初中数学圆的辅助线八种作法
圆内辅助线方法
圆内辅助线方法
在圆内作辅助线的方法有以下几种：
1. 直径：通过圆心作直径，将圆分成两个相等的半圆，可以用于确定圆上某点的位置或者进行圆的对称性证明。
2. 弦：连接圆上的两个点，形成一条弦。
弦可以用来测量圆的直径、找到圆上的中点以及确定圆弧的长度和角度。
3. 切线：从圆外一点引切线与圆相切，切点即为切线与圆的交点。
切线与半径垂直，并且切线和半径的夹角等于相应弧的夹角。
4. 弧：圆上两点之间的曲线部分称为弧。
可以通过连接弧上的两点和圆心，构成一个扇形。
通过测量弧长和圆心角可以计算出圆的周长和面积。
5. 径向线：连接圆心与圆上的任意一点，称为径向线。
径向线可以用来分析圆上的几何性质，如角度和长度。
这些辅助线方法在解决圆相关的问题时非常有用，能够帮助我们理解圆的性质、推导定理以及进行计算和证明。
1。
圆中常用的作辅助线的八种方法
证明：1 如图;过点D作⊙O的直径DE;连接AE;EC;AC ∵DE是⊙O的直径; ∴∠ECD＝∠EAD＝90° 又∵CD⊥AB;∴EC∥AB ∴∠BAC＝∠ACE ∴B︵C＝A︵E ∴BC＝AE 在Rt△AED中;AD2＋AE2＝DE2; ∴AD2＋BC2＝4R2
2若弦AD;BC的长是方程x26x＋5＝0的两个根 AD>BC;求⊙O的半径及点O到AD的距离
1求证：PB是⊙O的切线； 证明：1 如图;连接OB;∵OA＝OB;
∴∠OAB＝∠OBA ∵PA＝PB; ∴∠PAB＝∠PBA ∴∠OAB＋∠PAB＝∠OBA＋∠PBA
即∠PAO＝∠PBO 又∵PA是⊙O的切线;∴∠PAO＝90° ∴∠PBO＝90° ∴OB⊥PB 又∵OB是⊙O的半径; ∴PB是⊙O的切线
︵ 2求由弦CD;BD与BC所围成的阴影部分的面积
结果保留π
解：2∵OE⊥DB;∴EB＝
D1 B＝3 2
c3m
在Rt△EOB中;∵∠OBD＝30°;
∴OE＝
1 2
OB
∵EB＝3 3 cm;
∴由勾股定理可求得OB＝6 cm
又∵∠CDB＝∠DBO;DE＝BE;
∠CED＝∠OEB;
∴△CDE≌△OBE
方法 8 巧添辅助线计算阴影部分的面积
9 中考·自贡如图所示;点B;C;D都在⊙O上; 过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A;连接CD; 且∠CDB＝∠OBD＝30°;DB＝6 3cm
1求证：AC是⊙O的切线；
证明：1如图;连接CO;交DB于点E; ∴∠O＝2∠CDB＝60° 又∵∠OBE＝30°; ∴∠BEO＝180°60°30°＝90° ∵AC∥BD;∴∠ACO＝∠BEO＝90° 即OC⊥AC 又∵点C在⊙O上; ∴AC是⊙O的切线
例谈圆中常见作辅助线的方法
例谈圆中常见作辅助线的方法圆是初中几何局部的重要内容之一，与圆有关的大局部几何题型都需要添加辅助线来解决。
只要添上适宜的辅助线，不仅会使问题迎刃而解，而且还会有效地培养学生的解题能力与创造性思维能力。
通过对实践教学中的归纳与总结，发现添加辅助线的方法有很多，本文就圆中常见作辅助线的方法归纳如下：一、作弦心距（在与弦有关的计算或证明题时，常作辅助线的方法是作弦心距）例1：如图1，AB为O的直径，PQ切O于T，ACPQ于C，交O于D，AD=2，TC=.求O的半径。
解：过点O作OMAC于M，AM=MD=AD/2=1.PQ切O于T，OTPQ.又ACPQ，OMAC，∠OTC=∠ACT=∠OMC=90°，四边形OTCM为矩形.OM=TC=，在RtAOM中，.即O的半径为2.例2：如图2，已知在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C、D两点.求证：AC=BD.证明：过点O作OEAB于E，那么AE=BE，CE=DE，AECE=BEDE.AC=AECE，BD=BEDE.AC=BD.二、连半径（与半径和弦有关的简单计算、已知圆中有切线的有关计算和证明时，常作辅助线的方法是连半径）例3：如图3，O的直径CD=20cm，直线lCO，垂足为H，交O于A、B两点，AB=16 cm，直线l平移多少厘米时能于O相切？解：连接OA，lCO，OC平分ABAH=8cm.在RtAHO中，OH=6cm.CH=4cm，DH=16 cm.答：直线l向左平移4cm，或向右平移16cm时能于O相切。
例4：如图4，PA是O的切线，切点是A，过点A作AHOP于点H，交O于点B.求证：PB是O的切线.证明：连接OA、OB.PA是O的切线，∠OAP=90°.OA=OB，ABOP，∠AOP=∠BOP.又OA=OB，OP=OP，AOP≌BOP.∠OPB=∠OAP=90°.PB是O的切线.三、既作弦心距又连半径（与半径和弦都有关的计算时，常作辅助线的方法是既作弦心距又连半径，利用勾股定理来解决）例5：直径为52厘米的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图5，假设油最大深度为16厘米.那么油面宽度AB的长是多少厘米？解：连接OA，作OCAB于C，那么AC=BC=AB.在RtOAC中，OA=×52=26厘米，OC=2616=10厘米，AC=24厘米.AB=2AC=48厘米.