2017年秋北师大版九年级数学上典中点习题1.1.1菱形及其性质(PDF版)
北师大版九年级数学上典中点课后作业1.1.1菱形及其性质(A)
1.1 菱形的性质与判定第1课时菱形及其性质课后作业:方案（A）一、教材题目：P4-P5 T1-T41．已知：如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝2∠B.求证：△ABC是等边三角形．(第1题)2．如图，在菱形ABCD中，BD＝6，AC＝8，求菱形ABCD的周长．(第2题)3．已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.求证：AC平分∠BAD 和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC.(第3题)数学理解4．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，图中有多少个等腰三角形和直角三角形？(第4题)二、补充题目：部分题目来源于《典中点》4．(2015·台州)如图，在菱形ABCD中，AB＝8，点E，F分别在AB，AD上，且AE ＝AF，过点E作EG∥AD交CD于点G，过点F作FH∥AB交BC于点H，EG与FH交于点O，当四边形AEOF与四边形CGOH的周长之差为12时，AE的长为() A．6.5 B．6 C．5.5 D．5(第4题)6．(2015·兰州)如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则△AEF的面积是()A．4 3 B．3 3 C．2 3 D. 3（第6题）8．(2015·昆明)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论：①AC⊥BD；②OA＝OB；③∠ADB＝∠CDB；④△ABC是等边三角形，其中一定成立的是()A．①②B．③④C．②③D．①③（第8题）9．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC＝130°，则∠AOE的大小为()A．75°B．65°C．55°D．50°(第9题)答案一、 教材1．证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ∥BC ，AB ＝BC.∴∠BAD ＋∠B ＝180°.又∵∠BAD ＝2∠B ，∴3∠B ＝180°.∴∠B ＝60°.∴△ABC 是等边三角形．2．解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AO ＝12AC ＝4，BO ＝12BD ＝3，AC ⊥BD ，AB ＝BC ＝CD ＝AD.在Rt △ABO 中，由勾股定理，得AB 2＝AO 2＋BO 2，∴AB ＝AO 2＋BO 2＝42＋32＝5.∴菱形ABCD 的周长＝4AB ＝4×5＝20.3．证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ＝CD ＝AD.在△ABC 和△ADC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，BC ＝DC ，AC ＝AC ，∴△ABC ≌△ADC.∴∠BAC ＝∠DAC ，∠BCA ＝∠DCA.同理可得∠ABD ＝∠CBD ，∠ADB ＝∠CDB ，∴AC 平分∠BAD 和∠BCD ，BD 平分∠ABC 和∠ADC.点拨：利用三角形全等得到角相等，从而得出结论．4．解：题图中有4个等腰三角形，4个直角三角形．二、典中点4.C6.B8.D9．B 点拨：先根据菱形的邻角互补求出∠BAD 的度数，再根据菱形的每一条对角线平分一组对角求出∠BAO 的度数，最后根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．。
北师大版九年级上册数学 1.1菱形的性质与判定(一)
第一章特殊平行四边形1．菱形的性质与判定（一）一、学生知识状况分析“菱形的性质与判定”是继八年级下册“第三章图形的平移与旋转”和“第六章平行四边形”之后的一个学习内容。
九年级的学生在学习菱形之前，已经掌握了简单图形平移旋转和平行四边形的性质和判定，学生完全能够借助图形的旋转平移和轴对称直观的理解菱形的定义和性质。
其次，经历了七年级下册“第二章相交线与平行线”、“第三章三角形”和八年级下册“第六章平行四边形”的学习，通过推理训练，学生们已经具备了一定的推理能力，树立了初步的推理意识，为严格的推理证明打下了基础。
