圆锥曲线联立及韦达定理之欧阳家百创编
圆锥曲线解题技巧和方法综合全
圆锥曲线的解题技巧一、常规七大题型：〔1〕中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法〔点差法〕：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式〔当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论〕，消去四个参数。
如：〔1〕)0(12222>>=+b a by a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(*0,y 0)，则有0220=+k b y a x 。
〔2〕)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(*0,y 0)则有02020=-k by a x 〔3〕y 2=2p*〔p>0〕与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(*0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p.典型例题 给定双曲线x y 2221-=。
过A 〔2，1〕的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。
〔2〕焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。
典型例题 设P(*,y)为椭圆x a y b 22221+=上任一点，F c 10(,)-，F c 20(,)为焦点，∠=PF F 12α，∠=PF F 21β。
〔1〕求证离心率βαβαsin sin )sin(++=e ；〔2〕求|||PF PF 1323+的最值。
〔3〕直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的根本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。
典型例题抛物线方程，直线与轴的交点在抛物线准线的右边。
y p x p x y t x 210=+>+=()()〔1〕求证：直线与抛物线总有两个不同交点〔2〕设直线与抛物线的交点为A 、B ，且OA ⊥OB ，求p 关于t 的函数f(t)的表达式。
圆锥曲线二级结论及证明
圆锥曲线二级结论及证明
圆锥曲线的二级结论是指在圆锥曲线中，一些经过推导和证明的特殊性质和定理。
这些结论通常用于简化解题过程和提高解题效率。
以下是一些圆锥曲线的二级结论及证明：
焦点弦长公式：对于过圆锥曲线焦点的直线与圆锥曲线交于两点A和B，有AB=2ex1ex2*sin(θ)，其中e为离心率，x1和x2为A、B两点对应的横坐标，θ为直线AB的倾斜角。
证明：设直线AB的方程为x=my+n，联立直线和圆锥曲线方程，得到二次方程。
利用韦达定理得到x1+x2和x1*x2的值，再利用弦长公式得到AB的长度。
切线与法线的关系：对于圆锥曲线上的点P(x0,y0)，其切线方程可以表示为y-y0=k(x-x0)，其中k为切线的斜率。
同时，该点的法线方程可以表示为y-y0=-1/k(x-x0)。
证明：设点P处的切线斜率为k，则切线方程可以表示为
y-y0=k(x-x0)。
求出该点处的导数即为切线的斜率。
利用点斜式方程得到切线方程，然后利用法线和切线的垂直关系得到法线方程。
离心率与曲线的形状关系：对于椭圆，离心率e越小，曲线越扁；对于双曲线，离心率e越大，曲线越扁。
证明：利用椭圆的焦点距离公式和半轴长公式，可以得到离心率
e与半轴长之间的关系。
对于双曲线，同样利用焦点距离公式和半轴长公式，可以得到离心率e与半轴长之间的关系。
以上是一些圆锥曲线的二级结论及证明，这些结论可以应用于具体的解题过程中，提高解题效率。
圆锥曲线联立及韦达定理上课讲义
圆锥曲线联立及韦达定理1、圆锥曲线与直线的关系椭圆与双曲线与给定直线的关系通过联立方程所得解的情况来判定： 椭圆：22221x y a b +=(0)a b 双曲线：22221x y a b-=(0)a b 、直线：y kx m =+ (PS ：这里并没有讨论椭圆的焦点在y 轴、双曲线的焦点在y 轴及直线斜率不存的情况，做题需要补充)（1）椭圆与双曲线联立：222222212()10k km m x x a b b b+++-= (PS ：联立时选择不通分，原因？看完就知道了)类一元二次方程：20Ax Bx C ++= 2221()k A a b=+，所以0A ，即方程为一元二次方程。
判别式：24B AC ∆=- 222222221()4()(1)km k m b a b b∆=-+- 化解得：22222214()k m a b a b∆=+- 1) 当0∆，方程无实根，直线与椭圆没有交点；2) 当0∆=，方程有两个相同的根，直线与椭圆相切；（相切是因为重根，而不是只有一个根）3) 当0∆，方程有两个不同的实根，直线与椭圆相交.（2）双曲线与直线联立：222222212()10k km m x x a b b b----= 类一元二次方程中，2221()k A a b =-，22()km B b=- 22222214()k m a b a b∆=-+ 1) 当0,0A B ==时，方程为10-=，无解，直线与双曲线相离；（此时为渐近线）2) 当0,0A B =≠时，方程为一元一次方程，只有一个解，直线与双曲线只有一个交点（此时为渐近线的平行线）3) 当0,0A ≠∆时，一元二次方程无实数解，直线与双曲线相离；4) 当0,0A ≠∆=时，一元二次方程有两个相同实数解，直线与双曲线相切；5) 当0,0A ≠∆时，一元二次方程有两个不同实数解，直线与双曲线相交.PS ：注意双曲线与直线联立和椭圆与直线联立的方程及最后判定的异同！2、联立方程与韦达定理（1）韦达定理：20Ax Bx C ++=运用韦达定理的前提：0,0A ≠∆≥12B x x A +=-， 12C x x A =，12x x A-== （2）椭圆与直线联立相关的韦达定理：222222212()10k km m x x a b b b+++-= 21222221kmb x x k a b -+=+； 221222211m b x x k a b -=+；1222x x a b-=+ 由y kx m =+可得到关于y 的韦达定理：121212()()()2y y kx m kx m k x x m +=+++=++22222222212()1k m k m b a b k a b-++=+ 21222221ma y y k ab +=+； 2212121212()()()y y kx m kx m k y y km x x m =++=+++2222222222221(1)()()1m km k k km m b b a b k a b -+-++=+ 222122221m k a y y k a b -=+； 121212()()y y kx m kx m k x x -=+++=-1222y y a b -=+；（3）双曲线与直线联立相关的韦达定理：222222212()10k km m x x a b b b----= 21222221kmb x x k a b+=-； 221222211m b x x k a b --=-；1222x x a b -=- 由y kx m =+可得到关于y 的韦达定理：121212()()()2y y kx m kx m k x x m +=+++=++22222222212()1k m k m ba b k a b +-=-21222221ma y y k a b+=-； 2212121212()()()y y kx m kx m k y y km x x m =++=+++2222222222221(1)()()1m km k k km m b b a b k a b --++-=- 222122221m k a y y k a b -=-； 121212()()y y kx m kx m k x x -=+++=-1222y y a b -=-；PS ：1、所有韦达定理所得的结果分母都一样，之后的处理就不需要通分；2、记住部分结论（联立的一元二次方程和判别式必须记住）会事半功倍；3、双曲线相关的式子与椭圆相关式子的区别，所有带2b 项变号。
高中数学圆锥曲线系统讲解第19讲《韦达定理之设而不求》练习及答案
