第4章 拉格朗日力学
流体力学第4章9
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通过流管中有效截面面积为A的流体体积流量和质量流量分 别积分求得，即
qV vdA
qm vdA
在工程计算中为了方便起见，引入平均流速的概念。平均 流速是一个假想的流速，即假定在有效截面上各点都以相 同的平均流速流过，这时通过该有效截面上的体积流量仍
A
A
与各点以真实流速流动时所得到的体积流量相同。
述三点原因，欧拉法在流体力学研究中广泛被采用。当然
拉格朗日法在研究爆炸现象以及计算流体力学的某些问题 中还是方便的。
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第二节 流体运动的一些基本概念
一、流动的分类 （1）按照流体性质分为理想流体的流动和粘性流体的流动， 不可压缩流体的流动和可压缩流体的流动。 （2）按照运动状态分为定常流动和非定常流动，有旋流动 和无旋流动，层流流动和紊流流动，亚声速流动和超声速 流动
在流场中的一些点，流体质点不断流过空间点，空间点上 的速度指流体质点正好流过此空间点时的速度。
用欧拉法求流体质点其他物理量的时间变化率也可以采用
下式的形式，即
D( ) ( ) (V )( ) Dt t
式中，括弧内可以代表描述流体运动的任一物理量，如密
D( ) 度、温度、压强，可以是标量，也可以是矢量。 称为 Dt ( ) 全导数， 称为当地导数， (V )( )称为迁移导数。 t
1、系统：包含确定不变的物质的任何集合。 系统以外的一切称为外界。 边界的性质： ① 边界随流体一起运动； ② 边界面的形状和大小可随时间变化； ③ 系统是封闭的，没有质量交换，可以有能 量交换； ④ 边界上受到外界作用在系统上的表面力；
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2、控制体：被流体所流过的，相对于某 个坐标系来讲，固定不变的任何体积。 控制面的性质： ① 总是封闭表面； ② 相对于坐标系是固定的； ③ 在控制面上可以有质量、能量交换； ④ 在控制面上受到控制体以外物体加在 控制体内物体上的力；
流体力学第四章
• 在每一个微元流束的有效截面上，各点的速度可认为是相同的 总流：无数微元流束的总和。
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流体运动学和动力学基础（Fluid Kinematics and Dynamics）
均匀流与非均匀流·渐变流和急变流
均匀流——同一条流线上各空间点上的流速相 同的流动，流线是平行直线，各有效截面上的 流速分布沿程不变 非均匀流——同一条流线上各空间点上的流速不 同的流动，流线不是平行直线，即沿流程方向速 度分布不均
迹线· 流线 1、迹线 1)定义：某一质点在某一时段内的运动轨迹 线。 2)迹线的微分方程
dx dy dz dt ux u y uz
烟火的轨迹为迹线
流体运动学和动力学基础（Fluid Kinematics and Dynamics）
流体运动学和动力学基础（Fluid Kinematics and Dynamics）
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2016/12/26
流体运动学和动力学基础（Fluid Kinematics and Dynamics）
一维、二维和三维流动
三维流动：流动参数是x、y、z三个坐标的函数
的流动。
二维流动：流动参数是x、y两个坐标的函数的
流动。
一维流动：是一个坐标的函数的流动。
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流体运动学和动力学基础（Fluid Kinematics and Dynamics）
x= x (t)
dux ux ux dx ux dy ux dz ax dt t x dt y dt z dt
（1）当地加速度（时变加速度）：流动过程中流体 由于速度随时间变化而引起的加速度； （2）迁移加速度（位变加速度）：流动过程中流体 由于速度随位置变化而引起的加速度。
理论力学中的拉格朗日方程
理论力学中的拉格朗日方程在理论力学中，拉格朗日方程是一种重要的数学工具，用于描述系统的运动行为和力学规律。
拉格朗日方程由意大利数学家和物理学家约瑟夫·拉格朗日于18世纪提出，被广泛应用于经典力学的各个领域。
1. 拉格朗日方程的引入拉格朗日方程的引入是为了解决在复杂的力学系统中，尤其是多体系统中，求解运动方程困难的问题。
