) A ．0.8 B ．0.2 C ．0.4 D ．0.1 考点 离散型随机变量的分布列 题点 两点分布 答案 A解析 因为Y ＝3X －2，所以X ＝13(Y ＋2)．当Y ＝－2时，X ＝0，所以P (Y ＝－2)＝P (X ＝0)＝0.8.4．从4名男生和2名女生中任选3人参加数学竞赛，则所选3人中，女生的人数不超过1人的概率为________． 考点 超几何分布题点 利用超几何分布求概率 答案 45解析 设所选女生数为随机变量X ，则X 服从超几何分布，所以P (X ≤1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝C 02C 34C 36＋C 12C 24C 36＝45.5．交5元钱，可以参加一次摸奖，一袋中有同样大小的球10个，其中8个标有1元钱，2个标有5元钱，摸奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球的钱数之和，求抽奖人所得钱数的分布列． 考点 超几何分布题点 求超几何分布的分布列解 设抽奖人所得钱数为随机变量ξ，则ξ＝2,6,10. P (ξ＝2)＝C 28C 210＝2845，P (ξ＝6)＝C 18C 12C 210＝1645，P (ξ＝10)＝C 22C210＝145.故ξ的分布列为1．两点分布：两点分布是很简单的一种概率分布，两点分布的试验结果只有两种可能，要注意成功概率的值指的是哪一个量．2．超几何分布：超几何分布在实际生产中常用来检验产品的次品数，只要知道N ，M 和n 就可以根据公式： P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC n N求出X 取不同值k 时的概率．学习时，不能机械地去记忆公式，而要结合条件以及组合知识理解M ，N ，n ，k 的含义．一、选择题1．从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张是A 的概率为( ) A.C 34C 248C 552 B.C 348C 24C 552C ．1－C 148C 44C 552D.C 34C 248＋C 44C 148C 552考点 超几何分布题点 利用超几何分布求概率 答案 D解析 设X 为抽出的5张扑克牌中含A 的张数，则P (X ≥3)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝C 34C 248C 552＋C 44C 148C 552.2．下列随机事件中的随机变量X 服从超几何分布的是( ) A ．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数XB ．从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数为XC ．某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为XD ．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X 是首次摸出黑球时的总次数 考点 超几何分布 题点 超几何分布的概念 答案 B解析 由超几何分布的定义可知B 正确．3．在100张奖券中，有4张能中奖，从中任取2张，则2张都能中奖的概率是( ) A.150 B.125 C.1825 D.14 950考点 超几何分布题点 利用超几何分布求概率 答案 C解析 记X 为2张中的中奖数，则P (X ＝2)＝C 24C 096C 2100＝1825.4．10名同学中有a 名女生，若从中抽取2个人作为学生代表，恰抽取1名女生的概率为1645，则a 等于( )A ．1B ．2或8C ．2D ．8 考点 超几何分布题点 利用超几何分布求概率 答案 B解析 由题意知，1645＝C 110－a C 1aC 210，解得a ＝2或8.5．一个盒子里装有大小相同的10个黑球，12个红球，4个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为X ，则下列概率等于C 122C 14＋C 222C 226的是( ) A ．P (0<X ≤2) B ．P (X ≤1) C ．P (X ＝1) D ．P (X ＝2)考点 超几何分布题点 利用超几何分布求概率 答案 B解析 本题相当于求至多取出1个白球的概率，即取到1个白球或没有取到白球的概率．6．盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机地抽取4个，则概率是310的事件为( )A ．恰有1个是坏的B ．4个全是好的C ．恰有2个是好的D ．至多有2个是坏的考点 超几何分布题点 利用超几何分布求概率 答案 C解析 “X ＝k ”表示“取出的螺丝钉恰有k 个是好的”，则P (X ＝k )＝C k 7C 4－k3C 410(k ＝1,2,3,4)．所以P (X ＝1)＝130，P (X ＝2)＝310，P (X ＝3)＝12，P (X ＝4)＝16，故选C.7．