人教版高中数学常用逻辑用语命题教案
高中数学命题与逻辑题教案
高中数学命题与逻辑题教案
教案主题：数学命题与逻辑题
教学目标：
1.了解命题的概念和基本性质
2.掌握逻辑联结词的运用
3.学会使用数学语言描述命题与逻辑问题
教学内容：
1.命题的定义和基本性质
2.逻辑联结词的分类和运用
3.数学语言描述命题与逻辑问题
教学步骤：
一、导入（5分钟）
老师引导学生回顾自然语言中的命题及其特点，引出命题在数学中的应用。
二、讲解与示范（15分钟）
1.讲解命题的定义和基本性质，引导学生通过举例理解命题的概念。
2.介绍逻辑联结词的分类和运用，让学生了解与理解逻辑关系的表达方式。
三、练习与巩固（20分钟）
1.学生通过练习题巩固所学知识，包括判断命题的真假和逻辑关系的运用。
2.学生分组进行逻辑题讨论，通过解题方式提高逻辑思维能力。
四、拓展与延伸（10分钟）
老师布置拓展练习，让学生尝试更复杂的命题和逻辑问题，拓展思维边界。
五、总结与展望（5分钟）
1.老师对本节课内容进行小结，强调重点和易错处。
2.展望下节课的主题，激发学生学习兴趣。
教学辅助：
1.多媒体教学设备
2.教材与练习题册
3.小组讨论环节
教学反馈：
学生通过课后练习、小组讨论和课堂互动等方式进行自我巩固与反馈，老师及时纠正错误，并指导学生进一步提高逻辑思维能力。
教学延伸：
老师鼓励学生独立思考和解决问题，引导学生进行更深入的逻辑思考，培养学生的创新意
识和数学智力。
高中数学《常用逻辑用语》教案
高中数学《常用逻辑用语》教案一、教学目标：知识与技能目标：使学生掌握常用逻辑用语，如且、或、非、如果……等，并能够运用这些逻辑用语分析问题和解决问题。
过程与方法目标：通过实例分析和练习，培养学生运用逻辑用语表达和分析数学问题的能力。
情感态度与价值观目标：培养学生对数学逻辑思维的兴趣，提高学生分析问题和解决问题的能力。
二、教学内容：1. 且、或、非逻辑运算：介绍且、或、非三种基本的逻辑运算，并通过实例说明其含义和应用。
2. 如果……逻辑运算：解释如果……的逻辑含义，探讨其逆命题、逆否命题和原命题之间的关系。
3. 逻辑运算的优先级：讲解逻辑运算的优先级规则，使学生能够正确运用逻辑运算解决问题。
4. 逻辑用语的应用：通过实际问题，引导学生运用逻辑用语分析和解决问题，提高学生的逻辑思维能力。
5. 逻辑用语的练习：提供一些练习题，让学生巩固所学的内容，增强运用逻辑用语解决问题的能力。
三、教学方法：1. 讲授法：讲解逻辑运算的定义和规则，让学生理解并掌握逻辑运算的基本概念。
2. 实例分析法：通过具体的例子，使学生了解逻辑运算在实际问题中的应用。
3. 练习法：提供一些练习题，让学生通过实际操作，巩固所学的内容。
4. 小组讨论法：组织学生进行小组讨论，培养学生的合作能力和逻辑思维能力。
四、教学准备：1. 教学PPT：制作教学PPT，展示逻辑运算的定义、规则和实例。
2. 练习题：准备一些练习题，用于巩固所学的内容。
3. 教学素材：收集一些实际问题，用于引导学生运用逻辑用语分析和解决问题。
五、教学过程：1. 导入新课：通过一个简单的逻辑问题，引入常用逻辑用语的学习。
2. 讲解与演示：讲解常用逻辑用语的定义和规则，并通过实例演示其应用。
3. 练习与讨论：让学生进行练习，并通过小组讨论，巩固所学的内容。
4. 应用与拓展：引导学生运用逻辑用语分析和解决问题，提高学生的逻辑思维能力。
5. 总结与反思：对本节课的内容进行总结，使学生明确所学的重要知识点。
高中数学 第1章 常用逻辑用语 第1课时 四种命题教案
第一章 常用逻辑用语
第1课时 命题及其关系
教学目标：
1. 了解命题的逆命题、否命题与逆否命题；
2．会分析四种命题之间的相互关系及判别命题的真假．
3．提高学生分析问题解决问题的能力，初步形成运用逻辑知识准确地表述数学问题的数学意识．
教学重点：
四种命题的相互关系．
教学难点：
由原命题准确写出另外三种命题．
教学过程：
Ⅰ.问题情境
复习命题的概念．
Ⅱ.建构数学
1．四种命题
2．四种命题之间的关系
Ⅲ.数学应用
例1 写出命题“若0=a ，则0=ab ”的逆命题，否命题与逆否命题。
变式练习：已知命题“负数的平方是正数”，写出它的逆命题、否命题与逆否命题．
例2 把下列命题改写成“若p 则q ”的形式，并写出它们的逆命题，否命题与逆否命题，同时指出它们的真假：
（1）两个全等三角形的三边对应相等；
（2）四条边相等的四边形是正方形。
变式练习：分别写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题．并判断它们的真假：
（1）若1m <，则2
20x x m ++=方程有实数根；
（2）奇函数的图象关于原点对称；
（3）若220x x +-=，则1x =；
（4）2280x x ++>的解集是空集．
思考：已知,a b 是实数，若20x ax b ++≤有非空解集，则240a b -≥，写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题并判断其真假.
Ⅳ. 课时小结:
Ⅴ. 课堂检测
Ⅵ.课后作业
书本P8习题1，2。
高中数学第一章常用逻辑用语11命题及其关系教学案新人教A版
1.1 命题及其关系第1课时命题[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P～P，回答下列问题．42观察教材P“思考”中的6个语句．2(1)这6个语句都是陈述句吗？提示：是．(2)能否判断这6个语句的真假性？提示：能．2．归纳总结，核心必记命题及相关概念定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的??陈述句真命题：判断为真的语句???命题分类?假命题：判断为假的语句???qppq叫做形式：“若叫做命题的条件，，则.”其中?命题的结论[问题思考]x>5”是命题吗？ (1)“提示：不是．(2)陈述句一定是命题吗？提示：不一定．2xxx”的条件和结论各是什么？2时，＝－30＋(3)命题“当2＝2xxx 02＝提示：条件：；结论：＝2．－3＋qp(4)“若”形式的命题一定是真命题吗？则提示：不一定． (5)数学中的定义、公理、定理、推论是真命题吗？提示：是．]课前反思[(1)命题的定义是：；(2)真、假命题的定义是：；(3)命题的条件和结论的定义是：．[思考] 一个语句是命题应具备哪两个要素？提示：(1)是陈述句；(2)可以判断真假．讲一讲1．判断下列语句中，哪些是命题？(链接教材P－例1) 21fx)＝(在定义域上是减函数； (1)函数x(2)一个整数不是质数就是合数；2xx2；(3)3>1－的圆；在平面上作一个半径为4(4) 45°；αcos α，则＝(5)若sin α＝100是一个大数；(6)2 垂直于同一个平面的两条直线一定平行吗？(7)2xx2>0.＋(8)若，则∈R (1)是陈述句，且能判断真假，是命题．[尝试解答]是陈述句，且能判断真假，是命题．(2)2xxx的大小关系不确定，无法判断其真假，不是命题．∈R时，3－2与1当(3) (4)不是陈述句，不是命题． (5)是陈述句，且能判断真假，是命题． (6)是陈述句，但是“大数”的标准不确定，所以无法判断其真假，不是命题．不是陈述句，不是命题．(7) 是陈述句，且能判断真假，是命题．(8)一个语句是命题应具备两个条件：一是陈述句；二是能够判断真假．一般来说，疑 (1) 问句、祈使句、感叹句等都不是命题．对于含有变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断真假．若能，就是(2) 命题；若不能，就不是命题．还有一些语句，目前无法判断真假，但从事物的本质而论，这些语句是可辨别真假(3) 的，尤其是科学上的一些猜想等，这类语句也叫做命题．数学中的定义、公理、定理和推论都是命题．(4)练一练) 填序号．(1．下列语句中是命题的有________ ①地球是太阳的一个行星．流感是怎样传播的？②甲型H1N1yxxy，＋都是无理数，则③若是无理数．llαα内，则直线平行．④若直线与平面不在平面x9>4.＋⑤60⑥求证：3是无理数．解析：根据命题的概念进行判断．因为②是疑问句，所以②不是命题．因为⑤中自变量x的值不确定，所以无法判断其真假，故不是命题．因为⑥是祈使句，所以不是命题，故填①③④.答案：①③④2．判断下列语句是否是命题，并说明理由．π(1)是有理数；32x；≤5(2)3 梯形是不是平面图形呢？(3)2xx7>0.(4)＋－π“是有理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．解：(1)32x≤5”的真假，所以它不是命题．3(2)因为无法判断“ (3)“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题．2127??22x??xxxx－－－＋7＝”是真的，故是命题．＋>0＋，所以“7>0因为(4) ??24讲一讲pq”的形式，并指出条件与结论．(链接教材P2．把下列命题改写成“若，则、2－例3．3)例 (1)等边三角形的三个内角相等；x aya＝时，函数(2)当是增函数；>1 菱形的对角线互相垂直．(3)p：一尝试解答] (1)若一个三角形是等边三角形，则它的三个内角相等．其中条件[q个三角形是等边三角形，结论：它的三个内角相等．xx aqyayapa：函数(2)若是增函数．>1，则函数>1＝，结论是增函数．其中条件：＝qp：四(3)若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直．其中条件：四边形是菱形，结论边形的对角线互相垂直．对命题改写时，一定要找准命题的条件和结论，有些命题的形式比较简洁，条件和(1)的条件应“对顶角相等”结论不明显，写命题的条件和结论时需要适当加以补充，例如命题．写成“若两个角是对顶角”，结论为“这两个角相等”在对命题改写时，要注意所叙述的条件和结论的完整性，有些命题中，还要注意大(2)ABCBABCabA中”是必不前提的写法．例如，命题“在△，则中，若”中，大前提“在△>> 可少的．练一练qp．将下列命题改写为“若”的形式．，则32;2bcabac>时，有>(1)当 (2)实数的平方是非负实数； 2整除；(3)能被6整除的数既能被3整除也能被xyxyyx3. ＝41(4)已知时，必有，，为正整数，当＝＝＋22bcacab.，则解：(1)若>> 若一个数是实数，则它的平方是非负实数．(2) 整除也能被2整除．(3)若一个数能被6整除，则它既能被3xyyxyx3.＝4，＝＋1已知(4)，则，为正整数，若＝讲一讲．判断下列各命题的真假，并说明理由．322baab (1)若>；，则>3AABCA； >在△(2)中，当sin >60°时，必有2 两个向量相等，它们一定是共线向量；(3)22yyxx相切．1＝1)＋(＋1)－(与圆＝直线(4)．22bbaaba＝1时，>>，但[尝试解答] (1)假命题．例如，当不成立．＝－3，31AAAA.sin >60°，但sin >＝，不满足(2)假命题．例如，当°时，＝15022真命题．当两个向量相等时，它们的模相等，方向相同，符合共线向量的定义，它(3) 们一定是共线向量．dyx1)到直线，所以直线与圆相离．＝＝的距离为2>1(4)假命题．圆心(1，－判断一个命题的真假时，首先要弄清命题的结构，即它的条件和结论分别是什么， (1)qp”的形式，然后联系其他相关的知识，经过逻辑推理或列举反例来判把它写成“若，则定．qp”的形一个命题要么真，要么假，二者必居其一．当一个命题改写成“若，则 (2)ppq，若由“则可判定”经过逻辑推理，得出““若”，式之后，判断这种命题真假的办法：qqp则，则”是真；判定“若”是假，只需举一反例即可．练一练) ．下列命题中是真命题的是( 4BBAA{3} ，则∈＝A．若3∈∩，32xxx1＝0．若B，则＋＝－212xxxxff)＝)－(，则有最小值－C．若函数(4xx<2 <1D．若log，则2C 答案： 5．判断下列命题的真假，并说明理由． (1)正方形既是矩形又是菱形；xx 1<0＝4时，2；(2)当＋xxxx0－7)3或(＝7，则＝－3)(；(3)若＝ (4)一个等比数列的公比大于1时，该数列一定为递增数列．解：(1)是真命题，由正方形的定义知，正方形既是矩形又是菱形．xx1<0. ＋(2)是假命题，4＝不满足2xxxx0.－7)(是真命题，由＝3或＝7能得到＝－3)((3)qa(4)是假命题，因为当等比数列的首项<0，公比>1时，该数列为递减数列．1课堂归纳·感悟提——————————————[ ]升———————————————．本节课的重点是命题的真假判断，难点是命题的构成形式和命题的真假判断．1．2．本节课要重点掌握的规律方法pq”的形式，找准命题的条件和结论，见讲，则2. (1)将命题改写成“若(2)判断命题的真假性，见讲3.pq”的形式时，大前提应保持，则3．本节课的易错点是将含有大前提的命题写成“若p中．不变，且不写在条件课时达标训练（一）[即时达标对点练]题组1 命题的概念1．下列语句中是命题的是( )A．周期函数的和是周期函数吗？B．sin 0°＝02xx1>02的解集C．求＋－EFGABC D．作△∽△ D选项中的语句是祈使句，都不是命题．选项是疑问句，C、解析：选B A ．以下语句中：22222xxyxxx) ＝0}0；③>．其中命题的个数是；④{( | N①{0}∈；②＋＋1＝3． D B．1 C．2 A．0不是命题；④不是陈述句，①是命题，且是假命题；②、③不能判断真假，解析：选B不是命题．命题的构成形式题组2qp”的形式为．把命题“末位数字是34的整数一定能被2整除”改写成“若，则_______________________________________． 2整除答案：若一个整数的末位数字是4，则它一定能被ayxaxay的右上方区－1＋4．命题“若＝>0，则二元一次不等式＋0－1≥0表示直线qp．“假”)命题：________．它是________(填“真”或的条件(域包含边界)”，：________结论yxxaay0≥－不成立，∴代入(0，0)得－＋－1≥01≥01＋，把时，设解析：>0＝1 表示直线的右上方区域，∴命题为真命题．ayayxax包含边0101答案：>0 二元一次不等式＋－≥表示直线＋－＝的右上方区域( 真) 界qqpp”的形式，并判断真假，且指出分别指什么．．把下列命题改写成“若5和，则 1的两个实数互为倒数；(1)乘积为 (2)奇函数的图象关于原点对称； (3)与同一直线平行的两个平面平行．，则这两个实数互为倒数”．它是真命题．解：(1)“若两个实数乘积为1qp：两个实数互为倒数．：两个实数乘积为1，．它是真命题．(2)“若一个函数为奇函数；则它的图象关于原点对称”qp：一个函数为奇函数；：函数的图象关于原点对称．这两个平面也．它是假命题，(3)“若两个平面与同一条直线平行，则这两个平面平行”可能相交．qp：两个平面与同一条直线平行；：两个平面平行．判断命题的真假题组3) 6．下列命题是真命题的是(．所有质数都是奇数A baba B>．若>，则23xxx >C．对任意的成立∈N，都有2xx 0．方程有实根＋＋1＝D x0＝2是偶数也是质数；选项B正确；选项C错，因为当解析：选B 选项A错，因为2223xxxx ＝－－43<0，所以方程0＋无实根．