高中数学必修五第一章测试题

必修五阶段测试一(第一章解三角形)

时间:12０分钟满分：１5０分

一、选择题（本大题共１２小题,每小题5分，共6０分）

1．(2017·江西金溪一中月考)已知△ABＣ中,a＝错误!,b＝错误!,B＝6０°,那么∠Ａ=( ）

A.４5°

B.90°C．130°或45°Ｄ．１50°或3０°

2.在△ＡBC中，Ｂ＝错误!，AB=8,ＢＣ＝5,则△ＡBC外接圆的面积为（)

A.错误!Ｂ.16π C.错误!D．15π

3．(２017·黑龙江鸡西期末)已知锐角△ＡBＣ的面积为3＼r（3）,BC＝4，ＣA＝3，则角C的大小为()

A．７5° B.6０° C.45° D.30°

４．在△ABC中，sｉｎ2A＝sin2B＋sin B·ｓｉn C＋ｓin2Ｃ，则Ａ等于（)

Ａ．3０° B.6０° C.1２0° D.1５0°

5.在△ABＣ中,角A、Ｂ、C的对边分别是a、b、c，且ａ>b>c,a２

Ａ.错误!B．错误!Ｃ.错误!Ｄ.错误!

6．(20１7·阆中中学质检)设△ABＣ的内角A，B,C所对的边分别为ａ,b,c,如果bｃos C+c co ｓB-a sin A=0,那么△ABＣ的形状为( )

A．直角三角形ﻩＢ．锐角三角形

C.钝角三角形ﻩＤ.不确定

7.在△ABＣ中，内角Ａ,B,C所对的边分别是a，b，c，已知8b=５c，C=２B,则cos C=（)

A.错误!B．错误!C．-错误!D．±错误!

8.(２017·青海师范大学附属中学月考）在△AＢC中,A＝30°，B＝60°，C＝９0°,那么三边之比a∶b∶c等于（）

A.1∶2∶3 B．3∶2∶1 Ｃ.1∶3∶2 D.2∶＼r(3)∶1

9．在△ABC中,b＝8，c=83, Ｓ△ABC=１6＼ｒ(3)，则∠A等于( )

Ａ．３0°B．６０°C．30°或1５０°D．６０°或1２0°

10.(2017·莆田六中期末)如图,已知Ａ，B两点分别在河的两岸，某测量者在点A所在的河岸边另选定一点C，测得ＡＣ＝50m，∠ACB＝４5°，∠CＡB=１0５°，则A,B两点的

距离为( )

Ａ.５0＼r(3) m B ．２5错误! m C ．25错误! m D ．5０＼r(２) m

1１.在锐角△ＡBC 中,B ＝２A ,则AC

BC

的取值范围是（ ）

A.（－２,２) B ．(错误!,2) C ．（０，错误!) D.（错误!,错误!)

12．Ａ,Ｂ两地相距20０ ｍ，且A 地在B 地的正东方．一人在A 地测得建筑C 在正北方,建筑D 在北偏西60°;在B 地测得建筑C 在北偏东45°，建筑D 在北偏西1５°,则两建筑C 和D 之间的距离为( )

A ．２0０错误! m

B ．100错误! m C.10０错误! ｍ D ．１00(3－1）m

二、填空题（本大题共４小题,每小题５分,共20分)

１3.设△ＡBC 的内角A ,B ,C 所对边的长分别为a ，ｂ,ｃ.若b +c =2ａ,3sin A =5ｓin B ,则角

Ｃ＝___＿____．

１4.(２017·唐山一中月考)在锐角△ＡＢC 中，角A ，B ,C 的对边分别为a ，b ，c .若错误!+＼f(a,b )＝6cos C ,则＼f(tan C ，tan A )+错误!＝_＿_＿__＿_.

15．三角形的一边长为１4,这条边所对的角为60°,另两边之比为８∶5,则这个三角形的面积为＿__＿＿__＿.

１6．已知△ＡＢC 的面积为错误!，ＡC ＝错误!，∠A ＢＣ=错误!,则△ＡBC 的周长等于____＿_＿__．

三、解答题(本大题共6小题,共７0分)

１７．(10分)在四边形AB ＣＤ中,A Ｄ⊥CD ，AD ＝5,ＡB =７，∠BD Ａ＝60°，∠CBD ＝1５°,求ＢC 的长．

18．(１２分)(2017·贵州铜仁期中)设a，b，c分别是△AＢC的三个内角Ａ，B,C所对的边，S是△ABC的面积,已知ａ＝4,b＝5,S＝5 3.

