综合解一元二次方程—换元法

2.2.5《解一元二次方程—换元法》典例解析与同步训练

【知识要点】

1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，

这叫换元法．

换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．

2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．

【典例解析】

例1．用适当方法解下列方程：

（1）2x2﹣5x﹣3=0

（2）16（x+5）2﹣9=0

（3）（x2+x）2+（x2+x）=6．

例题分析：本题考查了一元二次方程的几种解法：①公式法；②直接开平方法；③换元法（1）用公式法解一元二次方程，先找a，b，c；再求△；再代入公式求解即可；

（2）用直接开平方法解一元二次方程，先将方程化为（x+5）2=，直接开方即可；

（3）设t=x2+x，将原方程转化为一元二次方程，求解即可．

解：（1）∵a=2，b=﹣5，c=﹣3，△=b2﹣4ac=（﹣5）2﹣4×2×（﹣3）=25+24=49，

∴x===，

∴x1=3，x2=﹣；

（2）整理得，（x+5）2=，

开方得，x+5=±，

即x1=﹣4，x2=﹣5，

（3）设t=x2+x，将原方程转化为t2+t=6，

因式分解得，（t﹣2）（t+3）=0，

解得t1=2，t2=﹣3．

∴x2+x=2或x2+x=﹣3（△＜0，无解），

∴原方程的解为x1=1，x2=﹣2．

例2．解方程：（1）（x+3）（x﹣1）=5

（2）．

例题分析：本题主要考查了解一元二次方程的方法和解分式方程．解一元二次方程时，要注意选择合适的解题方法，这样才会达到事半功倍的效果．还要注意换元思想的应用．

（1）先去括号，将方程化为一般式，然后再运用二次三项式的因式分解法进行求解．（2）先设x2﹣x=y，采用换元法，然后解方程即可．

解：（1）x2+2x﹣8=0，

（x+4）（x﹣2）=0

∴x1=﹣4，x2=2．

（2）设x2﹣x=y

∴原方程化为y﹣=1

∴y2﹣2=y

∴y2﹣y﹣2=0

∴（y+1）（y﹣2）=0

∴y1=﹣1，y2=2

∴x2﹣x=﹣1或x2﹣x=2

解x2﹣x=﹣1知：此方程无实数根．

解x2﹣x=2知x1=2，x2=﹣1；

∴原方程的解为：x1=2，x2=﹣1．

例3．解下列方程：

（1）2x2+5x﹣3=0

（2）（3﹣x）2+x2=9

（3）2（x﹣3）2=x（x﹣3）

（4）（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+6=0

例题分析：本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为0后，方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的式子的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．

（1）方程左边可以利用十字相乘法进行因式分解，因此应用因式分解法解答．

（2）先移项，然后把x2﹣9因式分解为（x+3）（x﹣3），然后再提取公因式，因式分解即可．（3）先移项，然后用提取公因式法对左边进行因式分解即可．

（4）把（x﹣1）看作是一个整体，然后套用公式a2±2ab+b2=（a±b）2，进行进一步分解，故用因式分解法解答．

解：（1）因式分解，得（2x﹣1）（x+3）=0，

所以2x﹣1=0或x+3=0，

解得，x=或x=﹣3；

（2）移项得，（3﹣x）2+x2﹣9=0，

变形得，（x﹣3）2+（x+3）（x﹣3）=0，

因式分解，得（x﹣3）[（x﹣3）+（x+3）]=0，

解得，x=3或x=0；

（3）移项得，2（x﹣3）2﹣x（x﹣3）=0，

因式分解得，（x﹣3）[2（x﹣3）﹣x]=0，

解得x=3或x=6；

（4）化简得：（x﹣1﹣2）（x﹣1﹣3）=0

即（x﹣3）（x﹣4）=0

解得x=3或x=4．

例4．阅读下面材料：解答问题

为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0，我们可以将（x2﹣1）看作一个整体，然后设x2﹣1=y，那么原方程可化为y2﹣5y+4=0，解得y1=1，y2=4．当y=1时，x2﹣1=1，∴x2=2，∴x=±；当y=4时，x2﹣1=4，∴x2=5，∴x=±，故原方程的解为x1=，x2=﹣，x3=，x4=﹣．

上述解题方法叫做换元法；请利用换元法解方程．（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12=0．

例题分析：此题考查了学生学以致用的能力，解题的关键是掌握换元思想．

先把x2﹣x看作一个整体，设x2﹣x=y，代入得到新方程y2﹣4y﹣12=0，利用求根公式可以求解．

解：设x2﹣x=y，那么原方程可化为y2﹣4y﹣12=0（2分）

解得y1=6，y2=﹣2（4分）

当y=6时，x2﹣x=6即x2﹣x﹣6=0

∴x1=3，x2=﹣2（6分）

当y=﹣2时，x2﹣x=﹣2即x2﹣x+2=0

∵△=（﹣1）2﹣4×1×2＜0

∴方程无实数解（8分）

∴原方程的解为：x1=3，x2=﹣2．（9分）

例5．阅读下面的材料，回答问题：

解方程x4﹣5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：

设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4=0 ①，解得y1=1，y2=4．

当y=1时，x2=1，∴x=±1；

当y=4时，x2=4，∴x=±2；

∴原方程有四个根：x1=1，x2=﹣1，x3=2，x4=﹣2．

（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想．

（2）解方程（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12=0．

例题分析：应用换元法，把关于x的方程转化为关于y的方程，这样书写简便且形象直观，并且把方程化繁为简化难为易，解起来更方便．

（1）本题主要是利用换元法降次来达到把一元四次方程转化为一元二次方程，来求解，然后再解这个一元二次方程．

（2）利用题中给出的方法先把x2+x当成一个整体y来计算，求出y的值，再解一元二次方程．

解：（1）换元，降次

（2）设x2+x=y，原方程可化为y2﹣4y﹣12=0，

解得y1=6，y2=﹣2．

由x2+x=6，得x1=﹣3，x2=2．

由x2+x=﹣2，得方程x2+x+2=0，

b2﹣4ac=1﹣4×2=﹣7＜0，此时方程无解．

所以原方程的解为x1=﹣3，x2=2．