拉格朗日方程通过引入广义坐标和广义速度的概念，将原来的N个质点受力问题转化为2N个一阶偏微分方程组的求解问题。
2. 广义坐标和广义速度在拉格朗日方程中，将系统的坐标由笛卡尔坐标系转化为广义坐标系，这样可以更好地描述系统的自由度。
广义坐标的数目等于系统的自由度，它们可以用来完全描述系统的构型。
广义速度则是对广义坐标的时间导数，表示系统的运动状态。
3. 拉格朗日量在拉格朗日力学中，拉格朗日量是一个以广义坐标、广义速度和时间为变量的函数，代表系统的能量和动力学性质。
拉格朗日量可以通过系统的动能和势能函数得到。
对于自由度为n的系统，拉格朗日量可以表示为L(q, q', t)，其中q表示广义坐标，q'表示广义速度，t表示时间。
4. 欧拉-拉格朗日方程欧拉-拉格朗日方程是拉格朗日方程的数学形式，它由拉格朗日原理引出。
欧拉-拉格朗日方程可以描述系统在运动过程中的动力学规律。
它可以表示为d/dt(dL/dq') - dL/dq = 0，其中d/dt表示对时间求导数。
通过求解这个方程组，我们可以得到系统的运动方程。
5. 应用与例子拉格朗日方程在经典力学中的应用非常广泛。
例如，它可以用于求解刚体的运动，弹性体的振动，以及受约束的质点系等问题。
通过将系统的动能和势能函数表示为广义坐标和广义速度的函数，可以得到相应的拉格朗日量，进而求解运动方程。
总结：拉格朗日方程是一种在理论力学中广泛应用的工具，用于描述系统的运动行为和力学规律。
它通过引入广义坐标和广义速度的概念，将系统的受力问题转化为求解一阶偏微分方程的问题。
第4章 振动系统的运动微分方程
[
]
两边对时间求导数
3 &x & & mx&& = mgx − 2k (2 x + λ s ) x 2
注意到在静平衡位置满足 所以微分方程为
mg = 2kλ s
3 m&& + 4kx = 0 x 2
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Theory of Vibration with Applications
4.1 牛顿定律和普遍定理
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4.2 拉格朗日（Lagrange）运动方程 拉格朗日（Lagrange）
4.2.4 完整的保守系统的拉格朗日运动方程
例4-5 图示系统，摆的支点在水平方向受到弹性约束，其总 刚度为k，摆的质量为m，摆长为l。试用拉格朗日方程求出系 统的运动方程。 解： （1）选择x及θ 为广义坐标。 （2）动能及势能
4.1.4 普遍定理的综合应用
在有限路程中主动力的功为
∑ Wx0 − x = −mg ( x0 − x) +
1 2 k (2 x0 + λ s ) − (2 x + λ s ) 2 2
[
]
由动能定理的积分形式
T − T0 = ∑Wx0 − x
1 3 2 1 2 2 & ⋅ mx − T0 = − mg ( x 0 − x ) + k (2 x 0 + λ s ) − (2 x + λ s ) 2 2 2
∑ (F
n i =1
Theory of Vibration with Applications
x i δ xi
+ F y i δ y i + Fz i δ z i = 0
分析力学拉格朗日方程
分析力学拉格朗日方程拉格朗日方程是描述物体在力的作用下运动规律的一个重要工具，是分析力学中的核心内容之一、它由意大利科学家拉格朗日在17世纪末提出，是一种基于能量的方法，对于描述系统的运动非常方便和有效。
拉格朗日方程的形式为：d/dt(dL/dq) - ∂L/∂q = Q，其中L为系统的拉格朗日函数，q表示广义坐标，t表示时间，Q表示外力。
拉格朗日函数L通常由系统的动能和势能函数构成，即L = T - V，其中T表示动能，V表示势能。
拉格朗日方程的推导是基于广义坐标的变分原理，即作用量最小原理。
根据广义坐标的定义，系统的运动可以由广义坐标的函数关系描述。
在运动过程中，系统的作用量S定义为积分∫Ldt，即拉格朗日函数关于时间的积分。
根据变分原理，作用量的真实路径使得作用量的变分δS等于零。
通过变分运算可以得到拉格朗日方程。
拉格朗日方程的形式简洁、便于应用，可以用来描述各种复杂的物体和系统。
它可以用来研究刚体的转动、弹簧振子的运动、多体系统的动力学等。
拉格朗日方程的特点是将系统的动能和势能统一在一个函数中描述，因此能够非常清晰地反映出系统的能量变化情况。
拉格朗日方程的应用可以帮助我们解决物理问题和工程实践中的许多复杂情况。
例如，在机械系统中，可以根据拉格朗日方程求解刚体的绕定轴转动、杆塔的动力学问题等。
在电磁学中，可以使用拉格朗日方程来推导电磁场的变化规律，解决复杂电磁场的问题。