＋1时＝>不成立；选项D错，因为Δ＝1)( 7．下列命题中真命题有22xxyaxmxx轴至少有一个交点；与＋①2＋2＝－10是一元二次方程；②抛物线－＝1 ③互相包含的两个集合相等；④空集是任何集合的真子集． D．4个 CA．1个 B．2个．3个xma时，抛物线与解析：选A ①中，当Δ＝0时，是一元一次方程；②中当＝4＋4<0 轴无交点；③是正确的；④中空集不是本身的真子集．) 8．下列命题中真命题的个数为(①面积相等的三角形是全等三角形；yxyx；＝|＋|0|②若＝0，则|c; cbaab③若>>，则＋＋④矩形的对角线互相垂直．4．．A．1 B2 C．3 D yxyxyx，故②错；③正确；，但，则，①错；②中若解析：选A ＝3＝0＝0||≠|0|＋④中矩形的对角线不一定互相垂直．．下列命题：9．2ba xxxy，·|0<0<12}＝是无限集；④如果＋3为偶函数；②0不是自然数；③{＝∈①N ba．写出所有真命题的序号)＝0.其中是真命题的是那么________(＝0，或解析：①为真命题；②③④为假命题．答案：①]能力提升综合练[|a|bcabcabca；②、·是任意非零平面向量，且相互不共线，则：①(＝·(1．设)、)22b|baab|a||ab|; bcacabc|b|，)·(34|)－－(2·－))不与＝垂直；④(3＋－<2－9③(·)是真命题的有(B．②③ A．①②D．②④ C．③④|a|①错，数量积不满足结合律；②对，由向量减法的三角形法则可知有解析：选Db·c b·ca·cc·ab|bcac·a·b·c|b||a∴③－(－(＝))(]0.＝－(<)(－[(；③)·))·错；④对．bbaa，则下⊥⊥α，2．已知，β为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且) 列命题中，假命题是(ba∥β，则αA．若∥ba⊥β，则αB．若⊥baβ相交，则αC．若，，相交ba相交，D．若α，β相交，则baba，β，若α，β由已知解析：选D 相交，⊥α，有可能异面．⊥2aaxx的一个值可＋1＝03．给出命题“方程没有实数根”＋，则使该命题为真命题的)( 以是2 A．4 B．4C．0 D．－2aaΔ方程无实根时，应满足＝时适合条件．－4<0.故0＝解析：选C．已知下列三个命题：411 ①若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；82②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；122yyxx 1＝相切．＝0与圆＋③直线＋＋2) 其中真命题的序号为(BA．①②③．①②．②③ D．①③C．3R441??3??RR，故体积缩小到原来π·＝π解析：选C 对于命题①，设球的半径为，则??23381，命题正确；对于命题②，若两组数据的平均数相同，则它们的标准差不一定相同，例的8的平均数相同，但标准差不同，命题不正确；对于命题③，圆33，3，如数据：1，3，5和21122dxyyx，等于圆的半径，所以直线与＋1＝0＋的距离＝的圆心(0，0)到直线＝＋＝222 圆相切，命题正确．5．下列语句中是命题的有________(写出序号)，其中是真命题的有________(写出序号)．①垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？②一个数不是正数就是负数； ③大角所对的边大于小角所对的边；ABCABAB ； ＝＝∠sin ，则sin ④△中，若∠2xx 无实根．＝⑤求证方程0＋＋1 不是命题；①是疑问句，没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，解析： 既不是正数也不是负数；②是假命题，0 ③是假命题，没有限制在同一个三角形内； ④是真命题； ⑤是祈使句，不是命题． ④答案：②③④2aaxax 不成立”是真命题，则实数．的取值范围是6．若命题“________－2－3>02axax －3>0解析：∵不成立，－22axax 0－2恒成立．－3≤∴a 恒成立；时，－＝03≤0当a ，<0??a 当时，则有≠0?2aa ，≤120Δ＝4＋??aa ≤≤0. <0.综上，－3解得－3≤答案：[－3，0] pq ”的形式，并判断命题的真假．．把下列命题改写成“若 ，则7(1)奇数不能被2整除；22bbaa 1; 0－1)＝时，＝＝＋((2)当－1)( 两个相似三角形是全等三角形；(3) (4)在空间中，平行于同一个平面的两条直线平行． 整除，是真命题．2若一个数是奇数，则它不能被(1)解：22bbaa 1＝，是真命题．(－1)＋＝－1)＝0(2)若(，则 (3)若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形，是假命题． (4)在空间中，若两条直线平行于同一个平面，则这两条直线平行，是假命题．pBxaBaAAx ，，构造的命题“若：>1，请选择适当的实数8．已知，：5，使得利用－1>q 则”为真命题．a ＋1xxBqpqAp ．由命题为真，则，则命题“若”，则解：若视 ”为“若为>1，>为 5a ＋1xqAqpaBp ，则为”为“若，解得命题可知≥1，则命题“若≥4；若视>1为，则， 5aa ＋1＋1aaAxB 构造出取任一实数均可利用>，解得，≤4.故”．由命题为真命题可知≤1552axx >”．1，则有真命题“若 >1一个真命题，比如这里取，则＝ 5第2课时 四种命题及四种命题间的相互关系[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P ～P 的内容，回答下列问题． 84观察教材P “思考”中的4个命题： 4(1)这4个命题的条件和结论各是什么？fxfxfx )(2)的条件：结论：(()是周期函数；提示：命题(1)的条件：(命题)是正弦函数，fxfxfx )不(()是周期函数，结论：不是正弦函数，结论：(是正弦函数；命题)(3)的条件：fxfx )不是正弦函数．)不是周期函数，结论：的条件：是周期函数；命题(4)(((2)命题(1)的条件和结论与命题(2)、(3)、(4)的条件和结论之间有什么关系？ 提示：命题(1)的条件和结论分别是命题(2)的结论和条件；命题(1)的条件和结论分别是命题(3)的条件的否定和结论的否定；命题(1)的条件和结论分别是命题(4)的结论的否定和条件的否定．(3)根据上述四种命题的概念，你能说出其中任意两个命题之间的相互关系吗？提示：命题(2)(3)互为逆否命题；命题(2)(4)互为否命题；命题(3)(4)互为逆命题．2．归纳总结，核心必记(1)四种命题的概念①互逆命题：这样的两个命题一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，叫做互逆命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．②互否命题：一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题．③互为逆否命题：一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题．(2)四种命题结构(3)四种命题间的相互关系(4)四种命题的真假性一般地，四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况：逆否命题逆命题否命题原命题真真真真真假真假假真假真假假假假由于逆命题和否命题也互为逆否命题，因此四种命题的真假性之间的关系如下：①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．[问题思考]aab≠0”的逆命题、否命题和逆否命题各是什么？ (1)命题“若，则≠0abaaabab＝0；逆否命题：若，0；否命题：若＝0，则＝0，则提示：逆命题：若≠0≠a＝0．则(2)在四种命题中，原命题是固定的吗？提示：不是．原命题是指定的，是相对于其他三种命题而言的，可以把任何一个命题看作原命题，进而研究它的其他命题形式．(3)如果一个命题的逆命题为真命题，这个命题的否命题一定为真命题吗？提示：一定为真命题，因为一个命题的逆命题和否命题互为逆否命题，所以它们的真假性相同．(4)在四种命题中，真命题的个数可能会有几种情况？提示：因为原命题与逆否命题，逆命题和否命题互为逆否命题，它们同真同假，所以真命题的个数可能为0，2，4．[课前反思](1)四种命题的概念是：；(2)四种命题的条件和结论之间有什么关系？；(3)四种命题的真假性有什么关系？．讲一讲1．写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题：xx＋，则3>0;>－2若(1)(2)两条对角线相等的四边形是矩形．xx>－2；逆命题：若] (1) ＋3>0，则[尝试解答xx＋3≤02，则；否命题：若≤－xx≤－2. ≤0，则逆否命题：若＋3(2)原命题可写为：若一个四边形的两条对角线相等，则这个四边形是矩形．逆命题：若一个四边形是矩形，则其两条对角线相等；否命题：若一个四边形的两条对角线不相等，则这个四边形不是矩形；逆否命题：若一个四边形不是矩形，则其两条对角线不相等．写出一个命题的其他三种命题的步骤分析命题的条件和结论；(1)．pq”的形式；，则 (2)将命题写成“若(3)根据逆命题、否命题、逆否命题各自的结构形式写出这三种命题．[注意] 如果原命题含有大前提，在写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题时，必须注意各命题中的大前提不变．1．分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题：(1)正数的平方根不等于0；22yxxyxy0.，＝0(，则，全为∈(2)若R＋) ，则这个数是正数；解：(1)逆命题：若一个数的平方根不等于0 ；否命题：若一个数不是正数，则这个数的平方根等于0 ，则这个数不是正数．逆否命题：若一个数的平方根等于022yyxxyx＝0()(2)逆命题：若，，；全为0，则∈＋R22yxyxyx否命题：若0＋，≠0(；，∈R)，则不全为22yyxxxy≠0()，则，＋．∈逆否命题：若R，0不全为若原命题为真，则它的逆命题、否命题的真假性是怎样的？[思考1]所以无否命题的真假性之间没有关系，名师指津：由于原命题的真假性与它的逆命题、法判断它的逆命题、否命题的真假性． 2] [思考若原命题为真，它的逆否命题的真假性如何？名师指津：原命题和它的逆否命题具有相同的真假性．讲一讲 2．写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．BABCAab >>，则(1)在△；中，若 (2)相等的两个角的正弦值相等；2xxx3; ＝0(3)若2－，则－3＝BAxAx.，则∈∈∩(4)若baABCAB.逆命题：在△>中，若真命题；>，则] [尝试解答(1)BAabABC≤≤，则，真命题；否命题：在△中，若bBABCAa.逆否命题：在△中，若≤≤，则真命题． (2)逆命题：若两个角的正弦值相等，则这两个角相等．假命题；否命题：若两个角不相等，则这两个角的正弦值也不相等．假命题；逆否命题：若两个角的正弦值不相等，则这两个角不相等．真命题．2xxx 3－＝真命题；0.，则逆命题：若(3)＝3－22xxx真命题；3.≠，则0≠3－2－否命题：若．AxABx真命题；，则(4)逆命题：若.∈∈∩BxAxA?. 2xxx假命题．≠20.逆否命题：若－≠3，则3－否命题：若?∩，则真命题；ABxxA，则逆否命题：若.??∩假命题．直接对原命题可以有两种方法：一是分清原命题的条件和结论，判断一个命题的真假，即原命题和逆二是不直接写出命题，而是根据命题之间的关系进行判断，的真假进行判断；通常都通逆命题和否命题同真同假，尤其是当命题本身不易判断真假时，否命题同真同假，过判断其逆否命题的真假来实现．练一练 2．有下列四个命题：yyxx，则(1)“若互为相反数”的否命题；＋，＝022yxyx>，则“若”的逆否命题；>(2)2xxx－”的否命题；，则－(3)“若6>0≤3 “对顶角相等”的逆命题．(4))其中真命题的个数是(3D． B．1 C．2 A．0yx互原命题的否命题与其逆命题有相同的真假性，其逆命题为“若，解析：选B (1)yx原命题与其逆否命题具有相同的真假性，而原命题0”为相反数，则，为真命题；＋(2)＝xyx，则该命题的否命题为“若＝0，>3＝－1)，故其逆否命题为假命题；为假命题(如(3)2xx－6≤0”，很明显为假命题；－(4)该命题的逆命题是“相等的角是对顶角”，显然是假命题．aa>－6”的逆命题、否命题、逆否命题中假命题个数是________．“若3．在命题 >－3，则aa>－6”为真命题，而逆否命题与原命题同真假，>－3解析：容易判断，命题“若，则aa≤－6”≤－3，则从而它的逆否命题也是真命题；它的否命题为“若，是假命题，而否命题与逆命题同真假，则它的逆命题也是假命题．答案：2[思考] 我们学习了四种命题的关系，那么在直接证明某一个命题为真命题有困难时，该怎么办？名师指津：可以通过证明它的逆否命题为真命题来解决．讲一讲22axaxxax的解2≤01)判断命题“已知．3(1)，为实数，若关于的不等式＋(2＋＋＋a”的逆否命题的真假．1≥集不是空集，则．fxab∈R上的增函数，，若、)是(－∞，＋∞(2)(链接教材P－例4)证明：已知函数)(8fafbfafbab ≥，则＋0.()＋－()≥＋(－))([尝试解答] (1)法一：原命题的逆否命题：22axaxaxax的解集为空21)≤为实数，若，则关于<1＋的不等式0＋(2＋“已知＋，集．”真假判断如下：22axyxa＋因为抛物线＋＝2＋(2开口向上，＋1)22aaa－＋1)－4(7＋2)＝4判别式Δ＝(2，aa7<0.4若－<1，则22xyxaxa轴无交点．1)2即抛物线＋＝与＋(2＋＋22aaxxx的解集为空集．所以关于2的不等式＋＋(2≤＋1)0＋故原命题的逆否命题为真．法二：先判断原命题的真假．22aaxxaxx＋1)0＋的解集不是空集，为实数，且关于＋的不等式＋(22因为≤，22aaa，7≥0＋2)≥0，即4Δ所以＝(2－＋1)－4(a所以原命题成立．≥1.所以原命题的逆否命题为“已知(2)又因为原命题与其逆否命题等价，所以逆否命题为真．fabafafbfafxb－<0，则((＋)－(上的增函数，(－∞，＋∞))，)<∈R，若＋＋(函数(是)b)．”ababba，－，∵当＋<<0时，<－fx)在(－∞，＋∞)上是增函数，又∵ (fafbfbfa)．()，(∴－()<)<(－fafbfafb)，－)(＋)＋( )<((－∴即逆否命题为真命题．∴原命题为真命题．由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．练一练22nmnm2.＝2，则≤．证明：若4＋＋22nmnmmn，”视为原命题，则它的逆否命题为“若2>2＋，则证明：将“若＋＝2＋≤22nm．”2≠＋则．112222mnmnmn)>×2＝≥(2由于＋＋，>2，则＋2222nm2.＋≠所以故原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题．