理论力学(机械工业出版社)第三章空间力系习题解答
理论力学习题答案
理论力学习题答案(总26页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--2第一章 静力学公理和物体的受力分析一、是非判断题在任何情况下，体内任意两点距离保持不变的物体称为刚体。
( ∨ ) 物体在两个力作用下平衡的必要与充分条件是这两个力大小相等、方向相反，沿同一直线。
( × ) 加减平衡力系公理不但适用于刚体，而且也适用于变形体。
( × ) 力的可传性只适用于刚体，不适用于变形体。
( ∨ ) 两点受力的构件都是二力杆。
( × ) 只要作用于刚体上的三个力汇交于一点，该刚体一定平衡。
( × ) 力的平行四边形法则只适用于刚体。
( × ) 凡矢量都可以应用平行四边形法则合成。
( ∨ ) 只要物体平衡，都能应用加减平衡力系公理。
( × ) 凡是平衡力系，它的作用效果都等于零。
( × ) 合力总是比分力大。
( × ) 只要两个力大小相等，方向相同，则它们对物体的作用效果相同。
( × )若物体相对于地面保持静止或匀速直线运动状态，则物体处于平衡。
( ∨ )当软绳受两个等值反向的压力时，可以平衡。
( × )静力学公理中，二力平衡公理和加减平衡力系公理适用于刚体。
( ∨ )静力学公理中，作用力与反作用力公理和力的平行四边形公理适用于任何物体。
( ∨ )凡是两端用铰链连接的直杆都是二力杆。
( × )如图所示三铰拱，受力F ，F 1作用，其中F 作用于铰C 的销子上，则AC 、BC 构件都不是二力构件。
( × )图3二、填空题力对物体的作用效应一般分为 外 效应和 内 效应。
对非自由体的运动所预加的限制条件称为 约束 ；约束力的方向总是与约束所能阻止的物体的运动趋势的方向 相反 ；约束力由 主动 力引起，且随 主动 力的改变而改变。
理论力学习题及答案(全)
第一章静力学基础一、是非题1．力有两种作用效果，即力可以使物体的运动状态发生变化，也可以使物体发生变形。
（）2．在理论力学中只研究力的外效应。
（）3．两端用光滑铰链连接的构件是二力构件。
（）4．作用在一个刚体上的任意两个力成平衡的必要与充分条件是：两个力的作用线相同，大小相等，方向相反。
（）5．作用于刚体的力可沿其作用线移动而不改变其对刚体的运动效应。
（）6．三力平衡定理指出：三力汇交于一点，则这三个力必然互相平衡。
（）7．平面汇交力系平衡时，力多边形各力应首尾相接，但在作图时力的顺序可以不同。
（）8．约束力的方向总是与约束所能阻止的被约束物体的运动方向一致的。
（）二、选择题1．若作用在A点的两个大小不等的力F1和F2，沿同一直线但方向相反。
则其合力可以表示为。
①F1－F2；②F2－F1；③F1＋F2；2．作用在一个刚体上的两个力F A、F B，满足F A=－F B的条件，则该二力可能是。
①作用力和反作用力或一对平衡的力；②一对平衡的力或一个力偶。
③一对平衡的力或一个力和一个力偶；④作用力和反作用力或一个力偶。
3．三力平衡定理是。
①共面不平行的三个力互相平衡必汇交于一点；②共面三力若平衡，必汇交于一点；③三力汇交于一点，则这三个力必互相平衡。
4．已知F1、F2、F3、F4为作用于刚体上的平面共点力系，其力矢关系如图所示为平行四边形，由此。
①力系可合成为一个力偶；②力系可合成为一个力；③力系简化为一个力和一个力偶；④力系的合力为零，力系平衡。
5．在下述原理、法则、定理中，只适用于刚体的有。
①二力平衡原理；②力的平行四边形法则；③加减平衡力系原理；④力的可传性原理；⑤作用与反作用定理。
三、填空题1．二力平衡和作用反作用定律中的两个力，都是等值、反向、共线的，所不同的是。
2．已知力F沿直线AB作用，其中一个分力的作用与AB成30°角，若欲使另一个分力的大小在所有分力中为最小，则此二分力间的夹角为度。
理论力学第三章空间力系
空间平行力系平衡方程
∑Fiz=0 ， ∑Mix=0， ∑Miy =0，
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具有 三个 平衡 方程 可解 三个 未知 量。
14
例3－3：重量P=1kN，A是球铰支座、A、B、C点是固定在 同一墙上，求：杆AD、绳DB，DC的约束内力。
FBZ
AB
-
P
1 2
AB
+
Fsin300 CD
=
0
∑Fix =0, FAX +FBX–Fcos300cos600=0,
FAZ FAY
x
∑Fiy =0, FAY– Fcos2300=0, FAY=150N
∑Fiz=0, FBZ +FAZ–P+Fsin300=0,
校核: ∑MDB =0 FAZ=100N
∑Miz=0，
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空间任意物 体具有六个 平衡方程可 解六个未知
量。
13
空间汇交力系平衡方程
∑Fix=0 ， ∑Fiy =0， ∑Fiz =0，
空间力偶力系平衡方程
∑Mix=0 ， ∑Miy=0， ∑Miz =0，
M 0 = ∑ M ixi + ∑ M iy j + ∑ M izk
