观测值的中误差
工程测量误差测量理论例题和习题(专题复习)
测量误差理论一、中误差估值（也称中误差）：Δi （i=1,2，…，n ) (6—8)【例】 设有两组同精度观测值，其真误差分别为:第一组 —3″、+3″、-1″、—3″、+4″、+2″、-1″、—4″； 第二组 +1″、-5″、-1″、+6″、—4″、0″、+3″、-1″. 试比较这两组观测值的精度，即求中误差。
解："22222219.2841243133±=+++++++±=m"222223.3813046151±=+++++++±=m由于m 1〈m 2，可见第一组观测值的精度比第二组高。
同时,通过第二组观测误差的分布情况可看出其误差值的波动幅度较大,因而也可判断出第二组观测值的稳定性较差，则精度较低。
另外，由以上分析可知,中误差仅代表了一组观测值的精度，并不表示某个观测值的真误差。
二、相对误差:观测值中误差m 的绝对值与相应观测值S 相比，并化为分子为1、分母为整数的形式，即mS Sm K 1==(6-10) 三、误差传播定律【例】 丈量某段斜距S =106。
28 m ，斜距的竖角038'︒=δ，斜距和竖角的中误差分别为cm 5m s ±=、"20m ±=δ，求斜距对应的平距D 及其中误差D m .解：平距 105.113m 30'cos8106.28cos =︒⨯=⋅=δS D由于δcos ⋅=S D 是一个非线性函数，所以，对等式两边取全微分,化成线性函数，并用“∆”代替“d ”得δδδ∆⋅⋅-∆⋅=∆sin cos S S D再根据（6—29)式，可以直接写出平距方差计算公式，并求出平距方差值n m ] [∆∆ ±=2""2222"2222)(477.24)20626520()'308sin 28.106(5)'308(cos )()sin ()(cos cm m S m m SD=⋅︒⋅+⋅︒=⋅⋅+⋅=ρδδδ因此，平距的中误差为：m D =±5 cm 。
工程测量误差测量理论例题和习题(专题复习)
测量误差理论一、中误差估值（也称中误差）：Δi （i=1，2，…，n ） （6-8）【例】 设有两组同精度观测值，其真误差分别为：第一组 -3″、+3″、-1″、-3″、+4″、+2″、-1″、-4″； 第二组 +1″、-5″、-1″、+6″、-4″、0″、+3″、-1″。
试比较这两组观测值的精度，即求中误差。
解："22222219.2841243133±=+++++++±=m"222223.3813046151±=+++++++±=m由于m 1<m 2，可见第一组观测值的精度比第二组高。
同时，通过第二组观测误差的分布情况可看出其误差值的波动幅度较大，因而也可判断出第二组观测值的稳定性较差，则精度较低。
另外，由以上分析可知，中误差仅代表了一组观测值的精度，并不表示某个观测值的真误差。
二、相对误差：观测值中误差m 的绝对值与相应观测值S 相比，并化为分子为1、分母为整数的形式，即mS Sm K 1==（6-10） 三、误差传播定律【例】 丈量某段斜距S =106.28 m ，斜距的竖角038'︒=δ，斜距和竖角的中误差分别为cm 5m s ±=、"20m ±=δ，求斜距对应的平距D 及其中误差D m 。
解：平距 105.113m 30'cos8106.28cos =︒⨯=⋅=δS D由于δcos ⋅=S D 是一个非线性函数，所以，对等式两边取全微分，化成线性函数，并用“∆”代替“d ”得δδδ∆⋅⋅-∆⋅=∆sin cos S S D再根据（6-29）式，可以直接写出平距方差计算公式，并求出平距方差值n m ] [∆∆ ±=2""2222"2222)(477.24)20626520()'308sin 28.106(5)'308(cos )()sin ()(cos cm m S m m SD=⋅︒⋅+⋅︒=⋅⋅+⋅=ρδδδ因此，平距的中误差为：m D =±5 cm 。
精度评定
0.0023(m)
2.3mm
通常写为：DAB 123.647m 0.0023m
二、不等精度观测的精度评定
同样，由于一般情况下真误差不能求得，用加权平均值代替真值，用最或 是误差 vi 来计算单位权中误差。因此，不等精度观测值与平差值的精度评定必 须考虑权的影响。