课堂归纳·感悟提——————————————[ 升]——————————————— 1．本节课的重点是四种命题的概念以及四种命题间的关系，难点是等价命题的应用． 2．本节课要重点掌握的规律方法2. 写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题，并会判断真假，见讲1和讲(1)3. (2)用原命题和逆否命题的等价性解决相关问题，见讲 3．每一个命题都由条件和结论组成，要分清条件和结论．．判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断，这也是反证法的理论4 基础．课时达标训练（二）[即时达标对点练]题组1 四种命题的概念aAbB”的否命题是( ，则) ∈1．命题“若?aAbBaAbB∈??，则 A．若 B?，则．若bBaAbBaA，则??，则 DC．若．若∈?pqpq”，“∈”与“，则?”的否命题是“若綈”互为否，则綈解析：选B 命题“若定形式．xx>0”的逆命题是__________，逆否命题是，则__________． 2．命题“若>1xxxx≤，则1 ≤答案：若0>0，则>1 若3．下列命题中：①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；②正方形的四条边相等；③若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．其中互为逆命题的有________；互为否命题的有________；互为逆否命题的有________(填序号)．①和②①和③答案：②和③．题组2 四种命题的真假判断4．下列命题中为真命题的是( )xyxy|”的逆命题，则A．命题“若 >>|2xx >11，则B．命题“若”的否命题＝2xxx＝21，则0＋”的否命题C．命题“若－＝2xx D．命题“若>1>1，则”的逆否命题yyxx|，则>|”的真假，显然是真命题．解析：选A 对A，即判断：“若>2mm”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命＝10，则100＝5．命题“若)题是(．原命题、逆命题A．原命题、否命题 B ．逆命题、否命题C．原命题、逆否命题 D 因为原命题是真命题，所以逆否命题也是真命题．解析：选C2xx．0”的真假性为6．命题“若________≠1，则－1≠2x，1＝解析：可转化为判断命题的逆否命题的真假，由于原命题的逆否命题是：“若0－2xxx 1”，因为＝±1，所以该命题是假命题，因此原命题是假命题．－1＝0则，＝答案：假命题等价命题的应用题组32mmxx＝0＋2有实数根”的逆否命题的真假．7．判断命题“若－>0，则方程3mmm4>0.＋，∴，∴1212解：∵>0>02mxmx4>0.12的判别式∴方程Δ＋2＝－3＋＝02mmxx∴原命题“若＝>0，则方程有实数根”为真．＋20－32mxxm有实数根”的逆＋2＝－3又原命题与它的逆否命题等价，所以“若0>0，则方程否命题也为真．22baaab1.≠2，则＋1≠08．证明：若＋－4－22222bababaaba4＝2＋11”的逆否命题为：“若，则4，则－2＋1≠0－≠2“若证明：＋－a－2，＋1＝0”222222baababbbbbbb4当＝21＋时，4－(2－2＋1＝－＋1)42(2－＋＋1)1＝4＋4＋1－4－－2＋1，＝0 故该命题的逆否命题为真命题，从而原命题也是真命题．][能力提升综合练rpqpqr) ( 1．若命题的否命题为，命题的逆否命题为，则与的关系是 A．互逆命题 B．互否命题．以上都不正确 DC．互为逆否命题rAqpB故．”则，“若为，”则，“若为那么，”则，“若为设A 选解析：qr为互逆命题．与xyxy＝00，且＝0，则”的逆否命题；②“正方形是矩形”2．下列四个命题：①“若＝222mxmacbcabx其中真命>＋，则－>2”的逆命题；④若>2，则不等式的否命题；③“若>0.) 题的个数为(3．0 B．1 C．2 DA．xyyx，为假命题；命题②，则”≠解析：选B 命题①的逆否命题是“若0≠0，或≠0“若命题③的逆命题是“若一个四边形不是正方形，则它不是矩形”，为假命题；的否命题是222mxacbcmxab，0方程的判别式－2Δ>＋，则<0>＝”，为假命题；命题④为真命题，当>2时，x轴无交点，所以函数值恒大于对应二次函数图象开口向上且与0.3．有下列四个命题：xyxy互为相反数”的逆命题；、＝0①“若，则＋②“全等三角形的面积相等”的否命题；2qxxq0＋≤1，则有实根”的逆命题；＋2③“若＝④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题．)( 其中真命题的序号为．③④ C．②③．①③ DA．①② B yxxy”是真命题；命题②：可考虑“若＋，0互为相反数，则＝解析：选C 命题①：“若命题③：“面积相等的三角形是全等三角形”是假命题，因此命题②是假命题；其逆命题2xqxq≤1”是真命题；命题④是假命题．＋＝0有实根，则＋24．已知原命题“两个无理数的积仍是无理数”，则：①逆命题是“乘积为无理数的两数都是无理数”；②否命题是“两个不都是无理数的积也不是无理数”；③逆否命题是“乘积不是无理数的两个数都不是无理数”．其中所有正确叙述的序号是________．解析：原命题的逆命题、否命题叙述正确．逆否命题应为“乘积不是无理数的两个数不都是无理数”．。
人教版高中数学《常用逻辑用语》优质教学设计
《常用逻辑用语》起始课一、教学设计1.教学内容解析本节课是《普通高中课程标准实验教科书选修1-1》（人教A 版）第一章《常用逻辑用语》的起始课.本章中，我们将学习命题及其关系、充分条件与必要条件、简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词等一些基础知识.通过学习和使用常用逻辑用语，掌握常用逻辑用语的用法，纠正出现的逻辑错误，体会运用常用逻辑用语表述数学内容的准确性、简洁性.本节课作为本章的起始课，从一开始就要激发学生的学习兴趣，围绕“为什么学”而展开，凸显了常用逻辑用语的重要性.一方面，常用逻辑用语被广泛用于日常生活，是语言表达的工具、信息交流的工具；另一方面，常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是描述、判断、推理的工具，学习数学离不开常用逻辑用语.然后为具体内容的学习打好基础.根据以上分析，本节课的教学重点确定为教学重点：初步了解整章的内容，理解命题的概念，感受生活中的逻辑，激发学生学习兴趣.2.学生学情诊断学生在初中阶段已经接触过命题，但是不够系统和详细，要引导学生联系已学过的教学实例学习新内容，会将命题等价地写成“若p ，则q ”这个形式.根据以上分析，本节课的教学难点确定为教学难点：体会学习常用逻辑用语的方法.3.教学目标设置(1)通过实例的展示和分析，让学生了解逻辑的重要性和学习常用逻辑用语的必要性；在生活实例中体会逻辑思想；(2)理解命题的概念，能把一个命题改写成“若p ，则q ”的形式；(3)体验知识的形成及发展过程；(4)激发学生对数学的积极情感，发展思维的严密性，优化思维品质.4.教学策略分析运用生动新颖的“生活中的逻辑”的例子，激发学生学习常用逻辑用语的兴趣；运用“问题变式串”引导学生主动探索，并从中体会学习常用逻辑用语的方法；利用多媒体引导学生充分感知学习常用逻辑用语的重要性、必要性，展示学习常用逻辑用语的过程和方法.5.教学过程1.情景引入班长王哲通知几位班干部、尹格、刘晗、秋菊商量学校运动会的事物,请了四人，开会时来了尹格、刘晗、秋菊三人，易明没来. 王哲就嘀咕了一句说: “该来的没来！”. 尹格听了，转身就走了，王哲看尹格走了，又说: “不该走的又走了！”. 刘晗一听，起身走了，王哲急了，忙去拖他: “我说的不是你呀！”这句话说完, 秋菊也走了.老师引导学生分析，让学生体会到说话缺乏逻辑性会导致信息传递不准确.（设计意图：从实际生活出发，直观感知逻辑， 其中学生自编短剧能让学生产生学习→ → → → 情景引入 新知建构 历史回顾 合作探究 归纳小结 趣味逻辑→兴趣，积极参与发现与探索.更深层次的用意是让学生认识数学从生活中来及学习常用逻辑用语的必要性.）2.回顾历史由小组合作课前准备，小组展示自己搜集到的有关逻辑历史的资料。
高中数学常用逻辑用语教案人教必修一
第一章 常用逻辑用语基础知识一、逻辑联结词和四种命题。
1．命题的概念：2．简单命题及其关系结论：3．命题及其真假○1含有逻辑联结词的命题：或 且 非真假判断：（真值表）或 一真则真，同假则假且 都真则真，一假则假 非 真假相对○2含有量词的命题：全称命题（所有，任意，每一个，都﹍） 存在性命题（存在，有些，有一个﹍） 否定：全称命题：)(,x p M x ∈∀否定 )(,x p M x ⌝∈∃⌝存在性命题：)(,x p∀)(xMx∈∃否定,Mx∈p 4．命题的否定与否命题的区别:“若P则Q”形式的命题否命题为命题的否定为含有逻辑联结词的命题的否定:含有量词的命题的否定:全称命题存在性命题5．充要条件○1若A⇒B则A是B的＿＿＿＿条件，B是A的＿＿＿＿条件，非A是非B的＿＿＿＿条件。
○2若A⇒B, B⇒C 则A是C的＿＿条件，非C是非A的＿＿条件。
基础练习A:1.用“p或q”、“p且q”、“非p”填空：○1命题：“三角形有内切圆和外接圆”是形式；○2命题：“若xy＜0，则点P(x,y)在第二或第四象限”是形式；○3“梯形不是平行四边形”是形式2.用“或”、“且”、“非”填空：①若x∈A∪B，则x∈A x∈B；②若x∈A∩B，则x∈A x∈B；③若a、b∈R，且ab＝0,则a＝0___ b＝0；④若a、b∈R，且a2＋b2＝0,则a＝0__ b＝03.有下列命题,其中真命题有①面积相等的三角形是全等的三角形；②“若xy＝0，则|x|＋|y|＝0”的逆命题；③“若a＞b，则a＋c＞b＋c”的否命题；④“矩形的对角线互相垂直”的逆否命题4.用反证法证明“若a,b∈N,ab可被5整除，则a,b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容是5.已知下列三个方程：x 2+4ax-4a+3=0,x 2+(a-1)x+a 2=0,x 2+2ax-2a=0至少有 一个方程有实数根，求实数a 的范围？6.已知x ,y,z 均为实数，且a=x 2-2y+2π, b=y 2-2z+3π , c=z 2-2x+6π , 求证：a,b,c 中至少有一个大于0例1：若命题p 的否命题为r,命题r 的逆命题为s,则s 是p 的逆命题e 的变：写出与命题“若a ∈M ，则b ∉M ”等价的命题 例2：已知p,q 都是r 的必要条件，s 是r 的充分条件，q 是s 的充分条件，则（1）s 是q 的什么条件？（2） r 是q 的什么条件？（3）P 是q 的什么条件？变： 若命题 甲是命题乙的充分不必要条件，命题丙是命题乙的的必要不充分条件，命题丁是命题丙的充要条件，则命题丁是命题甲的什么条件？例3：若B A ⌝⌝⇔,B C ⌝⌝⇔,则A 为C 的 条件变：以知A 是命题，A ⌝是A 否命题，如果B A ⇒⌝且B 不能导出A ⌝,那么A 是B ⌝的基础练习B:1.填写“充分不必要，必要不充分，充要，既不充分又不必要。
高中数学《常用逻辑用语》教案
高中数学《常用逻辑用语》教案一、教学目标1. 让学生理解并掌握常用的逻辑用语，如且、或、非、逆、逆否等。
2. 培养学生运用逻辑用语进行判断和推理的能力。
3. 让学生能够识别和分析实际问题中的逻辑关系，提高解决问题的能力。
二、教学内容1. 常用的逻辑用语：且、或、非、逆、逆否等。
2. 逻辑运算的规律：分配律、结合律、De Morgan 定律等。
3. 逻辑判断：充分必要条件、充要条件、逆否命题等。
三、教学方法1. 采用讲授法，讲解逻辑用语的定义和运用。
2. 利用案例分析法，分析实际问题中的逻辑关系。
3. 采用小组讨论法，让学生合作探讨逻辑运算的规律。
四、教学准备1. PPT课件：包含逻辑用语的定义、例题和练习题。
2. 案例材料：涉及实际问题中的逻辑关系。
3. 练习题：包括选择题、填空题和解答题。
五、教学过程1. 导入：通过一个实际问题引入逻辑用语的学习，激发学生的兴趣。
2. 新课讲解：讲解常用的逻辑用语，如且、或、非、逆、逆否等，并通过例题演示其运用。
3. 逻辑运算规律：介绍分配律、结合律、De Morgan 定律等，并通过练习题巩固。
4. 逻辑判断：讲解充分必要条件、充要条件、逆否命题等，并通过例题演示其运用。
5. 案例分析：分析实际问题中的逻辑关系，让学生运用所学知识解决问题。
6. 小组讨论：让学生合作探讨逻辑运算的规律，培养学生的合作能力。
8. 课后作业：布置练习题，巩固所学知识。
9. 课后反思：教师反思教学效果，针对学生的掌握情况调整教学策略。
10. 教学评价：对学生的学习情况进行评价，包括逻辑用语的掌握和运用能力。
六、教学评价1. 评价方式：采用课堂练习、课后作业和小测验等方式进行评价。
2. 评价内容：评价学生对常用逻辑用语的理解和运用能力，以及逻辑运算规律的掌握情况。
3. 评价标准：根据学生的答案准确性、解题思路清晰程度以及运用逻辑用语的恰当性进行评分。
七、课后作业1. 练习题：包括选择题、填空题和解答题，涵盖本节课所学的常用逻辑用语和逻辑运算规律。
高中数学第一章常用逻辑用语2充分条件与必要条件1充分条件与必要条件2教案新人教A版选修2_