四、连弦构造相似三角形或直角三角形（在圆中与弦或其他有关的计算或证明时，常作辅助线的方法是连弦，利用同弧所对的圆周角相等连弦构造相似三角形或利用直径所对的圆周角为直角这个性质连弦构造出直角三角形，从而将问题转化到相似三角形或直角三角形中去计算或证明）例6：已知，如图6，在半径为4的O中，AB，CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交O于点E，且EM>MC.连结DE，DE=.（1）求证：AM・MB=EM・MC；（2）求EM的长；（3）求sin∠EOB的值.解：（1）连接AC，EB，那么∠CAM=∠BEM.又∠AMC=∠EMB，AMC∽EMB.，即AM・MB=EM・MC.（2） DC为O的直径，∠DEC=90°，EC=OA=OB=4，M为OB的中点，AM=6，BM=2.设EM=x，那么CM=7x.代入（1），得6×2=x（7x）.解得x1=3，x2=4.但EM>MC，EM=4.（3）由（2）知，OE=EM=4，作EFOB于F，那么OF=MF=OB=1.在RtEOF中，sin∠EOB=.例7：如图7所示，ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的O交AC于点E，点D是BC边的中点，连结DE.（1）求证：DE与O相切；（2）假设O的半径为，DE=3，求AE.（1）证明：连结OE，BE，AB是直径，BEAC.D是BC的中点， DE=DB，∠DBE=∠DEB.又OE=OB，∠OBE=∠OEB，∠DBE+∠OBE=∠DBE+∠OEB.即∠ABD=∠OED.又∠ABC=90°，∠OED=90°，DE是O的切线.（2）解：，，.五、作直径构造直角三角形（在圆中牵涉到三角函数的运算或与直径的计算与证明时，常作辅助线的方法是作直径，利用直径所对的圆周角是直角构造直角三角形，从而将问题转化到直角三角形中去解决）例8：如图8，点A、B、C在O上（AC不过O点），假设∠ACB=60°，AB=6，求O半径的长。
圆中常见辅助线的添加口诀及技巧 ()
圆中常见辅助线的添加口诀及技巧半径与弦长计算，弦心距来中间站。
圆上若有一切线，切点圆心半径连。
要想证明是切线，半径垂线仔细辨。
是直径，成半圆，想成直角径连弦。
弧有中点圆心连，垂径定理要记全。
圆周角边两条弦，直径和弦端点连。
要想作个外接圆，各边作出中垂线。
还要作个内切圆，内角平分线梦园。
如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。
若是添上连心线，切点肯定在上面。
二：圆中常见辅助线的添加：1、遇到弦时（解决有关弦的问题时）（1)、常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。
作用：①利用垂径定理；?????②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；?????③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。
（2）、常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。
作用：①可得等腰三角形；?????②据圆周角的性质可得相等的圆周角。
2、遇到有直径时常常添加（画）直径所对的圆周角。
作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形3、遇到90°的圆周角时常常连结两条弦没有公共点的另一端点。
作用：利用圆周角的性质，可得到直径。
4、?遇到有切线时（1）常常添加过切点的半径（见切点连半径得垂直）作用：利用切线的性质定理可得OA⊥AB，得到直角或直角三角形。
??????5、遇到证明某一直线是圆的切线时（1）若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段，再证垂足到圆心的距离等于半径。
（2）若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径），再证其与直线垂直。
6、遇到三角形的内切圆时连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。
作用：利用内心的性质，可得：（1）??内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线；?????（2）??内心到三角形三条边的距离相等7、?遇到三角形的外接圆时，连结外心和各顶点作用：外心到三角形各顶点的距离相等。
圆中常见辅助线的作法
圆中常见辅助线的作法正文：在学习圆的内容时，很多同学觉得难学，总是找不到解题的突破口。
觉得难学，很大程度是因为不会画辅助线。
辅助线，就是现有图形的基础上，添加一些线条，以便运用所学知识，化繁为简，达到解决问题的目的。
在解决几何问题的时候，当运用题目给出的条件无法解决问题时，可以通过添加辅助线，形成新图形，建立已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题，这便是辅助线的作用。
一条巧妙的辅助线常常使一道难题迎刃而解。
在此，对初中几何圆中常见的辅助线的添加思路从以下几个方面进行总结。
一：弦长计算，作弦心距，结合勾股定理和垂径定理。