再次，在以前的数学学习中，学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
二、教学任务分析教科书基于学生在平行四边形相关知识的基础上，提出了本课的具体学习任务：①掌握菱形的定义；②探索并掌握菱形是轴对称图形；③探索并证明菱形“四条边相等”、“对角线互相垂直”等性质，并能应用这些性质计算线段的长度。
在教学过程中，要利用学生对图形的直观感知、已掌握的平行四边形的相关知识和已有的逻辑推理能力为基础，探索菱形的定义和性质，又要尝试利用它们解题。
所以在本节课的教学中，要帮助学生学会运用观察，分析，比较，归纳，概括等方法，得出解决问题的方法，使传授知识与培养能力融为一体，使学生不仅学到科学的探究方法，而且体验到探究的乐趣，体会到成功的喜悦。
综上所述，本节的教学目标为：1.经历从现实生活中抽象出图形的过程，了解菱形的概念及其与平行四边形的关系；2.体会菱形的轴对称性，经历利用折纸等活动探索菱形性质的过程，发展合情推理能力；3.在证明性质和运用性质解决问题的过程中进一步发展学生的逻辑推理能力三、教学过程设计本节课设计了六个教学环节：第一环节：课前准备；第二环节：设置情境，提出课题；第三环节：猜想、探究与证明；第四环节：性质应用与巩固；第五环节：课堂小结；第六环节：布置作业。
北师大版九年级数学上册第一章 1.1 菱形的性质与判定 同步练习题
北师大版九年级数学上册第一章 1.1 菱形的性质与判定同步练习题第1课时菱形的性质一、选择题1．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是(D)A．两组对边分别相等B．两条对角线相等C．四个内角都是直角D．每一条对角线平分一组对角2．菱形的两条对角线把菱形分成全等的直角三角形的个数是(D)A．1 B．2 C．3 D．43．如图，四边形ABCD是边长为5 cm的菱形，其中对角线BD与AC交于点O，BD＝6 cm，则对角线AC的长度是(A)A．8 cm B．4 cm C．3 cm D．6 cm4．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E，F分别为BC，CD的中点，则∠EAF等于(A)A．60° B．55° C．45° D．30°二、填空题5．如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(3，0)，(－2，0)，点D在y轴上，则点C的坐标是(－5，4)．6．如图，在菱形ABCD 中，∠C ＝45°，DE 是AB 边上的高，BE ＝2，则AB 的长是7．如图，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝50°，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，E 为垂足，连接DF ，则∠CDF 的度数为105°．8．如图，点E ，F 在菱形ABCD 的对角线BD 上，BE ＝DF ，∠ABC ＝60°，∠BAE ＝35°，那么∠ECF 的度数是50度．9．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝4 cm ，∠ADC ＝120°，点E ，F 同时由A ，C 两点出发，分别沿AB ，CB 方向向点B 匀速移动(到点B 为止)，点E 的速度为1 cm/s ，点F 的速度为2 cm/s ，经过t s △DEF 为等边三角形，则t 的值为43．三、解答题10．如图，在菱形ABCD 中，作BE⊥AD，CF ⊥AB ，分别交AD ，AB 的延长线于点E ，F. (1)求证：AE ＝BF ；(2)若点E 恰好是AD 的中点，AB ＝2，求BD 的值．解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AD∥BC.∴∠A＝∠CBF.∵BE⊥AD，CF⊥AB，∴∠AEB＝∠BFC＝90°.∴△AEB≌△BFC(AAS)．∴AE＝BF.(2)∵点E是AD的中点，且BE⊥AD，∴直线BE为AD的垂直平分线．∴BD＝AB＝2.11．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E，F分别是AB，AD的中点，DE，BF相交于点G，连接CG.(1)求∠CBG的度数；(2)求证：BG＋DG＝CG.解：(1)连接BD.∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝CB＝CD，AD∥BC，AB∥CD，∠BCD＝∠A＝60°.