链接高考：函数与导数

函数与导数

【考纲解读】

1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念；在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；了解简单的分段函数，并能简单应用.

2.理解函数的单调性及几何意义;学会运用函数图象研究函数的性质,感受应用函数的单调性解决问题的优越性,提高观察、分析、推理、创新的能力.

3.了解函数奇偶性的含义;会判断函数的奇偶性并会应用；掌握函数的单调性、奇偶性的综合应用.

4.掌握一次函数的图象和性质;掌握二次函数的对称性、增减性、最值公式及图象与性质的关系，理解“三个二次”的内在联系，讨论二次方程区间根的分布问题.

7.了解幂函数的概念;结合函数

1

232

1

,,,,

y x y x y x y y x

x

=====的图象,了解它们

的变化情况.

8.掌握解函数图象的两种基本方法:描点法、图象变换法；掌握图象变换的规律，能利用图象研究函数的性质.

9.结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性及根的个数；根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解.

10.了解指数函数、对数函数及幂函数的境长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义；了解函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用.

11.了解导数概念的实际背景;理解导数的几何意义;能利用基本初等函数的导数

公式和导数的四则运算法则,求简单函数的导数.

12.了解函数单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单

调区间(多项式函数一般不超过三次);了解函数在某点取得极值的必要条件和充

分条件,会用导数求函数的极大值、极小值（多项式函数一般不超过三次)，会求在闭区间函数的最大值、最小值（多项式函数一般不超过三次)；会用导数解决某些实际问题。

【知识网络构建】

【重点知识整合】

一、函数、基本初等函数的图象与性质

1．函数的性质

(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质，是函数中最常涉及的性质，

特别注意定义中的符号语言；

(2)奇偶性：偶函数其图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数其图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性．特别注意定义域含0的奇函数f(0)＝0；

(3)周期性：f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，则称f(x)为周期函数，T是它的一个周期．2．对称性与周期性的关系

(1)若函数f(x)的图象有两条对称轴x＝a，x＝b(a≠b)，则函数f(x)是周期函数，2|b －a|是它的一个正周期，特别地若偶函数f(x)的图象关于直线x＝a(a≠0)对称，则函数f(x)是周期函数，2|a|是它的一个正周期；

3．函数的图象

(1)指数函数、对数函数和幂函数、一次函数、二次函数等初等函数的图象的特点；

(2)函数的图象变换主要是平移变换、伸缩变换和对称变换．

4．指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质(注意根据图象记忆性质)

指数函数y＝a x(a>0，a≠1)的图象和性质，分01两种情况；对数函数y ＝log a x(a>0，a≠1)的图象和性质，分01两种情况；幂函数y＝xα的图象和性质，分幂指数α>0，α＝0，α<0三种情况．

二、函数与方程、函数的应用

1．函数的零点

方程的根与函数的零点的关系：由函数的零点的定义可知，函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．所以，方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．

2．二分法

用二分法求函数零点的一般步骤：

第一步：确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε；

第二步：求区间[a，b]的中点c；

第三步：计算f(c)：

(1)若f(c)＝0，则c就是函数的零点；

(2)若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；

(3)若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))；

(4)判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4)．

3．函数模型

解决函数模型的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域．其解题步骤是：(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；(4)实际问题作答：将数学问题的结果转译成实际问题作出解答．

三、导数在研究函数性质中的应用及定积分

1．导数的几何意义

4．闭区间上函数的最值

在闭区间上连续的函数，一定有最大值和最小值，其最大值是区间的端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极大值中的最大者，最小值是区间端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极小值的最小者．

5．定积分与曲边形面积

(1)曲边为y＝f(x)的曲边梯形的面积：在区间[a，b]上的连续的曲线y＝f(x)，和直

线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0所围成的曲边梯形的面积S ＝

⎠⎛a

b

|f

x |d x

.当f (x )≥0

时，S ＝⎠⎛a b f (x )d x ；当f(x)<0时，S ＝－⎠⎛a

b f (x )d x .

(2)曲边为y ＝f (x )，y ＝g (x )的曲边形的面积：在区间[a ，b ]上连续的曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )，和直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0所围成的曲边梯形的面积S ＝⎠⎛a b |f (x )－

g (x )|d x .当f (x )≥g (x )时，S ＝⎠⎛a b [f (x )－g (x )]d x ；当f (x )

【高频考点突破】 考点一、函数及其表示

函数的三要素：定义域、值域、对应关系.

两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一个函数，定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数． 1．求函数定义域的类型和相应方法

(1)若已知函数的解析式，则这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，只需构建并解不等式(组)即可．

(2)对于复合函数求定义域问题，若已知f (x )的定义域[a ，b ]，其复合函数f (g (x ))的定义域应由不等式a ≤g (x )≤b 解出．

(3)实际问题或几何问题除要考虑解析式有意义外，还应使实际问题有意义． 2．求f (g (x ))类型的函数值

应遵循先内后外的原则；而对于分段函数的求值、图像、解不等式等问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解；特别地对具有周期性的函数求值要用好其周期性. 例1、函数f (x )＝

1

1－x

＋lg(1＋x )的定义域是 ( ) A ．(－∞，－1) B ．(1，＋∞) C ．(－1,1)∪(1，＋∞)

D ．(－∞，＋∞)