7
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例3-2：拖拉机摇手柄OAB在oxz平面内，在A处作用一个力F, 已 知：F=50N,0A=20cm,AB=18cm,a=450,b=600, 求各轴之矩。
解：
z
理论力学答案第三章
《理论力学》第三章作业参考答案习题3-9解：力F在x 、y 坐标轴上的投影分别为：)(03.169100050301010222N F x =⨯++=)(09.507100050301030222N F y =⨯++=力F作用点的坐标为1500.15x m m m =-=-，(10050)0.15y mm m =+=。
所以，0.15507.090.15169.09101.4(.)Z y x M xF yF N m =-=-⨯-⨯≈-答: 力F对z 轴的力矩为-101.4Nm .习题3-11解：力F在x 、y 、z 坐标轴上的投影分别为：00cos 60cos 304x F F F ==1cos 60sin 304y F F F=-=-FF F Z 2360sin 0-=-=力F的作用点C 的坐标为1sin 302o x r r==，cos 302o y r ==，z h =。
所以，()Fr h F h F r zF yF My z X341412323-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=()F r h F r F h xF zF Mz x y+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=4323243rF F r F r yF xF Mxy Z214323412-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=答：力F对x 、y 、z 轴的矩分别为：()134h r F -，)4h r F +，12rF-。
习题3-12解：以整个支架为研究对象。
由于各杆为二力杆，球铰链A 、B 、C 处的约束力A F 、B F 、C F 沿杆件连线汇交于D 端球铰链，与物块的重力P构成一空间汇交力系，其受力情况如图所示。
以O 为原点建立坐标系，列平衡方程，我们有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===∑∑∑000z y x F F F⎪⎩⎪⎨⎧=-++=++=-015sin 30sin 45sin 30sin 45sin 015cos 30cos 45sin 30cos 45sin 045cos 45cos 000000000000P F F F F F F F F C B A C B A B A 解之得：()()()cos1526.39()2sin 45sin 3015cos1526.39()2sin 45sin 3015cos 3033.46()sin 3015o A o o ooB o o ooC o o P F kN P F kN F P kN ⎧⎪==-⎪⎪⎪==⎨-⎪⎪⎪=-=-⎪-⎩答：铰链A 、B 的约束力均等于26.39kN ，方向与图示相同，即为压力，铰链C 的约束力等于-33.46 kN ，方向与图示相反，即为拉力。
C·A上传 【理论力学】第三章 力系的平衡
FDC FDB
P
BE = CE DB = DC 则:FDB = FDC
DO DO DO ∑ Fiy FDB = 0; FDC FDA =0 DB DC DA
cm DB = 20 3, , DA = 20 5;cm
FDA
EO AO 0; ∑ Fiz = FDB 2 FDA P=0 DB DA
汇交力系
√2 FA = FC = — F = FB 力多边形自行封闭
2
r F r F
C
B
r FB
例3-2:已知物体的重量为 .求:(a)平衡时铅垂力 , - :已知物体的重量为P )平衡时铅垂力F, (b)维持平衡时 的最小值及其相应方向.不计构件自重. )维持平衡时F 的最小值及其相应方向.不计构件自重. 讨论题
3 联立求解 FDA = P = 745N , 3 FDB = FDC = 289N
避免解联立方程 改变坐标方向
立柱AB与绳 与绳BC 例3-8:起重机起吊重量 =1kN.求:立柱 与绳 ,BD,BE - :起重机起吊重量P . x' 的受力. 的受力.
解: B点有四个未知力汇交, 点有四个未知力汇交, 点有四个未知力汇交
§3-1 汇交力系的平衡 -
汇交力系简化的结果
汇交力系平衡的充要条件: 汇交力系平衡的充要条件: 充要条件 力系的合力等于零
r FR = 0
各力全部 汇交力系平衡的几何条件 力多边形自行封闭 首尾相连 几何条件: 汇交力系平衡的几何条件: 仅适用于平 力多边形法则 解析条件: 汇交力系平衡的解析条件 平衡方程 汇交力系平衡的解析条件: 面汇交力系 几何法 空间汇交力系: 合力投影定理
理论力学3—空间力系2
解：以小车为研究对象，主动力和约束力组 成空间平行力系，受力分析如图。