∴△ABD是等边三角形．∵E，F分别是AB，AD的中点，∴DE⊥AB，BF⊥AD.∴DE⊥CD，BF⊥BC.∴∠CDG＝∠CBG＝90°.(2)证明：在Rt △CDG 和Rt △CBG 中，⎩⎪⎨⎪⎧CG ＝CG ，CD ＝CB ，∴Rt △CDG ≌Rt △CBG(HL)．∴∠DCG ＝∠BCG＝12∠BCD＝30°，BG ＝DG.∴BG ＝DG ＝12CG.∴BG ＋DG ＝CG.12．如图1，在菱形ABCD 中，点E ，F 分别为AB ，AD 的中点，连接CE ，CF. (1)求证：CE ＝CF ；(2)如图2，若H 为AB 上一点，连接CH ，使∠CHB＝2∠ECB，求证：CH ＝AH ＋AB.证明：(1)∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠B ＝∠D，AB ＝BC ＝CD ＝AD. ∵点E ，F 分别为AB ，AD 的中点， ∴BE ＝12AB ，DF ＝12AD.∴BE＝DF.在△BCE 和△DCF 中，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝DC ，∠B ＝∠D，BE ＝DF ，∴△BCE≌△DCF(SAS)． ∴CE ＝CF.(2)延长BA 与CF 相交于点G ， ∵四边形ABCD 是菱形，∴AF∥BC，AB∥CD.∴∠G＝∠FCD.∵点F为AD的中点，∴AF为△GCB的中位线．∴AG＝AB.∵△BCE≌△DCF，∴∠ECB＝∠DCF.∵∠CHB＝2∠ECB，∴∠CHB＝2∠G.∵∠CHB＝∠G＋∠HCG，∴∠G＝∠HCG.∴GH＝CH.∴CH＝AH＋AG＝AH＋AB.13．如图，AC，BD为菱形ABCD的对角线，∠BAD＝60°，点E，F分别在AD，CD边上，且∠EBF＝60°.(1)求证：△BEF是等边三角形；(2)当∠ABE＝15°时，AB＝1＋3，求BE的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，AB∥DC.又∵∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，∠ADC＝120°.∴AB＝BD，∠ABD＝∠ADB＝60°.∴∠ABD＝∠EBF＝∠BDC＝60°.∴∠ABE＝∠DBF，∠BAE＝∠BDF＝60°.∴△ABE≌△DBF(ASA)．∴BE ＝BF.∴△BEF 是等边三角形．(2)过点E 作EH⊥AB 于点H ，在AB 上截取GB ＝GE ，∴∠EGH ＝30°. 设HE ＝x ，在Rt △GHE 中，∠EGH ＝30°， ∴GE ＝BG ＝2x ，HG ＝3x.在Rt △AHE 中，∠BAD ＝60°，∴AH ＝33x. ∵AB ＝AH ＋HG ＋BG ＝1＋3， ∴33x ＋3x ＋2x ＝1＋ 3.解得x ＝3－32. ∴HE ＝3－32，BH ＝3＋32.∵BE 2＝HE 2＋BH 2，∴BE 2＝(3－32)2＋(3＋32)2.∴BE ＝ 6.第2课时 菱形的判定1．如图，在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，添加下列条件不能判定▱ABCD 是菱形的只有(C)A．AC⊥BD B．AB＝BCC．AC＝BD D．∠1＝∠22．如图，顺次连接四边形ABCD各中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为菱形，应添加的条件是(D)A．AB∥DC B．AB＝DCC．AC⊥BD D．AC＝BD3．如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ABCD 为菱形的是(A)A．AB＝BC B．AC＝BCC．∠B＝60° D．∠ACB＝60°4．如图，已知∠A，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AE，AF于点B，D；分别以点B，D为圆心，线段AB的长为半径画弧交于点C，连接BC，CD，则所得四边形ABCD 为菱形，判定依据是四条边都相等的四边形是菱形．5．如图，在△ABC中，AD，CD分别平分∠BAC和∠ACB，AE∥CD，CE∥AD.若从以下三个条件：①AB＝AC ；②AB＝BC ；③AC＝BC 中，选择一个作为已知条件，则能使四边形ADCE 为菱形的是②(填序号)．6．如图，▱ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AB ＝10，AC ＝12，当BD ＝16时，▱ABCD 是菱形．