充分条件与必要条件一：教法分析●三维目标1.知识与技能(1)正确理解充分条件、必要条件、充要条件三个概念；(2)能利用充分条件、必要条件、充要条件三个概念，熟练判断四种命题间的关系；(3)在理解定义的基础上，可以自觉地对定义进行转化，转化成推理关系及集合的包含关系．2．过程与方法(1)培养学生的观察与类比能力：“会观察”，通过大量的问题，会观察其共性及个性；(2)培养学生的归纳能力：“敢归纳”，敢于对一些事例，观察后进行归纳，总结出一般规律；(3)培养学生的建构能力：“善建构”，通过反复的观察分析和类比，对归纳出的结论，建构于自己的知识体系中．3．情感、态度与价值观(1)通过以学生为主体的教学方法，让学生自己构造数学命题，发展体验获取知识的感受；(2)通过对命题的四种形式及充分条件、必要条件的相对性，培养同学们的辩证唯物主义观点；(3)通过“会观察”，“敢归纳”，“善建构”，培养学生自主学习，勇于创新，多方位审视问题的创造技巧，敢于把错误的思维过程及弱点暴露出来，并在问题面前表现出浓厚的兴趣和不畏困难、勇于进取的精神．●重点难点重点：充分条件、必要条件和充要条件三个概念的定义．难点：必要条件的定义、充要条件的充分必要性．重难点突破的关键：找出题目中的p、q，判断p⇒q是否成立，同时还需判断q⇒p是否成立，再弄清是问“p是q的什么条件”，还是问“q是p的什么条件”．二：方案设计●教学建议基于教材内容和学生的年龄特征，根据“开放式”、“启发式”教学模式和新课程改革的理论认识，结合学生实际，主要突出以下几个方面：(1)创设与生活实践相结合的问题情景，在加强数学教学的实践性的同时充分调动学生求知欲，并以此来激发学生的探究心理．(2)教学方法上采用了“合作——探索”的教学模式，使课堂教学体现“参与式”、“生活化”、“探索性”，保证学生对数学知识的主动获取，以求获得最佳效果．(3)注重渗透数学思考方法(联想法、类比法、归纳总结等一般科学方法)，让学生在探索学习知识的过程中，领会常见数学思想方法，培养学生的探索能力和创造性素质．(4)注意在探究问题时留给学生充分的时间，以利于开放学生的思维．指导学生掌握“观察——猜想——归纳——应用”这一思维方法，采取个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学知识应用于对命题结构的探究．让学生在问题情景中学习，观察，类比，思考，探究，概括，动手尝试相结合，体现学生的主体地位，增强学生由特殊到一般的数学思维能力，形成实事求是的科学态度，增强锲而不舍的求学精神．●教学流程创设问题情境，通过对生活中的实际问题引出：真假命题中条件与结论有何关系？⇒引导学生通过对比、分析以上问题的答案，引出充分条件、必要条件的概念.⇒通过引导学生回答所提问题，得出四种条件的概念及判断方法.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握如何判断p是q的什么条件的方法，加深对概念的理解.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握充分、必要条件的应用，进一步巩固概念.⇒分析充要条件的特点，完成例3及其变式训练，从而解决充要条件的证明问题.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.三、自主导学读充分条件、必要条件与充要条件【问题导思】观察下面四个电路图，开关A闭合作为命题的条件p，灯泡B亮作为命题的结论q.1．在上面四个电路中，你能说出p，q之间的推出关系吗？【提示】①开关A闭合，灯泡B一定亮，灯泡B亮，开关A不一定闭合，即p⇒q，qD p；②开关A闭合，灯泡B不一定亮，灯泡B亮，开关A必须闭合，即pD q，q⇒p；③开关A闭合，灯泡B亮，反之灯泡B亮，开关A一定闭合，即p⇔q；④开关A闭合与否，不影响灯泡B，反之，灯泡B亮与否，与开关A无关，即pD q，且qD p.2．电路图③中开关A闭合，灯泡B亮；反之灯泡B亮，开关A一定闭合，两者的关系应如何表述？【提示】p⇔q.1．充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题推出关系p⇒q p q条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件2.充要条件的概念一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说p是q的充分必要条件，简称充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件.四、互动探究充分条件、必要条件、充要条件的判断(1)已知实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，下列结论正确的是( )①Δ＝b2－4ac≥0是这个方程有实根的充要条件；②Δ＝b2－4ac＝0是这个方程有实根的充分条件；③Δ＝b2－4ac＞0是这个方程有实根的必要条件；④Δ＝b2－4ac＜0是这个方程没有实根的充要条件．A．③④ B．②③C．①②③ D．①②④(2)若p：(x－1)(x＋2)≤0，q：x＜2，则p是q的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【思路探究】(1)Δ＝b2－4ac与方程有何关系？当Δ＝0，Δ＞0或Δ＜0时，一元二次方程的根的情况如何？(2)不等式(x－1)(x＋2)≤0的解集是什么？p、q有怎样的关系？【自主解答】(1)①对，Δ≥0⇔方程ax2＋bx＋c＝0有实根；②对，Δ＝0⇒方程ax2＋bx＋c＝0有实根；③错，Δ＞0⇒方程ax2＋bx＋c＝0有实根，但ax2＋bx＋c＝0有实根DΔ＞0；④对，Δ＜0⇔方程ax2＋bx＋c＝0无实根．故选D.(2)p：－2≤x≤1，q：x＜2，显然p⇒q，但qD p，即p是q的充分不必要条件．【答案】(1)D (2)A1．判断p是q的什么条件，主要判断p⇒q，及q⇒p两命题的正确性，若p⇒q真，则p是q成立的充分条件；若q⇒p真，则p是q成立的必要条件．要否定p与q不能相互推出时，可以举出一个反例进行否定．2．判定方法常用以下几种：(1)定义法：借助“⇒”号，可记为：箭头所指为必要，箭尾跟着充分．(2)集合法：将命题p、q分别看做集合A，B，当A⊆B时，p是q的充分条件，q是p 的必要条件，即p⇒q，可以用“小范围推出大范围”来记忆；当A＝B时，p、q互为充要条件．已知如下三个命题中：①(2013·福州高二检测)若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的充分不必要条件；②(2013·临沂高二检测)对于实数a，b，c，“a>b”是“ac2>bc2”的充分不必要条件；③直线l1：ax＋y＝3，l2：x＋by－c＝0.则“ab＝1”是“l1∥l2”的必要不充分条件；④“m＜－2或m＞6”是“y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同零点”的充要条件．正确的结论是________．【解析】①中，当a＝2时，有(a－1)(a－2)＝0；但当(a－1)(a－2)＝0时，a＝1或a＝2，不一定有a＝2.∴“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的充分不必要条件，①正确．②∵a>bD ac2>bc2(c＝0)，但ac2>bc2⇒a>b.∴“a>b”是“ac2>bc2”必要不充分条件，②错．③中，ab＝1且ac＝3时，l1与l2重合，但l1∥l2⇒a1＝1b，即ab＝1，∴“ab＝1”是“l1∥l2”的必要不充分条件，③正确．④中，y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同零点⇔Δ＝m2－4(m＋3)＞0⇔m＜－2或m＞6.∴是充要条件，④正确．【答案】①③④充分条件、必要条件、充要条件的应用(2013·大连高二期末)设集合A＝{x|－x2＋x＋6≤0}，关于x的不等式x2－ax －2a2＞0的解集为B(其中a＜0)．(1)求集合B；(2)设p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，且綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围． 【思路探究】 (1)不等式x 2－ax －2a 2＞0的解集是什么？(2)由“綈p 是綈q 的必要不充分条件”可得怎样的推出关系？这种推出关系的等价关系是什么？表现在集合上又是怎样的？【自主解答】 (1)x 2－ax －2a 2＞0⇔(x －2a )(x ＋a )＞0， 解得x ＞－a 或x ＜2a .故集合B ＝{x |x ＞－a 或x ＜2a }．(2)法一 若綈p 是綈q 的必要不充分条件， 则綈q ⇒綈p ， 由此可得p ⇒q ，则A ＝{x |x 2－x －6≥0}＝{x |(x －3)(x ＋2)≥0} ＝{x |x ≥3或x ≤－2} 由p ⇒q ， 可得A ⊆B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a ＜3－2＜2a ，⇒a ＞－1.法二 A ＝{x |x ≥3或x ≤－2}，∁U A ＝{x |－2＜x ＜3}，而∁U B ＝{x |2a ≤x ≤－a }， 由綈p 是綈q 的必要不充分条件， 可得綈q ⇒綈p ， 也即∁U B ⊆∁U A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＞－2－a ＜3，⇒a ＞－1.1．利用充分、必要条件求参数的取值范围问题，常利用集合法求解，即先化简集合A ＝{x |p (x )}和B ＝{x |q (x )}，然后根据p 与q 的关系(充分、必要、充要条件)，得出集合A 与B 的包含关系，进而得到相关不等式组(也可借助数轴)，求出参数的取值范围．2．判断p 是q 的什么条件，若直接判断困难，还可以用等价命题来判断，有时也可通过举反例否定充分性或必要性．已知p ：x 2－8x －20≤0，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)．若綈p 是綈q 的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围．【解】 法一 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10， 由x 2－2x ＋1－m 2≤0，得1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)． ∴綈p ：A ＝{x |x ＞10或x ＜－2}， 綈q ：B ＝{x |x ＞1＋m 或x ＜1－m }． ∵綈p 是綈q 的充分而不必要条件，∴A B .∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，1＋m ≤10，1－m ≥－2，解得0＜m ≤3.∴m 的取值范围是{m |0＜m ≤3}．法二 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10， 由x 2－2x ＋1－m 2≤0得1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)， ∴p ：A ＝{x |－2≤x ≤10}，q ：B ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．∵綈p 是綈q 的充分不必要条件， ∴q 也是p 的充分不必要条件，∴B A .∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，1＋m ≤10，1－m ≥－2，解得0＜m ≤3.∴m 的取值范围是{m |0＜m ≤3}.充要条件的证明求证：方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不等的实根的充要条件是：0＜m ＜13.【思路探究】 先找出条件和结论，然后证明充分性和必要性都成立． 【自主解答】 充分性(由条件推结论)： ∵0＜m ＜13，∴方程mx 2－2x ＋3＝0的判别式Δ＝4－12m ＞0， ∴方程有两个不等的实根．设方程的两根为x 1、x 2，当0＜m ＜13时，x 1＋x 2＝2m ＞0且x 1x 2＝3m ＞0，故方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根，即0＜m ＜13⇒方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根．必要性(由结论推条件)：若方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根， 则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－12m ＞0x 1x 2＞0，∴0＜m ＜13，即方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根⇒0＜m ＜13.综上，方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0＜m ＜13.1．证明p 是q 的充要条件，既要证明命题“p ⇒q ”为真，又要证明“q ⇒p ”为真，前者证明的是充分性，后者证明的是必要性．2．证明充要条件，即说明原命题和逆命题都成立，要注意“p 是q 的充要条件”与“p 的充要条件是q ”这两种说法的差异，分清哪个是条件，哪个是结论．求证：关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根是1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0. 【证明】 假设p ：方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根是1，q ：a ＋b ＋c ＝0.(1)证明p ⇒q ，即证明必要性． ∵x ＝1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根， ∴a ·12＋b ·1＋c ＝0， 即a ＋b ＋c ＝0.(2)证明q ⇒p ，即证明充分性． 由a ＋b ＋c ＝0，得c ＝－a －b . ∵ax 2＋bx ＋c ＝0，∴ax 2＋bx －a －b ＝0，即a (x 2－1)＋b (x －1)＝0. 故(x －1)(ax ＋a ＋b )＝0. ∴x ＝1是方程的一个根．故方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根是1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0. 五、易误辨析因考虑不周到致误一次函数y ＝－m nx ＋1n的图象同时经过第一、二、四象限的必要不充分条件是( )A ．m ＞0，n ＞0B ．mn ＜0C ．m ＜0，n ＜0D ．mn ＞0【错解】 由题意可得，一次函数y ＝－m nx ＋1n的图象同时经过第一、二、四象限，即⎩⎪⎨⎪⎧－mn ＜0，1n ＞0，解得m ＞0，n ＞0，所以选A.【答案】 A【错因分析】 p 的必要不充分条件是q ，即q 是p 的必要不充分条件，则qDp 且p ⇒q ，故本题应是题干⇒选项，而选项D 题干，选项A 为充要条件．【防范措施】 要说明p 是q 的充分不必要条件，须满足p ⇒q ，但qD p ；要说明p是q 的必要不充分条件，须满足pDq ，但q ⇒p ；要说明p 是q 的充要条件，须满足p ⇒q且q ⇒p ，解题时一定要考虑周到，切莫顾此失彼．【正解】 一次函数y ＝－m n x ＋1n 的图象同时经过第一、二、四象限，即⎩⎪⎨⎪⎧－mn ＜0，1n ＞0，得m ＞0，n ＞0.故由函数y ＝－m nx ＋1n的图象同时经过第一、二、四象限可以推出mn ＞0，而由mn ＞0不一定推出函数y ＝－m nx ＋1n的图象过一、二、四象限，所以选D.【答案】 D 六、课堂小结充分条件与必要条件的判断方法(1)定义法用定义法判断直观、简捷，且一般情况下，错误率低，在解题中应用极为广泛．(2)集合法从集合角度看，设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|满足条件q}．①若A⊆B，则p是q的充分条件；若A B，则p是q的充分不必要条件．②若A⊇B，则p是q的必要条件；若A B，则p是q的必要不充分条件．③若A＝B，则p是q的充要条件．④若A⃘B，且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．