共轭梯度法的预处理
预处理共轭梯度
预处理共轭梯度预处理共轭梯度是一种用于解决线性方程组问题的迭代算法，它在解决大规模问题时具有极高的效率和可靠性。
本文将介绍预处理共轭梯度算法的原理、基本步骤和优点等内容。
一、预处理共轭梯度算法的原理预处理共轭梯度算法是一种求解线性方程组Ax=b的迭代算法。
它是共轭梯度算法的一种改进，利用预处理矩阵M-1将原矩阵A进行预处理，使得求解线性方程组的收敛速度更快。
预处理矩阵M-1的选取通常需要满足两个条件：M-1必须易于求解，并且M-1与A的条件数应该较小，以保证算法的稳定性。
二、预处理共轭梯度算法的基本步骤预处理共轭梯度算法的基本步骤如下：1. 给定线性方程组Ax=b，设初值x0，残量r0=b-Ax0，设P0=M-1r0，初始共轭方向为d0=P0。
2. 循环执行以下步骤：（1）计算Adi，计算当前步长αi=rTi di/ diT Adi，更新解向量x=x+αi di。
（2）计算残量ri+1=ri-αi Adi，如果ri+1尺度小于某个精度要求，则跳转到第5步。
（3）利用预处理矩阵M-1，计算Pi+1=M-1 ri+1。
（4）计算βi+1=ri+1Ti+1 Pi+1/ riTi，更新共轭方向di+1=Pi+1+βi+1di。
（5）如果达到精度要求或迭代次数到达预设值，则停止迭代。
三、预处理共轭梯度算法的优点预处理共轭梯度算法相比于共轭梯度算法有如下优点：1. 收敛速度更快：预处理共轭梯度算法通常只需要很少的迭代次数即可达到预设的精度要求。
2. 内存占用低：预处理共轭梯度算法只需要存储一些预处理矩阵的信息，内存占用相比于直接求解矩阵A要少得多。
3. 适用于大规模问题：由于预处理矩阵通常是稀疏矩阵，而且其尺寸相对于矩阵A要小得多，因此预处理共轭梯度算法适用于解决大规模问题。
四、总结预处理共轭梯度算法是解决线性方程组问题的一种高效迭代算法，它在解决大规模问题时具有明显的优势。
在实际应用中，预处理共轭梯度算法和其他一些线性方程组求解算法通常结合使用，以达到更好的效果。
共轭梯度法步骤
共轭梯度法步骤共轭梯度法是一种求解线性方程组的迭代算法，它以高效稳定的特点而广受欢迎。
以下是共轭梯度法的步骤：步骤1：初始化首先，我们需要有一个初始向量x0和一个初始残量r0=b-Ax0。
其中，A为系数矩阵，b为常数向量。
步骤2：计算方向向量令d0=r0，表示第一次迭代的方向向量。
步骤3：计算步进长度令α0=(r0·r0)/(d0·Ad0)，其中·表示向量的点积。
α0表示迭代过程中每个方向向量的步进长度。
步骤4：更新解向量令x1=x0+α0d0，表示迭代后的解向量。
步骤5：计算新残量令r1=r0-α0Ad0。
步骤6：判断终止条件如果r1的范数小于预设阈值，或者迭代次数达到预设次数，终止迭代。
否则，进入下一次迭代。
步骤7：更新方向向量令β1=(r1·r1)/(r0·r0)，表示更新方向向量的轴线。
步骤8：计算新方向向量令d1=r1+β1d0，表示新的迭代方向向量。
步骤9：计算新的步进长度令α1=(r1·r1)/(d1·Ad1)。
步骤10：更新解向量令x2=x1+α1d1。
步骤11：更新残量令r2=r1-α1Ad1。
步骤12：重复步骤6至11，直至满足终止条件。
总结起来，共轭梯度法的步骤主要包括初始化、计算方向向量、计算步进长度、更新解向量、计算新残量、判断终止条件、更新方向向量、计算新的步进长度、更新解向量和更新残量等。
该算法迭代次数较少，收敛速度快，适用于大规模线性方程组的求解。
预处理共轭梯度法
预处理共轭梯度法引言预处理共轭梯度法是一种用于解决线性方程组问题的迭代方法。
它在处理大规模稀疏方程组时表现出色，相比于传统的直接解法更具有高效性和稳定性。
本文将对预处理共轭梯度法进行全面、详细、完整且深入地探讨。
什么是共轭梯度法共轭梯度法是一种迭代优化方法，用于求解对称和正定的线性方程组Ax=b。
它的基本思想是通过找到一组相互”共轭”的搜索方向来加速迭代过程。
预处理共轭梯度法的介绍预处理共轭梯度法是对共轭梯度法的改进和优化。
它通过在每一步迭代中应用预处理矩阵M来加速收敛过程。
预处理矩阵通常是原方程系数矩阵A的逆或近似逆。
预处理共轭梯度法的核心算法可以分为以下几个步骤：步骤1：初始化•设定初始解x0和残差r0=b-Ax0。
•计算初步搜索方向d0=M*r0。
步骤2：迭代计算•对于第k次迭代：–计算步长αk。
–更新解：xk+1 = xk + αk * dk。
–计算新的残差：rk+1 = rk - αk * Adk。
–计算新的搜索方向：dk+1 = Mk+1 * rk+1。
步骤3：收敛判断•判断残差rk+1的范数是否满足收敛条件，若满足则终止迭代。
预处理矩阵的选择预处理矩阵的选择是预处理共轭梯度法的关键。
常见的预处理矩阵选择方法有以下几种：1. 不完全因式分解预处理不完全因式分解预处理是通过对系数矩阵的若干个元素进行保留或丢弃，得到一个近似逆矩阵。
常见的不完全因式分解预处理方法有不完全LU分解、不完全Cholesky分解等。
2. 迭代求解预处理迭代求解预处理方法是通过迭代方法求解预处理矩阵的逆。
常见的迭代求解预处理方法有Jacobi预处理、Gauss-Seidel预处理等。
3. 基于特征值的预处理基于特征值的预处理方法是通过对系数矩阵的特征值进行分析，选择适当的预处理矩阵。
常见的基于特征值的预处理方法有谱条件预处理、谱平滑预处理等。
预处理共轭梯度法的收敛性和稳定性预处理共轭梯度法相比于传统的共轭梯度法在收敛速度和稳定性方面有显著的改进。
一种基于预处理共轭梯度法的给水管网水力计算方法
一种基于预处理共轭梯度法的给水管网水力计算方法王美香【摘要】提出了一种新的给水管网水力计算方法．该方法对给水管网系统的节点流量连续性方程进行重新构造，用改进的Cholesky分解方法对重新构造的矩阵进行三角分解，然后使用预处理共轭梯度法求解．经用供水管网模型进行验证并与EPANET软件的计算结果进行比较，结果表明：该算法共迭代5次，用时0．102 s，与EPANET混合节点-环方法的求解精度和速度非常接近，且弥补了EPA-NET 软件的应用缺陷，可用于求解大型城市的给水管网系统．%A calculation method of water distribution network hydraulic was proposed.The nodes flow conti-nuity equation of water distribution system was reconstructed,the reconstructed matrix was decomposed tri-angularly by a modified Cholesky decomposition method,and thus it was suitable for the use of precondi-tioned conjugate gradient method.It was tested by the model of water distribution network(WDN)pared with calculation result of EPANET software,the proposed algorithm does total iteration five times in 0.1 02 s,which closed to the result of mixed node-ring method used in EPANET software in the as-pect of accuracy and speed.The proposed algorithm overcame the defects of EPANET software,which could be used to solve large-scale urban water supply network system.