7．如图，在△ABC 中，点D 是BC 的中点，点E ，F 分别在线段AD 及其延长线上，且DE ＝DF.给出下列条件：①BE⊥EC；②BF∥CE；③AB＝AC ，从中选择一个条件使四边形BECF 是菱形，你认为这个条件是③(只填写序号)．8．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AC ＝50 cm ，∠A ＝60°，点D 从C 点沿CA 方向以4 cm/s 的速度向点A 匀速运动，同时点E 从A 点沿AB 方向以2 cm/s 的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点D ，E 运动的时间是t s(0＜t≤252)，过点D 作DF⊥BC 于点F ，连接DE ，EF.当t ＝253_s 时，四边形AEFD 菱形．9．在平面直角坐标系中，点A ，B ，C ，D 的坐标分别为(－3，0)，(x ，y)，(0，4)，(－6，z)．若以点A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是菱形，则z 的值为4或438．10．如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，点E ，F 分别是AB ，BC 上的点，AE ＝CF ，并且∠AED＝∠CFD.求证：(1)△AED≌△CFD；(2)四边形ABCD 是菱形．证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠A ＝∠C. 在△AED 和△CFD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠A＝∠C，AE ＝CF ，∠AED ＝∠CFD， ∴△AED ≌△CFD(ASA)． (2)∵△AED≌△CFD，∴AD ＝CD. ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴四边形ABCD 是菱形．11．如图，在▱ABCD 中，P 是对角线BD 上的一点，过点C 作CQ∥DB，且CQ ＝DP ，连接AP ，BQ ，PQ.(1)求证：△APD≌△BQC；(2)若∠ABP＋∠BQC＝180°，求证：四边形ABQP 为菱形．证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ＝BC ，AD ∥BC. ∴∠ADP ＝∠DBC.∵CQ ∥DB ，∴∠BCQ ＝∠DBC. ∴∠ADP ＝∠BCQ.又∵DP＝CQ ，∴△APD ≌△BQC(SAS)．(2)∵CQ∥DB，且CQ＝DP，∴四边形CQPD是平行四边形．∴CD＝PQ，CD∥PQ.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD.∴AB＝PQ，AB∥PQ.∴四边形ABQP是平行四边形．∵△APD≌△BQC，∴∠APD＝∠BQC.∵∠APD＋∠APB＝180°，∠ABP＋∠BQC＝180°，∴∠ABP＝∠APB.∴AB＝AP.∴四边形ABQP是菱形．12．如图，在四边形ABCD中，BC＝CD，∠C＝2∠BAD，O是四边形ABCD内一点，且OA ＝OB＝OD.求证：(1)∠BOD＝∠BCD；(2)四边形OBCD是菱形．证明：(1)延长OA到E.∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO.又∵∠BOE＝∠ABO＋∠BAO，∴∠BOE＝2∠BAO.同理可得∠DOE＝2∠DAO.∴∠BOE＋∠DOE＝2∠BAO＋2∠DAO＝2(∠BAO＋∠DAO)，即∠BOD＝2∠BAD.又∵∠BCD＝2∠BA D，∴∠BOD＝∠BCD.(2)连接OC.∵BC＝CD，OB＝OD，OC＝OC，∴△OBC ≌△ODC(SSS)． ∴∠BOC ＝∠DOC，∠BCO ＝∠DCO.∵∠BOD ＝∠BOC＋∠DOC，∠BCD ＝∠BCO＋∠DCO， ∴∠BOC ＝12∠BOD，∠BCO ＝12∠BCD.又∵∠BOD＝∠BCD，∴∠BOC ＝∠BCO. ∴BO ＝BC.又∵OB＝OD ，BC ＝CD ，∴OB ＝BC ＝CD ＝DO. ∴四边形OBCD 是菱形．13．如图，在△ABC 中，D 是AB 上一点，DE⊥AC 于点E ，F 是AD 的中点，FG ⊥BC 于点G ，与DE 交于点H.若FG ＝AF ，AG 平分∠CAB，连接GE ，GD.(1)求证：△ECG≌△GHD；(2)小亮同学经过探究发现：AD ＝AC ＋EC.