例：如图，已知⊙O的半径为13，点O到AB的距离是5，则弦AB长是多少？分析：过O作OC⊥AB于C，由垂径定理得AC=BC=AB在Rt△AOC中，由勾股定理得AC=12.所以AB=24.二：切线的证明：1.连半径，证垂直。
例：如图， AB是⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于D，过D作DE⊥AC交AC延长线于点E，交AB延长线于点F．求证：EF是⊙O的切线；分析：连接OD ，先证OD∥AE，再证OD⊥EF，直线EF经过半径OD的外端点D，并与OD 垂直。
从而可以证明EF是⊙O的切线.2.作垂直，证半径例：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于E，∠ADC的平分线交AE于点O，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点B，交BC于另一点F．求证：CD与⊙O相切；分析：过点O作OG⊥DC，垂足为G．证明△ADO≌△GDO后可以得到OA=OG．从而OG是⊙O的半径，CD经过半径OG的外端点并与半径OG垂直，根据切线的判定可以证明CD与⊙O相切。
三：有直径，作直径所对圆周角。
例：如图，是的外接圆⊙O的直径，若，则．分析：连接，如图，因为AD为的外接圆⊙O的直径，所以∠ABD＝90°,从而可得∠ACB＝∠D＝50°四.弧有中点，连中点圆心，结合垂径定理。
例：如图，在扇形中，已知，，过弧AB的中点作，，垂足分别为、，则图中阴影部分的面积为（）分析：连接OC,因为点C为弧AB的中点，所以∠AOC＝∠BOC,从而可以证明△CDO≌△CEO,于是四边形CDOE为正方形，面积等于1，由扇形面积公式得，故选B。
园中常做辅助线的做法
几何证明一般都离不开作辅助线，能否迅速、准确地作出所需的辅助线，往往成为成败的关键。
本文就圆中常见辅助线的作法归纳如下，供参考。
一、作弦心距证明圆中与弦有关的问题，常需作弦心距（即垂直于弦的直径或半径），其目的在于利用垂径定理来沟通弦、弦、弦心距之间的关系，或构造半径、弦心距、弦为边的直角三角形。
例1：求证：经过相交两圆的一个交点的那些直线，被两圆所截得的线段中，平行于连心线的那一条线段最长。
分析：如图1，PQ ∥OO′，要证明PQ 最长，只须证明PQ 大于过A 点的任意一条不平行于OO ′的割线P′Q′，这是证明与圆的弦有关的问题，因此过O 、O′分别作PQ 、P′Q′的垂线，垂足分别为C 、D ；C′、D′。
由垂径定理知AC= AP 、AD= AQ ，所以CD=PQ 。
同理C′D′= P′Q′，又OO′=CD ，于是问题转化为证明OO′> C′D′，而OO′D′C′为直角梯形，显然有OO′> C′D′。
从而问题可证。
图1二、作过切点的半径或弦当所证问题含有圆的切线时，常常需要作出过切点的半径或弦，利用该半径与切线垂直或弦切角定理来沟通题设与结论之间的联系。
例2：已知AB 是⊙O 的直径，AC ⊥MN ，BD ⊥MN ，MN 切⊙O 于K ，求证：（1）AC+BD=AB（2）BK2=AB·BD分析：（1）AC 、BD 为直角梯形的上、下底边，其和必与梯形的中位线有关，由MN切⊙O 于K ，想到需连结OK ，则OK 为梯形的中位线且OK= （AC+BD ），而AB=2OK ，所以有AC+BD=AB 。
（2）要证BK =AB·BD ，即AB ：BK=BK ：BD ，所以需连结AK ，由弦切角定理知∠KAB=∠BKD ，又∠AKB=∠KDB=90°，所以△AKB ∽△KDB，故问题可以获证。
图2 三、过已知点作圆的切线过已知点作圆的切线是圆中常作的辅助线之一，其目的在于利用切线的性质来沟通题中各元素间的联系。
初中数学圆的辅助线八种作法教学内容
中考数学圆的辅助线在平面几何中，与圆有关的许多题目需要添加辅助线来解决。
百思不得其解的题目，添上合适的辅助线，问题就会迎刃而解，思路畅通，从而有效地培养学生的创造性思维。
添加辅助线的方法有很多，本文只通过分析探索归纳几种圆中常见的辅助线的作法。
下面以几道题目为例加以说明。
1.有弦，可作弦心距在解决与弦、弧有关的问题时，常常需要作出弦心距、半径等辅助线，以便应用于垂径定理和勾股定理解决问题。
例1 如图1, ⊙O 的弦AB 、CD 相交于点P ， 且AC=BD 。
求证：PO 平分∠APD 。
分析1：由等弦AC=BD 可得出等弧 = 进一步得出 = ，从而可证等弦AB=CD ，由同圆中 等弦上的弦心距相等且分别垂直于它们所对应的弦，因此可作辅助线OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，易证△OPE ≌△OPF ，得出PO 平分∠APD 。
证法1：作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥CD 于FAC=BD => = => ==> AB=CD => OE=OF∠OEP=∠OFP=90° => △OPE ≌△OPF0OP=OP=>∠OPE=∠OPF => PO 平分∠APD 分析2：如图1-1，欲证PO 平分∠APD ，即证AB(BD ， (CD (D 图 1AC(AC (BD (AB (CD(∠OPA=∠OPD ，可把∠OPA 与∠OPD 构造在两个 三角形中，证三角形全等，于是不妨作辅助线即半径OA ，OD ，因此易证△ACP ≌△DBP ，得AP=DP ，从而易证△OPA ≌△OPD 。