单位权中误差：计算公式如下：
3
123.655
4
123.6、44
5
123.640
6
123.652
-0.008 +0.003 +0.007 -0.005
0.000064 0.000009 0.000049
0.000025
∑
x 741.882
v 0
vv 0.000164
算数平均值：x = li
u pvv
n 1
平差值中误差：计算公式如下：
M
式中：M —加权平均值（平差值）中误差；
p —各观测值的权之和。
pvv n 1 p
数字测图
；v是各观测值改正数；n是对未知量进行了n次观测。
例：设丈量A、B两点间距离，丈量6次的结果如下表所示，求观测值的中误差及算术平均值的
中误差。
表3.1 A、B两点间距离丈量结果
观测次序
观测值(m)
改正数 v (m)
vv(m)
1
123.643
+0.004
0.000016
2
123.648
-0.001
0.000001
数字测图
精度评定
主讲：欧阳慧
一、 等精度观测的精度评定
观测值中误差：计算观测值中误差对观测值进行精度评定的公式为：
观测值的中误差计算公式
观测值的中误差计算公式
观测值的中误差计算公式是一种用于评估实验测量结果的准确性和可靠性的方法。
中误差是指一组测量值与其平均值之间的差异程度。
中误差的计算公式如下：中误差=√(Σ(观测值-平均值)²/观测次数)。
这个公式的含义是，首先计算每个观测值与平均值的差异，然后将这些差异的平方相加，再除以观测次数，最后取平方根。
这样就可以得到观测值的中误差。
中误差的计算可以帮助我们判断实验结果的可靠性。
如果中误差较小，说明多次测量结果较为一致，实验结果较为可靠。
反之，如果中误差较大，说明多次测量结果差异较大，实验结果不够可靠。
通过计算中误差，我们可以对实验结果进行更精确的分析和解释。
同时，中误差的计算也能够帮助我们发现实验过程中可能存在的误差来源，并采取相应的改进措施。
观测值的中误差计算公式是一种简单而有效的方法，可以帮助我们评估实验结果的准确性和可靠性。
通过计算中误差，我们可以更好地理解实验数据，并得出更可靠的结论。
水平角观测中误差计算公式
水平角观测中误差计算公式水平角观测中误差计算公式是用于评估测量水平角观测结果的准确程度的指标。
水平角是指测量两点间连线相对于水平方向的夹角。
观测中误差是指测量结果与真实值之间的差异，它受到多种因素的影响，例如仪器误差、人为误差和自然环境因素等。
在进行水平角观测时，需要测量仪器的环境误差和观测员的个人误差。
环境误差包括大气折射误差、仪器偶然误差和仪器系统误差等；而个人误差主要是由于观测员的不准确操作和读数错误等造成的。
为了计算水平角观测中误差，我们可以采用以下公式：总误差=个人误差+环境误差个人误差=观测员A误差+观测员B误差环境误差=大气折射误差+仪器误差大气折射误差是由于大气对光线的折射导致的误差。
为了计算大气折射误差，可以使用以下公式：大气折射误差=空间大气折射误差+天气大气折射误差空间大气折射误差是通过观测者所处位置的大气条件来确定的，可以通过气象数据来获得。
天气大气折射误差则是由于天气条件变化而产生的误差，可以通过观测数据的时间和地点来确定。
仪器误差是由于测量仪器的不准确性和随着时间的使用而产生的误差。
为了计算仪器误差，可以使用以下公式：仪器误差=仪器等级误差+仪器随时间误差仪器等级误差是由于仪器制造过程中的误差而产生的，通常可以从仪器的规格书中获取。
仪器随时间误差是由于长期使用和磨损而引起的误差。
个人误差是由观测员的不准确操作和读数错误等因素引起的。
为了计算个人误差，可以使用以下公式：个人误差=观测员仪器读数误差+观测员操作误差+观测员个人差异观测员仪器读数误差是由于观测员在读取仪器示数时引起的误差。
观测员操作误差是由于观测员在操作仪器时引起的误差，例如不准确的持仪方式或操作不规范等。
观测员个人差异则是不同观测员之间的个人技术能力和水平差异。
通过以上公式，我们可以计算得到水平角观测中的总误差。
对于测量结果的准确性评估以及进一步的数据处理和分析具有重要的意义。
对于关键性的测量任务，需要采取相应的措施来降低误差和提高测量的精度，例如增加观测人员的培训和质量控制，选用更精确的仪器设备以及合适的环境条件等。
观测值中误差计算公式