请你帮助小亮同学证明这一结论； (3)若∠B＝30°，判断四边形AEGF 是否为菱形？并说明理由．解：(1)证明：∵AF＝FG ， ∴∠FAG ＝∠FGA. ∵AG 平分∠CAB ， ∴∠CAG ＝∠FAG.∴∠CAG ＝∠FGA.∴AC∥FG. ∵DE ⊥AC ，∴FG ⊥DE.∵FG ⊥BC ，∴DE ∥BC.∴AC ⊥BC. ∴∠C ＝∠DHG＝90°，∠CGE ＝∠GED. ∵F 是AD 的中点，FG ∥AE ，∴H 是ED 的中点．∴FG 是线段ED 的垂直平分线． ∴GE ＝GD ，∠HDG ＝∠GED. ∴∠CGE ＝∠HDG. ∴△ECG ≌△GHD(AAS)．(2)证明：过点G 作GP⊥AB 于P ，∴GC ＝GP. 又∵AG＝AG ，∴Rt △CAG ≌Rt △PAG(HL)． ∴AC ＝AP.∵EG ＝DG ，∴Rt △ECG≌Rt △DPG(HL)． ∴EC ＝PD.∴AD ＝AP ＋PD ＝AC ＋EC. (3)四边形AEGF 是菱形，理由：∵∠B＝30°，∴∠ADE ＝30°. ∴AE ＝12AD.∴AE＝AF ＝FG.又∵AE∥FG，∴四边形AEGF 是菱形．第3课时 菱形的性质与判定的运用1．下列说法中不正确的是(C) A ．四边相等的四边形是菱形B ．对角线互相垂直的平行四边形是菱形C ．菱形的对角线互相垂直且相等D ．菱形的邻边相等2．如图，E，F，G，H分别是BD，BC，AC，AD的中点，且AB＝CD，下列结论：①EG⊥FH；②四边形EFGH是菱形；③HF平分∠EHG，其中正确的有(D)A．0个 B．1个 C．2个 D．3个3．已知菱形ABCD，O是两条对角线的交点，AC＝8 cm，DB＝6 cm，则菱形的边长是5cm，面积是24cm2.4．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，点C的坐标为(1，2)，则菱形OABC的面积是5．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起．若重叠部分构成的四边形ABCD中，AB＝5，AC＝4，则BD的长为6．如图，已知四边形ABCD的四边相等，等边△AMN的顶点M，N分别在BC，CD上，且AM＝AB，则∠C＝100°．7．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点．若AB＝AD＝5，BD ＝8，∠ABD＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为24．8．如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD 是菱形，OB ＝OD ＝2，∠BOD ＝60°将菱形OBCD 绕点O 旋转任意角度，得到菱形OB 1C 1D 1，则点C 19．如图，在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，点E ，F 将对角线AC 三等分，且AC ＝6，连接DE ，DF ，BE ，BF.(1)求证：四边形DEBF 为菱形； (2)求菱形DEBF 的面积．解：(1)证明：连接BD 交AC 于点O. ∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD ，OA ＝OC ，OD ＝OB. ∵E ，F 为AC 的三等分点， ∴AE ＝CF.∴OE＝OF. ∴四边形DEBF 是菱形． (2)∵四边形ABCD 是菱形， ∴BD ⊥AC ，∠DAC ＝12∠DAB＝30°.∵AE ＝EF ＝FC ＝2，OA ＝OC ＝3， ∴OE ＝OF ＝1，OD ＝OB ＝ 3.∴S 菱形DEBF ＝12EF·DB＝12×2×23＝2 3.10．如图，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 边的中点，连接DA ，DF ，且AD ＝2DF ，过点B 作AD 的平行线交FD 的延长线于点E.(1)求证：四边形ABED 为菱形；(2)若BD ＝6，∠E ＝60°，求四边形ABEF 的面积．解：(1)证明：在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 边的中点， ∴DF ∥AB ，DF ＝12AB.∵BE ∥AD ，∴四边形ABED 是平行四边形． ∵AD ＝2DF ，∴AD ＝AB. ∴四边形ABED 为菱形． (2)过点B 作BG⊥EF 于点G ， ∵四边形ABED 为菱形，∴BE ＝DE. ∵∠E ＝60°，∴△BDE 是等边三角形． ∴AB ＝BE ＝DE ＝BD ＝6.