第二章 刚体运动学与动力学(上)

（ 2 ）章动，此时随体坐标系由 Ox1 y1 z1到达Ox2 y2 z2，如图所示。 M的坐标变换关系为：
x1 1 y 0 1 z1 0 1 A( ) 0 0 x2 y cos sin 2 sin cos z2 0 0 cos sin sin cos 0 0
ωr，ωe 指向相同时， 瞬轴内分两轴 O1C ωr O2C ωe
ωr，ωe 指向相反时， 瞬轴内分两轴，瞬轴在 较大角速度的外侧 O1C ωr O2C ωe
3. 绕两个相交轴转动的合成
图示，行星锥齿轮。小 齿轮显然作 定点运动。设相对于定 系的角速度 为：ωa，相对横杆的角速度为 ：ω2， 连杆的角速度为： ω1，可以证明： ωa ω2 ω1
x cos y sin z 0 sin cos 0 0 1 0 0 cos 0 1 0 sin cos sin sin cos 0 0 sin cos 0 0 x y 0 1 z
欧拉定理：绕定点运动的刚体，从一个位置到另一个位 置的任何（有限或微小）位移，可以绕通过定点的某一轴转 动一次而实现。
证明： 只需证明刚体上，除定 点外，在三次坐吧变换 （转动）后， 存在一条直线，其上每 一点的位置不变。 事实上，A( , , )为正交矩阵。根据线性 代数理论，该矩阵 存在特征值为 1的特征矢量，即存在一 特征向量（x0 , y0 , z0 )有： x0 x0 y A( , , ) y 0 0 z0 z0 其实，（x0 , y0 , z0 )就是坐标变换的不动点 。
2. 绕两个平行轴转动的合成
图示，行星柱齿轮 刚体齿轮II，相对连杆 的角速度为： ωr， 相对于定系的角速度为 ：ωa 动系为连杆，角速度为 ：ωe ωa ωe ωr 以上为矢量和。
当ωr ωe 时， ωa 0，对象刚体平移，无转 动。 这种情况称为转 动 偶 。
齿轮II转动时，瞬轴位置？如下图所示：
下面讨论绕瞬轴的转角 与 欧拉角 , , 的关系。 为此，我们研究刚体上 一点的位移。 定义矢量β l，则 r β r
运算，其乘积在略去二 阶小量后，均相等。这 表明对于微小转动，
定义矢量ψ k，θ n， k 则相应的位移矢量为： r ψ r，r θ r，r r r r r r β r ψ r θ r r （ψ θ ） r β ψ θ β ψk Δθn Δk
1
0 1
1 0 A( , , ) 1 0 1 不难验证，无论怎样的 顺序进行矩阵 A( )，A( )，A( )乘法 转动结果与转动次序无 关。
事实上，该点与定点的 连线上的点都不动。称 此固定直线为动轴。 该绕动轴的转角记为 ，刚体三次（任意次） 转动可以认为 是绕动轴的一次转动。
3. 瞬时转动轴 角速度 角加速度
当刚体作微小转动 ，，，动轴此称为瞬轴 , 转角。 此时： 1 0 A( ) 1 0 0 1 0 1 0 A( ) 1 0 0 1 0 1 A( , , ) 0 1 0 A( ) 0 1 0 0 1
cos sin sin θ x ψ
4. 刚体上各点的速度和加速度
刚体内任意一点 M的矢径为r，则该点的速度 v为： v ω r M点的加速度a为： dv dω dr a r ω α r ω v dt dt dt
记：a R α r，称为转动加速度，非 切线方向。 a N ω v，称为向轴加速度，非 法线方向，但垂直且 指向于瞬轴。 a R 不垂直于a N a aR aN (里瓦斯公式)
定义角速度矢量： ω，其方向沿瞬轴， 指向由右手法则确定， 大小为： β ω lim t 0 t
β ψ θ lim lim lim t 0 t t 0 t t 0 t t 0 t ψ θ lim k lim n lim k t 0 t t 0 t t 0 t ω ω ω ω ω lim k ω ψ n ω θ
x x y A( , , ) y z z
以上讨论表明，刚体的转动可以由变换矩阵来表示，多次 转动仅需要将变换矩阵依次相乘。
由于矩阵乘积不具有交换性，因此刚体有限转动的次序不 可交换。换句话说，改变转动次序刚体会有不同的最终位置。
Oxyz：定系，固定在参考体上
Ox‫׳‬y‫׳‬z‫ ׳‬：体轴，固结在刚体上 显然，确定刚体的位置（运动），可以与确定体轴Ox‫׳‬y‫׳‬z‫׳‬ 位置（运动）等价。若能确定z‫ ׳‬轴的位置（需两个参数）以 及刚体绕z‫ ׳‬轴相对固定参考系Oxyz的转角则刚体的位置可完 全确定。因此，定点运动的刚体有三个自由度，或需三个广 义坐标确定刚体的位置。 广义坐标的选取方法有很多种，下面介绍一种常用的方 法，称为欧拉角。
（ 3 ）自转，此时随体坐标系由 Ox2 y2 z2到达Oxyz，如图所示。 M的坐标变换关系为：
x2 cos sin 0 x y sin cos 0 y 2 0 1 z2 0 z cos sin 0 A( ) sin cos 0 0 1 0
令： A( , , ) A( ) A( ) A( ) cos sin 0 sin cos 0 0 1 0 0 cos 0 1 0 sin cos sin sin cos 0 0 sin cos 0 0 0 1
写成矩阵形式： x cos sin y sin cos 0 z 0 cos sin 令：A( ) sin cos 0 0 称为坐标变换矩阵。 0 x1 y 0 1 1 z1 0 0 1
刚体由一个位置绕定点 转动到另一个位置的 有限运与转动 次序有关。 1. 绕x1转90 2. 绕x3转90
1. 绕x3转90 2. 绕x1转90
欧拉角的次序为:进动-章动-自旋，体轴为
3-1-3
按转轴的不同次序有24种不同组合，即24种广义欧拉角。ห้องสมุดไป่ตู้
按1-2-3转动称为卡尔丹角。 按3-1-2转动的称为姿态角。
自由刚体任意一点 M的加速度： aa ae a r aM aO αr r ωr v r
§3-3 刚体运动的合成
1. 平移与平移的合成
图示，刚体小车 v1 , a1， 动系为横梁v 2 , a 2 小车上任一点的速度： v v e v r v 2 v1 a ae a r a 2 a1 显然，当两个刚体平移 时，刚体的合成运动为 平移。
系，固连在刚体O‫׳‬ 上，但不转动
自由刚体的运动方程：
xO f1 (t )，yO f 2 (t )，zO f 3 (t ) f 4 (t )， f 5 (t )， f 6 (t )
自由刚体任意一点 M的速度， 根据速度合成定理： va ve v r v M v O ωr r
f1 (t ) ， f1 (t )， f1 (t )
称为刚体定点运动的运 动方程。
地球自转轴与公转轴夹角 23.5°（章动），但这个角度以 约19年为周期变化，幅度约为9″。 章动改变南北回归线的纬度。 自转轴与公转轴构成的平面 （其法线就是节线）绕公转轴转 动，周期约为25600年，称为进 动。进动改变季节的时间。地球 的进动使每年冬至都有微小的提 前。称为“岁差”。
刚体绕定点运动时，其上任意一点的速度等于加速度与矢 径的矢量积；加速度等于向轴加速度与转动加速度的矢量和。