证法2：连结OA ，OD 。
∠CAP=∠BDP∠APC=∠DPB =>△ACP ≌△DBP AC=BD=>AP=DPOA=OD =>△OPA ≌△OPD =>∠OPA=∠OPD =>PO 平分∠APD OP=OP2.有直径，可作直径上的圆周角对于关系到直径的有关问题时，可作直径上的圆周角，以便利用直径所对的圆周角是直角这个性质。
(完整版)圆中常见辅助线作法分类大全
1．碰到弦时（解决相关弦的问题时）经常增添弦心距，或许作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。
或许连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。
作用： 1 、利用垂径定理；2、利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；3、利用弦的一半、弦心距和半径构成直角三角形，依据勾股定理求相关量。
4、可得等腰三角形；5、据圆周角的性质可得相等的圆周角。
例：如图，ＡＢ是⊙ O 的直径 ,PO⊥ AB 交⊙ O 于 P 点，弦 PN 与 AB 订交于点 M ，求证：PM ?PN=2PO 2.剖析：要证明PM?PN=2PO2，即证明 PM ?PC =PO 2，过 O 点作 OC⊥PN 于 C，依据垂经定理 NC=PC ，只需证明PM?PC=PO2，要证明 PM?PC=PO2只需证明 Rt△ POC∽Rt △ PMO.1证明 : 过圆心 O 作 OC⊥ PN 于 C，∴ PC=PN2∵PO⊥ AB, OC ⊥PN ，∴∠ MOP= ∠ OCP=90° .又∵∠ OPC=∠ MPO ，∴ Rt△POC∽ Rt△PMO.∴ PO PC即∴ PO2 = PM?PC.∴ PO2= PM ?1PN，∴ PM ?PN=2PO2.PM PO2【例 1】如图，已知△ ABC内接于⊙ O，∠ A=45°， BC=2，求⊙ O的面积。
AOB C【例 2】如图，⊙ O的直径为10，弦 AB＝8， P 是弦 AB 上一个动点，那么 OP的长的取值范围是 _________ ．【例 3】如图，弦AB的长等于⊙ O的半径，点 C 在弧 AMB上，则∠ C的度数是 ________.2． 碰到有直径时经常增添（画）直径所对的圆周角。
作用：利用圆周角的性质，获得直角或直角三角形。
例 如图，在△ ABC 中，∠ C=90°，以 BC 上一点 O 为圆心，以 OB 为半径的圆交 AB 于点 M ，交 BC 于点 N ．（ 1） 求证： BA · BM=BC · BN ；（ 2） 假如 CM 是⊙ O 的切线， N 为 OC 的中点，当 AC=3 时，求 AB 的值．剖析：要证 BA · BM=BC · BN ，需证△ ACB ∽△ NMB ，而∠ C=90°，因此需要△ NMB 中有个直角，而BN 是圆 O 的直径，因此连结 MN 可得∠ BMN=90 °。
圆中作辅助线的常用方法
圆中作辅助线的常用方法：辅助线一：有关直径问题,常作直径所对圆周角,利用定理：“直径所对圆周角是直角”.反之，如果圆周角为90度，那么必有直径。
辅助线二：涉及弦长、半径、弦心距的问题，常作弦心距（或圆心到弦的垂线段）,为应用垂径定理、勾股定理创造条件。
反之，可连接圆心，和弦的两端点，做等腰三角形，及三线合一。
及两角两相等。
辅助线三：若题中有与半径（或直径）垂直的线段，如图，圆O中，BD⊥OA于D，经常是：延长BD交圆O于C，利用垂径定理。
辅助线四：已知直线与圆相切，常连结过切点的半径，得垂直关系。
证明圆的切线的两种方法：知交点，连半径，证垂直；不知交点，作半径，证垂直。
辅助线五：对于圆的内接正多边形的问题，往往添作边心距，抓住一个直角三角形去解决.辅助线六：若题目中有“两圆相切”（内切或外切），往往过切点作两圆的切线或作出它们的连心线（连心线过切点）以沟通两圆中有关的角的相等关系。
辅助线七：有半圆，可做整圆辅助线八：遇到两相交切线时（切线长）常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。
作用：据切线长及其它性质，可得到：①角、线段的等量关系；②垂直关系；③全等、相似三角形。
辅助线9：遇到三角形的内切圆时连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。
作用：利用内心的性质，可得：①内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线； ② 内心到三角形三条边的距离相等。
AB C DE PO小结：◆半径与弦长计算，弦心距来中间站；◆圆上若有一切线，切点圆心半径连；◆要想证明是切线，半径垂线仔细辩；◆是直径，成半圆，想成直角径连弦；◆弧有中点圆心连，垂径定理要记全；◆要想作个外接圆，各边作出中垂线；◆还想作个内切圆，内角平分线梦圆。
(新课标)圆中常用辅助线的作法
OE=OE ∴ΔEAO ≌ΔEDO ∴∠EDO=∠EAO=90° 即：ED是⊙O的切线。
谢谢！
由垂径 定理得：
AE = EB， CE = DE
E
∴ AE - CE = BE - DE
即：AC = BD
2.2、直径圆周角
----有直径，可作直径上的圆周角.
