统计推断-参数估计
统计推断-参数估计
t（1-a/2，df）：t的分位值， 决定于置信度和自由度，可通 过查表得到。
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利用t分布构建总体均值的置信区间
电阻的电阻值服从正态分布，抽取了10个电阻值的观察 值如下：
电阻值 608 630 610 636 637 610 626 602 604 636
n
Z的分位值，决定于置信度 当置信度为95%时，Z的 0.975的分位值为1.96
应用以上公式的前提条件为：
总体σ已知，或者 大样本（n≥30）
16
学生t分布
定义
设x1,x2…xn是来自正态总体N (, 2 )的一个样本, x 和S为样
本均值和标准差,则:
t x ~ t(n 1)
2
(n 1)s2
2
~
2 (n 1)
2 (n 1) 表示为自由度为（n-1)的卡方分布,卡方分布有以下特
点:
非负非对称分布
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卡方分布
利用卡方分布构建的总体方差(1-a)%置信区间公式如下:
(n 1)s2
2 (1 / 2, df
)
2
(n 1)s2
2 ( / 2, df
)
卡方的分位值可通过 查表得到.
代表性：所抽取样本能够代表所要研究的总体 随机性：总体中每一个个体都有相等的机会被选中 独立性：样本中一个个体被选中不影响另外一个个体被选中
的可能性
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抽样分布
因为统计量从样本到样本是变化的，所以根据统计量 作出的任何推断必定带有不确定性，但这种不确定性 是有规律可循的，这种规律就体现在抽样分布中。
x
2 x
2
n
x
统计推断与参数估计的基本理论与方法
统计推断与参数估计的基本理论与方法统计推断是统计学中的一门重要的研究领域，它主要关注如何通过样本数据对总体特征进行推断。
参数估计则是统计推断的一个重要组成部分，它通过样本数据来估计总体参数。
本文将介绍统计推断和参数估计的基本理论和方法。
一、统计推断的基本理论统计推断的基本理论包括抽样理论、似然函数和假设检验等。
1. 抽样理论抽样理论是统计推断的基础，它研究的是如何从总体中抽取样本以便对总体进行推断。
通过合理的抽样方法，可以保证样本对总体的代表性。
2. 似然函数似然函数是参数估计的基本工具，它是样本观测值关于参数的函数。
通过最大似然估计可以得到参数的最优估计值。
3. 假设检验假设检验是统计推断的重要方法，用于检验某个关于总体参数的假设。
它包括构造检验统计量和确定拒绝域两个步骤，从而进行参数推断。
二、参数估计的基本方法参数估计是统计推断中的核心内容，它通过样本数据来估计总体参数。
参数估计的基本方法包括点估计和区间估计。
1. 点估计点估计是一种直接估计总体参数的方法，它通过样本数据来估计总体参数的具体值。
最常用的点估计方法是最大似然估计和矩估计。
2. 区间估计区间估计是一种间接估计总体参数的方法，它给出了参数的估计区间。
通过给出一个置信区间，可以对总体参数进行估计，并给出估计的精度。
三、常用的统计推断方法在实际应用中，统计学家们发展了许多常用的统计推断方法，包括假设检验、方差分析、回归分析等。
1. 假设检验假设检验是统计推断中最常用的方法之一，它用于检验某个关于总体参数的假设。
例如，检验某种药物对疾病的治疗效果是否显著。
2. 方差分析方差分析是一种用于比较多个总体均值的方法，它通过分析不同组之间的方差来判断各组均值是否有显著差异。
例如，在新产品开发中，可以通过方差分析评估不同市场的销售情况。
3. 回归分析回归分析是一种用于建立变量之间关系的方法，它可以推断自变量对因变量的影响程度。
通过回归分析可以得到回归方程，从而进行预测和解释。
统计描述与统计推断
统计描述与统计推断统计的主要工作就是对统计数据进行统计描述和统计推断。
统计描述是统计分析的最基本内容，是指应用统计指标、统计表、统计图等方法，对资料的数量特征及其分布规律进行测定和描述；而统计推断是指通过抽样等方式进行样本估计总体特征的过程，包括参数估计和假设检验两项内容。
(一)统计描述1.计量资料的统计描述计量资料的统计描述主要通过编制频数分布表、计算集中趋势指标和离散趁势指标以及统计图表来进行。
(1)集中趋势。
指频数表中频数分布表现为频数向某一位置集中的趋势。
集中趋势的描述指标：1)算术平均数。
直接法：x为观察值，n为个数加权法又称频数表法，适用于频数表资料，当观察例数较多时用。
f为各组段的频数。
2）几何平均数（geometric mean）。
几何平均数用符号G表示。
用于反映一组经对数转换后呈对称分布的变量值在数学上的平均水平。
直接法：加权法又称频数表法，当观察例数n较大时，可先编制频数分布表，用此法算几何平均数：3)百分位数（percentile ）与中位数（median ）。
百分位数是一种位置坐标，用符号x P 表示常用的百分位数有 2.5P 、5P 、50P 、75P 、95P 、97.5P 等，其中25P 、50P 、75P 又称为四分位数。