【期刊名称】《郑州轻工业学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(000)003【总页数】5页(P92-96)【关键词】给水管网水力计算方法;预处理共轭梯度法;Cholesky分解;混合节点-环方法【作者】王美香【作者单位】郑州旅游职业学院基础部，河南郑州 450009【正文语种】中文【中图分类】O022;TU991随着城市化进程的加快，供水问题成为当前影响我国经济社会可持续发展的问题之一，实现供水管理的科学化和现代化是解决供水问题的有效途径.给水管网水力计算一直都是给水管网研究领域的重要课题［1-3］，因为水力计算是管网规划、设计及动态运行管理的科学依据［4-6］.特别是，供水管网的优化调度，更需要一种快速的水力计算方法来提高调度的实时性.根据求解的未知量是管段流量还是节点水压，水力计算算法可分为解环方程组法、解管段方程组法和解节点方程组法.其中，解环方程组法仅限于解决方程个数较少的手工列表计算;解管段方程组法计算过程太复杂，工程实际中极少使用［7］.目前常用的计算软件EPANET，采用混合节点-环方法求解给定时间点给水管网水力状态的节点流量连续性和管段水头损失.EPANET是由美国环保总署开发的主要用于有压给水管网系统(包括水库、水泵、水池、泵站等)的水力水质计算软件［8-9］，它可以对有压给水管道的水力特性以及水质特性变化进行长时间动态仿真模拟，具有管网水力计算、工况运行模拟、基本信息管理、仿真运行管理等功能，运用EPANET可以实现给水管网模型基本图形录入的可视化操作.该软件计算速度快、准确性高，但其结果显示有局限性，运行结果1次只能看到1个属性信息，且该软件仅限于教学和科研使用，尚不能商用.鉴于此，本文基于预处理共轭梯度法，运用解节点方程组法将非线性问题转化为线性问题，然后通过计算机编程用迭代法求解，从而达到对给水管网系统进行快速水力计算的目的.给水管网系统是一类规模巨大且运行工况复杂多变的网络系统，通常将其简化、抽象和标识为便于使用图形和数据表达与分析的应用系统，包括给水管网系统中各组成部分的拓扑连接关系、工程属性、水力特性等，常称为给水管网模型［10］.本文应用预处理共轭梯度法求解给水管网模型相关问题.经过简化，可将给水管网系统问题转化为数学问题，最终将计算结果应用到实际中去.通常，简化应满足宏观等效原则和可容忍小误差原则.简化后的给水管网需要进一步抽象成为仅由管段和节点组成的管网模型，用图论中的关联矩阵来刻画，记为A=(aij).考虑设定了初始方向的给水管网图，则关联矩阵中的每个元素aij可表示为其中，i=1，2，…，nJ，j=1，2，…，nP.显然，对于较大规模的城市给水管网，相应的给水管网图是一个稀疏图，其关联矩阵是一个nJ×nP的稀疏矩阵.类似地，可建立其环路矩阵.给水管网的水力特性是指管网模型中节点和管段传递、输送流量和能量的特性，其理论基础是质量守恒定律、能量守恒定律和动量守恒定律.通常分析给水管网水力特性时，仅考虑质量守恒定律和能量守恒定律.笔者将采用解节点方程法来获得给水管网系统的水力特性参数.综合考虑节点流量连续性方程组、环能量方程组和管段压降方程组，则可以用向量方式将给水管网水力特性方程组简写为显然，上式是以节点水头为自变量的节点方程，而且是线性表达式，在实际求解过程中须采用迭代方式实现，即上述方程的求解过程是一个迭代过程，需要拟定管段的初始流量，但不需要拟定节点的初始水头.从迭代的角度来说，如果初始流量分配不当，可能会增加迭代次数，但一般不会导致不收敛.因为在实际的给水系统中，当给定某种工况时，一定存在一种确定的供水状态，即节点水头是存在的、确定的. 无约束最优化问题一直都是学术界的研究热.由此，M.R.Hestenes 等［18］的方法也可视为求二次函数极小值的共轭梯度法.1964 年，R.Fletcher等［19］将此方法推广到非线性优化，得到了求一般函数极小值的共轭梯度法.共轭梯度法是一种实用的线性方程组迭代求解方法:先用解节点方程法把复杂的非线性的管网稳态方程组转化为比较简单的线性表达式，然后用迭代法求解.这是一种适合计算机实现的管网水力计算方法.在公式①中，当未知量全为节点水压时，方程组的系数矩阵AM-1 A T是一个NJ×NJ的对称正定阵，且具有弱主对角优势.对于大型给水管网，该系数矩阵是稀疏的，通常其非零元占元素总数不到5%.数值计算领域的研究表明［19］:对于高阶的此类方程组，由于其系数具有大型稀疏特点，且对称正定，适合采用预处理共轭梯度法来求解;对于一般病态的大型稀疏矩阵，共轭梯度法只需远小于N(N为矩阵阶数)次迭代就可以得到满足精度要求的数值解;如果矩阵病态较严重，则可以使用预处理方法改善其条件，加快迭代的收敛速度.当未知量中既含有节点水头又含有节点流量时，就必须构造一个类似于①的方程组，使其系数矩阵为对称正定阵. 2.1 给水管网水力特性方程组系数矩阵的对称正定预处理设给水管网模型中流量已知而水头未知的节点集合为J(D)，节点个数为CD;流量未知而水头已知的节点集合为J(UD)，节点个数为CUD.设节点集合J(D)的关联矩阵、节点水头和节点流量分别为A D，H D和Q D，节点集合J(UD)的关联矩阵、节点水头和节点流量分别为A UD，H UD和Q UD.则节点流量连续性方程组又可以表示为点之一［11-14］，共轭梯度法及其各种改进算法都属于无约束最优化问题的求解方法［15-17］.共轭梯度法最早是由计算数学家 M.R.Hestenes等［18］于 1950 年代初为求解线性方程组A x=b(x∈Rn)而提出的.当A为对称正定阵时，上述线性方程组等价于最优化问管段能量方程A T H=h也可以改写为在方程④中，当未知向量H D已知时，方程⑤中的未知量为Q UD.在给水管网水力计算的每次迭代求解过程中，都将生成形如式④⑤的线性方程组.在规模较大的市政给水管网系统中，通常CD都较大，因此系数矩阵˜A是一个大型稀疏矩阵，其条件数非常大.为保证处理后的方程组仍具有对称正定性，需要寻求预处理对称正定阵M=WW T，其中W为非奇异矩阵，使得其中，˜A^=W-1 AW-T，^x=W T x，^b=W-1 b，且˜A^的条件数得到较大改善.经过预处理后的给水管网水力计算特性方程组可在较少的迭代次数内收敛.所以，预处理矩阵M的选取是给水管网快速水力计算的关键，这是一个矩阵分解的问题. 满足上述要求的对称正定阵M的预处理方法较多［20-21］.在给水管网水力特性方程组中，其系数矩阵为正定矩阵，而Cholesky分解方法和改进的Cholesky分解方法是专门针对正定矩阵的三角分解提出的，其优点是不用选取主元，不会产生因中间量放大使计算不稳定的显现.本文预处理后的系数矩阵˜A是对称正定的，因此，将采用改进的Cholesky分解方法来实现.