(完整版)上海高中数学-复数讲义
《复数的模与共轭复数》 讲义
《复数的模与共轭复数》讲义一、复数的基本概念在数学中，我们为了解决一些实际问题，引入了复数的概念。
复数通常可以表示为＄a ＋ bi$ 的形式，其中＄a$ 和＄b$ 都是实数，＄i$ 是虚数单位，满足＄i^2 ＝－1$ 。
实数＄a$ 被称为复数的实部，记作＄Re(z)＄；实数＄b$ 被称为复数的虚部，记作＄Im(z)＄。
例如，＄3 ＋ 2i$ 就是一个复数，其中实部为＄3$，虚部为＄2$。
二、复数的模对于复数＄z ＝ a ＋ bi$，它的模记作＄｜z|＄，定义为：＼｜z| ＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2}＼复数的模表示复数在复平面上对应的点到原点的距离。
例如，对于复数＄z ＝ 2 ＋ 3i$，其模为：＼｜z| ＝＼sqrt{2^2 ＋ 3^2} ＝＼sqrt{13}＼复数模的性质：1、非负性：对于任意复数＄z$，有＄｜z| ＼geq 0$，当且仅当＄z ＝ 0$ 时，＄｜z| ＝ 0$。
2、三角不等式：对于任意两个复数＄z_1$ 和＄z_2$，有＄｜z_1 ＋ z_2| ＼leq ｜z_1| ＋｜z_2|＄。
3、乘法性质：若＄z_1 ＝ a_1 ＋ b_1i$，＄z_2 ＝ a_2 ＋ b_2i$，则＄｜z_1z_2| ＝｜z_1|｜z_2|＄。
三、共轭复数对于复数＄z ＝ a ＋ bi$，其共轭复数记作＄＼overline{z}＄，定义为＄＼overline{z} ＝ a bi$。
也就是说，共轭复数的实部相同，虚部互为相反数。
例如，复数＄3 ＋ 2i$ 的共轭复数是＄3 2i$。
共轭复数的性质：1、＄z ＋＼overline{z} ＝ 2a$，即复数与其共轭复数的和为实部的两倍。
2、＄z ＼overline{z} ＝ 2bi$，即复数与其共轭复数的差为虚部的两倍乘以＄i$ 。
3、若＄z$ 是实数，则＄z ＝＼overline{z}＄；若＄z$ 是纯虚数，则＄z ＝＼overline{z}＄。
四、复数的模与共轭复数的关系1、对于复数＄z ＝ a ＋ bi$，有＄｜z|＾2 ＝ z\overline{z}＄。
《复数的概念》 讲义
《复数的概念》讲义一、什么是复数在我们的数学世界中，数的概念不断发展和扩充。
从最初的自然数，到整数、有理数，再到实数。
而复数的出现，则为数学的领域打开了一扇新的大门。
那么，究竟什么是复数呢？简单来说，复数是形如 a ＋ bi 的数，其中 a 和 b 都是实数，i 是虚数单位，并且满足 i²＝－1。
这里的 a 被称为复数的实部，b 被称为复数的虚部。
当 b ＝ 0 时，复数 a ＋ bi 就变成了实数 a；当 a ＝ 0 且b ≠ 0 时，复数就变成了纯虚数 bi。
二、复数的表示方法1、代数形式正如前面所提到的，复数的代数形式就是 a ＋ bi，这是我们最常见也是最常用的表示方法。
2、几何形式在平面直角坐标系中，我们可以用点（a, b）来表示复数 a ＋ bi。
其中，横坐标 a 表示实部，纵坐标 b 表示虚部。
这样，复数就与平面上的点建立了一一对应的关系。
这个平面我们称为复平面，x 轴称为实轴，y 轴称为虚轴。
3、三角形式复数还可以表示为 r（cosθ ＋isinθ）的形式，其中 r ＝√（a²＋ b²) 称为复数的模，θ 称为复数的辐角。
这种表示方法在涉及复数的乘除运算时非常有用。
三、复数的运算1、加法和减法两个复数相加（或相减），就是实部与实部相加（或相减），虚部与虚部相加（或相减）。
例如：（a ＋ bi) ＋（c ＋ di) ＝（a ＋ c) ＋（b ＋ d)i（a ＋ bi) （c ＋ di) ＝（a c) ＋（b d)i2、乘法复数的乘法按照多项式乘法的法则进行，同时要记住 i²＝－1。
例如：（a ＋ bi)×（c ＋ di) ＝ ac ＋ adi ＋ bci ＋ bdi²＝（ac bd) ＋（ad ＋ bc)i3、除法为了进行复数的除法运算，我们通常先将分母实数化。
例如：（a ＋ bi)÷（c ＋ di) ＝（a ＋ bi)（c di)÷（c ＋ di)（c di)＝ ac ＋ bd ＋（bc ad)i÷（c²＋ d²)＝（ac ＋ bd)÷（c²＋ d²) ＋（bc ad)÷（c²＋ d²)i四、复数的应用1、在物理学中的应用在电学中，交流电路中的电压、电流等都可以用复数来表示，从而方便计算和分析。
【数学讲义】7.1复数的概念-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第二册讲义
高中数学必修第二册第七章复数（人教A 版2019）7.1复数的概念【基础梳理】 要点一、复数的概念我们把形如a bi +()R b a ∈,的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位. 全体复数梭构成的集合C={}R b a bi a ∈+,|叫做复数集，其中.1i 2-= 复数的分类对于复数a bi +【a ，b R ∈】，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=c=0时，它是实数0；当b ≠0时，它叫做虚数，当a ＝0且b ≠0时，它叫做纯虚数. 显然，实数集R,是复数集C 的真子集，即CR ≠⊂.复数相等的充要条件在复数集C={}R b a |bi a ∈+，中任取两个数a bi +，c di +【a ，b ，c ，d ∈R 】，规定：a bi +与c di +相等当且仅当a=c 且b=d ，即当且仅当两个复数的实部与实部相等，虚部与虚部相等时，两个复数才相等。
要点二、复数的几何意义 复数z=a+bi()b a Z ,复平面内的点一一对应−−−→←.这是复数的一种几何意义.复数的几何意义---与向量对应 复数z=a+bi→−−−→←OZ平面向量一一对应,这是复数的另一种几何意义.复数的模和共轭复数 1.向量→OZ模叫做复数z=a bi +,的模或绝对值，记作z或bia +.即z=bia +=22b a +，其中a,b ∈R ，z表示复平面内的点Z ()b a ,到原点的距离。
2.如果b=0，那么z=a bi+是一个实数a，它的模就等于a()的绝对值a.共轭复数的定义：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复.虚部不等于 0的两个共轭复数，也叫做共轭虚数.复数z的共轭复数用-z表示，即如果z=a+bi,那么-z=a-bi.特别地，实数a的共轭复数仍是a本身.共轭复数的几何意义：互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称.【课堂探究】例1.以的虚部为实部，以的实部为虚部的新复数是（）A. 2﹣2iB. 2+iC. ﹣+D. + i【答案】A【解析】解：的虚部为2，以=﹣2+ i的实部为﹣2，∴要求的新复数是2﹣2i，故选：A．【分析】利用实部与虚部的定义即可得出．例2已知z∈C，满足不等式的点Z的集合用阴影表示为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：设z=x+yi（x，y∈R），则，化为x2+y2+xi﹣y﹣xi﹣y=x2+y2﹣2y=x2+（y﹣1）2﹣1＜0，即x2+（y﹣1）2＜1，故选：C．【分析】设z=x+yi（x，y∈R），代入，化简即可得出．【课后练习】1.已知复数是纯虚数，则实数（）A. -2B. -1C. 0D. 1【答案】 D【解析】，因为为纯虚数且为实数，故，故，故答案为：D【分析】由题意利用纯虚数的定义，求得m的值。
复数及其运算-讲义(学生版)
复数及其运算一、课堂目标1．熟练掌握复数的相关概念及其几何意义并能熟练运用在解题中．2．熟练掌握复数代数形式的四则运算并会运用在解题中．3．掌握实系数一元二次方程两根的关系并会应用在解题中．4．理解复数的三角形式并能进行相关运算．二、知识讲解1. 复数的概念知识精讲（1）复数的概念形如的数叫复数.其中叫做虚数单位.（）规定：①复数中，把称为实部，称为虚部.②全体复数所形成的集合叫做复数集.一般用字母表示.即.③复数通常可以用字母表示，记作，这一表示形式称为复数的代数形式.（2）复数的分类已知复数①当时，则，为实数；特别地，当，且时，为实数.②当时，为虚数；特别地，当，且时，为纯虚数.（3）复数的相等规定：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.若..知识点睛（1）复数的分类归纳：（2）且（3）一般地，两个复数只能判断是否相等，不能比较大小（只有两复数均为实数时才比较大小）复数实数虚数纯虚数非纯虚数经典例题1.的实部是，虚部是．A.B.或C.D.2.复数与复数相等，则实数的值为（）巩固练习3.已知，则，．经典例题（1）（2）（3）4.已知复数，当实数为何值时，为实数．为虚数．为纯虚数．A.或B.或C.D.5.若复数，则实数的值是（）巩固练习6.设（），当时，为实数；当时，为纯虚数．2. 复数的几何意义知识精讲（1）几何意义（一）——复平面内容：复数复平面内的点对几何意义（一）的解释，如下图：一方面，根据复数相等的定义，复数被它的实部与虚部唯一确定，即复数被有序实数对唯一确定；另一方面，有序实数对在平面直角坐标系中对应着唯一的点.因此，可以在复数集与平面直角坐标系的点集之间建立一一对应关系，即：复数复平面内的点.这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴．（2）共轭复数①概念：一般地，如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数.复数的共轭复数记为，因此，当时，有.②在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称；反之，如果表示两个复数的点在复平面内关于实轴对称，则这两个复数互为共轭复数.知识点睛要注意的地方：（1）“虚轴上的点都表示纯虚数”这种说法是错误的，原点必须除外；（2）复平面内各象限内的点均表示虚数；（3）复平面内点的坐标是，而不是.经典例题A. B.C. D.7.已知复数，则复平面内对应的点的坐标为（）．A. B.C.D.8.已知在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（）．巩固练习A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限9.复数，则在复平面内对应的点所在象限为（ ）．A. B.C.D.10.在复平面内，复数对应的点的坐标为（ ）．经典例题A.B.C.D.11.若复数的共轭复数是（）．A. B.C.D.12.在复平面内，复数对应的点是，则复数的共轭复数（ ）．巩固练习A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限13.设，则在复平面内对应的点位于（ ）．经典例题14.满足下列条件的复数对应的点的集合分别是什么图形？．巩固练习15.满足下列条件的复数对应的点的集合分别是什么图形？．知识精讲（2）几何意义（二）——复数的向量表示内容：复数平面向量对几何意义（二）的解释，如下图：因为平面直角坐标系中的点能唯一确定一个以原点为始点、为终点的向量，所以复数也可用向量来表示，这样一来也就能在复数集与平面直角坐标系中，以为始点的向量组成的集合之间建立一一对应关系，即：复数平面向量.知识精讲（3）复数的模一般地，向量的长度称为复数的模（或绝对值），复数的模长用表示，因此.特别地：①当时，②一般地，两个互为共轭复数的模相等，即经典例题A.B. C. D.16.已知为虚数单位，则（）．巩固练习A. B. C. D.17.设为虚数单位，则复数的模（）．经典例题18.若复数满足，则的最大值是．巩固练习19.设复数满足条件，那么的最大值是．3. 复数的运算——加减法知识精讲（1）复数的加法运算法则设，是任意两个复数，则有：．（2）复数的减法运算法则①复数的相反数：一般地复数记作，并规定②设，是任意两个复数，则有：知识点睛（1）加法的运算规律：交换律：结合律：（2）关于复数的模的结论经典例题20.若（，是虚数单位），则的值为．21.