09工程力学答案第13章一点的运动分析

13-5 如图摇杆结构的滑杆AB 以u 的速度匀速向上运动，试建立摇杆的OC 上点的运动方程；并求此C 点在4

π

ϕ=时的速度大小，假定初始瞬时0ϕ=。摇杆长OC=a ,距离OD=b 。

解：方法一（直角坐标法）： （1）建立C 点的运动方程： 由图示几何关系可知：

tan arctan cos(arctan )cos sin sin(arctan )

ut l

ut l ut x a x a l y a ut y a l ϕϕϕϕ==⎧

=⎪=⎧⎪−−−−→⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩

（2）求C 点速度方程

将运动方程对时间求一阶导数，即可求C 的速度在x 、y 轴上的投影。

2

2

sin(arctan )1()cos(arctan )1()x y u l ut x

a ut l l u l ut y a ut l l ⎫==-⎪+⎪

⎬

⎪==⎪+⎭ v v

于是速度的大小为：

21()u l a ut l ==+v = 速度与杆垂直。 （3）求C 点在4

π

ϕ=时的速度大小

当4

πϕ=时tan 1ut l ϕ==,2112u l au

a l

==+v

方法二：（弧坐标法）

（1）以C 点的初始位置为弧坐标原点，建立运动方程为：

tan arctan

arctan

ut

l ut

l ut s a s a l

ϕϕϕϕ=

==−−−−→= （2）求C 点速度方程

2

()arctan()1()ds d a d d ut l u l a a a dt dt dt dt ut l ϕϕ=

===→=+v v

当4

πϕ=时tan 1ut

l

ϕ== 2112u l au

a

l

==+v

13-7 已知刚体的角速度ω与角加速度α如图所示，求A 、M 两点的速度、切向加速度和法向加速度的大小，并图示其方向。

v b

解：（a ）因杆的角速度与角角速度的转向相反，OAM 绕O 匀减速定轴转动，其上任意点绕O 作匀减速圆周运动。

2

2

222A M n A

A OA a OM OA a OA a τ

ωωωωω

αα

=⋅==⋅==⋅==⋅=v v a a

速度、加速度方向如图所示。

（b ）因杆的角速度与角角速度的转向相反，AB 作曲线平动， A 点绕O 作匀减速圆周运动，AB 杆上任意点与A 的轨迹、速度、加速度完全相同。

22A M

n n n

M A

M A OA r OA r OA r τωωωωαα

=⋅====⋅===⋅=v v a a a a

速度、加速度方向如图所示。

13-8 物体做定轴转动的运动方程为2

43t t ϕ=-（φ为rad 计，t 以s 计），试求该物体

内，转动半径r=0.5m 的一点，在t 0=0s,t 1=1s 的速度和加速度的大小，并求物体在哪一瞬时改变方向。

解：（1）求该物体的角速度和角速度

对转动方程求一阶导数得角速度方程：46t ω=- 再求一次导数得角加速度：6α=-

（2）转动半径r=0.5m 点的速度方程、加速度方程

20.5(46)23n t t

a a a τωωα=⨯-=-==−−→===v =r r r 当t 0=0

时：2328.54t a -====2

m /s v =m /s; 当t 1=1s 时：

231 3.61t a -=-===2m /s v =m /s;

13-12 在题图（a ）、（b ）所示的两种机构，已知12120cm,3OO a ω===rad /s ，求图示位置时，杆O 2A 的角速度。

(b )

A

a

y '

O 1

30ω

y O 2

'

a

O 1

O 2

30ω1

ω30

（a ）图：（1）三选：取曲柄

O 1A 的端点A （即滑块A ）常接触点

为动点。机座上固连定系O 2xy ，摆杆O 2A 上固连动系O 2x ’y ’。

（2）运动分析：滑块A 的绝对运动是以O 1为圆心，a 为半径的圆周运动：动点的相对运动为沿O 2A 的直线运动；牵连运动为摆杆的定轴转动（绕O 2）即牵连点随动系的转动

（3）速度分析：作速度平行四边形，e v 为动系上的牵连点的速度

ωθωθωωθωθ=→⋅=→=

==2211

21cos cos cos 1.5/2cos 2

e a O A O A a v v O A a rad s a (↺)

a v e

r

v x '

x

A

30

O 2

1

30

ω1

v

（b ）图：（1）三选：取曲柄

O 2A 的端点A （即滑块A ）常接触点

为动点。机座上固连定系O 2xy ，摆杆O 1A 上固连动系O 1x ’y ’。

（2）运动分析：滑块A 的绝对运动是以O 2为圆心，θ2cos a 为半径的圆周运动：动点的相对运动为沿O 1A 的直线运动；牵连运动为摆杆的定轴转动（绕O 1）即牵连点随动系的转动

（3）速度分析：作速度平行四边形，e v 为动系上的牵连点的速度

ωωωωωθθθθθ

=

→⋅=→===22111

222/cos cos cos 2cos 2cos e a O A O A v a a v O A rad s a (↺) 13-13 杆OA 长l ，由推杆推动而在图示平面内绕O 转动，假定推杆的速度为v ，其弯头高为a ，求杆端A 点的速度大小(表示为x 的函数)。

（1）三选：取推杆MBCD 的端点M 常接触点为动点。机座上