第19讲 韦达定理之设而不求知识与方法在圆锥曲线的大题中，将直线与圆锥曲线的方程联立，消去y （或x ）整理得出关于x （或y ）的一元二次方程是常规操作，如果设直线与圆锥曲线的交点分别是()11,A x y 、()22,B x y ，很多时候我们都不去求这两个交点的坐标，而是直接根据交点坐标会满足上面得到的关于x （或y ）的一元二次方程，借助韦达定理来计算其他需要用到的量，这种处理方法叫做设而不求.一般地，若联立后得到的关键方程用20ax bx c ++=()0a ≠来表示，其判别式24b ac ∆=−，则：（1）12b x x a+=−；（2）12c x x a=；（3）12x x a−==；（4）()2222121212222b ac x x x x x x a −+=+−=；（5）12121211x x bx x x x c++==−.借助韦达定理及其推论，我们可以计算很多关于1x 和2x 的具有对称结构的代数式. 典型例题1.（★★★）设A 、B 为曲线2:4x C y =上两点，A 与B 的横坐标之和为4.（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM BM ⊥，求直线AB 的方程.【解析】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x x +=，且21122244x y x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，两式作差得：()()()1212124x x x x y y +−=−，所以12121214y y x x x x −+==−，故直线AB 的斜率为1. （2）解法1：设200,4x M x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2x y '=，由（1）可得，012x =，故02x =，所以()2,1M ，设直线AB 的方程为y x t =+，联立24yx tx y ⎧⎨==+⎩消去y 整理得：2440x x t −−=，判别式16160t ∆=+>，故1t >−，由韦达定理，124x x +=，124x x t =−，1212242y y x x t t +=++=+，2212124x x y y t ⎛⎫== ⎪⎝⎭()112,1MA x y =−−，()222,1MB x y =−−，因为AMBM ⊥，所以0MA MB ⋅=，即()()()()()()2121212121212221125484250x x y y x x x x y y y y t t t −−+−−=−++−++=−−+−−+=解得：7t =或1−（舍去），所以直线AB 的方程为7y x =+.解法2：设200,4x M x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2x y '=，由（1）可得，012x =，故02x =，所以()2,1M ，设直线AB 的方程为y x t =+，联立24yx tx y ⎧⎨==+⎩消去y 整理得：2440x x t −−=，判别式16160t ∆=+>，故1t >−，由韦达定理，124x x +=，1212242y y x x t t +=++=+， 所以AB 中点为()2,2N t +，故211MN t t =+−=+而12AB x x =−==，因为AM BM ⊥，所以2AB MN =，故()21t =+，解得7t =或1−（舍去），所以直线AB 的方程为7y x =+.2.（★★★★）已知抛物线2:2C y px =过点()1,1P ，过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M 、N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP 、ON 交于点A 、B ，其中O 为原点. （1）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （2）求证：A 为线段BM 的中点.【解析】（1）将点()1,1代入22y px =解得：12p =，故抛物线C 的方程为2y x =，其焦点坐标为1,04⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为14x =−.（2）设直线l 的方程为12y kx =+，设()11,M x y ，()22,N x y将2y x =代入12y kx =+消去x 整理得：22210ky y −+=()0k ≠判别式()22420k ∆=−−⨯>，所以12k <且0k ≠，由韦达定理，121y y k +=，1212y y k=，直线AB 的方程为1x x =，直线OP 的方程为y x =，直线ON 的方程为22y y x x =联立1x x y x =⎧⎨=⎩，解得：1y x =，所以1A y x =，联立122x x y y xx =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得：122x y y x =，所以122B x y y x = 故()122212212121221221122112112222222222M BA x y y y y y y y y y y x x y x y y y y y x x y x x x x x ++−+++−−=−=−== 2211122202k k k x ⎛⎫⋅− ⎪⎝⎭== 所以2M B A y y y +=，故A 为线段BM 的中点.3.（2021·北京·20·★★★★）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>过点()0,2A −，以4个顶点围成的四边形面积为（1）求椭圆E 的标准方程；（2）过点()0,3P −的直线l 斜率为k ，交椭圆E 于不同的两点B 、C ，直线AB 交3y =−于点M ，直线AC 交3y =−于点N ，若15PM PN +≤，求k 的取值范围.【解析】（1）由题意，2b =，四个顶点围成的四边形面积1222S a b =⨯⨯=，所以a =，即椭圆E 的标准方程为22154x y += （2）设()11,B x y ，()22,C x y ，直线l 的方程为3y kx =−， 直线AB 的斜率为112y x +，其方程为1122y y x x +=−， 联立11223y y x x y +⎧=−⎪⎨⎪=−⎩，解得：112x x y =−+， 所以112x PM y =+，同理，222x PN y =+，所以121222x x PM PN y y +=+++，联立223154y kx x y =−⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得：()224530250k x kx +−+=，判别式()22900100450k k ∆=−+>.解得：1k <−或1k >，由韦达定理，1223045kx x k +=+，1222545x x k =+，显然120x x >，故1x 、2x 同号，而120y +>，220y +>，所以112x y +与222xy +同号， 故()()12121212122121212121222222111kx x x x x x x x x x PM PN y y y y kx kx k x x k x x −++=+=+=+=++++−−−++ 222222503045455253014545k k k k k k k k k −++==−+++，由题意，15PM PN +≤，所以515k ≤，故33k −≤≤， 综上所述，k 的取值范围为[)(]3,11,3−−.强化训练4.（★★★）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，长轴长为（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线:l y kx m =+()0k ≠与椭圆C 交于A 、B 两点，线段AB 的中垂线过点()1,0P ，求k 的取值范围.【解析】（1）由题意，椭圆C的离心率e=，长轴长2a =，所以a =，2b =，故椭圆C 的方程为22184x y +=.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立22184y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得：()222214280k x kmx m +++−=， 判别式()()222216421280k m k m ∆=−+−>，化简得：()224210k m +−>①， 由韦达定理，122421km x x k +=−+，()121222221my y k x x m k +=++=+，所以AB 中点为222,2121m m G k k ⎛⎫− ⎪++⎝⎭，因为AB 的中垂线过点()1,0P ，所以PG AB ⊥，从而222112121m k k km k +⋅=−−−+，化简得：221k m k +=−，代入①得：()222214210k k k ⎛⎫++−−> ⎪⎝⎭解得：2k <或2k >，故k 的取值范围为2,,22⎛⎛⎫−∞−+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.5.（★★★）已知椭圆()2222:10y x C a b a b +=>>的离心率为2，且过点2⎛ ⎝⎭. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点1,03D ⎛⎫− ⎪⎝⎭且不与y 轴垂直的直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，点()1,0A ，证明：AP AQ ⊥.【解析】（1）由题意，2213124a b =⎨⎪+=⎪⎩，解得：1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆C 的方程为2212y x +=. （2）由题意，可设直线1的方程为13x my =−，代入2212yx +=消去x 整理得：()2241621039my my +−−=， 易得判别式0∆>，设()11,P x y ，()22,Q x y ，则()1224321my y m +=+，()12216921m y y m =−+ 所以()()12122223321x x m y y m +=+−=−+，()()221212122111839921m m x x m y y y y m −=−++=+ ()111,AP x y =−，()221,AQ x y =−，故()()()1212121212111AP AQ x x y y x x x x y y ⋅=−−+=−+++()()()()()222222211869211611821610921321921921m m m m m m m −+++−−=++−==++++ 所以AP AQ ⊥.。