百分位数常用于描述一组观察值在某百分位置上的水平，多个百分位结合使用，可更全面地描述资料的分布特征。
中位数是一个特定的百分位数即50P ，用符号M 表示。
把一组观察值按从小到大（或从大到小）的次序排列，位置居于最中央的那个数据就是中位数。
中位数也是反映频数分布集中位置的统计指标，但它只由所处中间位置的部分变量值计算所得，不能反映所有数值的变化，故中位数缺乏敏感性。
中位数理论上可以用于任何分布类型的资料，但实践中常用于偏态分布资料和分布两端无确定值的资料。
其计算方法有直接法和频数表法两种。
直接法：当观察例数n 不大时，此法常用，先将观察值按大小次序排列，选用下列公式求M 。
统计推断与参数估计方法
统计推断与参数估计方法统计推断是统计学中的一个重要分支，它的目标是通过对样本数据进行分析和推断，从而对总体进行推断和做出统计决策。
参数估计是统计推断的核心内容之一，它涉及到对总体的参数进行估计和推断。
本文将介绍统计推断的概念、方法以及参数估计的原理和常见方法。
一、统计推断概述统计推断是通过样本信息对总体进行推断的一种方法。
在现实生活中，很难获得总体数据，因此我们通常通过抽样来获取样本数据，然后根据样本数据对总体进行推断和做出统计判断。
统计推断可以分为两大类：参数推断和非参数推断。
参数推断是基于总体分布的假设，利用样本数据对总体参数进行推断。
非参数推断则不对总体分布做出假设，通过样本数据对总体分布进行推断。
二、参数估计原理参数估计是统计推断的一种重要方法，它的目标是通过样本数据对总体参数进行估计。
参数估计的核心思想是通过样本数据得到一个估计量，使得估计量与总体参数值尽可能接近。
常用的参数估计方法有最大似然估计、矩估计和贝叶斯估计等。
最大似然估计是根据样本数据的含量，通过计算总体参数最可能出现的取值，来估计总体参数值。
矩估计是通过样本矩的函数与总体矩的函数相等来估计总体参数值。
贝叶斯估计则是利用贝叶斯定理，根据已有信息和先验概率对总体参数进行估计。
三、常用的参数估计方法1. 最大似然估计最大似然估计是参数估计中最常用的方法之一。
最大似然估计的核心思想是选取一组参数值，使得给定样本数据出现的可能性最大。
最大似然估计可以简化为求解似然函数的最大值所对应的参数值。
2. 矩估计矩估计是通过样本矩的函数与总体矩的函数相等来进行参数估计。
矩估计的基本思想是利用样本矩估计总体矩，然后通过总体矩的函数得到对总体参数的估计。
3. 贝叶斯估计贝叶斯估计是基于贝叶斯定理的一种参数估计方法。
贝叶斯估计将参数估计问题转化为给定样本数据下参数的后验分布的估计问题。
通过引入先验分布和似然函数，可以得到对总体参数的估计。
四、参数估计的应用参数估计在各个领域中都有广泛的应用。
第7章参数估计
x 1 0
f P 1－p
x
xf f
1 p 0 (1 p) p (1 p)
p
2 (x x)2 f (1 p)2 p (0 p)2 (1 p)
f
p (1 p)
似然函数常简记为L或 L 1,2, ,k
未知参数的函数。
38
若有 ˆi (x1, x2,..., xn ) i 1, 2, k 使得
L x1, x2,..., xn;ˆ1, ˆ 2,
, ˆ k
max L (1 ,2 , ,k )
x1, x2,..., xn; 1, 2,
, k
则 ˆi (X1, X2,..., Xn) 为参数θi的极大似然估计量。
中选出一个使样本观察值出现的概率为最大的 ˆ 作
为θ的估计量。
称 ˆ 为θ 的极大似然估计量。
37
2.似然函数的数学表达式
设X1,X2,…Xn是取自总体X的一个样本，样本的联合密度 (连续型）或联合分布律 (离散型)为 :
f (x; 1，2 , , k )
定义似然函数为：
n
L L x1,..., xn; 1, 2, , k f xi; 1, 2, , k i 1 x1, x2 ,..., xn 给定的样本观察值
§7.1.4抽样误差
1.误差：调查结果与实际值之间的差异 抽样调查中的误差
登记性误差(非抽样误差) 误差代表性误差随系机统误误差差（（抽非样抽误样差误）差）
2.抽样误差—由于抽样的随机性而产生的 样本指标对总体指标的代表性误差。抽样误 差可以计算并加以控制，但不可以避免。
参数估计的介绍
参数估计的介绍一、总体参数估计概述统计推断(Statistical inference)就是根据样本的实际数据，对总体的数量特征作出具有一定可靠程度的估计和判断。
统计推断的基本内容有参数估计和假设检验两方面。
概括地说，研究一个随机变量，推断它具有什么样的数量特征，按什么样的模式来变动，这属于估计理论的内容，而推测这些随机变量的数量特征和变动模式是否符合我们事先所作的假设，这属于检验理论的内容。
参数估计和假设检验的共同点是它们都对总体无知或不很了解，都是利用部分观察值所提供的信息，对总体的数量特征作出估计和判断，但两者所要解决问题的着重点的所有方法有所不同。
本节先研究总体参数估计的问题。
总体参数估计是以样本统计量（即样本数字特征）作为未知总体参数（即总体数字特征）的估计量，并通过对样本单位的实际观察取得样本数据，计算样本统计量的取值作为被估计参数的估计值。