观测值中误差计算公式观测值中误差计算公式是用于衡量观测值与真实值之间的差异的数学公式。
它是科学研究和实验中常用的工具，用于评估数据的精确性和可靠性。
观测值中误差计算公式是基于统计学原理和概率理论，通过对数据的分析和处理，得出观测值的误差范围和可信度。
观测值中误差计算公式的基本形式如下：误差 = 观测值 - 真实值其中，观测值是通过实验或测量得到的数据，真实值是理论上的准确数值。
误差表示了观测值与真实值之间的差异，它可以是正数也可以是负数，正数表示观测值偏大，负数表示观测值偏小。
观测值中误差计算公式的具体形式根据具体情况而定。
在实际应用中，常见的观测值中误差计算公式有以下几种：1. 绝对误差：绝对误差是观测值与真实值之间差异的绝对值。
它可以用来衡量观测值的准确性和精度。
绝对误差的计算公式如下：绝对误差 = |观测值 - 真实值|2. 相对误差：相对误差是绝对误差与真实值之比的绝对值。
它可以用来衡量观测值的相对准确性和精度。
相对误差的计算公式如下：相对误差 = |观测值 - 真实值| / |真实值|3. 百分比误差：百分比误差是相对误差乘以100的值。
它可以用来衡量观测值的百分比准确性和精度。
百分比误差的计算公式如下：百分比误差 = |观测值 - 真实值| / |真实值| × 100%观测值中误差计算公式的选择取决于具体的应用场景和要求。
在科学研究和实验中，我们通常会根据具体的目的和需求选择合适的误差计算公式。
有时候，我们更关注绝对误差，因为它可以直观地反映观测值的与真实值的差别；有时候，我们更关注相对误差和百分比误差，因为它们可以将观测值的误差与真实值进行比较，以评估观测值的准确性和可靠性。
观测值中误差计算公式在科学研究和实验中具有重要的应用价值。
通过对观测值的误差进行计算和分析，我们可以评估数据的精确性和可靠性，从而提高实验的准确度和可重复性。
同时，观测值中误差计算公式也可以帮助我们发现和解决实验中可能存在的问题和偏差，从而提高实验的科学性和可信度。
误差传播定律——观测值函数的中误差
误差传播定律 ——观测值函数的中误差
1. 误差传播定律的定义 在实际工作中，某些未知量不能直接观
测而求得，而是需要用观测值间接求得， 如HB=HA+∑h中，HB是独立观测值 h1,h2,…,hn的函数，那么就需要由观测值 的中误差求出函数的中误差。 定义：阐述观测值中误差与观测值函数中误 差之间关系的定律，称为误差传播定律。
推导:
zz
N
k12
x1x1
N
k22
x2x2
N
kn2
xnxn
N
2
nn
j 1 i 1
ki
kj
xix j N
i j
………………………（5）
可以证明，当i≠j时，独立观测量xi,xj的随 机误差△xi,△xj之乘积△xi·△xj也表现
为随机误差的性质。依据随机误差的抵偿
性有
lim
N
ki
k
j
i j
2
误差传播定律 ——观测值函数的中误差
2. 一般函数误差传播定律 分别设为有m独x1 , m立x2观,测, m值xn x1,x2,…,xn，其中误差
现有函数 z f (x1, x2,, xn ) …（1）
求函数值z的中误差mz。
推导
3
误差传播定律 ——观测值函数的中误差
z f (x1, x2 ,, xn )
则有
mz2
k12
m2 x1
k22
m2 x2
kn2
m2 xn
z f ( x1, x2 ,, xn )
mz2
k12
m2 x1
k22
m2 x2
kn2
中误差
感谢观看
计算公式
测量误差按其对测量结果影响的性质，可分为： 一.系统误差（system error） 1.定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号和大小均相同或按一定的规律变化， 这种误差称为系统误差。 2.特点：具有积累性，对测量结果的影响大，但可通过一般的改正或用一定的观测方法加以消除。 二.偶然误差（accident error） 1.定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号和大小均不一定，这种误差称为偶然 误差。但具有一定的统计规律。 2.特点： （1） 具有一定的范围。 （2） 绝对值小的误差出现概率大。 （3） 绝对值相等的正、负误差出现的概率相同。
