(完整版)上海高中数学-复数讲义

复数

一、知识点梳理： 1、 i 的周期性：

4 4n+1 4n+2 4n+3 4n

i =1 ，所以， i =i, i =-1, i =-i, i =1 n Z

4n 4n 1 4n 2 4n 3

i i i i

C a bi |a,b R 叫做复数集。 N Z Q R C.

3、复数相等： a bi c di a c 且b=d ； a bi 0 a 0且b=0

实数 (b=0)

4、复数的分类： 复数 Z a bi 一般虚数 (b 0,a 0) 虚数 (b 0)

纯虚数 (b 0,a 0)

虚数不能比较大小，只有等与不等。即使是 3 i,6 2i 也没有大小。

uur uur

5、复数的模：若向量 OZ 表示复数 z ，则称 OZ 的模 r 为复数 z 的模， z |a bi| a 2 b 2

；

8、复数代数形式的加减运算 复数 z 1与 z 2的和：

z 1+z 2=( a +bi )+( c +di )=( a +c )+( b +d )i . a, b, c, d R

复数 z 1与 z 2的差： z 1- z 2=( a +bi )-( c +di )=( a - c )+( b -d )i . a, b, c, d R 复数的加法运算满足交换律和结合律

数加法的几何意义： 复数 z 1=a +bi ，z 2=c +di a, b,c, d R ；OZ = OZ 1 +OZ 2 =( a ，b )+( c ， d )=( a +c ，b +d ) ＝( a +c )+( b +d )i

uurur uuuur uuuur

复数减法的几何意义：复数 z 1- z 2的差( a － c )+( b －d )i 对应 由于 Z 2Z 1 OZ 1 OZ 2 ，两个 复数的差 z －z 1 与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应 .

9. 特别地， z u A u B ur

z B － z A. ， z u A u B ur

AB z B z A 为两点间的距离。

|z z 1 | |z z 2 |z 对应的点的轨迹是线段 Z 1Z 2的垂直平分线； |z z 0| r ， z 对应

的点的

2 、复数的代数形式： a bi a,b R ， a 叫实部，

b 叫虚部，实部和虚部都是实数。 积或商的模可利用模的性质( 1) z 1 L z n z 1

z

2

L

z

n

，(2)

z 1

z 1

z

2

z

2

z

2

6、复数的几何意义：

复数 z a bi a,b R

一一对应

复平面内的点 Z(a,b)

一一对应

uur

复数 Z a bi a,b R

平面向量 OZ ，

7、复平面： 这个建立了直角坐标系来表示复数的坐标平面叫其中 x 轴叫做实轴，

y 轴叫做虚轴 ，实轴上的点都表示实数； 除了原点外， 虚轴上的点都表示纯虚数

轨迹是一个圆；

|z z 1| |z z 2 | 2a Z 1Z 2 2a ， z 对应的点的轨迹是一个椭

圆；

11、复数的乘除法运算： 复数的乘法： z 1z 2= ( a +bi )( c +di )=( ac －bd )+( bc +ad ) i . a, b,c, d R

复数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律。

实数集 R 中正整数指数的运算律 ,在复数集 C 中仍然成立 .即对 z ,z ,z ∈C 及

m,n ∈N 有: 123 m n m+n mn mn n nn

z z =z , (z ) =z , (z z ) =z 1 2 1 z.

2

复数的除法： z 1

(a+bi) a bi ac bd bc ad a,b, c, d R ，分母实

(c+di)= =2 2 2 i

z

2 c

di c

2

d

2 c

d

2

数化是常规方法

12、共轭复数：若两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时，这两个复数叫互为共轭复

数；特别地，虚部不为 0 的两个共轭复数也叫做共轭虚数；

R ， 两 共 轭 复 数 所 对 应 的 点 或 向 量 关 于 实

轴 对 称 。

z |z| a

2

b 2

15、实系数一元二次方程的根问题：

(1)当 b 2

4ac 0时，方程有两个实根 x 1,x 2。 (2)当 b 2

4ac 0 时，方程有两个共轭虚根，其中 x 1 x 2

|z z

1 | |z z

2 | 2a Z 1Z 2 2a ， z 对应的点的轨迹是双曲线。

10、显然有公式： z

1

z

1

z

2

2 z 2

z

1

z

1

z

2 2

z 2

z

1

z

2 2

2 z 1 2

2 z 2

z a bi,z a bi a,b 22

2

2

z z a b R,z z z

z ， z 1 z 2

z 1 z 2 z 1 z 2 , z 1

z 2

z 1 z 2

1

13、熟记常用算式： i ，(1 i)2

2i ， (1 i)2

2i ，11 i

1i i ，

22

1)①

(1 i)2 2i ② (1 i)2

1 i

i 1 i

2i

③

1 i ④ 1 i

2)“1”的立方根

13

i 2 2 的性质：

32

① 3

1 ② 2

③1

0④

11

1

⑤

z 2