不论社会经济活动还是科学试验，人们作出某种决策之前总是要对许多情况进行估计。
例如商品推销人员要估计新式时装可能为消费者所学好的程度，自选商场经理要估计附近居民的购买能力，民意调查机构要估计竞选者的得票率，医药生产部门要推广某种药品的新配方，必须估计新药疗效的提高程度等等。
这些估计通常是在信息不完全、结果不确定的情况下作出。
参数估计为我们提供一套在满足一定精确度要求下根据部分信息来估计总体参数的真值，并作出同这个估计相适应的误差说明的科学方法。
科学的抽样估计方法要具备三个基本条件。
首先是要有合适的统计量作为估计量。
我们知道统计量是样本随机变量的函数，根据样本随机变量可以构造许多统计量，但不是所有的统计量都能够充当良好的估计量。
例如，从一个样本可以计算平均数、中位数、众数等等，现在要用来估计总体平均数，究竟以哪个样本统计量作为估计量更合适，如果采用样本平均数作为估计量，这就需要回答样本平均数和总体平均数存在什么样的内在联系，以样本平均数作为良好估计量的标准是什么等等。
统计分析方法论：推断统计分析——参数估计
推断统计分析——参数估计课前准备下载Anaconda软件。
课堂主题本次课讲解推断统计当中参数估计的含义与应用。
课堂目标学习本次课，我们能够达到如下目标：熟知点估计与区间估计的概念与区别。
熟知中心极限定理的含义。
熟知正态分布及其特性。
知识要点推断统计分析概述推断的神奇一只熊掉入陷阱，陷阱深19.617米，下落时间整2秒。
请问熊是什么颜色的？A 白色B 棕色C 黑色D 黑棕色E 灰色首先，根据题目算出g=9.8085，陷阱所在地的纬度大概是44度左右。
根据熊的地理分布，南半球没有熊，可以得知应该是北纬44度；其次，既然为熊设计地面陷阱，一定是陆栖熊，而且大部分陆栖熊视力不好，难以分辨陷阱，所以容易掉入陷阱；至此，可选答案有：棕熊和美洲黑熊/亚洲黑熊，鉴于题目只有棕熊和黑熊，那么只剩下这两个答案。
既然陷阱深19.617米，土质一定为冲击母质，这样才易于挖掘。
棕熊虽然有地理分布，但多为高海拔地区，而且凶悍，捕杀的危险系数大，价值没有黑熊高，而且一般的熊掌、熊胆均取自黑熊。
又因为黑熊的地理分布与棕熊基本不重合，可以判定：该题的正确答案为掉进陷阱里的熊是黑色。
总体，个体与样本总体，是包含我们要研究的所有数据，总体中的某个数据，就是个体。
总体是所有个体构成的集合。
从总体中抽取部分个体，就构成了样本，样本是总体的一个子集。
样本中包含的个体数量，称为样本容量。
推断统计概念推断统计研究如何根据样本数据去推断总体数量特征的方法。
它是在对样本数据进行描述的基础上，对统计总体的未知数量特征做出以概率形式表述的推断。
推断统计意义我们为什么要进行推断呢？因为在实际的研究中，获取总体数据通常比较困难，甚至也许是不可能完成的任务。
因此，我们就需要对总体进行抽样，通过样本的统计量去估计总体参数。
也就是说，总体的参数往往是未知的，我们为了获取总体的参数，就需要通过样本统计量来估计总体参数。
关于点估计与区间估计，说法正确的是（）。
【不定项】D 点估计与区间估计都是通过样本统计量来估计总体参数的。
统计推断中的参数估计一致性
统计推断中的参数估计一致性统计推断是通过对样本进行分析和推断，从而对总体进行估计和判断的一种方法。
而参数估计是统计推断的重要组成部分，它的目标是通过样本数据来估计总体参数的值。
在统计推断中，参数估计的一致性是一个重要属性，它指的是当样本容量逐渐增大时，参数估计值逐渐趋近于总体参数的真实值。
一、参数估计的概念及方法参数是总体的定量特征，而参数估计则是通过样本对总体参数进行估计。
常见的参数估计方法包括点估计和区间估计。
1. 点估计点估计是通过一个点来估计总体参数的值。
在点估计中，最常用的方法是最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation, MLE）和矩估计（Method of Moments Estimation, MOM）。
最大似然估计是基于样本的似然函数，通过选择参数使得样本观测值的出现概率最大化来估计总体参数。
矩估计则是基于样本矩的性质，通过将样本矩与总体矩相等来估计总体参数。
2. 区间估计区间估计是通过一个区间来估计总体参数的值。
常用的区间估计方法包括置信区间估计和预测区间估计。
置信区间是总体参数的一个区间估计，表示参数真值落在该区间内的概率。
预测区间则是对未来观测值的一个区间估计，表示未来观测值落在该区间内的概率。
二、参数估计的一致性参数估计的一致性是指当样本容量逐渐增大时，参数估计值逐渐趋近于总体参数的真实值。
一致性是参数估计的一个重要性质，它保证了随着样本容量的增加，参数估计值的精确度逐渐提高。
1. 大数定律大数定律是参数估计一致性的一个重要理论基础。
大数定律表明，当样本容量足够大时，样本均值的投影值逐渐趋近于总体均值。
这意味着在一致性条件下，点估计的估计值与总体真值之间的偏差逐渐减小。
2. 中心极限定理中心极限定理也是参数估计一致性的一个重要理论基础。
中心极限定理表明，当样本容量足够大时，样本均值的抽样分布逐渐趋近于正态分布。
这意味着在一致性条件下，点估计的抽样分布的变异性逐渐减小。