列平衡方程
M F 0
x
F1 0.2 P 1.2 FD 2.2 0
M F 0,
y
F1 0.8 P 0.6
FD 0.6 FB 1.2 0
F
z
0,
50 z FAz A FAx x 20 Q
200 FBz B
100 y
FAy
FBx
Fy Fx Fz
FAy 352 N
Fy 0: FAy Fy 0
M y (F ) 0: 50Fz 100Q cos 20 0 Q 746 N M z (F ) 0: 200FBx 300Fx 50Fy 50Q cos20 0
z r1
O
A rC
C r2 y
F2 B
x
rC FR F r1 F1F r2 F2 F
0 0 0
rn Fn F
0
rC FR F r1 F1F r2 F2 F
0 0 0
rn Fn F
FR
0
去掉F 0 这个单位矢量
F1r1 F2 r2 rC FR
Fy Fx Fz
解: 取主轴及工件为研究对象。
向心轴承B的约束反力为FBx和FBz, 止推轴承A 处约束反力有FAx、FAy、FAz, 其中FAy 起止推作 用。主轴共受九个力作用, 是空间一般力系。
50 z FAz A FAx x 20 Q 200 FBz B y 100
FAy
FBx
Fy
Fx Fz
Fn rn
Fi ri Fi
理论力学3—空间力系1
3.3.2 空间力偶等效定理
空间力偶的等效条件是: 两个力偶的力偶矩矢相
等。
F
F'
F
F'
力偶由一个平面平行移至刚体另一个平行 平面不影响它对刚体的作用效果。
3.3 空间力偶系 3.3.3 空间力偶系的合成 力偶作用面不在同一平面内的力偶系称为空间 力偶系。 空间力偶系合成的最后结果为一个合力偶, 合力 偶矩矢等于各力偶矩矢的矢量和。即:
M
M
M
3.4.2 空间任意力系的简化结果分析
空间任意力系向任一点简化的结果可能出 现四种情况:
(1) F'R＝0, MO≠0 ; (2) F'R ≠ 0, MO ＝ 0 ; (3) F'R ≠ 0, MO≠0 ; (4) F'R＝0, MO ＝ 0
3.4.2 空间任意力系的简化结果分析
1) 空间任意力系简化为一合力偶的情形
Fy F cos(F , j)
Fz F cos(F , k)
z Fz
k
F Fy y
i Oj
x Fx
当力与坐标轴Ox 、Oy间的夹角不易确定时, 可 把力F先投影到坐标平面Oxy上, 得到力矢量Fxy, 然后再把这个力投影到x 、y轴上, 这叫间接投 影法(二次投影法)。
Fz F cos Fxy F sin
Fx F sin cos Fy F sin sin
z
Fz
O
Fx x
F Fy y
空间力的分解
z Fz
k
F Fy y
i Oj
x Fx
F = Fx Fy Fz Fxi Fy j Fzk
3.2 力对点的矩与力对轴的矩
理论力学---第三章 空间力系
B
P
Fz 0 : F cos P 0
E
C
D FD
F
C
z
A y
F
x
P
12
B
3.2 力对点的矩和力对轴的矩
3.2.1 力对点的矩以矢量表示－力矩矢 空间力对点的矩的作用效果取决于： MO(F)
z B F
(1)力矩的大小 (2)转向 (3)力矩作用面方位。
h 这三个因素可用一个矢量 M O (F ) 表示。 x 矢量的方位：与作用平面法线 大小： M O (F ) Fh
例1 重为P的物体用杆AB和位于同一水平面的绳索AC与AD支承，如图。
＝ 45° 已知:P＝1000N，CD＝AC＝AD，E为CD中点，
不计杆重；求绳索的拉力和杆所受的力。 解：以铰A为研究对象，受力如图。
E
C
D
A
Fx 0 : FC sin FD sin 0
Fy 0: FC cos FD cos F sin 0
齿轮的啮合角(螺旋角) β 和压力角 ，试求力 Fn 沿 x，y 和 z 轴的分力。
6
解： 将力Fn向 z 轴和Oxy 平面投影
Fz Fn sin ,
将力Fxy向x，y 轴投影
Fxy Fn cos
Fx Fxy sin Fn cos sin Fy Fxy cos Fn cos cos
z Fz F B Fy
M z (F ) M O (Fxy ) M O (Fx ) M O ( Fy )
xFy yFx
理论力学-空间力系
第三章空间力系一、是非题1．一个力沿任一组坐标轴分解所得的分力的大小和这力在该坐标轴上的投影的大小相等。
（）2．在空间问题中，力对轴的矩是代数量，而对点的矩是矢量。
（）3．力对于一点的矩在一轴上投影等于该力对于该轴的矩。
（）4．一个空间力系向某点简化后，得主矢’、主矩o，若’与o平行，则此力系可进一步简化为一合力。
（）5．某一力偶系，若其力偶矩矢构成的多边形是封闭的，则该力偶系向一点简化时，主矢一定等于零，主矩也一定等于零。
（）6．某空间力系由两个力构成，此二力既不平行，又不相交，则该力系简化的最后结果必为力螺旋。
（）7．一空间力系，若各力的作用线不是通过固定点A，就是通过固定点B，则其独立的平衡方程只有5个。
（）8．一个空间力系，若各力作用线平行某一固定平面，则其独立的平衡方程最多有3个。
（）9．某力系在任意轴上的投影都等于零，则该力系一定是平衡力系。
