高等数学(上册)课件

1 1 1 , f ( x) 1 在 [a, b] 上有界.
bxa
x
2．函数的单调性 设 y f ( x) , x D.
如果 x1, x2 D, 当 x1 x2时,
恒有: f ( x1 ) ( > ) f ( x2 ), 则称函数f ( x)在区间D 上是单调递（增减）的.
y y f (x)
的一个实数y M , 则称 f 是定义在D 上的函数，
表示为：f : D M
( x y f (x) )
D 称为函数 f 的定义域，数 x 对应的数y 称为
x 的函数值，记作y f ( x) ; 函 数 值 的 集 合 ：
f ( D) { y y f ( x), x D} M R
称为函数 f 的值域. 函数传统的习惯符号： y f ( x) ， x D .
（求极限时有用）
1
-4 -3 -2 -1 o -1 1 2 3 4 5 x
-2
-3 阶梯曲线
-4
例2 “x R, 对应的 y x [x]”.
记作： y {x} , x R . 即 y {x} x [x] , x R .
显然，x R, 有
称为非负小数部分函数
0 {x} 1 , x [x] {x} .
l 2
o l2
3l 2
x
说明周期函数的定义域D 为无穷区间.
若 f ( x) 有一个周期，则 f ( x) 必有无穷多个周期.
事实上，若l 为 f ( x)的一个周期, 则 f ( x) f ( x l) f [(x l) l] f ( x 2l)
f ( x nl) . nl (n N ) 也是 f ( x) 的周 期.
D( x) 0 , 当 x 是无理数时.
y
y D( x)
1
•
• o•
x
无理数点 有理数点
y y sgn x
1
o
x
-1
例5 黎曼（G.Riemann , 1826 1866 , 德国）函数
R( x)
1 q
,
0 ,
x p ( p, q Z , p 为 既 约 真 分 数,）
q
q
x 0 ，1 和 (0 ，1)内 的 无 理 数.
立一 一对应关系。
. . .. .
2 1 o 1 2
x
实数集是连续的或完备的。
在高等数学中，数与点不加区别，常将“ 数 x ” 说成 “点 x ” ，反之亦然.
3.常用不等式:
绝对值 :
x R ,
x
x x
, ,
x0, x0.
1o. x R, x 0 .
2o. x R, x x x .
y
1 2
y R( x)
1 3 1 4 1 8 o 1 1 13 1 5 2 3 7 1
x
8 4 38 2 8 3 4 8
三. 函数的初等性质
1．函数的有界性 设 y f ( x) , x D .
(1) 若 M 0 , x D f ( x) M , 则称 f ( x) 在 D 上有界.
有理数、 无理数统称为实数.
有理数集：Q {全体有理数} , 无理数集：I {全体无理数} ,
实数集：R Q I .
有理数集（无理数集、实数集）的稠密性：任意两
个不同的有理数（无理数、实数） 之间都有无穷多
个有理数 （无理数、实数）。
(ab a ab b)
2 实数集的连续性：实数集与数轴上点的集合之间建
例6 证明：f ( x) 1 在 ( ,0) 与 (0, ) ( 0) 无界，
x
在任何不包含原点的闭区间 [a, b] 上有界 .
证
M ( M 1
)0,
xM :
0
xM
1 ,
M
1 f (xM ) xM M .
f ( x) 1 在 ( ,0) 与 (0, ) ( 0) 无界;
x
而 x [a, b（ ] 不包含原点）, 即 a x b ,
结 F ( x) Acos(x B) C 的 周 期 为T 2 ,
果 F ( x) Atan( x B) C 的 周 期 为T , F ( x) Acot(x B) C 的 周 期 为T ,
否则，f ( x) 称为非奇非偶函数.
例7 设 f ( x) 为定义在(l, l) (l 0)内的任意函数, 证明 f ( x) 在(l, l)内能表成奇函数与偶函数的和.
证 令 F ( x) 1 [ f ( x) f ( x)] , 偶函数
2
G( x) 1 [ f ( x) f ( x)] , 奇函数 2
无穷级数.
几点要求
1. 学习方法：上课前先预习，带着问题来听课， 必须记适当的笔记，但要注意以听为主。课后不要 急于完成作业，通过复习，基本掌握了课堂教学内 容后，再去做作业，在学习中，要养成多想问题的 好习惯。
2. 上课纪律：
不迟到，不早退，不旷课，累计缺课超过该课程授 课学时的1 3，不得参加期末考试；上课必须关闭手
显然 f (x) F(x) G(x) .
