电路设计--正弦稳态电路的分析
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试求电流i1(t)
解：先画出电路的相量模型，如(b)所示，其中
30 V, U S1
jL j1,
j4V 4 90 V U S2
1 j1 jω C
1. 支路分析 以支路电流作为变量，列出图(b)所示相量模型的KCL 和KVL方程
I I I I I I 11 22 3 3 00
和电路定理可推广用于线性电路的正弦稳态分析
差别仅在于所得电路方程为以相量形式表
示的代数方程以及用相量形式描述的电路定理，
而计算则为复数运算。
基本分析思路： 1) 从时域电路模型转化为频域模型: 正弦电流、电压用相量表示； 无源支路用复阻抗表示。 2）选择适当的电路分析方法： 等效变换法（阻抗等效变换、电源等效变换） 网孔法、 节点法、应用电路定理分析法等； 3）频域求解（复数运算）得到相量解； 4）频域解转化为时域解。
由电流相量得到相应的瞬时值表达式
i1 (t ) 3.162 2 cos(2t 18.43 )A
3. 结点分析 为了便于列写电路的结点电压方程，画出采用导纳参 数的相量模型，如图所示，其中
1 jω L
j1S, jωC j1S
选择参考结点如图所示，用观察法列出结点电压方程
( j1) 3 j1 ( j4) (1 j1 j1)U
由式(1)、(2)得到
(2 j3) I3 I 6 j3
图(d)
代入式(3)得到
2 j3 8 j9 U j2 I I I 6 j3 6 j3 8 j9 U Zo 1.795 74.93 6 j3 I
( j1) 3 j1 ( j4) (1 j1 j1)U
求解得到
j1 3 j1 ( j4) U 4 j3 5 36 .9 V
最后求得电流
j1 (U U ) I 1 S1 j1 (3 4 j3) 3 j1 3.16218.43 A
§9.3 正弦稳态电路的分析
在用相量法分析计算时，引入正弦量的相量、
阻抗、导纳和KCL、KVL的相量形式，它们在形
式上与线性电阻电路相似。 对于电阻电路有：
i 0
u Ri
I 0
u 0 i Gu
U 0
I YU
对于正弦电流电路有：
U ZI
用相量法分析时，线性电阻电路的各种分析方法
例6 电路如图(a)所示，已知
uS (t ) 5 2 cos( ωt 30 )V,ω 106 rad/s
试用网孔分析、结点分析和戴维宁定理计算电流i2(t)。
解：画出图(a)的相量模型，如图(b)所示，其中
530 V U S
1.网孔分析
，I ，用观察法直接列出网孔电流方程 设两个网孔电流 I 1 2
例1：电路中的独立电源全都是同频正弦量。试列 出该电路的结点电压方程和回路电流方程。
Z1
1
Z3
2
U S3
Z4
Z5
I S5
U S1
Z2
自(互)电导→自(互)导纳 节点电压→节点电压相量
解：电路的结点电压方程为 电压(流)源→电压(流)源相量
(Y1 Y2 Y3 ) U n1 - Y3 U n 2 + Y1 U S 1 + Y3 U S 3
例7.
Z2
I
I S
Z1
Z3
Z
490o A , Z Z j30Ω 已 知 ：I S 1 2 Z 3 30Ω , Z 45Ω . 求 ：I
( Z1 Z 2 ) I l1
-
Z3;0
I l 3 + U S1
-
Z 2 I l1 + (Z 2 Z3 Z 4 ) I l 2 - Z 4 I l 3 - U S 3
0 I l1
Z 4I l 2 + ( Z 4 Z 5 ) I l 3 - U
4. 叠加定理
叠加定理适用于线性电路，也可以用于正弦稳态分析。
画出两个独立电压源单独作用的电路，如图所示。
用分别计算每个独立电压源单独作用产生的电流相量，
然后相加的方法得到电流相量
U U 1 S1 S2 I1 I I 1 ( j1) 1 j1 1 j1 j1 j1 1 j1 1 j1 3 j4 3 j1 3.126 18.43 A j1 0.5 j0.5 1 j1 j1
j I I 3 0 jI1 1 I33 30 j I2 3 j4 j I I 3 j4 2
I I 0 I 1 2 3 j I I 3 0 1 3 jI I j4 2 3
图(b)
代入
U U S 1 I 5 30 U 3 1 1
4.04327.27 V 求解得到 U 1
U 1 1.1260.96 A I 2 3 j2
3.用戴维宁定理求解
(1) 由图 (c)电路求端口的开路
。先用网孔方程求电流 I 电压U oc 3
3Y 4Y ) 5 )U n 2 - Y3 U S 3 Y3U n1 + (Y3(Y 4Y
+
I S5
回路电流方程
Z1
Z5 Z3
U S1
U S3