（）10．空间汇交力系在任选的三个投影轴上的投影的代数和分别等于零，则该汇交力系一定成平衡。
（）二、选择题1．已知一正方体，各边长a，沿对角线BH作用一个力，则该力在X1轴上的投影为。
①0；②F/2；③F/6；④－F/3。
2．空间力偶矩是。
①代数量；②滑动矢量；③定位矢量；④自由矢量。
3．作用在刚体上仅有二力A、B，且A+B=0，则此刚体；作用在刚体上仅有二力偶，其力偶矩矢分别为M A、M B，且M A+M B=0，则此刚体。
①一定平衡；②一定不平衡；③平衡与否不能判断。
4．边长为a的立方框架上，沿对角线AB作用一力，其大小为P；沿CD边作用另一力，其大小为3P/3，此力系向O点简化的主矩大小为。
①6Pa；②3Pa；③6Pa/6；④3Pa/3。
5．图示空间平行力系，设力线平行于OZ轴，则此力系的相互独立的平衡方程为。
①Σmx（）=0，Σmy（）=0，Σmz（）=0；②ΣX=0，ΣY=0，和Σmx（）=0；③ΣZ=0，Σmx（F）=0，和Σm Y（）=0。
理论力学第三章习题解答
连杆 B2 ：连体基基点 B 的矢径 r2 ，坐标阵 r2 = (0 b ) ，连体基的姿态角为
π ϕ 2 = 。瞬时位形坐标 q 2 = r2T 4
(
ϕ2 )
T
⎛ = ⎜0 b ⎝
π⎞ ⎟ 4⎠
T
-2-
⎛ cos ϕ 2 A2 = ⎜ ⎜ sin ϕ 2 ⎝
⎛ − sin ϕ 2 ⎞ ⎜ ⎟=⎜ cos ϕ 2 ⎟ ⎠ ⎜ ⎜ ⎝
3r 2
π⎞ ⎟ 3⎟ ⎠
T
⎛ cos ϕ 3 A3 = ⎜ ⎜ sin ϕ 3 ⎝
⎛ − sin ϕ 3 ⎞ ⎜ ⎟=⎜ cos ϕ 3 ⎟ ⎠ ⎜ ⎜ ⎝
3⎞ ⎟ 2 ⎟ 1 ⎟ ⎟ 2 ⎠
(3) 凸轮挺杆机构，其中 O 为偏心轮，AB 为挺杆。
-4-
题 3-1 图 题 3-1 答案图(3) 解：建立公共参考基 O − e ，对二个构件进行编号并建立连体基
⎛ cos ϕ 2 A2 = ⎜ ⎜ sin ϕ 2 ⎝
T 2
ϕ2 )
T
⎛ = ⎜0 ⎝
r 2
⎞ 0⎟ ， ⎠
T
− sin ϕ 2 ⎞ ⎛ 1 0 ⎞ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ ⎟ cos ϕ 2 ⎟ ⎠ ⎝0 1⎠
-7-
3-2 图示长为 0.2m 的直杆，一端沿水平线运动，方向如图所示，一端沿 铅垂线运动，分别在其端部 A 和杆件中点 C，以及在其端部 A 和 B 分别建立两 个连体基。试求两个连体基位形坐标之间的关系。
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第三章习题解答
理论力学(机械工业出版社)第三章空间力系习题解答
3-1 在边长为a 的正六面体上作用有三个力，如图 3-26所示，已知：F i =6kN, F 2=2kN, F 3=4kN 。
试求各力在三个坐标轴上的 投影。
图 3-26所示，已知六面体尺寸为 400 mmx 300 mmx300mm 正面有力F i =100N,中间有力F 2=200N,顶面有力偶 M=20N ・m作用。
试求各力及力偶对 z 轴之矩的和。
图 3-274 M z F 1 COS 450.40.3 20 J 34 20^2-240207.125 N m3-3如图3-28所示，水平轮上 A 点作用一力F =1kN,方向与 轮面成a=60°的角，且在过A 点与轮缘相切的铅垂面内，而点 A与轮心0的连线与通过0点平行于y 轴的直线成 b=45°角，图 3-28F COS sin 1000 COS 60 sin 45250^2 N 354 NF COS COS 1000 COS 60 sin 45250 (0 N 354 NF 1x 0F 1yF 2xF 2 COS 45讨仃 4 J 3F iz 72 kNF ,6 kNF 3X F ^y — kNF ayF 2yF COS 45734巧 F^ —— kN 33F 2—33kN3-2 如图 3-27 h =r=1m 。
试求力F 在三个坐标轴上的投影和对三个坐标轴之矩。
F xF z F sin 1000 sin 60 500 866 NM x (F) |F y | h |F z | 1 r cos 354 1866 1 cos 45258 N m M y (F) |F x | h |F z | r sin 354 1 866 1sin 45966 N mM z (F)F cosr1000 cos60 1500 N m主矩。
图 3-30F R xF 1 “2 屁200^5 100(14 821 .4NF R yF 2乐150714 561 .2NF RZF 1亦 F ?L 100V 5 50^14410.7NV 14F RJ ( 821.4)2( 2561.2)2410.71076.3N3-4 曲拐手柄如图3-29所示，已知作用于手柄上的力F =100N, AB=100mm BC=400mrm CC =200mrm a=30°。
理论力学理论力学3 第三章
例3-1 已知： Fn , ,
求：力 F在n 三个坐标轴上的投影.