∴DF＝3，EF ＝9. ∵BG ⊥EF ，∴DG ＝12DE ＝3.∴BG ＝3DG ＝3 3.∴四边形ABEF 的面积为（6＋9）×332＝4532.11．如图，在▱ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别在边AB ，BC ，CD ，DA 上，AE ＝CG ，AH ＝CF ，且EG 平分∠HEF.(1)求证：四边形EFGH 是菱形；(2)若∠B＝60°，CG ＝2，FC ＝6，求EF 的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠A ＝∠BCD，AB ＝CD ，AD ＝BC ，∠B ＝∠D. 在△AEH 和△CGF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝CG ，∠A ＝∠BCD，AH ＝CF ，∴△AEH ≌△CGF(SAS)． ∴EH ＝FG ，AE ＝CG ，AH ＝CF. ∴BE ＝DG ，BF ＝DH.在△BEF 和△DGH 中，⎩⎪⎨⎪⎧BE ＝DG ，∠B ＝∠D，BF ＝DH ，∴△BEF ≌△DGH(SAS)．∴EF＝GH. ∴四边形EFGH 是平行四边形． ∴HG ∥EF.∴∠HGE ＝∠FEG. ∵EG 平分∠HEF，∴∠HEG ＝∠FEG. ∴∠HEG ＝∠HGE.∴HE＝HG. ∴四边形EFGH 是菱形．(2)过点F 作FM⊥CD，交DC 延长线于点M. ∵AB ∥CD ，∴∠B ＝∠FCM＝60°. ∴∠CFM ＝30°.∴FC ＝2CM. ∴CM ＝3，GM ＝GC ＋CM ＝5.∴FM＝FC2－CM2＝3 3.∴FG＝FM2＋GM2＝213.∵四边形EFGH是菱形，∴EF＝FG＝213.12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AE平分∠CAB交CB于点E，CD⊥AB于点D，交AE于点G，过点G作GF∥BC交AB于点F，连接EF.(1)求证：CG＝CE；(2)判断四边形CGFE的形状，并证明；(3)若BF＝2AF，AC＝3 cm，求线段DG的长度．解：(1)证明：∵AE平分∠CAB，∴∠CAE＝∠BAE.∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠CAE＋∠CEA＝∠BAE＋∠AGD＝90°.∴∠CEA＝∠AGD＝∠CGE.∴CG＝CE .(2)四边形CGFE是菱形，证明如下：∵GF∥BC，∴∠AEC＝∠EGF＝∠CGE.∴∠AGC＝∠AGF.又∵∠CAG＝∠FAG，AG＝AG，∴△AGC≌△AGF(ASA)．∴CG＝FG.∴CE＝FG.又∵CG＝CE，CE∥FG，∴四边形CGFE是菱形．(3)∵△AGC≌△AGF，∴AC＝AF＝3 cm.∴BF ＝2AF ＝6 cm ，AB ＝9 cm. ∴BC ＝AB 2－AC 2＝6 2 cm. ∵四边形CGFE 是菱形，∴EF ∥CG. ∵CD ⊥AB ，∴EF ⊥AB.设CE ＝EF ＝x ， 在Rt △EFB 中，EF 2＋BF 2＝BE 2， ∴x 2＋62＝(62－x)2.解得x ＝322.∴CE ＝CG ＝322 cm.∵S △ABC ＝12AC·BC＝12AB·CD，∴CD ＝AC·BCAB ＝2 2 cm.∴DG ＝CD －CG ＝22－322＝22(cm)．。
北师大版九年级上册数学 1.1复习1.1 菱形的性质与判定 练习
第一章特殊平行四边形
1.1菱形的性质与判定
1.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，BD=4，则菱形ABCD的周长是_________．
2、如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD 的面积为____________cm2．
3．已知菱形两条对角线的长分别为5cm和8cm，则这个菱形的面积是________cm．4、如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点O到边AB的距离___________
5、如图，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形ABCD，若
AD=6cm，∠ABC=60°，则四边形ABCD的面积等于__________cm2．
