新2014年北师大版八年级数学反证法例题与练习

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八年级反比例+反证法

八年级反比例+反证法1、用反证法证明命题“一个三角形中至多有一个角是直角”，应先假设这个三角形中（）．A、至少有两个角是直角B、没有直角C、至少有一个角是直角D、有一个角是钝角，一个角是直角2、如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点P是双曲线（x＞0）上的一个动点，PB⊥y轴于点B ，当点P的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB的面积将会（）A、逐渐增大B、不变C、逐渐减小D、先增大后减小3、用反证法证明“若a⊥c，b⊥c，则a∥b”，第一步应假设（）A、a∥bB、a与b垂直C、a与b不一定平行D、a与b相交5、下列说法正确的是（）A、等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合B、面积相等的两个三角形一定全等C、用反证法证明命题“三角形中至少有一个角不大于60°”的第一步是“假设三角形中三个角都大于60°”D、反比例函数y=中函数值y随自变量x的增大一定而减小8、选择用反证法证明“已知：在△ABC中，∠C=90°．求证：∠A，∠B中至少有一个角不大于45°．”时，应先假设（）A、∠A＞45°，∠B＞45°B、∠A≥45°，∠B≥45°C、∠A＜45°，∠B＜45°D、∠A≤45°，∠B≤45°9、用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，应先假设（）A、四边形中没有一个角是钝角或直角B、四边形中至多有一个钝角或直角C、四边形中没有一个角是锐角D、四边形中没有一个角是钝角10、（2015•桂林）如图，以▱ABCO的顶点O为原点，边OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，顶点A、C的坐标分别是（2，4）、（3，0），过点A的反比例函数的图象交BC于D，连接AD，则四边形AOCD的面积是 ________．11、用反证法证明“三角形内不可能有两个钝角”时，第一步应假设：________12、（2015•玉林）已知：一次函数y=﹣2x+10的图象与反比例函数（k＞0）的图象相交于A，B两点（A在B的右侧）．(1)当A（4，2）时，求反比例函数的解析式及B点的坐标；(2)在1的条件下，反比例函数图象的另一支上是否存在一点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．(3)当A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10）时，直线OA与此反比例函数图象的另一支交于另一点C，连接BC交y轴于点D．若，求△ABC的面积．13、两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点P在的图象上，PC⊥x轴于点C，交的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交的图象于点B，当点P在的图象上运动时，以下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②四边形PAOB的面积不会发生变化；③PA与PB始终相等；④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点．其中一定正确的是．答案解析部分一、单选题1、【答案】A【考点】反证法【解析】【分析】熟记反证法的步骤，然后进行判断．【解答】用反证法证明“一个三角形中不能有两个角是直角”，应先假设这个三角形中有两个角是直角．故选A．【点评】解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1)假设结论不成立；（2)从假设出发推出矛盾；（3)假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．2、【答案】C【考点】反比例函数系数k的几何意义【解析】解答：设点P的坐标为（x ，），∵PB⊥y轴于点B ，点A是x轴正半轴上的一个定点，∴四边形OAPB是个直角梯形，∴四边形OAPB的面积= （PB+AO）•BO= （x+AO）• = + ，∵AO是定值，∴点P的横坐标逐渐增大时四边形OAPB的面积逐渐减小．故选：C．分析：由双曲线（x＞0）设出点P的坐标，运用坐标表示出四边形OAPB的面积函数关系式进行判定．此题考查了反比例函数系数k的几何意义，运用点的坐标求出四边形OAPB的面积的函数关系式是解题的关键．3、【答案】D【考点】反证法【解析】【解答】解：∵用反证法证明“若a⊥c，b⊥c，则a∥b”，∴第一步应假设：若a⊥c，b⊥c，则a、b相交．故选：D．【分析】根据反证法的步骤，直接得出即可．4、【答案】B【考点】反证法【解析】【解答】解：∵用反证法证明命题：如果AB∥CD，AB∥EF，那么CD∥EF．∴证明的第一步应是：从结论反面出发，假设CD不平行于EF．故选：B．【分析】根据要证CD∥EF，直接假设CD不平行于EF即可得出．5、【答案】C【考点】反证法【解析】【解答】解：A、等腰三角形的顶角平分线和底边上的中线、高线互相重合，故此选项错误；B、面积相等的两个三角形不一定全等，故此选项错误；C、用反证法证明命题“三角形中至少有一个角不大于60°”的第一步是“假设三角形中三个角都大于60°”，此选项正确；D、反比例函数y=中，每个象限内，函数值y随自变量x的增大一定而减小，故此选项错误；故选：C．【分析】分别根据等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质和反证法的证明第一步以及反比例函数的增减性得出即可．6、【答案】C【考点】反证法【解析】【解答】解：在证明“在△ABC中至少有一个直角或钝角”时，应先假设：三角形中没有直角或钝角．故选：C．【分析】熟记反证法的步骤，直接选择得出即可．7、【答案】A【考点】反证法【解析】【解答】解：一个角大于或等于60°的反面是：小于60°．故应假设：三角形的每个角都小于60°．故选A．【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．8、【答案】A【考点】反证法【解析】【解答】解：用反证法证明命题“∠A，∠B中至少有一个角不大于45°”时，应先假设∠A＞45°，∠B＞45°．故选：A．【分析】用反证法证明命题的真假，应先按符合题设的条件，假设题设成立，再判断得出的结论是否成立即可．9、【答案】A【考点】反证法【解析】【解答】解：用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时第一步应假设：四边形中没有一个角是钝角或直角．故选：A．【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．二、填空题10、【答案】9【考点】反比例函数系数k的几何意义，平行四边形的性质【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，A、C的坐标分别是（2，4）、（3，0），∴点B的坐标为：（5，4），把点A（2，4）代入反比例函数y=得：k=8，∴反比例函数的解析式为：y=；设直线BC的解析式为：y=kx+b，把点B（5，4），C（3，0）代入得：，解得：k=2，b=﹣6，∴直线BC的解析式为：y=2x﹣6，解方程组得：，或（不合题意，舍去），∴点D的坐标为：（4，2），即D为BC的中点，∴△ABD的面积=平行四边形ABCD的面积，∴四边形AOCD的面积=平行四边形ABCO的面积﹣△ABD的面积=3×4﹣×3×4=9；故答案为：9．【分析】先求出反比例函数和直线BC的解析式，再求出由两个解析式组成方程组的解，得出点D的坐标，得出D为BC的中点，△ABD的面积=平行四边形ABCD的面积，即可求出四边形AOCD的面积．11、【答案】假设一个三角形的三个内角中有两个角是钝角【考点】反证法【解析】【解答】解：用反证法证明命题“三角形内不可能有两个钝角”时，应假设“假设一个三角形的三个内角中有两个角是钝角”．故答案为：假设一个三角形的三个内角中有两个角是钝角．【分析】根据命题“三角形的内角至多有一个钝角”的否定为“三角形的内角至少有两个钝角”，从而得出结论．三、综合题12、【答案】（1）【解答】解：把A（4，2）代入，得k=4×2=8．∴反比例函数的解析式为．解方程组，得或，∴点B的坐标为（1，8）；（2）①若∠BAP=90°，过点A作AH⊥OE于H，设AP与x轴的交点为M，如图1，对于y=﹣2x+10，当y=0时，﹣2x+10=0，解得x=5，∴点E（5，0），OE=5．∵A（4，2），∴OH=4，AH=2，∴HE=5﹣4=1．∵AH⊥OE，∴∠AHM=∠AHE=90°．又∵∠BAP=90°，∴∠AME+∠AEM=90°，∠AME+∠MAH=90°，∴∠MAH=∠AEM，∴△AHM∽△EHA，∴，∴，∴MH=4，∴M（0，0），可设直线AP的解析式为y=mx则有4m=2，解得m=，∴直线AP的解析式为y=x，解方程组，得或，∴点P的坐标为（﹣4，﹣2）．②若∠ABP=90°，同理可得：点P的坐标为（﹣16，）．综上所述：符合条件的点P的坐标为（﹣4，﹣2）、（﹣16，）；（3）过点B作BS⊥y轴于S，过点C作CT⊥y轴于T，连接OB，如图2，则有BS∥CT，∴△CTD∽△BSD，∴．∵，∴．∵A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10），∴C（﹣a，2a﹣10），CT=a，BS=b，∴=，即b=a．∵A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10）都在反比例函数的图象上，∴a（﹣2a+10）=b（﹣2b+10），∴a（﹣2a+10）=a（﹣2×a+10）．∵a≠0，∴﹣2a+10=（﹣2×a+10），解得：a=3．∴A（3，4），B（2，6），C（﹣3，﹣4）．设直线BC的解析式为y=px+q，则有，解得：，∴直线BC的解析式为y=2x+2．当x=0时，y=2，则点D（0，2），OD=2，∴S△COB=S△ODC+S△ODB=OD•CT+OD•BS=×2×3+×2×2=5．∵OA=OC，∴S△AOB=S△COB，∴S△ABC=2S△COB=10．【考点】待定系数法求一次函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数的应用，相似三角形的判定与性质【解析】【分析】（1）只需把点A的坐标代入反比例函数的解析式，就可求出反比例函数的解析式；解一次函数与反比例函数的解析式组成的方程组，就可得到点B的坐标；（2）△PAB是以AB为直角边的直角三角形，可分两种情况讨论：①若∠BAP=90°，过点A作AH⊥OE于H，设AP与x轴的交点为M，如图1，易得OE=5，OH=4，AH=2，HE=1．易证△AHM∽△EHA，根据相似三角形的性质可求出MH，从而得到点M的坐标，然后用待定系数法求出直线AP的解析式，再解直线AP 与反比例函数的解析式组成的方程组，就可得到点P的坐标；②若∠ABP=90°，同理即可得到点P的坐标；（3）过点B作BS⊥y轴于S，过点C作CT⊥y轴于T，连接OB，如图2，易证△CTD∽△BSD，根据相似三角形的性质可得．由A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10），可得C（﹣a，2a﹣10），CT=a，BS=b，即可得到=，即b=a．由A、B都在反比例函数的图象上可得a（﹣2a+10）=b（﹣2b+10），把b=a代入即可求出a的值，从而得到点A、B、C的坐标，运用待定系数法求出直线BC的解析式，从而得到点D的坐标及OD的值，然后运用割补法可求出S△COB，再由OA=OC可得S△ABC=2S△COB，问题得以解决．四、解答题13、【答案】①设A（x1，y1），B（x2，y2），则有x1y1=x2y2=1，∵S△ODB=×BD×OD=x2y2=，S△OCA=×OC×AC=x1y1=，故①正确；②由已知，得P（x1，y2），∵P点在的图象上，=OC×PD=x1y2=k，∴S矩形OCPD∴S=S矩形OCPD﹣S△ODB﹣S△OCA=k﹣﹣=k﹣1，故②正确；四边形PAOB③由已知得x1y2=k，即x1•=k，∴x1=kx2，根据题意，得PA=y2﹣y1=﹣=，PB=x1﹣x2，=（k﹣1）x2，故③错误；④当点A是PC的中点时，y2=2y1，代入x1y2=k中，得2x1y1=k，∴k=2，代入x1=kx2中，得x1=2x2，故④正确．故本题答案为：①②④．【考点】反比例函数的性质，三角形的面积，反比例函数图象上点的坐标特征【解析】【分析】本题考查了反比例函数性质的综合运用，涉及点的坐标转化，相等长度的表示方法，三角形、四边形面积的计算，充分运用双曲线上点的横坐标与纵坐标的积等于反比例系数k．设A（x1，y1），B（x2，y2），而A、B两点都在的图象上，故有x1y1=x2y2=1，而S△ODB=×BD×OD=x2y2=，S△OCA=×OC×AC=x1y1=，故①正确；由A、B两点坐标可知P（x1，y2），P点在的图象上，故S矩形OCPD=OC×PD=x1y2=k，根据S四边形PAOB=S﹣S△ODB﹣S△OCA，计算结果，故②正确；矩形OCPD由已知得x1y2=k，即x1•=k，即x1=kx2，由A、B、P三点坐标可知PA=y2﹣y1=﹣=，PB=x1﹣x2，=（k﹣1）x2，故③错误；当点A是PC的中点时，y2=2y1，代入x1y2=k中，得2x1y1=k，故k=2，代入x1=kx2中，得x1=2x2，可知④正确．。