设为虚数单位，复数，，则．巩固练习22.复数，其中是虚数单位，则复数的虚部是．23.已知复数，满足：，则的值为．4. 复数的运算——乘除法知识精讲复数的乘法运算法则①乘法运算法则：设，是任意两个复数，则有：②的次方：个相同的复数相乘时，称为的次方（或的次幂），并记作.知识点睛（1）复数的乘法运算律对于任意的，有==（2）复数的乘方运算律即对于任何复数及正整数、，有、、经典例题24.是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为．25.若，，其中为虚数单位，且，则．巩固练习26.设复数满足行，且是纯虚数，则．经典例题A. B.C.D.27.复数等于（）．巩固练习28.复数．知识精讲复数的除法运算法则①除法运算法则：设，是任意两个复数②复数的倒数：一般地，给定复数，称为的倒数.除以的商也可以看成与的倒数之积.知识点睛同实数类似，可以定义非零复数的次幂与负整数次幂，即当为非零复数且是正整数时，规定：经典例题A. B.C. D.29.若(其中为虚数单位)，则复数的虚部是（）．30.已知复数（为虚数单位），则．巩固练习31.设复数满足（是虚数单位），则复数的虚部为．5. 实数系一元二次方程在复数范围内的解集知识精讲设一元二次方程为.当时，方程有两个不相等的实数根当时，方程有两个相等的实数根引入复数后，当时，方程有两个不相等的虚数根可以发现这两个虚数根是一对共轭复数.、、且知识点睛一元二次方程的两个共轭虚数根同样满足一元二次方程中根与系数的关系，即引入复数后，在复数集中，实系数的二次三项式总可以分解成两个一次因式的乘积，即经典例题A. B.C. D.32.若关于的实系数一元二次方程的一个根为，则这个一元二次方程可以是（ ）．巩固练习33.若是实系数一元二次方程的一个根，则．6.复数三角形式知识精讲（1）复数的三角形式复数可表示为，称为复数的三角形式．是复数的模．是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线为终边的角，称作复数的辐角.显然，任何一个非零复数的辐角都有无穷多个，而且任意两个辐角之间都相差的整数倍，并且在范围内的辐角的值称为复数的辐角主值，记作．经典例题A.B.C.D.34.已知，则复数的三角形式为（）．巩固练习（1）（2）（3）35.将下列复数表示为三角形式：知识精讲（2）复数乘法运算的三角表示及其几何意义①乘法运算的三角表示设，，．即两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和．②几何意义两个复数相乘时，如下图，先分别画出对应的向量，然后把向量绕点按逆时针方向旋转角，再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是积，这就是复数乘法的几何意义.知识点睛（1）复数乘法的几何意义可归纳为：模相乘，辐角相加（2）根据上述两个复数三角形式的乘法几何意义，可以推广到有限个复数的三角形式相乘，特别的，如果，则知识精讲（3）复数除法运算的三角表示及其几何意义①除法运算的三角表示设，，．即两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角被除数的辐角减去除数的辐角所得的差．②几何意义与乘法类似，还能得到两个复数相除的几何意义，例如，任意一个复数除以，从向量的角度来说，就相当于把这个复数对应的向量绕原点沿顺时针方向旋转.经典例题36.设，，则．巩固练习37.计算．11三、思维导图你学会了吗？画出思维导图总结本节课所学吧！四、出门测A.B. C. D.38.在复平面内，若所对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（ ）．A.的虚部为B.的共轭复数为C.D.在复平面内对应的点在第三象限内39.已知复数，则下列说法正确的是（ ）．40.已知复满足（其中为虚数单位），则 ．。
沪教版高中数学高二下册 -13.1复数的概念 课件
知识运用
例2 已知(2 x y ) i 1 (2 y )i,其中x, yR， 求 x, y 的值.
例3 当实数 x, y为何值时，复数 zx23x(y22y8)i等于4.
练习3：P75（3，4）
课堂小结
一、知识内容
（1）复数的相关概念 （2）复数相等的充要条件
二、思想方法
转化思想： 即复数问题实数化！
作业布置
练习册：13.1 A组
思考题：
在实数集中，两个实数之间存在几 种关系？那么在复数集中，两个复数之 间呢？
谢 谢 指 导！
4、年轻是我们唯一拥有权利去编织梦想的时光。 15.一个人幸运的前提，其实是他有能力改变自己。 13、如果刀刃怕伤了自己而不与磨刀石接触，就永远不会锋利。 3.任何的限制，都是从自己的内心开始的。 3.最能让人感到快乐的事，莫过于经过一番努力后，所有东西正慢慢变成你想要的样子！ 15.世上所有美好的感情加在一起，也抵不上一桩高尚的行动。 14、壮志与毅力是事业的双翼。 6、莫愁前路无知己，天下谁人不识君。 1. 只有经历过地狱般的磨砺，才能练就创造天堂的力量；只有流过血的手指，才能弹出世间的绝响。 5.成大事不在于力量多少，而在能坚持多久。 3、如果知道光阴的易逝而珍贵爱惜，不做无谓的伤感，并向着自己应做的事业去努力，尤其是青年时代一点也不把时光滥用，那我们可以武 断地说将来必然是会成功的。——聂耳 13.心若改变，你的态度跟着改变;态度改变，你的习惯跟着改变;习惯改变，你的性格跟着改变;性格改变，你的人生跟着改变。 8.有望得到的要努力，无望得到的不介意，无论输赢姿态都会好看。 8.说服自己、感动自己、征服自己，带着真诚感恩的心，勇敢地走完选定的生活道路，决不回头。 12、自信是成功的先决条件。 4.生活就像海洋，只有意志坚强的人，才能到达彼岸。 3、开启中考成功之门，钥匙有三。其一：勤奋的精神；其二：科学的方法；其三：良好的心态。 4. 不管从什么时候开始，重要的是开始以后不要停止；不管在什么时候结束，重要的是结束以后不要后悔。
第五章复数（讲义+典型例题）（原卷板）
第五章复数（讲义+典型例题）一．数系的扩充和复数的概念1.复数的定义：设i 为方程21x =-的根，i 称为虚数单位，形如()a bi a b R +∈、的数，称为复数.所有复数构成的集合称复数集,通常用C 来表示.a 为实部，b 为虚部2．复数集整 数有 理 数实数(0)分 数复 数(,)无理数(无限不循环小数)纯 虚 数(0)虚 数(0)非 纯 虚 数(0)b a bi a b R a b a ⎧⎧⎧⎪⎪⎨=⎨⎪⎩⎪⎪+∈⎨⎩⎪⎧≠⎪≠⎨⎪=⎩⎩例1（1）．（2021·浙江·绍兴市柯桥区教师发展中心模拟预测）已知a ∈R ，若复数2i z a a a =++（i 是虚数单位）是纯虚数，则=a （ ）A ．0B ．1C ．1-D ．2（2）．（2021·全国·模拟预测）设i 是虚数单位，则下列是虚数的是（ ） A ．fB ．gC ．hD ．i举一反三（1）．（2021·广东佛山·模拟预测）在复数范围内方程230x +=的解为（ ） A ．3i -B 3iC ．3i ±D ．3（2）．（2021·福建泉州·一模）已知i 是虚数单位，则“i a =”是“21a =-”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二．复数的几何意义1. 复平面在直角坐标系里，点z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数i z a b =+可用点(,)Z a b 来表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴为实轴，y 轴出去原点的部分称为虚轴．2.复数的坐标表示 点(,)Z a b3.复数的向量表示 向量OZ ．4.复数的模在复平面内，复数i z a b =+对应点(,)Z a b ，点Z 到原点的距离OZ 叫做复数z 的模，记作z ．由定义知，22z a b =+．例2（1）．（2021·四川自贡·一模（理））复数(3)i z a a =+-（a ∈R ，i 为虚数单位），在复平面内所对应的点在2y x =上，则||z =（ ） A ．3B ．5C ．7D ．10（2）．（2021·全国·模拟预测）已知i 是虚数单位，复数3i2iz -=+的共轭复数在复平面中对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限举一反三（1）．（山东省大教育联盟学校2021-2022学年高三下学期收心考试（开学考试）数学试题）已知a ∈R ，若在复平面内复数185i z =+与24i z a =+对应的两点之间的距离为4，则=a （ ）． A ．4B ．5C ．6D ．81（2）．（2022·河南濮阳·高三开学考试（理））已知复数z 满足34i z z =+，则=z （ ） A ．1B 5C 10D ．5复数bia z +=复平面 内的点 Z （a,b ）平面向量OZ（3）．（2022·上海市崇明区横沙中学高一期末）若复数(2)(2)i,(R)z m m m =++-∈在复平面上对应的点在第四象限，则m 的取值范围是__．(4)．（2022·江西上饶·高二期末（文））已知复数()()226832i z m m m m =-++-+，其中i 是虚数单位，m 为实数．(1)当复数z 为纯虚数时，求m 的值；(2)当复数i z ⋅在复平面内对应的点位于第三象限时，求m 的取值范围．三． 两个复数相等的定义：a bi c di a c +=+⇔=且b d =（其中a b c d R ∈，，，，）特别地，00a bi a b +=⇔==.例3（2022·浙江·模拟预测）设2,1i i a R a a ∈+=+（i 为虚数单位），则a ＝（ ） A ．－1B ．0C ．1D ．1或－1举一反三(1)．（2021江苏无锡·模拟预测）已知,x y R ∈，且32x i yi +=+，则,x y 的值分别为（ ） A ．21,3B ．3,1C ．2,13D ．1,3（2）（2021·河南·模拟预测（文））已知a 、R b ∈，()()()12i 131i a a b -+=-+-，则（ ）A ．2b a =-B ．2b a =C ．2a b =-D ．2a b =四．共轭复数若两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时，这两个复数叫互为共轭复数；特别地，虚部不为0的两个共轭复数也叫做共轭虚数；【注：两个共轭复数之差是纯虚数.（×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的]】若z=a+bi ，则z a bi =+的共轭复数记作z a bi =-；例4.（2019·全国·高考真题（理））设z =-3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限举一反三(1)．（2021·浙江·模拟预测）复数1i +（i 为虚数单位）的共轭复数在复平面中对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(2)．（2021·黑龙江·哈九中模拟预测（理））满足条件34z i i -=+的复数z 的共轭复数在复平面上对应的点所在象限是（ ） A ．一B ．二C ．三D ．四五．复数的加减运算 设111z a b i =+，222z a b i =+（1）加法：()()121212z z a a b b i +=+++，即实部与实部相加，虚部与虚部相加；几何意义： 设1i z a b =+对应向量1(,)OZ a b =，2i z c d =+对应向量2(,)OZ c d =，则12z z +对应的向量为12(,)OZ OZ a c b d +=++．因此复数的和可以在复平面上用平行四边形法则解释．例5（2020·上海普陀·三模）在复平面内，点()2,1A -对应的复数z ，则1z +=___________举一反三（1）．（2022·全国·高一课时练习）已知复数1234i,34i z z =+=-，则12z z +等于( ) A ．8i B ．6 C ．68i + D ．68i -（2）．