6、如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2AD，点 E、F分别是CD 的中点，过点A作AG∥BD，交CB的延长线于点G。
（1）求证：四边形DEBF是菱形；
（2）请判断四边形AGBD是什么特殊四边形？并加以证明。
7、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，且AF=CE=AE．
（1）说明四边形ACEF是平行四边形；
（2）当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，并说明理由。
2017年九年级数学上1.1菱形的性质与判定(1)(北师大)最新版
第一章 特殊平行四边形
1.1 菱形的性质与判定(1)
新知导入
如果平行四边形的边或角满足一定的条件，那么就 会形成一些特殊的平行四边形：菱形、矩形、正方形。 你知道它们有哪些特殊的性质吗？你对此有兴趣进行探 究吗？你能证明这些特殊平行四边形的相关性质吗？
问题情景
下面几幅图片中都含有一些平行四边形，观察这些 平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？
现代人每天生活在纷繁、复杂的社会当中，紧张、高速的节奏让人难得有休闲和放松的时光。人们在奋斗事业的搏斗中深感身心的疲惫。然而，如果你细心观察，你会发现作 为现代人，其实人们每天都在尽可能的放松自己，调整生活节奏，追求充实快乐的人生。看似纷繁的社会里，人们的生活方式其实也不复杂。大家在忙忙碌碌中体味着平凡的 人生乐趣。由此我悟出一个道理，那就是----生活简单就是幸福。生活简单就是幸福。一首优美的音乐、一支喜爱的歌曲，会让你心境开朗。你可以静静地欣赏你喜爱的音乐， 可以在流荡的旋律中回忆些什么，或者什么都不去想；你可以一个人在房间里大声的放着摇滚，也可以在网上用耳麦与远方的朋友静静地共享；你还可以一边放送着音乐，一 边做着家务....生活简单就是幸福。一杯清茶，或一杯咖啡，放在你的桌边，你的心情格外的怡然。你可以浏览当天的报纸，了解最新的国内外动态，哪怕是街头趣闻；或者捧 一本自己喜欢的杂志、小说，从字里行间获得那种特别的轻松和愉悦....生活简单就是幸福。经过精心的烹制，一桌可心的菜肴就在你的面前，你招呼家人快来品尝，再备上最 喜欢的美酒，这是多么难得的享受！生活简单就是幸福。春暖花开的季节，或是清风送爽的金秋，你和家人一起，或是朋友结伴，走出户外，来一次假日的郊游，享受大自然 带给你的美丽、芬芳。吸一口新鲜的空气，忘却都市的喧嚣，身心仿佛受到一番洗涤，这是一种什么样的轻松感受！生活简单就是幸福。你参加朋友们的一次聚会，那久违的 感觉带给你温馨和激动，在觥酬交错之间你享受与回味真挚的友情。朋友，是那样的弥足珍贵....生活简单就是幸福。周末的夜晚，一家老小围坐在电视机旁，尽享团圆的欢乐 现代人越来越会生活，越来越会用各种不同的方式来放松自己。垂钓、上网、打牌、玩球、唱卡拉OK、下棋.....不一而足。人们根据自己的兴趣爱好寻找放松身心的最佳方式， 在相对固定的社交圈子里怡然的生活，而且不断的扩大交往的圈子，结交新的朋友有时，你会为新添置的一套漂亮时装而快乐无比；有时，你会为孩子的一次小考成绩优异而 倍感欣慰；有时，你会为刚参加的一项比赛拿了名次而喜不自胜；有时，你会为完成了上司交给的一个任务而信心大增生活简单就是幸福！生活简单就是幸福，不意味着我们 放弃了对目标的追逐，是在忙碌中的停歇，是身心的恢复和调整，是下一步冲刺的前奏，是以饱满的精力和旺盛的热情去投入新的“战斗”的一个“驿站”；生活简单就是幸 福，不意味着我们放弃了对生活的热爱，是于点点滴滴中去积累人生，在平平淡淡中寻求充实和快乐。放下沉重的负累，敞开明丽的心扉，去过好你的每一天。生活简单就是 幸福！我的心徜徉于春风又绿的江南岸，纯粹，清透，雀跃，欣喜。原来，真正的愉悦感莫过于触摸到一颗不染的初心。人到中年，初心依然，纯真依然，情怀依然，幸甚至 哉。生而为人，芳华刹那，真的不必太多要求，一盏茶，一本书，一颗笃静的心，三两心灵知己，兴趣爱好一二，足矣。亦舒说：“什么叫做理想生活？不用吃得太好穿得太 好住得太好，但必需自由自在，不感到任何压力，不做工作的奴隶，不受名利的支配，有志同道合的伴侣，活泼可爱的孩子，丰衣足食，已经算是理想。”时间如此猝不及防， 生命如此仓促，忠于自己的内心才是真正的勇敢，以不张扬的姿态，将自己活成一道独一无二的风景，才是最大的成功。试问，你有多久没有靠在门槛上看月亮了，你有多久 没有在家门口的那棵大树下乘凉了，你有多久没有因为一个人一件事而心生感动了，你又有多久没有审视自己的内心了？与命运的较量中，我们被迫前行，却忘记了来时的方