八年级数学下册第一章第3课时等腰三角形的判定与反证法作业课件新版北师大版

EF∥AC交AB于点F，则( B )
• A．AF＝2BF • C．AF＞BF
B．AF＝BF D．AF＜ห้องสมุดไป่ตู้F
12．如图，下列4个三角形中，均有AB＝AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线不能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是____②__ .(填序号)
13．求证：角平分线和中线重合的三角形是等腰三角形．
∴BE＝AE＝2a， ∴S△ABE＝12AE·BE＝12·2a·2a＝2a2， S△BCE＝12CE·BE＝12·2a·2a＝2a2， S△BHG＝12HG·BE＝12·(a＋a)·2a＝2a2，综上所述，面积等于△ADE 面积的 2 倍的三角形有△ACD，△ABE，△BCE，△BHG.
于180°，这与三角形内角和定理相矛盾．
9．用反证法证明：如图，在△ABC中，∠BAC的外角平分线与BC的延长线交于点E.求证：AB≠AC.
证明：假设AB＝AC.
• ∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB. • ∵AE平分∠DAC， • ∴∠DAC＝2∠DAE＝2∠CAE， • ∵∠DAC＝∠B＋∠ACB，∴∠ACB＝∠CAE，∴AE∥BC.这与∠BAC的外角平分
• A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
3．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC 交AB于点M，交AC于点N，若BM＋CN＝9，则线段MN的长为( D )
• A．6 B．7 C．8 D．9
4．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D为BC的中点，AB＝5，BC＝6，则AD＝
助线的情况下，请直接写出图②中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于△ADE面积的2倍． •
解：(1)证明：∵∠BGE＝∠ADE，∠BGE＝∠CGF，

14.1.3 反证法(八年级数学)

存在某个x成立
课堂总结
概念
反证法
证明步骤
反证法证明的思路：假设命题不成立→正确的推理,得出矛盾→肯定待定命题的结论
7.准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的，下面是一些常见的关键词的否定形式.
原词语否定词
等于是
不等于不是
都是大于小于
不都是不大于不小于
对所有x成存在某个x
立
不成立
原词语
任意的至少有一个至多有一个至少有n个至多有n个
对任何x 不成立
否定词某个一个也没有至少有两个至多有（n-1)个至少有（n+1)个
6.已知：a是整数，2能整除a2. 求证：2能整除a.
证明：假设命题的结论不成立，即“2不能整除a”. 因为a是整数，故a是奇数. 不妨设a=2n+1(n是整数), ∴a2=(2n+1)2=4n2+4n+1=2(2n2+2n)+1, ∴a2是奇数，则2不能整除a2 ，这与已知矛盾. ∴假设不成立，故2能整除a.
小结：根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外，还可以与我们学过的基本事实、定理矛盾.
【例4】求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.
已知：△ABC. 求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
证明：假设 △ABC中没有一个内角小于或等于60° ，即∠A>60°,∠B>60°,∠C>60° ， ∴ ∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180°，这与三角形的内角和为180° 矛盾．假设不成立．
【例2】在△ABC中，AB≠AC,求证：∠B ≠ ∠ C.

数学北师大版选修2-2同步练习第一章§3反证法含解析

高手支招6体验成功基础巩固1.否定“自然数a、b、c恰有一个偶数”时正确反设为( )A.a、b、c都是奇数B.a、b、c都是偶数C.a、b、c中至少有两个偶数D.a、b、c中或都是奇数或至少有两个偶数答案：D思路分析：自然数a、b、c中奇数、偶数的可能情况有全为奇数,恰有一个偶数,恰有两个偶数,全为偶数.2.用反证法证明命题中,得出的矛盾可以是与下列哪些内容产生的( )①命题已知②数学定义③定理、公理④推理、演算的规律A.①B.①③C.②D.①②③④答案：D思路分析：①②③④全是矛盾可能产生的原因.3.用反证法证明命题“2+3是无理数”时,假设正确的是( )A.假设2是有理数Ｂ.假设3是有理数C.假设2或3是有理数D.假设2+3是有理数答案：D思路分析：根据反证法的基本步骤加以判断.4.已知a≠0,求证：关于x的方程ax=b有且只有一个根.答案：证明：假设方程ax=b(a≠0)至少存在一个实根不妨设其中的实根分别为x1,x2,且x1≠x2则ax1=b,ax2=b,ax1=ax2,ax1-ax2=0，∴a(x1-x2)=0.又∵x1≠x2,x1-x2≠0,所以a=0,这与已知a≠0矛盾,故假设不成立,原命题成立.思路分析：证明有且只有的问题,可考虑使用反证法加以证明.5.证明:1,3,2不能为同一等差数列的三项.答案：证明：假设1,3,2是某等差数列的三项,设这一等差数列的公差为d,则1=3-md,2=3+nd,(m,n为两正整数).由上面两式消去d得n+2m=(n+m) 3.因为n+2m为有理数,而(n+m)3为无理数,所以n+2m≠(n+m) 3.因此假设不成立.∴1,3,2不能为同一等差数列的三项.思路分析：通过分析可知,直接证比较困难,所以采用反证法.综合应用6.假设p、q都是奇数,求证:关于x的方程x2＋px＋q＝0无整数根.答案：证明:假设方程有整数根α,无论α是奇数还是偶数,都必有α2＋pα＋q为奇数,这与α2＋pα＋q＝0矛盾.故方程无整数根.思路分析：此题中含有否定词“无”,可考虑用反证法.7.如图所示,已知直线a与b不共面,直线c∩a=M,直线b∩c=N,又a∩平面α=A,b∩平面α=B,c∩平面α=C,求证:A 、B 、C 三点不共线.答案：证明:假设A 、B 、C 三点共线于直线l,∵A 、B 、C ∈α,∴l ⊂α.∵c∩l=C,∴c 与l 可确定一个平面β.∵c∩a=M,∴M ∈β,又A ∈l,∴a ⊂β,同理b ⊂β,∴直线a 与b 共面.这与已知矛盾.∴A 、B 、C 三点不共线.思路分析：此题属于否定形式的命题,所以应采用反证法，利用平面知识易证.8.已知函数f(x)=12+-+x x a x (a ＞1).证明方程f(x)=0没有负数根. 答案：证明:设存在x 0＜0(x 0≠-1)满足f(x 0)=0,则a x0=1200+--x x , ∵0＜a x0＜1,∴0＜1200+--x x ＜1, 即21＜x 0＜2,与假设x 0＜0矛盾,故方程f(x)=0没有负数根. 思路分析：应根据题目的特征和要求选择证明方法,本题用反证法入手较为容易,先假定存在x 0＜0(x 0≠-1)满足f(x 0)=0,然后推得结果与假设x 0＜0矛盾.9.若0＜x,y,z ＜2,求证:x(2-y),y(2-z),z(2-x)不可能都大于1.答案：证法一:假设x(2-y)＞1,且y(2-z)＞1,且z(2-x)＞1均成立.则三式相乘有xyz(2-x)(2-y)(2-z)＞1①由于0＜x ＜2,∴0＜x(2-x)=-x 2+2x=-(x-1)2+1≤1.同理:0＜y(2-y)≤1,且0＜z(2-z)≤1.∴三式相乘得:0＜xyz(2-x)(2-y)(2-z)≤1.②②与①矛盾,故假设不成立.∴x(2-y),y(2-z),z(2-x)不可能都大于1.证法二:假设x(2-y)＞1,且y(2-z)＞1,且z(2-x)＞1. ∴)2(y x -+)2(z y -+)2(x z -＞3.③ 而)2(y x -+)2(z y -+)2(x z -≤2)2(2)2(2)2(x z z y y x -++-++-+=3.④ ④与③矛盾,故假设不成立.∴原题设结论成立.思路分析：“不都大于1”即等价于“至少有1个小于或等于1”,由于涉及三个式子,它们出现的情况有很多类,此类问题常用的方法是考虑问题的反面,即“不都”的反面为“都”,可用反证法来处理.。