从只有3张中奖的10张彩票中不放回随机逐张抽取，设X 表示直至抽到中奖彩票时的次数，则P (X ＝3)等于( )A.310 B.710 C.2140 D.740考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 排列、组合知识在分布列中的应用 答案 D解析 “X ＝3”表示前2次未抽到中奖彩票，第3次抽到中奖彩票，故P (X ＝3)＝A 27C 13A 310＝7×6×310×9×8＝740，故选D.二、填空题8．某手机经销商从已购买某品牌手机的市民中抽取20人参加宣传活动，这20人中年龄低于30岁的有5人．现从这20人中随机选取2人各赠送一部手机，记X 为选取的年龄低于30岁的人数，则P (X ＝1)＝________. 考点 超几何分布题点 利用超几何分布求概率 答案1538解析 易知P (X ＝1)＝C 15C 115C 220＝1538.9．在A ，B 两个袋中都有6张分别写有数字0,1,2,3,4,5的卡片，现从每个袋中任取一张卡片，两张卡片上的数字之和记为X ，则P (X ＝7)＝________. 考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 排列、组合知识在分布列中的应用 答案 19解析 P (X ＝7)＝46×6＝19.10．有同一型号的电视机100台，其中一级品97台，二级品3台，从中任取4台，则二级品不多于1台的概率为________．(用式子表示) 考点 超几何分布题点 利用超几何分布求概率 答案 C 13C 397＋C 497C 4100解析 二级品不多于1台，即一级品有3台或4台．11．袋中装有5个红球和4个黑球，从袋中任取4个球，取到1个红球得3分，取到1个黑球得1分，设得分为随机变量ξ，则ξ≥8的概率P (ξ≥8)＝________. 考点 超几何分布题点 利用超几何分布求概率 答案 56解析 由题意知P (ξ≥8)＝1－P (ξ＝6)－P (ξ＝4)＝1－C 15C 34C 49－C 44C 49＝56.三、解答题12．老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：(1)抽到他能背诵的课文的数量X 的分布列； (2)他能及格的概率． 考点 超几何分布题点 求超几何分布的分布列 解 (1)X 的所有可能取值为0,1,2,3. P (X ＝0)＝C 06C 34C 310＝130，P (X ＝1)＝C 16C 24C 310＝310，P (X ＝2)＝C 26C 14C 310＝12，P (X ＝3)＝C 36C 04C 310＝16.所以X 的分布列为(2)他能及格的概率为P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝12＋16＝23.13．受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计数据如下：将频率视为概率，解答下列问题：(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X 1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X 2，分别求X 1，X 2的分布列．考点 离散型随机变量的分布列 题点 求离散型随机变量的分布列解 (1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A ，则P (A )＝2＋350＝110.(2)依题意得，X 1的分布列为X 2的分布列为四、探究与拓展14．一袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79.从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X ，则P (X ＝2)＝________. 考点 超几何分布题点 利用超几何分布求概率 答案512解析 设10个球中有白球m 个， 则C 210－m C 210＝1－79， 解得m ＝5或m ＝14(舍去)． 所以P (X ＝2)＝C 25C 15C 310＝512.15．为了迎接即将到来的某商界大会，大会组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者做接待工作，将这30名志愿者的身高编成如图所示的茎叶图(单位：cm)．若身高在175 cm 以上(包括175 cm)定义为“高个子”，身高在175 cm 以下(不包括175 cm)定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”．※精 品 试 卷※※推 荐 下 载※(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中选取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？