Z4 I l3
I S5
+
U
自(互)电阻→自(互)阻抗 回路电流→回路电流相量
I l1
Z2 I l 2
- 电压(流)源→电压(流)源相量
（ 3 j 3 ) I I 3 I 5 30 1 2 3 530 I ( 4 j 2 ) I 2 1
代入
I I I 3 2 1
得到以下方程
（ 6 j 3 ) I 4 I 5 30 1 2 530 I ( 4 j 2 ) I 2 1 1.12160.96 A I
得到图(e)所示等效电路
5 j3 U oc 530 V 4.346 34.4 V 6 j3
8 j9 Zo 1.795 74.93 6 j3
由图(e)求得
图 (e)
U 5 j3 oc I2 530 A 1.1260.96 A Z o 3 26
2. 网孔分析
假设网孔电流如图 (b) 所示，用观察法列出网孔电流 方程
33 I (1 j1) I 0 ( 1 j1) I I 0 11 22 I ( 1 j1) I I ( 1 j1) I jj4 4 1 22 1
求解得到
0 3 1 0 1 1
j4 j 1 j4 j3 3 I1 A A (3 j1)A 3.16218.43 A 1 1 1 1 j j j 0 1 0 j 1
由电流相量得到相应的瞬时值表达式
i1 (t ) 3.162 2 cos(2t 18.43 )A
(2) 将图(a)电路中两个独立电压源用短路代替，得到 图(b)电路，由此求得单口网络的输出阻抗
1 ( j1) j1 (1 j1) Zo (0.5 j0.5) 1 j1 2
用戴维宁电路代替单口网络得到图(c)所示电路，由此
求得
U oc I 1 Z o j1 1 j2 1 j2 0.5 j0.5 j1 0.5 j0.5 3 j1 3.16218.43 A
''
+ Z3 -
'' I 2
US
'' I 2 I2 I2
'
2.3130o 1.155 135o 1.23 15.9o A
例5 图(a)电路中，已知
uS1 (t ) 3 2 cosωt V, uS2 (t ) 4 2 sinωt V,ω 2rad/s
I l3 - I S 5
例2. 列写电路的回路电流方程 _ U S+
I 1 jL R1 I 2 R4
R2
I 3
I 4
1 jc
I S
R3
解：
( R jL)I R I U ( R1 R2 jL)I 1 1 2 2 3 S (R R R jL)I R I 0 (R1 jL)I 1 1 3 4 2 3 3 1 1 R2 I1 R3 I 2 ( R2 R3 )I3 I4 0 jC jC
I I 4 S
例4：
用叠加定理计算电流 I 2
已知 : U S 10045 V, I S 40o A,
o
Z1 Z 3 5030oΩ, Z 2 50 30oΩ .
Z1 Z2
I S
+
Z3 -
I 2
US
解： (1) I S 单独作用 (U S 短路) : Z1 Z2
I 30 (1 j1)I 1 2 j4 I ( 1 j1) I 1 2
求解得到
3
1
j4 1 j1 I1 A 1 j1 1 1 1 j1 3 j3 j4 A (3 j1)A 3.16218.43 A 2 1
530 V U S
求解得到
2
i2 (t ) 1.121 2 cos(106 t 60.96 ) A
2.结点分析 将电压源和阻抗串联单 口网络等效变换为电流源和 阻抗的并联后，再列出结点 电压方程
3I 1 1 5 30 3 1 U 1 2 j3 3 j2 2 j3 1
I I 0 I (1) 1 3 1 3 (2 j3) I 4 I 0 ( ( 2 j 3 ) I I (2 2) ) 1 1 3 3 3I 3 0 j 2 I I U ( 3 ) j 2 I I U ( 3 ) 3 3
(3 j3)I3 3I3 530
求解得到
530 I3 A 6 j3
5 j3 U oc (1) I 3 U S 530 V 4.346 34.4 V 6 j3
(2) 用外加电流源求端口电压的方法，由图(d)电路求 输出阻抗Zo。列出支路电流方程
' I2
Z3 I2 I S Z2 Z3
'
I S
Z3
o 50 30 40o 50 30o 50 30o 2.3130o A
US I2 Z2 Z3 (2) U S 单独作用 ( I S 开路) : 10045o 1.155 135o A Z1 Z2 50 3
' 1 " 1
5. 戴维宁定理 戴维宁定理告诉我们：含独立源的单口网络相量模型 可以一个电压源和阻抗Zo串联电路代替，而不会影响电路
其余部分的电压和电流相量。
先求出连接电感的单口网络的戴维宁等效电路。 (1) 断开电感支路得到图(a)电路，由此求得端口的开 路电压