4．函数的周期性 定义 设函数 f ( x) 在 D 上定义, 若 l 0 ,
x D 且 x l D , 有 f ( x l) f ( x)
则称 f ( x) 为周期函数，l 称为 f ( x) 的一个周期 .
y
y f (x)
. . . . 3l 2
y
y {x}
1
4 3 2 1 o 1 2 3 4
x
1 , 当x0,
例3 符号函数
sgn
x
0
,
当x0,
x x sgn x ,
1 , 当 x 0 .
sgn x 起了x 的符号的作用.
例4 狄利克莱（Dirichlet, 1805 1859 , 德国）函数
1 , 当 x 是有理数时,
其主要内容包括：
函数与极限，
一
元
函数微积
分
导数、微分及其应用， 不定积分与定积分及其应用，
广义积分.
常微分方程.
空间解析几何, 多元函数微积分: 多元函数的极
限与连续，偏导数、全微分及其应用，数量值函
重
积
分
，
数的积分 第一型曲线、曲面积分，
数
量值函
数
积
分
学
的
应用;
向量值函数的积（分第二型曲线、曲面积分），
高等数学电子教案
中国石油大学（华东）
理学院基础数学系 金贵荣
前言
拔尖班的课程设置为：公共基础课程、专业课程
和公共选修课程。其中高等数学就是公共基础课
程中最重要的课程之一， 根据教学大纲的要求，
本课程共上两个学期11，( 6 5 ) 个学分， 共
176(90 86) 学时。 是工科各专业考研必考
或“等价”.
2.实数集
自然数集：N * {0,1,2,} , 正整数集：Z ( N ) {1,2,3,} ,
负整数集：Z {， 2,1} , 整数集：Z {， 1，0，1，}，
有理数：无限循环小数或凡能表示为p ( p, q Z ,
q
q 0 ) 形式的数.
无理数：无限不循环小数或表示不成 p 形式的数. q
1
n 1
1
n
a1a2 an
a1
a2
an n
ห้องสมุดไป่ตู้
a1 a2
an ( 几何平均值 ) ( 算术平均值 )
( 调和平均值 )
（证明略）
4.邻域: 点 x0 的 实 心 邻 域: U ( x0 , )
{x x x0 } ( x0 , x0 ) .
点 x0 为 邻 域的 中 心, 0, 为邻域的半径.
y
y f (x)
f (x2)
f (x1 )
f ( x1 )
f (x2 )
o
D
x
o
x
D
当 f (x)在 D 上单调递增或单调递减时，则称 f ( x)
在 D 上是单调的; f ( x) 为D 上的单调函数.
如果 x1, x2 D, 当 x1 x2时,
恒有: f ( x1 ) ( ) f ( x2 ), 则称函数f ( x)在区间D 上是单调不减( 增 ) .
若 在周期函数 f (x)的所有周期中存在 最小的正 周期 T ，则称这个最小正周期T 为 f ( x)的 基本周期 .
通常我们所说的函数的周期都是指基本周期.
f ( x) sin x,cos x 的周期为T 2 , 常 f ( x) tan x,cot x 的周期为T , 用 F ( x) Asin(x B) C 的 周 期 为T 2 ,
3o. x h (h 0) h x h .
4o. x h (h 0) x h 或 x h .
5o. x, y R , x y x y x y .
三角不等式
更一般地， xi R (1 i n) , 有
x1 x2 xn x1 x2 xn .
6o. ( 平均值不等式 ) 设 ai 0, i 1,2,, n . 则
(2)若 p ( q ) R,x D f ( x) p ( f ( x) q ) ,
则称 f ( x) 在 D 上有上( 下 )界 .
定理 函数 f ( x) 在 D 上有界 函数 f ( x) 在 D 上 既 有 上 界 又 有 下 界.
(3) 若 M 0,xM D f ( xM ) M , 则称 f ( x) 在 D 上无界 .
课程，也是工科各专业许后多续专业课程的基础。 因此，牢固地掌握高数等学的基本内容熟，练地运 用它的基本方法深，刻理解它的基本思想，是学好
工科各专业的后续业专课的关键和保障。