北师大版数学八下1.等腰三角形的判定与反证法课件

点作这两个角的公共边的平行线，如图，EF与BE，CF
三者有何数量关系？
A
分析：可证BE=DE,CF=DF
E
F
D
∴EF=DE-DF=BE-CF B
G C
Part 3 典例Part精1 析
新课探索
变式4 若过△ABC的两个外角平分线的交点作这两个
角的公共边的平行线，则EF与BE，CF三者有何数量
关系？
A
（2）EF,EB,FC 之间有什么关系？
分析：由（1）知，EO=EB,FO=FC
∴EF=EO+FO=EB+FC
E OF
B
C
Part 3 典例Part精1 析
新课探索
变式2 在△ABC中,∠ABC≠∠ACB，BO平分∠ABC ，CO平
分∠ACB,过O点作EF, 使EF∥BC
A
（1）此时有几个等腰三角形？
（2）BE＋CF=EF仍然成立吗？
（3）在上述条件下当AB=12，AC=8时，
你能求ΔAEF的周长吗？
分析：（1）2个：△BOE、△FOC
E
OF
（2）成立
B
C
（3） C△AEF =AE+BE+CF+AF=AC+AB=20
Part 3 典例Part精1 析
新课探索
变式3 若过△ABC的一个内角和一个外角平分线的交
E
D
（两直线平行，内错角相等） ∴∠ABD=∠EDB（等量代换）
B
C
∴BE=DE（等角对等边）
即△BDE是等腰三角形.
基本构图:角平分线+平行线构造等腰三角形.
新课探索
Part 3 典例Part精1 析

【数学八年级下】北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明等腰三角形的判定及反证法练习题

等腰三角形的判定及反证法等腰三角形的判定1、下列条件能判定△ABC为等腰三角形的是()A.∠A=30°,∠B=60°B.AB=5，AC=12，BC=13C.∠A=50°,∠B=80°D.∠A:∠B:∠C=3:4:52、如图，在△ABC中，∠A=36°，∠C=72°，∠ABC的平分线交AC于D，则图中共有等腰三角形（）A.0个B.1个C.2个D.3个4、在一次夏令营活动中，小明同学从营地5、如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC6、如图,△ABC 中,AD 平分∠BAC,EG∥AD，找出图中的等腰三角形，并给出证明。

7、如图,AD 平分∠BAC,AD⊥BD,垂足为点D,DE∥AC.求证：△BDE 是等腰三角形。

反证法8、用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”,应先假设这个三角形中()A.有一个内角小于60°B.每一个内角都小于60°C.有一个内角大于60°D.每一个内角都大于60°9、用反证法证明命题：“设实数a、b、c 满足1=++c b a ，则a、b、c 中至少有一个数不小于31”时，第一步应写：假设____。

10、用反证法证明：等腰三角形的底角是锐角。

练习1、如图所示的正方形网格中,网格线的交点称为格点。

已知A.B 是两格点,如果C 也是图中的格点,且使得△ABC 为等腰三角形,则点C 的个数是()A.6个B.7个C.8个D.9个2、如图,在△ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,BD与CE交于点O,给出下列四个条件：①∠EBO=∠DCO;②BE=CD;③OB=OC;④OE=OD.从上述四个条件中,选取两个条件,不能判定△ABC是等腰三角形的是()A.①②B.①③C.③④D.②③3、如图,在△ABC中,∠B与∠C的平分线交于点O,过点O作DE∥BC,分别交AB、AC于点D.E.若AB=5,AC=4,则△ADE的周长为()A.9B.5C.17D.204、如图,∠AOB=60°,C是BO延长线上的一点,OC=10cm,动点P从点C出发沿CB以2cm/s的速度移动,动点Q从点O发沿OA以1cm/s的速度移动,如果点P、Q同时出发,用t(s)表示移动的时间，当t=___时，△POQ 是等腰三角形。

数学北师大版选修2-2教材基础第一章§3反证法含答案

§3 反证法反证法是一种间接证明的方法,它是通过证明原命题的否定的真实性来确立原论题的真实性的证明方法,在应用反证法证明问题的过程中以找它的逆否命题然后推出矛盾为根本.本节内容就开始学习反证法.高手支招1细品教材1.间接证明间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法,不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的方法.反证法就是一种常用的间接证明方法.2.反证法(1)概念:假定命题结论的反面成立.在这个前提下,若推出的结果与定义、公理、定理矛盾,或与命题中的已知条件相矛盾,或与假定相矛盾,从而断定命题结论的反面不可能成立,由此断定命题的结论成立.这样的证明方法叫做反证法(有时也叫归谬法).(2)形式:由证明p⇒q转向证明:⌝q⇒r⇒…⇒t,t与假设或与某个真命题矛盾,⌝q为假,推出q为真.状元笔记反证法的证明过程可以概括为“否定——推理——否定”,即从否定结论开始,经过正确的推理,导致逻辑矛盾,从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程.用反证法证明命题“若p则q”的过程可以用框图表示为:3.反证法的证题步骤包括以下三个步骤:(1)作出否定结论的假设(反设)——假设命题的结论不成立,即假定原命题的反面为真;(2)逐步推理,导出矛盾(归谬)——从假设和已知条件出发,经过一系列正确的逻辑推理,得出矛盾结果;(3)否定假设,肯定结论(存真)——由矛盾结果,断定假设不真,从而肯定原结论成立.【示例】p＞0,q＞0,p3＋q3＝2.试用反证法证明:p＋q≤2.思路分析：此题直接由条件推证p＋q≤2是较困难的,由此用反证法证之.证明：假设p＋q＞2,∵p＞0,q＞0,∴(p＋q)3＝p3＋3p2q＋3pq2＋q3＞8.又∵p3＋q3＝2,代入上式得:3pq(p＋q)＞6,即pq(p＋q)＞2.①又由p3＋q3＝2,得(p＋q)(p2-pq＋q2)＝2.②由①②得pq(p＋q)＞(p＋q)(p2-pq＋q2),∵p＋q＞0.∴pq＞p2-pq＋q2⇒p2-2pq＋q2＜0⇒(p-q)2＜0.但这与(p-q)2≥0相矛盾.∴假设p＋q＞2不成立.故p＋q≤2.状元笔记归谬矛盾的几种情况:(1)与已知条件矛盾;(2)与已有公理、定理、定义矛盾;(3)自相矛盾;(4)与客观事实矛盾.4.反证法的适用情况(1)结论以否定形式出现;(2)结论以“至多……”“至少……”形式出现;(3)唯一性、存在性问题;(4)结论的反面是比原结论更具体，更容易研究的命题.高手支招2基础整理本节的内容主要讲述了反证法的概念、形式及其证明步骤.反证法作为间接证明的一种重要形式,为证明题的解决开辟了一条重要途径,提供了便利.本节的知识结构如下:。

八年级数学上册14.1勾股定理14.1.3反证法习题课件

第14章勾股定理 14.1 勾股定理
14.1.3 反证法
1. 不易用直接证法证明的简单问题，要用反证法．
2. 反证法的证明步骤是：先假设结论的反面是正确的；然后通过演绎条件相矛盾，从而说明假设不成立，进而得出原结论正确．
◎知识点反证法
1. 下列说法正确的是( C ) A．“垂直”的反面是“斜交” B．“成正比例”的反面是“成反比例” C．“不等”的反面是“相等” D．“点 O 在△ ABC 内”的反面是“点 O 在△ ABC 外”
2. 在用反证法证明时，推得与“三角形的外角和等
于 360°”相矛盾，这与下边哪一个相矛盾( D )
A．两点确定一条直线 B．过一点与已知直线垂直的直线只有一条 C．过直线外一点与已知直线平行的直线只有一条 D．定义
4. 用反证法证明“平行于同一直线的两条直线平行”的第一步是假设“平行于同一条直线的两条直线不平行” ．
5. 用反证法证明(填空)：两条直线被第三条直线所截．如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．已知：如图，直线 l1，l2 被 l3 所截，∠1＋∠2＝180°. 求证：l1∥l2.
1. “a≤b”的反面是( B )
A．a≠b
B．a＞b
C．a＝b
D．a＝b 或 a＞b
2. 用反证法证明，在直线 a，b，c 中，若 a∥b，c
与 a 相交，则 c 与 b 也相交，第一步应假设( C )
A．c 与 a 平行
B．c 与 b 相交
C．c 与 b 不相交 D．以上都不对
3. 命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”，用反证法证明时，若先假设这两条直线不平行，则它们必相交，最终推出与下面选项相矛盾的是( B )