北师大版九年级数学上册--第一章 1.1《菱形的性质与判定》同步练习题(含答案)
1.1菱形的性质与判定练习一、选择题1、如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，添加下列一个条件，能使平行四边形ABCD 成为菱形的是（ ）A ．AO ＝BOB ．AC ＝AD C ．AB ＝BC D ．OD ＝AC题1图 题2图 题6图2、如图，要想证明平行四边形ABCD 是菱形，下列条件中不能添加的是（ ）A ．∠ABD ＝∠ADB B ．AC ⊥BD C ．AB ＝BC D ．AC ＝BD3、平面直角坐标系中，四边形ABCD 的顶点坐标分别是A （﹣3，0），B （0，2），C （3，0），D （0，﹣2），则四边形ABCD 是（ ）A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．平行四边形4、下列不能判定一个四边形是菱形的是（ ）A.有一组邻边相等的平行四边形是菱形B.对角线互相垂直的平行四边形是菱形C.四条边都相等的四边形是菱形D.对角线相等的平行四边形是菱形5、下列条件：①四边相等的四边形； ②对角线互相垂直且平分的四边形； ③一组邻边相等的四边形； ④一条对角线平分一组对角的平行四边形。
其中能判断四边形是菱形的有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个6、如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，OE ⊥AB ，垂足为E ，若∠ADC=130°，则∠AOE 的大小为（ ）A.75°B.65°C.55°D.50°7、若菱形ABCD 的周长为16，∠A:∠B=1:2，则菱形的面积为（ ） A.32 B.33 C.34 D.38题7图 题8图 题9图8、如图，已知AC 、BD 是菱形ABCD 的对角线，那么下列结论一定正确的是（ ）A.△ABD 与△ABC 的周长相等B.△ABD 与△ABC 的面积相等C.菱形的周长等于两条对角线之和的两倍D.菱形的面积等于两条对角线之积的两倍9、如图，菱形ABCD 的周长为16，∠ABC=120°，则AC 的长为（ ） A.34 B.4 C.32 D.2二、填空题1、一个菱形的边长为5，一条对角线长为6，则这个菱形另一条对角线长为________。
北师大版九年级数学上册1.1.1 菱形及其性质 (习题课件)【新版】
(B) A．③→②→①→④ B．③→④→①→ C．①→②→④→③ D．①→④→③→
返回
13 ． ( 中 考 ·怀 化 ) 如 图 ， 在 菱 形 ABCD 中 ， ∠ ABC ＝
120°，AB＝10 cm，点P是这个菱形内部或边上 的一点，若以P，B，C为顶点的三角形是等腰三 角形，则P，A(P，A两点不重合)两点间的最短 距离为_(_1_0__3_－__1_0_)__cm.
A．5
B．7
C．8
D．123 返回
知识点 3 菱形对角线的性质
8．菱形的对角线__互__相__平__分__且__垂__直____，且每条对角 线_平__分__一__组__对__角___．菱形的面积等于两条对角线 长的乘积的__一__半__;对角线所在的直线是菱形的 _对__称__轴___．
返回
9．(中考•益阳)下列性质中菱形不一定具有的性
证明：∵△ABC≌△ABD，∴BC＝BD.
由(1)得∠CEB＝∠CBE，
∴CE＝CB.∴CE＝BD.
∵CE∥BD，
∴四边形BCED是平行四边形．
又∵BC＝BD，∴四边形BCED是菱形．
返回
题型 2 菱形边的性质在证明角相等中的应用
15 ． ( 中 考 ·沈 阳 ) 如 图 ， 在 菱 形 ABCD 中 ， 过 点 D 作
相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长 线于点E. (1)求证：四边形ACDE是平行四边形； (2)若AC＝8，BD＝6，
求△ADE的周长．
(1)证明： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥CD，AC⊥BD. ∵DE⊥BD，∴DE∥AC. ∴四边形ACDE是平行四边形．
(2)解： ∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6， ∴AO＝4，DO＝3，AC⊥BD. ∴AD＝CD＝ AO2＋DO2＝ 42＋32 ＝5. ∵四边形ACDE是平行四边形， ∴AE＝CD＝5，DE＝AC＝8. ∴△ADE的周长为AD＋AE＋DE＝5＋5＋8＝18. 返回