中误差不等于真误差，它仅是一组真误差的代表值。中误差的大小反映了该组观测值精度的高低，因此，通 常称中误差为观测值的中误差。
采用原因
代替值
标准差
在实际测量中，观测次数n总是有限的，真值只能用最或然值（常用多次观测的平均值）来代替。
标准差（Standard Error）是方差（Variance）的平方根，，是数小误差反映非常敏感，能够很好地反映出测量结果波动大小。这正是标准差在 工程测量中广泛被采用的原因。
本文根据制图误差理论，利用空间数据的中误差范围信息和数据邻近关系来匹配多尺度空间面实体数据。利 用中误差信息可以有效地提高初始搜索到准确率，首先确定1:0以及1:M关系，通过建立邻近关系矩阵来确定数据 的多对多关系，并通过扩大范围确定相对低一些的信任度的匹配关系，接着将这些关系进行人工交互处理，最终 完成整个匹配的过程。和已有的方法比较，本算法具有良好的准确度和效率，试验结果表明该方法具有有效性和 实用性。
空间面匹配，国外学者作过大量的研究。在几何匹配方面，文献提出面质心结合多种匹配检验规则的几何匹 配方法，通过面实体栅格化后收缩来确定质心，然后将其矢量化，用点在面内的规则进行粗匹配，再结合多边形 的面积A和面密度C进行匹配检验，最终判断匹配情况。文献通过匹配面的边界来计算边界的距离来检测不同时间 点的空间面的明显不同，该方法适合于明确的边界的面数据，不适合于大量变化的地形数据。文献提出一种基于 邻近关系确定面与面大致的关系，辅助Hausdorff距离来区分面之间的匹配关系，来确定面之间的共轭点，可以 用来匹配面数据。语义信息主要取决于空间数据模型和属性数据模型，语义信息可以用来辅助匹配关系。文献提 出一种基于知识的非空间属性数据匹配策略，通过计算属性项的相似度值以确定匹配实体。文献提出一种基于语 义和结构的相似性的属性数据匹配方法，来匹配正式和非正式的地理数据。
求中误差的三个公式
求中误差的三个公式在测量工作和科学研究中，我们常常需要评估测量结果的精度和可靠性。
中误差就是一个重要的指标，用于衡量观测值的精度。
下面将为您介绍求中误差的三个常用公式。
首先，我们来了解一下什么是中误差。
简单来说，中误差是衡量一组观测值的离散程度的统计量。
它反映了观测值与真值之间的接近程度。
中误差越小，说明观测值越接近真值，精度越高；反之，中误差越大，精度越低。
第一个求中误差的公式是基于真误差的定义。
真误差是观测值与真值之差。
假设我们有 n 个观测值 L1、L2、、Ln，对应的真值为 X，那么每个观测值的真误差分别为Δ1 ＝ L1 X、Δ2 ＝ L2 X、、Δn ＝ Ln X。
中误差 m 的计算公式为：m ＝±√（Δ1² ＋Δ2² ＋＋Δn²）／ n这个公式的原理是通过计算真误差的平方和的平均值的平方根，来得到中误差。
它直观地反映了观测值的离散程度。
接下来，我们看第二个公式，它是基于改正数的。
设观测值的最或是值为 x，观测值 Li 对应的改正数为 vi ＝ Li x。
那么中误差 m 的计算公式为：m ＝±√（v1²＋ v2²＋＋ vn²）／（n 1）这个公式与第一个公式类似，但分母是 n 1 而不是 n。
这是因为在计算最或是值时，使用了观测值的信息，自由度减少了 1。
再来看第三个公式，适用于等精度观测的情况。
假设对某量进行了n 次等精度观测，每次观测的中误差都为 m'，那么算术平均值的中误差 m 为：m ＝ m' ／√n这个公式表明，当进行多次等精度观测时，算术平均值的精度会提高，提高的程度与观测次数的平方根成反比。
为了更好地理解这三个公式，我们通过一个简单的例子来进行说明。
假设有一组对某段距离的测量值：251m、248m、253m、249m、252m，其真值为 250m。
按照第一个公式，先计算真误差：Δ1 ＝ 251 250 ＝ 01，Δ2 ＝ 248 250 ＝－02，Δ3 ＝ 253 250 ＝ 03，Δ4 ＝ 249 250 ＝－01，Δ5 ＝ 252 250 ＝ 02。
《土木工程测量》项目6 测量误差基本知识
误差不大于3 mm，试问在水准尺上读数的中 7 误差应为多少?
用经纬仪观测水平角，测角中误差为±9”。欲 使角度观测结果的精度达到±5”，问需要观测 8 几个测回?
