解直角三角形的应坡比与坡度

4 F
i = 1: 3
α D
QAB= CD, BC// AD, i = 1: 3, A ∴CF = BE = 6, EF = BC = 4, AE = FD = 3CF = 6 3.
∴ AD = AE + EF + FD = 4 + 12 3. CF 1 Q tgα = , = FD 3 ∴ α = 30 .
B 565米 米
A
1000米 米
C
例题5 一座大楼前的残疾人通道是斜坡， 用AB表示，沿着通道走3.2米可进入楼厅， 楼厅比楼外的地面高0.4米，求残疾人通道的 坡度与坡角(角度精确到1′，其他近似数以取 四位有效数字)。
B 楼厅地面 斜坡 A C
2.如图,某人从山脚下的点A走了200m后 到达山顶的点B.已知山顶B到山脚下的垂 直距离是55m,求山坡的坡度(结果精确到 0.001m).
1、如图,某截面为梯形的水坝上底宽 、如图 某截面为梯形的水坝上底宽 某截面为梯形的水坝上底宽AD=6米, 米 高为4米 斜坡 的坡比i=1∶ ，斜坡DC的 斜坡AB的坡比 高为 米,斜坡 的坡比 ∶1.2，斜坡 的 坡角为45° 坡角为 ° (1)求坝底 的长； 求坝底BC的长 求坝底 的长； (2)若将坝高再提高 米，得梯形 若将坝高再提高0.5米 得梯形EBCF。此 若将坝高再提高 。 时坝宽EF为多少米 为多少米？ 时坝宽 为多少米？
1、坡角α=45°坡比 1∶1 、坡角 °坡比i= ∶ 坡角α= 30° 坡角 2、坡比为 1: 3 ,坡角 、 °
3 10 坡角α的余弦值为 3、 3、坡比为 i=1∶3 ，坡角α的余弦值为 10
用数学去解释生活
如图,正切也经常用来描述山坡的坡度.例 如，有一山坡在水平方向上每前进100m就升 高60m,那么山坡的坡度i(即tanα)就是: 老师提示: 坡面与水平面的夹角(α)称为 坡角,坡面的铅直高度与水平宽 度的比称为坡度i(或坡比),即 坡度等于坡角的正切.
60 3 i = tan α = = . 100 5
i
α 100m
60m ┌
例1 下图表示两个自动扶梯,那一个自动扶梯比 较陡?
甲 α 13m ┌ 5m 乙 6m ┐ 8m β
5 i = . 老师提示: 解:甲梯中,1 = tan α = 132 − 52 12 在生活中,常 6 3 用一个锐角的 乙梯中, i2 = tan β = = . 8 4
3、如图，两幢间隔10米的甲楼和乙楼分别直 、如图，两幢间隔 米的甲楼和乙楼分别直 立于地面上的A和 处 为测量甲楼的高度， 立于地面上的 和B处，为测量甲楼的高度， 小明站在图中C处 观察甲楼的最高点E时 小明站在图中 处，观察甲楼的最高点 时， 视线被乙楼所挡（ 视线被乙楼所挡（点A、B、C在同一水平线 、 、 在同一水平线 ∶ 上），而C处有一斜坡，它的坡度是 i=1∶ 3 ），而 处有一斜坡， 处有一斜坡 小明沿这个坡面向上走了4米，到达D处， 小明沿这个坡面向上走了 米 到达 处 此时，能观察到甲楼最高点E， 此时，能观察到甲楼最高点 ，并测得仰角 为30°，已知 ° 已知BC=5米，请你帮小明计算甲 米 楼的高度（保留根号） 楼的高度（保留根号）
A
B
┌ C
一段河坝的横断面为等腰三角形ABCD， 例3一段河坝的横断面为等腰三角形 一段河坝的横断面为等腰三角形 ， 试根据下图中的数据求出坡角α和坝底宽 和坝底宽AD。 试根据下图中的数据求出坡角 和坝底宽 。 单位是米，结果保留根号） （单位是米，结果保留根号）
B C
解：过C作CF⊥AD于F
6 E
5
∵tanβ>tanα,∴乙梯更陡.
正切表示梯子 的倾斜程度.
1、 我军某部在一次野外训练中，有一辆坦 、 我军某部在一次野外训练中， 克准备通过一座小山， 克准备通过一座小山，已知山脚和山顶的水 平距离为1000米，山高为565米，如果这辆坦 平距离为 米 山高为 米 克能够爬30 的斜坡，试问： 克能够爬 0 的斜坡，试问：它能不能通过这 座小山？ 座小山？
o
答：坡角α为30 ，坝底宽AD为(4 + 12 3 )米.