解： Fz Fn sin
Fxy Fn cos
Fx Fxy sin Fn cos sin
Fy Fxy cos Fn cos cos
二.空间汇交力系的合力与平衡条件
✓ 空间汇交力系的合力: FR Fi
✓ 合矢量（力）投影定理
✓ 空间汇交力系平衡的充分必要条件是：
该力系的合力等于零，即 FR 0
空间汇交力系 的平衡方程
Fx 0 Fy 0 Fz 0
空间汇交力系平衡的充要条件：该力系中所有各 力在三个坐标轴上的投影的代数和分别为零。
例3-2 已知：物重P=10kN，CE=EB=DE； 300
求：杆受力及绳拉力
FRx Fx
FRy Fy
FRz Fz
合力的大小 FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
方向余弦
cos( FR
,i )
Fx FR
cos( FR
,
j)
Fy FR
cos( FR
,
k)
Fz FR
空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合 力的作用线通过汇交点。
例3-6 已知：两圆盘半径均为200mm，AB =800mm，圆盘面O1垂直 于z轴，圆盘面O2垂直于x轴，两盘面上作用有力偶，F1=3N， F2=5N，构件自重不计. 求:轴承A,B处的约束力.
第三章 空间力系
✓ 空间力系的简化 ✓ 空间力系的平衡
§3–1 空间汇交力系
空间汇交力系:
空间力系中各力作用线汇交于一点。
一.力在直角坐标轴上的投影
直接投影法
Fx F cos
Fy F cos Fz F cos
理论力学第三章习题解答.ppt
量出FR的长度为161N 和水平方向的夹角为
FR FR2x FR2y 802 1402 161.2N
和水平方向（x轴）的夹角的余弦为
其余弦值为0.496
cos(FR,i ) Fx / FR 80 /161.2=0.496
2－3
解：
因为滑轮的大小忽略不计，且容易看出 AB和BC杆均为二力杆，容易得到B点的 受力如图所示：
Fx 0 FAx 0
FAy FB
Fy 0 FAy FB F 0
MA 0 FB 2a M F 3a 0
解得：
FAx 0
FAy
M Fa 2a
FB
M
3Fa 2a
3－6 （b）解：
AB杆的受力如图所示 显然，AB杆受一平面任意力
FAx
FAy
系作用，有平衡方程
Fx 0 FAx 0
FAx
FAy
系作用，有平衡方程
FB
Fx 0 FAx 0 Fy 0 FAy FB P1 P2 P 0
MA 0 FB (l1 l2) P1(l1 a) P2(l1 b) P(l1 l) 0
代入数值，解得：
FAx 0
FAy 33.23kN
FB 96.77kN
3－7
当成一整体，其受力如图所示
列平衡方程，有
FAx
FAy
Fx 0 FAx FT FBC cos 0
Fy 0 FAy FBC sin W 0
MB 0 FT r W(BD r) FAy (AD DB) 0
又因为 FT W
代入数值，解得
FAx 2400N FAy 1200N FBC 848.53N
A
x F1
FBD
B
60o
理论力学第三章 空间力系
A
F DA
D E
F CA
B
F BA
W
F y
W
C
x
已知：CE=ED=c=1.5m, EB=a=2m, EF=b=3m, AF=h=2.5m
(a b) 2 h 2 AE 31.25 sin AD 33.5 (a b) 2 h 2 c 2
AF h 2.5 sin 2 AB 15.25 b h2
F
' R
MO
最后结果为一合力.合力作用线距简化中心为 d
MO FR
M O d FR M O ( FR ) M O ( F )
合力矩定理：合力对某点之矩等于各分力对同一点之矩的矢 量和. 合力对某轴之矩等于各分力对同一轴之矩的代数和.
（2）简化为一个力偶
当 FR 0, MO 0 时，最后结果为一个合力偶。此时与简化 中心无关。
Fx F sin cos
Fy F sin sin
Fz F cos
C A B
2、空间汇交力系的合成与平衡条件 空间汇交力系的合力 合矢量（力）投影定理
FR F i
FRx Fix Fx
FRz Fiz Fz
合力的大小
方向余弦
FRy Fiy Fy
FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
F cos( F , i )
R x
FR
cos( FR , j )
Fy FR
空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通 过汇交点.
Fz cos( FR , k ) FR
理论力学第三章 空间力系汇总
Pxy Pcos45
Px Pcos45sin60 Py Pcos45cos60
P 6 Pi 2 P j 2 Pk
4
4
2
r 0.05 i 0.06 j 0 k
MO(F) r F
i
j
k
0.05 0.06 0
6P 2P 2P
4
4
2
84.8 i 70.7 j 38.2 k
称为空间汇交力系的平衡方程. 空间汇交力系平衡的充要条件：该力系中所有各力在三个坐 标轴上的投影的代数和分别为零.
[例]三角支架由三杆AB、AC、AD用球铰A连接而成，并用球铰支座B、C、
D固定在地面上，如图所示。设A铰上悬挂一重物，已知其重量W=500N。
结构尺寸为a=2m，b=3m，c=1.5m，h=2.5m。若杆的自重均忽略不计，求
（2）何时MZ (F) 0
Mz (F) Mo(Fxy ) Fxy h
z
F
Fz
Fxy o
h
P
力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力对该轴 的矩为零.