在水准测量中，设一个测站观测高差的中误差 为±3 mm，l公里线路有9站。求1公里线路观
9 测高差的中误差和K公里线路观测高差的中误差。
能力练习题部分
1 解释名词：误差、系统误差、偶然误差、中误差、极限 误差、相对中误差、误差传播定律、算术平均值中误差。
测量距离AB和CD。往测结果分别为258.598 m和
2 138.745 m，返测结果分别为258.547 m和138.778 m。 分别计算往返较差、相对误差，并比较精度。
3
测得一正方形的边长ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ=86.25 m±O.04 m。试求正方
对一段距离测量了6次，观测结果为246．535 m、246．548 m、246．520 m、246.529 m、 246．550 m、246．537 m。试计算该段距离 的最或是值、最或是值的中误差和相对中误差、 10 测量一次的中误差。
3极限误差
要衡量某一观测 值的质量，决定 其取舍需用极限 误差又称允许误
差，简称限差
概率分布曲线
任务6.4 误差传播定律
误差传播定律
1线性函 数
倍数函数：
z 函数式： k x
中误差关系式
mz kmx
2非线性函数
3精度分析举例
mZ2
(
f x1
)
2
m12
(
f x2
)
2
m22
(
f xn
)
2
mn2
中误差
mZ
(
f x1
)2
m12
(
f x2
)2
m22
(
f xn
)2
mn2
[例]已知：测量斜边D′=50.00±0.05m，测 得倾角α=15°00′00″±30″求：水平距 离D
解：1.函数式
D D cos
2.全微分
dD (cos )dD (D sin ) d
3.求中误差
mD2
[(cos
) mD ]2
三、 相对误差
相对误差K 是中误差的绝对值 m 与相 应观测值 D 之比，通常以分母为1的分式
来表示，称其为相对（中）误差。即:
m
K
1
D
D
m
一般情况 :角度、高差的误差用m表示， 量距误差用K表示。
[ 例 ] 已 知 ： D1=100m, m1=±0.01m ， D2=200m, m2=±0.01m，求： K1, K2 解：
L
l
n
1 n
l1
1 n
l2
1 n
ln
式中，1／n为常数。由于各独立观测
值的精度相同，设其中误差均为m。
设平均值的中误差为mL，则有
m2 L
1 n2
m2 1
1 n2
m2 2
1 n2
m2 n
1 m2 n
故
mL
m n
由此可知，算术平均值的中误差为观 测值的中误差的 1 倍。
n
三、精度评定
第一公式
m
由于 1, 2,, n 为偶然误差，它们的非自乘积
P Q仍具有偶然误差的性质，根据偶然误差的特 性，即
lim PQ 0
n
n
水平角观测中误差计算公式
水平角观测中误差计算公式【最新版】目录1.水平角观测中误差的定义与分类2.水平角观测的主要误差来源3.测回法计算水平角观测中误差的公式4.实例：一测回水平角观测中误差的计算5.总结正文水平角观测中误差计算公式水平角观测是测绘工作中常见的一种测量方法，用于确定地面上两点之间水平方向的角度。
在实际观测过程中，由于各种因素的影响，观测结果往往会存在误差。
为了准确评价观测数据的精度，需要计算水平角观测中的误差。
一、水平角观测中误差的定义与分类水平角观测中的误差是指观测值与真实值之间的差异。
根据误差的来源，可将其分为三类：人为误差、外界条件对观测精度的影响和仪器误差对测角精度的影响。
1.人为误差：包括观测者在操作过程中产生的误差，如读数不准确、瞄准目标时估计偏差等。
2.外界条件对观测精度的影响：包括气象条件、地形地貌、地球曲率等因素对观测结果的影响。
3.仪器误差对测角精度的影响：包括仪器的精度、仪器的安装与使用、度盘偏心差等因素对观测结果的影响。
二、水平角观测的主要误差来源水平角观测的主要误差来源有以下几个方面：1.观测者的技能水平和经验：观测者的操作技能、对仪器的熟悉程度以及实践经验都会影响观测结果的精度。
2.气象条件：风力、气温、气压、湿度等因素的变化会影响测量结果。
3.地形地貌：地面的高低起伏和斜坡度会影响水平角观测的精度。
4.仪器精度：仪器的精度和稳定性直接影响观测结果的精度。
5.观测方法：不同的观测方法对误差的影响程度不同。
三、测回法计算水平角观测中误差的公式测回法是计算水平角观测中误差的常用方法，其公式如下：误差 = m([]/(5-1))其中，m 表示中误差，[] 表示观测值的标准差，5 表示测回次数，1 表示测回中误差的自由度。
四、实例：一测回水平角观测中误差的计算假设在一次水平角观测中，采用测回法得到了五个观测值，分别为：α1, α2, α3, α4, α5。