(3)等价转化法当某一命题不易直接判断条件和结论的关系(特别是对于否定形式或“≠”形式的命题)时，可利用原命题与逆否命题等价来解决．(4)传递法充分条件与必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒p3⇒…⇒p n，则可得p1⇒p n，充要条件也有传递性．七、双基达标1．(2013·成都高二检测)“x＝3”是“x2＝9”的( )A．充分而不必要的条件B．必要而不充分的条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件【解析】当x＝3时，x2＝9；但x2＝9，有x＝±3.∴“x＝3”是“x2＝9”的充分不必要条件．【答案】 A2．设p：x2＋3x－4＞0，q：x＝2，则p是q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】当x2＋3x－4＞0时，不一定有x＝2；但当x＝2时，必有x2＋3x－4＞0，故p是q的必要不充分条件．【答案】 B3．在“x 2＋(y －2)2＝0是x (y －2)＝0的充分不必要条件”这句话中，已知条件是________，结论是________．【答案】 x 2＋(y －2)2＝0 x (y －2)＝04．若p ：x ＝1或x ＝2；q ：x －1＝x －1，则p 是q 的什么条件？【解】 因为x ＝1或x ＝2⇒x －1＝x －1；x －1＝x －1⇒x ＝1或x ＝2，所以p 是q 的充要条件.八、知能检测一、选择题1．若集合A ＝{1，m 2}，B ＝{2,4}，则m ＝2是A ∩B ＝{4}的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 当m ＝2时，m 2＝4，A ∩B ＝{4}，但m 2＝4时，m ＝±2，∴A ∩B ＝{4}得m ＝±2.【答案】 A2．(2013·济南高二检测)设α，β∈(－π2，π2)，那么“α＜β”是“tan α＜tan β”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 在(－π2，π2)中，函数y ＝tan x 为增函数，所以设α、β∈(－π2，π2)，那么“α＜β”是tan α＜tan β的充要条件．【答案】 C3．下列选项中，p 是q 的必要不充分条件的是( )A ．p ：a ＋c >b ＋d ，q ：a >b 且c >dB ．p ：A B ，q ：x ∈A ⇒x ∈BC ．p ：x ＝1，q ：x 2＝xD ．p ：a >1，q ：f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上为增函数【解析】 易知由a ＋c >b ＋dDa >b 且c >d . 但a >b 且c >d ，可得a ＋c >b ＋d∴“p ：a ＋c >b ＋d ”是“q ：a >b 且c >d ”的必要不充分条件．故选A.【答案】 A4．“α＞β”是“sin α＞sin β”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件【解析】 由“α＞β”D “sin α＞sin β”；由“sin α＞sin β”D “α＞β”，应选C.(也可以举反例)．【答案】 C5．(2013·青岛高二检测)下列各小题中，p 是q 的充分必要条件的是( ) ①p ：m ＜－2或m ＞6，q ：y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点；②p ：f －x f x＝1，q ：y ＝f (x )是偶函数； ③p ：cos α＝cos β；tan α＝tan β；④p ：A ∩B ＝A ，q ：∁U B ⊆∁U A .A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④【解析】 ①y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点，则Δ＝m 2－4(m ＋3)＞0，得m ＞6或m ＜－2，所以p 是q 的充要条件．②若y ＝f (x )中存在x 0，使得f (x 0)＝0，则p 是q 的充分不必要条件．③当α＝β＝k π＋π2时，tan α，tan β无意义，所以p 是q 的必要不充分条件． ④p 是q 的充要条件．【答案】 D二、填空题6．下列不等式：①x ＜1；②0＜x ＜1；③－1＜x ＜0；④－1＜x ＜1.其中，可以是x 2＜1的一个充分条件的所有序号为________．【答案】 ②③④7．(2013·武汉高二检测)“b 2＝ac ”是“a 、b 、c ”成等比数列的________条件．【解析】 “b 2＝acD”a ，b ，c 成等比数列，如b 2＝ac ＝0；而“a ，b ，c ”成等比数列“⇒”“b 2＝ac ”．【答案】 必要不充分8．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋(m ＋1)y ＝2－m 与直线mx ＋2y ＝－8互相垂直的充要条件是m ＝______.【解析】 直线x ＋(m ＋1)y ＝2－m 与直线mx ＋2y ＝－8互相垂直⇔1·m ＋(m ＋1)·2＝0⇔m ＝－23. 【答案】 －23 三、解答题9．指出下列命题中，p 是q 的什么条件．(1)p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－x －12≤34，q ：13x 2＋32x －3≥0； (2)p ：ax 2＋ax ＋1＞0的解集是R ，q ：0＜a ＜4；(3)p ：A ∪B ＝A ，q ：A ∩B ＝B .【解】 (1)化简得p ：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 72≤x ≤132， q ：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≤－6或x ≥32.如图由图可知，⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 72≤x ≤132⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≤－6或x ≥32， 所以p 是q 的充分不必要条件．(2)因为ax 2＋ax ＋1＞0的解集是R ，所以①当a ＝0时成立；②当a ≠0时，ax 2＋ax ＋1＞0的解集是R ，有⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝a 2－4a ＜0，a ＞0，解得0＜a ＜4，所以0≤a ＜4.所以pD ⇒/q ，q ⇒p ，所以p 是q 的必要不充分条件．(3)对于p ：A ∪B ＝A ⇔B ⊆A ，对于q ：A ∩B ＝B ⇔B ⊆A ，即p ⇔q ，所以p 是q 的充要条件．10．若A ＝{x |a ＜x ＜a ＋2}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞3}，且A 是B 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【解】 ∵A 是B 的充分不必要条件，∴A B .又A ＝{x |a <x <a ＋2}，B ＝{x |x <－1或x >3}．因此a ＋2≤－1或a ≥3，∴实数a 的取值范围是a ≥3或a ≤－3.11．设a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边，证明：“a 2＝b (b ＋c )”是“A ＝2B ”的充要条件．【证明】 充分性：由a 2＝b (b ＋c )＝b 2＋c 2－2bc cos A 可得1＋2cos A ＝c b ＝sin C sin B. 即sin B ＋2sin B cos A ＝sin(A ＋B )．化简，得sin B ＝sin(A －B )．由于sin B ＞0且在三角形中，故B ＝A －B ，即A ＝2B .必要性：若A ＝2B ，则A －B ＝B ，sin(A ＋B )＝sin B ，即sin(A ＋B )＝2sin B cos A ＝sin A .∴sin(A ＋B )＝sin B (1＋2cos A )．∵A 、B 、C 为△ABC 的内角，∴sin(A ＋B )＝sin C ，即sin C ＝sin B (1＋2cos A )．∴sin C sin B ＝1＋2cos A ＝1＋b 2＋c 2－a 2bc ＝b 2＋c 2－a 2＋bc bc，即c b ＝b 2＋c 2＋bc －a bc. 化简得a 2＝b (b ＋c )．∴a 2＝b (b ＋c )是“A ＝2B ”的充要条件.九、备课资源试求关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根的充要条件．【自主解答】 如果方程x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根， 设两负根为x 1，x 2，则x 1x 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝m 2－4≥0，x 1＋x 2＝－m ＜0，解之得m≥2. 因此m ≥2是方程x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根的必要条件． 下面证明充分性．因为m ≥2，所以Δ＝m 2－4≥0，所以方程x 2＋mx ＋1＝0有实根，设两根为x 1，x 2， 由根与系数的关系知，x 1x 2＝1＞0，所以x 1，x 2同号． 又x 1＋x 2＝－m ≤－2＜0，所以x 1，x 2同为负数．故m ≥2是方程x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根的充要条件．求关于x 的不等式kx 2＋x ＋k ＞0(k ≠0)恒成立的充要条件．【解】 kx 2＋x ＋k ＞0(k ≠0)恒成立．⇔⎩⎪⎨⎪⎧ k ＞0Δ＝1－4k 2＜0⇔k ＞12.。
高中数学逻辑用语教案
高中数学逻辑用语教案
教学内容：逻辑用语
教学目标：
1. 了解并掌握逻辑用语的基本概念；
2. 能够运用逻辑用语进行推理和证明；
3. 能够应用逻辑用语解决实际问题。
教学重点与难点：
1. 逻辑用语的基本概念；
2. 运用逻辑用语进行推理和证明。
教学方法：讲授、练习、讨论
教学过程：
一、导入（5分钟）
通过举例引入逻辑用语的概念，让学生了解逻辑用语在数学中的应用和重要性。
二、讲解逻辑用语的基本概念（10分钟）
介绍逻辑用语的定义和分类，包括命题、命题联结词、真值表等内容，让学生理解逻辑用语的基本特点。
三、讲解逻辑用语的应用（15分钟）
通过讲解逻辑用语在数学推理和证明中的应用，并结合实例进行演练，加深学生对逻辑用语的理解和掌握。
四、练习与讨论（20分钟）
设计一些相关的练习题，让学生运用逻辑用语进行推理和证明，并进行讨论和解答，帮助学生巩固所学知识。
五、总结与展望（5分钟）
总结本节课的重点内容，强调逻辑用语在数学中的重要性，展望下一节课的内容和学习重点。
教学资源：
1. 教材：高中数学教材；
2. 辅助工具：黑板、彩色粉笔、投影仪等。
教学反馈：
1. 学生的课堂表现；
2. 学生对逻辑用语的理解和应用。
本节课的作业：
设计一些练习题，让学生独立运用逻辑用语进行推理和证明，加深对知识的理解和掌握。
教学提示：
1. 注重引导学生思考和讨论；
2. 注意激发学生学习兴趣，提高学生学习积极性；
3. 鼓励学生合作、互助，提高学生团队合作能力。
【高中数学人教】常用逻辑用语大单元教学设计
全称 量词
存在 量词
全称量词 命题和存 在量词命 题的否定
敬请各 位老 师提 出宝 贵意见 ！
常用逻辑用语大单元设计专题概览
常用逻辑用语大单元设计专题概览
常 用 单逻 元辑 用 语
1.充分、必要 条件
1.充分条件与必要条件 2.充要条件
2.存在量词与 全称量词
3.全称量词与存在量词
4.全称量词命题与存在 量词命题的否定
数学抽象 逻辑推理 数学建模 直观想象 数学运的 很多逻辑错误，进一步提升逻辑推理素养．
关系，提升逻辑推理素养．
3．通过已知的数学实例，
理解全称量词和存在量词的
意义，提升数学抽象、逻辑
推理素养．
常用逻辑用语大单元设计专题概览
常用逻辑用语
充分条件与必要条件
充分 条件
必要条件
充要条件
判定定理
性质定理
数学定义
全称量词与存在量词
梳理，抽象出充分条件、必 用充分条件、必要条件和充要条件对具体的例子
要条件和充要条件的概念， 进行分析和表述，使得逻辑关系更加准确、简洁，
提升数学抽象素养．
提升了逻辑推理的素养．引入符号表示全称量词
2．通过探索充分条件与判 和存在量词，并将全称量词命题和存在量词命题
定定理、必要条件与性质定 的否定形式化，让表述更加简洁的同时，避免了
常用逻辑用语大单元设计专题概览
主题 单元主题
本单元教学目标
整体设计
预备 知识
常用逻辑 用语
四基四能
学科核心素 养
使用常用逻辑用语表达数学
对象、进行数学推理，体会
常用逻辑用语在表述数学内
容和论证数学结论中的作用，
提高交流的严谨性和准确性。
高中数学第一章常用逻辑用语1.1.1命题教学案新人教B版选修1-1(2021学年)
20１7-2０１８学年高中数学第一章常用逻辑用语1.1.1 命题教学案新人教B版选修1-1编辑整理：尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望（２０1７-2018学年高中数学第一章常用逻辑用语１.1．１命题教学案新人教Ｂ版选修1-1)的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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本文可编辑可修改,如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅,最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2017-2０1８学年高中数学第一章常用逻辑用语 1.1.1 命题教学案新人教B版选修１-１的全部内容。
1.１。
1 命题［学习目标］ 1.了解命题的概念。
2。
会判断命题的真假.[知识链接]在初中，我们已学过许多数学命题，当时是如何定义命题的,你能举出一些例子吗?答判断一件事情的句子叫命题．如：有两边相等的三角形是等腰三角形.[预习导引］1.命题的概念在数学中,我们常常碰到许多用语言、符号或式子表达的语句,其中能判断真假的陈述句叫做命题．2.命题的真假判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题。