统计学中的统计推断与统计估计
统计学中的统计推断与统计估计统计学是一门研究数据收集、分析和解释的学科，它在各个领域的研究中发挥着重要的作用。
在统计学中，我们常使用统计推断和统计估计来推断总体参数和估计未知参数。
本文将深入探讨统计推断和统计估计的概念、方法和应用。
一、统计推断统计推断是指基于样本数据对总体特征进行推断的过程。
它主要通过分析样本数据来推断总体的未知参数，并给出相应的概率推断，以判断我们对总体的假设是否合理。
统计推断主要分为参数估计和假设检验两个方面。
1. 参数估计参数估计是统计推断的一个重要方法，它的目的是利用样本数据估计总体参数的值。
在统计学中，常用的参数估计方法有点估计和区间估计。
点估计是通过样本数据计算得到总体参数的一个单一估计值。
常用的点估计方法有最大似然估计和矩估计。
最大似然估计是选择能使观察到的样本数据发生概率最大的参数值作为估计值。
矩估计是利用样本矩和总体矩的对应关系得到参数估计值。
区间估计是指在给定置信水平下，通过样本数据给出一个总体参数的估计区间。
估计区间由一个下限和一个上限构成，称为置信区间。
置信水平通常选择为95%或99%。
区间估计的方法主要有正态分布的置信区间估计和大样本的置信区间估计。
2. 假设检验假设检验是统计推断的另一种重要方法，它是通过对样本数据进行统计量计算，然后根据统计量的分布情况判断总体参数是否满足我们的假设。
假设检验分为单样本假设检验、两样本假设检验和多样本假设检验。
单样本假设检验是将样本数据与总体参数进行比较，判断总体参数是否等于某个特定值。
两样本假设检验是将两个样本数据进行比较，判断两个总体参数是否相等。
多样本假设检验是将多个样本数据进行比较，判断多个总体参数是否相等。
二、统计估计统计估计是对总体参数进行估计的过程，它旨在利用样本数据来估计总体的未知参数，并给出相应的可信区间。
1. 点估计点估计是统计估计的一种方法，它通过样本数据估计总体参数的一个具体值。
点估计方法包括最大似然估计和矩估计。
参数估计
6. 参数估计6.1. 参数估计概述统计学包括四个方面的问题，其中之一就是统计推断。
所谓统计推断就是指，如果有一个总体，其分布和统计量都不知道，如一批生产出来的产品的质量。
这样就需要对其进行推断，如一批灯泡的平均使用寿命是多少，是否为合格品等。
统计推断就是解决这些问题。
统计推断分为两个方面，一方面是参数估计，另一方面是假设检验。
6.1.1.参数估计所谓参数估计就是通过对样本的研究，来确定总体的统计量。
其中又可分为点估计和区间估计两类。
点估计就是估计出总体的某一统计量的确切值，如总体的均值、方差等。
通常可以通过样本的相应值来进行估计。
如：样本的平均值∑=i X nx 1是总体平均值的估计量； 样本的方差为∑=--=ni i x x n s 122)(11是总体方差的估计量； 点估计的优点在于它能明确地给出所估计的参数。
但是一般说来，估计的数值与实际值之间是肯定会有误差存在的。
在实际工作中常常需要对这种误差进行衡量，也就是说还需要确定这个估计值的精度，或误差范围和可信程度。
因此就产生了区间估计的问题。
区间估计是通过样本来估计总体参数可能位于的区间。
例如说一批产品的平均使用寿命为1000小时，这仅仅是一个点估计，还需要说明大多数产品（95%）的使用寿命的上限和下限值，比如说位于800~1200小时之间，这就是一个区间估计值。
因此，在进行区间估计时，除了要给出一个区间值外，还需要同时指明可以信赖的程度，即在进行区间估计时，需要确定的是αθθθ-=<<1)ˆˆ(21p ，其中α为事先给定的一个很小的正数，如0.10, 0.05, 0.01或0.001等，称之为显著水平；1-α称为参数θ的置信概率，或置信水平。
θ1和θ2为所估计的参数θ的区间范围的上下限。
其含为我们有100（1-α）%的把握相信所估计的参数θ位于θ1和θ2的区间范围内。
6.1.2.估计量的评价标准对于所给出的估计来说，有些是好的，有些则不是。
统计推断包括参数估计和假设检验(精)
有lim P{ m p } 1
n n
这个定理说明了：当观察次数n很大时，用 某随机现象在大量观察中发生的实际频率来 代替该现象发生的真实概率差别是很小的。
定理6.3：设X
1
,
X
2
.
.
..
.
..X.
是独立同分布变量，
n
且每个随机变量服从正态分布N (, 2 ).
若有：E[(1 )2]<E[(2 )2]
1 比2 好
1为无偏估计量，3的方差最小， ˆ3的抽样分布
但MSE(ˆ2 )最小
（Var(ˆ3 )最小）
ˆ2的抽样分布
（有偏的估计量）
ˆ1的抽样分布
(无偏估计量)
E（ˆ1）E（ˆ2）
Bias(ˆ3 )
估计量
E（ˆ3）
n i 1
E( X i )
1 n
nE( X )
E( X )
E(S 2 )
E( 1 n 1
n i 1
(Xi
X
)2 )
1 [E n 1
n i 1
(Xi
X
)2]
D(X )
如果统计量为Sn2
1 n
n i1
(Xi
X
)2 , 则E(Sn2 )
D( X
)
此时，E(Sn2
我们把被观察对象的全体称作总体，把从总 体中按照随机原则抽出的个体组成的小群体 称为样本，而样本中所包含的个体数称为样 本容量。