（2022·全国·高一）如图所示，已知复数111i z a b =+，()2221122i ,,,z a b a b a b R =+∈所对应的向量()11,OA a b =，()22,OB a b =，它们的和为向量OC ．请根据两个向量相加的运算写出对应的复数运算过程．（2）减法：()()121212z z a a b b i -=-+-，即实部与实部相减，虚部与虚部相减；几何意义： 设1i z a b =+对应向量1(,)OZ a b =，2i z c d =+对应向量2(,)OZ c d =，则12z z -对应的向量为1221(,)OZ OZ Z Z a c b d -==--．2212()()i ()()z z a c b d a c b d -=-+-=-+-表示1Z 、2Z 两点之间的距离，也等于向量12Z Z 的模．例6（1）（2021·全国·高考真题（理））设()()2346z z z z i ++-=+，则z =（ ） A ．12i -B ．12i +C ．1i +D ．1i -（2）（2022·四川省高县中学校模拟预测（文））在复平面内，O 为原点，四边形OABC 是复平面内的平行四边形，且A ，B ，C 三点对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，若131,2i ==-+z z ，则z 2=（ ） A ．1+iB ．1－iC ．－1+iD ．－1－i举一反三（1）．（2022·河南·模拟预测（理））已知3225i z z -=-，则z =（ ） A ．2i - B ．2i + C ．2i --D ．2i -+（2）．（2021·山东章丘·模拟预测）复数z 1，z 2满足z 1∈R ，2121,2z i z z =+-z 1＝（ ） A ．1B ．2C ．0或2D ．1或2六、复数的乘除运算 设111z a b i =+，222z a b i =+（1）乘法：()()1212122112z z a a b b a b a b i ⋅=-++ ， 特别22z z a b ⋅=+；例7（1）．（2021·全国·高考真题）已知2i z =-，则()i z z +=（ ） A ．62i -B ．42i -C ．62i +D ．42i +（2）．（2019·北京·高考真题（理））已知复数z =2+i ，则z z ⋅= A 3B 5C ．3D ．5举一反三（1）．（2022·浙江·模拟预测）复数()i 2i z =-（i 为虚数单位）的共扼复数在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限（2）．（2022·山西临汾·一模（理））已知a ，R b ∈，i 是虚数单位.若i 3i a b +=-，则()2i b a -（ ） A ．106i +B ．86i -+C ．96i -D ．86i -（3）．（2022·四川攀枝花·二模（理））若复数()()2i 1i z b b R =+∈的实部与虚部相等，则b 的值为（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．2（2）除法c diz a bi+=+（,a b 是均不为0的实数）的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数，即分子分母同时乘以分母的共轭复数，然后再化简：()()22ac bd ad bc ic di c di a bi z a bi a bi a bi a b++-++-==⋅=++-+； （3四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。
上海高考数学复数知识点
上海高考数学复数知识点复数，作为高考数学中的一个重要概念，广泛应用于各个数学分支中。
对于上海高考来说，对复数的理解和应用是考生必备的数学知识之一。
本文将全面介绍上海高考数学中的复数知识点，帮助考生更好地掌握这一内容。
一、复数的引入1. 实数的不完备性在高中数学中，我们知道实数是由有理数与无理数构成的。
然而，即便是把这两类数合并在一起，仍然有些问题无法解决。
例如，方程x²=-1在实数范围内无解，这就引出了复数的概念。
2. 复数的定义复数由实部和虚部构成，形如a+bi。
其中，a为实数部分，bi为虚数部分，i为虚数单位，满足i²=-1。
复数可以用平面上的点表示，实部对应的是点在实轴上的投影，虚部对应的是点在虚轴上的投影。
二、复数的运算1. 加法和减法复数的加法就是实部相加，虚部相加。
例如，(3+2i)+(5+4i)=8+6i。
减法同理，即实部相减，虚部相减。
2. 乘法和除法复数的乘法则是根据分配律展开进行计算。
例如，(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。
复数的除法可以通过有理化的方法进行，具体推导与实数的除法类似。
3. 共轭复数一个复数的共轭复数由实部保持不变，虚部变号得到。
例如，对于复数a+bi，它的共轭复数为a-bi。
共轭复数的应用十分广泛，例如求复数的模、求复数的平方等等。
三、复数的性质和定理1. 关于复数的模复数的模是指复数到原点的距离，记作|z|。
对于复数a+bi，它的模为√(a²+b²)。
复数的模具有非负性、三角不等式和模的性质等特点。
2. 欧拉公式欧拉公式是数学中一条重要的公式，被广泛应用于各个领域。
它的表达形式为e^(ix)=cos(x)+isin(x)，其中e表示自然对数的底，i为虚数单位，x为实数。
3. 复数根的性质对于复数z的n次方根，一共有n个解。
这些解在平面上均匀分布在一个圆周上，称为复数单位圆。
复数根的求解可以利用欧拉公式和三角函数理论来处理。
高中数学复数讲义.教师版
知识内容一、复数的概念1．虚数单位i:（1）它的平方等于，即；1-21i =-（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立．（3）i 与－1的关系:i 就是的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是-i ．1-21x =-21x =-（4）i 的周期性：， ， ， ．41n i i +=421n i +=-43n i i +=-41n i =2．数系的扩充：复数(0)i i(0)i(0)i(0)a b a b b a a b b a b a =⎧⎪+=⎧⎨+≠⎨⎪+≠⎩⎩实数纯虚数虚数非纯虚数3．复数的定义：形如的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部．全体复数所成的集合叫做i()a b a b +∈R ，a b 复数集，用字母表示C 4．复数的代数形式:通常用字母表示，即，把复数表示成的形式，叫做复数的代数形式．z ()z a bi a b R =+∈，a bi +5．复数与实数、虚数、纯虚数及的关系：0对于复数，当且仅当时，复数是实数；当时，复数()a bi a b R +∈，0b =()a bi a b R +∈，a 0b ≠叫做虚数；当且时，叫做纯虚数；当且仅当时，就是实数z a bi =+0a =0b ≠z bi =0a b ==z 0复数h i n6．复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C ÜÜÜÜ7．两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，如果，a ， ，，那么，a b d ，，c d ∈R i ia b c d +=+⇔a c =b d =二、复数的几何意义1．复平面、实轴、虚轴：复数与有序实数对是一一对应关系．建立一一对应的关系．点的横i()z a b a b =+∈R ，()a b ，Z 坐标是，纵坐标是，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来a b i()z a b a b =+∈R ，()Z a b ，表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴．实轴上的点都表x y 示实数．2．．对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为，它所确定的复数是()00，表示是实数．00i 0z =+=除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．3．复数复平面内的点z a bi =+←−−−→一一对应()Z a b ，这就是复数的一种几何意义．也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法．三、复数的四则运算1．复数与的和的定义：1z 2z 12z z +=()()i i a b c d +++=()()ia cb d +++2．复数与的差的定义：1z 2z 12z z -=()()i i a b c d +-+=()()ia cb d -+-3．复数的加法运算满足交换律:1221z z z z +=+4．复数的加法运算满足结合律:123123()()z z z z z z ++=++5．乘法运算规则：设，(、、、)是任意两个复数，1i z a b =+2i z c d =+a b c d ∈R 那么它们的积()()()()12i i izz a b c dac bd bc ad =++=-++其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把换成，并且把实部与2i 1-虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数．6．乘法运算律：（1）()()123123z z z z z z =（2）123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅（3）()1231213z z z z z z z +=+7．复数除法定义：满足的复数(、)叫复数除以复数的商，记为：()()()i i i c d x y a b ++=+x yi +x y ∈R a bi +c di +或者()()a bi c di +÷+a bi c di++8．除法运算规则：设复数 (、)，除以 (，)，其商为（、)，i a b +a b ∈R i c d +c d ∈R i x y +x y ∈R 即∵()(i)i i a b c d x y +÷+=+()()()()x yi c di cx dy dx cy i ++=-++∴()()i icx dy dx cy a b -++=+由复数相等定义可知解这个方程组，得cx dy a dx cy b -=⎧⎨+=⎩，2222ac bd x c d bc ad y c d +⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，于是有: ()(i)i a b c d +÷+2222ac bd bc adic d c d +-=+++②利用于是将的分母有理化得：()()22i i c d c d c d +-=+iia b c d ++原式22i (i)(i)[i (i)]()ii (i)(i)a b a b c d ac b d bc ad c d c d c d c d ++-+⋅-+-===++-+．222222()()i i ac bd bc ad ac bd bc adc d c d c d++-+-==++++∴(()(i)i a b c d +÷+=2222iac bd bc adc d c d +-+++点评:①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数与复数，它们之积i c d +i c d --为是有理数，而是正实数．所以可以分母实数化． 把这种方法叫做分1()()22c di c di c d +-=+母实数化法．9．共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。
数学基础讲义-第九章复数
第九章复数复数是对实数域拓展得到的新的数域，然而复数其实并不算是全新的概念，它与已经学习的实数和向量都有直接联系。