要点一命题的判断例1 下列语句是命题的是( ）Ａ．x-1＝0Ｂ.2＋3＝8C.你会说英语吗？Ｄ.这是一棵大树答案 B解析Ａ中x不确定,x-1=0的真假无法判断;Ｂ中２+３=8是命题，且是假命题;C不是陈述句，故不是命题;D中“大＂的标准不确定,无法判断真假．规律方法并不是所有的语句都是命题,只有能判断真假的陈述句才是命题,命题首先是“陈述句”,其他语句如疑问句、祈使句、感叹句等一般都不是命题；其次是“能判断真假”，不能判断真假的陈述句不是命题，如“x≥２"、“小明的个子很高”等都不能判断真假,故都不是命题．因此,判断一个语句是否为命题，关键有两点:①是否为陈述句；②能否判断真假．跟踪演练１判断下列语句是否是命题．（1)求证3是无理数．(2)x２＋2x＋1≥0.(3)你是高二的学生吗?（4)并非所有的人都喜欢苹果.（5）一个正整数不是质数就是合数．(6）若x∈R,则x2+４x+7>0．（7)x＋３〉０.解(1）(3)（7）不是命题,(2)（4）（5）(６）是命题.要点二命题真假的判断例2 判断下列命题的真假：(1)已知a，ｂ,c,d∈Ｒ,若ａ≠ｃ，ｂ≠d,则a＋b≠c+d；（2）如果x∈N,则x3〉x2成立;(3)如果m>1，则方程x２－2x＋ｍ=0无实数根;(４)存在一个三角形没有外接圆．解(1）假命题.反例:1≠4，5≠2,但1+5=4+2.（2）假命题.反例：当x=０时,ｘ3>x2不成立．（3）真命题．∵m〉１⇒Δ=4－4m〈０，∴方程x2-２ｘ＋ｍ=0无实数根．(4)假命题.因为不共线的三点确定一个圆，即任何三角形都有外接圆．规律方法要判断一个命题是真命题,一般需要经过严格的推理论证，在证明时，要有理有据,有时应综合各种情况作出正确的判断,而判断一个命题是假命题,只需举出一个反例即可．跟踪演练2 下列命题:①如果xy＝1,则ｘ、ｙ互为倒数;②四条边相等的四边形是正方形;③平行四边形是梯形；④如果ac2〉bｃ2，则a＞ｂ.其中真命题的序号是＿_＿＿__＿＿.答案①④解析①④是真命题，②四条边相等的四边形是菱形,不一定是正方形，③平行四边形不是梯形.1.下列语句不是命题的有（ )①2〈1;②ｘ〈1;③如果x<2，则x<1;④函数f(x)＝ｘ２是Ｒ上的偶函数.A．0个B．1个C.2个Ｄ．3个答案B解析①③④可以判断真假，是命题;②不能判断真假，所以不是命题．２．下列命题中的真命题是（）A．互余的两个角不相等B．相等的两个角是同位角C.如果a２=b2,则｜a｜=｜b|D．三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角答案 C解析由平面几何知识可知A、B、D三项都是错误的.3.命题“函数ｙ=２x+1是增函数”的条件是__＿＿＿_＿＿________,结论是＿_＿______＿_____＿.答案函数为y=2x＋1 该函数是增函数4.下列命题:①面积相等的三角形是全等三角形；②若xｙ＝0，则|x｜+|y|＝０;③若ａ>b,则ac2〉ｂｃ２;④矩形的对角线互相垂直.其中假命题的个数是_____＿__.答案４解析①等底等高的三角形都是面积相等的三角形,但不一定全等;②当x，ｙ中一个为零,另一个不为零时,｜x|+｜y｜≠0；③当c＝0时不成立;④菱形的对角线互相垂直.矩形的对角线不一定垂直．１．根据命题的意义,能判断真假的陈述句是命题，命题的条件与结论之间属于因果关系，真命题需要给出证明，假命题只需举出一个反例即可．2.任何命题都是由条件和结论构成的，可以写成“如果p,则q"的形式.含有大前提的命题写成“如果p，则ｑ”的形式,大前提应保持不变，且不写在条件p中.以上就是本文的全部内容，可以编辑修改。
高中数学第一章 常用逻辑用语教案人教版必修一
第一章 常用逻辑用语基础知识一、逻辑联结词和四种命题。
1．命题的概念：2．简单命题及其关系结论：3．命题及其真假○1含有逻辑联结词的命题：或 且 非 真假判断：〔真值表〕或一真那么真，同假那么假且 都真那么真，一假那么假非 真假相对○2含有量词的命题：全称命题〔所有，任意，每一个，都﹍〕 存在性命题〔存在，有些，有一个﹍〕否定：全称命题：)(,x p M x ∈∀否定)(,x p M x ⌝∈∃存在性命题：)(,x p M x ∈∃否定,M x ∈∀)(x p ⌝4．命题的否定与否命题的区别:“假设P 那么Q 〞形式的命题 否命题为命题的否定为含有逻辑联结词的命题的否定:含有量词的命题的否定:全称命题 存在性命题5．充要条件○1假设A ⇒B 那么A 是B 的＿＿＿＿条件，B 是A 的＿＿＿＿条件，非A 是非B 的＿＿＿＿条件。
○2假设A ⇒B, B ⇒C 那么A 是C 的＿＿条件，非C 是非A 的＿＿条件。
基础练习A:1.用“p 或q 〞、“p 且q 〞、“非p 〞填空：○1命题：“三角形有内切圆和外接圆〞是形式； ○2命题：“假设xy ＜0，那么点P(x,y)在第二或第四象限〞是形式； ○3“梯形不是平行四边形〞是形式 2.用“或〞、“且〞、“非〞填空：①假设x ∈A ∪B ，那么x ∈Ax ∈B ； ②假设x ∈A ∩B ，那么x ∈Ax ∈B ； ③假设a 、b ∈R ，且ab ＝0,那么a ＝0___b ＝0；④假设a 、b ∈R ，且a 2＋b 2＝0,那么a ＝0__b ＝03.有以下命题,其中真命题有①面积相等的三角形是全等的三角形；②“假设xy ＝0，那么|x|＋|y|＝0〞的逆命题；③“假设a ＞b ，那么a ＋c ＞b ＋c 〞的否命题；④“矩形的对角线互相垂直〞的逆否命题4.用反证法证明“假设a,b ∈N,ab 可被5整除，那么a,b 中至少有一个能被5整除〞时，假设的内容是5.以下三个方程：x 2+4ax-4a+3=0,x 2+(a-1)x+a 2=0,x 2+2ax-2a=0至少有 一个方程有实数根，某某数a 的X 围？6.x ,y,z 均为实数，且a=x 2-2y+2π, b=y 2-2z+3π , c=z 2-2x+6π , 求证：a,b,c 中至少有一个大于0例1：假设命题p 的否命题为r,命题r 的逆命题为s,那么s 是p 的逆命题e 的变：写出与命题“假设a ∈M ，那么b ∉M 〞等价的命题例2：p,q 都是r 的必要条件，s 是r 的充分条件，q 是s 的充分条件，那么〔1〕s 是q 的什么条件？〔2〕 r 是q 的什么条件？〔3〕P 是q 的什么条件？变：假设命题 甲是命题乙的充分不必要条件，命题丙是命题乙的的必要不充分条件，命题丁是命题丙的充要条件，那么命题丁是命题甲的什么条件？例3：假设B A ⌝⌝⇔,B C ⌝⌝⇔,那么A 为C 的条件变：以知A 是命题，A ⌝是A 否命题，如果B A ⇒⌝且B 不能导出A ⌝,那么A 是B ⌝的基础练习B:1.填写“充分不必要，必要不充分，充要，既不充分又不必要。
高中数学《常用逻辑用语》教案
高中数学《常用逻辑用语》教案一、教学目标1. 让学生理解并掌握常用逻辑用语，包括且、或、非、如果…………等。
2. 培养学生运用逻辑用语进行思考和表达的能力。
3. 引导学生运用逻辑推理解决数学问题。
二、教学内容1. 常用逻辑用语的概念和用法。
2. 逻辑连接词的运用。
3. 逻辑推理的基本方法。
三、教学重点与难点1. 重点：常用逻辑用语的理解和运用。
2. 难点：逻辑推理的方法和应用。
四、教学方法1. 采用案例分析法，通过具体例子让学生理解逻辑用语的用法。
2. 采用小组讨论法，让学生在合作中探究逻辑推理的方法。
3. 采用练习法，让学生在实践中巩固所学知识。
五、教学过程1. 导入：通过一个日常生活中的例子，引出常用逻辑用语的概念。
2. 新课导入：讲解常用逻辑用语的定义和用法，如且、或、非、如果…………等。
3. 案例分析：分析一些具体的例子，让学生理解逻辑用语的用法。
4. 小组讨论：让学生分组讨论，探索逻辑推理的方法。
5. 练习巩固：布置一些练习题，让学生在实践中巩固所学知识。
6. 总结与拓展：对本节课的内容进行总结，并提出一些拓展问题，激发学生的学习兴趣。
7. 课后作业：布置一些相关的作业，让学生进一步巩固所学知识。
六、教学评价1. 通过课堂表现、练习和作业，评价学生对常用逻辑用语的理解和运用能力。
2. 结合小组讨论，评价学生的合作意识和逻辑推理能力。
3. 通过课后作业和拓展问题，评价学生的知识运用和拓展能力。
七、教学资源1. 案例分析材料：选取一些与生活相关的例子，用于讲解逻辑用语的用法。
2. 小组讨论任务单：提供一些逻辑推理问题，引导学生进行小组讨论。
3. 练习题库：准备一些练习题，用于巩固学生对逻辑用语的掌握。
4. 课后作业：布置一些相关的作业，巩固学生所学知识。
5. 拓展问题：提供一些思考题，激发学生的学习兴趣和探究精神。
八、教学进度安排1. 第一课时：讲解常用逻辑用语的概念和用法。
2. 第二课时：案例分析，让学生理解逻辑用语的用法。
高中数学第一章常用逻辑用语1.1.2命题及其关系(二)教案新人教A版选修1-1(2021学年)
广东省平远县高中数学第一章常用逻辑用语1.１．2 命题及其关系（二）教案新人教A版选修1-1编辑整理：尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望（广东省平远县高中数学第一章常用逻辑用语 1.１.2 命题及其关系(二）教案新人教A版选修１-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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原命题若p 则q 否命题若┐p 则┐q 逆命题若q 则p逆否命题若┐q 则┐p互为逆否互逆否互为逆否互互逆否互1。
1.2 命题及其关系(二)教学要求：进一步理解命题的概念，了解命题的逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系。
教学重点:四种命题的概念及相互关系．教学难点:四种命题的相互关系.教学过程：一、复习准备:指出下列命题中的条件与结论，并判断真假:(1）矩形的对角线互相垂直且平分;(2)函数232y x x =-+有两个零点。
二、讲授新课：１。
教学四种命题的概念:原命题 逆命题 否命题 逆否命题若p ,则q 若q ，则p 若⌝p ，则⌝q 若⌝q ,则⌝p①写出命题“菱形的对角线互相垂直"的逆命题、否命题及逆否命题，并判断它们的真假。
(师生共析→学生说出答案→教师点评)②例1：写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假:(1)同位角相等，两直线平行；（2）正弦函数是周期函数；(3)线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
(学生自练→个别回答→教师点评)2. 教学四种命题的相互关系：①讨论:例1中命题(2）与它的逆命题、否命题、逆否命题间的关系。
高中数学第一章常用逻辑用语1命题及其关系1命题(2)教案新人教A版选修2
命题一：教法分析●三维目标理解命题的概念和命题的构成，能判断给定陈述句是否为命题，能判断命题的真假；能把命题改写成“若p，则q”的形式．2．过程与方法多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力．3．情感、态度与价值观通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣．●重点、难点重点：命题的概念、命题的构成．难点：分清命题的条件、结论和判断命题的真假．二：方案设计●教学建议命题的概念在初中已经学习过，可以通过回顾初中知识引入，讲清命题概念中的两个问题，判断是否为陈述句，能否判断真假；重点放在命题的形式和判断命题真假的教学中，基于教材内容简单且以前曾经接触过，可以采用提问式、讨论式的教学方法，让学生在讨论、回答问题的过程中学习知识，增长技能，进而突破重难点．●教学流程创设问题情境，引出命题的概念，通过实例形成概念原型.⇒引导学生结合初中学习过的命题概念，比较、分析，揭示命题的特点及构成形式.⇒通过引导学生回答所提问题理解判断命题真假的方法.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握如何判断一个语句是否为命题.⇒通过例2及其互动探究，使学生掌握命题真假的判断方法，并对相关知识进行复习.⇒通过例3及其变式训练，完成对命题形式的认识与巩固，学会对命题进行改写.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.三、自主导学课标解读1.了解命题的概念及构成．(重点) 2．会判断命题的真假．(难点、易错点)命题的概念【问题导思】观察下列实例：①一条直线l，不是与平面α平行就是相交；②4是集合{1,2,3,4}的元素；③若x∈R，方程x2－x＋2＝0无实根；④作△ABC∽△A′B′C′上述语句中，哪些能判断真假？【提示】①、②、③、④是祈使句不能判断真假．1．定义在数学中，把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．2．分类①真命题：判断为真的语句叫做真命题；②假命题：判断为假的语句叫做假命题.命题的形式【问题导思】1．“同位角相等”是命题吗？如果是命题，是真命题还是假命题？【提示】是命题，为假命题．2．你能把“同位角相等”写成“若……，则……”的形式吗？【提示】若两个角为同位角，则这两个角相等．命题的形式：“若p，则q”，其中命题的条件是p，结论是q.四、互动探究命题的判断例1(1)x－2＞0；(2)梯形是不是平面图形呢？(3)若a与b是无理数，则ab是无理数；(4)这盆花长得太好了！(5)若x＜2，则x＜3.【思路探究】(1)这些语句是陈述句吗？(2)你能判断它们的真假吗？【自主解答】(1)不是命题，因为变量x的值没有给定，不能判断真假．(2)不是命题，疑问句不是命题．(3)是命题，因为此语句是陈述句且是假的．(反例a＝b ＝2)(4)不是命题，感叹句不是命题．(5)是命题，因为此语句是陈述句且是真的．（一）规律方法判断一个语句是否为命题的步骤：(1)语句格式是否为陈述句，只有陈述句才有可能是命题．(2)该语句能否判断真假，语句叙述的内容是否与客观实际相符，是否符合已学过的公理、定理，是明确的，不能模棱两可．（二）变式训练判断下列语句是否为命题，并说明理由．(1)一条直线l，与平面α不是平行就是相交；(2)若xy＝1，则x，y互为倒数；(3)作△ABC∽△A′B′C′.【解】(1)是命题．直线l与平面α有相交、平行、l在平面α内三种关系，为假．(2)是命题．因xy＝1时，x，y互为倒数，为真．(3)不是命题，祈使句不是命题．命题真假的判定例2 判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由．(1)函数y＝sin4x－cos4x的最小正周期是π；(2)若x＝4，则2x＋1＜0；(3)一个等比数列的公比大于1时，该数列为递增数列；(4)求证：x∈R时，方程x2－x＋2＝0无实根．【思路探究】语句――→命题定义判定是否是命题――→证明举反例真假命题【自主解答】(1)(2)(3)是命题，(4)不是命题．命题(1)中，y＝sin4x－cos4x＝sin2x－cos2x＝－cos 2x，显然其最小正周期为π，为真命题．命题(2)中，当x＝4,2x＋1＞0，是假命题．命题(3)中，当等比数列的首项a1＜0，公比q＞1时，该数列为递减数列，是假命题．(4)是一个祈使句，没有作出判断，不是命题．（一）规律方法1．真假命题的判定方法：(1)真命题的判定方法：真命题的判定过程实际就是利用命题的条件，结合正确的逻辑推理方法进行正确逻辑推理的一个过程．