o
例题6 一段铁路路基的横断面为等腰梯形 ABCD，路基顶宽BC为2.8米，路基高为1.2米， 斜坡AB的坡度ｉ=1：1.6 计算路基的下底宽(精确到0.1米)； 求坡角(精确到1°)
i = 1 : 1.6
B E
2.8
C
1.2
A
F
D
拓展应用
A
在Rt∆ABC中 中
AC BC ∴AC=BC•tan α=a • tanα
∵tan α =
α C a
B
方案二： 方案二：
考虑到测角仪本身有一个高度， 考虑到测角仪本身有一个高度，因此先量出 测角仪的高CD=b，再量出测角仪到旗杆底的距 测角仪的高 ， 测出点C到旗杆顶 点的仰角α 离BD=a ,测出点 到旗杆顶 点的仰角 。 测出点 到旗杆顶A点的仰角 ∵CDBE为矩形， ∴BE=CD=b，CE=BD=a 在Rt∆AEC中，
o
∠ C = 75 o ， AC = 2，求 BC 的长；
C
BC = 2CD = 6
B
D
A
[类题训练 类题训练] 类题训练 求它的腰长。 求它的腰长。
5 1、已知：等腰△ABC的底边长为 ，底角正弦为 5 ， 的底边长为4， 、已知：等腰△ 的底边长为
2、已知： △ABC中，AB=AC,BD为△ABC的一条高线， 、已知： 的一条高线， 中 为 的一条高线 1 D为垂足，且BD= AB=1,求tgC的值。 为垂足， 的值。 为垂足 求 的值
E A
α
B
C D
AE=EC • tan α。 ∴AB=AE+EB=b+a • tanα
例题1 在地面上离旗杆BA底部10 米的C处，小明抬头看旗杆顶端A 的仰角为45°，已知小明的身高 CD为1.5米，求旗杆BA的高.
A
45 o
E B
D C
例题2 甲乙两幢楼之间的距离CD等于40米， 现在要测乙楼的高BC(BC⊥CD)，所选观察点A 在甲楼一窗口处，AD∥BC。从A处测得乙楼顶 端B的仰角为32°，底部C的俯角为25°。求乙 楼的高度(精确到1米)。
解直角三角形的应用
坡度(坡比)和坡角
你知道吗？ 你知道吗？
定义： 定义： 1、坡面的铅垂高度（h）和水平宽度（L） 、坡面的铅垂高度（ ）和水平宽度（ ） 坡度（或坡比） 的比叫做坡面的坡度（或坡比）。
h 公式 i= L
h
α
L
2、坡面与水平面所夹的锐角叫做坡角。 、
h i= =tg L α
你会算吗？ 你会算吗？
你学到了什么？ 你学到了什么？
1、坡度（坡比）和坡角的含义 、坡度（坡比） 2、会将实际问题转化为解直角三角形 、 的模型来处理
如图， 例 如图，在△ ABC中，已知 ∠B=60 ° ，∠C=45°， AB=12cm ，求这个三角形各边的长.
A
B D
C
二、典型例题： 典型例题：
例1、已知：在 ∆ ABC 中， ∠ B = 45 ，
南
B
例题4 为了测量河宽，在河的一边 沿岸先取B、C两点，对岸岸边有一 块石头A。在△ABC中，测得 ∠C=62°，∠B=49°，BC=33.5米， 求河宽(精确到0.1米)。
A
B
D
C
2、某村计划开挖一条长1500米的水渠，渠道 、某村计划开挖一条长 米的水渠， 米的水渠 的断面为等腰梯形，渠道深0.8米 下底宽1.2 的断面为等腰梯形，渠道深 米，下底宽 坡角为45° 实际开挖渠道时， 米，坡角为 °。实际开挖渠道时，每天比原 计划多挖土20立方米，结果比原计划提前4天 计划多挖土 立方米，结果比原计划提前 天 立方米 完工，求原计划每天挖土多少立方米。 完工，求原计划每天挖土多少立方米。

D 30° ° C
x E x
F B
解直角三角形的应用仰角和俯角
铅 垂 线
） 仰角 ） 俯角
水平线
自主探索
方案一： 方案一：
在操场上取一点B，用皮尺测出 点到旗杆底 点到旗杆底C的 在操场上取一点 ，用皮尺测出B点到旗杆底 的 距离BC=a；在B点用测角仪测出旗杆顶的仰角 α 。 距离 ； 点用测角仪测出旗杆顶的仰角
B
D
C
[评析 评析]在解斜三角形、等 评析 腰三角形、梯形等一些图 形的问题时，可以适当地 添加辅助线构造直角三角形，然后利用解直角三角形，使 问题得以解决。设未知数得到相关的方程，是解本题的一 个关键步骤，应用了方程的思想，将几何图形的计算转化 为解代数方程。
处测得山顶A的仰角为 例3：在山脚 处测得山顶 的仰角为 °。问题如 ：在山脚C处测得山顶 的仰角为45° 下： 1.沿着水平地面向前 米到达 点，在D点测得山 沿着水平地面向前300米到达 米到达D点 沿着水平地面向前 点测得山 的仰角为60 求山高AB。 顶A的仰角为 °，求山高 。 的仰角为 2.沿着坡角为 °的斜坡前进 沿着坡角为30 的斜坡前进300米到达 点，在D 米到达D点 沿着坡角为 米到达 点测得山顶A的仰角为 的仰角为60 求山高AB。 点测得山顶 的仰角为 ° ，求山高 。 A
2
3、已知： △ABC中，D为AB的中点，∠ACB=135°， 、已知： 的中点， 中 为 的中点 ° AC⊥CD，求sinA的值。 ， 的值。 的值 A B A D B (图1) 图 C B C (图2) 图 A D C (图3) 图 E
例二： 例二：
已知： 已知： △ABC中，∠A=105°，∠C=45°，BC=8， 中 ° ° ， 的长。 求AC和AB的长。 和 的长 A
B 甲 乙
A
32° ° 25° °
E
D
40米 米
C
例题3 在港口A的南偏东52°方向有一 座小岛B，一艘船以每小时24千米的速 度从港口A出发，沿正东方向行驶，20 他钟后，这艘船在C处且测得小岛B在 船的正南方向，小岛B与港口A相距我 少千米(精确到0.1千米)？
北 24千米/时 ×1/3=8千米C A 52°