根据实数的运算进一步推广即可得到复数的性质和运算规律；复数与向量在形式上具有诸多相同点并能建立起对应关系。
复数也具有显著的“数形结合”的特点，通过虚数单位i将“数”与“形”更加直接地结合了起来。
高中阶段对复数的学习和考察的内容较为基本，可以将学习本章当作对代数运算与向量知识的复习。
一、虚数与复数从用于计数的自然数开始，先根据加法和减法拓展到整数，再根据乘法和除法拓展到有理数，又根据乘方和开方拓展到实数，现在进一步拓展到复数。
1.1 实数与虚数解一元二次方程时，根据各项系数可以判断方程根的情况。
对于一元二次方程20ax bx c（0a ）配方得：2224 (24b b ac xa a等式左边是完全平方数，恒大于等于0，由此可得：若240b ac，则方程有2个不同的实根。
若240b ac，则方程有2个相同的实根，或称只有1个实根。
若240b ac，则方程有没有实根。
为了令一元二次方程总是有解，现在规定根号内也可为负数，即：虚数。
现在只简单生硬地规定：对于虚数的具体含义，接下来将根据该规定，结合具体运算进行推导。
为方便地表示虚数，再引入一个新的单位：虚数单位，一般用符号i 表示。
其定义式为：i将实数的乘法运算作用于虚数单位i 。
任意虚数都可以用一个实数与虚数单位i 的乘积表示：5i根据虚数单位的定义i ，可得到关于i 的一系列运算规律：221i321i i i i i4242()(1)1i i即：对于任意k Z ，都有：41k i ，41k i i ，421k i ，43k i i 虚数的表示方式也适用于实数，只是通常被省略了。
若将“1”看作“实数单位”，即：1 。
“实数单位”“1”1 。
可以将实数和虚数看作分别属于两个不同“空间”的数，实数以1）为单位，在“实在”的空间内；i ）为单位，在“虚拟”的空间内。
高中数学课件-复数及其三角形式(讲义)
【知识要点】1.虚数单位引入一个新数i ，叫做虚数单位，规定：21i =-。
0a ≥a R ∈。
2.复数集及其分类形如(),a bi a b R +∈的数称为复数，复数集用字母C 表示。
只有实数之间才能比较大小。
复数()(0),(0,0)(0)(0,0)b a bi a b R a b b a b =⎧⎪+∈=≠⎧⎨≠⎨⎪≠≠⎩⎩实数纯虚数虚数非纯虚数的虚数3.复数的实部、虚部、共轭、模对于(),z a bi a b R =+∈，a 叫做复数z 的实部，记作Re z ；b 叫做复数z 的虚部，记作Im z 。
对于(),z a bi a b R =+∈，定义它的共轭复数z a bi =-。
对于(),z a bi a b R =+∈，定义它的模z = 复数相等的充要条件(),a bi a b R +∈与(),c di c d R +∈相等的充要条件是a c =且b d =4.复数的运算加减法：()()()()a bi c di a c b d i +++=+++，()()()()a bi c di a c b d i +-+=-+- 乘除法：()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++，()22220a bi ac bd bc adc di i c di cd c d++-+≠=++++ 把()n n N+∈个z 相乘记作nz，定义()1,0nn zn N z z-+=∈≠，定义()001z z ≠= n 次方根若(),2n x z n N n +=∈≥，则称x 为z 的n 次方根。
2次方根又称平方根，3次方根又称立方根。
非零复数在复数域内有n 个n 次方根。
复数及其三角形式【例题1】若()23f z z z i =+-，0()63f z i i +=-，试求0()f z -．【例题2】若()220,0x xy y x y ++=≠，求20182018x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭【例题3】设z 为复数，且0z z -≠，2r z z+∈R ，0r >，证明：z r z r -+是纯虚数．【例题4】设z 是虚数，1w z z=+是实数，且12w -<<． ⑴求z 的值及z 的实部的取值范围；⑵设11zu z-=+，求证：u 为纯虚数；⑶求2w u -的最小值．【例题5】（1）12122,3,4z z z z ==+=，求1122,z z z z -（2）2z z z R z-=∈，求z【例题6】（1）设复数1z ，2z 满足12120z z A z A z ⋅+⋅+⋅=，其中A =12z A z A +⋅+的值．（2）已知复数12,z z 满足122,3z z ==；12632(3)5z z i -=+；试求12z z 的值；【例题7】k R ∈，z C ∈ ，1z =，求21z kz ++的最大值【例题8】复平面单位圆上四个不同点1234,,,Z Z Z Z 对应的复数是1234,,,z z z z ，12340z z z z +++=，求证：1234,,,Z Z Z Z 四个点组成的图形为矩形。
2025届高考数学一轮复习——复数讲义
2025届高考数学一轮复习——复数讲义【高考考情分析】复数是高考的必考内容，多出现在选择题中，近几年多选题、填空题形式也有考查，试题较为简单，属于送分题，主要考查复数的概念和复数的四则运算.【基础知识复习】1.复数的有关概念（1）复数相等：i i a b c d a c +=+⇔=且b d =(,,,)a b c d ∈R .（2）共轭复数：i a b +与i c d +共轭a c ⇔=且b d =-(,,,)a b c d ∈R .（3）复数的模：复数i(,)z a b a b =+∈R 对应的向量OZ 的模叫做z 的模，记作||z 或|i |a b +，即|||i |z a b =+=2.复数的几何意义（1）复数i(,)z a b a b −−−−→=+∈←−−−−R 一一对应复平面内的点(,)Z a b . （2）复数i(,)z a b a b −−−−→=+∈←−−−−R 一一对应平面向量((0,0),(,))OZ O Z a b . 3.复数的加、减、乘、除运算法则设12i,i(,,,)z a b z c d a b c d =+=+∈R ，则（1）加法：12(i)(i)()()i z z a b c d a c b d +=+++=+++；（2）减法：12(i)(i)()()i z z a b c d a c b d -=+-+=-+-；（3）乘法：12(i)(i)()()i z z a b c d ac bd bc ad ⋅=+⋅+=-++；（4）除法：122222i (i)(i)i(i 0)i (i)(i)z a b a b c d ac bd bc ad c d z c d c d c d c d c d++-+-===++≠++-++. 4.复数加法的运算律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何123,,z z z ∈C ，有1221z z z z +=+，123123()()z z z z z z ++=++.5.复数加、减法的几何意义（1）复数加法的几何意义若复数12,z z 对应的向量12,OZ OZ 不共线，则复数12z z +是以12,OZ OZ 为两邻边的平行四边形的对角线OZ 所对应的复数.（2）复数减法的几何意义复数12z z -是1221OZ OZ Z Z -=所对应的复数.6.复数乘法的运算律：对于任意123z z z ∈C ，，，有交换律：1221z z z z =；结合律：123123()()z z z z z z =；乘法对加法的分配律：1231213()z z z z z z z +=+.【重点难点复习】1.复数的模的运算性质（1）1212z z z z ⋅=⋅；（2）()112220z z z z z =≠； （3）()11n n z z n *=∈N .2.共轭复数的相关运算（1）z z z =⇔为实数，0z z +=且0z z ≠⇔为纯虚数；（2）2222||||zz z z a b ===+；（3）2z z a +=，2i z z b -=；（4）1212z z z z ±=±，1212z z z z ⋅=⋅，()112220z z z z z ⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭. 【基本方法与技能复习】求解复数相关问题的技巧（1）复数的分类、复数相等、复数的模、共轭复数的概念都与复数的实部和虚部有关，所以解答与复数概念有关的问题时，需先把所给复数化为i()a b a b +∈，R 的形式，再根据题意列方程（组）求解.（2）求复数的模时，直接根据复数的模的公式和性质进行计算.（3）复数问题实数化是解决复数问题最基本也是最重要的方法.（4）在复数的四则运算中，加、减、乘运算按多项式运算法则进行，把含有虚数单位i 的项看作一类同类项，不含i 的项看作另一类同类项；除法运算则需要分母实数化，解题中注意要把i 的幂化成最简形式.（5）由于复数、点、向量之间存在一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.【典型例题复习】1i =+，则z =( ) A.1i -- B.1i -+C.1i -D.1i + 2.【2024年新课标Ⅰ卷】已知1i z =--，则||z =( )3.【2023年新课标Ⅰ卷】已知1i 22i z -=+，则z z -=( ) A.i - B.i C.0 D.14.【2023年新课标Ⅰ卷】在复平面内，(13i)(3i)+-对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.【2022年新高考Ⅰ卷】若()i 11z -=，则z z +=( )A.-2B.-1C.1D.26.【2022年新高考Ⅰ卷】(22i)(12i)+-=( )A.24i -+B.24i --C.62i +D.62i - 答案以及解析1.答案：C1i =+，所以(1)(1i)z z =-+，即1i i z z z =-+-，即i 1i z =+，所以1i (1i)(i)1i i i(i)z ++-===--，故选C.1=+=11i 11i (1i)(1i)22z --==-+-11i 22=+=所以z =21i 1i=-+，故选C. 2.答案：C解析：|||1i |z =--==3.答案：A解析：因为1i(1i)(1i)2i1i22i2(1i)(1i)42z----====-++-，所以1i2z=，即iz z-=-.故选A.4.答案：A解析：(13i)(3i)3i9i368i+-=-++=+，在复平面内对应的点的坐标为(6,8)，位于第一象限，故选A.5.答案：D解析：因为i(1)1z-=，所以111iiz=-=+，所以1iz=-，所以(1i)(1i)2z z+=++-=.故选D.6.答案：D解析：(22i)(12i)24i2i462i+-=-++=-，故选D.。
沪教版高中数学高二下册第十三章13.1复数的概念 课件 (共26张PPT)
思考？
i是虚数单位，3是实数， 将3与i进行加、减、乘、除运算， 会产生哪些形式的“新数”？
3 i,3 i,i 3,i 3,3i, i 等 3
这些“新数”能用一种 统一的形式表示吗？
a bi
16:02
复数的概念
定义：把形如a+bi的数叫做复数 （a,b 是实数）
其中i叫做虚数单位 复数全体组成的集合叫复数集，记作C
(2x 1) i y (3 y)i
2x 1 (3 y) 1 y
x
1 2
y 1
令y b（i b R且b 0) 代入（2x 1) i yi (3 y)
(2x 1) i bii (3 bi)
(2x 1) i bi2 (3 bi)
(2x 1) i b 3 bi
2 z m2 m 6 m2 2m 15 是虚数. m3
解：
2
m2
2m
15
0
m 3 0
m
5
m
3
0
m 3 0
m 5且m 3 m 3
m 5且m 3
m 5且m 3时,复数z是虚数.
3 z m2 m 6 m2 2m 15 是纯虚数. m3
m2 2m 15 0
《说数》
自然数
有理数
整数
实数
13.1复数的概念
提出问题
一元二次方程ax2 bx c 0,当=b2 -4ac 0时， 在实数范围内没有实数根.
