八年级数学全等三角形专题练习(word版

八年级数学全等三角形专题练习（word版

一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）

1．已知A、B两点的坐标分别为（0，3），（2，0），以线段AB为直角边，在第一象限

内作等腰直角三角形ABC，使∠BAC＝90°，如果在第二象限内有一点P（a，1

2

），且

△ABP和△ABC的面积相等，则a＝_____．

【答案】-8

3

．

【解析】

【分析】

先根据AB两点的坐标求出OA、OB的值，再由勾股定理求出AB的长度，根据三角形的面积公式即可得出△ABC的面积；连接OP，过点P作PE⊥x轴，由△ABP的面积与△ABC的

面积相等，可知S△ABP＝S△POA+S△AOB﹣S△BOP＝13

2

，故可得出a的值．

【详解】

∵A、B两点的坐标分别为（0，3），（2，0），∴OA＝3，OB＝2，

∴22

3+213

AB＝＝，

∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，

∴

1113

•1313

222 ABC

S AB AC⨯⨯

＝＝＝，

作PE⊥x轴于E，连接OP，

此时BE＝2﹣a，

∵△ABP的面积与△ABC的面积相等，

∴

111

•••

222 ABP POA AOB BOP

S S S S OA OE OB OA OB PE ++

＝﹣＝﹣，

111113

3322

22222

a

⨯⨯+⨯⨯⨯⨯

＝（﹣）﹣＝，

解得a＝﹣8

3

．

故答案为﹣8

3

．

【点睛】

本题考查等腰直角三角形的性质，坐标与图象性质，三角形的面积公式，解题的关键是根据S △ABP =S △POA +S △AOB -S △BOP 列出关于a 的方程．

2．在平面直角坐标系中，点A 在x 轴的正半轴上，点B 在y 轴的正半轴上，

36ABO ∠=︒，在x 轴或y 轴上取点C ，使得ABC ∆为等腰三角形，符合条件的C 点有__________个．

【答案】8

【解析】

【分析】

观察数轴，按照等腰三角形成立的条件分析可得答案．

【详解】 解：如下图所示，若以点A 为圆心，以AB 为半径画弧，与x 轴和y 轴各有两个交点， 但其中一个会与点B 重合，故此时符合条件的点有3个；

若以点B 为圆心，以AB 为半径画弧，同样与x 轴和y 轴各有两个交点，

但其中一个与点A 重合，故此时符合条件的点有3个；

线段AB 的垂直平分线与x 轴和y 轴各有一个交点，此时符合条件的点有2个．

∴符合条件的点总共有：3＋3＋2=8个．

故答案为：8．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的判定，可以观察图形，得出答案．

3．在锐角三角形ABC 中．32∠ABC=45°，BD 平分∠ABC ．若M ，N 分别是边BD ，

BC 上的动点，则CM ＋MN 的最小值是____．

【答案】4

【解析】

【分析】

过点C 作CE ⊥AB 于点E ，交BD 于点M′，过点M′作M′N′⊥BC 于N′，则CE 即为CM+MN 的最小值，再根据BC=32，∠ABC=45°，BD 平分∠ABC 可知△BCE 是等腰直角三角形，由锐角三角函数的定义即可求出CE 的长．

【详解】

解：过点C 作CE ⊥AB 于点E ，交BD 于点M′，过点M′作M′N′⊥BC 于N′，

则CE 即为CM+MN 的最小值，

∵BC=32，∠ABC=45°，BD 平分∠ABC ，

∴△BCE 是等腰直角三角形，

∴CE=BC•cos45°=32×22

=4． ∴CM+MN 的最小值为4．

【点睛】

本题考查了轴对称最短路线问题，难度较大,根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键．

4．如图，在ABC ∆中，点D 是BC 的中点，点E 是AD 上一点，BE AC =．若70C ∠=︒，50DAC ∠=︒ 则EBD ∠的度数为______．

【答案】10︒

【解析】

【分析】

延长AD 到F 使DF AD =，连接BF ，通过ACD FDB ≅，根据全等三角形的性质得到CAD BFD ∠=∠，AC BF =， 等量代换得BF BE =，由等腰三角形的性质得到F BEF ∠=∠，即可得到BEF CAD ∠=∠，进而利用三角形的内角和解答即可得．

【详解】

如图，延长AD 到F ，使DF AD =，连接BF ：

∵D 是BC 的中点

∴BD CD =

又∵ADC FDB ∠=∠，AD DF =

∴ACD FDB ≅

∴AC BF =， CAD F ∠=∠，C DBF ∠=∠

∵AC BE =， 70C ︒∠=， 50CAD ︒∠=

∴BE BF =， 70DBF ︒∠=

∴50BEF F ︒∠=∠=

∴180180505080EBF F BEF ︒︒︒︒︒∠=-∠-∠=--=

∴807010EBD EBF DBF ︒︒︒∠=∠-∠=-=

故答案为：10︒

【点睛】

本题主要考查的知识点有全等三角形的判定及性质、等腰三角形的性质及三角形的内角和定理，解题的关键在于通过倍长中线法构造全等三角形．

5．如图，△ABC 中，AB =AC ，∠A =30°，点D 在边AB 上，∠ACD =15°，则AD BC

=____．