圆锥曲线韦达定理联立公式
圆锥曲线韦达定理联立公式
韦达定理：两根之和等于-b/a，两根之差等于c/a：x1*x2=c/a；x1+x2=-b/a。
韦达定理公式变形：x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2，1/x12+1/x22=(x12+x22)/x1x2，
x13+x23=(x1+x2)(x12-x1x2+x22)等。
韦达定理说明了一元二次方程中根和系数之间的关系。
法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出了这条定理。
由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，人们把这个关系称为韦达定理。
韦达定理在求根的对称函数，讨论二次方程根的符号、解对称方程组以及解一些有关二次曲线的问题都凸显出独特的作用。
一元二次方程的根的判别式为：（a，b，c分别为一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项）。
韦达定理与根的判别式的关系更是密不可分。
根的判别式是判定方程是否有实根的充要条件，韦达定理说明了根与系数的关系。
无论方程有无实数根，实系数一元二次方程的根与系数之间适合韦达定理。
判别式与韦达定理的结合，则更有效地说明与判定一元二次方程根的状况和特征。
直线与圆锥曲线问题中韦达定理的应用策略
直线与圆锥曲线问题中韦达定理的应用策略直线与圆锥曲线问题中韦达定理的应用策略韦达定理是解决直线与圆锥曲线问题的重要工具之一。
它是由法国数学家韦达在18世纪提出的，用于求解直线与圆锥曲线的交点坐标。
在解决这类问题时，我们可以采用以下的应用策略：1. 确定直线和圆锥曲线的方程首先，我们需要确定直线和圆锥曲线的方程。
对于直线而言，我们可以使用点斜式或两点式来表示；对于圆锥曲线而言，我们需要根据其类型来确定其方程。
例如，对于椭圆而言，其方程为(x/a)^2+(y/b)^2=1；对于双曲线而言，其方程为(x/a)^2-(y/b)^2=1等等。
2. 将直线方程代入圆锥曲线方程接下来，我们将直线方程代入圆锥曲线方程中，得到一个关于未知数的一元二次方程。
通过求解这个方程，我们可以得到直线与圆锥曲线的交点坐标。
3. 判断交点个数在求解交点坐标之前，我们需要先判断交点的个数。
如果一元二次方程的判别式为正，那么直线与圆锥曲线将会有两个交点；如果判别式为零，那么直线与圆锥曲线将会有一个交点；如果判别式为负，那么直线与圆锥曲线将不会有交点。
4. 求解交点坐标在确定了交点个数之后，我们可以通过求解一元二次方程来得到交点坐标。
如果直线与圆锥曲线有两个交点，那么我们需要分别求解两个交点的坐标；如果直线与圆锥曲线只有一个交点，那么我们只需要求解这个交点的坐标即可。
总之，韦达定理是解决直线与圆锥曲线问题的重要工具之一。
在应用韦达定理时，我们需要先确定直线和圆锥曲线的方程，然后将直线方程代入圆锥曲线方程中，求解一元二次方程，最后判断交点个数并求解交点坐标。
通过这些步骤，我们可以有效地解决直线与圆锥曲线问题。
高考数学专题讲解：圆锥曲线韦达定理
高考数学专题讲解：圆锥曲线韦达定理第一部分：韦达定理解法设计【题型一】：已知直线的斜率例题一：已知斜率为1的直线l 与椭圆12:22=+y x C 相交于A 、B 两点。
解法设计：假设：直线l 与y 轴的截距为m 。
根据直线的斜截式方程得到直线l 的方程：m x y +=。
假设：两个交点的坐标。
A 点的坐标为),(11y x ，B 点的坐标为),(22y x 。
联立直线l 的方程和椭圆C 的方程： m x y +=022122222=-+⇒=+y x y xm x y +=代入02222=-+y x 得到：02)2(202)(222222=-+++⇒=-++m mx x x m x x022430224222222=-++⇒=-+++⇒m mx x m mx x x 。
根据韦达定理得到：3421mx x -=+，322221-=⋅m x x 。
A ，B 为直线l 与椭圆C 的两个交点),(11y x A ⇒，),(22y x B 为直线:l m x y +=上的两点m x y +=⇒11，m x y +=22；322342212121mm m m x x m x m x y y =+-=++=+++=+； 2222121221212121)34(322)()()(m mm m m x x m x x m mx mx x x m x m x y y +-⋅+-=+++=+++=+⋅+=⋅3233422343222222222-=+--=+--=m m m m m m m 。
【题型二】：已知直线与y 轴的截距例题二：已知：过点)2,0(的直线l 与双曲线C ：x y 42=相交于A ，B 两点。
解法设计：假设：直线l 的斜率为k ，直线l 过点⇒)2,0(根据直线的斜截式方程的直线l ：2+=kx y 。
假设：两个交点的坐标。
点A 的坐标为),(11y x ，点B 的坐标为),(22y x 。
妙用韦达定理解决圆锥曲线中向量共线问题
)2
−
16 3λ21
−
1=
所以 ( 16 −
(k01,26)所−λ22以k+2)13λ6221λ++2 +3322λ1λ611−++1131666λk212−−=136103k6.2k若2=−160k.−2λ同k22
= 0, 理 有: = 0,
则直线 l 过顶点, 不合题意所以 16 − k2 ̸= 0. 所以 λ1, λ2 是
± 2 , 故直线 AB 的斜率为 ± 2 .
3 类型二:
−→ PA
=
−−→ λ1P Q,
−−→ PB
3 =
−−→ λ2P Q
型
例 3 已知抛物线 C : y2 = 4x, 过抛物线焦点 F 的直 −−→ −→
线交 C 于 A, B 两点, 交准线 l 于点 M , 已知 M A = λ1AF , −−→ −−→ M B = λ2BF , 求 λ1 + λ2 的值.
y2 + m = −λ2y2, 整理得:
2
2
λ1
=
−1
−
my1
, λ2
=
−1
−
, my2
所以 k = ±2, 所以 Q(±2, 0).
解析 2 由题意知直线 l 得斜率 k 存在且不等(于零, )设
4
l 的方程: y = kx + 4, A (x1, y1), B (x2, y2), 则 Q
(
)
(
−
y1 + y2 = (1 + λ)y2,
和 到
与两根之积得 (y1 + y2)2 =
y1y2
到 y1y2 = λy22, (1 + λ)2
圆锥曲线题型总结：圆锥曲线与向量结合的三种题型【精品】
圆锥曲线题型总结：圆锥曲线与向量结合的三种题型【精品】圆锥曲线与向量的结合——圆锥曲线题型总结一、AP=λPB解题方法总结如下：设直线AB与圆锥曲线C相交于点A、B，P为直线AB上的任意一点，A（x1，y1），B（x2，y2），则可以得到AP=λPB。
利用这个条件，可以构造两根之和与两根之积，消去x2，然后利用XXX定理求解。
例如，对于题目“设双曲线C：2-x^2/a^2=y^2/b^2（a>b）与直线l：x+y=1相交于两个不同的点A、B．设直线l与y轴的交点为P，且PA=5PB．求a的值．”，可以按照上述方法解题。
首先联立方程组，得到两个交点的坐标。
然后利用构造两根之和与两根之积的方法，消去x2，得到一个关于a的方程。
最后利用XXX定理求解，得到a的值。
二、PR/PQ的取值范围对于题目“已知x-1>0（x>1），设直线y=-2x+m与y轴交于点P，与双曲线C相交于点Q、R，且|PQ|＜3/2|PR|，求PR/PQ的取值范围．”，可以采用向量的方法解题。
设向量PQ 为a，向量PR为b，则PR/PQ=|b|/|a|。
根据向量的定义，可以得到a和b的表达式。
然后根据题目中的条件，可以列出一个关于m的不等式。
最后，通过分析不等式的解集，可以得到PR/PQ的取值范围。
已知直线 $C:x-1=0$（$x\neq 1$ 且 $x\neq -1$），设直线$y=x+m$（$m>0$）与 $y$ 轴交于点 $P$，与轨迹 $C$ 相交于点 $Q$、$R$，且 $|PQ|<|PR|$，求 $m$ 的取值范围。
解法一：设 $Q(x_1,y_1)$，$R(x_2,y_2)$，联立$\begin{cases} 4x^2-y^2-4=PRx \\ 3x-2mx-m-4=0 \end{cases}$。
则可设 $x_2=-\lambda x_1$（$\lambda>1$），即 $-x_1x_2=\lambda x_2^2$，此时$y_P=x_P+m$，$y_Q=x_Q+m$。
圆锥曲线的应用(韦达定理,对称)