(2)若从所有“高个子”中选3名志愿者，用X 表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出X 的分布列． 考点 超几何分布题点 求超几何分布的分布列解 (1)根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人，用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是530＝16，所以选中的“高个子”有12×16＝2(人)，“非高个子”有18×16＝3(人)． 用事件A 表示“至少有一名‘高个子’被选中”，则它的对立事件A 表示“没有一个‘高个子’被选中”，则P (A )＝1－P (A )＝1－C 23C 25＝1－310＝710. 因此，至少有一人是“高个子”的概率是710. (2)依题意，X 的可能取值为0,1,2,3.P (X ＝0)＝C 38C 312＝1455， P (X ＝1)＝C 14C 28C 312＝2855， P (X ＝2)＝C 24C 18C 312＝1255， P (X ＝3)＝C 34C 312＝155. 因此，X 的分布列为。
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离散型随机变量学习目标 1.理解随机变量及离散型随机变量的含义.2.了解随机变量与函数的区别与联系.知识点一随机变量思考1抛掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果，这种试验结果能用数字表示吗？答案可以，可用数字1和0分别表示正面向上和反面向上.思考2在一块地里种10棵树苗，棵数为x，则x可取哪些数字？答案x＝0,1,2,3， (10)(1)定义在随机试验中，可以确定一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示，数字随试验结果的变化而变化，像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量.(2)表示：随机变量常用字母X，Y，ξ，η…表示.知识点二随机变量与函数的关系思考随机变量和函数有类似的地方吗？答案随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映为实数，函数把实数映为实数.试验结果相当于函数的自变量，随机变量相当于函数的函数值，随机变量可以看作函数概念的推广.知识点三离散型随机变量1.定义：所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量.2.特征：(1)可用数值表示.(2)试验之前可以判断其出现的所有值.(3)在试验之前不能确定取何值.(4)试验结果能一一列出.类型一随机变量的概念例1下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量？并说明理由.(1)某机场一年中每天运送乘客的数量.(2)某单位办公室一天中接到电话的次数.(3)明年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数.(4)明年某天济南一青岛的某次列车到达青岛站的时间.解(1)某机场一年中每天运送乘客的数量可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量.(2)某单位办公室一天中接到电话的次数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量.(3)明年5月1日到10月1日期间，所查酒驾的人数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量.(4)济南一青岛的某次列车到达青岛站的时间每次都是随机的，可能提前，可能准时，亦可能晚点，故是随机变量.反思与感悟随机变量的辨析方法1.随机试验的结果是否具有可变性，即每次试验对应的结果不尽相同.2.随机试验的结果的确定性.即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两点，则该变量即为随机变量.跟踪训练1下列变量中，不是随机变量的是()A.一射击手射击一次命中的环数B.标准状态下，水沸腾时的温度C.抛掷两枚骰子，所得点数之和D.某电话总机在时间区间(0，T)内收到的呼叫次数答案 B解析B中求沸腾时的温度是一个确定的值.类型二离散型随机变量的判定例2指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由.(1)白炽灯的寿命ξ；(2)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξ；(3)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化，该水位站所测水位ξ；(4)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数.