北师大版数学八年级下册第一章三角形的证明 1.3 等腰三角形的判定与反证法同步练习含答案

第一章三角形的证明 1.3 等腰三角形的判定与反证法1．如图所示，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3 cm，则CD等于( )A．3cm B．4cm C．1.5cm D．2cm2．“a＜b”的反面应是( )A．a＞b但a≠b B．a＞b C．a＝b D．a＝b或a＞b3．如图，AC、BD相交于点O，∠A＝∠D，如果请你再补充一个条件，使得△BOC 是等腰三角形，那么你补充的条件不能是( )A．OA＝OD B．AB＝CD C．∠ABO＝∠DCO D．∠ABC＝∠DCB4. 下列能判定△ABC为等腰三角形的是( )A．∠A＝30°，∠B＝60°B．∠A＝50°，∠B＝80°C．AB＝AC＝2，BC＝4 D．AB＝3，BC＝7，周长为10 5．如图，在一张长方形纸条上任意画一条截线AB，将纸条沿截线AB折叠，所得△ABC的形状一定是( )A．等边三角形 B．等腰三角形 C．全等三角形 D．直角三角形6．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，若添加下列条件中的一个：①BD＝CD；②AD平分∠BAC；③AD＝BD.其中能使△ABC成为等腰三角形的有( )A．①② B．②③ C．①③ D．①②③7. 如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM＋CN＝9，则线段MN的长为( )A．6 B．7 C．8 D．98. 如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N 处与灯塔P的距离为( )A．40海里 B．60海里 C．70海里 D．80海里9．如图所示，点D是△ABC的边AC上一点(不含端点)，AD＝BD，则下列结论正确的是( )A．AC＞BC B．AC＝BC C．∠A＞∠ABC D．∠A＝∠ABC10．如图，BD是△ABC的角平分线，∠ABD＝36°，∠C＝72°，则图中的等腰三角形有( )A．2个 B．3个 C．4个 D．5个11．如图，在一张长方形纸条上任意画一条截线AB，将纸条沿截线AB折叠，所得△ABC的形状一定是．12．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，若添加下列条件中的一个：①BD＝CD；②AD 平分∠BAC；③AD＝BD.其中能使△ABC成为等腰三角形的有 .13. 在△ABC中，已知∠B＝∠C，则AB＝14. 如图，在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，点D在AC上，BC＝BD，DE∥BC交AB于点E，则图中有等腰三角形个．15. 用反证法证明命题“对顶角相等”第一步假设．16. 用反证法证明：如果AB∥CD，AB∥EF，那么CD∥EF，证明的第一步是假定CD (平行；不平行)于EF17. 如图，在△ABC中，∠B≠∠C，求证：AB≠AC，当用反证法证明时，第一步应假设AB＝18. 如图，△ABC中，AB＝AC，并且BD是AC边上的高，CE是AB边上的高，它们相交于点O，则图中除△ABC外一定是等腰三角形的是19. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2,3)，在坐标轴上找一点P，使得△AOP是等腰三角形，则这样的点P共有个．20. 如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N.若BM＋CN＝9，则线段MN的长为 .12．已知△ABC中，AB＝AC，求证∠B＜90°.下面写出了用反证法证明过程中的四个步骤：①所以∠B＋∠C＋∠A＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾；②所以∠B＜90°；③假设∠B≥90°；④那么由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B＋∠C≥180°.这四个步骤正确的顺序应是 (填序号)．21. 某城市几条道路的位置关系如图所示，已知AB∥CD，AE与AB的夹角为48°，若CF与EF的长度相等，则∠C的度数为( )22. 已知：如图，直线a、b被c所截，∠1、∠2是同位角，且∠1≠∠2.求证：a与b不平行．证明：假设，则，这与相矛盾，所以不成立，所以a与b不平行．23. 如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC.求证：△BDE是等腰三角形．24. 在△ABC中，AB＝AC，点E、F分别在AB、AC上，AE＝AF，BF与CE相交于点P.求证：PB＝PC，并直接写出图中其他相等的线段．25. 如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC.求证∶△BDE是等腰三角形．26. 求证：角平分线和中线重合的三角形是等腰三角形．已知：在△ABC中，BD＝CD，AD平分∠BAC.求证：AB＝AC.27. 如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，D是AB边上一点，E是AC延长线上一点，且BD＝CE，DE交BC于F.求证：DF＝EF.28. 用反证法证明：等腰三角形的底角必是锐角．已知：△ABC中，AB＝AC，求证：△ABC的底角为锐角．29. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在AB、AC上，BD＝CE，BE、CD 相交于点O.求证：(1)△DBC≌△ECB；(2)OB＝OC.30. 如图，在等边三角形ABC中，BD平分∠ABC，延长BC到E，使CE＝CD，连接DE.(1)成逸同学说：BD＝DE，她说得对吗？请你说明道理；(2)小敏说：把“BD平分∠ABC”改成其他条件，也能得到同样的结论，你认为应该如何改呢？31. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动(D 不与B，C重合)，连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E.(1)当∠BDA＝115°时，∠EDC＝，∠DEC＝；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变 (填“大”或“小”)；(2)当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；(3)在点D的运动过程中，△ADE可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．答案;1---10 ADCDB ADDAB11. 等腰三角形12. ①②13. AC14. 515. 对顶角不相等16. 不平行17. AC18. △OBC19. 820. ③④①②21. 24°22. a∥b ∠1＝∠2 ∠1≠∠2 a∥b23. 证明：∵DE∥AC，∴∠DAC＝∠EDA.∵AD平分∠BAC，∴∠DAC＝∠EAD.∴∠EAD＝∠EDA.∵AD⊥BD，∴∠EAD＋∠B＝90°，∠EDA＋∠BDE＝90°.∴∠B＝∠BDE.∴△BDE是等腰三角形．24. 证明：∵AE＝AF，AB＝AC，∠EAC＝∠FAB，∴△AFB≌△AEC，∴∠ABF＝∠ACE，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠PBC＝∠PCB，∴PB＝PC，其余相等的线段有：BF＝CE，PE＝PF，BE＝CF.25. 证明：∵DE∥AC，∴∠DAC＝∠ADE，∵AD平分∠BAC，∴∠DAC＝∠DAE，∴∠DAE＝∠ADE.∵AD⊥BD，∴∠DAE＋∠B＝90°，∠ADE＋∠BDE＝90°，∴∠B＝∠BDE，∴△BDE 是等腰三角形．26. 证明：延长AD 到点E ，使DE ＝AD ，连接BE ，∵AD 是中线，∴BD＝CD.在△ADC 和△EDB 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝ED ∠BDE＝∠CDABD ＝CD，∴△ADC≌△EDB(SAS)．∴BE ＝AC ，∠BED ＝∠CAD.∵AD 是角平分线，∴∠CAD ＝∠BAD.∴∠BED ＝∠BAD ，∴AB ＝BE ，∴AB ＝AC.∴△ABC 是等腰三角形．27. 证明：过点D 作DG∥AC 交BC 于G ，∴∠DGB＝∠ACB，∠DGF＝∠ECF， ∵AB＝AC ，∴∠B＝∠ACB，∴∠DGB＝∠B，∴DG＝BD ＝CE.在△DFG 与△EFC 中，∠DGF＝∠ECF，∠DFG＝∠EFC，DG ＝EC ，∴△DFG≌△EFC，∴DF＝EF. 28. 证明：假设△ABC 的底角不为锐角，则底角为钝角或直角，∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C≥90°，∴∠B ＋∠C≥180°，∴∠A ＋∠B ＋∠C ＞180°，这与三角形内角和等于180°相矛盾，∴等腰三角形的底角必是锐角． 29. 证明：(1)∵AB＝AC ，∴∠ECB＝∠DBC.在△DBC 与△ECB 中，⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝CE ∠DBC＝∠ECB BC ＝CB，∴△DBC≌△ECB；(2)由(1)知△DBC≌△ECB，∴∠DCB＝∠EBC，∴OB＝OC.30. 解：(1)BD ＝DE 是正确的．理由：∵△ABC 为等边三角形，BD 平分∠ABC ，∴∠DBC ＝12∠ABC ＝30°，∠ACB ＝60°.∴∠DCE ＝180°－∠ACB ＝120°.又∵CE ＝CD ，∴∠E ＝30°.∴∠DBC ＝∠E.∴BD ＝DE.(2)可改为：BD ⊥AC.理由：∵BD ⊥AC ，∴∠BDC ＝90°.∴∠DBC ＝30°.由(1)可知∠E ＝30°，∴∠DBC ＝∠E.∴BD ＝DE. 31. 解：(1)25°；115°；小；(2)当DC ＝2时，△ABD ≌△DCE.理由：∵∠C ＝40°，∴∠DEC ＋∠EDC ＝140°.word版初中数学又∵∠ADE＝40°，∴∠ADB＋∠EDC＝140°.∴∠ADB＝∠DEC.又∵AB＝DC＝2，∴△ABD≌△DCE(AAS)；(3)可以，∠BDA的度数为110°或80°.理由：当∠BDA＝110°时，∠ADC＝70°.∵∠C＝40°，∴∠DAC＝180°－∠ADC－∠C＝180°－70°－40°＝70°.∴∠AED＝180°－∠DAC－∠ADE＝180°－70°－40°＝70°.∴∠AED＝∠DAE.∴AD＝ED.∴△ADE是等腰三角形．当∠BDA＝80°时，∠ADC＝100°.∴∠DAC＝180°－∠ADC－∠C＝180°－100°－40°＝40°.∴∠DAE＝∠ADE.∴AE＝DE.∴△ADE是等腰三角形．11 / 11。