韦达定理——圆锥曲线硬解定理 联立⎪⎩⎪⎨⎧+==+m kx y b y a x 12222消去y 得：0)(2)(22222222=-+++b m a kmx a x k a b2222212k a b km a x x +-=+；22222221)(ka b b m a x x +-=+；)(4222222m k a b b a -+=∆ 消去x 得：0)(2)(222222222=-+-+k a m b my b y k a b2222212k a b m b y y +-=+；222222221)(ka b b a m b y y +-=+；)(42222222m k a b k a b -+=∆ 韦达定理：主要适用于设而不求，弦长公式，如面积;2222222222212)(411k a b m k a b b a k x x k AB +-+•+=-+= 22222222222212)(41111k a b m k a b k a b k y y k AB +-+•+=-+=超级韦达定理——反向点乘双根式 联立⎪⎩⎪⎨⎧+==+m kx y b y a x 12222消去y 得：0)(2)(22222222=-+++b m a kmx a x k a b2222222222222121212)()())((p k a b kmp a k a b b m a p x x p x x p x p x ++++-=++-=-- 2222222222221)(2)())((ka b b m a kmp a p k a b p x p x +-+++=-- 22222222222221)(2)())((k a b k a m b mq b q k a b p y p y +-+-+=-- 超级韦达定理：主要适用于λ=•→→MB MA 型，如垂直、圆过定点；例1、（全国卷）已知)2,0(-A ，椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x E 的离心率为23，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为332，O 为坐标原点． （Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）设过点)2,0(-A 的直线l 与E 相交于Q P ,两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程．例2、（上海高考）已知椭圆C 的两个焦点分别为1(1 0)F -，、2(1 0)F ，,短轴的两个端点分别为12 B B 、 (1)若112F B B ∆为等边三角形,求椭圆C 的方程;(2)若椭圆C 的短轴长为2,过点2F 的直线l 与椭圆C 相交于 P Q 、两点,且11F P FQ ⊥u u u r u u u r ,求直线l 的方程.例3、已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点的距离的最大值为3,最小值为1.(I)求椭圆C的标准方程;(II)若直线:l y kx m=+与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C 的右顶点.求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标.对称与对称思想： 1、标准对称例1、如图，椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x E 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，离心率21=e 。
高考数学圆锥曲线专题：韦达定理
高考数学圆锥曲线专题：韦达定理第一部分：直线的斜截式方程使用条件一：已知斜率第一类直线的方程：直线的斜截式方程直线的斜截式方程：b kx y +=，其中k 为斜率，b 为与y 轴的截距。
第一种使用条件：已知直线的斜率。
【例题一】：已知：斜率为1的直线与椭圆C ：1222=+y x 相交于A ，B 两点。
【本题解析】：第一部分：韦达定理的计算部分。
韦达定理的使用条件：直线与曲线相交于两点。
第一步：假设两个交点的坐标。
假设：点A 的坐标为),(11y x ，点B 的坐标为),(22y x 。
第二步：假设直线的方程。
本题已知直线l 的斜率为1，需要假设直线l 与y 轴的截距得到直线l 的方程。
假设：直线l 的方程为：m x y +=。
第三步：联立直线l 的方程和椭圆C 的方程。
mx +022********=-+⇒=+⇒=+y x y x y 把m x y +=代入02222=-+y x 得到：02)2(202)(222222=-+++⇒=-++m mx x x m x x 0)22(430224222222=-++⇒=-+++⇒m mx x m mx x x 。
第四步：韦达定理计算两个交点的横坐标之和21x x +，横坐标之积21x x 。
原理：一元二次方程02=++c bx ax 的两个根1x ，2x ：a b x x -=+21，ac x x =21。
340)22(432122mx x m mx x -=+⇒=-++，322221-=m x x 。
第五步：根据直线的方程的纵坐标之和21y y +，纵坐标之积21y y 。
),(11y x A ，),(22y x B 为直线m x y l +=:上两点m x y +=⇒11，m x y +=22；3236342342212121mm m m m m x x m x m x y y =+-=+-=++=+++=+；2222121221212121)34(322)()()(m mm m m x x m x x m mx mx x x m x m x y y +-⋅+-=+++=+++=+⋅+=⋅323342233343222222222-=+--=+--=m m m m m m m 。
圆锥曲线技巧提升篇：韦达定理联立及弦长问题
长形式翻译就轻松不少． 核心条件的翻译确认后，再看直线假设，这里应该选择正设，即设 l：y＝kx＋1，此时只引入一个参数
k，根据核心条件的关系，即可解出 k 的值，得到目标信息．
接下来分别表示出弦长 AB 和 CD ：
对于抛物线中的弦长
AB
，联立
y kx x2 4
y
1
，由于正设直线，这里消
1 k 2 12
2 9 8k 2 1 48(1 k 2 ) ，书写时，我
9 8k 2
9 8k 2
们写如上步骤即可．
再由
AB
CD
，即 4k 2
4
48(1 k 2 ) 9 8k 2
，整理即得 (8k2
3)(k2
1) 0, 解得 k 2
1 (舍)，或
k2 3, k 6 .
③韦达定理其实无需特意去记，由通式
x1
x1
x2
x2
c a
b a
，结合联立后的方程即可得出；
④在一些题型中，难免会出现含有纵坐标 y 的表达，此时便需要通过直线代换，因此建议记忆．记
忆方式也不难，分母和韦达定理一样(其实所有形式分母都是 b2 a2k 2 )，对于 y1 y2 , 对照 x1 x2 可知，
那么一般的椭圆和直线联立后是什么情形呢？强烈建议熟记以下内容，这将大大提升圆锥曲线解 题速度以及降低计算失误！
先看正设直线的情形：
联立
x a
2 2
y2 b2
1，消 y 得： (b2
a2k2 )x2
2a2kmx a2 (m2
b2 ) 0
①
y kx m
判别式△ 4a2b2 (b2 a2k 2 m2 ) ②
x
恒成立与存在性问题的解题策略之欧阳家百创编
“恒成立问题”与“存在性问题”的基本解题战略欧阳家百（2021.03.07）一、“恒成立问题”与“存在性问题”的基本类型恒成立、能成立、恰成立问题的基本类型1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立⇒()max a f x >；()()min a f x a f x ≤⇒≤恒成立2、能成立问题的转化：()a f x >能成立⇒()min a f x >；()()max a f x a f x ≤⇒≤能成立3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立⇔()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ⎧>⎪⇔⎨≤⎪⎩在上恒成立在上恒成立另一转化办法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，若,D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最年夜值B x f =)(max . 4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min min ≥5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max max ≤6、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤8、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f =，设f(x)在区间[a,b]上的值域为A ，g(x)在区间[c,d]上的值域为B,则A B.9、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象上方；10、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方；恒成立问题的基本类型在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立的命题.函数在给定区间上某结论成立问题,其表示形式通常有:在给定区间上某关系恒成立;某函数的界说域为全体实数R;某不等式的解为一切实数;某表达式的值恒年夜于a 等等…恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想办法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创作创造性等方面起到了积极的作用。
直线与圆锥曲线问题中韦达定理的应用策略
直线与圆锥曲线问题中韦达定理的应用策略一、引言直线与圆锥曲线问题是解析几何中的重要内容，韦达定理是解决这类问题的关键工具。
本文将深入探讨韦达定理在直线与圆锥曲线问题中的应用策略，通过实例分析和详细讲解，帮助读者更好地理解和应用韦达定理。
二、韦达定理的基本概念韦达定理是解析几何中的一项重要定理，主要用于解决直线与圆锥曲线相交问题。