1.总体和样本
设X是一个随机变量，X1，X2 ,......,Xn是一组相互独立与X 具有相同分布的随机变量，称X为总体.X1，X2 ,......,Xn为 来自总体的简单随机样本，简称样本，n为样本容量， 称样本观察值为样本值。
统计推断的内容包括
统计推断的内容包括参数估计和假设检验。
统计推断是通过样本推断总体的统计方法。
总体是通过总体分布的数量特征即参数(如期望和方差) 来反映的。
因此，统计推断包括：对总体的未知参数进行估计;对关于参数的假设进行检查; 对总体进行预测预报等。
科学的统计推断所使用的样本，通常通过随机抽样方法得到。
统计推断的理论和方法论基础，是概率论和数理统计学。
一、基本介绍统计推断(statistical inference)，是指根据带随机性的观测数据（样本）以及问题的条件和假定（模型），而对未知事物作出的，以概率形式表述的推断。
它是数理统计学的主要任务，其理论和方法构成数理统计学的主要内容。
统计推断是从总体中抽取部分样本，通过对抽取部分所得到的带有随机性的数据进行合理的分析，进而对总体作出科学的判断，它是伴随着一定概率的推测。
统计推断的基本问题可以分为两大类：一类是参数估计问题；另一类是假设检验问题。
在质量活动和管理实践中，人们关心的是特定产品的质量水平，如产品质量特性的平均值、不合格品率等。
这些都需要从总体中抽取样本，通过对样本观察值分析来估计和推断，即根据样本来推断总体分布的未知参数，称为参数估计。
参数估计有两种基本形式：点估计和区间估计。
统计推断的一个基本特点是：其所依据的条件中包含有带随机性的观测数据。
以随机现象为研究对象的概率论，是统计推断的理论基础。
二、表述形式在数理统计学中，统计推断问题常表述为如下形式：所研究的问题有一个确定的总体，其总体分布未知或部分未知，通过从该总体中抽取的样本（观测数据）作出与未知分布有关的某种结论。
例如，某一群人的身高构成一个总体，通常认为身高是服从正态分布的，但不知道这个总体的均值，随机抽部分人，测得身高的值，用这些数据来估计这群人的平均身高，这就是一种统计推断形式，即参数估计。
若感兴趣的问题是“平均身高是否超过 1.7（米）”，就需要通过样本检验此命题是否成立，这也是一种推断形式，即假设检验。
统计学复习(抽样分布、参数估计、假设检验)
两个样本均值之差的抽样分布 （1）如： ） 抽样
X1 − N(µ1,σ12 ), X2 − N(µ2 ,σ2 ),
2
则 x1 − x2 ) ~ N(µ1 − µ2 , (
σ12 σ22
n1 + n2
)
抽样
σ12 N1 − n1 σ22 N2 − n2 (x1 − x2 ) ~ N[(µ1 − µ2 , ( )+ ( )] n1 N1 −1 n2 N2 −1
对于无限总体， 对于无限总体， 一个估计 如果对任意 量如能完 ε＞ˆ 0 满足条件 全地包含 LimP(|θn −θ |≥ ε ) = 0 未知参数 n→∞ 信息， 信息，即 则称 θˆ 是 θ 为充分量 的一致估计。 的一致估计。
点估计
常用的求点估计量的方法
用样本的数字特征 1.数字特征法: 1.数字特征法:当样本容量增大时 ,用样本的数字特征 数字特征法 去估计总体的数字特征。 去估计总体的数字特征。 例如，我们可以用样本平均数(或成数 和样本方差来估 例如，我们可以用样本平均数 或成数)和样本方差来估 或成数 计总体的均值(或比率 和方差。 或比率)和方差 计总体的均值 或比率 和方差。
样本均值的抽样分布（简称均值的分布） 样本均值的抽样分布（简称均值的分布） 抽样
均值µ=∑Xi/N 均值
均值 X = Σxi
n
样本均值是样本的函数， 故样本均值是一个统计量， 样本均值是样本的函数， 故样本均值是一个统计量， 统计量 统计量是一个随机变量 随机变量， 统计量是一个随机变量， 样本均值的概率分布称为 样本均值的抽样分布。 样本均值的抽样分布。
2
n
总体均值 （µ） ）
X ± tα
2
( n −1 )
临床统计分析_第三讲_统计推断概述
为II型错误概率）：是指事实上当两总体确 有差异，按检验水准所能发现该差异的能 力 。检验效能为0.8，指做100次假设检验， 有80次能检验出有差别。
检验效能的影响因素
实际组间差异（效应量）的大小；
研究对象个体间的标准差大小；
I型错误率大小;
样本含量大小：重点考察
实例分析
统计推断结果：
2）、计算公式： 可信区间用标准误 参考值范围用标准差
3）、用途 可信区间：用于估计总体参数。 参考值范围：判断观察对象的某 项指标正常与否。
五、统计推断结果评价
（一）、应考虑统计推断的概率性
假设检验结论的概率性，应注意I/II型错误；
诊断性试验的评价四格表
金标准诊断 有病+ 无病(真+) (假+) a b (假-) (真-) c d a+c b+d 合 计 a+b c+d N
Tips:单双侧检验确定应根据专业知识；以 及结合所要解决的问题。 双侧检验较保守和稳妥。
检验水准 ：为预先设定的概率值，所
确定了小概率事件标准．
实际工作中一般取＝0.05
可根据不同研究目的,给予不同的设置值.