北师大版数学八年级下册第一章第3课时等腰三角形的判定与反证法优秀课件

由题得AB=15×2=30（海里）
N B 72° 36° C
∵ ∠A= ∠C
∴ BC=AB=30 （海里）
36°
A
2、如图， △ABC中， ∠A=36°，AB=AC, BD平分 ∠ABC, DE∥BC, EF平分∠AED，问在这个图形中，有那几个等腰三角形？请分别写出来.
A
△ABC、 △BCD 、△EBD、 △EDF 、△FAE 、△ADE、 △ABD
的形式．而已知中的角平分线和平行线告诉我们图形中有等腰三角形
M
D
出现，因此，找到问题的突破口． B
N C
4、已知五个正数的和等于1，用反证法证明：这五个数中至少有一个大于或等于1/5.
证明: 设这五个正数为a1、a2、a3、a4、a5 假设这五个数中没有一个大于或等于1/5,即都小于1/5, 那么这五个数的和a1+a2+a3+a4+a5就小于1. 这与已知这五个数的和a1+a2+a3+a4+a5=1相矛盾. 因此, 假设不成立，即这五个数中至少有一个大于或等于 1/5成立.
36°
F
E 36°72°D
73263°°6°
B
72°
C
想一想
小明说, 在一个三角形中，如果两个角不相等, 那么这两个角所对的边也不相等.
即在△ABC中, 如果∠B≠∠C, 那么AB≠AC.
A
B
C
你认为这个结论成立吗? 如果成立, 你能证明它吗?
小明是这样想的:
如图, 在△ABC中, 已知∠B≠∠C, 此时, AB与AC要
B
C
在△ABD和 △ACD中
D
∵∠B＝∠C. ∠ADB＝∠ADC.AD=AD

北师大版八年级数学(下) 第一章三角形的证明第3节等腰三角形的判定与反证法

北师大版八年级数学（下）第一章三角形的证明第3课时等腰三角形的判定与反证法例1：在三角形中已知两个内角，能判定这个三角形是等腰三角形的是（）A．30°、60°B．40°、70°C．50°、60°D．100°、30°解：A、∵三角形中已知两个内角为30°、60°，∴第三个内角为180°﹣30°﹣60°＝90°，∴这个三角形是直角三角形，不是等腰三角形，故选项A不符合题意；B、∵三角形中已知两个内角为40°、70°，∴第三个内角为180°﹣40°﹣70°＝70°，∴这个三角形由两个内角相等，∴这个三角形是等腰三角形，故选项B符合题意；C、∵三角形中已知两个内角为50°、60°，∴第三个内角为180°﹣50°﹣60°＝70°，∴这个三角形不是等腰三角形，故选项C不符合题意；D、∵三角形中已知两个内角为100°、30°，∴第三个内角为180°﹣100°﹣30°＝50°，∴不是等腰三角形，故选项D不符合题意；故选：B．练习：下列给出的5个图中，能判定△ABC是等腰三角形的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个解：图①中，∵∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣70°﹣66°＝44°，∴∠A≠∠B≠∠C，∴△ABC不是等腰三角形；图②中，∵∠B+∠C＝140°，∠B＝70°，∴∠C＝140°﹣70°＝70°，∴∠B＝∠C，∴△ABC是等腰三角形；图③中，∵AD∥BC，∴∠C＝∠CAD＝50°，∵∠B＝50°，∴∠B＝∠C，∴△ABC是等腰三角形；图④中，∵AD∥BC，∴∠BCA＝∠CAD＝30°，∠BAD＝180°﹣∠B＝180°﹣120°＝60°，∴∠BAC＝60°﹣30°＝30°，∴∠BAC＝∠BCA，∴△ABC是等腰三角形；图⑤中，∵AB∥DE，∴∠A＝∠D＝30°，∵∠BCD＝∠A+∠B＝60°，∴∠B＝60°﹣∠A＝30°，∴∠B＝∠A，∴△ABC是等腰三角形；能判定△ABC是等腰三角形的有4个，故选：C．作业：1．下面叙述不可能是等腰三角形的是（）A．有两个内角分别为75°，75°的三角形B．有两个内角分别为110°和40°的三角形C．有一个外角为100°，一个内角为50°的三角形D．有一个外角为140°，一个内角为100°的三角形解：A、有两个内角分别为75°，75°的三角形，另一内角为30°，可以构成等腰三角形；B、有两个内角分别为110°和40°的三角形，另一内角为30°，不能构成等腰三角形，C、有一个外角为100°，一个内角为50°的三角形，与外角相邻的内角是80°，第三个角是50°，可以构成等腰三角形；D、有一个外角为140°，一个内角为100°的三角形，与外角相邻的内角是40°，另外一个内角是40°，可以构成等腰三角形．故选：B．例2：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，BD＝AD＝AE，则图中等腰三角形的个数为（）A．3个B．4个C．5个D．6个解：∵AB＝AC，∠BAC＝108°，∴△ABC是等腰三角形，∠B＝∠C＝（180°﹣108°）＝36°，∵BD＝AD＝AE，∴△ABD、△ADE是等腰三角形，∠DAB＝∠B＝36°，∠AED ＝∠ADE＝∠B+∠DAB＝72°，∴∠EAC＝∠AED﹣∠C＝72°﹣36°＝36°，∴∠EAC＝∠C，∴△ACE是等腰三角形，AE＝CE，∵∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED ＝180°﹣72°﹣72°＝36°，∴∠BAE＝∠DAB+∠DAE＝72°，∴∠BAE＝∠AED，∴△BAE是等腰三角形，BA＝BE，同理：△CAD是等腰三角形，则图中等腰三角形的个数为6个，故选：D．练习：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，CE 交BD于点O，那么图中的等腰三角形个数（）A．4B．6C．7D．8解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝＝72°，∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠ABD＝∠CBD＝∠ACE＝∠BCE＝∠A＝36°，∴AE＝CE，AD＝BD，BO＝CO，∴△ABC，△ABD，△ACE，△BOC是等腰三角形，∵∠BEC＝180°﹣∠ABC﹣∠BCE＝72°，∠CDB＝180°﹣∠BCD﹣∠CBD＝72°，∠EOB＝∠DOC＝∠CBD+∠BCE＝72°，∴∠BEO＝∠BOE＝∠ABC＝∠ACB＝∠CDO＝∠COD＝72°，∴BE＝BO，CO＝CD，BC＝BD＝CE，∴△BEO，△CDO，△BCD，△CBE是等腰三角形．∴图中的等腰三角形有8个．故选：D．作业：2．如图，AD＝BC，AB＝AC＝BD，∠C＝72°，则图中一共有（）个等腰三角形．A．3B．4C．5D．6解：∵AB＝AC＝BD，∴△ABD与△BAC是等腰三角形，在△ABD与△BAC中，，∴△ABD≌△BAC（SSS），∴∠D＝∠C＝72°，∴∠BAD＝∠D＝∠C＝∠ABC＝72°，∴∠∠ABD＝∠BAC＝36°，∴∠DAE＝∠CBE＝32°，∴∠AED＝∠BEC＝72°，∴∠D＝∠AED＝∠C＝∠BE，∴△ADE和△BCE是等腰三角形，∵∠AED＝∠BEC，∴△ADE≌△BCE（AAS），∴AE＝BE，∴△ABE是等腰三角形，故选：C．例3：已知：如图△ABC中，∠B＝50°，∠C＝90°，在射线BA上找一点D，使△ACD 为等腰三角形，则∠ACD的度数为．解：如图，有三种情形：①当AC＝AD时，∠ACD＝70°．②当CD′＝AD′时，∠ACD′＝40°．③当AC＝AD″时，∠ACD″＝20°，故答案为70°或40°或20°练习: 若△ABC的边AB＝8cm，周长为18cm，当边BC＝8cm或5cm或2cm时，△ABC为等腰三角形．解：∵△ABC的边AB＝8cm，周长为18cm，∴BC+AC＝10cm．①当AB＝BC＝8cm时，AC＝2cm，能构成三角形，符合题意．②当BC＝AC＝5cm时，能构成三角形，符合题意．③当AB＝AC＝8cm时，BC＝2cm，能构成三角形，符合题意．综上所述，BC的长度是8cm或5cm或2cm时，△ABC为等腰三角形．故答案是：8cm或5cm或2．作业：3．在△ABC中，与∠A相邻的外角是130°，要使△ABC为等腰三角形，则∠B的度数是（）A．50°B．65°C．50°或65°D．50°或65°或80°解：∠A＝180°﹣130°＝50°．当AB＝AC时，∠B＝∠C＝（180°﹣50°）＝65°；当BC＝BA时，∠A＝∠C＝50°，则∠B＝180°﹣50°﹣50°＝80°；当CA＝CB时，∠A＝∠B＝50°．∠B的度数为50°或65°或80°，故选：D．例4：如图，点D，E在△ABC的边BC上，BD＝AD＝DE＝AE＝CE．（1）求∠DAE的度数；（2）求证：△ABC是等腰三角形．解：（1）解：∵AD＝DE＝AE，∴△ADE是等边三角形，∴∠DAE＝60°；（2）证明：∵△ADE是等边三角形∴∠ADE＝∠AED＝60°，∵BD＝AD，∴∠B＝∠BAD，∵∠ADE＝∠B+∠BAD∴∠B＝30°，同理∠C＝30°，∴∠B＝∠C，∴△ABC是等腰三角形．练习：在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB 交AE的延长线于F．（1）若∠BAC＝120°，求∠BAD的度数．（2）求证：△ADF是等腰三角形．解：（1）解：∵△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∵∠BAC＝120°，∴∠BAD＝60°；（2）证明：∵△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，∴AD⊥BC即∠ADB＝90°，∵AE是∠BAD的角平分线，∴∠DAE＝∠EAB＝30°，∵DF∥AB，∴∠F＝∠BAE＝30°，∴∠DAF＝∠F＝30°，∴AD＝DF，∴△ADF是等腰三角形．作业：4.如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，∠B＝40°，边AB的垂直平分线与边AB交于点E，与边BC交于点D．（1）求∠ADC的度数；（2）求证：△ACD为等腰三角形．解：（1）∵DE垂直平分AB，∴DB＝DA，∴∠B＝∠DAB，∵∠B＝40°，∴∠B＝∠DAB＝40°，∴∠ADC＝∠B+∠DAB＝80°；（2）∵∠DAC＝∠BAC﹣∠DAB＝120°﹣40°＝80°＝∠ADC，∴CA＝CD，∴△ACD为等腰三角形．例5：证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60度．证明：假设在一个三角形中没有一个角小于或等于60°，即都大于60°；那么，这个三角形的三个内角之和就会大于180°；这与定理“三角形的三个内角之和等于180°”相矛盾，原命题正确．练习：求证：在同一平面内,如果一条直线和两条平行直线中的一条相交,那么和另一条也相交.已知:直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1∥l2,l3与l1相交于点P.求证:l3与l2相交.作业：5.用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.已知：△ABC．求证：∠A,∠B,∠C中不能有两个角是直角．证明：假设∠A,∠B,∠C中有两个角是直角，不妨设∠A=∠B=90°，则∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°．这与三角形内角和定理矛盾，∠A=∠B=90°不成立．所以一个三角形中不能有两个角是直角．。

