波形估计最佳线性估计滤波

第四章波形估计（最佳线性估计、滤波）

参量估计－静态估计－随机参量，非随机参量 波形估计－动态估计－随机过程

线性滤波理论是用来估计信号的波形或系统的状态 最佳估计－仅当高斯随机过程的特殊情况

线性最佳估计，最佳线性滤波－最小方差准则 最佳线性滤波要解决的问题：给定有用信号与加性噪声混合的信号波形，寻求作用于此混合波形的一种线性运算，得到的结果将是信号与噪声的最佳分离。 最佳－使估计的均方误差最小。 ☆维纳滤波(Wiener Filtering)-1940

平稳随机过程的最佳线性滤波，必需存储所用到的全部数据，计算量太大，不适于实时处理。

☆ 卡尔曼滤波(Kalman Filtering)-1960

将状态变量引入滤波理论，利用递推算法，便于实时处理，并可处理非平稳随机过程。

§4－1、线性变换与正交原理 一、 线性变换

估值(t)Z

ˆ为观测信号Z(t )的线性变换，故可写成： [])14(Z(t)L (t)Z

ˆ---= 式中算子]L[∙表示线性变换，估计准则是线性最小均方误差 因此，定义误差：

2)--(4-(t )Z

ˆ-Z(t )e(t )= 希望导出估计准则]L[∙，使下列均方误差最小：

[

]3)--(4-(t)Z

ˆ-Z(t)e (t)

E 2

2

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

E

由于变换是线性的，则对于所有的常数a 1,a 2和过程Z 1(t)和Z 2(t)有： 若][L 1∙和][L 2∙是两个线性变换，即： 则其差的变换也是线性变换，即：

[][])74(L L ]L[12---∙-∙=∙

将(4-5)和(4-6)代到(4-7)式中，即可证明，对于线性变换有:

{}[]

{})84(E L ]L[---∙=∙E []()[]()[])54((t)Z a (t)Z a L 21211122111---+=+t Z L a t Z L a []()[]()[])

64((t)Z a (t)Z a L 22212122112---+=+t Z L a t Z L a []()[]()[])

44((t)Z a (t)Z a L 22112211---+=+t Z L a t Z L a

式中算子]E[∙表示数学期望。

若X(t)在区间[t i ,t f ]对所有的ξ与Z(ξ)正交，即：

[]9)--(4-],[,0)(),(E f i t t t X Z ∈∀=ξξ

则对于Z(ξ)的任何线性变换，在区间ξ∽[t i ,t f ]对X(t)也正交。若L[Z(ξ)]是Z(ξ)的线性变换，因为线性变换和期望是可以交换的，故有：

[]{}[]{}[]

{}10)

-(4--,],[,0]0[)(),()(),(L E )(,)(L E f i t t L t X Z E L t X Z t X Z ∈∀--====ξξξξ 二、正交原理 线性变换

]L[∙是最小均方误差估值，当且仅当误差

e(t) 在区间ξ∽[t i ,t f ]对

Z(ξ)正交。

证明：假若所有过程Z(t)=Y(t)+V(t)是实的、平稳的。考虑线性变换][L 1∙，对

所

有

ξ

，

[])(ˆ)Z(L 1t Y

=ξ,于是均方误差

[]

)(ˆ)()(,(t)e E 121t Y

t Y t e -=是最小，则 [])114()(ˆ)Z(L 1---=t Y ξ

是最佳估值，且

[]()[]{}

)124..(0)Z()((t)e E 22

1m -=-==ξεL t Y E 考虑线性变换

]

[L 2∙，对所有ξ，

[])(ˆ)Z(L 2t Y

=ξ,则误差[])(ˆ)()(,(

t )e E 2

22t Y

t Y t e

-=对所有ξ与数据Z(ξ)正交，即： []

[]{}

)

134.(0)Z(,)(ˆ)()Z(,(t)e E 2-=-=ξξt Y t Y E 误差e 1(t)可用 e 2(t)表示，如

()[]

()[]()[]{}()[]()[]()[]()[])

144()()()()()(212212211---+=-+=--+=-=ξξξξξξξZ L t e Z L Z L t e Z L Z L Z L t Y Z L t Y t e

由式(4-7) 差的变换也是线性变换。将式(4-14)代入式(4-12)，由最佳估值，线性均方误差变成：

()[]{}()[]{

}[][][]{})

154....()]([)]([),(2(t )

e E )Z()()Z(

)(22222221m -++=+=-=ξξξξεZ L E Z L t e E L t e E L t Y E

因为e 2(t)对数据Z(ξ)正交，也就对L[Z(ξ)]正交，如方程(4-9)所示，于是

[])164...(0)]([),(2-=ξZ L t e E

则最小均方误差简化为：

[][]{})174....()]([(t)e E 2

22

m -+=ξεZ L E 其中[]

(t)e E 2

2为估计值][L 2∙的均方误差。因此

[][]{}[])184.((t)

e E )]([(t)e E 2

2222m -=+=ξεZ L E 当且仅当非负值

[]{

}2

)]([ξZ L E 为零，即： [][])194(0L L ]L[12---=∙-∙=∙

这就证明了上述正交原理；对于误差与数据正交，线性变换导致最小均方误差线性估计值，反之亦然。

维纳滤波器的推导可以用正交原理的方法，也可采用其他的方法，如变分法等。

§4－2维纳滤波（平稳随机过程的最佳线性滤波） 滤波的条件及要求：

⑴有用信号s(t)是随机过程＋加性噪声n(t)—输入x(t)

并假设s(t),n(t)是联合宽平稳的，具有已知的自相关函数和互相关函数（或对应的谱密度函数）；

⑵滤波器是线性时不变的h(t)—H(ω)

⑶输出是宽平稳的，即稳态滤波的含义。理论上可认为输入信号x(t)是在t=-∞时加入的，因此，在任何有限时刻t ，输出y(t)是宽平稳的。 ⑷选取滤波器的h(t)H(ω)，使估计的均方误差最小。

α<0－平滑，α=0－滤波、去噪，α>0－预测。 滤波器的理想输出为s(t+α)，估计的误差为： e(t)=s(t+α)-y(t)—(4-20) 用变分法：

估计误差的平方为：

)214()()()(2)()(222---++-+=t y t y t s t s t e αα

而⎰

∞

∞

-----=

)224()()()(du u t x u h t y

代入上式，两边取数学期望，得到均方误差：