高三数学-2019届高三上学期期中考试数学试题

2019学年度第一学期期中模拟考试

高 三 数 学 试 卷

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分） 1．已知集合A ＝{x |x 2＜3x ＋4，x ∈R }，则A ∩Z=． 2．若复数

i

i

a 212+-（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a =． 3.若cos sin z i θθ=+（i 为虚数单位），则()+22

k k Z π

θπ=∈是21z =-的条件.

4. 在约束条件⎩

⎪⎨⎪

⎧

0≤x ≤1，0≤y ≤2，

2y －x ≥1下，则x －1

2

＋y 2

的最小值为__________．

5．若将函数x x f ωsin )(=的图象向右平移6π个单位得到)3

4

sin()(πω-=x x f 的图象，则|ω|的最小值为_

6．若直线kx y =是曲线x x x y +-=23的切线，则k 的值为 ． 7.在ABC ∆中，7AC =60B =︒，BC 边上的高33h =BC =．

8．已知圆C 的圆心在第一象限，圆C 与x 轴交于A (1，0)，B (3，0)两点，且与直线x －

y ＋1＝0相切，则圆C 的半径为．

9．在平面直角坐标系xOy 中，已知焦点为F 的抛物线y 2＝2x 上的点P 到坐标原点O 的距离为15，则线段PF 的长为．

10.在直角△ABC 中，∠C ＝ 90°，∠A ＝ 30°，BC ＝1，D 为斜边AB 的中点，则AB CD ＝

11．已知直线x ＝a (0＜a ＜π

2)与函数f (x )＝sin x 和函数g (x )＝cos x 的图象分别交于M ，N

两点，

若MN ＝1

5

，则线段MN 的中点纵坐标为．

12．已知函数f (x )＝2x 2＋m 的图象与函数g (x )＝ln|x |的图象有四个交点，则实数m 的取

值围为． 13．如图，椭圆

,椭圆C 的左、右焦点分别

为12,F F 过椭圆上一点P 和原点O 作直线l 交圆O 于,M N 两点，若

12||||6PF PF ⋅=，则||||PM PN ⋅的值为

14．若不等式|ax 3－ln x |≥1对任意x ∈(0，1]都成立，则实数a 的取值围是．

二、解答题（本大题共6小题，计90分）

15、已知m R ∈，对p ：1x 和2x 是方程220x ax --=的两个根，不等式125m x x -≤-对任意实数[]1,2a ∈恒成立；q ：函数24

()323

f x x mx m =+++有两个零点，求使“p 且q ”为真命题的实数的取值围。

16．已知△ABC 的面积为S ，且AB AC S ⋅=. （1）求tan2A 的值；（2）若4

B π

=，3CB CA -=，求△ABC 的面积S ．

17.已知0a >,函数3()(f x ax bx x =-∈R)图象上相异两点,A B 处的切线分别为12,l l ，且1l ∥2l .

（1）判断函数()f x 的奇偶性；并判断,A B 是否关于原点对称； （2）若直线12,l l 都与AB 垂直，数b 的取值围.

18、如图，某小区有一矩形地块C OAB ，其中C 2O =，3OA =，单位：百米．已知F OE 是一个游泳池，计划在地块C OAB 修一条与池边F E 相切于点M 的直路l （宽度不计），交线段C O 于点D ，交线段OA 于点N ．现以点O 为坐标原点，以线段C O 所在直线为

x 轴，建立平面直角坐标系，若池边F E 满足函数22y x =-+（02x ≤≤）的图象．若

点M 到y 轴距离记为t ．

()1当2

3

t =

时，求直路l 所在的直线方程； ()2当t 为何值时，

地块C OAB 在直路l 不含泳池那侧的面积取到最大，最大值时多少？

19.在平面直角坐标系xoy 中，椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的离心率为21

，右焦点

)0,1(F ，点P 在椭圆C 上，且在第一象限，直线PQ 与圆222:b y x O =+相切于点M .

（1）求椭圆C 的方程；（2）若4

3

=⨯PF PM ，求点P

（3）若OQ OP ⊥，求点Q 的纵坐标t 的值。

x

20．已知函数()ln 1a f x x x =+

-，其中a 为参数，2221

()ln 2

x g x e x e x e x =⋅+-， （1）若1a =，求函数()f x 的单调区间； （2）当[]1,x e ∈时，求函数()f x 的最小值；

（3）函数()g x 是否存在垂直于y 轴的切线？ 请证明你的结论论。

2015—2016学年度第一学期期中模拟考试

高 三 数 学 答案 2015年11月

1．已知集合A ＝{x |x 2＜3x ＋4，x ∈R }，则A ∩Z 中元素的个数为．4 2．若复数

i

i

a 212+-（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a =．5 3.若cos sin z i θθ=+（i 为虚数单位），则()+22

k k Z π

θπ=∈是21z =-的条件.

充分不必要

4. 在约束条件⎩⎪⎨⎪

⎧

0≤x ≤1，0≤y ≤2，

2y －x ≥1下，则x －1

2

＋y 2

的最小值为__________．25

5

5．若将函数x x f ωsin )(=的图象向右平移6π个单位得到)3

4

sin()(πω-=x x f 的图象，则|ω|的最小值为_4

6．若直线kx y =是曲线x x x y +-=23的切线，则k 的值为 ．1或

3

4