1 U oc U S1 U S2 1 j1 j4 3 3 (2 j2) 1 j2 1 j1
解：先画出电路的相量模型，如(b)所示，其中
30 V, U S1
jL j1,
j4V 4 90 V U S2
1 j1 jω C
1. 支路分析 以支路电流作为变量，列出图(b)所示相量模型的KCL 和KVL方程
I I I I I I 11 22 3 3 00
和电路定理可推广用于线性电路的正弦稳态分析
差别仅在于所得电路方程为以相量形式表
示的代数方程以及用相量形式描述的电路定理，
而计算则为复数运算。
基本分析思路： 1) 从时域电路模型转化为频域模型: 正弦电流、电压用相量表示； 无源支路用复阻抗表示。 2）选择适当的电路分析方法： 等效变换法（阻抗等效变换、电源等效变换） 网孔法、 节点法、应用电路定理分析法等； 3）频域求解（复数运算）得到相量解； 4）频域解转化为时域解。
由电流相量得到相应的瞬时值表达式
i1 (t ) 3.162 2 cos(2t 18.43 )A
3. 结点分析 为了便于列写电路的结点电压方程，画出采用导纳参 数的相量模型，如图所示，其中
1 jω L
j1S, jωC j1S
选择参考结点如图所示，用观察法列出结点电压方程
( j1) 3 j1 ( j4) (1 j1 j1)U
由式(1)、(2)得到
(2 j3) I3 I 6 j3
图(d)
代入式(3)得到
2 j3 8 j9 U j2 I I I 6 j3 6 j3 8 j9 U Zo 1.795 74.93 6 j3 I
( j1) 3 j1 ( j4) (1 j1 j1)U
求解得到
j1 3 j1 ( j4) U 4 j3 5 36 .9 V
最后求得电流
j1 (U U ) I 1 S1 j1 (3 4 j3) 3 j1 3.16218.43 A
§9.3 正弦稳态电路的分析
在用相量法分析计算时，引入正弦量的相量、
阻抗、导纳和KCL、KVL的相量形式，它们在形
式上与线性电阻电路相似。 对于电阻电路有：
i 0
u Ri
I 0
u 0 i Gu
U 0
I YU
对于正弦电流电路有：
U ZI
用相量法分析时，线性电阻电路的各种分析方法
例6 电路如图(a)所示，已知
uS (t ) 5 2 cos( ωt 30 )V,ω 106 rad/s
试用网孔分析、结点分析和戴维宁定理计算电流i2(t)。
解：画出图(a)的相量模型，如图(b)所示，其中
530 V U S
1.网孔分析
，I ，用观察法直接列出网孔电流方程 设两个网孔电流 I 1 2
例1：电路中的独立电源全都是同频正弦量。试列 出该电路的结点电压方程和回路电流方程。
Z1
1
Z3
2
U S3
Z4
Z5
I S5
U S1
Z2
自(互)电导→自(互)导纳 节点电压→节点电压相量
解：电路的结点电压方程为 电压(流)源→电压(流)源相量
(Y1 Y2 Y3 ) U n1 - Y3 U n 2 + Y1 U S 1 + Y3 U S 3
例7.
Z2
I
I S
Z1
Z3
Z
490o A , Z Z j30Ω 已 知 ：I S 1 2 Z 3 30Ω , Z 45Ω . 求 ：I
( Z1 Z 2 ) I l1
-
Z3;0
I l 3 + U S1
-
Z 2 I l1 + (Z 2 Z3 Z 4 ) I l 2 - Z 4 I l 3 - U S 3
0 I l1
Z 4I l 2 + ( Z 4 Z 5 ) I l 3 - U
4. 叠加定理
叠加定理适用于线性电路，也可以用于正弦稳态分析。
画出两个独立电压源单独作用的电路，如图所示。
用分别计算每个独立电压源单独作用产生的电流相量，
然后相加的方法得到电流相量
U U 1 S1 S2 I1 I I 1 ( j1) 1 j1 1 j1 j1 j1 1 j1 1 j1 3 j4 3 j1 3.126 18.43 A j1 0.5 j0.5 1 j1 j1
j I I 3 0 jI1 1 I33 30 j I2 3 j4 j I I 3 j4 2
I I 0 I 1 2 3 j I I 3 0 1 3 jI I j4 2 3
图(b)
代入
U U S 1 I 5 30 U 3 1 1
4.04327.27 V 求解得到 U 1
U 1 1.1260.96 A I 2 3 j2
3.用戴维宁定理求解
(1) 由图 (c)电路求端口的开路
。先用网孔方程求电流 I 电压U oc 3
3Y 4Y ) 5 )U n 2 - Y3 U S 3 Y3U n1 + (Y3(Y 4Y
+
I S5
回路电流方程
Z1
Z5 Z3
U S1
U S3
Z4 I l3
I S5
+
U
自(互)电阻→自(互)阻抗 回路电流→回路电流相量