注意到˜A是大型稀疏矩阵，W具有与˜A相同的稀疏特性.2.2 基于预处理共轭梯度法的给水管网水力特性方程组求解根据公式⑤的描述，设r(x)=b-˜A x，则给水管网水力计算问题可以等价地转换为无约束多维最优极值问题:为了验证本文提出算法的有效性，以一个具有760个节点、880条管段和3个水源的给水管网模型为例进行分析.模型的拓扑结构示意图如图1所示.计算过程各参数设置如下:设定某时段的总供水量为162 513 0 m3，并预分配各节点的流量，水源A和水源B的流量分别为800 m3和1 289 m3，相应地面标高为9.6 m和6.43 m，水源C的地面标高为14 m，其出厂压力给定为36 m.为了使用EPANET软件进行计算，需要在EPANET中将水源A和B分别设定为普通节点.2种计算方法中迭代误差均设置为20 m3/h.经计算后，本文算法共迭代5次，计算时间0.102 s，EPANET共迭代5次，计算时间0.1 s.2种方法对节点自由水头和管段水力坡降计算结果的相对误差均小于0.005.因此，本文算法是可行的，在迭代次数与计算时间上均与EPANET相差不大.本文设计了一种基于预处理共轭梯度法的给水管网水力计算的数值求解方法.数值算例结果表明，本文提出的算法具有较好的实时性和准确性，在迭代次数与计算时间上均与EPANET相差不大，可用于大型城市给水管网系统给水管网规划、给水管网改造等水力计算与分析.本算法能否进一步优化、能否应用于电网系统，还有待深入研究.【相关文献】［1］ Basha H A，Malaeb L N.Eulerian-Lagrangian method for constituent transport in water distribution networks［J］.Journal of Hydraulic Engineering，2007(10):1155.［2］陆际汉.给水管网平差精确计算法——水力比拟法［J］.中国给水排水，2010，26(24):62. ［3］陈喆，俞国平.给水管网双向流管段水力计算分析［J］.苏州科技学院学报:工程技术版，2012，25(3):9.［4］赵洪宾.给水管网系统理论与分析［M］.北京:中国建筑工业出版社，2003.［5］段焕丰.城市供水系统动态建模技术研究［D］.上海:同济大学，2006.［6］王国栋，俞国平.管段重要性指数在水力模型校核中的应用［J］.苏州科技学院学报:工程技术版，2007，20(1):53.［7］彭永臻，崔福义.给水排水工程计算机应用［M］.2版.北京:中国建筑工业出版社，2002. ［8］ Rossman L A，Boulos P，Altman T.Discrete volume-element method for network water-quality models［J］.Water Resour Plann Manage，1993，119(5):505.［9］Rossman L A.EPANET 2 User’s Manual［M］.Cincinnati:National Risk Management Research Laboratory(U.S.Environmental Protection Agency)，2000.［10］严煦世，刘遂庆.给水排水管网系统［M］.北京:中国建筑工业出版社，2002.［11］Nocedal J，Wright S J.Numerical Optimization［M］.New York:Springer Verlag，2006.［12］Andrei N.New accelerated conjugate gradient algorithms as amodification of Dai-Yuan’s computational scheme for unconstrained optimization［J］.Journal of Computational and Applied Mathematics，2010，234(12):3397.［13］Andrei N.Open problems in conjugate gradient algorithms for unconstrained optimization［J］.Bulletin of the Malaysian Mathematical Sciences Society，2011，34(2):319.［14］Hu CM，Wan Z.An extended spectral conjugate gradient method for unconstrained optimization problems［J］.British Journal of Mathematics ＆ Computer Science，2013，3(2):86.［15］Du S Q，Chen Y Y.Global convergence of a modified spectral FR conjugate gradient method［J］.Appl Math Comput，2008，202:766.［16］Yu G H，Guan L T，Wei Z X.Globally convergent Polak-Ribire-Polyak conjugate gradient methods under a modified Wolfe line search［J］.Appl Math Comput，2009，215(8):3082.［17］An X M，Li D H，Xiao Y H.Sufficient descent directions in unconstrained optimization［J］.Comput Optim Appl，2011，48:515.［18］Hestenes M R，Stieefl E L.Methods of conjugate gradients of solving linear systems ［J］.Journal of Research of the National Bureau of Standards，1952，5(2):409.［19］Fletcher R，Reeves C.Function minimization by conjugate Gradients［J］.Computer Journa，1964(7):149.［20］李庆杨.数值分析［M］.北京:清华大学出版社，2006.［21］吴勃英.数值分析［M］.北京:高等教育出版社，2007.。
.预处理共轭梯度法
.预处理共轭梯度法
预处理共轭梯度法是一种用于求解大规模线性方程组的迭代方法。
它结合了共轭梯度法和预处理技术，能够加快求解速度并提高收敛性能。
预处理共轭梯度法的基本步骤如下：
1. 选择一个合适的预处理矩阵M，将原始的线性方程组Ax=b 转化为M^{-1}Ax=M^{-1}b。
2. 初始化向量x_0和残差向量r_0=b-Ax_0，其中x_0是任意一个近似解，通常选择零向量。
3. 初始化搜索方向向量p_0=r_0，计算预处理残差向量
z_0=M^{-1}r_0。
4. 对于k=0,1,2,...,直到满足停止准则为止，执行以下步骤：
a. 计算搜索方向向量p_k。
b. 计算步长\alpha_k。
c. 更新近似解向量x_{k+1}=x_k+\alpha_k p_k。
d. 更新残差向量r_{k+1}=r_k-\alpha_k Ap_k。
e. 计算预处理残差向量z_{k+1}=M^{-1}r_{k+1}。