初二反证法练习题

初二反证法练习题反证法是一种证明方法，通过否定所要证明的结论，推导出矛盾的结果，从而得出结论的方法。

初中数学中，反证法被广泛应用于各种问题的解决中，能够培养学生的逻辑思维和推理能力。

下面，我将为大家提供一些初二反证法练习题，帮助大家更好地理解和掌握这一方法。

1. 问题描述：证明：不存在一个整数 x，满足方程 x² = -1。

解答思路：假设存在一个整数 x，满足方程 x² = -1。

根据平方根的定义，x²的平方根是一个数 y，满足 y² = x²。

此时，我们来考虑平方根 y 的取值：- 如果 y 是一个正整数，那么 x² = y²一定是一个正整数，与方程 x²= -1 矛盾。

- 如果 y 是一个负整数，那么 x² = y²一定是一个正整数，同样与方程 x² = -1 矛盾。

- 如果 y 是一个分数，那么 x² = y²一定是一个正数，但不是一个整数，也与方程 x² = -1 矛盾。

因此，无论 y 取什么值，都无法满足方程 x² = -1，所以不存在一个整数 x，满足该方程。

2. 问题描述：证明：根号2 是一个无理数。

解答思路：假设根号2 是一个有理数，即可以表示为两个整数的比值，即根号2 = m/n（其中 m 和 n 为互质的整数，n ≠ 0）。

根据根号2 的定义，我们将其平方，得到 2 = (m/n)²，即 2n² = m²。

从上式可以看出，m²是一个偶数，因为 2n²是 2 的倍数。

那么，m 也必定是一个偶数，设 m = 2k（其中 k 为整数）。

将该式代入原式，得到 2n² = (2k)²，即 2n² = 4k²，再进一步化简得n² = 2k²。

北师大版八年级下学期数学第一章三角形的证明同步练习题

新北师大版八年级下学期《第一章三角形的证明》同步测试题一、选择题1、用反证法证明“若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设【】A、a不垂直于cB、a，b都不垂直于cC、a⊥bD、a与b相交2、有下列四个命题：①等腰三角形两腰上的中线相等，②等腰三角形两腰上的高相等，③等腰三角形两底角的平分线相等，④等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等. 正确的命题的个数有【】 A、1个B、2个C、3个D、4个3、如图，△A BC中，∠B=∠BAD，∠ADC=∠C，BD=5，DC=m，则AC是【】A、4B、m-5C、5D、m+54、下列图形中，两个三角形一定全等的是【】A、含80°角的两个锐角三角形 B、边长为20cm的两个等边三角形 C、腰长对应相等的两个等腰三角形 D、有一个钝角对应相等的两个等腰三角形5、在证明“在△ABC中至多有一个直角或钝角”时，第一步应假设【】A、三角形中至少有一个直角或钝角B、三角形中至少有两个直角或钝角C、三角形中没有直角或钝角D、三角形中三个角都是直角或钝角6、下列命题中正确的个数是【】①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两底角相等；③等腰三角形底边上的中线与底边上的高重合；④只有两条边相等的等腰三角形是轴对称图形，对称轴有1条.A、1个B、2个 C、3个 D、4个7、等腰三角形的一个外角是120°，一边长为acm，那么它的周长是【】A、3acmB、2acmC、acmD、无法确定8、如图，在∠AOB的两边上截取AO=BO,CO=DO，连接AD,BC交于点P，则下列结论正确的是：(1)△AOD≌△BOC；(2)△APC≌△BPD；(3)点P在∠AOB的平分线上【】A、只有(1) B、只有(2)C、只有(1)(2)D、(1)(2)(3)9、如图，∠AOB和一条定长线段a，在∠AOB内找一点P，使P到OA，OB的距离都等于a，作法如下：(1)作OB的垂线NH，使NH=a，H为垂足.(2)过N作NM∥OB.(3)作∠AOB的平分线OP，与NM交于P.(4)点P即为所求.其中(3)的依据是【】A、平行线之间的距离处处相等 B、到角的两边距离相等的点在角的平分线上 C、角的平分线上的点到角的两边的距离相等 D、到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上10、△ABC中，若，则此三角形为【】三角形. A、等腰B、直角C、等腰直角 D、等边11、如图，已知△ABC是等边三角形，点O是BC上任意一点，OE、OF分别与两边垂直，等边三角形的高为1，则OE+OF的值为【】 A、B、1 C、2 D、不确定12、已知等边三角形的面积是，则它的高是【】A、cmB、cmC、cmD、cm13、Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点．下列结论：①BE+CF=BC；②；③=AD·EF；④AD≥EF；⑤AD与EF可能互相平分，其中正确结论的个数是【】A、1个B、2个C、3个D、4个14、如图所示，AD平分∠BAC，AD=BD，AC=AB，则【】A、AC⊥CDB、AC=2CDC、AC=BDD、BD=2CD15、如图，等边三角形ABC的边长为3，N为AC的三等分点，三角形边上的动点M从点A出发，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止.设点M运动的路程为x，，则y关于x的函数图象大致为【】A、B、C、D、二、填空题16、等边三角形的每个内角都等于______________________.17、如图，已知∠A=∠D=90°，若要依据“HL”证明△ABC≌△DCB，应添加条件_________ ___________ _____；若要依据“AAS”证明△ABC≌△DCB，应添加的条件是_________________________________.18、等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是__________________.19、如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=40°，则∠A=____________.20、如图，在△ABC中，AB=AC，D、E、F分别为边BC、AB、AC上的点，且BE=CD，CF=BD.若∠A=40°，则∠EDF=______°.21、在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°，则∠B 等于_______________度．22、△ABC中，AB=AC，若BC=CD=DE=EF=FA，则∠A=______°．23、如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB，且2AE=AB+AD，∠ADC=146°，则∠BCE=___________°.三、解答题24、(1)小丽同学说“每一个定理不一定都有逆定理，因为逆命题不一定正确.”你认为她的说法正确吗？如果不正确，应如何改正？25、写出命题“平行于同一条直线的两条直线互相平行”的逆命题，并判定这对互逆命题的真假.26、如下图所示，在△ABC中，∠ACB=120°，CD平分∠ACB，AE∥DC，交BC的延长线于点E，试说明△ACE是等边三角形.27、如图，△ABC中，∠A=60°，高BD、CE交于M，MD=5，ME=7. 求BD、CE的长.28、如图，△ABC中，AB=AC，∠A=100°，BD平分∠ABC交AC于D.求证：AD+BD=BC.四、证明题29、求证：在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等．30、如图所示，AB=AC，DB=DC，AD的延长线交BC于点E.求证：BE=EC.31、写出下列命题的已知、求证，并完成证明过程．命题：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简称：“等角对等边”)．已知：如图，____________________________________．求证：______________________________________________________．证明：32、如图所示，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.求证：∠B=∠C.33、如图，△ABC中，从点C向∠BAC的平分线引垂线，垂足为点E，设AE交BC于点D，且AB=AD.求证：.五、应用题34、如图是某市部分街道示意图，AB=BC=AC，CD=CE=DE，A、B、C、D、E、F、G、H为“公共汽车”停靠点，“公共汽车甲”从A站出发，按照A、H、G、D、E、C、F的顺序到达F站，“公共汽车乙”从B站出发，沿F、H、E、D、C、G的顺序到达G站.如果甲、乙分别从A、B 站同时出发，在各站耽误的时间忽略不计，两车的速度一样，试问哪一辆汽车先到达指定站？为什么？35、有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m，8m.现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长.参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 D D C B B D A D B C B C C A B题号16 17 18 19 20 21 22 23答案60AB=DC或AC=DB；∠ABC=∠DCB或∠ACB=∠DBC顶角平分线所在直线100°7070或2020 5624)、解：她的说法正确，理由如下：命题有真假命题之分，而定理是经过证明后得出的正确的命题，命题正确时逆命题不一定正确，即定理的逆命题不一定是真命题，所以虽然每个命题都有逆命题，但每个定理不一定存在逆定理，只有当原定理的逆命题是真命题时，原定理的逆命题才能称为逆定理.25)、【解答】1、逆命题：“如果两条直线互相平行，那么这两条直线都与第三条直线平行”，该命题是假命题；而原命题是真命题.26)、【解答】1、因为CD平分∠ACB，∠ACB=120°，所以∠ACE=180°-∠ACB=60°，且.因为AE∥DC，所以∠ACD=∠CAE，∠BCD=∠E.所以∠CAE=∠E=∠ACE=60°.所以△ACE是等边三角形.27)、【解答】解：∵BD⊥AC，∴∠ADB=90°.又∵∠A=60°，∴∠ABD=90°-60°=30°，同理可得∠ACE=30°，在Rt△BEM中，∠EBM=30°，∠BEM=90°，∴BM=2ME.∵ME=7，∴BM=14.同理由MD=5，得CM=2MD=10，∴BD=BM+MD=19，CE=CM+EM=10+7=17. CE取点F，使DE=DF.∵AB=AC，∠A=100°，∴∠ABC=∠C==40°.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBE=20°.∵在△ABD和△EBD中，AB=EB，∠ABD=∠DBE，BD=BD，∴△ABD≌△EBD，∴∠BED=∠A=100°，∴∠DEF=180°-100°=80°.∵DE=DF，∴∠DFE=∠DEF=80°，∴∠BDF=180°-80°-20°=80°，∴BD=BF，∠DFC=180°-80°=100°，∴∠FDC=180°-100°-40°=40°，∴DF=FC，∴DF=FC=DE=AD，∴BC=BF+FC=BD+AD.29)、【解答】1、证明：假设在一个三角形中，这两个不等的角所对的边相等，根据等边对等角，它们所对的两个角也相等，这与已知条件相矛盾，说明假设不成立，所以在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等．30)、【解答】1、证明：因为AB=AC，BD=DC，AD=AD，所以∠BAE=∠CAE.又因为AB=AC，所以BE=EC.31)、【解答】解：在△ABC中，∠B=∠C，求证：AB=AC.证明：过点A作AD⊥BC于D，∴∠ADB=∠ADC=90°，在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD(AAS)，∴AB=AC．32)、【解答】1、∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF.又∵BD=CD，∠DEB=∠DFC=90°，∴(Rt)△DEB≌(Rt)△DFC(HL).∴∠B=∠C.33)、【解答】1、分别延长AB，CE交于点F.∵AE平分∠FAC，∴∠FAE=∠CAE.∵∠FAE=∠CAE，∠AEF=∠AEC=90°，AE=AE，∴△AEF≌△AEC(AS A)，∴AF=AC，EF=EC.又过点E作EG∥AF，交BC于点G，∴，∠ABD=∠DGE.∵AB=AD，∠ABD=∠ADB=∠GDE=∠DGE，∴DE=EG，∴AE=AD+DE=AB+EG====. 所以△ABC与△ECD均为等边三角形，且∠ACE=60°.在△ACD和△BCE中，AC=BC，∠ACD=∠BCE=120°，CD=CE，所以△ACD≌△BCE(SAS).所以AD=BE，∠1=∠2.在△BCF和△ACG中，∠1=∠2，BC=AC，∠BCF=∠ACG=60°，所以△BCF≌△ACG(ASA).所以CF=CG.又因为DE+EC=ED+CD，所以AD+DE+EC+CF=BE+ED+CD+CG.即甲、乙两车同时到达指定站.35)、【解答】1、解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，由勾股定理有AB=10.扩充部分为Rt△ACD，扩充成等腰△ABD，应分以下三种情况：①如图1，当AB=AD=10时，可求CD=CB =6.得△ABD的周长为32m.②如图2，当AB=BD=10时，可求CD=4.由勾股定理，得.得△ABD的周长为m.如图③，当AB为底时，设AD=BD=x，则CD=x-6，由勾股定理，得.得△ABD 的周长为m.====Word行业资料分享--可编辑版本--双击可删====。