解(1)白炽灯的寿命ξ的取值是一个非负实数，而所有非负实数不能一一列出，所以ξ不是离散型随机变量.(2)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量.(3)不是离散型随机变量.因为水位在(0,29]这一范围内变化，对水位值我们不能按一定次序一一列出.(4)是离散型随机变量.从10个球中取3个球，所得的结果有以下几种：3个白球，2个白球和1个黑球，1个白球和2个黑球，3个黑球，即其结果可以一一列出，符合离散型随机变量的定义.反思与感悟“三步法”判定离散型随机变量(1)依据具体情境分析变量是否为随机变量.(2)由条件求解随机变量的值域.(3)判断变量的取值能否被一一列举出来，若能，则是离散型随机变量；否则，不是离散型随机变量.跟踪训练2(1)①某座大桥一天经过的某品牌轿车的辆数为ξ；②某网站中歌曲《爱我中华》一天内被点击的次数为ξ；③一天内的温度为ξ；④射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用ξ表示该射手在一次射击中的得分.上述问题中的ξ是离散型随机变量的是()A.①②③④B.①②④C.①③④D.②③④答案 B解析③中一天内的温度不能把其取值一一列出，是连续型随机变量，而非离散型随机变量.(2)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为ξ.①列表说明可能出现的结果与对应的ξ的值.②若规定抽取的3个球中，每抽到一个白球加5分，抽到黑球不加分，且最后结果都加上6分，求最终得分η的可能取值，并判定η是否为离散型随机变量.解①列表如下：②由题意可得：η＝5ξ＋6，而ξ可能的取值范围为{0,1,2,3}，所以η对应的各值是：5×0＋6,5×1＋6,5×2＋6,5×3＋6.故η的可能取值为6,11,16,21.显然，η为离散型随机变量.类型三用随机变量表示随机试验的结果例3写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果.(1)一个袋中装有8个红球，3个白球，从中任取5个球，其中所含白球的个数为X.(2)一个袋中有5个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5，从中任取3个球，取出的球的最大号码记为X.解(1)X＝0表示取5个球全是红球；X＝1表示取1个白球，4个红球；X＝2表示取2个白球，3个红球；X＝3表示取3个白球，2个红球.(2) X＝3表示取出的球编号为1,2,3.X＝4表示取出的球编号为1,2,4；1,3,4或2,3,4.X＝5表示取出的球编号为1,2,5；1,3,5；1,4,5；2,3,5；2,4,5或3,4,5.反思与感悟解答此类问题的关键在于明确随机变量的所有可能的取值，以及其取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果，解答过程中不要漏掉某些试验结果.跟踪训练3写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果.(1)从学校回家要经过3个红绿灯口，可能遇到红灯的次数ξ；(2)电台在每个整点都报时，报时所需时间为0.5分钟，某人随机打开收音机对时间，他所等待的时间ξ分钟.解(1)ξ可取0,1,2,3，ξ＝0，表示遇到红灯的次数为0；ξ＝1，表示遇到红灯的次数为1；ξ＝2，表示遇到红灯的次数为2；ξ＝3，表示遇到红灯的次数为3.(2)ξ的可能取值为区间[0,59.5]内任何一个值，每一个可能取值表示他所等待的时间.1.抛掷质地均匀的硬币一次，下列能称为随机变量的是()A.出现正面的次数B.出现正面或反面的次数C.掷硬币的次数D.出现正、反面次数之和答案 A解析掷一枚硬币，可能出现的结果是正面向上或反面向上，以一个标准如正面向上次数来描述一随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量ξ，ξ的取值是0,1，故选A.而B中标准模糊不清，C中掷硬币次数是1，不是随机变量，D中对应的事件是必然事件.故选A.2.10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是()A.取到产品的件数B.取到正品的概率C.取到次品的件数D.取到次品的概率答案 C解析对于A中取到产品的件数，是一个常量不是变量，B、D也是一个定值，而C中取到次品的件数可能是0,1,2，是随机变量.3.从标有1～10的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为X，那么随机变量X可能取得的值有________个.答案17解析X的可能取值为3,4,5，…，19，共17个.4.甲、乙两队员进行乒乓球单打比赛，规定采用“七局四胜制”.用ξ表示需要比赛的局数，写出“ξ＝6”时表示的试验结果.解根据题意可知ξ＝6表示甲在前5局中胜3局且在第6局中胜出或乙在前5局中胜3局且在第6局中胜出.1.所谓的随机变量就是试验结果和实数之间的一个对应关系，随机变量是将试验的结果数量化，变量的取值对应于随机试验的某一个随机事件.2.