f. 计算搜索方向向量p_{k+1}=z_{k+1}+\beta_{k+1}p_k，其中\beta_{k+1}由Fletcher-Reeves公式计算。
5. 输出近似解向量x_k作为原始线性方程组的解。
预处理矩阵M的选择是预处理共轭梯度法的关键之一，不同的预处理矩阵会对求解速度和收敛性能产生不同的影响。
常用的预处理矩阵有Jacobi预处理、Gauss-Seidel预处理、不完全Cholesky分解预处理等。
预处理共轭梯度法具有很好的数值稳定性和收敛性能，尤其适用于求解大规模稀疏线性方程组。
共轭梯度法
最速下降法1.最速下降方向函数f(x)在点x处沿方向d的变化率可用方向导数来表示。
对于可微函数，方向导数等于梯度与方向的内积，即：Df(x;d) = ▽f(x)T d,因此，求函数f(x)在点x处的下降最快的方向，可归结为求解下列非线性规划：min ▽f(x)T ds.t. ||d|| ≤ 1当 d = -▽f(x) / ||▽f(x)||时等号成立。
因此，在点x处沿上式所定义的方向变化率最小，即负梯度方向为最速下降方向。
2.最速下降算法最速下降法的迭代公式是x(k+1) = x(k) + λk d(k) ,其中d(k)是从x(k)出发的搜索方向，这里取在x(k)处的最速下降方向，即d = -▽f(x(k)).λk是从x(k)出发沿方向d(k)进行一维搜索的步长，即λk满足f(x(k) + λk d(k)) = min f(x(k)+λd(k)) (λ≥0).计算步骤如下：(1)给定初点x(1) ∈ R n，允许误差ε> 0，置k = 1。
(2)计算搜索方向d = -▽f(x(k))。
(3)若||d(k)|| ≤ε，则停止计算；否则，从x(k)出发，沿d(k)进行一维搜索，求λk，使f(x(k) + λk d(k)) = min f(x(k)+λd(k)) (λ≥0).(4)令x(k+1) = x(k) + λk d(k)，置k = k + 1，转步骤(2)。
共轭梯度法1.共轭方向无约束问题最优化方法的核心问题是选择搜索方向。
以正定二次函数为例，来观察两个方向关于矩阵Ａ共轭的几何意义。
设有二次函数：f(x) = 1/2 (x - x*)T A(x - x*) ,其中A是n×n对称正定矩阵，x*是一个定点，函数f(x)的等值面1/2 (x - x*)T A(x - x*) = c是以x*为中心的椭球面，由于▽f(x*) = A(x - x*) = 0，A正定，因此x*是f(x)的极小点。
双共轭梯度法预处理
双共轭梯度法预处理引言：在数值计算中，求解线性方程组是一项基本任务。
而对于大规模的稀疏矩阵，传统的直接法往往会面临存储和计算量极大的挑战。
因此，研究高效的迭代方法成为了求解线性方程组的重要课题之一。
双共轭梯度法预处理就是其中一种被广泛应用的方法。
1. 双共轭梯度法简介双共轭梯度法（Bi-Conjugate Gradient, BiCG）是一种迭代求解线性方程组的方法。
它是对共轭梯度法的扩展，适用于非对称且不正定的线性方程组。
与共轭梯度法类似，双共轭梯度法通过迭代逼近线性方程组的解。
该方法的收敛速度比传统的迭代方法更快。
2. 双共轭梯度法预处理的概念双共轭梯度法预处理是在双共轭梯度法的基础上引入预处理操作，以提高求解线性方程组的效率。
预处理是在求解过程中对矩阵进行变换，使得变换后的矩阵更易于求解。
预处理的目的是减小矩阵的条件数，从而加快求解的速度。
3. 双共轭梯度法预处理的原理双共轭梯度法预处理的基本原理是通过左右预处理矩阵的共轭来加速收敛过程。
左预处理通过将方程组左乘一个预处理矩阵，将原方程组转化为一个条件数较小的方程组。
右预处理则是通过将方程组右乘一个预处理矩阵，同样可以减小方程组的条件数。
左右预处理结合使用可以更好地加速收敛过程。
4. 双共轭梯度法预处理的步骤双共轭梯度法预处理的步骤如下：（1）选择一个合适的预处理矩阵，可以根据问题的特点和需求进行选择。
（2）进行左预处理，将原方程组左乘预处理矩阵，得到一个新的方程组。
（3）进行右预处理，将新方程组右乘预处理矩阵，得到一个进一步减小条件数的方程组。
（4）使用双共轭梯度法求解新的方程组，得到近似解。
（5）通过迭代，逐步逼近线性方程组的解。
5. 双共轭梯度法预处理的应用双共轭梯度法预处理在科学计算领域有着广泛的应用。
它可以用于求解各种类型的线性方程组，如流体力学模拟中的稀疏矩阵求解、图像处理中的图像恢复等。
通过选择合适的预处理矩阵，可以大大提高求解效率。
最优化共轭梯度法
最优化共轭梯度法最优化共轭梯度法（Conjugate Gradient Method）是一种迭代求解线性方程组或优化问题的方法。
它的特点是对于二次正定函数，可以在有限次迭代内精确地求出最优解。
在非二次函数的优化问题中，共轭梯度法表现出了较好的收敛性和全局能力。
共轭梯度法的核心思想是通过选择适当的方向，使得每一次方向的梯度互相“共轭”，从而加快收敛速度。
当目标函数为二次函数时，共轭梯度法能够在有限次迭代中得到精确解；而对于非二次函数的优化问题，共轭梯度法通过先验条件选择合适的方向，最大程度地减小目标函数值。
共轭梯度法的基本步骤如下：1.初始化参数：设置初始点的位置和方向，对于非二次函数，通常选取梯度方向作为方向。
2. 计算步长：通过线方法（如Armijo准则、Wolfe准则等）定位到目标函数上降速度最快的点，并计算目标函数在该点的梯度。
3.更新方向：利用“共轭”梯度法，根据先验条件计算新的方向。
4.判断终止条件：判断目标函数值是否满足设定的终止条件，若满足则停止迭代，否则返回步骤2对于二次函数，最优化共轭梯度法表现出了优良的性能。
当目标函数是非二次函数时，共轭梯度法的表现会有所下降，但仍然比一般的梯度下降法更具有优势。
因此，共轭梯度法常被用于求解大规模线性方程组、信号处理、数字滤波、机器学习等领域。
最优化共轭梯度法的优点在于：收敛速度较快，全局能力较强，不需要存储海量信息。
然而，该方法也存在一些缺点。
首先，共轭梯度法对目标函数的性质有一定的要求，例如目标函数必须是光滑的，并且梯度向量必须是有效的。
其次，共轭梯度法对初始点的选择较为敏感，不同的初始点可能导致不同的解。
总结来说，最优化共轭梯度法是一种高效的优化算法，可以加快目标函数收敛速度，尤其适用于解决二次函数优化问题。
在非二次函数的优化问题中，共轭梯度法以其较好的收敛性和全局能力在实际应用中发挥着重要作用。
第三章 线性代数方程组的共轭梯度法
对于 k = 0 ,1, 2 ,
tk
=
(r(k) )T p(k) (p(k) )T Ap(k)
x (k+1) = x (k) + t k p(k)
r(k+1) = b − Ax(k+1) = r(k) − t k Ap(k)
sk
=
− (p(k) )T Ar(k+1) (p(k) )T Ap(k)
p(k+1) = r (k+1) + sk p(k)
2：在射线x = x(k ) + tp (k )上求f ( x)的极小点x(k +1) , 即 f ( x(k +1) ) = min f ( x(k ) + tp (k ) )
t>0
3： 判 断 ∇ f ( x (k +1) ) ≤ ε , 或 x(k +1 ) − x(k) ≤ ε ！
是 ！ x* ≈ x (k +1)， 停 止 ; 否 ！ k = k + 1, 转 1.
=
x(0)
+t0p(0).