§2-2 自由刚体的运动
O‫ ׳‬：为刚体上任意选定的 一点称为基点 Oxyz：定系，固定在参考 体上 O‫׳‬x‫׳‬y‫׳‬z‫ ׳‬：体轴，固结在刚 体上
O‫ ׳‬ξηζ：随动平动参考
高等动力学
中国矿业大学力建学院力学系 李毅
2-1
目 录
第二章 刚体运动学与动力学（上）
§2-1 刚体定点运动的运动学 §2-2 自由刚体的运动 §2-3 刚体运动的合成
2-2
§2-1 刚体定点运动的运动学
刚体运动时，其体内或外延部分有一点不动，称为定点运动。
2-3
1. 运动方程
O：为定点运动的定点

进动角速度 章动角速度 自转角速度
k ω
y ψ sin cos θ sin cos z ψ 上式称为定点运动的欧 拉运动学方程。
ω dω 定义角加速度矢量： α lim 方向沿ω端点的切线。 t 0 t dt 一般来说，α与ω不共线，这与定轴转动 不同。
对于一般情况， ω1 不垂直于ω2 也可以证明： ωa ω2 ω1
A( , , ) A( ) A( ) A( ) cos cos sin sin cos sin cos cos sin cos sin sin cos sin sin cos cos sin sin cos cos cos sin cos sin sin sin cos cos
2. 有限转动的欧拉定理
前面已经看出，刚体转 动的结果与转动的次序 有关。下面 通过坐标变换来进一步 讨论。
设一组欧拉角为：（ ，，），开始时随体坐标系 Oxyz 与固定坐标系Oxyz重合。 （ 1 ）进动，此时随体坐标系到达 Ox1 y1 z1，如图所示。 刚体上一点M的坐标变换关系为： x x1 cos y1 sin z1 0 y x1 sin y1 cos z1 0 z x1 0 y1 0 z1 1