注意事项
假设的建立是针对总体而不是样本。 无效假设与备择假设成对出现，两者相互
统计量t=1.883
步骤 3：确定P值,作出推断结论
0.05<P<0.10，按照=0.05水准，
不拒绝H0 ，还不能认为该山区健康 成年男子的脉搏总体均数与一般健康 成年男子的脉搏数不同。
3、假设检验应注意的问题
假设检验的成功与否，建立在严格的设计
的基础上：避免系统误差；严格随机，使 样本具有代表性。 如何评价上述实例分析？
统计推断-参数估计
统计推断-参数估计从本章开始我们介绍统计推断，所谓统计推断就是由样本推断总体，统计推断包括参数估计和假设检验两部分，它们是统计推断最基本而且是互相有联系的两部分，本章介绍统计推断的第一部分参数估计。
参数通常指总体分布中的特征值和和各种分布中的参数，例如二点分布B（1，P）中的p，泊松分布P（）中的，正态分布N（、）的、等，习惯用表示参数，通常参数是未知的。
参数估计的形式有两类，设x1,x2,…,x n是来自总体的样本。
我们用一个统计量的取值作为参数的估计值，则称为的点估计（量），就是参数的点估计，如果对参数的估计需要对估计作出可靠性判断，就需要对这一可靠性给出可靠性区间或置信区间，叫区间估计。
下面首先介绍点估计7.1点估计的几种方法直接用来估计未知参数的统计量称为参数的点估计量，简称为点估计，人们可以运用各种方法构造出很多的估计，本节介绍两种最常用的点估计方法。
它们是：矩法和极大似然法。
7.1.1替换原理和矩法估计用下面公式表示的方法叫矩法例7－1对某型号的20辆汽车记录每5L汽油的行驶里程（km），观测数据如下：29.827.628.327.930.128.729.928.027.928.728.427.229.528.528.030.029.129.829.626.9这是一个容量为20的样本观测值，对应总体是该型号汽车每5L汽油的行驶里程，其分布形式尚不清楚，可用矩法估计其均值，方差，本例中经计算有＝28.695，＝0.9185由此给出总体均值，方差的估计分别为即【答疑编号：10070101针对该题提问】矩法估计的统计思想（替换原理）十分简单明确，众人都能接受，使用场合甚广。
例7－2设总体为指数分布，其密度函数为x 1,…,x n是样本，由于，亦即，故的矩法估计为例7－3设x1,…,x n是来自服从区间（0，）上的均匀分布的样本，＞0为未知参数。
求的矩估计。
【答疑编号：10070102针对该题提问】解：易知总体X的均值为由矩法的矩估计为比如，若样本值为0.1，0.7，0.2，1，1.9，1.3，1.8，则的估计值＝2×（0.1+0.7+0.2+1+1.9+1.3+1.8）＝2例7－4在一批产品取样n件，发现其中有m件次品，试用此样本求该批产品的次品率p的矩估计。
统计学 第6章 统计推断(1、2节)
即，我们有95%的把握认为，该外资 企业员工平均每周加班时间为52.3小时 至57.7小时之间。
第六章 统计推断
总体成数（比例）
1、假定条件
的区间估计
对于试验结果只有两种情况的总体（二项 总体），且为大样本，即满足
np 5和n(1 - p) 5
2、使用正态分布 z 统计量
第六章 统计推断
第六章 统计推断
设 是总体 的一个参数， 是参数 2的 1 和 X 两个统计量，且 ，对给定的常 1 2 数 ，及任意的 1) ， 有 ， (0 则称随机区间 ) 1 P( 1 2 是臵信度（臵信水平）为 的臵信区间 1 1 , 2 （区间估计）。其中 分别为臵信下限和 1 和 2 臵信上限。
（比例）为： 225 因为是大样本，故得： p 500 45% p (1 p ) p (1 p ) p z 2 , p z 2 n n
即，我们有95%的把握认为，19岁以下的青少年上网比例 在40.64%至49.36%之间。
第六章 统计推断
在简单随机抽样条件下，样本均值和样本 比例的抽样误差： 样本均值的抽样误差
重复抽样：
x
n
2
不重复抽样：
x
当总体方差 未知时，可用样本方差 代替。
第六章 统计推断
N n ( ) n N 1
2
s
2
样本比例的抽样误差
重复抽样： 不重复抽样：
p
1
n
p
2
第六章 统计推断
、1
2
方式一
统计推断中的参数估计方法
统计推断中的参数估计方法统计推断是统计学的一个重要分支，通过样本数据对总体参数进行估计，并对估计结果的可靠性进行推断。
在统计推断中，选择合适的参数估计方法至关重要。
本文将介绍几种常用的参数估计方法，包括点估计、区间估计和最大似然估计。
一、点估计点估计是使用样本数据来估计总体参数的一种常用方法。
它的思想是根据样本数据得到一个单独的数值作为总体参数的估计值。
点估计的核心是选择一个合适的统计量作为参数的估计量。
常用的点估计方法有样本均值估计、样本方差估计和极大似然估计等。
例如，在对总体均值进行估计时，可以使用样本均值作为参数的点估计量。
这是因为根据大数定律，当样本足够大时，样本均值会无偏且一致地估计总体均值。
二、区间估计点估计虽然简单直观，但无法给出估计结果的可靠程度。
为了解决这个问题，统计学引入了区间估计的概念。
区间估计以一个区间作为总体参数的估计范围，并给出该区间包含总体参数的概率。
常用的区间估计方法有置信区间估计和预测区间估计。
置信区间估计用于对总体参数的估计，预测区间估计则用于对新观测值的估计。
以置信区间估计为例，它的计算基于样本统计量的分布特性和样本容量。
三、最大似然估计最大似然估计是统计推断中一种重要的参数估计方法。
它通过选择最大化样本数据出现的概率或似然函数来估计参数值。
最大似然估计的核心思想是选择参数值，使得样本数据出现的概率最大。
最大似然估计有着良好的性质，包括无偏性、一致性和渐近正态性。
它在很多统计模型中被广泛应用，如正态分布、二项分布和泊松分布等。
总结：统计推断中的参数估计方法包括点估计、区间估计和最大似然估计。
点估计通过使用样本数据得到总体参数的单个数值估计；区间估计提供了参数估计结果的可靠性区间；最大似然估计通过选择使样本数据出现概率最大的参数值进行估计。
这些方法在实际应用中具有重要的意义，帮助我们更好地理解和推断总体参数。