华北电力大学数理学院
School of mathematics & physics
§3 共轭梯度法
对于 k = 1,2,
现有x ( k )及共轭方向p ( k −1)，则
r(k) = b − Ax(k)
在r ( k )和p ( k −1) 确定的超平面上 找共轭方向
其中
p(k) = r(k) + sk p(k−1)
华北电力大学数理学院
School of mathematics & physics
定理1：设p 1 , p 2 , p n 是关于n阶对称正定 矩阵A共轭的向量组，则以 p(k)为下降方向的算
预处理共轭梯度法在岩土工程有限元中的应用
第26卷增1岩石力学与工程学报V ol.26 Supp.1 2007年7月Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering July，2007 预处理共轭梯度法在岩土工程有限元中的应用郑超，张建海(四川大学水利水电学院，四川成都 610065)摘要：在岩土工程中进行有限元分析时需要求解大型线性方程组，常用的直接法会占用较大的内存，耗费计算时间较长，计算节点规模有限。
用超松弛迭代–预处理共轭梯度法(SSOR-PCG)求解大型稀疏线性方程组，并提出SSOR-PCG法的一套优化内存占用量和计算时间的实现方案。
算例结果证明，此方案下的求解器在一台奔腾2.80 GHz主频、1.0 GB内存的个人电脑上，在50 min之内，可求解约30×104节点三维模型的刚度方程，其计算结果也可满足需要。
关键词：岩土工程；超松驰迭代法(SSOR)；预处理共轭梯度法(PCG)；线性方程组中图分类号：TU 45；O 241 文献标识码：A 文章编号：1000–6915(2007)增1–2820–07SSOR-PCG METHOD USED IN SIMULATION OF GEOTECHNICAL ENGINEERING WITH FINITE ELEMENT METHODZHENG Chao，ZHANG Jianhai(College of Water Resources and Hydropower，Sichuan University，Chengdu，Sichuan610065，China)Abstract：The solution of a sparse and dense symmetric system of linear equations is essential to finite element simulation in geotechnical engineering. However，the traditional direct method will cost too much memory and calculation time. The paper tries to adopt the successive over relaxation(SSOR)-preconditioned conjugate gradient(PCG) method to solve linear systems and provide a new way to realize the SSOR-PCG method，which can remarkably save the memory and calculation time. In this scheme，the global stiffness is stored in a vector so that the cost of memory is the least. In the same time，the form of preconditioned matrix is changed，which makes it possible store the global stiffness and the preconditioned matrix in the same block of memory on the premise of increasing little extra calculation time. A new method to realize multiplying the global stiffness by a vector is also introduced，and it is found that the time of the iterative operation in any time is reduced greatly. Moreover，the definition of double data structure forms is presented，where the information of global stiffness is stored and this is essential to solve the special problem in rather complex geologic environment. To avoid drastic transformation of the global stiffness caused by the boundary conditions and initial information，an additional information matrix is allocated，and the global stiffness and the global load vector are also changed in accordance with a special rule. By this way，a large account of calculation is avoided on the premise of not influencing the final result. It has been proven by numerical examples that the linear equation solver based on the above improvements shows robust. The solver is able to solve the linear system of 3D structural problems with about 300 000 nodes within 50 minutes on a personal computer with Pentium 2.8 GHz CPU and 1.0 GB memory.Key words：geotechnical engineering；successive over relaxation(SSOR) method；preconditioned conjugate gradient(PCG) method；linear equations收稿日期：2006–03–23；修回日期：2006–05–13作者简介：郑超(1985–)，男，2006年毕业于四川大学轻纺学院食品专业，现为硕士研究生，主要从事岩土工程数值模拟方面的研究工作。
第二节共轭梯度法
Page 1§3.4 共轭梯度法基本思想Page 2利用目标函数在当前迭代点处的负梯度方向与上一步的搜索方向的适当线性组合，构造下一步的搜索方向，要求这些搜索方向是一系列共轭方向。
由Taylor公式知，一个函数在一点附近的性态与二次函数是很接近的，因此，为了建立有效算法,往往选用二次模型，即先针对正定二次函数建立有效的算法，然后再推广到一般函数上去。