韦达定理的表述如下：定理 1（韦达定理）：设直线 L 的方程为 Ax + By + C = 0，圆锥曲线 C 的方程为 F(x, y) = 0，其中 F(x, y) 是 C 的方程，且 C 不经过 L 的交点。
设直线L 与圆锥曲线 C 相交于点 P(x0, y0)，则有以下关系成立：1.点 P 到直线 L 的距离d = |Ax0 + By0 + C| / √(A^2 + B^2)；2.点 P 到圆锥曲线 C 的距离d’ = |F(x0, y0)| / √(F_x^2 + F_y^2)；3.点 P 到直线 L 和圆锥曲线 C 的距离之比 d / d’ = |(Ax0 + By0 + C) /(F_x x0 + F_y y0)|。
韦达定理的关键在于将直线与圆锥曲线的交点坐标代入相应的距离公式，从而得到它们之间的关系。
三、韦达定理的应用策略在实际问题中，我们常常需要根据已知条件求解直线与圆锥曲线的交点坐标或者两者之间的距离关系。
下面将介绍韦达定理在解决这类问题时的应用策略。
3.1 已知直线和圆锥曲线方程，求交点坐标当我们已知直线和圆锥曲线的方程时，可以通过韦达定理求解它们的交点坐标。
具体步骤如下：1.将直线和圆锥曲线的方程分别表示为 Ax + By + C = 0 和 F(x, y) = 0 的形式；2.将直线和圆锥曲线的方程代入韦达定理的公式，得到点 P 的坐标 (x0, y0)；3.根据求得的点 P 的坐标，可以进一步分析直线和圆锥曲线的位置关系及其它相关性质。
3.2 已知直线和交点坐标，求圆锥曲线方程当我们已知直线和交点坐标时，可以通过韦达定理求解圆锥曲线的方程。
一元二次方程讲义——绝对经典实用之欧阳家百创编
一元二次方程欧阳家百（2021.03.07）基础知识 1、一元二次方程方程中只含有一个未知数，而且未知数的最高次数是2的方程，一般地，这样的方程都整理成为形如ax bx c a 200++=≠（）的一般形式，我们把这样的方程叫一元二次方程。
其中ax bx c 2，，分别叫做一元二次方程的二次项、一次项和常数项，a 、b 分别是二次项和一次项的系数。
如：24102x x -+=满足一般形式ax bx c a 200++=≠（），2412x x ，，-分别是二次项、一次项和常数项，2，－4分别是二次项和一次项系数。
注：如果方程中含有字母系数在讨论是否是一元二次方程时，则需要讨论字母的取值范围。
2. 一元二次方程求根方法 （1）直接开平方法形如x m m 20=≥（）的方程都可以用开平方的方法写成x m =±，求出它的解，这种解法称为直接开平方法。
（2）配方法通过配方将原方程转化为()x n m m +=≥20（）的方程，再用直接开平方法求解。
配方：组成完全平方式的变形过程叫做配方。
配方应注意：当二次项系数为1时，原式两边要加上一次项系数一半的平方，若二次项系数不为1，只需方程两边同时除以二次项系数，使之成为1。
（3）公式法求根公式：方程ax bx c a 200++=≠（）的求根公式 步骤：1）把方程整理为一般形式：ax bx c a 200++=≠（），确定a 、b 、c 。
2）计算式子b ac 24-的值。
3）当b ac 240-≥时，把a 、b 和b ac 24-的值代入求根公式计算，就可以求出方程的解。
（4）因式分解法把一元二次方程整理为一般形式后，方程一边为零，另一边是关于未知数的二次三项式，如果这个二次三项式可以作因式分解，就可以把这样的一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解，这种解方程的方法叫因式分解法。
3、一元二次方程根的判别式的定义运用配方法解一元二次方程过程中得到2224()24b b ac x a a -+=，显然只有当240b ac -≥时，才能直接开平方得：2b x a +=也就是说，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c满足条件240b ac ∆=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．4、判别式与根的关系在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况（是否有实数根）由24b ac ∆=-确定．设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-则①0∆>⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根1,2x =．②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122bx x a ==-．③0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根．若a ，b ，c 为有理数，且∆为完全平方式，则方程的解为有理根；若∆为完全平方式，同时b -2a 的整数倍，则方程的根为整数根． 说明：⑴用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值：上述判定方法也可以反过来使用，当方程有两个不相等的实数根时，0∆>；有两个相等的实数根时，0∆=；没有实数根时，0∆<．⑵在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式24b ac ∆=-判定方程的根的情况（有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根）．当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根（二重根），不能说方程只有一个根．①当0a >时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点； ②当0a <时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点． 5、一元二次方程的根的判别式的应用一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用： ⑴运用判别式，判定方程实数根的个数；⑵利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围；⑶通过判别式，证明与方程相关的代数问题；（4）借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题． 6、韦达定理如果20(0)axbx c a ++=≠的两根是1x ，2x ，则12b x x a +=-，12c x x a=．（隐含的条件：0∆≥）特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设1x ，2x 是方程20x px q ++=的两个根，则12x x p +=-，12x x q ⋅=．7、韦达定理的逆定理以两个数1x ，2x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是21212()0x x x x x x -++=．一般地，如果有两个数1x ，2x 满足12b x x a +=-，12cx x a=，那么1x ，2x 必定是20(0)ax bx c a ++=≠的两个根． 8、韦达定理与根的符号关系在24b ac ∆=-≥0的条件下，我们有如下结论：⑴当0c a <时，方程的两根必一正一负．若0ba -≥，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若0b a -<，则此方程的正根小于负根的绝对值．⑵当0c a >时，方程的两根同正或同负．若0b a ->，则此方程的两根均为正根；若0b a -<，则此方程的两根均为负根．更一般的结论是：若1x ，2x 是20(0)ax bx c a ++=≠的两根（其中12x x ≥），且m 为实数，当0∆≥时，一般地：①121()()0x m x m x m --<⇔>，2x m <②12()()0x m x m -->且12()()0x m x m -+->1x m ⇔>，2x m > ③12()()0x m x m -->且12()()0x m x m -+-<1x m ⇔<，2x m <特殊地：当0m =时，上述就转化为20(0)ax bx c a ++=≠有两异根、两正根、两负根的条件． 其他有用结论：⑴若有理系数一元二次方程有一根a ，则必有一根a （a ，b 为有理数）．⑵若0ac <，则方程20(0)ax bx c a ++=≠必有实数根． ⑶若0ac >，方程20(0)ax bx c a ++=≠不一定有实数根．⑷若0a b c ++=，则20(0)ax bx c a ++=≠必有一根1x =． ⑸若0a b c -+=，则20(0)ax bx c a ++=≠必有一根1x =-．9、韦达定理的应用⑴已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； ⑵已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； ⑶已知方程的两根，求作方程；⑷结合根的判别式，讨论根的符号特征；⑸逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理；⑹利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的∆．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱10、整数根问题对于一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的实根情况，可以用判别式24b ac ∆=-来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．方程有整数根的条件：如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠有整数根，那么必然同时满足以下条件：⑴24b ac ∆=-为完全平方数；⑵2b ak -=或2b ak -=，其中k 为整数． 以上两个条件必须同时满足，缺一不可．另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中a 、b 、c 均为有理数) 11、一元二次方程的应用 1．求代数式的值；2. 可化为一元二次方程的分式方程。