对应的标准差分别为：s1, s2, s3, s4, s5。
中误差——精选推荐
评定精度的标准一、评定精度的标准为了对测量成果的精确程度作出评定,有必要建立一种评定精度的标准,通常用中误差,相对误差和容许误差来表示。
１.中误差1）用真误差来确定中误差设在相同观测条件下，对真值为的一个未知量进行次观测,观测值结果为，每个观测值相应的真误差(真值与观测值之差)为△1、△2、……,△n。
则以各个真误差之平方和的平均数的平方根作为精度评定的标准,用表示,称为观测值中误差。
式中：观测次数—称为观测值中误差(又称均方误差)为各个真误差△的平方的总和。
上式表明了中误差与真误差的关系，中误差并不等于每个观测值的真误差，中误差仅是一组真误差的代表值，当一组观测值的测量误差愈大，中误差也就愈大，其精度就愈低；测量误差愈小，中误差也就愈小，其精度就愈高。
【例题】甲、乙两个小组，各自在相同的观测条件下，对某三角形内角和分别进行了7次观测，求得每次三角形内角和的真误差分别为：甲组：+2〞、-2〞、+3〞、+5〞、-5〞、-8〞、+9〞乙组： -3〞、+4〞、0〞、-9〞、-4〞、+1〞、+13〞 则甲、乙两组观测值中误差为：由此可知，乙组观测精度低于甲组,这是因为乙组的观测值中有较大误差出现，因中误差能明显反映出较大误差对测量成果可靠程度的影响，所以成为被广泛采用的一种评定精度的标准。
2）用观测值的改正数来确定观测值的中误差在实际测量工作中，观测值的真误差往往是不知道的，因此，真误差也无法求得，所以常通过观测值的改正数V i 来计算观测值中误差。
即：V i=L-L 1 (i=1,2.....,n)[]1-±=n vv m3）算术平均值中误差算术平均值L 的中误差M ，按下式计算：[]()1-±==n n vv nm M【例题】某一段距离共丈量了6次，结果如表所示，求算术平均值、观测中误差、算术平均值的中误差、及相对误差。
(二)相对误差测量工作中对于精度的评定，在很多情况下用中误差这个标准是不能完全描述对某量观测的精确度的。
算术平均值及其中误差
算术平均值及其中误差5. 4. 1 算术平均值设对某量进行r次等精度观测，观测值为=（.=1、2…… ' ），其算术平均值为.[: 厶 + 厶2 + ........ + E ]一般情况下，被观测量的真值（如一个角度，一条边长的真值）是无法得知的，对一组等精度观测值而言，算术平均值就是被观测量真值的最可靠值，即最或是值。
5. 4. 2观测值中误差令算术平均值与每个观测值的差值为观测值改正数J :〔二—（「=1、2……/ ）代入下式亦可计算出观测值的中误差：上式即为利用观测值改正数计算观测值中误差的实用公式。
5. 4. 3算术平均值中误差又因「均为等精度观测，具有相同的中误差匸，运用误差传播定律可得据算术平均值的定义（5-19）式知(5-26)上式可见，算术平均值中误差较观测值中误差缩小Y'倍。
解：（1）计算最或是值即算术平均值：例5-6 对某段距离进行了六次等精度测量，求该距离的最或是值及其中误差。
(2)计算观测值改正数'^ = [£1 = 348.3606检核：本例计算［「］=0，说明计算无误。
再计算各 ’！之平方，得［二］=238 。
(3)计算观测值中误差(4)计算算术平均值中误差(5)计算算术平均值的相对中误差—丄・ 丄 —1 x!\m,\ 348.36/0.0028 124400因该例为距离测量，所以需进行相对误差的计算，否则，该项计算免去。
观测次观测值£/m V /mmW]1 348.367 +7 492 348.359 -1 13 348.364 +4 16 4 348.350 —10 1005 348.366 +6 36 6348.354—6 36"囚= 348J606[V ]=o[W ]=238距离测量成果计算表一（=1、2……r ）表5-3 VV桝二'- mm。
观测值中误差计算公式
观测值中误差计算公式
误差计算公式可以是很多种形式，具体取决于观测值的类型和误差的性质。
以下是一些常见的误差计算公式：
1. 绝对误差（Absolute Error）：
绝对误差是实际观测值与准确值之间的差的绝对值，表示观测值的离散程度。
绝对误差 = |观测值 - 准确值|
2. 相对误差（Relative Error）：
相对误差是绝对误差除以准确值的比值，表示观测值的相对离散程度。
相对误差 = (观测值 - 准确值) / 准确值
3. 百分比误差（Percentage Error）：
百分比误差是相对误差乘以100，表示观测值与准确值之间的比例关系。
百分比误差 = 相对误差 * 100
4. 均方根误差（Root Mean Square Error，RMSE）：
均方根误差是实际观测值与预测值之间的差的平方的均值的平方根，常用于评估模型的预测精度。