Page 3一、共轭方向及其性质注：若,Q I =则是正交的，因此共轭是正交的推广．定义1:如果：()0,T ij d Q d i j =≠则称m d d d ,,,21"是关于Q 共轭的．设m d d d ,,,21"是nR 中任一组非零向量，n nQ R×∈是n 阶实正定矩阵，Page 4定理1:设Q 为n 阶正定阵，非零向量组m d d d ,,,21"关于Q 共轭，则必线性无关．推论1:设Q 为n 阶正定阵，非零向量组n d d d ,,,21"关于Q 共轭，则它们构成nR 的一组基．n 则推论2:设Q 为阶正定阵，非零向量组n d d d ,,,21"关于Q 共轭.若向量v 与n d d d ,,,21"均正交,.0=vPage 5定理2:设为阶正定阵，向量组Q n 12,,kd d d "关于Q 共轭，对正定二次函数()12T Tf x x Qx b x c =++，由任意1x 开始，1,1,2,,i ii i xx d i k α+=+="则：(１)1()0,1,2,k T if x d i k+∇=="(２)当k n =时，1n x +为f(x)在n R 上的极小点．后得沿k 次精确线搜索依次进行i dPage 6启发：用迭代法求解正定二次函数极小：()12T TMin f x x Qx b x c=++转化为构造关于Q共轭的n个方向问题.如何构造n个关于Q共轭的方向?一种做法是借助迭代点处的负梯度方向来构造共轭梯度法Page 7二、求解正定二次函数的共轭梯度法令11(),.k k kk k df xd λλ++=−∇+为待定组合系数1()()()kTk k k T kd Q f x d Q dλ+∇=左乘(),kTd Q 并使1()0,kTk d Q d+=得：1. 构造共轭方向—用待定系数法1,:,k k kk k x x d αα+=+精确线搜得步长进而得索取：0()d f x =−∇令0;k =Page 8不仅如此, 还可以证明:1()0,1,2,,j Tk d Qdj k+=="12,,,nd d d "可见, 若中途不停机的话, 按上述方法得到的关于Q 是两两共轭的.n 个方向Page 92. 正定二次函数的共轭梯度法算法Step2:如果(),kf xε∇<停止迭代；令1.k k kk xx d α+=+Step3:令1,k k =+转Step2.0()()argmin ()()k T k k kk k T kd f x f x d d Qd ααα>∇=+=−否则沿精确线搜索求步长:kd 111()()(),()k T k k k kk k k T kd Q f xd f x d d Qdλλ+++∇=−∇+=其中并计算:Step1:给出0,(),01,0.nx R d f x k ε∈=−∇≤<<=Page 1012,,,nd d d "可以证明, 若中途不停机的话, 这样得到的关于Q 是两两共轭的.n 个方向再结合定理2, 因此1n x+一定是所求的最优解.3. 收敛性1()()()kTk k k T kd Q f x d Q dλ+∇=（Hestenes-Stiefel 公式）组合系数的选取:可见,该公式中里面含有Hessen矩阵Q, 不能直接应用于求解一般非正定二次函数情形.Page 114. 组合系数的其他形式（１）FR 公式212()()k k kf xf x λ+∇=∇（1964）（2）DM 公式21()-()()k k k Tkf xd f x λ+∇=∇（Fletcher-Reeves 公式）（Dixon-Myers 公式）Page 12组合系数的其他形式（3）PRP 公式()12()()()()k Tk kk kf x f xf x f x λ+∇∇−∇=∇（1969）（Polak-Ribiere-Polyak 公式）Page 13三、求解一般函数的FR 共轭梯度法Step1:给出0,(),01,0.nx R d f x k ε∈=−∇≤<<=否则，由精确线搜索求步长:Step3:0argmin ().k kk f x d ααα>=+进而得1.k k kk x x d α+=+返回Step2.Step2:如果(),kf x ε∇<*;kx x =取停,()21112()()k k k kkf xdf x df x +++∇=−∇+∇以及1,k k =+令Page 14FR 共轭梯度法收敛定理定理4:假定()x f 在有界水平集()(){}nL x R f x f x=∈≤上连续可微，且有下界，那么采用精确线搜索下的FR 共轭梯度法产生的点列{}kx 至少有一个聚点是驻点，即：(1)当{}kx 是有穷点列时，其最后一个点是()x f 的驻点．(2)当{}kx 是无穷点列时，它必有聚点，且任一聚点都是()x f 的驻点．Page 15例2：用共轭梯度法求解：()()22012min 4,1,1Tf x x x x =+=取又由()f x 可看出()()1122201,208x f x x x x ⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠2008Q ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠是一个正定二次函数, 其中解:因共轭梯度法的第一步迭代与最速下降法相同,故由上一节例1知分析：由例1知该函数的极小点是(0,0).Tx ∗=因此在求最优步长和组合系数时,有两种方法.Page 16()01,1:Tx =得()()2,8Td f x=−∇=−−(1) 由令00()0:0.13077df x d d ααα+==得由于较大, 因此还需迭代下去.()1f x ∇10120.738460.13077180.04616x x d α⎛⎞⎛⎞⎛⎞=+=−=⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠⎝⎠进而有:()()()111.47692,0.36923,1.52237Tf xf x ∇=−∇=Page 17()110d f x dλ=−∇+(2) 先构造下一个搜索方向110()1.476922 1.545080.034080.3692380.09659d f x dλ=−∇+−−−⎛⎞⎛⎞⎛⎞=+=⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠⎝⎠于是有21020()0.03408()f x f x λ∇===∇"01000()()17.723040.03408()520TT d Q f x d Qd λ∇===="或其中, 组合系数Page 18沿搜索方向用精确线搜索求步长:21110.73846 1.5450800.477940.046160.096590x x d α−⎛⎞⎛⎞⎛⎞=+=+=⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠⎝⎠于是有令111()0:0.47794df x d d ααα+==得为此, 先计算出表达式11()f x d α+所以迭代终止,因()20,f x ∇=最优点为:()20,0.Tx x ∗==可见: 对于例1, 用共轭梯度法经两次迭代求得最优解.优点:Page 19（1）克服了最速下降法的慢收敛性.（2）建立在二次模型上，对正定二次模型具有二次终止性．（3）算法简单，易于编程，需存储空间小等优点,是求解大规模问题的重要方法．Page 20。
预处理共轭梯度
预处理共轭梯度预处理共轭梯度（Preconditioned Conjugate Gradient，简称PCG）是一种用于解决大规模线性方程组的迭代算法。
它是共轭梯度算法的改进版，通过引入预处理矩阵来加速收敛速度，提高求解效率。
在解决大规模线性方程组时，传统的直接求解方法需要消耗大量的计算资源和时间，而迭代算法则可以通过多次迭代逼近精确解，从而减少计算量和时间。
共轭梯度算法是一种常用的迭代算法，它通过利用共轭方向的性质来加速收敛速度。
但是，共轭梯度算法的收敛速度受到矩阵条件数的影响，当矩阵条件数较大时，收敛速度会变得很慢。
为了解决这个问题，PCG算法引入了预处理矩阵。
预处理矩阵是一个与原矩阵相似的矩阵，它可以将原矩阵转化为一个更易于求解的矩阵。
通过引入预处理矩阵，PCG算法可以在每次迭代中对解向量进行一次预处理，从而加速收敛速度。
PCG算法的基本步骤如下：1. 初始化解向量x和残差向量r，令r=b-Ax，其中b为方程组的右端向量，A为系数矩阵。