圆锥曲线联立及韦达定理
圆锥直线联坐及韦达定理之阳早格格创做1、圆锥直线取直线的闭系椭圆取单直线取给定直线的闭系通过联坐圆程所得解的情况去判决： 椭圆：22221x y a b +=(0)a b 单直线：22221x y a b -=(0)a b 、直线：y kx m =+(PS ：那里并不计划椭圆的中心正在y 轴、单直线的中心正在y 轴及直线斜率不存的情况，干题需要补充)（1）椭圆取单直线联坐：(PS ：联坐时采用短亨分，本果？瞅完便知讲了)类一元二次圆程：20Ax Bx C ++=2221()k A a b =+，所以0A ，即圆程为一元二次圆程.判别式：24B AC ∆=- 弥合得：22222214()k m a b a b∆=+- 1)当0∆，圆程无真根，直线取椭圆不接面； 2) 当0∆=，圆程有二个相共的根，直线取椭圆相切；（相切是果为沉根，而不是惟有一个根）3) 当0∆，圆程有二个分歧的真根，直线取椭圆相接.（2）单直线取直线联坐：类一元二次圆程中，2221()k A a b=-，22()km B b =- 1) 当0,0A B ==时，圆程为10-=，无解，直线取单直线相离；（此时为渐近线）2) 当0,0A B =≠时，圆程为一元一次圆程，惟有一个解，直线取单直线惟有一个接面（此时为渐近线的仄止线）3)当0,0A ≠∆时，一元二次圆程无真数解，直线取单直线相离； 4) 当0,0A ≠∆=时，一元二次圆程有二个相共真数解，直线取单直线相切；5) 当0,0A ≠∆时，一元二次圆程有二个分歧真数解，直线取单直线相接. PS ：注意单直线取直线联坐战椭圆取直线联坐的圆程及末尾判决的同共！2、联坐圆程取韦达定理（1）韦达定理：20Ax Bx C ++=使用韦达定理的前提：0,0A ≠∆≥12B x x A +=-，12C x x A =，12x x -==（2）椭圆取直线联坐相闭的韦达定理：21222221kmb x x k a b -+=+； 221222211m b x x k a b -=+；由y kx m =+可得到闭于y 的韦达定理：21222221ma y y k a b+=+； 222122221m k a y y k a b -=+；1222y y a b -=+；（3）单直线取直线联坐相闭的韦达定理：21222221kmb x x k a b +=-； 221222211m b x x k a b--=-； 由y kx m =+可得到闭于y 的韦达定理：21222221ma y y k a b+=-； 222122221m k a y y k a b -=-；1222y y a b -=-；PS ：1、所有韦达定理所得的截止分母皆一般，之后的处理便不需要通分；2、记着部分论断（联坐的一元二次圆程战判别式必须记着）会事半功倍；3、单直线相闭的式子取椭圆相闭式子的辨别，所有戴2b 项变号. 本果：椭圆的单直线圆程弥合之后均是222221x y a a c+=-.椭圆中22a c ，令222b a c =-；单直线中22a c ，令222b a c -=-.。
【ILMT】圆锥曲线中的联立与判别式
圆锥曲线中的联立与判别式知其然，更要知其所以然.我们在处理直线与圆锥曲线的位置关系时，都很自然地用到联立消元，利用韦达定理（现行教材好像改为“根与系数的关系”）求出两根之积，两根之和，再设法整体代换，屡试不爽！然而，在处理两个二次曲线的交点问题时， “韦达定理”似乎就失效了，这是为什么呢？这就关系到联立背后的原理了，这在教学过程中往往不被强调，遂写文以记之.先从解方程组谈起我们先来看以下三个方程组的求解过程：以上三个方程的求解过程大致相同，都是消元，求得其中一个未知数，再代回原方程求另一个未知数.区别只在于方程组①和方程组③在求得 x 之后，把它的两个值代入求 y ，都有唯一的 y 与之对应，而方程组②则不然，它 在把 x 1 代入之后求得两个 y 值，把 x 2 代入之后得不到相应的 y .下面将以三个方程组为例谈谈曲线的交点、方程（组）的解、判别式的适用性问题.AOB直线与圆锥曲线的位置关系以直线 y = + 1 和椭圆 x 2 + y 2= 1 为例，从上述解方程组的结果易知直线与椭圆相交于点 A ⎛1, 3 ⎫， x 2 4 3 2 ⎪⎝ ⎭B ⎛ - 11, - 15 ⎫ ，如下图所示. 7 14 ⎪ ⎝ ⎭的横坐标正是联立消元所得方程7x 2 + 4x -11 =实根，因此满足韦达定理的使用条件，有⎧x + x= x + x = - 4⎪ A B 1 2x 的二次方程，为若（*若（*+ n 可得 y = mx + n ，此时直线l 与椭圆C 若（*= mx + n 可得 y = mx+ n ，11y 2 = mx 2 + n ，此时直线l 与椭圆C 有两个公共点( x 1 , mx 1 + n ) ，( x 2 , mx 2 + n ) ， 我们可以看见，这两个公共点的横坐标 x 1 , x 2 即为方程（*）的两个不等实根，故满足韦达定理使用条件.1 AOB( - )2+2 = 9x 2 + y 2 = 圆与椭圆的位置关系A ⎛1, 3 ⎫B ⎛1, - 3 ⎫ 以 圆 x 1 y 和椭圆 4 4 3 为例，从上述解方程组的结果易知圆与椭圆相交于点 2 ⎪ ， 2 ⎪ ， ⎝ ⎭ ⎝ ⎭如下图所示.的横坐标对应的是联立消元所得方程 7x 2 + 4x -实根 x = 1 ，故虽然这个方的横坐标不满足韦达定理，即 ⎧x + x = - 4 ⎧x + x ≠ - + y 2 = 9 中，就已经隐含了4⎡ 1 5 ⎤ x ∈ ⎢- , ⎥ 这个条件，在椭圆. ⎣ 2 2 ⎦1⎨ ⎩ 0 0CAODBAB O现在我们把圆的方程调整一下，使得圆与椭圆有四个交点，如下图所示：轴上，所以联立消元后仍然会得到一个关于ax 2 + bx + c = 0 ，（*）= x B = x 1 ， x C = x D = x 2 ，对于. 如果研究对角线 AD , BC 的有关性质，也可以利用韦达定理进行整体代换，即此时圆与椭圆确实有两个不同的交点，但因为圆心不在椭圆的对称轴上，所以两个曲线方程联立之后无法得到综合来看，研究圆与椭圆的位置关系，并不能直接用判别式进行判定 当圆心不在椭圆的对称轴上，方程组一般不可解，只能通过画图研究其位置关系.⎧ x 2 + y 2 =当圆心 E 在椭圆 M 的对称轴上时，以⎪ a 2 b 2 1 为例，可以消去 y 2 ，得到关于 x 的二次方程，记为⎪(x - m )2 + y 2 = r 2Ax 2 + Bx + C = 0 ，（*）若（*）式无实数解，则圆 E 与椭圆 M 无公共点.若（*）式恰有一个实数解，即 ∆ = B 2 - 4AC = 0 ，设这个唯一解为 x . 若 x> a ，则圆 E 与椭圆 M 无公共点；若 x 0 = a ，则圆 E 与椭圆 M 恰有一个公共点；若 x 0 < a ，则圆 E 与椭圆 M 有两个公共点，这两个公共点关于 x 轴4 4 1 22 A OB 对称；若（*）式恰有两个个实数解，即∆ = B 2- 4AC > 0 ，设两个不等实根分别为 x , x ( x≥ x ). 若 x> a ，则圆 E与椭圆 M 无公共点；若 x 1 > a , x 2 = a ，则圆 E 与椭圆 M 有三个公共点；若 x 1 = x 2 = a ，则圆 E 与椭圆 M 有两个公共点，这两个公共点就是椭圆长轴端点，此时这个圆就是椭圆的外准圆（蒙日圆）；若 x 1 > a , x 2 < a ，则圆 E 与椭圆 M 有两个公共点，这两个公共点关于 x 轴对称；若 x 1 = a , x 2 < a ，则圆 E 与椭圆 M 只有一个公共点，它们相切；若 x 1 < a ，则圆 E 与椭圆 M 没有公共点.⎛ 3 ⎫ ⎛ 45 ⎫A 1, ⎪,B 4, - ⎪ ，⎝ ⎭ ⎝⎭ 如下图所示：的横坐标正是联立消元所得方程 x 2 - 8x + 7 = 0 实根，因此满足韦达定理的使用条件，有⎧x A + x B = x 1 + x 2 = 8 ⎨x x = x x = 7 .⎩ A B 1 2更一般地，对于开口不同的抛物线 y = a x 2 + b x + c 和抛物线 y = a x 2 + b x + c ，联立方程组，消去 y 可以得到11222关于 x 的二次方程，为了便于讨论，不妨记为若（*）式无实数解，两条抛物线无交点.Ax 2 + Bx + C = 0 ，（*）若（ * ） 式恰有一个实数解， 即 ∆ = B 2 - 4AC = 0 ， 设这个唯一解为 x ，代入 y = a x 2 + b x + c 可得11120 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 11 1 1 1 1 12 1 2 1 2 1 y = a x 2+ b x + c ，此时这两条抛物线相切，有唯一公共点(x, a x 2 + b x + c ).若（*）式有两个实数解，即∆ = B 2 - 4AC > 0 ，设两个不等实根分别为 x , x ，分别代入 y = a x 2 + b x + c 可得1 211y = a x 2 + b x + c ， y = a x 2 + b x + c ，此时这两条抛物线有两个公共点(x , a x 2 + b x + c ) ， (x , a x 2 + b x + c )，我们可以看见，这两个公共点的横坐标 x 1 , x 2 即为方程（*）的两个不等实根，故满足韦达定理使用条件.归根到底，其实还是要注意对概念的理解.判别式法只能直接判定对应二次方程的解的个数，但是这个二次方程的解是不是交点的坐标，则需要具体情况具体分析，不能一概而论.当判别式大于 0，即二次方程有两个不等实根时，韦达定理用起来很舒服，但是要注意到的是这个韦达定理刻画的是这个二次方程两个不等实根之间的关系，到底所设两个交点的坐标是不是与这两个不等实根一一对应，也是一件需要考虑的事情.这其实恰恰就是我们所学过的三段论! 韦达定理是大前提，当然没错，但是我们在使用的时候还必须注意小前提是否满足，是不是呢？最近我有一个感觉，很多问题的产生都是由于我们对概念的理解并不确切或逻辑链不完整所造成的，希望以后高考评分标准能在这方面给出引导，让更多的师生从数学学习过程中获得更多真正有用的东西，而不是仅仅学到一些对大多数人来说都没有用的专业知识和解题套路.。