回顾
x 1 0
2x 1 0
x2 2 0
负整数 分数
无理数
解决问题
一元二x 2次+方1程 x02 -x-21----0-x没12有实数根1．
思考？ 我们能否将实数集进行扩充，使得在
上海(沪教版)数学高二下学期同步辅导讲义教师版：第二讲复数的方根与实系数一元二次方程
沪教版数学高二下春季班第二讲课题 复数的方根与实系数一元二次方程单元第十三章 学科数学年级十一学习 目标1．掌握待定系数法求解复数的平方根和立方根；掌握1的立方根的相关性质，并能利用其进行化简与求值2．掌握实系数一元二次方程的解法，并会结合根的情况加以讨论3．理解复数模的几何意义，熟悉常见几何图形的复数表达式 重点 1．方根的求解与化简求值；2．实系数一元二次方程的解法与根的情况分析． 难点 实系数一元二次方程的解法与根的情况分析一、复数的平方根与立方根 1．复数的平方根的定义若复数1z ，2z 满足212z z =，则称1z 是2z 的平方根．2．复数的平方根的求法2()(,,,)a bi c di a b c c +=+∈R即利用复数相等，把复数平方根问题转化为实数方程组来求． 教学安排版块 时长1 知识梳理 302 例题解析 603 巩固训练 204 师生总结 10 5课后练习30复数的方根与实系数一元二次方程知识梳理3．复数的平方根的性质复数(0)z z ≠总有两个平方根1z ，2z ，且120z z +=（见图1）． 4．复数的立方根的定义类似的，若复数1z ，2z 满足312z z =，则称1z 是2z 的立方根．5．1的立方根 设复数1322i ω=-+，则21,,ωω都是1的立方根． 6．ω的性质 ①210ωω++=， ②31ω=， ③21322i ωω==--． 可运用这些性质化简相关问题（见图2）． 7．其他有用结论2(1)2i i -=-，2(1)2i i +=二、实系数一元二次方程实系数一元二次方程20(,,,0)ax bx c a b c a ++=∈≠R 中的24b ac ∆=-为根的判别式，那么（1）0∆>⇔方程有两个不相等的实根242b b aca-±-；（2）0∆=⇔方程有两个相等的实根2b a-； （3）0∆<⇔方程有两个共轭虚根242b ac b ia-±-，在（3）的情况下，方程的根与系数关系（韦达定理）仍然成立． 求解复数集上的方程的方法：（1）设(,)z x yi x y =+∈R 化归为实数方程来解决（化归思想）．（2）把z 看成一个未知数（而不是实部和虚部两个未知数），用复数的性质来变形（整体思想）． （3）对二次方程，直接用一元二次方程的求根公式（公式法）． 图1图2三、常见几何图形的复数表达式 复数1z ，2z 为定值，且12z z ≠．（1）线段12Z Z 的中垂线方程：12||||z z z z -=-； （2）以1Z 为圆心，半径为r 的圆方程：1||z z r -=； （3）以1Z 、2Z 为焦点，长轴长为2(0)a a >的椭圆方程：12||||2z z z z a -+-=（其中12||2z z a -<）； （4）以1Z 、2Z 为焦点，实轴长为2(0)a a >的双曲线方程：12||||||2z z z z a ---=（其中12||2z z a ->）．1、复数的平方根与立方根 【例1】求4-及86i -的平方根．【难度】★【答案】4-的平方根为2i 或2i -；86i -的平方根为3i -或3i -+ 【例2】计算：（1）615212(13)(13)112(1)22i i i i i ---⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；（2）50820028223(22)112313i i i i i i ⎛⎫-+++-++ ⎪ ⎪ ⎪-+-⎝⎭⎝⎭． 例题解析【注意】 （1）在复数集C 中的一元二次方程的求根公式和韦达定理仍适用，但根的判别式仅 在实数集上有效； （2）实系数一元二次方程在复数集中一定有根，若是虚根则一定成对出现； （3）齐二次实系数二次方程2211220(,,)az bz z cz a b c R ++=∈，将等式两端除以2z 后，将得到一个关于12zz 得实系数一元二次方程；（不作要求） （4）虚系数一元二次方程20(0ax bx c a a b c ++=≠，，，至少有一个为虚数）①判别式判断实根情况失效； ②虚根成对出现的性质失效； 如220x ix --=，虽然70∆=>，但该方程并无实根，不过韦达定理仍适用.【难度】★★【答案】（1）513；（2）247+【例3】记122ω=-+，求1ωω+，221ωω+． 【难度】★★ 【答案】11ωω+=-，2211ωω+=-【例4】已知等比数列123,,,,n z z z z L ，其中11z =，2z x yi =+，3z y xi =+（,,0x y x ∈>R ）． （1）求,x y 的值；（2）试求使1230n z z z z ++++=L 的最小正整数n ；（3）对（2）中的正整数n ，求123n z z z z g g gL g 的值． 【难度】★★【答案】（1）12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；（2）12n =；（3）1-．【巩固训练】1．复数34i +的平方根是 ．【难度】★ 【答案】(2)i ±+2．计算：（11996= ． （2）151512(1)(1)(1)i -=-+ ． 【难度】★ 【答案】（1）122-；（2）03．已知ω满足等式210ωω++=．（1）计算4(1)ωω++；304050ωωω++；224(1)(1)ωωωω-+-+；（2）求证：对任意复数u ，有恒等式33233(1)()()3(1)u u u u ωω+++++=+； （3）计算：21n n ωω++，*n ∈N ． 【难度】★★【答案】（1）1-；0；4；（2）略；（3）*2**33()1031()032()n n n k k n k k n k k ωω⎧=∈⎪++==-∈⎨⎪=-∈⎩N N N2、复数中的代数式和方程【例5】在复数范围内分解因式：2223x x ++ 【难度】★【答案】222223244x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-++=-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2x x ⎛=+- ⎝⎭⎝⎭【例6】复数z 满足方程210z z ++=，求()41z z ++的值 【难度】★★【答案】由210z z ++=得，211022z w z w w w ==-+=∴++=或 所以原式()()4428211w w ww w w w w =++=-+=+=+=-【巩固训练】1．若虚数z 满足327z =，则32315z z z +++的值为 ． 【难度】★★ 【答案】332．1≠ω，13=ω，求32302ωωω+++Λ的值.【难度】★★【答案】122i ω=-+时，原式=15-；122ω=--时，原式；3、实系数一元二次方程【例7】已知方程2350()x x m m -+=∈R ，求方程的解．【难度】★【答案】920m ∆=-当0∆>时，即920m <时，32x ±=；当0∆=时，即920m =时，32x =；当0∆<时，即920m >时，32i x ±=．【例8】已知βα,是实系数一元二次方程02=++c bx ax 的两个虚根，且2αβ∈R ，求βα的值．【难度】★★【答案】∵2αβ∈R ，∴2222ααβαββαβ=⇒=，即330αβ-=∴12αβ=-± 【例9】已知12,x x 是实系数方程20x x p ++=的两个根，且满足12||3x x -=，求实数p 的值． 【难度】★★ 【答案】14p ∆=-，（1）当0∆≥时，即14p ≤时，12,x x 是实根，∴12||3x x -==，即32p =⇒=-；（2）当0∆<时，即14p >时，12,x x 是共轭虚根，设1(,)x a bi a b =+∈R ，则2x a bi =-， ∴123|||2|2||32x x bi b b -===⇒=±，由1221x x a +==-，得12a =-．从而21215||2p x x x ===．综上，2p =-或52．【例10】已知,αβ是实系数一元二次方程230x mx -+=的两个根，求||||αβ+的值．【难度】★★【答案】212m ∆=-，（1）当0∆≥时，即m ≥m ≤-30αβ=>，∴||||||||m αβαβ+=+=；（2）当0∆<时，即m -<<||||2||αβα+===【例11】已知复数12,z z 满足1||2z =，2||1z =，12||2z z -=，求12z z ． 【难度】★★【答案】212121211121222||()()4z z z z z z z z z z z z z z -=--=⋅-⋅-⋅+⋅=， ∴12121z z z z ⋅+⋅=， ∴122211211z zz z z z z z ⋅⋅+⋅⋅=， ∴122141z zz z +=． 令12z t z =，则141t t+=， ∴240t t -+=，∴122t i =±，即1212z z =．【例12】（1）方程20()x px k p -+=∈R 有一个根为12i +，求实数k 的值； （2）方程240x x k -+=有一个根为12i +，求k 的值． 【难度】★【答案】（1）由题意：另一个根为12i -，∴(12)(12)5k i i =+-=； （2）由题意2(12)4(12)074i i k k i +-++=⇒=+．【例12】关于x 的方程2(2i)i 0x a b x a b --+-=有实根，且一个根的模是2，求实数a 、b 的值． 【难度】★★【答案】设()t t ∈R 是方程的一实根，则2(2)()i 0t at a bt b -++-=．则220,0t at a bt b ⎧-+=⎨-=⎩．（1）当0b =时，此方程为220x ax a -+=．①有实根，0∆≥即1a ≥或0a ≤． 当根为2时，440a a -+=．得43a =．当根为2-时，440a a ++=．得45a =-． ②有一对共轭虚根即01a <<．模为2，即有4a =（舍）．（2）当0b ≠时，则1t =，此时1a =．又因为模为2，所以b =所以4,30a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩或4,50a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩或1,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩1,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩【巩固训练】1．下列命题在复数集中是否正确？为什么？（1）若,,a b c ∈R ，0a ≠，且240b ac -≥，则方程20ax bx c ++=有两个实数根； （2）若,,a b c ∈R ，0a ≠，且12,x x 是方程20ax bx c ++=的两个根，则12b x x a +=-，12c x x a=； （3）若,,a b c ∈R ，0a ≠，且12,x x 是方程20ax bx c ++=的两个根，则221212||()x x x x -=-；（4）若,,a b c ∈R ，0a ≠，且α是方程20ax bx c ++=的根，则α也是方程的根． 【难度】★★【答案】（1）、（2）、（4）正确，（3）不正确2．若12,x x 为方程270x x -+=的两个根，则212||x x -= ．【难度】★★ 【答案】273．已知,0x y ≠且022=++y xy x ，求20092009()()x y x y x y+++的值. 【难度】★★【答案】14．关于x 的方程222(31)10x m x m --++=的两根为αβ、，且||||3αβ+=，求实数m 的值． 【难度】★★【答案】53m =-或m =5．设αβ、为方程220x x t ++=，（t ∈R ）的两个根，()||||f t αβ=+，（1）求()f t 的解析式；（2）证明关于t 的方程()f t m =，当2m >时恰有两个不等的根，且两根之和为定值． 【难度】★★【答案】（1）0()2,010t f t t t ⎧<⎪=<≤⎨⎪<⎩．．．（2）证明：函数()y f t =的图像关于直线12t =对称（证略） 当(1,)t ∈+∞时，()f t 为增函数，且()(2,)f t ∈+∞； 当(,0)t ∈-∞时，()f t 为减函数，且()(2,)f t ∈+∞．所以当2m >，方程()f t m =在区间(1,)+∞上有唯一解1t ，在区间(,0)-∞上也有唯一解2t ， 则121212t t +=⨯=．4、复数方程综合问题【例13】关于x 的二次方程2120x z x z m +++=中，1z ，2z ，m 都是复数，且21241620z z i -=+，设这个方程的两个根α、β满足||αβ-=||m 的最大值和最小值． 【难度】★★【答案】根据韦达定理有12z z mαβαβ+=-⎧⎨=+⎩∵22212()()444z z m αβαβαβ-=+-=-- ∴2212|()||4(4)|28m z z αβ-=--=．∴2121|(4)|74m z z --=，即|(45)|7m i -+=， 这表明复数m 在以(4,5)C 为圆心，7为半径的圆周上，∴max ||7m =，min ||7m =当5001,150log 22m t m t >⎧⎪<<⎨<-⎪⎩即2log 215050m t -<<．【例14】已知22016220160122016(1)x x a a x a x a x ++=++++g g g ，试求0362016a a a a ++++g g g 的值。
高中数学 复数 讲义
（A） （B） （C） （D）
练习1.复数 （ ）
A、 B、 C、 D、
练习2.复数
（A） （B） （C） （D）
例5.下面是关于复数 的四个命题：其中的真命题为（ ）
的共轭复数为 的虚部为
（C）
练习1.设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是( )．
A．若|z1－z2|＝0，则 B．若 ，则
思考： 实轴上的点都表示________，原点表示， 除了原点外虚轴上的点都表示 ___________.
在复平面内 对应的点______________， 对应的点______________，
实轴上的点 表示实数，虚轴上的点 表示纯虚数_____________，
虚轴上的点 表示纯虚数____________；
例3. 已知复数 的虚部为 ，在复平面内复数 对应的向量的模为2，求复数 .
练习1.已知 ，复数z的实部为a，虚部为1，则 的取值范围是
例4. 设复数 满足 ，则 =（ ）
A． B． C． D．
练习1.若复数z满足 ，则z=
【知识点梳理】
1．复数 与 的和的定义：
2．复数 与 的差的定义：
3．乘法运算规则：
练习1.若 是虚数单位， ，则 为（ ）
A.0B.1C.2D.3
例4. 已知 是虚数单位，复数 ，当 取何实数时， 是：
（1）实数 （2） 虚数 （3）纯虚数 （4）零
例5.已知复数 ，则实数x=
练习1.若不等式 成立，则实数
专题精讲
【知识点梳理】
1. 复数 与有序实数对 是一一对应关系；若点Z的横坐标是 ，纵坐标是 ，则复数 可用点 表示，其中这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， 轴叫做实轴， 轴叫做虚轴
沪教版(上海)数学高二下册-13.1复数的概念(课件)
解：由已知得：
x x
y 2x5 2y 3x y
x
y
3 2
2、已知 2x 1 i y 3 yi 其中x，
y∈R，求x与y
• 解：根据复数相等的定义，得方程组
2x 1 y
• 1 3 y
得
x
5 2
y 4
课堂练习：
1、(2015年高考)若集合A＝{i，i2，i3，i4}(i是 虚数单位)，B＝{1，－1}，则A∩B等于( C ) A.{－1} B.{1} C.{1，－1} D.∅
整数集
有理数集
实数集
分数
，
无理数
，
开 方，
+×
+× ÷
+×
+×
，
，
，
，
乘
乘
乘
乘
方
方
方
方
，
，
，
减
减
减
法
法
法
，
，
÷
，
探究问题二：数系扩充中，有什么共同特点？
①增添了新元素； ②原有的一些基本关系和运算法则在新数集里 仍能运用； ③新数集解决了原数集一些不能解决的问题.