（3) 解析表达式
M Z (F) MO (F xy ) MO (F x ) MO (F y )
xFy yFx
M x (F) yFz zFy
空间力偶的三要素
（1） 力偶矩大小：力与力偶臂的乘积； （2） 力偶矩方向：右手螺旋； （3） 作用面：力偶作用面。
转向：右手螺旋；
2、力偶的性质
(1）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零 . （2）力偶对任意点的矩都等于力偶矩矢，不因矩心的改变而 改变。
M x (P) 84.8(N.m) M y (P) 70.7(N.m) M x (P) 38.2(N.m)
理论力学习题答案第三章
第三章思考题解答3.1 答：确定一质点在空间中得位置需要3个独立变量，只要确定了不共线三点的位置刚体的位置也就确定了，故须九个独立变量，但刚体不变形，此三点中人二点的连线长度不变，即有三个约束方程，所以确定刚体的一般运动不需3n 个独立变量，有6个独立变量就够了.若刚体作定点转动，只要定出任一点相对定点的运动刚体的运动就确定了，只需3个独立变量；确定作平面平行运动刚体的代表平面在空间中的方位需一个独立变量，确定任一点在平面上的位置需二个独立变量，共需三个独立变量；知道了定轴转动刚体绕转动轴的转角，刚体的位置也就定了，只需一个独立变量；刚体的平动可用一个点的运动代表其运动，故需三个独立变量。
3.2 答物体上各质点所受重力的合力作用点即为物体的重心。
当物体的大小远小于地球的线度时物体上各质点所在点的重力加速度都相等，且方向彼此平行即重力场为均匀场，此时质心与重心重合。
事实上但物体的线度很大时各质点所在处g 的大小是严格相等，且各质点的重力都指向地心，不是彼此平行的，重心与质心不和。
3.3答 当物体为均质时，几何中心与质心重合；当物体的大小远小于地球的线度时，质心与重心重合；当物体为均质且大小远小于地球的线度时，三者都重合。
3.4 答 主矢F 是力系各力的矢量和，他完全取决于力系中各力的大小和方向，故主矢不随简化中心的位置而改变，故而也称之为力系的主矢；简化中心的位置不同，各力对简化中心的位矢i r 也就不同则各力对简化中心的力矩也就不同，故主矩随简化中心的位置而变，被称之为力系对简化中心的主矩。
分别取O 和O '为简化中心，第i 个力i F 对O 和O '的位矢分别为i r 和i r '，则i r =i r '+O O '，故()()iii ii i O F O O r F r M ⨯'-'=⨯'=∑∑'()∑∑⨯'-⨯'=ii ii i F O O F r ∑⨯'+=ii o F O O M即o o M M ≠'主矢不变，表明刚体的平动效应不变，主矩随简化中心的位置改变，表明力系的作用对刚体上不同点有不同的转动效应，但不改变整个刚体的转动规律或者说不影响刚体绕质心的转动。
理论力学3—空间力系1
力系中各力的矢量和称为空间力系的主矢。主 矢与简化中心的位置无关。
空间力偶系可合成为一合力偶, 其矩矢MO:
M O M O ( Fi )
力系中各力对简化中心之矩矢的矢量和称为力 系对简化中心的主矩。主矩与简化中心的位置 有关。
或
FR F1 F2 Fn Fi FR Fx i Fy j Fz k
mAD ( F ) 0 : S3a S 4 cos 45 a 0 2 S3 S4 P 2
a
a
B
P
S6 6
AS 5
5
C S3 S4 D 3 a 4 S2 B1 S1 2 C1 z 1
x y
A1
D1
a
a
mDD1 ( F ) 0 : S4 cos 45 a S5 cos 45 a 0 S5 S4 2 P
M z ( F ) M O ( Fxy ) M O ( Fx ) M O ( Fy ) xFy yFx
O z Fz F B A(x,y,z) Fy
Fx
y a x Fxy b Fy
同理可得其它两式。故有
y x Fx
M x ( F ) yFz zFy M y ( F ) zFx xFz M z ( F ) xFy yFx
Fn x
＝
M1 O x F'n
F'1 Mn
F'2 y
＝
MO O x
F'R
y
Fi Fi M i M O ( Fi )
空间中力偶为 (i 1, 2, , n) 矢量
3.3.1 空间力系向一点的简化 空间汇交力系可合成一合力F'R:
理论力学--空间力系3
Fy Fx Fz , i) , j) , k) cos( FR ,cos( FR ,cos( FR FR FR FR
M y (F ) M x (F ) M z (F ) cos( M O , i ) ,cos( M O , j ) ,cos( M O , k ) MO MO MO M O [ M x (F )]2 [ M y (F )]2 [ M z (F )]2
§3-4 空间任意力系的简化
2. 空间任意力系的简化结果分析 ● F′R= 0，MO≠0 ● F′R≠ 0，MO ≠0 ′ ≠ 0，MO= 0 ● FR
′ = 0，MO= 0 ● FR
(1). 空间任意力系简化为一个合力偶的情形 ● F′R= 0，MO≠0
M O M O ( Fi )
i 1
§3-1 空间汇交力系
2. 空间汇交力系的合成与平衡条件
空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线 通过汇交点。 FR ( Fx ) 2 ( Fy ) 2 ( Fz ) 2 n FR F1 F2 Fn Fi Fx cos( FR , i ) i 1 FR Fxi i Fyi j Fzi k Fy cos( FR , j ) FR 平衡条件: Fz cos( FR , k ) FR