2. 计算预处理矩阵M，将原矩阵A转化为更易于求解的矩阵B=M^-1A。
3. 计算共轭方向向量p，令p=M^-1r。
4. 计算步长α，令α=(r^Tp)/(p^TAp)。
5. 更新解向量x，令x=x+αp。
6. 更新残差向量r，令r=r-αAp。
7. 判断收敛条件是否满足，如果满足则停止迭代，否则返回步骤3。
PCG算法的优点在于它可以在每次迭代中对解向量进行一次预处理，从而加速收敛速度。
同时，PCG算法也可以通过选择不同的预处理矩阵来适应不同的问题，从而提高求解效率。
预处理共轭梯度算法是一种高效的迭代算法，它通过引入预处理矩阵来加速收敛速度，提高求解效率。
在解决大规模线性方程组时，PCG算法具有重要的应用价值。
共轭梯度法最简明解释
共轭梯度法最简明解释
嘿，你知道啥是共轭梯度法不？这玩意儿可神奇啦！就好比你在一
个迷宫里找出口，有好多条路可以走。
共轭梯度法呢，就是一种找到最优解的方法。
想象一下，你要去山
顶看最美的风景，但是山有很多坡，你得选择最合适的路往上爬。
比
如说你一开始随便选了一条路走，走着走着发现不太对，那咋办？这
时候共轭梯度法就发挥作用啦！它会帮你调整方向，让你更接近山顶。
我给你举个例子哈，就像你要减肥，你试过各种方法，节食啦，运
动啦。
那共轭梯度法就像是有个智慧的教练在旁边，告诉你啥时候该
多吃点，啥时候该加大运动量，让你能最快地达到减肥的目标。
它不是那种死板的方法，而是很灵活的。
比如说在解决一个复杂的
问题时，它会根据实际情况不断调整策略。
这多厉害呀！
咱再想想，要是没有共轭梯度法，那得多费劲呀！就像你在黑夜里
没有手电筒，摸黑走路，多容易摔跤呀！
共轭梯度法真的是数学和科学领域的一个大宝贝！它能让很多难题
变得简单起来，能帮我们更快地找到答案。
我觉得吧，共轭梯度法就像是一把神奇的钥匙，能打开很多知识和
技术的大门，让我们看到更广阔的世界！你说是不是？。
线性代数方程组中的预处理共轭梯度法ppt课件
4 预处理方法
• 预处理方法
•
•
•
•
•
取预优矩阵（预处理矩阵）为A的一个小带宽部分（如三对角或对角线
部分）
矩阵分裂，尤其是线性稳定迭代中的矩阵A的分裂构造预处理矩阵
通过A的各种近似分解得到预处理矩阵（如不完全分解）
通过矩阵A的多项式构造预处理矩阵
子结构，区域分裂，EBE预处理途径等等
4 预处理方法
R中的非零元素远远少于A。R需要显式存储
•
•
•
•
•
第二种高效实现分裂
A是对称的
= 0 − − E ，-E严格下三角，D0是对角线矩阵
M = ( − ) −1 ( − E )，D不完全等于D0
SSOR-PCG
谢 谢！
4 预处理方法
• 预处理方法
•
•
•
不完全分解预处理方法：
主要有不完全LU分解、不完全Cholesky分解以及相应的块不完全分解等
设 是A的一个近似分解
= + ，L是下三角矩阵，R称为剩余矩阵，M= 为预处理矩阵。
此方法与CG迭代方法相结合，就形成了不完全Cholesky分解预处理共轭
1 引入
• 线性代数方程组的解法
• 直接法：高斯消去法，分解法
• 迭代法：
•
•
古典迭代法：Jacobi，Gauss-Seidel，SOR，SSOR
现代迭代法：（投影方法，子空间法）
•
•
•
•
正交化的误差投影型Krylov：FOM，IOM，DIOM
对称情形误差投影型Krylov：Lanczos，CG，PCG
• 预处理方法
•
对角预处理法：
第四章 共轭梯度法
{ 偏导数的凸函数。 x k } 是由Fletcher-Reeves共轭梯度算法产生的迭代点列。则 { 1） f ( x k )} 为严格单调下降序列，且
lim f ( x k )
k
存在。
n
而
k 1
g k ( g k g k 1 )
T
d k 1 ( g k g k 1 )
T
gk gk g k 1 g k 1
T
T
共轭梯度法的迭代公式为：
x k 1 x k k d k （ d k 为共轭方向， k 为最佳步长因子）
对二次函数
k
gk dk dk Gdk
（4.7）
2)
k
g k 1 g k 1 gk gk
T
T
（Fletcher-Reeves公式）
（4.8）
3）
k
g k 1 ( g k 1 g k ) （Polak-Ribiere-Polyak 公式）
T
（4.9）
gk gk g k 1 g k 1 dk gk
T T
T
4）
m y
2 T 2 2
，使得
n
y f ( x ) y M y , y R , x L ,
其中 L x R n f ( x ) f ( x 0 ) 是有界水平集。
定理4.9 假定假设条件1和2满足，那么，每r步再开始的PRP和FR共轭梯度 法产生的迭代点列 x k n步二阶收敛，即存在常数c>0，使得
设 又设
fˆkr
0 表示应用到 fˆkr 上的共轭梯度法，并且令 d kr d kr g kr
预处理共轭梯度法在电磁正演中的应用
组的性态大为提高 ， 从 而可 以大大提高新方程组的 求解速度 ， 即提高原方程组的速度 。当然 越接近 于矩阵 Ａ， 那么求解速度就越快 ， 但是 Ｍ 构造却更
科
学
技
术
与
工
程
１ ３卷
加 困难 ， 文 中应用 Ｐ ａ ｓ ｃ ａ ｌ 矩 阵构建 的 矩 阵如下 ： Ａ
：Ｒ Ｊ ｒ １ ＋ Ⅳ， Ｍ ＝Ｐ ＝Ｒ Ｆ， 这 里 Ｐ指 的是 Ｐ ａ ｓ ｃ ｌ矩阵， ａ 其 元 素为 ：
１ 理论 分析
和许 多其 他 算 法 一 样 ， 有 限单元法通 过离散。 将 计算 域从 空 间上 划分 为不 同的 有 限个 小 单 元 ， 单 元 之 间 由节 点连 接 ， 而 因 变量 在 每 个 单 元上 的值 是 节点 因变 量 值 的插 值 函数 。再 通 过 变 分 原 理 或 者
果并 不理 想 。但 是适 用 于 复 线 性 方 程 组 双 共 轭 梯 度法 ， 当方 程组 的规 模 较 大 或 系 数矩 阵 的条 件 数很
而被广泛应用 于地球物理 的正演计算。国 内外学 者如 Ｃ ｏ ｇ ｇ ｏ ｎ …、 陈乐 寿 Ｊ 、 徐世 浙 等 ， 相 继对 有 限
元 的二 维 三 维 模 拟 。有 限元 数 值 分 析 是 现 代 工 程
关键 词 电磁场
预处理
共轭梯度
网格
Ｐ ａ ｓ ｃ ａ ｌ
中图法分类号
Ｐ ３ １ ９ ． ３ ２ ０ ２ ４ １ ． ６ ；
文献标志码
Ａ
有 限元 作 为一 种 高 效 的数 值 模 拟 方 法 ， 相 对 其 它方法 更 易 于 拟 合 复 杂 结 构 、 更 适于复杂地 形等 ，
starccm共轭梯度求解不收敛
starccm共轭梯度求解不收敛
共轭梯度方法是一种常用的求解线性方程组的方法，通常用于
求解大型稀疏矩阵的线性方程组。
在Star-CCM+中使用共轭梯度方
法求解流体动力学问题时，出现不收敛的情况可能有多种原因。
首先，不收敛可能是由初始猜测值不佳引起的。
共轭梯度方法
对初始猜测值非常敏感，如果初始猜测值离解的实际值较远，可能
导致不收敛。
因此，可以尝试使用其他求解器的结果作为初始猜测值，或者对初始猜测值进行调整，以期获得更好的收敛性能。
其次，不收敛也可能是由于矩阵条件数较大引起的。
矩阵条件
数的增加可能会导致共轭梯度方法的收敛性能下降。
在这种情况下，可以尝试对矩阵进行预处理，以改善矩阵的条件数，或者尝试其他
求解器，如GMRES等。
另外，不收敛还可能与问题本身的特性有关。
例如，流体动力
学问题中可能存在悬停现象、激波等复杂流动现象，这些复杂性可
能导致求解器不收敛。
在这种情况下，可以尝试调整网格密度、时
间步长等参数，以改善求解器的收敛性能。
此外，还有一些其他可能的原因，如数值稳定性、边界条件设置不当等，都可能导致共轭梯度方法不收敛。
因此，在遇到不收敛的情况时，建议综合考虑问题本身的特性、初始条件、求解器参数等多个方面，进行适当调整和优化，以期获得更好的收敛性能。
希望以上回答能够帮助你解决共轭梯度方法不收敛的问题。
《共轭梯度法在信号恢复问题中的应用》范文
《共轭梯度法在信号恢复问题中的应用》篇一一、引言在信号处理领域，信号恢复是一个重要的研究方向。