在解决有关直径的问题时，常作直 径上的圆周角，构成直径所对的圆周角 是直角，寻找隐含的条件，从而得到所 求结论。
例2、已知：MN 切⊙O于A点，PC是直径，PB ⊥ MN于B点， 求证：
例3、如图，AB、AC与⊙O相切有与B、C点， ∠A = 50°，点P优弧BC的一个动点，求∠BPC 的度数。
解：连结 OB、 OC ，
∵ AB、AC是⊙O的切线 ∴ AB⊥OB， AC⊥OC，
∴∠ABO = ∠ACO = 90°
在四边形ABOC中，∠A = 50°
∴∠BOC = 360°- ∠A -∠ABO - ∠ACO = 360°- 50°- 90°-90° = 130°
2、如图，以RtΔABC的直角边AC为直径作⊙O交斜边 AB于P，过B、P任意作一个圆，过A作所作圆的切线AD， 切点为D。求证：
证明：连结CP， AC是⊙O的直径， ∴∠APC =90° ∵∠ACB=90°， ∴ΔAPC∽ΔACB
又∵AD是大⊙的切线
3、如图，在⊙O中，半径OA⊥OB垂足为O，P是OB上 任意一点，AP交⊙O于Q，过Q点的切线交OB的延长线 于C。求证：CP = CQ。
例5、如图，已知两圆外切于T点。过T的直线AB 、 CD分别交⊙O 和⊙1O 于A、2C 和B 、D。求证： AC∥BD 。
证明：过T点作两圆的内公切线MN
圆中常见的辅助线
圆中常见辅助线的做法一．遇到弦时（解决有关弦的问题时）1.常常添加弦心距，或作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径.作用：①利用垂径定理；②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形,根据勾股定理求有关量。
例：如图,在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 二点。
求证：AC = BD证明:过O 作OE ⊥AB 于E∵O 为圆心，OE ⊥AB∴AE = BE CE = DE∴AC = BD练习：如图,AB 为⊙O 的弦,P 是AB 上的一点，AB = 10cm,PA = 4cm 。
求⊙O 的半径。
2.有等弧或证弧等时常连等弧所对的弦或作等弧所对的圆心角.例：如图，已知AB 是⊙O 的直径，M 、N 分别是AO 、BO 的中点，CM ⊥AB ，DN ⊥AB ，求证: AC BD = 证明：（一）连结OC 、OD∵M 、N 分别是AO 、BO 的中点∴OM =12AO 、ON = 12BO ∵OA = OB ∴OM = ON∵CM ⊥OA 、DN ⊥OB 、OC = OD ∴Rt △COM ≌Rt △DON ∴∠COA = ∠DOB ∴AC BD =(二）连结AC 、OC 、OD 、BD∵M 、N 分别是AO 、BO 的中点 ∴AC = OC BD = OD∵OC = OD ∴AC = BD ∴AC BD =3.有弦中点时常连弦心距例：如图，已知M 、N 分别是⊙O 的弦AB 、CD 的中点，AB = CD ，求证：∠AMN = ∠CNM证明:连结OM 、ON∵O 为圆心，M 、N 分别是弦AB 、CD 的中点∴OM ⊥AB ON ⊥CD ∵AB = CD ∴OM = ON ∴∠OMN = ∠ONM∵∠AMN = 90o－∠OMN ∠CNM = 90o －∠ONM∴∠AMN =∠CNM4.证明弦相等或已知弦相等时常作弦心距。
圆中常作哪些辅助线
CM O N 圆中常作哪些辅助线?通过作辅助线能使复杂问题简单化，圆问题中常用的辅助线是哪些呢？现把一些规律总结如下：弦与弦心距，密切紧相连. 直径对直角，圆心作半径. 已知有两圆，常画连心线. 遇到相交圆，连接公共弦. 遇到相切圆，作条公切线. “有点连圆心，无点作垂线.” 切线证明法，规律记心间.一、作弦心距.在解决有关弦的问题时，常常作弦心距，以利用垂经定理或圆心角、弦、弦心距之间的关系定理及推论.因此“弦与弦心距，密切紧相连.”.例 1.如图，ＡＢ是⊙O 的直径,PO⊥AB 交⊙O 于 P 点，弦 PN 与 AB 相交于点 M，求P证：PM•PN=2PO2.1分析：要证明PM•P N=2PO²，即证明PM•PN =POA B2²，1过 O 点作 OC⊥PN 于 C，根据垂经定理PN =PC，只需证明2。
⨯。
∆PMOPM•PC=PO²，由PO = P M，“三点定型”法可判断需证明 Rt△POC∽Rt△PMO.。