圆锥曲线技巧韦达化处理以及非对称韦达
专题03韦达化处理以及非对称韦达韦达化处理不难发现，前面介绍的核心条件坐标化后，并不全是直接韦达化的形式．对于坐标化后的表达式不是韦达形式的，还需进行韦达化处理．在开篇的例题中我们提到，韦达化主要又两个路径：代换和配凑.韦达化处理一：代换——即消去x 或y 中的一个由于我们联立后的方程式关于x 或y 的二次方程，韦达定理中的两根之和与两根之积只式单独的x 或y 的形式，而此时坐标表达式并非是直接的韦达形式，因此需进行代换：直线l 与抛物线22y x =交于A 、B 两点，且满足OA OB ⊥，证明：直线l 过定点． 由题，直线l 不与x 轴平行，故设l x ty m =+：，其中0m ≠，设点1122(,),(,)A x y B x y ，联立22y x x ty m ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，消x 得：2220y ty m --=，0>△，则121222y y t y y m +=⎧⎨=-⎩，因为OA OB ⊥，则0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=，方向一：直线代换:1122x ty mx ty m=+⎧⎨=+⎩ 剩余解析 又1122x ty mx ty m=+⎧⎨=+⎩，即()()()2212121212x x ty m ty m t y y tm y y m =+⋅+=+++，代入得()()22222121212121222x x y y t y y tm y y m t m m t m m +=+++=--+++，即220m m -=解得0m =(舍)或2m =，即直线l 过定点(2,0)．通常情况下，我们在解答题以直线代换居多，这里不再赘述．但需要注意一点，一般而言，如果选择代换消去y 则正设直线；选择代换消去x ，则反设直线．方向二：曲线代换：222121212222y y y y x x ⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭又222121212222y y y y x x ⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭，代入得2212121212202y y x x y y y y m m ⎛⎫+=+=-= ⎪⎝⎭，解得0m =(舍)或2m =，即直线l 过定点(2,0)．对于核心信息表达式中的一次项，一般以直线代换为主．而曲线如果为抛物线，也可以用抛物线代换，如例题中抛物线为22y x =，因此对于x 的一次式可以用曲线代换．反之，如果抛物线为22(0)x py p =>则可用曲线对y 进行代换，由于我们要代换的是y ，因此联立后的方程保留为关于x 的二次方程，同时直线的假设则以正设为主．另一方面，如果核心信息表达式中是单元的二次形式，如21x 形式，则一般考虑用曲线代换，这样处理会更加简单．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22:12x y Ω+=的上顶点为A ，点B 、C 是Ω上不同于A 的两点，且点B 、C 关于原点对称．记直线AC 、AB 的斜率分别为1k 、2k ，求证：12k k ⋅为定值．此题中核心信息即直线AC 、BC 的斜率．由题易知点A(0，1)，要表示AC 、AB 的斜率，还需要引入参数，因为B 、C 关于原点对称，故不妨设1111(,),(,)B x y C x y -，那么是否需要设直线呢? 再往后看．引入参数后，将斜率坐标化表达：11121111,y y k k x x +-==-； 目标信息为斜率之积，即2111122111111y y y k k x x x +-=⋅=--⋅-； 接下来需要考虑代换问题，观察到目标信息是二次形式，代换中我们提到，对于单元二次形式的，可采用曲线代换，由于此时还未假设直线，看来也是不需要了．由点B 、C 在曲线上，故有221112x y +=，即221112x y =-，代入目标信息中可得211221122x k k x -⋅==--，为定值．由题，设点11)(,B x y ，11(,)C x y -， 则11121111y y k k x x +-==-， 又点B 椭圆上，故有221112x y +=，即221112x y =-，代入可得2121111222111111112=2x y y y k k x x x x +--⋅=⋅==---，为定值，得证.韦达化处理二：配凑配凑法进行韦达化处理，一个经典案例就是弦长中的12x x -=对于前述坐标化后的部分式子，也需要作配凑处理：1．22221122(2)(2)x y x y -+⇒=-+21121212()()4y y y y x x x x -++-=-，即12124()x x k y y +-=-+，其中k为直线AB 斜率，12y y +再用直线代换，即121212()2y y kx m kx m k x x m +=+++=++，得[]12124()2x x k k x x m +-=-++.此处需注意两点，一是2121y y k x x -=-，几何意义即为直线斜率，二是通过平方差公式因式分解转化，对于含平方形式是有力手段.2．2212y y +⇒21212()2y y y y +- 3．1212(2)(2)0x x y y --+=⇒1212122()40x x x x y y -+++=，此处12y y 考虑直线代换，2212121212()()()y y kx m kx m k x x mk x x m =+⋅+=+++，再代入上式即可得221212(1)(2)()40k x x mk x x m ++-+++=4．1212122y y x x +=-⇒--122112(2)(2)(2)(2)y x y x x x -+-=---，而22121212()y y k x x mk x x m =+++ 整理得1212(21)(22)()4(1)0k x x k m x x m +--++-+=5．122y y =-⇒此形式可以配凑倒数关系，2112y y =-，故2212122112y y y y y y y y ++=， 配凑可得2121212212()252y y y y y y y y y +-+==-非对称韦达此外，在一些定点、定值、定线问题中，还常出现需要证明类似2112(2)(2)y x y x -+为定值的情形，通过直线代换可得：2211211212122(2)(2)2,(2)(6)6l y x kx x kx x x y x kx x kx x x -++==+++但此时式子并不能完全整理为韦达定理的形式，这种式子一般称为“非对称韦达定理”．我们明明求了韦达定理却无法代入，这时我们就需要通过所求得的韦达定理找到12x x +和12x x ⋅之间的关系，将其中一个替换，常用手段是把乘法的替换成加法，非对称韦达的处理，技巧性稍强一些，具体处理方法技巧．已知点F 为椭圆22:143y x E +=的右焦点，A ，B 分别为其左、右顶点，过F 作直线l 与椭圆交于M ，N 两点(不与A ，B 重合)，记直线AM 与BN 的斜率分别为12,,k k 证明12k k 为定值．此题核x 条件为直线AM 与BN 的斜率12,,k k 显然要设点，不妨设1122(,),(,),M x y N x y 而由题可知A (－2，0)，B (2，0)，因此1112y k x =+， 2222y k x =-从而目标信息112211(2)(2)k y x k y x -=+，要证明其值为定值．从目标信息的形式来看，用x 或y 表示并无差异，考虑到直线不与x 轴重合，故采用反设直线要方便些，因此设:1l x ty =+.通过直线替换后可得1121212122121122(2)(1)(2)(3)3 k y x y ty ty y y k y x y ty ty y y ---===+++ 出现了韦达定理结构之外的形式，即落单的1y 和23y ，像此类结构，一般被称为“非对称韦达”下面我们介绍几种常见的处理策略，准备工作先做好，先联221431y x x ty ⎧⎪⎨⎪+=+⎩=， 消x 得22(43)690t y ty ++-=，易知△>0，则122122643943t y y t y y t ⎪+=⎧⎪⎪⎨=+-+⎪⎩-策略一：和积转换——找出韦达定理中的两根之和与两根之积的关系如本例中由韦达定理可得，12123()2ty y y y =+，代入目标信息得，121112121221223()233()32y y y k ty y y k ty y y y y y +--==+++稍作整理，即可得1212121312239322y y k k y y +==+，为定值，得证. 