由于各种噪声和干扰的影响，接收到的信号往往存在失真和缺失。
如何有效地从失真和缺失的信号中恢复出原始信号，成为了信号处理领域的研究热点。
共轭梯度法作为一种有效的迭代优化算法，被广泛应用于信号恢复问题中。
本文将介绍共轭梯度法在信号恢复问题中的应用，并分析其优势和不足。
二、共轭梯度法概述共轭梯度法是一种迭代优化算法，用于求解线性方程组或最小二乘问题。
它通过利用共轭性质，加快了收敛速度，减少了计算量。
共轭梯度法的基本思想是在每次迭代过程中，根据当前解的残差和梯度信息，构造一个新的搜索方向，使得新的搜索方向与之前的搜索方向共轭。
这样，可以在较少的迭代次数内得到较高的精度。
三、共轭梯度法在信号恢复问题中的应用信号恢复问题通常可以转化为一个优化问题，即寻找一种方式使得恢复出的信号与原始信号之间的误差最小。
共轭梯度法可以有效地应用于这类问题。
在信号恢复中，共轭梯度法通过不断调整信号的参数，使得恢复出的信号与接收到的失真信号之间的误差最小。
具体来说，共轭梯度法在每次迭代过程中，根据当前的解和残差信息，计算出一个搜索方向，然后在这个方向上调整参数，使得目标函数（即误差函数）的值不断减小。
通过多次迭代，最终得到一个近似于原始信号的恢复信号。
四、共轭梯度法的优势共轭梯度法在信号恢复问题中具有以下优势：1. 收敛速度快：共轭梯度法利用了共轭性质，可以在较少的迭代次数内得到较高的精度。
这使得共轭梯度法在处理大规模信号恢复问题时具有较高的效率。
2. 适用范围广：共轭梯度法可以应用于各种类型的信号恢复问题，包括线性信号恢复和非线性信号恢复。
3. 计算量小：共轭梯度法在每次迭代过程中只需要计算一个搜索方向和一个步长，因此计算量相对较小。
五、共轭梯度法的不足尽管共轭梯度法在信号恢复问题中具有诸多优势，但也存在一些不足：1. 对初始解的敏感性：共轭梯度法的收敛速度和精度受到初始解的影响较大。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
二、算法
（1）共轭梯度法算法
令 x0 0, r0 b Ax0 , p0 r0
对 k 0,1, 2,L 直到收敛完成
k (rk , rk ) / (pk , Apk ),
xk1 xk k pk ,
rk1 rk k Apk ,
k 1
(rk , (rk 1 ,
rk ) rk 1)
,
结束。
一、知识回顾
（3）预处理共轭梯度方法
由于预处理矩阵的构造方式很多，所以就形成了多种预处理 方法，总的来说，大致可归为如下几种途径：
1、取预处理矩阵（也称预优矩阵）为A的一个小带宽部分 （如三对角或对角线部分）；
2、通过A的分裂，尤其是线性稳定迭代法中的矩阵 A的分裂 构造预处理矩阵（如矩阵分裂法）；
当 kn 发点。
时，
xn
一定是方程 (1)的精确解，这是共轭梯度法的出
一、知识回顾
2、预处理共轭梯度法
（1）预处理共轭梯度法的引进
共轭梯度法理论上是一种直接方法，即按照这个算法得 到的 xn 应当是方程 Ax b 的精确解。但由于其数值的稳定 性不好，实际上由于舍入误差的影响 xn 不可能满足原方程。 如果把它看成一种迭代法，当A条件数较大时，它收敛的很 慢。因此引进了改进共轭梯度法的手段——预处理共轭梯度 法。
一、知识回顾
（2）预处理共轭梯度法原理 将Ax=b变形为C-1Ax=C-1b。
令 A~ C1AC T , ~x CT x,b C1b 则
~~ ~
Ax b A x b
~
要求
当A
其中
是c1o是对nA称d的2正( A最定)大矩特c阵o征n时d值2，(，Aco)nnd是2 (AA的) 最小1n 特K征(值A)，K(A)是A的条件数
共轭梯度法的预处理
设 A 为 n 阶对称正定矩阵, 考虑线性方程组
Ax b
(1)
其中x 是未知向量,b是右端已知向量。
一、知识回顾
1、共轭梯度法 如果我们对于固定的k ，在 Rn 空间中取 k 个线性无关的向
量
p1, p2 ,L , pk
使 xk 满足
(xk ) min(x)
Span( p1 , p2 ,L , pk )
zk 1 M 1rk 1,
k 1 (zk 1,zk 1) / (rk , zk ),
结束。
pk 1 zk 1 k 1 pk
三、代码
（1）共轭梯度法代码
• function [x,n,tol]=cg(A,b,ep)
• r=b;p=r;n=0;x=zeros(length(b),1);
• while n<10
7.85971307544587 0.422926408294999 -0.0735922390236594 -0.540643016894632 0.0106261628540375
n= 5
tol =
6.745229690695623e-07
（2）预处理共轭梯度法代码以角预优矩阵为例clc;clear
• alpha=(r'*r)/(p'*A*p);r1=r;
• x=x+alpha*p;
• tol=norm(r);
• if norm(r)<ep
•
break;
• end
• r=r-alpha*A*p;
• beta=(r'*r)/(r1'*r1);
• p=r+beta*p;
• n=n+1;
• end
x=
function [x,n,tol]=cg1(A,b,ep,C) r=b;p=r;n=0;x=zeros(length(b),1); while n<10
alpha=(r'*r)/(p'*A*p);r1=r;
x=x+alpha*C*p;
tol=norm(r); if norm(r)<ep
break; end r=r-alpha*A*p; beta=(r'*r)/(r1'*r1); p=r+beta*p; n=n+1; end
ep=10^(-2); [x,n,tol]=cg1(A1,b1,ep,C);
function C=chuli1(A) D=diag(diag(A)); C=D^(-1/2);
function C=chuli(A,w) D=diag(diag(A));L=tril(A,-1); C=(D-w*L)*D^(-1/2);
%SSOR此处程序改为
x=x+alpha*inv(C')*p
对角预优矩阵
x=
7.85971307544586 0.422926408295008 -0.0735922390240463 -0.540643016894626 0.0106261628540363
m= 4
tol= 4.731753657562764e-04
pk1 rk k 1 pk ,
二、算法
（2）预处理共轭梯度算法
令
x0 0,
r0 b Ax0 , z0 M 1r0 , p0 z0 ,
对 k 0,1,L 直到收敛完成。
k (rk , rk ) / (pk , Apk ),
xk 1 xk k pk ,
rk1 rk k Apk ,
3、通过A的各种近似分解得到预处理矩阵（如不完全分解）； 4、通过矩阵A的多项式构造预处理矩阵； 5、子结构、区域分裂、EBE预处理途径。
一、知识回顾
对角预优矩阵法 如果对称正定线性方程组( 1) 的系数矩阵 A 的对角元素相差 较大, 则可取预优矩阵C-1为
C 1 D1/ 2 , D diag (a11, a22,, ann ), A (aij )nn
这是最常用的预处理方阵
SSOR分裂
将A分裂为 A D CL CLT，其中D diag(a11, a22,ann) , CL为严格
下三角矩阵，则预处理矩阵C为：
C
1
(D CL)D1/ 2
(2 )
其中(0 1) 是参数，而且有
A CCT
1
(D CL)D1(D CL)T
(2 )
A=[0.2 0.1 1 1 0;0.1 4 -1 1 -1;1 -1 60 0 -2;1 1 0 8 4;0 -1 -2 4 700];
b=[1 2 3 4 5]‘;
%SSOR此处程序改为
C=chuli1(A); A1=C*A*C; b1=C*b;
C=chuli(A,0.009); A1=inv(C)*A*inv(C'); b1=inv(C)*b;