⨯ ∆POCPC PO1证明: 过圆心 O 作 OC⊥PN 于 C，∴PC= PN2∵PO⊥AB, OC⊥PN，∴∠MOP=∠OCP=900.又∵∠OPC=∠MPO，∴Rt△POC∽Rt△PMO.∴ PO = PC PM，即∴PO2= PM•PC. PO1∴PO2= PM•PN，∴PM•PN=2PO2.2二、连结半径圆的半径是圆的重要元素，圆中的许多性质如：“同圆的半径相等”和“过切点的半径与切线相互垂直”都与圆的半径有关.连结半径是常用的方法之一.例 2．已知：△ABC 中，∠B=900，O 是 AB 上一点，以 O 为圆心，以 OB 为半径的圆切 AC 与 D 点，交 AB 与 E 点，AD=2，AE=1.求证:CD 的长. CD 分析：D 为切点，连结 DO，∠ODA=900.根据切线长定理AE O BCD=CB.DO=EO= 半径r，在Rt△ADO 中根据勾股定理或Rt△ADO~ Rt△ABC，求出CD.证明: 连结DO∴OD⊥AC 于 D, ∴∠OCP=900.∵AB 过 O 点, ∠B=900.∴BC 为⊙O 的切线, ∴CD=CB设 CD=CB=x,DO=EO=y在Rt△ADO 中，AO2 =AD2+ DO2，AD=2，AE=13∴(1+y)2=22+y2, ∴ y=23 3在Rt△ABC 中，AC2 =AB2+ BC2，即(2+x)2=(1+ + )2+x2, ∴x=32 2∴CD=3.三、连结公共弦D 在处理有关两圆相交的问题时，公共弦像一把AEBPAE“钥匙”，常常可以打开相应的“锁”，因此“遇到相交圆，连接公共弦.”。
(完整版)初中数学添加辅助线的方法汇总
初中数学添加辅助线的方法汇总作辅助线的基本方法一：中点、中位线，延长线，平行线。
如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或造成全等的目的。
二：垂线、分角线，翻转全等连。
如遇条件中，有垂线或角的平分线，可以把图形按轴对称的方法，并借助其他条件，而旋转180度，得到全等形，，这时辅助线的做法就会应运而生。
其对称轴往往是垂线或角的平分线。
三：边边若相等，旋转做实验。
如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，有时边角互相配合，然后把图形旋转一定的角度，就可以得到全等形，这时辅助线的做法仍会应运而生。
其对称中心，因题而异，有时没有中心。
故可分“有心”和“无心”旋转两种。
四:造角、平、相似，和、差、积、商见。
如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，欲证线段或角的和差积商，往往与相似形有关。
在制造两个三角形相似时，一般地，有两种方法：第一，造一个辅助角等于已知角；第二，是把三角形中的某一线段进行平移。
故作歌诀：“造角、平、相似，和差积商见。
”托列米定理和梅叶劳定理的证明辅助线分别是造角和平移的代表）五：两圆若相交，连心公共弦。
如果条件中出现两圆相交，那么辅助线往往是连心线或公共弦。
六：两圆相切、离，连心，公切线。
如条件中出现两圆相切（外切，内切），或相离（内含、夕卜离），那么，辅助线往往是连心线或内外公切线。
七：切线连直径，直角与半圆。
如果条件中出现圆的切线，那么辅助线是过切点的直径或半径使出现直角；相反，条件中是圆的直径，半径，那么辅助线是过直径（或半径）端点的切线。
即切线与直径互为辅助线。
如果条件中有直角三角形，那么作辅助线往往是斜边为直径作辅助圆，或半圆；相反，条件中有半圆，那么在直径上找圆周角一一直角为辅助线。
即直角与半圆互为辅助线。
八：弧、弦、弦心距；平行、等距、弦。
如遇弧，则弧上的弦是辅助线；如遇弦，则弦心距为辅助线。
关于圆中常用的辅助线作法
图2A B 关于圆中常用的几种辅助线有关圆的中考，题目变化灵活，在历年各地中考题中均占有较大比例。
在解答与圆有关的题目时，常常需要作辅助线，以便在已知和结论之间“牵线搭桥”，从而使分散条件集中化，隐含条件明显化，难点分散简易化，达到解决问题的目的。
1、有弦时，可从圆心作与弦垂直的线段；或连结半径。
例1：(2006·广东)如图1，AB 是⊙O 的弦，半径OC 、OD 分别交AB 于点E 、F ，且AE=BF ，请你找出线段OE 与OF 的数量关系，并给予证明。
解析：解法1，有弦，可从圆心作与弦垂直的线段，用垂径定理。
OE=OF 。
过点O 作OM ⊥AB 于点M ，则AM=BM ，又AE=BF ，故EM=FM ，从而OM 垂直平分EF ，所以OE=OF 。
解法2，此题也可利用全等来证明。
连结半径OA 、OB ，则OA=OB ，故∠A=∠B ，又AE=BF ，所以△AOE ≌△BOF(SAS)，由此OE=OF ； 本题源于课本，巧妙地加以变化，成了一道开放性试题，学生解题时因为有基础铺垫，既增加了自信，又可以提高数学素养。
2、遇到直径时，可作直径所对的圆周角。
例2：(2006·烟台)如图2，从⊙O 外一点A 作⊙O 的切线AB 、AC ，切点分别为B 、C ，且⊙O 直径BD=6，连结CD 、AO 。
⑴求证：CD ∥AO ； ⑵设CD=ｘ，AO=ｙ，求ｙ与ｘ之间的函数关系式，并写出自变量ｘ的取值范围。
解析：有直径，可作直径所对的圆周角得直角。