判断命题为真的关键是弄清命题的条件，选择正确的逻辑推理方法．(2)假命题的判定方法：通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法．2．解决本类问题的难点是对相关知识的理解与掌握．（二）互动探究在本例中，把不是命题的改为命题后，再把假命题改为真命题．【解】(2)是假命题，改为真命题为：若x＝4时，则2x＋1＞0.(3)是假命题，改为真命题为：一个等比数列的公比大于1，首项大于零时，该数列为递增数列．(4)不是命题，改为真命题为：若x∈R，则方程x2－x＋2＝0无实根.命题的形式及改写例3(1)两个周长相等的三角形面积相等；(2)已知x，y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2；(3)当m＞1时，x2－2x＋m＝0无实根；(4)当abc＝0时，a＝0且b＝0且c＝0.【思路探究】(1)这些命题的条件与结论分别是什么？(2)第2小题中大前提“已知x、y为正整数”该怎样处理？【自主解答】(1)若两个三角形周长相等，则这两个三角形面积相等，假命题；(2)已知x，y为正整数，若y＝x＋1，则y＝3，x＝2，假命题；(3)若m＞1，则x2－2x＋m＝0无实根，真命题；(4)若abc＝0，则a＝0且b＝0且c＝0，假命题．（一）规律方法1．解决本例问题的关键是找准命题的条件和结论，进而化成“若p，则q”的形式．2．对于命题的大前提，应当写在前面，不要写在条件中；对于改写时语句不通顺的情况，要适当补充使语句顺畅．（二）变式训练把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．(1)奇数不能被2整除；(2)当(a－1)2＋(b－1)2＝0时，a＝b＝1；(3)两个相似三角形是全等三角形；(4)在空间中，平行于同一个平面的两条直线平行．【解】 (1)若一个数是奇数，则它不能被2整除，是真命题； (2)若(a －1)2＋(b －1)2＝0，则a ＝b ＝1，是真命题；(3)若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形，是假命题． (4)在空间中，若两条直线平行于同一个平面，则这两条直线平行，是假命题． 五、易误辨析因知识欠缺，导致对命题真假判断失误典例 判断下列命题的真假． (1)若a ＞b ，则1a ＜1b；(2)x ＝1是方程(x －1)(x －2)＝0的一个根． 【错解】 (1)真命题． (2)假命题．【错因分析】 (1)误认为“两数比较大小时，大数的倒数反而小”，而忽视a 、b 的条件，当a ＞0，b ＜0时，a ＞b 但1a ＞1b.(2)因为方程的根为x ＝1或x ＝2，解题时误认为x ＝1不全面，而没有分析清逻辑关系． 【防范措施】 平时学习时一定要对每一个基础知识理解透彻． 【正解】 (1)假命题 (2)真命题 六、课堂小结1．判断一个语句是否是命题要注意两点： (1)是不是陈述句； (2)能否判断真假．2．命题的真假判断要结合已有知识，进行严格的逻辑推理，对于描述较为简洁的命题可以分清条件和结论后改写成“若p ，则q ”的形式再加以判断. 七、双基达标1．下列语句中是命题的是( ) A.π2是无限不循环小数 B ．3x ≤5C ．什么是“温室效应”D ．《非常学案》真好呀！【解析】 疑问句和祈使句不是命题，C 、D 不是命题，对于B 无法判断真假，只有A 是命题．【答案】 A2．下列命题中是假命题的是( ) A ．5是15的约数B ．对任意实数x ，有x 2＜0C．对顶角相等D．0不是奇数【解析】对任意实数x，有x2≥0，所以B为假命题．A、C、D均为真命题．【答案】 B3．把命题“垂直于同一平面的两条直线互相平行”改写成“若p，则q”的形式为________．【答案】若两条直线都垂直于同一个平面，则这两条直线互相平行4．判断下列语句是否为命题，若是命题，判断其真假．(1)求证：2是无理数．(2)若G2＝ab，则a、G、b成等比数列．(3)末位数字是0的整数能被5整除．(4)你是高二的学生吗？【解】(1)不是命题，(2)假命题，(3)真命题，(4)不是命题.八、知能检测一、选择题1．(2013·郑州高二检测)在空间，下列命题正确的是( )A．平行直线的平行投影重合B．平行于同一直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行【解析】A中平行投影可能平行，A为假命题．B、C中的两个平面可以平行或相交，为假命题．由线面垂直的性质，D为真命题．【答案】 D2．命题“6的倍数既能被2整除，也能被3整除”的结论是( )A．这个数能被2整除B．这个数能被3整除C．这个数既能被2整除，也能被3整除D．这个数是6的倍数【解析】“若p，则q”的形式：若一个数是6的倍数，则这个数既能被2整除，也能被3整除．【答案】 C3．下列命题中，是真命题的是( )A．{x∈R|x2＋1＝0}不是空集B．若x2＝1，则x＝1C．空集是任何集合的真子集D ．若1x ＝1y，则x ＝y【解析】 A 中方程在实数范围内无解，故为假命题；B 中，若x 2＝1，则x ＝±1，也为假命题；因为空集是任何非空集合的真子集，故C 为假命题，D 为真．【答案】 D4．给出命题：方程x 2＋ax ＋1＝0没有实数根，则使该命题为真命题的a 的一个值可以是( )A ．4B ．2C ．0D ．－3【解析】 方程无实根应满足Δ＝a 2－4＜0即a 2＜4，故当a ＝0时适合条件． 【答案】 C 5．有下列命题：①若xy ＝0，则|x |＋|y |＝0；②若a ＞b ，则a ＋c ＞b ＋c ；③矩形的对角线互相垂直． 其中真命题共有( ) A ．0个B ．1个C ．2个【解析】 ①由x ·y ＝0得到x ＝0或y ＝0， 所以|x |＋|y |＝0不正确，是假命题；②当a ＞b 时，有a ＋c ＞b ＋c 成立，正确，所以是真命题； ③矩形的对角线不一定垂直，不正确．是假命题． 【答案】 B 二、填空题6．把“正弦函数是周期函数”写成“若p ，则q ”的形式是________． 【答案】 若函数为正弦函数，则此函数是周期函数．7．如果命题“若x ∈A ，则x ＋1x≥2”为真命题，则集合A 可以是________．(写出一个即可)【解析】 当x ＞0时，有x ＋1x≥2，故A 可以为{x |x ＞0}．【答案】 {x |x ＞0}8．下列命题：①若xy ＝1，则x ，y 互为倒数，②平行四边形是梯形，③若a ＞b ，则ac 2＞bc 2，④若x 、y 互为相反数，则x ＋y ＝0，其中真命题为________．【解析】 ①是真命题，②平行四边形不是梯形，假命题，③若a ＞b ，则ac 2≥bc 2，故为假命题，④为真命题．【答案】 ①④ 三、解答题9．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断真假：(1)实数的平方是非负数；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形； (3)当ac ＞bc 时，a ＞b ；(4)角的平分线上的点到角的两边的距离相等．【解】 (1)若一个数是实数，则它的平方是非负数，真命题． (2)若两个三角形等底等高，则这两个三角形是全等三角形，假命题． (3)若ac ＞bc ，则a ＞b ，假命题．(4)若一个点是一个角的平分线上的点，则该点到这个角的两边的距离相等，真命题． 10．判断下列命题的真假并说明理由． (1)合数一定是偶数；(2)若ab ＞0，且a ＋b ＞0，则a ＞0且b ＞0； (3)若m ＞14，则方程mx 2－x ＋1＝0无实根．【解】 (1)假命题．例如9是合数，但不是偶数． (2)真命题．因为ab ＞0，则a 、b 同号． 又a ＋b ＞0故a 、b 不能同负， 故a 、b 只能同正，即a ＞0且b ＞0. (3)真命题．因为当m ＞14时，Δ＝1－4m ＜0；∴方程无实根．11．若命题“ax 2－2ax －3＞0不成立”是真命题，求实数a 的取值范围． 【解】 因为ax 2－2ax －3＞0不成立， 所以ax 2－2ax －3≤0恒成立． (1)当a ＝0时，－3≤0成立； (2)当a ≠0时，应满足⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ≤0，解之得－3≤a ＜0.由(1)(2)，得a 的取值范围为[－3,0]． 九、备课资源（一）备选例题 下列四个命题：①若向量a ，b 满足a·b ＜0，则a 与b 的夹角为钝角； ②已知集合A ＝{正四棱柱}，B ＝{长方体}，则A ∩B ＝B ；③在平面直角坐标系内，点M (|a |，|a －3|)与N (cos α，sin α)在直线x ＋y －2＝0的异侧；④规定下式对任意a ，b ，c ，d 都成立．⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋bc ab ＋bd ac ＋cd bc ＋d 2，则⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin α cos α cos α sin α2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1 001.其中真命题是________(将你认为正确的命题序号都填上)．【解析】 当a 与b 的夹角为π时，有a·b ＜0，但此时的夹角不为钝角，所以①是错误的；因为正四棱柱的底面是正方形，所以A ∩B ＝A ，故②也是错误的；因为|a |＋|a －3|－2≥|a －a ＋3|－2＝1＞0，cos α＋sin α－2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－2＜0，所以点M ，N在直线x ＋y －2＝0的异侧，故③是真命题；根据题意有⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin α cos α cos α sin α2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin α cos α cos α sin α·⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin α cos α cos α sin α ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin α2＋cos 2α －sin αcos α＋cos αsin α－sin αcos α＋cos αsin α cos 2α＋sin 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1 001，所以④是真命题，故填③④. 【答案】 ③④ （二）备选变式把下面命题补充完整，使其成为一个真命题．若函数f (x )＝3＋log 2x (x ＞0)的图象与g (x )的图象关于x 轴对称，则g (x )＝________. 【解析】 设g (x )图象上任一点(x ，y )，则它关于x 轴的对称点为(x ，－y )，此点在f (x )的图象上，故有：－y ＝3＋log 2x 成立，即y ＝－3－log 2x (x ＞0)．【答案】 －3－log 2x (x ＞0)。
人教版高中数学集合与常用逻辑用语教案2023
人教版高中数学集合与常用逻辑用语教案2023一、引言数学作为一门基础学科，是培养学生逻辑思维、分析问题的重要工具之一。
而在高中数学学习过程中，集合与常用逻辑用语也是不可忽视的一部分。
本教案将介绍人教版高中数学集合与常用逻辑用语的教学内容与方法，帮助学生更好地掌握和运用相关知识。
二、教学内容1. 集合的基本概念1.1 集合的定义与表示方法1.2 集合的元素与特性1.3 集合的分类与运算2. 集合的运算2.1 交集、并集与补集2.2 集合的运算规律与性质2.3 集合的运算举例与应用3. 常用逻辑用语3.1 命题与命题联结词3.2 常见命题联结词的定义与运算规律3.3 引理与定理的逻辑推理三、教学方法1. 概念导入法通过课堂讨论、问题引导等方式，引导学生了解集合的基本概念与表示方法，并与实际生活中的例子进行关联，帮助学生更好地理解与记忆。
2. 教材导入法结合人教版高中数学教材中的案例与习题，引导学生掌握集合运算的方法与技巧，并培养学生运用逻辑思维解决问题的能力。
3. 模型建构法利用实际问题构建集合模型，如集合的交集与并集在生活中的应用，通过解决实际问题，提高学生的逻辑推理和问题解决能力。
4. 探究式学习法引导学生发现集合运算的规律与性质，通过小组合作、讨论等方式，培养学生的自主学习与合作意识，并加深对数学概念的理解。
四、教学反馈与评价1. 基于学生的能力和兴趣，设计适当的小组活动和个人习题，检测学生对集合与常用逻辑用语的掌握情况，并及时给予反馈。
2. 鼓励学生主动参与课堂讨论与展示，培养学生的表达能力与解决问题的思维方法，同时通过互评、自评等方式进行全面评价。
3. 定期进行教学评估和反思，根据学生的学习情况进行教学内容和方法的调整，以提高教学效果。
五、教学延伸1. 将集合与常用逻辑用语与其他学科进行整合，如数学与语文的逻辑推理，数学与物理的模型建构等，拓宽学生的知识视野。
2. 导入相关的虚拟实验平台和数学软件，如Geogebra等，让学生通过实践操作，更好地理解和运用集合与常用逻辑用语。
高中数学第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系教案人教版选修二
第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系〔一〕教学目标１、知识与技能：理解命题的概念和命题的构成，能判断给定陈述句是否为命题，能判断命题的真假；能把命题改写成“假设p，那么q〞的形式；２、过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；３、情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
〔二〕教学重点与难点重点：命题的概念、命题的构成难点：分清命题的条件、结论和判断命题的真假教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
〔三〕教学过程学生探究过程：1．复习回顾初中已学过命题的知识，请同学们回顾：什么叫做命题？2．思考、分析以下语句的表述形式有什么特点？你能判断他们的真假吗？〔1〕假设直线a∥b，那么直线a与直线b没有公共点．〔2〕2+4=7．〔3〕垂直于同一条直线的两个平面平行．〔４〕假设x2=1,那么x=1．〔５〕两个全等三角形的面积相等．〔６〕３能被２整除．3．讨论、判断学生通过讨论，总结：所有句子的表述都是陈述句的形式，每句话都判断什么事情。
其中〔1〕〔3〕〔5〕的判断为真，〔2〕〔4〕〔6〕的判断为假。
教师的引导分析：所谓判断，就是肯定一个事物是什么或不是什么，不能含混不清。