类比推理的数学思想
自然数 整数 有理数 实数
是：
(1)实数 (2)虚数 (3)纯虚数 (4) 0
五、复数相等
探究问题四：如何定义两个复数相等？
如果两个复数的实部和虚部分别相等， 那么我们就说这两个复数相等．
若a,b,c,d ∈R,
,则 a+bi = c+di 反之,也成立.
转化化归和方程的思想，变未知为已知。
例题赏析(学生探究)
例2、已知 (x y) (x 2y) i (2x 5) (3x y) i 其中 x, y R ,求 与 ．
(完整版)上海高中数学-复数讲义
复数一、知识点梳理： 1、i 的周期性：44n+14n+24n+34ni =1，所以，i =i, i =-1, i =-i, i =1 n Z4n 4n 1 4n 2 4n 3IIIiC a bi | a,b R 叫做复数集。
3、 复数相等：a bi cdi a c 且b=d ； a bi 0 a 0且b=0实数(b=0)4、 复数的分类：复数Za bi 七—一般虚数(b 0,a 0)虚数(b 0)纯虚数(b 0,a 0)虚数不能比较大小，只有等与不等。
即使是3 i,6 2i 也没有大小。
uu uu r ------- r5、 复数的模：若向量OZ 表示复数 乙则称OZ 的模r 为复数z 的模，z |a bi | ,a 2 b 2 ；积或商的模可利用模的性质(1) z 1 L z nZ 1 Z 2 L Z n ,(2)引Z 2Z 2Z 26、 复数的几何意义：复数z a bi a,b R一一对应复平面内的点Z(a,b)一一对应uu复数Z a bi a,b R平面向量OZ , 7y 轴叫做虚轴.，实轴上的点都表示实数;除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数&复数代数形式的加减运算 复数 Z 1 与 Z 2 的和：z 1+z 2=(a +bi )+( c +di )=( a +c )+( b +d ) i . a, b, c, d R 复数 Z 1 与 Z 2 的差：z 1- z 2=( a +bi )-( c +di )=( a - c )+( b - d ) i . a, b, c, d R 复数的加法运算满足交换律和结合律数加法的几何意义： 复数乙=a +bi ，Z 2=c +di a,b,c,d R ； OZ = OZ 1 +OZ 2 =(a ，b )+( c ,d )=( a +c , b +d ) = (a +c )+( b +d ) iuu u uuur ujur复数减法的几何意义：复数Z 1-Z 2的差(a - c )+( b - d )i 对应•由于Z 2Z 1 OZ 1 OZ 2,两个复数的差Z — Z 1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应 9.特别地，z ABz B —Z A , z AB AB z B z A 为两点间的距离。
上海市高二下学期复数的概念及其运算
上海市高二下学期复数的概念及其运算【学习要点】1.把形如)(R b a bi a ∈+、的数叫做双数，用字母z 表示，即=z )(R b a bi a ∈+、， 其中a 叫做双数z 的实部，记作z Re ，b 叫做双数z 的虚部，记作z Im ，i 叫 做虚数单位，规则：12-=i . 双数全体所组成的集合叫做双数集，用字母C 表 示. 双数包括实数和虚数，规则12-=i .2.双数bi a z +=，事先0=b ，双数z 为实数；事先0≠b ，双数z 为虚数；当0=a 且0≠b 时，z 叫做纯虚数.3.假设两个双数bi a z +=1和di c z +=2相等，那么c a =且d b =.4.共轭双数：实部相等虚部相反的两个双数互为共轭双数，双数z 的共轭双数用 z 来表示，假定bi a z +=，那么bi a z -=.5.关于双数bi a z +=，我们把22b a +叫做双数z 的模.记z ，即=z 22b a +. 特别地，z z =.6.双数加减法：设bi a z +=1，di c z +=2，那么i d b c a z z )()(21±+±=±.7.双数乘除法：设bi a z +=1，di c z +=2，那么i ad bc bd ac z z )()(21++-=⋅；8.双数的乘方：n m n m z z z +=⋅，mn n m z z =)(，n n n z z z z 2121)(⋅=⋅.我们规则10=z ，)0(1≠=-z zz n n ，特别地，14=n i ；i i n =+14；124-=+n i ；i i n -=+34.9.双数的开方：它是乘方的逆运算，设bi a z +=1，di c z +=2，且满足21z z n=，即di c bi a n+=+)(，那么称1z 是2z 的一个n 次方根. 特别地，i ±是1-的一个立方根，1的立方根是1、i 2321±-. 10.双数的模的运算性质：①2121z z z z ⋅=⋅；②)0(22121≠=z z z z z ；11.共轭双数运算性质：①2121z z z z +=+，2121z z z z -=-；②)0(22121≠=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛z z z z z ；【例题解说与训练】例1.双数i 43+，i 2-，i ，2π，0，i 2.(1)指出它们哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？ (2)求出上述双数的模及它们的共轭双数. 〖变式训练1〗1.请说出双数i i 31,5,32--+的实部和虚部.2.双数 72+，618.0，i 72，0，i ，2i ，85+i ，i 293-中为实数的有 ，为虚数的有 ，为纯虚数有 .3.命题：①假定C z z ∈21,，且21z z =，那么21z z ±=；②假定R b a ∈,，且b a >， 那么bi ai >；③与自身共轭的双数一定是实数.其中正确的序号为 .例2.实数m 取何值时，双数i m m m m m z )65(3222++++-+=是〔1〕实数？〔2〕虚数？〔3〕纯虚数？〖变式训练2〗1.实数m 区分取什么值时，双数()i m m z 11-++=是(1)实数？(2)虚数？(3) 纯虚数？2.假定双数()()i m m m m 36522-++-为纯虚数，试务实数m 的值. 3.R b a ∈,,指出不等式i b a b i a b a )62(5)(2-++-->--+-成立的条件. 例3.计算：〔1〕)43()2()65(i i i +---+-=〔2〕)20182017()54()43()32()21(i i i i i -++-+-+-+- = 〖变式训练3〗 1.计算：〔1〕)65()43()21(i i i +--++=〔2〕i i i i i i i i 2018201765432-+⋅⋅⋅+-+-+-=2.命题：①假定两个虚数1z 、2z 的和是实数，那么1z 、2z 是共轭双数；②假定1z 、2z 是共轭双数，那么1z -2z 是纯虚数； 假定双数0=+z z ，那么z 是纯虚数.其中正确的序号是 .3.两个双数1z 和2z ，它们之和是i )21()12(-++，它们之差是+-)12( i )21(+，求1z 、2z .例4.双数1z 、2z 满足121==z z ，且i z z 232121+=+.求1z 、2z 的值. 〖变式训练4〗1.双数i z +=21，i z 212+=，那么双数12z z z -=在复平面内所表示的点位于〔 〕(A)第一象限 (B)第二象限 (C )第三象限 (D)第四象限2.复平面上三点C B A 、、区分对应双数i i 25,2,1+ ，那么由C B A 、、所构成的 三角形是〔 〕(A)直角三角形 (B)等腰三角形 (C)锐角三角形 (D)钝角三角形 3.设双数z 满足2=z ，求i z -的最大值及此时的双数z . 例5.1z 、2z 是双数，1)31(z i +为纯虚数，iz z +=212，且252=z ，求2z . 〖变式训练5〗1.双数z 满足i z i 34)21(+=+，那么z = .2.双数21iz i-=+在复平面内对应的点位于 ( ) 〔A 〕第一象限 〔B 〕第二象限 〔C 〕第三象限 〔D 〕第四象限3.假定将双数2i i +表示为a bi +(,a b R ∈)的方式，那么ab的值为( )（A ）2- 〔B 〕21- 〔C 〕2 〔D 〕21例6.设z 是虚数，zz 1+=ω是实数，且21<<-ω. （1）求z 的值及z 的实部的取值范围； （2）设zzu +-=11，求证：u 为纯虚数； （3）求2u -ω的最小值.〖变式训练6〗1.假定双数z 同时满足条件：①6101≤+<zz ；②z 的实部、虚部都是整数.求z . 2.假定双数z 满足1=z ，求证：R zz∈+21. 3.设C z ∈，求满足R zz∈+1且22=-z 的双数z . 例7.〔1〕201832ii i i +⋅⋅⋅+++= .〔2〕i 24143-的平方根是 . 〖变式训练7〗1.100432100432ii i i i +⋅⋅⋅++++= .2.i 247-的平方根是 .3.计算：n 为奇数时，求nn i i i i 22)11()11(+-+-+的值. 例8.设ω是1的立方虚根. (1)求ω；(2)求证：ωω=2； (3)求证：012=++ωω. 〖变式训练8〗1.ω是1的立方虚根，那么2018321ωωωω+⋅⋅⋅++++= . 2.ω为13=x 的一个虚根，那么)1)(1)(1)(1(842ωωωω++++= . 3.012=++x x ，那么504030x x x ++的值为= .例9.〔1〕双数4523213)23()()43(-++=i i z 的模为= .〔2〕设双数z 满足1=z ，求22+-z z 的最大值和最小值，并求相应的z .〖变式训练9〗1.双数2105)31()21()247()43(i i i i i z +--+---=的模为= . 2.假定C z z ∈21,，2121z z z z +是〔 〕（A ）纯虚数 〔B 〕实数 〔C)虚数 〔D 〕不能确定3.假定双数21,z z 满足31=z ，52=z ，721=-z z ，求21z z .例10.设双数21,z z 满足关系式02121=++z A z A z z ，其中A 为不等于0的双数. 求证：〔1〕221A A z A z =++；〔2〕Az Az A z A z ++=++2121. 〖变式训练10〗1.〔1〕C z z ∈21,，11=z ，求21211z z z z ⋅--的值；〔2〕假定双数321,,z z z 的模均为3，求321321111z z z z z z ++++的值. 2.21,z z 为非零双数，且满足2121z z z z -=+，求证：221⎪⎪⎭⎫⎝⎛z z 一定为正数.3.设双数21,z z 满足01222121=+-+⋅iz iz z z . 〔1〕假定i z z 212=-，求1z 和2z ； 〔2〕假定31=z ，求证：i z 42-为常数.。
高中数学竞赛讲义第十五章 复数【讲义】