RMSE = sqrt(sum((观测值 - 预测值)^2) / n)
以上只是一些常见的误差计算公式，实际应用中可能还会有其他形式的误差计算公式。
具体选择哪个公式取决于具体的应用场景和需求。
3.3算术平均值及观测值的中误差
等式两边求和除以观测次数可得：
X l
n
n
当观测次数无限增大时，根据偶然误差抵偿性有:
X l 0
nn
X l x
n
由上可以表明:
当观测次数无限增多时，各个观测值的 算术平均值趋于未知量的真值。
当观测次数有限时，通常取算术平均值
x 为最可靠值（最或是值），即以它作为
(1) 式 推 导
由:
1 X l1
2 X l2
...
n X ln
v1 x l1 v2 x l2
... vn x ln
则: 1 v1 ( X x) 2 v2 ( X x) [] n( X x) ...
n vn ( X x)
(2) 式 推 导
由:
1 v1 ( X x)
2 v2 ( X x)
...
n vn ( X x)
则:
vv n(X x)2
观测值中误差公式推导
由:
[] n(X x) (X x) []
n
vv n(X x)2
将上式等号两边相加则:
v nx l
即有: v n l l l l 0
n
三、按观测值的改正值计算中误差公式形式：
m vv
n1
公式推导：(关键两式)
(1) nX x X x
n
(2) [] vv nX x 2
x l1 l2 ... ln l
n
n
理由如下：
在相同观测条件下对某未知量进行了一组 等精度观测，设观测值分别为 l1 ，l2 ，…，ln 观 测值的真值为 X ，则观测值的真误差为
观测值的中误差
（m为观测值的中
误差，即算术平均值中误差是观测值中误差比上根号测回数）， 将（5—12）代入得：
M
n(n 1)
（5—13）
上式为最或是值的中误差公式。
【例5—9】设对某角度观测了六个测回，观测值列于表 5—3中，求观测值的中误差和算术平均值的中误差。
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表5—3 观测值
m
n
其中： i i X （ i 为观测值）
在实际工作中，由于未知量的真值 X 往往是不知道的，因 此真误差 i 也是未知数，所以就不能直接应用上式来求得中误 差。然而若采用观测值的算术平均值（最或是值）来代替真值， 也可求出观测值的中误差。 观测值与算术平均值（最或是值）之差，称为似真误差， 若以 v 表示，则： vi li L
L 为观测值的算术平均值
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l i 为观测值
设对某量作3n次等精度观测，观测值分别为 l1 , l2 ln ， 其算术平均值为L ，则
L l1 l 2 l n l n n
（5—7）
下面讨论按似真误差来计算中误差公式。 根据中误差公式，真误差为： 1 1 X 2 2 X …… n n X 根据似真误差定义，则： v1 1 L v2 2 L…… vn n L
0
650
解： 算术平均值
10'' 40'' 25'' 15'' 20'' L 73 42 00 73o 42' 20'' 6
o ' ''
第四节观测值函数的中误差
第四节观测值函数的中误差——误差传播定律一、观测值和或差函数的中误差设有函数z=x±y式中z是x、y的和或差的函数，x、y为独立观测值。
△z=△x±△y假如对x和y分别以同精度各观测了n次，则：△zi=△xi±△yi（i＝1，2，…，n）将上述n个公式两边平方，然后相加得：［△z］2=［△x］2±［△y］2±2［△x△y］将上式两边除n，得：，，或讨论：（1）当函数z为n个独立观测值的代数和时，即：按上述的推导方法，可得出函数z的中误差为：式中m i是观测值x i的中误差。
（2）当观测值x i为同精度观测时，即各观测值的中误差均为m，m1=m2=…=m n，则有：例1：设在两点间进行水准测量，已知一次读数的中误差m读=±2mm，求观测n站所得高差的容许误差（取△容=2m）为多少？解：水准测量一站的高差h站=a-b则一站高差的中误差为：观测n站所得总高差Σh为：∑h=h1+h2+…+h n观测n站所得高差Σh的中误差为：观测n站所得高差Σh的容许误差为：需要指出的是：上述分析仅仅考虑了读数误差，不能作为实际测量中的限差要求。
第五章测量误差的基本知识第五节同精度观测值中误差由前面介绍的知识可知，同精度观测值中误差为而△i=L i-X(i=1，2……n)由于未知量的真值X一般无法确知，真误差△i也是未知数，故不能直接用上式求出中误差。
实际工作中，多利用观测值的改正数υi来计算观测值的中误差。
