定积分计算的总结论文

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定积分计算的总结

闫佳丽

摘 要：本文主要考虑定积分的计算,对一些常用的方法和技巧进行了归纳和总结.在定积分的计算中,常用的计算方法有四种：（1）定义法、（2）牛顿—莱布尼茨公式、（3）定积分的分部积分法、（4）定积分的换元积分法.

关键词：定义、牛顿—莱布尼茨公式、分部积分、换元. 1前言

17世纪后期，出现了一个崭新的数学分支—数学分析.它在数学领域中占据着主导地位.这种新数学思想的特点是非常成功地运用了无限过程的运算即极限运算.而其中的微分和积分这两个过程，则构成系统微积分的核心.并奠定了全部分析学的基础.而定积分是微积分学中的一个重要组成部分. 2正文

那么，究竟什么是定积分呢我们给定积分下一个定义：设函数()f x 在[],a b 有定义，任给[],a b 一个分法T 和一组{}k ξξ=，有积分和

1

(,)()n

k k k T f x σξξ==∆∑，若当()0l T →时，积分和(,)T σξ存在有限极限，

设()0()0

1

lim (,)lim ()n

k k l T l T k T f x I σξξ→→==∆=∑，且数I 与分法T 无关，也与k ξ在[]1,k k x x -的取法无关，即{}0,0,:(),k T l T εδδξξ∀>∃>∀<∀=有

1

()n

k

k

k f x

I ξε=∆-<∑，则称函数()f x 在[],a b 可积，I 是函数()f x 在[]

,a b 的定积分，记为()0

1

()lim ()n

b

k k a l T k f x dx f x I ξ→==∆=∑⎰.其中，a 与b 分别是定积分的下限与上限；()f x 是被积函数；()f x dx 是被积表达式；x 是积分变量.若当()0l T →时，积分和(,)T σξ不存在极限，则称函数()f x 在[],a b 不

可积.定积分的几何意义也就是表示x 轴，x a =，x b =与()y f x =围成的曲边梯形的面积.

但是我们知道并不是所有的被积函数都是可积的，这就涉及到定积分的三类可积函数：

1、函数()f x 在闭区间[],a b 连续,则函数()f x 在闭区间[],a b 可积.

2、函数()f x 在闭区间[],a b 有界,且有有限个间断点,则函数()f x 在闭区间[],a b 可积.

3、若函数()f x 在闭区间[],a b 单调,则函数()f x 在闭区间[],a b 可积. 在定积分的计算中，常用的有四种方法,在不同的情况下用的方法也是不同的.

一、按照定义计算定积分.

定积分的定义法计算是运用极限的思想,简单的来说就是分割求和取极限.以()b

a I f x dx =⎰为例：任意分割,任意选取k ξ作积分和再取极限.任意分割任意取k ξ所计算出的I 值如果全部相同的话，则定积分存在.如果在某种分法或者某种k ξ的取法下极限值不存在或者与其他的分法或者k ξ的取法下计算出来的值不相同，那么则说定积分不存在.如果在不知道定积分是否存在的情况下用定义法计算定积分是相当困难的，涉及到怎样才是任意分割任意取k ξ.但是如果根据上述三类可积函数判断出被积函数可积，那么就可以根据积分和的极限唯一性可作[],a

b 的特殊分法，选取特殊的

k ξ，计算出定积分.

第一步：分割.

将区间[],a b 分成n 个小区间，一般情况下采取等分的形式.b a

h n

-=

，那么分割点的坐标为(),0a ，(),0a h +，()2,0a h +......()(1),0a n h +-，(),0b ，k ξ在[]1,k k x x -上任意选取，但是我

们在做题过程中会选取特殊的k ξ，即左端点，右端点或者中点.经过分割将曲边梯形分成n 个小曲边梯形.我们近似的看作是n 个小长方形.

第二步：求和.

计算n 个小长方形的面积之和，也就是()1

n

k

k f h ξ=∑.

第三步：取极限.

()()00

1

1

lim lim n n

k k h h k k I f h h f ξξ→→====∑∑，0h →即n →∞，也就是说分的

越细，那么小曲边梯形就越接近小长方形，当n 趋于无穷之时，小曲边梯形也就是小长方形，那么小长方形的面积和即为曲边梯形的面积，也就是定积分的积分值.

例1、

用定义法求定积分1

0xdx ⎰.

解：因为()f x x =在[]0,1连续 所以()f x x =在[]0,1可积 令101

h n n

-=

= 将[]0,1等分成n 个小区间，分点的坐标依次为

02...1h h nh <<<<=

取k ξ是小区间[](1),k h kh -的右端点，即k kh ξ=于是

2

10(1)1lim lim 2n n n n xdx khh n →∞→∞+⎛⎫== ⎪⎝⎭⎰21

1(1)1lim lim 222

n n n n n n →∞→∞+

+=== 所以，1

1

2

xdx =⎰

二、微积分基本公式：牛顿-莱布尼茨公式

牛顿-莱布尼茨公式很好的把定积分与不定积分联系在一起。利用此公式，可以根据不定积分的计算计算出定积分。这个公式要求函数()f x 在区间[],a b 内必须连续。求连续函数()f x 的定积分只需求出()f x 的一个原函数，再按照公式计算即可.

定理：若函数()f x 在区间[],a b 连续，且()F x 是()f x 的原函数，则

()()()b

a

f x dx F b F a =-⎰

.

证明：因为()F x 是()f x 的原函数，即[],x a b ∀∈有'()()F x f x = 积分上限函数()x

a f t dt ⎰也是()f x 的原函数 所以

()

'

()()x

a f t dt f x =⎰

所以()()x

a f t dt F x C -=⎰

令x a =有()()a

a f t dt F a C -=⎰即()C F a =- 再令x

b =有()()()b

a f x dx F

b F a =-⎰

我们知道，不定积分与定积分是互不相关的，独立的.但是在连续的条件下，微积分基本定理把这两个互不相关的概念联系起来，这不仅给定积分的计算带来极大的方便，在理论上把微分学与积分学沟通起来，这是数学分析的卓越成果，有着重大的意义.

例2、 用牛顿莱布尼茨公式计算定积分1

0xdx ⎰.

解： 原式=1

2011

22

x =

同样的一道题目，用牛顿-莱布尼茨公式明显比定义法简单，容易计算.

三、定积分的分部积分法