初二数学反证法练习题

初二数学反证法练习题反证法是一种常用的数学证明方法，它通过推导出与已知条件相矛盾的结论来证明一个命题的真假。

在初二数学学习中，反证法常常被用于解决一些复杂的问题。

本文将介绍一些初二数学中常见的反证法练习题，帮助同学们熟悉并掌握反证法的应用。

题目一：证明“根号2是无理数”。

解析：要证明根号2是无理数，首先我们假设根号2是有理数，并将其表示为p/q，其中p和q是互质的整数（即最大公约数为1）。

那么我们可以得到等式2 = (p/q)^2，即2q^2 = p^2。

由此可知，p^2一定是2的倍数，因此p也一定是2的倍数。

令p = 2k（k为整数），则原等式可以写成2q^2 = (2k)^2，简化得q^2 = 2k^2。

同样地，我们可以得出q也是2的倍数。

但这与我们最初假设的“p 和q是互质的整数”相矛盾。

因此，假设错误，根号2不可能表示为有理数，即根号2是无理数。

题目二：证明“开方后是无理数的数的平方是无理数”。

解析：我们假设存在一个数x，它的开方后是无理数，即√x是无理数。

那么我们可以假设√x是有理数，即√x = p/q，其中p和q为整数，且p/q为最简分数。

根据已知条件，我们有x = (√x)^2 = (p/q)^2 = p^2/q^2。

将x的表达式代入上式中，得到x = p^2/q^2。

由此可知，p^2和q^2均为x的因数。

根据因数的性质，我们可以得知p也是x的因数，且q也是x的因数。

这与我们最初的假设“p和q为最简分数”相矛盾，因此假设错误，开方后是无理数的数的平方一定是无理数。

题目三：证明“3不能表示成形如4k+1的整数的平方”。

解析：我们假设存在一个整数m，使得m^2 = 4k + 1，其中k为整数。

那么我们可以得到等式m^2 ≡ 1 (mod 4)，即m^2除以4的余数为1。

考虑整数的平方的情况，我们可以得知一个整数的平方只可能是0或1（对4取余）。

根据这个性质，我们可以考虑m的两种情况：情况一：m为偶数假设m = 2n，其中n为整数。

北师大版八年级数学下册等腰三角形的判定与反证法测试卷

北师大版八年级数学测试卷（考试题）1.1 等腰三角形第3课时等腰三角形的判定与反证法一．选择题（共8小题）1．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD，CE分别为∠ABC，∠ACB的角平分线，则图中等腰三角形共有（）A． 5个B． 6个C． 7个D． 8个第1题第2题第4题7．如图，坐标平面内一点A（2，﹣1），O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（）A． 2 B． 3 C． 4 D． 53．下列条件中不能确定是等腰三角形的是（）A．三条边都相等的三角形D．一条中线把面积分成相等的两部分的三角形B．有一个锐角是45°的直角三角形C．一个外角的平分线平行于三角形一边的三角形4．如图，在△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE相交于点O，给出四个条件：①OB=OC；②∠EBO=∠DCO；③∠BEO=∠CDO；④BE=CD．上述四个条件中，选择两个可以判定△ABC是等腰三角形的方法有（）A． 2种B． 3种C． 4种D． 6种5．下列能断定△ABC为等腰三角形的是（）A．∠A=30°，∠B=60°B．∠A=50°，∠B=80°C． AB=AC=2，BC=4 D． AB=3，BC=7，周长为136．下列说法中：（1）顶角相等，并且有一腰相等的两个等腰三角形全等；（2）底边相等，且周长相等的两个等腰三角形全等；（3）腰长相等，且有一角是50°的两个等腰三角形全等；（4）两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；错误的有（）A． 1个B．2个C． 3个D．4个7．已知下列各组数据，可以构成等腰三角形的是（）A． 1，2，1 B． 2，2，1 C． 1，3，1 D．2，2，58．已知：如图，下列三角形中，AB=AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（）A．①③④B．①②③④C．①②④D．①③二．填空题（共10小题）9．求证：一个三角形中，至少有一个内角不小于60°，用反证法证明时的假设为“三角形的_______________.10．如图，∠BAC=100°，∠B=40°，∠D=20°，AB=3，则CD=_________第10题第11题第14题第18题11．如图，△ABC是等腰三角形，且AB=AC，BM，CM分别平分∠ABC，∠ACB，DE经过点M，且DE∥BC，则图中有_________个等腰三角形．12．在△ABC中，与∠A相邻的外角是100°，要使△ABC是等腰三角形，则∠B的度数是_________．13．在△ABC中，∠A=100°，当∠B=_________°时，△ABC是等腰三角形．14．如图，在△ABC中AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，则∠1=_________度，图中有_________个等腰三角形．15．若三角形三边长满足（a﹣b）（a﹣c）=0，则△ABC的形状是_________．16．如果一个三角形有两个角分别为80°，50°，则这个三角形是_________三角形．17．在平面上用18根火柴首尾相接围成等腰三角形，这样的等腰三角形一共可以围攻成_________种．18．如图，已知AD平分∠EAC，且AD∥BC，则△ABC一定是_________三角形．三．解答题（共5小题）19.用反证法证明：等腰三角形两底角必为锐角．20．如图，在△ABC和△DCB中，AC与BD相交于点O．AB=DC，AC=BD．（1）求证：△ABC≌△DCB；（2）△OBC的形状是_________．（直接写出结论，不需证明）21．已知：如图，OA平分∠BAC，∠1=∠2．求证：△ABC是等腰三角形．22．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的一点，BE与CD交于点O，给出下列四个条件：①∠DBO=∠ECO；②∠BDO=∠CEO；③BD=CE；④OB=OC．（1）上述四个条件中，哪两个可以判定△ABC是等腰三角形？（2）选择第（1）题中的一种情形为条件，试说明△ABC是等腰三角形．23．如图，△ABC中，∠A=36°，AB=AC，CD平分∠ACB，试说明△BCD是等腰三角形．答案：一、DCDCBABA二、9、三个内角都小于60°；10、3；11、5；12、80°或50°或20°；13、40度；14、72,3；15、等腰三角形；16、等腰；17、4；18、等腰三、19.证明：①设等腰三角形底角∠B，∠C都是直角，则∠B+∠C=180°，而∠A+∠B+∠C=180°+∠A＞180°，这与三角形内角和等于180°矛盾．②设等腰三角形的底角∠B，∠C都是钝角，则∠B+∠C＞180°，而∠A+∠B+∠C ＞180°，这与三角形内角和等于180°矛盾．综上所述，假设①，②错误，所以∠B ，∠C 只能为锐角．故等腰三角形两底角必为锐角． 20、（1）证明：在△ABC 和△DCB 中，∴△ABC ≌△DCB （SSS ）．（2）解：∵△ABC ≌△DCB ， ∴∠OBC=∠OCB ． ∴OB=OC ．∴△OBC 为等腰三角形．故填等腰三角形．21、解答：证明：作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥AC 于F ， ∵AO 平分∠BAC ，∴OE=OF （角平分线上的点到角两边的距离相等）． ∵∠1=∠2， ∴OB=OC ．∴Rt △OBE ≌Rt △OCF （HL ）． ∴∠5=∠6．∴∠1+∠5=∠2+∠6．即∠ABC=∠ACB ． ∴AB=AC ．∴△ABC 是等腰三角形．22.解：（1）①③，①④，②③和②④；（2）以①④为条件，理由： ∵OB=OC ，∴∠OBC=∠OCB ．又∵∠DBO=∠ECO ，∴∠DBO+∠OBC=∠ECO+∠OCB ，即∠ABC=∠ACB ， ∴AB=AC ，∴△ABC 是等腰三角形．23.解：△ABC 中∵AB=AC ，∠A=36° ∴∠B=∠ACB=21（180°﹣∠A ）=72° ∵CD 平分∠ACB ∴∠DCB=21∠ACB=36° 在△DBC 中∠BDC=180°﹣∠B ﹣∠DCB=72°=∠B ∴CD=CB即△BCD 是等腰三角形．附赠材料：怎样提高答题效率直觉答题法相信自己的第一感觉厦门英才学校彭超老师说,“经验表明,从做题的过程来看,同学们要相信自己的第一感觉,不要轻易改动第一次做出的选择,第一感觉的正确率在80%以上。