FR
Mo
右螺旋
O
力螺旋
FR
O
§3-4 空间任意力系的简化
力螺旋：由一力和力偶组成，力垂直于力 偶的作用面。
力螺旋是由静力学的两个基本要素力和力 偶组成的最简单力系，不能进一步合成。
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理论力学（机械工业出版社）第三章空间力系习题解答习题3-1 在边长为a的正六面体上作用有三个力，如图3-26所示，已知：F1=6kN，F2=2kN，F3=4kN。
试求各力在三个坐标轴上的投影。
图3-26 F1x?0F1y?0F1z?F1?6kNF2y?Fcos45??2kNF2z?0F2x??F2cos45???2kNF3x?F3343?kN33F3 y??F3343??kN33F3z?F3343?kN 33 3-2 如图3-27所示，已知六面体尺寸为400 mm×300 mm×300mm，正面有力F1=100N，中间有力F2=200N，顶面有力偶M=20N·m作用。
试求各力及力偶对z轴之矩的和。
图3-27 ?Mz??F1cos45???F2434??20 ??202?24034?20???m 3-3如图3-28所示，水平轮上A点作用一力F=1kN，方向与轮面成a=60°的角，且在过A点与轮缘相切的铅垂面内，而点A与轮心O?的连线与通过O?点平行于y轴的直线成b=45°角，h=r=1m。
试求力F在三个坐标轴上的投影和对三个坐标轴之矩。
图3-28 Fx?Fcos?sin??1000?cos60??sin45??2502 N?354NFy??Fcos?cos???1000?cos60??sin45???25 02N??354N 1 Mx(F)?|Fy|?h?|Fz|?rcos??354?1?866?1?co s45???258N?mMy(F)?|Fx|?h?|Fz|?rsin??354?1?866?1?sin 45??966N?mMz(F)??Fcos??r??1000?cos60??1??500N? mFz??Fsin???1000?sin60???5003??866N3-4 曲拐手柄如图3-29所示，已知作用于手柄上的力F=100N，AB=100mm，BC=400mm，CD=200mm，a=30°。
试求力F对x、y、z轴之矩。
图3-29 ?Fsin?sin??100?sin230??25NFxFy??Fsin?cos???100?sin30??cos30???2 53N??Fz??Fcos30???100?cos30???503??Mx(F)??|Fy|?BC?|Fz|?(AB?CD)??253??50 3? ??253???m My(F)??|Fx|?BC??25???10N?mMz(F)??|Fx|?(AB?CD)??25????m3-5 长方体的顶角A和B分别作用力F1和F2，如图3-30所示，已知：F1=500N，F2=700N。
试求该力系向O点简化的主矢和主矩。
图3-30 ?x??F1?FR253?F2?214??2005? 10014?? ?y??F2?FR?z?F1?FR??FR1 45??15014?? 114?1005?5014? 1?F2?(?)2?(?)2??2 ???????????????? ??? ? ?? ?Mx(F)?F2?1141?3?15014?? m ?My(F)??F1??Mz(F)?0 5?2?F2?114?2??2005?10014???mMO(F)????m ? cos?????? cos???0???90? cos??????? ???? 3-6 有一空间力系作用于边长为a的正六面体上，如图3-31所示，已知：F1=F2=F3=F4=F，F5=F6= ??0 ?x?FR?y?FR?z?0 FRFR 2F。
试求此力系的简化结果。
图3-31 ?Mx(F)??F2a?F5a??Fa?2F a?(2?1)Fa? ?My(F)?0 ?Mz(F)?F3a?F 5a?Fa?2Fa?(1?2)Fa??MO(F)?2(2?1)Fa?(2?2)Fa?1cos??????45? 2cos???0???90? cos????1???135? 2 3-7 有一空间力系作用于边长为a的正六面体上，如图3-32 3 所示，已知各力大小均为F。
试求此力系的简化结果。
?x?0FR?yFR图3-32 ?z?2F ?2F FR??22F FRcos??0??90?12cos??cos??????45? ?Mx(F)?0 ?My(F)??2Fa?Mz(F)?2Fa MO(F)?22Fa cos???0???90? 12 cos????cos??? 12???135? ???45? 3-8 如图3-33所示的悬臂刚架，作用有分别平行于x、y轴的力F1与F2。
已知：F1=5kN，F2=4kN，刚架自重不计。
试求固定端O 处的约束反力和约束反力偶。
图3-33 ?Fx?0?Fy?0?Fz?0?Mx?0 ? My?0 ?Mz?0 FOx?F1?0 FOx??F1??5kN FOy?F2?0 FOy??F2??4kN FOz?0 MOx?F2?4?0 MOx?F2?4?16kN?m MOy?F1?6?0 MOy??F1?6?30kN?m MOz?F1?4?0 MOz??F1?4?20kN?m 3-9 墙角处吊挂支架两端铰接杆OA、OB和软绳OC构成，二杆分别垂直于墙面且绳OC维持在水平面内，如图3-34所示。