(１)求角Ｃ;

（２)求ｃ边的长度.

19.(１2分)在△ＡBC中，角Ａ,Ｂ，Ｃ所对的边分别是a，ｂ,c,且错误!=错误!Ｓ△AＢC(其中S△ABＣ为△ABC的面积）.

(１)求sｉn2错误!＋cos2A;

(2)若b＝2，△ＡBC的面积为3,求a.

20.(12分）（２017·河北开滦一中期末)如图，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=９0°，BＤ交ＡC于E,AＢ＝2.

(１）求ｃｏs∠CBE的值;

(2)求AE．

２1.(12分)(２01７·山西省朔州期末)在△ABC中,A，B，C所对的边分别为a,b，c,且ａ＝4，ｃos A=错误!,sinＢ＝错误!，c>4．

(1）求b;(２)求证:Ｃ＝2A.

22.(12分)如图所示，一辆汽车从O点出发，沿海岸一条直线公路以1０0 ｋm/h的速度向东匀速行驶,汽车开动时，在O点南偏东方向距O点５00 ｋｍ,且与海岸距离为30０kｍ的海上M处有一快艇,与汽车同时发出，要把一件重要物品递送给这辆汽车的司机，问快艇至少必须以多大的速度行驶,才能把物品送到司机手中,并求快艇以最小速度行驶的行驶方向与OM所成的角.

答案与解析

1．A 由正弦定理a

sin Ａ＝错误!，

得s ｉn A ＝＼ｆ(a si ｎB,b )＝错误!＝错误!. 又a ＜b ，∴A

2．A 由余弦定理得ＡC 2=A Ｂ2＋BC 2-2AB ·BC cos B ＝64＋２5-２×8×5×错误!＝４9,∴AC ＝7．

由正弦定理得错误!＝2R （R 为△ABC 外接圆的半径），∴R ＝错误!=错误!=错误!.∴△ABC 外接圆的面积S ＝πＲ2＝错误!．

３．B Ｓ△AB Ｃ=1

2BC ·ＣＡ·si ｎＣ，

∴错误!×4×３·ｓｉn Ｃ＝3错误!, ∴ｓｉn Ｃ＝错误!，

又△ABC 是锐角三角形，∴C =６０°，故选B.

4．C 由正弦定理,得ｓin Ａ=＼ｆ（a,２R ), ｓｉｎB =b

2R , ｓi ｎC ＝错误!(其中R 为△

ABC 外接圆半径),代入ｓin 2A ＝sin ２

B ＋ｓin B ·ｓｉn

C +s ｉn ２

C ,得a 2＝b 2＋bc ＋c 2=b 2＋c ２

＋b

ｃ，即b 2+c 2－a 2=－b ｃ，由余弦定理得cos A =

ｂ2+c 2－a ２

2bc

=错误!＝－错误!.

又0°<∠Ａ＜１8０°,∴∠A =12０°．故选C. 5．C 解法一：cos A =＼f(b 2+ｃ2－a 2,2ｂｃ), ∵a 2＜b 2＋c

２，

a >

b ＞

c ， cos A <＼f(a 2+ｃ2-a 2,2ｂc )=＼ｆ（c,2b )＜错误!＝错误!，∴c ｏ

ｓＡ＞0,且c ｏs Ａ<错误!.

∴∠A 的范围为错误!,故选C.

解法二:∵a ＞ｂ＞c ， ∴a 为最长边，∠A >＼f(π,３）. 又a 2＜b 2+c 2, ∴∠A <错误!. ∴错误!<∠Ａ＜错误!.故选Ｃ. ６．Ａ b cos C ＋c c ｏs B -a ｓｉｎＡ＝0, ∴sin B c ｏs C ＋ｓｉn C ｃos B -sin ２

Ａ＝0． ∴sin （B +Ｃ）－si ｎ２

A =0.

∴sin Ａ-ｓin 2A ＝0，∴sin A ＝0（舍去）或sin A =1， ∴A =错误!.故选Ａ.