改正数为υi=x-L i由改正数可以计算同精度观测值中误差由改正数可以计算算术平均值中误差[例5-8]设对某角进行了5次同精度观测，观测结果如下表，试求其观测值的中误差及算术平均值的中误差观测值中误差算术平均值中误差为请问相对误差的公式设绝对误差为A，那么相对误差为：B. A/测量值。
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项目5.4 观测值中误差
观测值中误差
典型工作任务5.4
2
5.4观测值的中误差
由真误差求一次观测值中误差的公式为：
m
n
其中： i i X （ i 为观测值）
在实际工作中，由于未知量的真值 X 往往是不知道的，因 此真误差 i 也是未知数，所以就不能直接应用上式来求得中误 差。然而若采用观测值的算术平均值（最或是值）来代替真值， 也可求出观测值的中误差。 观测值与算术平均值（最或是值）之差，称为似真误差， 若以 v 表示，则： vi li L
n n
2
（5—11）
又从 L X 导出
2
n2
2 ( 1 2 2 3 ) 2 n
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由于真误差 具有偶然误差的性质，当n趋于无限大时，上 式中 (1 2 2 3 ) 将趋近于零；当n为有限值时，总和
2 2
n n n
（5—10）
将（5—9）式相加，两边除以n得：
L
n n
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对同一个量进行多次观测，取其算术平均值为最或是值， 则每一观测值与最或是值的差数总和，也就是最或是误差的总 和应当等于零，即 0 。此式可用来校核算术平均值的计算 是否正确。 由（5—10）式可以改写成：
0
650
解： 算术平均值
10'' 40'' 25'' 15'' 20'' L 73 42 00 73o 42' 20'' 6
o ' ''
一次观测值中误差：
m
n 1
650 11.4 '' 6 1
最或是值的中误差：
M
n(n 1)
650 4.7 '' 65
最后结果
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L 73o 42' 20'' 4.7 ''
L 为观测值的算术平均值
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l i 为观测值
设对某量作3n次等精度观测，观测值分别为 l1 , l2 ln ， 其算术平均值为L ，则
L l1 l 2 l n l n n
（5—7）
下面讨论按似真误差来计算中误差公式。 根据中误差公式，真误差为： 1 1 X 2 2 X …… n n X 根据似真误差定义，则： v1 1 L v2 2 L…… vn n L
73 42 10
o ' ''
10''
2 0 ''
100 400 25 100
73o 42' 40''
73o 42'25''
73o 42'10''
73o 42'15''
73o 42' 20''
L 73o 42' 20''
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5 ''
10''
5 ''
25
0
0
n
（m为观测值的中
误差，即算术平均值中误差是观测值中误差比上根号测回数）， 将（5—12）代入得：
M
n(n 1)
（5—13）
上式为最或是值的中误差公式。
【例5—9】设对某角度观测了六个测回，观测值列于表 5—3中，求观测值的中误差和算术平均值的中误差。
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表5—3 观测值
（5—8） （5—9）
将（5—7）与（5—8）式中对应项相减得：
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1 v1 L X
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 v2 L X …… n vn L X
令 代替L X，则上式可写成： 2 v2 …… n vn 1 v1 两边分别平方并相加后，并以n除之
(1 2 2 3 )远比 为小，故可忽略不计，则（5—11）式
可写成：
n n n2
依中误差定义，并移项可写成：
2 m 2 m n n
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m
n 1
m
(5—12)
上式就是根据似真误差计算观测值的中误差公式。 根据算术平均值的中误差公式，M