⑴连结BC 交AO 于点E 。
∵AB 、AC 是⊙O 的切线，∴AB=AC ，∠CAO=∠BAO ，∴AO ⊥BC ，∴∠BEO=90°，∵BD 是⊙O 的直径，∴∠BCD=90°，∴∠BCD=∠BEO ，∴CD ∥AO ；⑵∵CD ∥AO ，∴∠D=∠AOB ，∵AB 是⊙O 的切线，BD 是直径，∴∠BCD=∠ABO=90°∴△BCD ∽△ABO ，∴BD ∶AO=CD ∶BO ，∴6∶y=x ∶3，∴y=x18，0＜x ＜6。
中考复习讲义：圆的7种辅助线做法(方法总结+例题+巩固练习)(无答案)
9. （2018•德州）如图，AB 是⊙O 的直径，直线 CD 与⊙O 相切于点 C，且与 AB 的延长线交于点 E，点 C 是 的中点．
（1）求证：AD⊥CD； （2） 若∠CAD=30°， ⊙O 的半径为 3， 一只蚂蚁从点 B 出发， 沿着 BE﹣EC﹣ 回至点 B，求蚂蚁爬过的路程（π≈3.14， ≈1.73，结果保留一位小数） ． 爬
10. 如图 AB 是⊙O 的直径，PA 与⊙O 相切于点 A，BP 与⊙O 相较于点 D，C 为 ⊙O 上的一点，分别连接 CB、CD，∠BCD＝60°． (1)求∠ABD 的度数； (2)若 AB＝6，求 PD 的长度．
方法详解： 一、连半径，构造等腰三角形 .
二、连弦心距
三、构造圆周角
四、连接圆心和切点得切线
五、连半径证垂直
六、内切圆，连内角平分线
七、构造三角形与扇形
真题反馈： 1. （2018•聊城）如图，⊙O 中，弦 BC 与半径 OA 相交于点 D，连接 AB，OC．若 ∠A=60°，∠ADC=85°，则∠C 的度数是（ ）
A．25° B．27.5°
C．30° D．35°
AB 是⊙O 的直径， OC=5cm， CD=8cm， 2. （2018•张家界） 如图， 弦 CD⊥AB 于点 E， 则 AE=（ ）
A．8cm B．5cm C．3cm D．2cm 3. （2018•通辽）已知⊙O 的半径为 10，圆心 O 到弦 AB 的距离为 5，则弦 AB 所对的圆周角的度数是（ ）
坏了花草，走出了一条小路 AB．通过计算可知，这些市民其实仅仅少 B 走了 步 （假设 1 步为 0.5 米， 结果保留整数） ． （参考数据： ≈1.732，
π 取 3.142）
圆的辅助线的常见添法
圆的辅助线的常见添法
圆的辅助线是画圆过程中常用的技巧，可以帮助我们更准确地画出所需的图形。
下面介绍几种常见的圆的辅助线添法。
一、正方形法
正方形法是最基本、最简单的圆的辅助线添法之一。
具体步骤如下：
1. 画一个正方形，边长等于所需圆的直径。
2. 将正方形对角线画出来，并在对角线交点处做垂线。
3. 在垂线上取一个点作为圆心，以垂线长度为半径画出所需圆。
二、三角形法
三角形法也是常用的一种圆的辅助线添法。
具体步骤如下：
1. 画一个等腰直角三角形，底边等于所需圆的直径。
2. 将底边中点与顶点相连，并做垂线。
3. 在垂足处作为圆心，以底边长度为半径画出所需圆。
三、六边形法
六边形法同样是一种常用的添法。
具体步骤如下：
1. 画一个正六边形，外接于所需圆上。
2. 连接相邻两个顶点，形成一个正三角形。
3. 在正三角形的垂心处作为圆心，以正六边形边长为半径画出所需圆。
四、四边形法
四边形法也是一种常用的添法。
具体步骤如下：
1. 画一个矩形，长宽分别等于所需圆的直径。
2. 将矩形对角线画出来，并在对角线交点处做垂线。
3. 在垂线上取一个点作为圆心，以矩形长或宽的一半为半径画出所需圆。
以上就是几种常见的圆的辅助线添法。
通过这些方法可以更加准确地
画出所需图形，并且在实际应用中也有很大的帮助。
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中考数学圆的辅助线
在平面几何中，与圆有关的许多题目需要添加辅助线来解决。
百思不得其解的题目，添上合适的辅助线，问题就会迎刃而解，思路畅通，从而有效地培养学生的创造性思维。
添加辅助线的方法有很多，本文只通过分析探索归纳几种圆中常见的辅助线的作法。
下面以几道题目为例加以说明。
1.有弦，可作弦心距
在解决与弦、弧有关的问题时，常常需要作出弦心距、半径等辅助线，以便应用于垂径定理和勾股定理解决问题。
例1 如图1, ⊙O 的弦AB 、CD 相交于点P ，
且AC=BD 。
求证：PO 平分∠APD 。
分析1：由等弦AC=BD 可得出等弧 =
进一步得出 = ，从而可证等弦AB=CD ，由同圆中 等弦上的弦心距相等且分别垂直于它们所对应的弦，因此可作辅助线OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，易证△OPE ≌△OPF ，得出PO 平分∠APD 。