4．抽象、归纳定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．命题的定义的要点：能判断真假的陈述句．在数学课中，只研究数学命题，请学生举几个数学命题的例子．教师再与学生共同从命题的定义，判断学生所举例子是否是命题，从“判断〞的角度来加深对命题这一概念的理解．5．练习、深化判断以下语句是否为命题？〔１〕空集是任何集合的子集．〔２〕假设整数a是素数，那么是a奇数．〔３〕指数函数是增函数吗？〔４〕假设平面上两条直线不相交，那么这两条直线平行．〔５〕2)2(＝－２．〔６〕x＞１５．让学生思考、辨析、讨论解决，且通过练习，引导学生总结：判断一个语句是不是命题，关键看两点：第一是“陈述句〞，第二是“可以判断真假〞，这两个条件缺一不可．疑问句、祈使句、感叹句均不是命题．解略。
学高中数学常用逻辑用语命题教师用书教案新人教A版选修
１.１命题及其关系１.１．１命题学习目标核心素养１．理解命题的概念，能判断给定的语句是不是命题．（重点）２．掌握判断命题真假的方法，能判断命题的真假．（难点、易错点）３．理解命题的结构，会分析命题的条件和结论，能把命题改写成“若p，则q”的形式．（重点）借助命题真假的判定培养逻辑推理素养.１．命题的定义与分类（１）命题的定义：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．（２）命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”．我们学习过的定理、推论都是命题．（３）分类思考１：（１）“x—１＝0”是命题吗？（２）“命题一定是陈述句，但陈述句不一定是命题”这个说法正确吗？[提示] （１）“x—１＝0”不是命题，因为它不能判断真假．（２）正确．根据命题的定义，命题一定是陈述句，但陈述句中只有能够判断真假的才是命题．２．命题的结构（１）命题的一般形式为“若p，则q”．其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论．（２）确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式．思考２：命题“实数的平方是非负数”的条件与结论分别是什么？[提示] 条件是：“一个数是实数”，结论是：“它的平方是非负数”．１．下列语句中，命题的个数是（）１空集是任何集合的真子集．２请起立！３单位向量的模为１．４你是高二的学生吗？Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３C[１３正确．]２．下列语句是命题的是（）１三角形内角和等于１80°；２２>３；３一个数不是正数就是负数；４x>２；５２0１9央视猪年春晚真精彩啊！Ａ．１２３Ｂ．１３４Ｃ．１２５Ｄ．２３５A[１、２、３是陈述句，且能判断真假，因此是命题，４不能判断真假，５是感叹句，故４、５不是命题．]３．把命题“末位数字是４的整数一定能被２整除”改写成“若p，则q”的形式为________________________________________．[答案]若一个整数的末位数字是４，则它一定能被２整除命题的判断Ａ．x２—１＝0 Ｂ．２＋３＝8Ｃ．你会说英语吗？Ｄ．这是一棵大树（２）下列语句为命题的有________．１x∈R，x>２；２梯形是不是平面图形呢？３２２0１9是一个很大的数；４４是集合{２,３,４}中的元素；５作△ABC≌△A′B′C′.（１）B（２）１４[（１）A中x不确定，x２—１＝0的真假无法判断；B中２＋３＝8是命题，且是假命题；C不是陈述句，故不是命题；D中“大”的标准不确定，无法判断真假．（２）１中x有范围，可以判断真假，因此是命题；２是疑问句，不是命题；３是陈述句，但“大”的标准不确定，无法判断真假，因此不是命题；４是陈述句且能判断真假，因此是命题；５是祈使句，不是命题．]判断一个语句是否是命题的两个关键点１命题是可以判断真假的陈述句，因此，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题.２对于含变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断其真假，若能，就是命题；若不能，就不是命题.提醒：若语句中含有变量，但变量没有给出范围，则该语句不是命题.错误!１．判断下列语句是不是命题，并说明理由．（１）函数f（x）＝３x（x∈R）是指数函数；（２）x２—３x＋２＝0；（３）若x∈R，则x２＋４x＋7>0；（４）垂直于同一条直线的两条直线一定平行吗？（５）一个数不是奇数就是偶数；（6）２0３0年6月１日上海会下雨．[解] （１）是命题，满足指数函数的定义，为真命题．（２）不是命题，不能判断真假．（３）是命题．当x∈R时，x２＋４x＋7＝（x＋２）２＋３>0能判断真假．（４）疑问句，不是命题．（５）是命题，能判断真假．（6）不是命题，不能判断真假．命题真假的判断（１）正方形既是矩形又是菱形；（２）当x＝４时，２x＋１<0；（３）若x＝３或x＝7，则（x—３）（x—7）＝0；（４）一个等比数列的公比大于１时，该数列一定为递增数列．[解] （１）是真命题，由正方形的定义知，正方形既是矩形又是菱形．（２）是假命题，x＝４不满足２x＋１<0．（３）是真命题，x＝３或x＝7能得到（x—３）（x—7）＝0．（４）是假命题，因为当等比数列的首项a１<0，公比q>１时，该数列为递减数列．命题真假的判定方法１真命题的判断方法要判断一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据，比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证.２假命题的判断方法,通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法.错误!１若xy＝１，则x，y互为倒数；２同一平面内四条边相等的四边形是正方形；３平行四边形是梯形；４若ac２>bc２，则a>b.其中真命题的序号是________．１４[１４是真命题，２同一平面内四条边相等的四边形是菱形，但不一定是正方形，３平行四边形不是梯形．]命题的构成１实数的平方是非负数；２等底等高的两个三角形是全等三角形；３当ac>bc时，a>b；４角的平分线上的点到角的两边的距离相等．[思路点拨] 错误!→错误!→错误!（１）一条直线是弦的垂直平分线这条直线经过圆心且平分弦所对的弧[命题的条件是“弦的垂直平分线”，结论是“经过圆心并且平分弦所对的弧”．因此p是“一条直线是弦的垂直平分线”，q是“这条直线经过圆心并且平分弦所对的弧”．]（２）[解] １若一个数是实数，则它的平方是非负数．真命题．２若两个三角形等底等高，则这两个三角形是全等三角形．假命题．３若ac>bc，则a>b.假命题．４若一个点是一个角的平分线上的点，则该点到这个角的两边的距离相等．真命题．１．若一个命题有大前提，则在将其改写成“若p，则q”的形式时，大前提仍应作为大前提，不能写在条件中．２．“若p，则q”这种形式是数学中命题的基本结构形式，也有一些命题的叙述比较简洁，并不是以“若p，则q”这种形式给出的，这时，首先要把这个命题补充完整，然后确定命题的条件和结论．错误!３．把下列命题改写成“若p，则q”的形式．（１）当错误!>错误!时，a<b；（２）垂直于同一条直线的两个平面互相平行；（３）同弧所对的圆周角不相等．[解] （１）若错误!>错误!，则a<b.（２）若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行．（３）若两个角为同弧所对的圆周角，则它们不相等.１．根据命题的定义，可以判断真假的陈述句是命题．命题的条件与结论之间属于因果关系，真命题需要给出证明，假命题只需举出一个反例即可．２．任何命题都是由条件和结论构成的，可以写出“若p，则q”的形式．含有大前提的命题写成“若p，则q”的形式时，大前提应保持不变，且不写在条件p中．１．判断正误（１）陈述句都是命题．（）（２）含有变量的语句也可能是命题．（）（３）如果一个语句判断为假，那么它就不是命题．（）（４）有些命题在形式上可以不是“若p，则q”的形式．（）[答案] （１）×（２）√（３）×（４）√２．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的诗《相思》，在这四句诗中，可以作为命题的是（）Ａ．红豆生南国Ｂ．春来发几枝Ｃ．愿君多采撷Ｄ．此物最相思A[“红豆生南国”是陈述句，所述事件在唐代是事实，所以本句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不能判断真假，不是命题，故选Ａ．]３．下列命题是真命题的为（）Ａ．若a>b，则错误!<错误!Ｂ．若b２＝ac，则a，b，c成等比数列Ｃ．若|x|<y，则x２<y２Ｄ．若a＝b，则错误!＝错误!C[对于A，若a＝１，b＝—２，则错误!>错误!，故A是假命题．对于B，当a＝b＝0时，满足b２＝ac，但a，b，c不是等比数列，故B是假命题．对于C，因为y>|x|≥0，则x２<y２是真命题．对于D，当a＝b＝—２时，错误!与错误!没有意义，故D是假命题．]４．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断其真假．（１）末位数字是0的整数能被５整除；（２）偶函数的图象关于y轴对称；（３）菱形的对角线互相垂直．[解] （１）若一个整数的末位数字是0，则这个整数能被５整除，为真命题．（２）若一个函数是偶函数，则这个函数的图象关于y轴对称，为真命题．（３）若一个四边形是菱形，则它的对角线互相垂直，为真命题．。
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(1)空集是任何集合的子集；
是真命题
(2)若整数 a 是质数，则a 是奇数；
是假命题
(3)指数函数是增函数吗？
不是陈述句，所以不是命题
(4)若平面上两条直线不相交，则这两条直线平行； 是真命题
(5) (2)2 2 ； 是假命题
这种形式的命题具有“若p，则q”的形式．
(6) x 15．
是陈述句，但无法判断真假，所以不是命题
(2)若函数是偶函数，则函数的图像关于y轴对称．这是真命题． (3)若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面互相平行．这是假命题．
课堂练习
把下列命题改写成“若……则……”的形式，并判断真假： （1）方程x2+2x-3=0是一元二次方程；
若一个方程是x2+2x-3=0，则这个方程是一元二次方程； 真命题
（2)垂直于同一条直线的两条直线平行； 若两条直线垂直于同一条直线，则这两条直线平行；
假命题
（3）当a>0时，函数y=ax+b是增函数。
若a>0时，则函数y=ax+b是增函数。
真命题
新知探究
把下列命题改写成“若……则……”的形式，并判断真假： （1）6是12和24的最大公约数； （2）偶数能被2整除
新知探究
“若p则q”形式的命题
命题“若整数a是质数，则a是奇数。”具有“若p则q”的形式。
p
q
通常,我们把这种形式的命题中的p叫做命题的条件,q叫做命题的结论。
“若p则q”形式的命题是命题的一种形式而不是唯一的形式,也可写成“如果p,那么q” “只要p,就 有q”等形式。
新知探究
例2. 指出下列命题的条件p和结论q 1）若整数a能被2整除，则a是偶数；
（1）对顶角相等 条件: (补上适当词语) (两个角是) 对顶角 相等 两个角
结论:
改写成：若两个角是对顶角，则这两个角相等。
新知探究
例3 把下列命题改写成“若……则……”的形式，并判断真假：
(2)在同一个三角形中,等角对等边
条件: (补上适当的词语)
结论:
同一个三角形中 两个角相等这两个角所对的 两条边相等
判断一个语句是不是命题的思路：
①
②
是否是陈述句
能否判定真假
结论
新知探究
判断一个语句是不是命题的思路： 是否是陈述句
能否判定真假
结论
练习1 判断下列语句是不是命题？
1）7是23的约数吗?
疑问句
不是命题
2）X>5.
不能判定真假 不是命题
3)画线段AB=CD.
陈述句
不是命题
4)一个数不是正数就是负数 . 祈使句 陈述句 能判定真假 是命题
2）若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直且平分。 解： 1）条件p：整数a能被2整除
结论q：整数a是偶数 2）条件p：四边形是菱形
结论q：四边形的对角线互相垂直平分
新知探究
对于一些条件与结论不明显的命题,一般采取先添补一些命题中省略的词句, 确定条件与结论。
例3 把下列命题改写成“若……则……”的形式，并判断真假：
改写成：在同一个三角形中,若两个角相等，则这两个角所对的边也相等。
课堂练习
把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断它们的真假： (1)等腰三角形两腰的中线相等; (2)偶函数的图像关于y轴对称; (3)垂直于同一个平面的两个平面平行. 解:(1)若三角形是等腰三角形，则三角形两腰上的中线相等．这是真命题．
2.下列命题是真命题的是 ( A ) A.若 1 1 ,则x y; B.若x2 1,则x 1;
xy C.若x y,则 x y; D.若x y,则x2 y2.
小结
这节课我们学习了: (1)命题的概念; (2)判断命题的真假; (3)把有些命题改写成“若p,则q”的形式.
课后思考
具有“若p，则q”的形式的命题中的条件和结论可以交换吗? 交换以后是否还是命题? 把条件和结论改写成相反的意思以后呢?
人教版高中数学选修2-1
第1章 常用逻辑用语
感谢你的聆听
PEOPLE'S EDUCATION PRESS HIGH SCHOOL MATHEMATICS ELECTIVE 2-1
讲解人：xx 时间：2020.6.1
（5）3 能被2整除;
（6）2+4=7；
（7）今天天气真好啊！ （8）对顶角相等;
（9）小洪是个高个子。
问1:哪几个语句是陈述句？ （1）、（2）、（5）、（6）、（8）、（9）
问2:哪几个语句能判断为真？
（1）、（2）、（8）
问3:哪几个语句能判断为假？ （5）、（6）
新知探究
命题的概念 一般地，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。
判断为假的语句叫做假命题
判断为真的语句叫做真命题
新知探究
课本4页 练习2
(1)能被６整除的整数一定能被３整除；
真
(2)若一个四边形的四条边相等，则这个四边形是正方形； 假
(3)二次函数的图像是一条抛物线；
真
(4)两个内角都等于 45 的三角形是等腰直角三角形． 真
新知探究
判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？ 思考：命题(2)、(4)的表述形式有什么特点？
人教版高中数学选修2-1
第1章 常用逻辑用语
1.1.1
命题
PEOPLE'S EDUCATION PRESS HIGH SCHOOL MATHEMATICS ELECTIVE 2-1
讲解人：xx 时间：2020.6.1
课前导入
观察下列语句的特点 （1） 12>5;
（2） 3是12的约数;
Hale Waihona Puke （3） 0.5是整数吗？ （4）请把门关上！