第十五章 复数 一、基础知识1．复数的定义：设i 为方程x 2=-1的根,i 称为虚数单位,由i 与实数进行加、减、乘、除等运算.便产生形如a+bi （a,b ∈R ）的数,称为复数.所有复数构成的集合称复数集.通常用C 来表示. 2．复数的几种形式.对任意复数z=a+bi （a,b ∈R ）,a 称实部记作Re(z),b 称虚部记作Im(z). z=ai 称为代数形式,它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标,那么z 与坐标平面唯一一个点相对应,从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射.因此复数可以用点来表示,表示复数的平面称为复平面,x 轴称为实轴,y 轴去掉原点称为虚轴,点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标,复数z 又对应唯一一个向量.因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式,称为向量形式；另外设z 对应复平面内的点Z,见图15-1,连接OZ,设∠xOZ=θ,|OZ|=r,则a=rcos θ,b=rsin θ,所以z=r(cos θ+isin θ),这种形式叫做三角形式.若z=r(cos θ+isin θ),则θ称为z 的辐角.若0≤θ<2π,则θ称为z 的辐角主值,记作θ=Arg(z). r 称为z 的模,也记作|z|,由勾股定理知|z|=22b a +.如果用e i θ表示cos θ+isin θ,则z=re i θ,称为复数的指数形式.3．共轭与模,若z=a+bi,（a,b ∈R ）,则=z a-bi 称为z 的共轭复数.模与共轭的性质有：（1）2121z z z z ±=±；（2）2121z z z z ⋅=⋅；（3）2||z z z =⋅；（4）2121z z zz =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛；（5）||||||2121z z z z ⋅=⋅；（6）||||||2121z z z z =；（7）||z 1|-|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2|；（8）|z 1+z 2|2+|z 1-z 2|2=2|z 1|2+2|z 2|2；（9）若|z|=1,则zz 1=. 4．复数的运算法则：（1）按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致,运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数；（2）按向量形式,加、减法满足平行四边形和三角形法则；（3）按三角形式,若z 1=r 1(cos θ1+isin θ1), z 2=r 2(cos θ2+isin θ2),则z 1••z 2=r 1r 2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]；若21212,0r r z z z =≠[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)],用指数形式记为z 1z 2=r 1r 2ei(θ1+θ2),.)(212121θθ-=i e r r z z 5.棣莫弗定理：[r(cos θ+isin θ)]n=r n(cosn θ+isinn θ). 6.开方：若=n w r(cos θ+isin θ),则)2sin2(cosnk i nk r w n πθπθ+++=,k=0,1,2,…,n-1.7．单位根：若w n=1,则称w 为1的一个n 次单位根,简称单位根,记Z 1=ni n ππ2sin 2cos +,则全部单位根可表示为1,1Z ,1121,,-n Z Z .单位根的基本性质有（这里记k k Z Z 1=,k=1,2,…,n-1）：（1）对任意整数k,若k=nq+r,q ∈Z,0≤r ≤n-1,有Z nq+r =Z r ；（2）对任意整数m,当n ≥2时,有mn m m Z Z Z 1211-++++ =⎩⎨⎧,|,,|,0m n n m n 当当特别1+Z 1+Z 2+…+Z n-1=0；（3）x n-1+x n-2+…+x+1=(x-Z 1)(x-Z 2)…(x-Z n-1)=(x-Z 1)(x-21Z )…(x-11-n Z ).8.复数相等的充要条件：（1）两个复数实部和虚部分别对应相等；（2）两个复数的模和辐角主值分别相等.9．复数z 是实数的充要条件是z=z ;z 是纯虚数的充要条件是：z+z =0（且z ≠0）. 10.代数基本定理：在复数范围内,一元n 次方程至少有一个根.11．实系数方程虚根成对定理：实系数一元n 次方程的虚根成对出现,即若z=a+bi(b ≠0)是方程的一个根,则z =a-bi 也是一个根.12．若a,b,c ∈R,a ≠0,则关于x 的方程ax 2+bx+c=0,当Δ=b 2-4ac<0时方程的根为.22,1aib x ∆-±-=二、方法与例题 1．模的应用.例1 求证：当n ∈N +时,方程(z+1)2n +(z-1)2n=0只有纯虚根.例2 设f(z)=z 2+az+b,a,b 为复数,对一切|z|=1,有|f(z)|=1,求a,b 的值.2.复数相等.例3 设λ∈R ,若二次方程(1-i)x 2+(λ+i)x+1+λi=0有两个虚根,求λ满足的充要条件.3．三角形式的应用.例4 设n ≤2000,n ∈N,且存在θ满足(sin θ+icos θ)n=sinn θ+icosn θ,那么这样的n 有多少个？4．二项式定理的应用.例5 计算：（1）100100410021000100C C C C +-+- ；（2）99100510031001100C C C C --+-5．复数乘法的几何意义.例6 以定长线段BC 为一边任作ΔABC,分别以AB,AC 为腰,B,C 为直角顶点向外作等腰直角ΔABM 、等腰直角ΔACN.求证：MN 的中点为定点.例7 设A,B,C,D 为平面上任意四点,求证：AB •AD+BC •AD ≥AC •BD.6．复数与轨迹.例8 ΔABC 的顶点A 表示的复数为3i,底边BC 在实轴上滑动,且|BC|=2,求ΔABC 的外心轨迹.7．复数与三角.例9 已知cos α+cos β+cos γ=sin α+sin β+sin γ=0,求证：cos2α+cos2β+cos2γ=0.例10 求和：S=cos200+2cos400+…+18cos18×200.8．复数与多项式.例11 已知f(z)=c 0z n +c 1z n-1+…+c n-1z+c n 是n 次复系数多项式(c 0≠0). 求证：一定存在一个复数z 0,|z 0|≤1,并且|f(z 0)|≥|c 0|+|c n |.9.单位根的应用.例12 证明：自⊙O 上任意一点p 到正多边形A 1A 2…A n 各个顶点的距离的平方和为定值.10．复数与几何.例13 如图15-2所示,在四边形ABCD 内存在一点P,使得ΔPAB,ΔPCD 都是以P 为直角顶点的等腰直角三角形.求证：必存在另一点Q,使得ΔQBC,ΔQDA 也都是以Q 为直角顶点的等腰直角三角形.例14 平面上给定ΔA 1A 2A 3及点p 0,定义A s =A s-3,s ≥4,构造点列p 0,p 1,p 2,…,使得p k+1为绕中心A k+1顺时针旋转1200时p k 所到达的位置,k=0,1,2,…,若p 1986=p 0.证明：ΔA 1A 2A 3为等边三角形.三、基础训练题1．满足(2x 2+5x+2)+(y 2-y-2)i=0的有序实数对(x,y)有__________组. 2．若z ∈C 且z2=8+6i,且z3-16z-z100=__________. 3.复数z 满足|z|=5,且(3+4i)•z 是纯虚数,则 z __________.4．已知iz 312+-=,则1+z+z 2+…+z1992=__________.5.设复数z 使得21++z z 的一个辐角的绝对值为6π,则z 辐角主值的取值范围是__________. 6．设z,w,λ∈C,|λ|≠1,则关于z 的方程z -Λz=w 的解为z=__________.7.设0<x<1,则2arctan=+-+-+2211arcsin 11x x x x __________. 8.若α,β是方程ax 2+bx+c=0（a,b,c ∈R ）的两个虚根且R ∈βα2,则=βα__________. 9．若a,b,c ∈C,则a 2+b 2>c 2是a 2+b 2-c 2>0成立的__________条件.10．已知关于x 的实系数方程x 2-2x+2=0和x 2+2mx+1=0的四个不同的根在复平面上对应的点共圆,则m 取值的集合是__________.11．二次方程ax 2+x+1=0的两根的模都小于2,求实数a 的取值范围.12．复平面上定点Z 0,动点Z 1对应的复数分别为z 0,z 1,其中z 0≠0,且满足方程|z 1-z 0|=|z 1|,①另一个动点Z 对应的复数z 满足z 1•z=-1,②求点Z 的轨迹,并指出它在复平面上的形状和位置.13．N 个复数z 1,z 2,…,z n 成等比数列,其中|z 1|≠1,公比为q,|q|=1且q ≠±1,复数w 1,w 2,…,w n 满足条件：w k =z k +kz 1+h,其中k=1,2,…,n,h 为已知实数,求证：复平面内表示w 1,w 2,…,w n 的点p 1,p 2,…,p n 都在一个焦距为4的椭圆上. 四、高考水平训练题1．复数z 和cos θ+isin θ对应的点关于直线|iz+1|=|z+i|对称,则z=__________. 2.设复数z 满足z+|z|=2+i,那么z=__________.3．有一个人在草原上漫步,开始时从O 出发,向东行走,每走1千米后,便向左转6π角度,他走过n 千米后,首次回到原出发点,则n=__________.4.若12102)1()31()34(i i i z -+--=,则|z|=__________.5.若a k ≥0,k=1,2,…,n,并规定a n+1=a 1,使不等式∑∑==++≥+-nk k nk k k k k a aa a a 112112λ恒成立的实数λ的最大值为__________.6．已知点P 为椭圆15922=+y x 上任意一点,以OP 为边逆时针作正方形OPQR,则动点R 的轨迹方程为__________.7．已知P 为直线x-y+1=0上的动点,以OP 为边作正ΔOPQ(O,P,Q 按顺时针方向排列).则点Q 的轨迹方程为__________.8．已知z ∈C,则命题“z 是纯虚数”是命题“R zz ∈-221”的__________条件. 9．若n ∈N,且n ≥3,则方程z n+1+z n-1=0的模为1的虚根的个数为__________. 10．设(x2006+x2008+3)2007=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n x n,则2222543210a aa a a a --++-+…+a 3k -=++-++n k k a a a 222313__________. 11.设复数z 1,z 2满足z1•0212=++z A z A z ,其中A ≠0,A ∈C.证明： （1）|z 1+A|•|z 2+A|=|A|2； （2）.2121Az Az A z A z ++=++12．若z ∈C,且|z|=1,u=z 4-z 3-3z 2i-z+1.求|u|的最大值和最小值,并求取得最大值、最小值时的复数z.13.给定实数a,b,c,已知复数z 1,z 2,z 3满足⎪⎩⎪⎨⎧=++===,1,1||||||133221321z z z z z zz z z 求|az 1+bz 2+cz 3|的值.三、联赛一试水平训练题1．已知复数z 满足.1|12|=+zz 则z 的辐角主值的取值范围是__________. 2．设复数z=cos θ+isin θ(0≤θ≤π),复数z,(1+i)z,2z 在复平面上对应的三个点分别是P,Q,R,当P,Q,R 不共线时,以PQ,PR 为两边的平行四边形第四个顶点为S,则S 到原点距离的最大值为__________.3．设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为z 1,z 2,…,z 20,则复数1995201995219951,,,z z z 所对应的不同点的个数是__________.4．已知复数z 满足|z|=1,则|z+iz+1|的最小值为__________. 5．设i w 2321+-=,z 1=w-z,z 2=w+z,z 1,z 2对应复平面上的点A,B,点O 为原点,∠AOB=900,|AO|=|BO|,则ΔOAB 面积是__________. 6．设5sin5cosππi w +=,则(x-w)(x-w 3)(x-w 7)(x-w 9)的展开式为__________.7．已知(i +3)m =(1+i)n(m,n ∈N +),则mn 的最小值是__________.8．复平面上,非零复数z1,z2在以i 为圆心,1为半径的圆上,1z •z 2的实部为零,z 1的辐角主值为6π,则z 2=__________. 9.当n ∈N,且1≤n ≤100时,n i ]1)23[(7++的值中有实数__________个. 10．已知复数z 1,z 2满足2112z z z z =,且31π=Argz ,62π=Argz ,π873=Argz ,则321z z z Arg+的值是__________. 11．集合A={z|z 18=1},B={w|w 48=1},C={zw|z ∈A,w ∈B},问：集合C 中有多少个不同的元素？ 12．证明：如果复数A 的模为1,那么方程A ixix n=-+)11(的所有根都是不相等的实根（n ∈N +）. 13.对于适合|z|≤1的每一个复数z,要使0<|αz+β|<2总能成立,试问：复数α,β应满足什么条件？六、联赛二试水平训练题1．设非零复数a 1,a 2,a 3,a 4,a 5满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++===,)(41543215432145342312S a a a a a a a a a a a a a a a a a a 其中S 为实数且|S|≤2,求证：复数a 1,a 2,a 3,a 4,a 5在复平面上所对应的点位于同一圆周上. 2．求证：)2(2)1(sin 2sinsin1≥=-⋅⋅⋅-n nn n n nn πππ. 3．已知p(z)=z n+c 1z n-1+c 2z n-2+…+c n 是复变量z 的实系数多项式,且|p(i)|<1,求证：存在实数a,b,使得p(a+bi)=0且(a 2+b 2+1)2<4b 2+1.4．运用复数证明：任给8个非零实数a 1,a 2,…,a 8,证明六个数a 1a 3+a 2a 4, a 1a 5+a 2a 6, a 1a 7+a 2a 8, a 3a 5+a 4a 6, a 3a 7+a 4a 8,a 5a 7+a 6a 8中至少有一个是非负数.5．已知复数z 满足11z 10+10iz 9+10iz-11=0,求证：|z|=1. 6.设z 1,z 2,z 3为复数,求证：|z 1|+|z 2|+|z 3|+|z 1+z 2+z 3|≥|z 1+z 2|+|z 2+z 3|+|z 3+z 1|.。
