新2014年北师大版八年级数学反证法例题与练习

A
∠C≠∠D
求证：梯形ABCD不是等腰梯形.
D
证明：假设梯形ABCD是等腰梯形。 ∴∠C=∠D（等腰梯形同一底上
的两内角相等） 这与已知条件∠C≠∠D矛盾, 假
设不成立。 ∴梯形ABCD不是等腰梯形.
B C
五、拓展应用
1、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠APB≠∠APC。 求证：PB≠PC
a//c,b//c. 求证：a//b
证明：假设a与b不平行，则 a
可设它们相交于点A。
b
A
那么过点A 就有两条直线a、c
b与直线c平行，这与“过直
线外一点有且只有一条直线
与已知直线平行矛盾,假设不
成立。
∴a//b.
小结：根据假设推出结论除了可以与已知 条件矛盾以外，还可以与我们学过的定理、 公理矛盾
两直线相交
2、用反证法证明“若a2≠ b2,则a ≠ b”的第一步是 假设a=b。
3、用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么
这个三角形不是等腰三角形”的第一步
假设这个三角形是等腰三角形
。
４、求证：如果一个梯形同一底上的两个内角不 相等，那么这个梯形不是等腰梯形。
已知：在梯形ABCD中，AB//CD，
[答案] 没有一个是三角形或四边形 或五边形
• 7．用反证法证明命题“a，b∈N，ab可 被5整除，那么a，b中至少有一个能被5
整除”，那么反设的内容是 ________________．
[答案] a，b都不能被5整除
• 8．用反证法证明命题：“一个三角形中不能 有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：
• A．a<b • B．a≤b • C．a＝b • D．a≥b
[解析] “a>b”的否定应为“a＝b或 a<b”，即a≤b.故应选B.
• 5．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一 位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获 奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖 了”，丁说：“是乙获奖了”，四位歌手的话只有两 句是对的，则获奖的歌手是( )
成立吗？请说明理由。
b
c
探究：假设a2 +b2 ＝c2，由勾股定理
可知三角形ABC是直角三角形，且 ∠C=90°，这与已知条件∠C≠90° 矛盾。假设不成立，从而说明原结论 a2 +b2 ≠ c2 成立。
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Ca B
发现知识：
这种证明方法与前面的证明方法不同，它是首先假设结 论的反面成立，然后经过正确的；逻辑推理得出与已知、定 理、公理矛盾的结论，从而得到原结论的正确。象这样的证 明方法叫做反证法。
例3 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于
或等于60°。
已知：△ABC 求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
证明：假设 △ABC中没有一个内角小于或等于60° ，
则 ∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°
。
∴ ∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180° ，
即 ∠A+∠B+∠C>180° 。
• A．甲 • B．乙 • C．丙 • D．丁
[解析] 因为只有一人获奖，所以丙、丁只有一个 说对了，同时甲、乙中只有一人说对了，假设乙 说的对，这样丙就错了，丁就对了，也就是甲也 对了，与甲错矛盾，所以乙说错了，从而知甲、
丙对，所以丙为获奖歌手．故应选C.
• 6．命题“任意多面体的面至少有一个是 三角形或四边形或五边形”的结论的否 定是________．
三、应用新知
例１在△ABC中，AB≠AC,求证：∠B ≠ ∠ C
证明：假设 ∠B ＝ ∠ C，
A
则 AB＝AC （ 等角对等边 ）
这与 已知AB≠AC
矛盾．
B
C
假设不成立．
∴ ∠B ≠ ∠ C
．
小结：
反证法的步骤：假设结论的反面不成立→逻辑推理 得出矛盾→肯定原结论正确
例2已知：如图有a、b、c三条直线，且
反证即③，再推出矛盾即①，最后作
出判断，肯定结论即②，即顺序应为
③①②.
• A．有一个解 • B．有两个解 • C．至少有三个解 • D．至少有两个解
[解析] 在逻辑中“至多有n个”的否定 是“至少有n＋1个”，所以“至多有两个
解”的否定为“至少有三个解”，故应选C.
• 2．否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”
时的正确反设为( )
• A．a、b、c都是奇数 • B．a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数 • C．a、b、c都是偶数 • D．a、b、c中至少有两个偶数
这与 三角形的内角和为180度 矛盾．假设不成立．
∴ △ABC中至少有一个内角小于或等于60°. ．
点拨：至少的反面是没有！
四、巩固新知
1、试说出下列命题的反面：
（1）a是实数。a不是实数 （2)a大于2。a小于或等于２
（3）a小于2。a大于或等于２ （4）至少有没2个有两个
（5）最多有一个 一个也（没6有）两条直线平行。
• ①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°， 这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A＝ ∠B＝90°不成立；
• ②所以一个三角形中不能有两个直角；
• ③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不 妨设∠A＝∠B＝90°.
• 正确顺序的序号排列为_[_答__案_]___③__①__②． [解析] 由反证法证明的步骤知，先
证明：假设PB=PC。 在△ABP与△ACP中 AB=AC(已知） AP=AP（公共边） PB=PC（已知）
∴△ABP≌△ACP（S.S.S) ∴∠APB=∠APC(全等三角形对应 B 边相等） 这与已知条件∠APB≠∠APC矛盾， 假设不成立. ∴PB≠PC
A
P C
• 1．否定结论“至多有两个解”的说法中， 正确的是( )
的是( )
• A．假设a，b，c都是偶数 • B．假设a、b，c都不是偶数 • C．假设a，b，c至多有一个偶数 • D．假设a，b，c至多有两个偶数
[解析] “至少有一个”反设词应为 “没有一个”，也就是说本题应假设
为a，b，c都不是偶数
• 4．命题“△ABC中，若∠A>∠B，则 a>b”的结论的否定应该是( )
一、复习引入
A
如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，
AC=b,如果∠C=90°，a、b、c三边
有何关系？为什么？
b
c
解析： 由∠C=90°可知是直角
三角形，根据勾股定理可知 a2 +b2 ＝c2 .
C a BB
二、探究
问题： 若将上面的条件改为“在
A
△ABC中，AB=c，BC=a，
AC=b,∠C≠90°”，请问结论a2 +b2 ≠ c2
[解析] a，b，c三个数的奇、偶性有
以下几种情况：①全是奇数；②有两个 奇数，一个偶数；③有一个奇数，两个 偶数；④三个偶数．因为要否定②，所 以假设应为“全是奇数或至少有两个偶数” 故应选B.
• 3．用反证法证明命题：“若整系数一元二次
方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a， b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设正确