在天体力学中，拉格朗日方程可以用来计算行星、卫星和人造星的轨道运动。
总之，拉格朗日方程是分析力学中的一种重要工具，可以简洁明确地描述物体在力的作用下的运动规律。
它具有普适性和广泛的应用性，对于理解和解决物理问题有着重要的意义。
分析力学拉格朗日方程
分析力学拉格朗日方程分析力学是物理学中的一个重要分支，它主要研究物体的运动规律和力学系统的宏观性质。
拉格朗日力学是分析力学的基础，是分析力学发展过程中的一个重要理论。
它由意大利数学家拉格朗日于18世纪发展而来，利用广义坐标和拉格朗日方程来描述物体的运动学和动力学。
在拉格朗日力学中，系统的运动由极值原理来决定。
这个极值原理是“达朗贝尔原理”，即系统的运动满足使作用量(S)是极值的路径。
作用量是拉格朗日力学中的一个重要概念，它表示物体在运动过程中所受到的所有力的作用。
具体来说，作用量可以表示为：S = ∫ (L - T) dt其中，L是拉格朗日函数，表示系统的动能和势能之差；T是系统的动能，表示物体的运动能量。
积分表示对整个运动过程的积分求和。
根据达朗贝尔原理，系统的运动满足作用量的极值条件，即δS=0。
为了使作用量的变分δS等于零，我们可以通过拉格朗日方程来推导系统的运动方程。
假设系统有n个自由度，我们引入广义坐标q1, q2, ..., qn来描述系统的位置。
每个广义坐标都是关于时间的函数，即q(t)。
拉格朗日函数L也是广义坐标的函数，即L(q, dq/dt, t)。
其中dq/dt表示广义坐标的时间导数。
利用拉格朗日函数，我们可以定义拉格朗日方程：d/dt (∂L/∂(dq/dt)) - ∂L/∂q = 0这个方程就是拉格朗日方程。
其中∂L/∂(dq/dt)表示拉格朗日函数对广义速度的偏导数，∂L/∂q表示拉格朗日函数对广义坐标的偏导数。
该方程描述了系统在广义坐标下的运动规律。
拉格朗日方程的推导过程是基于变分法和哈密顿原理的。
通过对作用量进行变分，我们可以得到极值的条件，即达朗贝尔原理。
然后利用这个极值条件，我们可以推导出拉格朗日方程。
拉格朗日方程在物理学中有着广泛的应用，不仅可以用来描述质点的运动，还可以用来描述刚体的运动、连续介质的运动、以及相对论力学等。
它提供了一种统一的描述物体运动的方法，同时也为我们研究物体的宏观性质提供了一个有力的工具。
力学竞赛之拉格朗日方程
单摆运动是一个典型的简谐振动，其运动规律可以用拉格朗日方程来描述。在摆角较小 的情况下，单摆的运动可以简化为一个一维问题，只考虑角度θ作为变量。拉格朗日方 程可以表示为：θ''(t) + g/L * sin(θ(t)) = 0，其中g是重力加速度，L是摆长。这个方程
描述了单摆在受到重力和弹性力作用下的运动规律。
拉格朗日方程的应用领域
80%
经典力学
在经典力学中，拉格朗日方程被 广泛应用于分析质点系的动力学 行为，例如行星运动、弹性碰撞 等。
100%
相对论力学
在相对论力学中，拉格朗日方程 也被广泛应用，例如分析相对论 性粒子的运动规律。
80%
工程领域
在工程领域中，拉格朗日方程被 广泛应用于各种实际问题，例如 分析机械振动、控制系统、航空 航天等领域的动力学问题。
力学竞赛之拉格朗日方程
目
CONTENCT
录Hale Waihona Puke • 拉格朗日方程概述 • 拉格朗日方程的推导 • 拉格朗日方程的求解方法 • 拉格朗日方程的实例分析 • 拉格朗日方程的扩展与展望
01
拉格朗日方程概述
定义与性质
定义
拉格朗日方程是描述一个质点系的运动状态的微分方程组，它基于 拉格朗日函数L（也称为拉格朗日量）来描述系统的动能和势能。
通过数值计算方法求解拉格朗日方程。
详细描述
对于无法解析求解的拉格朗日方程，可以采用数值求解方法。这种方法将时间或空间离散化，将偏微分方程转化 为差分方程，然后利用计算机进行数值计算。常用的数值求解方法包括有限差分法、有限元法和谱方法等。
04
拉格朗日方程的实例分析
单摆运动
总结词
单摆运动是拉格朗日方程的一个简单实例，通过分析单摆运动，可以深入理解拉格朗日 方程的应用。
流体力学拉格朗日法
流体力学拉格朗日法
流体力学是研究流体运动和变形的学科，广泛应用于工程、物理和生物学等领域。
在流体力学中，拉格朗日法是一种重要的数学方法，用于描述流体粒子的运动。
拉格朗日法将流体粒子视为具有唯一身份的“标记粒子”，跟踪其位置和速度随时间的变化。
这种方法与欧拉法不同，欧拉法将流体视为均匀的连续介质，研究其宏观物理性质。
在拉格朗日法中，流体粒子的运动由牛顿第二定律描述，即粒子所受的力等于其质量与加速度的乘积。
利用该定律可得到粒子的运动方程，从而确定其位置和速度。
在实际应用中，拉格朗日法可用于建立流体动力学模型，研究流体运动的复杂现象，如湍流、波浪等。