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复数一、知识点梳理： 1、 i 的周期性：4 4n+1 4n+2 4n+3 4ni =1 ，所以， i =i, i =-1, i =-i, i =1 n Z4n 4n 1 4n 2 4n 3i i i iC a bi |a,b R 叫做复数集。
N Z Q R C.3、复数相等： a bi c di a c 且b=d ； a bi 0 a 0且b=0实数 (b=0)4、复数的分类： 复数 Z a bi 一般虚数 (b 0,a 0) 虚数 (b 0)纯虚数 (b 0,a 0)虚数不能比较大小，只有等与不等。
即使是 3 i,6 2i 也没有大小。
uur uur5、复数的模：若向量 OZ 表示复数 z ，则称 OZ 的模 r 为复数 z 的模， z |a bi| a 2 b 2；8、复数代数形式的加减运算 复数 z 1与 z 2的和：z 1+z 2=( a +bi )+( c +di )=( a +c )+( b +d )i . a, b, c, d R复数 z 1与 z 2的差： z 1- z 2=( a +bi )-( c +di )=( a - c )+( b -d )i . a, b, c, d R 复数的加法运算满足交换律和结合律数加法的几何意义： 复数 z 1=a +bi ，z 2=c +di a, b,c, d R ；OZ = OZ 1 +OZ 2 =( a ，b )+( c ， d )=( a +c ，b +d ) ＝( a +c )+( b +d )iuurur uuuur uuuur复数减法的几何意义：复数 z 1- z 2的差( a － c )+( b －d )i 对应 由于 Z 2Z 1 OZ 1 OZ 2 ，两个 复数的差 z －z 1 与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应 .9. 特别地， z u A u B urz B － z A. ， z u A u B urAB z B z A 为两点间的距离。
|z z 1 | |z z 2 |z 对应的点的轨迹是线段 Z 1Z 2的垂直平分线； |z z 0| r ， z 对应的点的2 、复数的代数形式： a bi a,b R ， a 叫实部，b 叫虚部，实部和虚部都是实数。
积或商的模可利用模的性质( 1) z 1 L z n z 1z2Lzn，(2)z 1z 1z2z2z26、复数的几何意义：复数 z a bi a,b R一一对应复平面内的点 Z(a,b)一一对应uur复数 Z a bi a,b R平面向量 OZ ，7、复平面： 这个建立了直角坐标系来表示复数的坐标平面叫其中 x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴 ，实轴上的点都表示实数； 除了原点外， 虚轴上的点都表示纯虚数轨迹是一个圆；|z z 1| |z z 2 | 2a Z 1Z 2 2a ， z 对应的点的轨迹是一个椭圆；11、复数的乘除法运算： 复数的乘法： z 1z 2= ( a +bi )( c +di )=( ac －bd )+( bc +ad ) i . a, b,c, d R复数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律。
实数集 R 中正整数指数的运算律 ,在复数集 C 中仍然成立 .即对 z ,z ,z ∈C 及m,n ∈N 有: 123 m n m+n mn mn n nnz z =z , (z ) =z , (z z ) =z 1 2 1 z.2复数的除法： z 1(a+bi) a bi ac bd bc ad a,b, c, d R ，分母实(c+di)= =2 2 2 iz2 cdi c2d2 cd2数化是常规方法12、共轭复数：若两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时，这两个复数叫互为共轭复数；特别地，虚部不为 0 的两个共轭复数也叫做共轭虚数；R ， 两 共 轭 复 数 所 对 应 的 点 或 向 量 关 于 实轴 对 称 。
z |z| a2b 215、实系数一元二次方程的根问题：(1)当 b 24ac 0时，方程有两个实根 x 1,x 2。
(2)当 b 24ac 0 时，方程有两个共轭虚根，其中 x 1 x 2|z z1 | |z z2 | 2a Z 1Z 2 2a ， z 对应的点的轨迹是双曲线。
10、显然有公式： z1z1z22 z 2z1z1z2 2z 2z1z2 22 z 1 22 z 2z a bi,z a bi a,b 2222z z a b R,z z zz ， z 1 z 2z 1 z 2 z 1 z 2 , z 1z 2z 1 z 2113、熟记常用算式： i ，(1 i)22i ， (1 i)22i ，11 i1i i ，221)①(1 i)2 2i ② (1 i)21 ii 1 i2i③1 i ④ 1 i2)“1”的立方根13i 2 2 的性质：32① 31 ② 2③10④111⑤z 2二、典例分析：（1+i ） 2例 1．（1）复数 等于 （1－i解：已知 Z iZ 2i Z 2i1i(3)设 a 、b 、c 、d ∈R ，则复数 ( a +b i)( c +d i) 为实数的充要条件是A. ad －bc =0B. ac － bd =0C. ac +bd =0D. ad +bc =0此时有x 1 x 2x 1x 2 c且 x 1,2abi 2a注意两种题型： （1） x 1 x 2 (2) x 1 x 2 虚系数一元二次方程有实根问题： 韦达定理。
不能用判别式法， 般用两个复数相等求解。
但仍然适用已知 x 2 x1是实系数一元二次方程 ax 2bx c0 的两个根，求 x 2 x 1的方法：1）b 24ac 0时，x 2 x 12(x 1 x 2 )4x 1x 2b 24ac(2)当 2b 24ac 0x2x1(x 1 x 2 )24x 1x 24ac b 22axbx c 0 的两个根，求 x 2 x 1 的方法：（1） 当 b2 4ac 0时 ①x 1x 2 0,即 c0 ， a 则 ②x 1x 20,即 c 0， a 则 （2）当 b2 4ac时，x 1 x 1 x 1 x 2x 1 x 2 (x 1 x 2)24x 1x 2b 24ac2 x 1 A.1 － i B.1+i (1+i) 22i解析: 复数1－i =i(1 i) 1iC.－ 1+ i D. － 1－ i i ，选 C ． 2）若复数 z 同时满足 z － z ＝2i ， z ＝ iz （ i 为虚数单位） ，则 z ＝ x 2 x 2 x2x1已知 x 1,x 2 是实系数一元二次方程2 x 1 x 2轨迹是一个圆；|z z1| |z z2 | 2a Z1Z2 2a ， z 对应的点的轨迹是一个椭圆；解析：(1)a,b,c R,复数(a bi)(c di)=(ac bd) (ad bc)i 为实数，∴ ad bc 0，x2选 D ；（4）已知 m1i 1 ni ，其中 m ， n 是实数， i 是虚数单位，则 m ni （）(A)1+2i (B) 1－ 2i(C)2+i(D)2 －i解析m1ni m 1 n 1 ni ，由 m、 n 是实数，得 1 n0，1i1n m∴n 1m ni 2i ，故选择 C 。
m2（5） 设 x, y 为实数，且xy5，则x y。
1 i1 2i 1 3i解析x y x(1 i) y(1 2i) (x y) (x 2y )i ，1 i 1 2i 25 25 2 5而 5 5(1 3i) 13 i 所以 x y1且x 2y 3 ，解得 x ＝－ y ＝5，1 3i 10 2225 22 5 2所以 x ＋ y ＝ 4。
点评本题考查复数的运算及性质，基础题。
例 2： （1）计算2 3 i1996 21 2 3i1i答案： 1 i（2） 设复数 z 满足关系 z |z | 2 i ，求 z ；解：设 z=a+bi （ a,b 为实数），由已知可得a bia 2b 22 i由复数相等可得： a a 222 b 2 2，解得 a3 ,b 1，所以 z 3ib 14 4设 z=a+bi-x+yi （ a,b 为实数）复数问题实数化。
（3） 若 x C ，解方程 | x| 1 3i x解：设x=a+bi （a,b ∈R ）代入条件得 : a 2 b 2 1 a （3 b ）i ,由复数相等的定义可得：22a b 1 a, ∴a=－ 4， b=3，∴ x=－ 4+3i 。
3 b 022例 3：（1） 复数 z 满足|z i|2|z i|21，则 z 对应的点在复平面内表示的图形为（ A ）A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．抛物线 解：令 z=x+yi （ x ，y ∈R ），则 x 2+（y+1） 2－[x 2+（y －1） 2]=1 ，∴ y=1/4 。
故选 A 。
（2）设复数 z满足：|z 3 3i | 3 ，求|z| 的最大值与最小值；x2解： |z| 的最大值为 3 3 ，最小值为 3 ；－ 2|=1 且复数 z － 2 对应的点落在直线 y=x 上，求 z 。
3）已知 z ∈ C ，|z 解：设 z －2=a+ai ， ∵|z －2|=1 ，∴ a 2，2，2i 或 z 2 222 i 。
【思维点拨】 从整体出发利用条件， 复杂。
可简化运算，本题也可设 z=a+bi 再利用条件，但运算 (4) 设z C,1 |z| 2 ，则复数 u z （1 i ） ，在复平面内对应的图形面积为解：∵ |u|=| z | ?|1+i|= 2 |z| ，∴ 2 ≤|u| ≤ 2，故面积 S=[22 ( 2) 2] 2 。
思维点拨】复数问题实数化是处理复数问题的常用方法。
例 4： 已知 z=1+i ， a ， b 为实数， (1) 若ω =z 2+3 z －4,求| ω|;2(2) 若 z2az b1 i ，求 a ，b 的值。
z 2 z 1解：( 1)ω =(1+i) 2+3(1 － i) －4=―1―i ，∴| | 2 。
2)由条件(a b) (a 2)i1i ，∴ (a b) (a 2)i 1i ，∴思维点拨】利用复数的充要条件解题。
例5：设z C,且 z z1是纯虚数， 求 |z i |的最大值。
解：令 z=x+yi （ x ，y∈ R），则 zx 2 y 2 xz1(x 1)2y 2y(x 1)2y 2z是纯虚数，z1，即（x 1 12)14(y合可知本题是求圆 (x 12)2y2 14(y0） 上的点到 A （0, －1）0） ，由数51 的最大距离。
∴ | z i | max=|PA|= 。
x2练习：1．已知复数 z 与（z 2）2 8i 均是纯虚数，则 z Z 2i2．.若（a 2i ）i b i ，其b ∈R i 是虚数单位，则 a 2 b 2 A ．0 B ．2 C ．5 D ．523.设复数 ω＝－ 1＋ 3i ，则 1＋ ω＝（ ）C22 （A ）–ω （B ）ω2（C ） 1( D) 1212、复数 （1 i ）3的虚部为1i13、在复平面内，复数 对应的点位于i（A ）第一象限 （B ）第二象限（ C ）第三象限 （D ）第四象限解： 1 i＝（i 1＋ i ）＝1－ i故选 D ； i－1点评： 复数的概念和性质是高考对复数部分的一个考点， 属于比较基本的题目， 主要考 察复数的的分类和几何性质。