证法1：作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥CD 于F AC=BD => = => = => AB=CD AB ( BD ， ( CD (
D C
A 图 1 AC ( AC (
BD
( AB ( CD (
=> OE=OF
∠OEP=∠OFP=90° => △OPE ≌△OPF
0OP=OP
=>∠OPE=∠OPF => PO 平分∠APD
分析2：如图1-1，欲证PO 平分∠APD ，即证
∠OPA=∠OPD ，可把∠OPA 与∠OPD 构造在两个
三角形中，证三角形全等，于是不妨作辅助线
即半径OA ，OD ，因此易证△ACP ≌△DBP ，得AP=DP ，从而易证△OPA ≌△OPD 。
证法2：连结OA ，OD 。
∠CAP=∠BDP
∠APC=∠DPB =>△ACP ≌△DBP
AC=BD
=>AP=DP
OA=OD =>△OPA ≌△OPD =>∠OPA=∠OPD =>PO 平分∠APD
OP=OP D C
A 图1-1
2.有直径，可作直径上的圆周角
对于关系到直径的有关问题时，可作直径上的圆周角，以便利用直径所对的圆周角是直角这个性质。
例2 如图2，在△ABC 中，AB=AC ，
以AB 为直径作⊙O 交BC 于点D ，过D
作⊙O 的切线DM 交AC 于M 。
求证 DM ⊥AC 。
分析：由AB 是直径，很自然想到其所
对的圆周角是直角。
于是可连结AD ，得∠ADB=Rt ∠,又由等腰三角形性质可得∠1=∠2，再由弦切角的性质可得∠ADM=∠B ，故易证∠AMD=∠ADB=90°，从而DM ⊥AC 。
证明 连结AD 。
AB 为⊙O 的直径 =>∠ADB=Rt ∠
AB=AC
DM 切⊙O 于D => ∠ADM=∠B
=> ∠1+∠B=∠2+∠ADM =>∠AMD=∠ADB= Rt ∠ => DM ⊥AC
说明，由直径及等腰三角形想到作直径上的圆周角。
3. 当圆中有切线常连结过切点的半径或过切点的弦
例3 如图3,AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，BD=OB ，DC 切⊙O 于C 点。
求∠A 的度数。
分析：由过切点的半径垂直于切线，
B D
C
图 2 =>∠1=∠2
于是可作辅助线即半径OC，得Rt△，
再由解直角三角形可得∠COB的度数，
从而可求∠A的度数。
解：连结OC。
DC切⊙O于C =>∠OCD=90°
OC=OB=BD
=> ∠A=1/2∠COB=30°
说明，由过切点的半径垂直于切线想到连结半径。
例4 如图4，已知△ABC中，∠1=∠2，
圆O过A、D两点，且与BC切于D点。
求证 EF两圆相切，可作公切线或连心线
例
O1与⊙
O2外切
于点P O1
与
⊙O2
PB•PC=PA•PD。
分析：欲证PB•PC=PA•PD，即证PA∶PB=PC∶PD，
B
图 4
=> COS∠COD=OC/OD=1/2 =>∠COB=60°
D
A
图 3
由此可作辅助线AC 、BD ，并证AC 证明 补全⊙O ，延长AD 交⊙O 于H ， 直径BC ⊥AD => = => = =>∠ABF=∠BAH => AE=BE 说明，由平分弦的直径必平分弦所对的弧想到补全圆。
7．相交两圆中至少有一个圆经过另一个圆的圆心，遇到这类问题，常用的辅助线是连结过交点的半径
例10 如图10，⊙O 1与⊙O 2相交于
A 、
B 两点，且O 2在⊙O 1上，点P 在⊙O 1上，
点Q 在⊙O 2上，若∠APB=40°，求∠AQB 的度数。
分析 连结O 2A 、O 2B ，在⊙O 1中利用
圆内接四边形性质求得∠AO 2B=140°，在⊙O 2中，
∠AQB=1/2∠AO 2B=70°。
证明过程略。
说明，由同圆内同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半想到连结过交点的半径。
几何辅助线的添加，是几何学习的一个难点，正确添加辅助线，是沟通题设和结论的桥梁，BA ( AF ( BA ( BH ( ( AF ( BH ( P A Q B O O 1 .图 10 F A B D O .H E C 图 9 C D E N G A B O O F 图 8 T B A O O 图 6 A C N B D M P O O 图 5 => ∠C=∠D => O 2O 1必过切点T => ∠1= ∠2 => O 1A// O 2B BA ( BH ( AF ， ( BH ( BA= AF ， ( F E B C A O O 2 .图 7 D
也是解题的重要手段。
学生在做几何题时，明知需要引辅助线，但又不知如何引，而是乱加辅助线，反而使图形复杂，影响思路与问题的解决。
因此，恰当添加辅助线，使问题迎刃而解，从而调动学生积极性，激发学习兴趣，开发智力，掌握解题技能与技巧，提高解题效率，培养思维能力。