4 结点O处悬挂重物，重量W=500N，若OA=300mm，OB=400mm，OC绳与水平面的夹角为30°，不计杆重。
试求绳子拉力和二杆所受的压力。
图3-34 ?Fz?0FTsin30??W?0 FT?2W?1000N ?Fx?0FOA?FTcos30 ?sin??0FOA?FTcos30?sin??1000?33??300 3?25?Fy?0FOB?FTcos30?cos??0 FOA?FTcos30?cos??1000?34??4003? 25 3-10 如图3-35所示的空间支架。
已知：∠CBA=∠BCA=60°，∠EAD=30°，物体的重量为W=3kN，平面ABC是水平的，A、B、C各点均为铰接，杆件自重不计。
试求撑杆AB和AC所受的压力FAB和FAC及绳子AD的拉力FT。
图3-35 ?Fz?0FTsin30??W?0 FT?2W?6kN ?Fx?0FACsin30??FAB sin30??0FAC?FAB ?Fy?0FACcos30??FABco s30??FTcos30??0FAC?FAB?FT?3kN 2 3-11 空间构架三根直杆铰接而成，如图3-36所示。
已 5知D端所挂重物的重量W=10kN，各杆自重不计。
试求杆AD、BD、CD所受的力。
图3-36 FADcos45??FBDcos45??0FAD?FBD ?FCDcos15??FADsin45?cos30??FBDsin45?cos30??0FCDcos15??2FADsin45?cos30?2FADsin45?cos30?FCD?cos15?FADsin45?sin30??FBDsin45 ?sin30??FCDsin15??W?02FADsin45?sin3 0??2FADsin45?cos30?tan15??W?0 ? Fx?0?Fy?0?Fz?0FADsin45?(1?3tan15?)?W?0 WFAD???sin45?(1?3tan15?)FCD?2sin45?cos30?W3 W??cos15?sin45?(1?3tan15?)cos15?(1?3ta n15?)?? 3-12 空间桁架如图3-37所示。
力F作用在ABDC平面内，且与铅垂线成45°角，ΔEAK≌ΔFBM，等腰三角形ΔEAK、ΔFBM和ΔNDB在顶点A、B和D处均为直角，又EC=CK=FD=DM。
若F=10kN，试求各杆的受力。
图3-37 结点A ?Fx?0F1cos45??F2cos45??0 F1?F2 ?Fy?0 F3?Fcos45??0 F3??Fcos45???52kN6 ?Fz?0?F1sin45??F2sin45??Fcos45??0F1?F2??F/2??5kN 结点B ?Fx?0F4cos45??F5cos45??0 F4?F5 ?Fy?0?Fz?0F6cos45??F3?0 F6?F32??10kN ?F5sin45??F4sin45? ?F6sin45??0F5?F4??F6/2?5kN3-13 三轮车连同上面的货物共重W=3kN，重力作用点通过C点，尺寸如图3-38所示。
试求车子静止时各轮对水平地面的压力。
图3-38 ?Mx?0FND??W??0 FND??W? ?My?0?FNB?1?FND??W??0 FNB???0??? ?Fz?0FNA?FNB?FND?W?0 FNA?W?FNB?FND? 3-14 如图3-39所示，三脚圆桌的半径r?500mm，重W?600N，圆桌的三脚A、B和C构成一等边三角形。
若在中线CD上距圆心为a的点M处作用铅垂力F=1500N，试求使圆桌不致翻倒的最大距离a。
7 图3-39 CD?ACsin60??3r?r33?r OD?CD?r? 222?MAB?0F?(a?OD)?W?OD?0rrF?(a?)?W??022Wrr600rrrra???????350mm2F22?1500252 3-15 简易起重机如图3-40所示，图中尺寸为AD=DB=1m，CD=，CM=1m，ME=4m，MS=，机身自重为W1=100kN，起吊重量W2=10kN。
试求A、B、C三轮对地面的压力。
图3-40 ?MAB?0FNC?CD?(W1?W2)? MD?0?110??? ?AD?FNB?AB? W1?(AD?MS)?W2?(ME?AD)?0FNC?(W1?W2)??Mx?0FNC?Fz?0FNAFN C?1?FNB?2?W1??W2?5?0100??10?5???2?FNB?FNC?W1?W2?0FNA?W1?W2?FNB?FNC?100?10???3-16 如图3-41所示，矩形搁板ABCD 可绕轴线AB转动，DE杆支撑于水平位置，撑杆DE两端均为铰链连接，搁板连同其上重物共重W=800N，重力作用线通过矩形板的几何中心。
已知：AB=，AD=，AK=BM=，DE=。
如不计杆重，试8 求撑杆DE所受的压力以及铰链K和M的约束反力。
图3-41 sin???? ?My?0W??FDEcos??AD?0 800??? ??1?W??FDEcos???0 FDE??Mx?0Fkz?800??????100N ?F z?0FMz?FKz?FDEcos??W?0FMz?W?FKz?FDEcos??800?100?400?50 0N ?Mz?0?Fkx?1?FDEsin???0 Fkx??FDEsin???? ?Fx?0FMx?FKx? FDEsin??0 FMx??FKx?FDEsin????? 3-17 曲轴如图3-42所示，在曲柄E处作用一力F=30kN，在曲轴B端作用一力偶M而平衡。