通过合理地选择和应用这些参数估计方法，我们可以从样本数据中获得对总体的有效估计，并对估计结果的可靠性进行推断。
医学统计学第3章
均数的抽样示意图
X1 S1
μσ
X2 S2 XI Si Xn Sn
σx
X服从什么分布？
例3-1 若某市1999年18岁男生身高服从均数 =167.7cm、标准差 =5.3cm的正态分布。从该正态分布N(167.7，5.32)总体中随机抽样 100次即共抽取样本g=100个，每次样本含量nj=10人，得到每个样 本均数 及标准差Sj 如图3-1和表3-1所示。
95%CL 175.72 173.44 174.31 170.90 171.04 170.83 173.11 171.90 172.52 172.00 169.40 171.56 171.53 172.94
171.21 170.33 169.03 167.63 168.66 168.84 169.31 168.46 168.60 168.47 165.68 165.68 168.03 169.37
171.00 170.10 170.47 175.98 169.97 171.91 173.37
样本号 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74
x
j
Sj 6.30 4.34 7.38 4.58 3.33 2.78 5.31 4.81 5.48 5.05 5.19 8.22 4.89 5.00 166.70 167.23 163.75 164.36 166.27 166.85 165.51 165.02 164.88 164.86 161.97 159.80 164.53 165.79
抽样误差：样本统计量与参数之间的差异， 称抽样误差。 样本统计量是一个随机变量，在随机的原则 下从同一总体抽取不同的样本，即使每个样 本的样本含量n相同,它们的结果也会不同。
统计学的研究方法——统计推断
统计学的研究方法——统计推断常常存在这种情况，我们所掌握的数据只是部分单位的数据或有限单位的数据，而我们所关心的却是整个总体甚至是无限总体的数量特征。
例如民意测验谁会当选主席，体育锻炼读增强心脏功能是否有益，某种新药是否提高疗效，全国因而性别比例如何，等等。
这是只靠部分数据的描述是无法获得总体特征的知识。
我们利用统计推断的方法来解决。
所谓统计推断就是以一定的置信标准要求，根据样本数据来判断总体数量特征的归纳推理的方法。
统计推断是逻辑归纳法在统计推的应用。
所以称为归纳推理的方法。
统计推断可以用于总体数量特征的估计，也可以用于对总体某些假设的检验，所以又有不同的推断方法。
（1）参数估计法。
当总体的界限已经划定，总体某一数量特征的数值就是唯一确定的，所以把总体的数量特征称为总体参数。
但是总体参数通常不知道，这就需要通过样本数据计算样本统计量，并以此作为总体参数的估计量来估计总体参数的取值或取值区间，这种方法称为参数估计法。
例如，实割实测若干样本点的粮食产量来推测全区的粮食产量，对若干种选的样本居民户的家庭收支进行经常性的登记，以估计全市居民家庭生活的收支水平等，由于统计分析中经常需要对总体的各项综合指标作出客观的评价，因此参数估计方法在实际工作被广泛地采用。
（2）假设检验法假设检验的特点是，由于对总体的变化情况不了解，不妨相对总体的状况作出某种假设，然后根据样本实际观察的资料对所做假设进行检验，来判断这种假设的真伪，以决定行动的取舍。
例如，工厂生产某种产品，经过工艺改革，不知道产品质量是否有所提高，我们不妨假设工艺改革没有效果，产品质量和以往正常生产的产品质量没有显著性的差异，所有差异仅仅由随机性的原因引起的。
我们从假设为真的前提出发，比较样本指标的实际值和假设的总体参数之间的差异是否超过给定的显著性标准。
如果超过这标准，我们就有理由否定原来的假设，而采纳其对立的假设，即工艺改革是有效的，提高了产品质量，如果差异没有超过显著性标准，则接受原来的假设，即认为公益改革是无效的，产品质量没有显著性提高，假设检验的方法是统计推断常用的方法。
心理统计学-推断统计-参数估计-练习题
【单项选择题】区间估计依据的原理是()A.概率论B.样本分布理论C.小概率事件D.假设检验【单项选择题】下列不属于评价一个估计量好坏的特征的是()A.有用性B.有效性C.一致性D.充分性【单项选择题】用从总体抽取的一个样本统计量作为总体参数的估计值称为()A.点估计B.样本估计C.区间估计D.总体估计【单项选择题】样本平均数的可靠性和样本的大小()A.没有一定关系B.成反比C.没有关系D.成正比【多项选择题】一个良好的估计量具备的特征有()A.无偏性B.一致性C.有效性D.充分性【多项选择题】区间估计中总体指标所在范围()A.是一个可能范围B.是绝对可靠的范围C.不是绝对可靠的范围D.是有一定把握程度的范围【多项选择题】参数估计分为()和()A.点估计B.标准误C.标准差D.区间估计【单项选择题】置信度或者置信水平可以表示为()A.1-βB.1-aC.βD.a【单项选择题】在某学校的一次考试中，已知全体学生的成绩服从正态分布，其总方差为100。
从中抽取25名学生，其平均成绩为80,方差为64。
以95%的置信度估计该学校全体学生成绩均值的置信区间是()A.[76.08,83.92]B.[75.90,84.10]C.[76.86,83.14]D.[74.84,85.16]【单项选择题】当显著性水平一定时，置信区间的宽度()A.随着样本容量n 的增大而增大B.随着样本容量n 的增大而减小C.与样本容量n 无关D.与样本容量n 的平方根成正比【单项选择题】从某正态总体中随机抽取一个样本，其中n=10,1-n S =6,其平均数的抽样标准误为()A.1.7B.1.9C.2.1D.2.0【单项选择题】在参数估计中，α指()A.置信水平B.置信区间C.置信度D.显著性水平【单项选择题】总体分布为正态，总体方差已知，从总体中随机抽取容量为20的样本。