写随机变量表示的结果，要看三个特征：(1)可用数来表示；(2)试验之前可以判断其可能出现的所有值；(3)在试验之前不能确定取值.一、选择题1.将一颗均匀骰子掷两次，不能作为随机变量的是()A.两次掷得的点数B.两次掷得的点数之和C.两次掷得的最大点数D.第一次掷得的点数减去第二次掷得的点数的差答案 A解析两次掷得的点数的取值是一个数对，不是一个数.2.下面给出四个随机变量：①一高速公路上某收费站在1小时内经过的车辆数ξ是一个随机变量；②一个沿直线y＝x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置η是一个随机变量；③某无线寻呼台1分钟内接到的寻呼次数ξ是一个随机变量；④1天内的温度η是一个随机变量.其中是离散型随机变量的为()A.①②B.③④C.①③D.②④答案 C解析①中经过的车辆数和③中寻呼次数都能列举出来，而②④中都不能列举出来，所以①③中的ξ是一个离散型随机变量.3.抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X，则“X>4”表示试验的结果为()A.第一枚为5点，第二枚为1点B.第一枚大于4点，第二枚也大于4点C.第一枚为6点，第二枚为1点D.第一枚为4点，第二枚为1点答案 C4.设一汽车在开往目的地的道路上需经过5盏信号灯，Y 表示汽车首次停下时已通过的信号灯的盏数，则表示“遇到第5盏信号灯时首次停下”的事件是( ) A.Y ＝5 B.Y ＝4 C.Y ＝3 D.Y ＝2答案 B5.一串钥匙有6枚，只有一枚能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数X 的最大可能取值为( ) A.6 B.5 C.4 D.2 答案 B解析 由于是逐次试验，可能前5次都打不开锁，那么剩余的钥匙一定能开锁，故选B. 6.袋中装有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，现在在有放回的条件下依次取出两个球，设两个球的号码之和为随机变量ξ，则ξ所有可能取值的个数是( ) A.25 B.10 C.15 D.9 答案 D解析 两个球的号码之和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10，共9个. 二、填空题7.下列变量中，不是随机变量的是________(填序号). ①下一个交易日上证收盘指数； ②标准大气压下冰水混合物的温度； ③明日上课某班(共50人)请假同学的人数； ④小马登录QQ 找小胡聊天，设X ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，小胡在线，0，小胡不在线.答案 ②8.从5张已编号(1号～5号)的卡片中任意取出2张，被取出的卡片编号数之和记为X ，则X ＝6表示的试验结果是_______________________________________. 答案 取出分别标有1,5或2,4的两张卡片.9.一木箱中装有8个同样大小的篮球，分别编号为1,2,3,4,5,6,7,8，现从中随机取出3个篮球，以ξ表示取出的篮球的最大号码，则ξ＝8表示的试验结果有________种. 答案 21解析 ξ＝8表示3个篮球中一个编号是8，另外两个从剩余7个号中选2个，有C 27种方法，即21种.10.一用户在打电话时忘记了最后3个号码，只记得最后3个数两两不同，且都大于5.于是他随机拨最后3个数(两两不同)，设他拨到的号码为X，随机变量X的可能值有________个.答案24解析后3个数是从6,7,8,9四个数中取3个组成的，共有A34＝24(个).11.在一次比赛中，需回答三个问题，比赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则选手甲回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值是________.答案－300，－100,100,300解析因为答对的个数可以取0,1,2,3，所对应的得分为－300，－100,100,300，∴ξ可取－300，－100,100,300.三、解答题12.设一汽车在开往目的地的道路上需经过5盏信号灯，ξ表示汽车首次停下时已通过的信号灯的盏数，写出ξ所有可能取值并说明这些值所表示的试验结果.解ξ＝0,1,2,3,4,5.ξ＝k(k＝0,1,2,3,4)表示在遇到第k＋1盏信号灯时首次停下.ξ＝5表示在途中没有停下，直达目的地.13.小王钱夹中只剩有20元、10元、5元和1元的人民币各一张.他决定随机抽出两张，用来买晚餐，用X表示这两张金额之和.写出X的可能取值，并说明这些取值表示的随机试验结果. 解X的可能取值为6,11,15,21,25,30.其中，X＝6，表示抽到的是1元和5元；X＝11，表示抽到的是1元和10元；X＝15，表示抽到的是5元和10元；X＝21，表示抽到的是1元和20元；X＝25，表示抽到的是5元和20元；X＝30，表示抽到的是10元和20元.。