I l1
Z2 I l 2
- 电压(流)源→电压(流)源相量
（ 3 j 3 ) I I 3 I 5 30 1 2 3 530 I ( 4 j 2 ) I 2 1
代入
I I I 3 2 1
得到以下方程
（ 6 j 3 ) I 4 I 5 30 1 2 530 I ( 4 j 2 ) I 2 1 1.12160.96 A I
得到图(e)所示等效电路
5 j3 U oc 530 V 4.346 34.4 V 6 j3
8 j9 Zo 1.795 74.93 6 j3
由图(e)求得
图 (e)
U 5 j3 oc I2 530 A 1.1260.96 A Z o 3 26
2. 网孔分析
假设网孔电流如图 (b) 所示，用观察法列出网孔电流 方程
33 I (1 j1) I 0 ( 1 j1) I I 0 11 22 I ( 1 j1) I I ( 1 j1) I jj4 4 1 22 1
求解得到
0 3 1 0 1 1
j4 j 1 j4 j3 3 I1 A A (3 j1)A 3.16218.43 A 1 1 1 1 j j j 0 1 0 j 1
由电流相量得到相应的瞬时值表达式
i1 (t ) 3.162 2 cos(2t 18.43 )A
(2) 将图(a)电路中两个独立电压源用短路代替，得到 图(b)电路，由此求得单口网络的输出阻抗
1 ( j1) j1 (1 j1) Zo (0.5 j0.5) 1 j1 2
用戴维宁电路代替单口网络得到图(c)所示电路，由此
求得
U oc I 1 Z o j1 1 j2 1 j2 0.5 j0.5 j1 0.5 j0.5 3 j1 3.16218.43 A
''
+ Z3 -
'' I 2
US
'' I 2 I2 I2
'
2.3130o 1.155 135o 1.23 15.9o A
例5 图(a)电路中，已知
uS1 (t ) 3 2 cosωt V, uS2 (t ) 4 2 sinωt V,ω 2rad/s
I l3 - I S 5
例2. 列写电路的回路电流方程 _ U S+
I 1 jL R1 I 2 R4
R2
I 3
I 4
1 jc
I S
R3
解：
( R jL)I R I U ( R1 R2 jL)I 1 1 2 2 3 S (R R R jL)I R I 0 (R1 jL)I 1 1 3 4 2 3 3 1 1 R2 I1 R3 I 2 ( R2 R3 )I3 I4 0 jC jC
I I 4 S
例4：
用叠加定理计算电流 I 2
已知 : U S 10045 V, I S 40o A,
o
Z1 Z 3 5030oΩ, Z 2 50 30oΩ .
Z1 Z2
I S
+
Z3 -
I 2
US
解： (1) I S 单独作用 (U S 短路) : Z1 Z2
I 30 (1 j1)I 1 2 j4 I ( 1 j1) I 1 2
求解得到
3
1
j4 1 j1 I1 A 1 j1 1 1 1 j1 3 j3 j4 A (3 j1)A 3.16218.43 A 2 1
530 V U S
求解得到
2
i2 (t ) 1.121 2 cos(106 t 60.96 ) A
2.结点分析 将电压源和阻抗串联单 口网络等效变换为电流源和 阻抗的并联后，再列出结点 电压方程
3I 1 1 5 30 3 1 U 1 2 j3 3 j2 2 j3 1
I I 0 I (1) 1 3 1 3 (2 j3) I 4 I 0 ( ( 2 j 3 ) I I (2 2) ) 1 1 3 3 3I 3 0 j 2 I I U ( 3 ) j 2 I I U ( 3 ) 3 3
(3 j3)I3 3I3 530
求解得到
530 I3 A 6 j3
5 j3 U oc (1) I 3 U S 530 V 4.346 34.4 V 6 j3
(2) 用外加电流源求端口电压的方法，由图(d)电路求 输出阻抗Zo。列出支路电流方程
' I2
Z3 I2 I S Z2 Z3
'
I S
Z3
o 50 30 40o 50 30o 50 30o 2.3130o A
US I2 Z2 Z3 (2) U S 单独作用 ( I S 开路) : 10045o 1.155 135o A Z1 Z2 50 3
' 1 " 1
5. 戴维宁定理 戴维宁定理告诉我们：含独立源的单口网络相量模型 可以一个电压源和阻抗Zo串联电路代替，而不会影响电路
其余部分的电压和电流相量。
先求出连接电感的单口网络的戴维宁等效电路。 (1) 断开电感支路得到图(a)电路，由此求得端口的开 路电压
1 U oc U S1 U S2 1 j1 j4 3 3 (2 j2) 1 j2 1 j1