用样本平均数估计总体平均数的置信区间为() A.1122-+<<--n Z X n Z X σμσααB.1122-+<<--n t X n t X σμσααC.n Z X n Z X σμσαα22+<<-D.nt X n t X σμσαα22+<<-【单项选择题】下列受样本容量影响分布曲线形态的是()A.正态分布和F 分布B.F 分布和t 分布C.正态分布和t 分布D.正态分布和χ²分布【单项选择题】随机抽取一个样本容量为100的样木，其均值X =80,标准差s=10,所属总体均值μ的99%的置信区间是()A.[77.42,82.58]B.[78.04,81.96]C.[76.08,83.92]D.[77.42,81.96]【单项选择题】总体方差未知时，可以用()作为总体方差的估计值，实现对总体平均数的估计。
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统计推断-参数估计
从本章开始我们介绍统计推断，所谓统计推断就是由样本推断总体，统计推断包括参数估计和假设检验两部分，它们是统计推断最基本而且是互相有联系的两部分，本章介绍统计推断的第一部分参数估计。
参数通常指总体分布中的特征值和和各种分布中的参数，例如二点分布B（1，P）中的p，泊松分布P（）中的，正态分布N（、）的、等，习惯用表示参数，通常参数是未知的。
参数估计的形式有两类，设x1,x2,…,x n是来自总体的样本。
我们用一个统计量的取值作为参数的估计值，则称为的点估计（量），就是参数的点估计，
如果对参数的估计需要对估计作出可靠性判断，就需要对这一可靠性给出可靠性区间或置信区间，叫区间估计。
下面首先介绍点估计
7.1点估计的几种方法
直接用来估计未知参数的统计量称为参数的点估计量，简称为点估
计，人们可以运用各种方法构造出很多的估计，本节介绍两种最常用的点估计方法。
它们是：矩法和极大似然法。
7.1.1替换原理和矩法估计
用下面公式表示的方法叫矩法
例7－1对某型号的20辆汽车记录每5L汽油的行驶里程（km），观测数据如下：
29.827.628.327.930.128.729.928.027.928.7
28.427.229.528.528.030.029.129.829.626.9
这是一个容量为20的样本观测值，对应总体是该型号汽车每5L汽油的行驶里程，其分布形式尚不清楚，可用矩法估计其均值，方差，本例中经计算有
＝28.695，＝0.9185
由此给出总体均值，方差的估计分别为即
【答疑编号：10070101针对该题提问】
矩法估计的统计思想（替换原理）十分简单明确，众人都能接受，使用场合甚广。
例7－2设总体为指数分布，其密度函数为
x1,…,x n是样本，由于，亦即，故的矩法估计为
例7－3设x1,…,x n是来自服从区间（0，）上的均匀分布的样本，＞0为未知参数。
求的矩估计。
【答疑编号：10070102针对该题提问】
解：易知总体X的均值为
由矩法的矩估计为
比如，若样本值为0.1，0.7，0.2，1，1.9，1.3，1.8，则的估计值
＝2×（0.1+0.7+0.2+1+1.9+1.3+1.8）＝2
例7－4在一批产品取样n件，发现其中有m件次品，试用此样本求该批产品的次品率p的矩估计。
【答疑编号：10070103针对该题提问】
解：因为
∴
例如抽样总数n=100，其中次品m=5.
则
例7－5电话总机在一分钟间隔内接到呼唤次数X～P（）。
观察一分种接到呼唤次数共观察40次，结果如下
接到呼唤次数012345
观察次数51012832
求未知参数的矩估计
【答疑编号：10070104针对该题提问】
解：（1）∵X～P（）
∴EX=
由矩法
∴
（2）计算（0×5+1×10+2×12+3×8+4×3+5×2）＝2
∴＝2
7.1.2极大似然估计
为了叙述极大似然原理的直观想法，先看例7－6
例7－6设有外表完全相同的两个箱子，甲箱中有99个白球和1个黑球，乙箱中有99
个黑球和1个白球，现随机地抽取一箱，并从中随机抽取一球，结果取得白球，问这球是从哪一个箱子中取出的？
【答疑编号：10070105针对该题提问】
解：不管是哪一个箱子，从箱子中任取一球都有两个可能的结果：A表示取出白球，B 表示取出黑球，如果我们取出的是甲箱，则A发生的概率为0.99，而如果取出的是乙箱，则A发生的概率为0.01，现在一次试验中结果A发生了，人们的第一印象就是：“此白球（A）最像从甲箱取出的”，或者是说，应该认为试验条件对事件A出现有利，从而可以推断这球是从甲箱中取出的，这个推断很符合人们的经验事实，这里“最像”就是“极大似然”之意。
本例中假设的数据很极端，一般地，我们可以这样设想，在两个箱子中各有100个球，甲箱中白球的比例是P1，乙箱中白球的比例是P2，已知P1＞P2，现随机地抽取一个箱子并从中抽取一球，假定取到的是白球，如果我们要在两个箱子中进行选择，由于甲箱中白球的比例高于乙箱，根据极大似然原理，我们应该推断该球来自甲箱。
下面分别给出离散型随机变量和连续型随机变量的极大似然估计求未知参数的估计的步骤
（一）离散型随机变量
第一步，从总体X取出样本x1,x2,…,x n
第二步，构造似然函数
L（x1,x2,…,x n，）＝P（X ＝x1）P（X＝x2）…P（X＝x n）
第三步，计算ln L（x1,x2,…,x n，）并化简
第四步，当＝时ln L（x1,x2,…,x n，）取最大值则取＝
常用方法是微积分求最值的方法。
（二）连续型随机变量
若X～f（x,）
第一步从总体X取出样本x1,x2,…,x n
第二步构造似然函数
L（x1,x2,…,x n，）＝f（x1，）f（x2，）…f（x n，）
第三步计算ln L（x1,x2,…,x n，）并化简
第四步当＝时ln L（x1,x2,…,x n，）取最大值则取＝
常用方法是微积分求最值的方法
例7－7设总体X～B（1，P）即
设P（A）＝，从总体X中抽样x1,x2,…,x n，问最大似然法求
【答疑编号：10070106针对该题提问】
解：当X～B（1，P）时，应有
∴P（X＝1）＝P，P（X＝0）=1－P
第一步构造似然函数
L（x1,x2,…,x n，P）＝P（X＝x1）P（X＝x2）…P（X＝x n）
＝
＝。