八年级数学等腰三角形的判定与反证法(北师版)(基础)(含答案)

等腰三角形的判定与反证法（北师版）（基础）一、单选题(共9道，每道9分)1.用反证法证明命题“钝角三角形中必有一个角小于45°”时，首先应该假设这个三角形中( )A.有一个角小于45°B.每一个角都小于45°C.有一个角大于等于45°D.每一个角都大于等于45°答案：D解题思路：反证法的步骤中，第一步是假设命题的结论不成立，本题中命题的结论是“必有一个角小于45°”，所以应首先假设“没有一个角小于45°”，即“每一个角都大于等于45°”．故选D试题难度：三颗星知识点：略2.若用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，则首先应该假设这个四边形中( )A.至少有一个角是钝角或直角B.没有一个角是锐角C.没有一个角是钝角或直角D.每一个角都是钝角或直角答案：C解题思路：反证法的步骤中，第一步是假设命题的结论不成立，本题中命题的结论是“至少有一个角是钝角或直角”，所以应首先假设“没有一个角是钝角或直角”．故选C试题难度：三颗星知识点：略3.如图，已知△ABC，点D，E分别在边AC，AB上，∠ABD=∠ACE，下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是( )A.AE=ADB.BD=CEC.∠ECB=∠DBCD.∠BEC=∠CDB答案：D解题思路：A：因为∠ABD=∠ACE，∠A=∠A，AE=AD，所以可判定△ABD≌△ACE（AAS）所以AB=AC，能判定△ABC是等腰三角形；B：因为∠ABD=∠ACE，∠A=∠A，BD=CE，所以可判定△ABD≌△ACE（AAS）所以AB=AC，能判定△ABC是等腰三角形；C：因为∠ABD=∠ACE，∠ECB=∠DBC，∠ABC=∠ABD+∠DBC，∠ACB=∠ACE+∠ECB，所以∠ABC=∠ACB，能判定△ABC是等腰三角形；D：由∠ABD=∠ACE，能推出∠BEC=∠CDB，不能判定△ABC是等腰三角形．故选D试题难度：三颗星知识点：略4.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD，CE分别是∠ABC，∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有( )A.5个B.4个C.3个D.2个答案：A解题思路：∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形.∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB=72°.∵BD，CE分别是∠ABC，∠BCD的角平分线，∴，，∴∠DBC=∠BCE，∠CED=∠DBC+∠BCE=36°+36°=72°，∠A=∠ABD，∠BDC=180°-∠DBC-∠BCD=180°-72°-36°=72°，∴△EBC，△ABD是等腰三角形；∵∠BDC=∠BCD，∠CED=∠CDE，∴△BCD，△CDE是等腰三角形，∴图中的等腰三角形有5个．故选A试题难度：三颗星知识点：略5.已知：如图，在△ABC中，∠B和∠C的平分线交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E，若BD+CE=9，则线段DE的长为( )A.9B.8C.7D.6答案：A解题思路：1．解题思路要求线段DE的长，题中只给出了BD+CE=9，因此考虑把BD和CE往线段DE上转，通过平行和角平分线转移角，可以得到△DBF和△ECF都是等腰三角形，因此可以转移线段，得到线段DE的长．2．解题过程如图，∵BF平分∠ABC∴∠1=∠2∵CF平分∠ACB∴∠4=∠5∵DE∥BC∴∠1=∠3，∠4=∠6∴∠2=∠3，∠5=∠6∴DB=DF，EF=EC∵BD+CE=9∴DF+EF=9即DE=9故选A．试题难度：三颗星知识点：略6.如图，在△ABC中，BC=9cm，BP，CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则下列说法错误的是( )A.△BDP为等腰三角形B.PE=CEC.△PDE的周长是9cmD.PE=DE答案：D解题思路：如图，由BP，CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，所以∠1=∠2，∠3=∠4．结合PD∥AB，PE∥AC，可以得到∠1=∠6，∠3=∠5，所以∠2=∠6，∠4=∠5，则BD=PD，CE=PE，△BDP为等腰三角形，△PDE的周长为：PD+DE+PE=BD+DE+EC=BC=9(cm)．即A，B，C选项正确．选项D：无法证明PE和DE是否相等．故选D．试题难度：三颗星知识点：略7.如图，DB＝DC，∠ABD＝∠ACD，求证：AB＝AC．证明：如图，连接BC．_________________________∵∠ABD＝∠ACD，∴∠ABD＋∠1＝∠ACD＋∠2，即∠ABC＝∠ACB．∴AB＝AC（_______________）．①；②；③；④等边对等角；⑤等角对等边．以上空缺处依次所填最恰当的是( )A.②⑤B.①⑤C.②④D.③④答案：B解题思路：要证明AB=AC可放到两个三角形证全等，也可以放到一个三角形中证等腰．根据已知条件，若放两个三角形证全等，可连接AD，但无法直接证明△ABD≌△ACD，所以考虑连接BC，放到一个三角形中证等腰．因为DB＝DC，根据等边对等角，得∠1＝∠2；接着因为∠ABD＝∠ACD，所以∠ABD＋∠1＝∠ACD＋∠2，即∠ABC＝∠ACB．最后根据等角对等边，得AB＝AC．故选B．试题难度：三颗星知识点：略8.如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC．求证：△BDE是等腰三角形．证明：如图．∵AD平分∠BAC∴∠1=∠2∵DE∥AC∴∠2=∠3________________________∵AD⊥BD∴∠ADB=90°∴∠3+∠4=90°，∠1+∠5=90°________________________∴BE=DE（___________）∴△BDE是等腰三角形．①∴∠1=∠3；②AE=DE；③∴∠4=∠5；④∴∠ADB=90°；⑤等边对等角；⑥等角对等边．以上空缺处依次所填最恰当的是( )A.①③⑥B.②④⑤C.①③⑤D.②③⑥答案：A解题思路：要证明△BDE是等腰三角形，根据已知条件，考虑利用等角对等边证明．因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2；因为DE∥AC，所以∠2=∠3，等量代换可得∠1＝∠3；又因为AD⊥BD，所以∠ADB=90°，所以∠3+∠4=90°，∠1+∠5=90°；结合已证的∠1＝∠3，所以∠4=∠5，根据等角对等边，可得BE=DE，所以△BDE是等腰三角形．故选A．试题难度：三颗星知识点：略9.如图：Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=22.5°，DC=BC，DE⊥AB．求证：AE=BE．证明：如图，连接BD．∵DC=BC∴∠CDB=∠CBD∵∠C=90°∴∠CDB=∠CBD=45°∵∠C=90°，∠A=22.5°∴∠ABC=67.5°∴∠DBA=∠ABC-∠CBD=67.5°-45°=22.5°_____________________∴AD=BD_____________________①DE⊥AB；②∠A=∠DBA；③；④．以上空缺处依次所填最恰当的是( )A.①③B.②③C.①④D.②④答案：B解题思路：要证AE=BE，可以连接BD，将其放在△ABD中，只要证出△ABD是等腰三角形，就可以利用等腰三角形三线合一证出AE=BE．已知DC=BC，由等边对等角可知∠CDB=∠CBD，因为∠C=90°，所以∠CDB=∠CBD=45°，∠ABC=90°-∠A=67.5°，进而求得∠DBA=∠ABC-∠CBD=22.5°，所以∠A=∠DBA，由等角对等边可得AD=BD，又因为DE⊥AB，利用等腰三角形三线合一可证得AE=BE．因此空缺处依次填写最恰当的是②③．故选B．试题难度：三颗星知识点：略二、填空题(共2道，每道9分)10.如图，一条船从灯塔C的南偏东42°的A点处出发，向正北航行8海里到达B处，此时灯塔C在船的北偏西84°方向，则船距离灯塔____海里．答案：8解题思路：如图，由题意可知，∠DCB=∠CBN=84°，AB=8∵∠DCA=42°∴∠ACB=∠DCB-∠DCA=42°∵∠A+∠ACB=84°∴∠A=84°-42°=42°∴∠ACB=∠A∴CB=AB=8故应填8试题难度：知识点：略11.某渔船上的渔民在A处观测到灯塔M在北偏东60°方向处，这艘渔船以每小时40海里的速度向正东方向航行，1小时后到达B处，在B处观测到灯塔M在北偏东30°方向处，则B 处与灯塔的距离BM是____海里．答案：40解题思路：如图由题意可知，∠CAM=60°，∠DBM=30°，AB=40 所以∠MAB=90°-60°=30°，∠MBE=90°-30°=60°∵∠MBE=∠MAB+∠M∴∠M=∠MBE-∠MAB=30°∴∠MAB=∠M∴BM=AB=40故应填40试题难度：知识点：略。