若看不出两根之和与两根之积的关系怎么办呢？我们不妨用待定一下系数，设()121222396243403t y y y y t t t λμμλλμ=⎪⎛⎫=+-=-+⎪+⎭⎧⎪+⇒=+⎨⎝⇒⎩ ∴12123()2ty y y y =+上面使用的是纵坐标的和积关系，若正设直线，需考虑直线l 斜率问题，斜率存在时，同理，借助横坐标的和积关系也可证明，再验证斜率不存在时的情形. 考虑到本例中反设直线，两根的和积关系显而易见，而对于一般的和积关系，关系可能不是那么明显，如此例中正设直线，具体可参看策略三中的解析． 策略二：配凑半代换——对能代换的部分进行韦达代换，剩下的部分进行配凑而半代换也有一定技巧，就是配凑．比如题中的112121223 k ty y y k ty y y -=+，若只代换12y y ， 得1212229439343ty k t t k y t --+=-++，依然无法得到定值，因为落单的1y 和23y 不一致，而此时为分式结构，分式结构的定值需要满足上下一致，且对应成比例，抓住这个核心，可以对1y 和23y 其中某个进行配凑使其能构成比例形式.以分子为例，分子要出现2y 形式，可将分子整理为1121222122()3k ty y y y y k ty y y -++=+，从结构上可以猜测定值为13，不妨将韦达代入，得222221222229631434343993334343t t ty y kt t t t t k y y t t -++-++++===-+-+++，得证. 分母可作类似处理，得12112121221291432733343 y k ty y y t t k ty y y y t---+===+--+.上面使用的是纵坐标的配凑半代换，借助横坐标的配凑半代换亦可证明，可自行尝试． 策略三：先猜后证可以先找一个特殊情况先得到该定值，进而再证明其他情形也为该值.显然先考虑直线l 斜率不存在时的情形，此时312M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，312N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，或312M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，312N ⎛⎫⎪⎝⎭，，对应为121322k k ==，或112k =-，232k =-，此时均有121=3k k ，为定值．当直线l 斜率存在时，不妨就正设直线()1l y k x =-：，联立22143(1)y x y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩， 消y 得2222(34)84(3)0,k x k y k +-+-=易知△＞0，则212221228344(3)34k x x k k x x k ⎧⎪⎪⎨⎪⎪+=++⎩-= 此时目标信息1213k k =，可采用分析法证明．要证1213k k =，即证123,k k =也即1212322y y x x =+-，即12123(1)(1)22k x k x x x --=+-，即12213(1)(2)(1)(2)x x x x --=-+，也即121225()80x x x x -++=，此时为韦达定理的结构，代入韦达，即证22224(3)825803434k k k k-⨯-⨯+=++，也即2228(3)408(34)0k k k --++=，显然成立，也即恒有1213k k =，为定值． 上述先猜后证采用的是正设直线，借此我们也说说正设直线时采用和积关系处理和配凑半代换的处理策略．目标信息直线代换后得111111212221211212(1)(2)(1)(2)22=.(1)(2)(1)(2)22k k x x x x x x x x k k x x x x x x x x ------+==-+-+-+- 若采用和积关系处理策略，观察韦达不难发现，此时和积关系没有反设直线那么直观，那么我们该如何寻找其关系呢?一方面，可以采用待定系数，设1212(),x x x x λμ=++求解λμ，得出和积关系．如此处设1212()x x x x λμ=++，即2222224(3)(84)38343434k k k k k k λμμλμ-++=+=+++，解得524λμ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， 即12125() 4.2x x x x =+-另一方面，可先对和积形式分别作分离常数处理 122122623415134x x kx x k ⎧+=-+⎪⎪+⎨⎪=-+⎪+⎩，那么12125()4,2x x x x =+-如此也能得到和积关系. 代入目标信息，得1212121121221212121212513()4222221222539223()4226222x x x x x x k x x x x k x x x x x x x x x x +---++---+====-+-+--+-+-，得证．都到这了，那么“配凑半代换”也试一试好了，目标信息112122121222,22k x x x x k x x x x -+=-+--观察到此时分母中有落单的12,,x x 先把分母配凑成12122()32x x x x x -++-，此时分母中落单的只有2x ，且系数为正．因分子可配凑成121222()2x x x x x -+++，从而1121222121222()2()32k x x x x x k x x x x x -+++=-++-，再代入韦达定理， 22222221222222224(3)163211343434934(3)8333234343= 4k k x x k k k k k k k x x k k k--++-+-+++==--+--+-+++，得证．策略一的“和积转换”以及策略二的“配凑半代换”可以说是“非对称韦达定理”的通法，而猜证结合也探究类题型的有效处理手段。
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圆锥曲线联立及韦达定理
欧阳家百（2021.03.07）
1、圆锥曲线与直线的关系
椭圆与双曲线与给定直线的关系通过联立方程所得解的情况来判定： 椭圆：22221x y a b +=(0)a b 双曲线：22221x y a b -=(0)a b 、
直线：y kx m =+
(PS ：这里并没有讨论椭圆的焦点在y 轴、双曲线的焦点在y 轴及直线斜率不存的情况，做题需要补充)
（1）椭圆与双曲线联立：
(PS ：联立时选择不通分，原因？看完就知道了)
类一元二次方程：20Ax Bx C ++=
2
221()k A a b =+，所以0A ，即方程为一元二次方程。
判别式：24B AC ∆=- 化解得：22222214()k m a b a b
∆=+-
1)
当0∆，方程无实根，直线与椭圆没有交点； 2) 当0∆=，方程有两个相同的根，直线与椭圆相切；
（相切是因为重根，而不是只有一个根）
3) 当0∆，方程有两个不同的实根，直线与椭圆相交.
（2）双曲线与直线联立： 类一元二次方程中，2221()k A a b =-，22()km B b
=- 1) 当0,0A B ==时，方程为10-=，无解，直线与双曲线相离；（此时
为渐近线）
2) 当0,0A B =≠时，方程为一元一次方程，只有一个解，直线与双
曲线只有一个交点（此时为渐近线的平行线）
3)
当0,0A ≠∆时，一元二次方程无实数解，直线与双曲线相离； 4) 当0,0A ≠∆=时，一元二次方程有两个相同实数解，直线与双曲
线相切；
5) 当0,0A ≠∆时，一元二次方程有两个不同实数解，直线与双曲
线相交.
PS ：注意双曲线与直线联立和椭圆与直线联立的方程及最后判定的异同！
2、联立方程与韦达定理
（1）韦达定理：
20Ax Bx C ++=运用韦达定理的前提：0,0A ≠∆≥
12B x x A +=-，12C x x A =
，12x x -==（2）椭圆与直线联立相关的韦达定理：
21222221km
b x x k a b
-
+=+； 2
2122
2211m b x x k a b -=+； 由y kx m =+可得到关于y 的韦达定理：
2122
22
21m
a y y k a
b +=+； 2
2
2122221m k a y y k a b
-=+；
1222y y a b -=+；
（3）双曲线与直线联立相关的韦达定理：
212222
21km
b x x k a b +=-； 2
21222211m b x x k a b
--=-； 由y kx m =+可得到关于y 的韦达定理：
2122
2221m
a y y k a
b +=-；
2
2
2122
221m k a
y y k a b -=-；
1222y y a b -=-；
PS ：1、所有韦达定理所得的结果分母都一样，之后的处理就不需要通分；2、记住部分结论（联立的一元二次方程和判别式必须记住）会事半功倍；3、双曲线相关的式子与椭圆相关式子的区别，所有带2b 项变号。
原因：椭圆的双曲线方程化解之后均是222221x y a a c +=-。
椭圆中22a c ，
令222b a c =-；双曲线中22a c ，令222b a c -=-。