拉格朗日法的优点在于可以考虑到流体粒子的个体特征，有助于分析流体中的微观现象。
然而，该方法也存在一些挑战，如需要跟踪大量的粒子运动，计算量较大等。
因此，欧拉法和拉格朗日法常常结合使用，以更好地描述流体的宏观和微观特性。
- 1 -。
理论力学—拉格朗日方程PPT
a1
3(m1
m2 gsin2 m2 )－2m2cos2
ar
2gsin (m1 m2 ) 3(m1 m2 )－2m2cos2
15
§18-2 拉格朗日(Lagrange)方程
由n个质点所 组成的质点系
主动力 虚位移
广义坐标 第i个质 点的位矢
F (F1, F2,, Fn )
r (r1,r2,,rn )
O1
x1
l
l
rA
rB
xA l cos yA l sin
FIA
A B FIB
m1g l
rC l m1g
xB l cos
C
yB l sin
m2g
yC 2l sin
y1
2m1lsin2lcos 2m1glsin 2m2glsin 0
2 (m1 m2 )g
m1lcos
10
例题3 质量为m1的三棱柱ABC
FIA
A B FIB
m1g l
rC l m1g
根据几何关系，有
C
m2g
xA lsin yA lcos
xA l cos
yA l sin
y1
xB lsin
xB l cos
yB lcos
yB l sin
yC 2lcos
yC 2l sin
9
3、应用动力学普遍方程
FIA δxA FIB δxB m1g δyA m1g δyB m2 g δyC 0
其次，要确定系统的自由度，选择合适的广义坐标。 按照所选择的广义坐标，写出系统的动能、势能或广 义力。
将动能或拉格朗日函数、广义力代入拉格朗日方程。
23
理论物理习题集（ＰＤＦ）
理论力学习题集第一章：质点力学1.1 将质量为m 的物体铅直抛上于有阻力的媒质中，设阻力与速度平方成正比，即，如掷上时的初速度为，试证此物体又落至投掷地时的速度为： 22xg mk R &±=0v )1(20221v k v v +=1.2 一质量为m 的质点，受一与距离成反比的吸力作用在一条直线上运动，比例系数为k。
如此质点从距原点O 为a 的地方由静止开始运动，求其到达0点所需的时间。
答：km a2π1.3 一质量为m 的质点，受引力作用在一直线上运动，当a x ≥时引力值为，当22/x a m μa x ≤时引力值为a x m /μ，式中x 是相对于线上某一固定（取为原点）的距离。
如质点在离原点2a 处从静止出发，证明到达原点时的速度为a μ2；并证明到达原点的时间为： 2/1))(431(μπa +1.4 如质点受有心力作用而作圆θcos 2a Y =的运动时，则2285r h ma F −=，试证明之。
1.5 质点所受的有心力如为)(322rvr m F +−=μ，式中v 及μ都是常数，且，则其轨道方程可写成2h v <θk e ar cos 1+=，试证明之。
式中22222222,a h v =−2,μμh Ak e h k h k ==（A 为积分常数）1.6 如行星突然在其轨道上某处停止运动（假定轨道为圆形），则将被吸引而至太阳，所需时间为原有周期的8/2倍，试证明之。
1.7质点在有心力作用下运动。
此力的大小为质点到力心距离r 的函数，而质点的速度则与此距离成反比，即r a v /=，求点的轨迹。
答：θhh a r r 220ln −±=（对数螺旋） 1.8如向互相垂直的均匀电磁场E r ，H r中发射一电子，设电子的初速度与v rE r 及H r 垂直，试求电子的运动规律。
已知电子此时所受的力为H v c e E e r rr ×+)/(，式中e 为电子所带的电荷，c 为光速，为任一瞬时电子运动的速度。
拉格朗日力学
人物简介
拉格朗日约瑟夫·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange，1736~1813）全名为约瑟夫·路易斯·拉格朗日， 法国著名数学家、物理学家。他在数学、力学和天文学三个学科领域中都有历史性的贡献，其中尤以数学方面的 成就最为突出。
坐标
拉格朗日力学在矢量力学中，约束的存在体现于作用于系统的约束力。约束力引入额外的未知量，通常使问 题变得更为复杂。但若能选取适当的s个完全满足约束条件的独立坐标，则约束不再出现于问题中，只需要求解关 于s个未知变量的方程，使问题得以大大简化。这样的s个坐标不再局限于各质点的位置坐标，而可以是任何能描 述系统的几何参量，因此称为“广义坐标”。
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拉格朗日力学
拉格朗日建立的一种分析力学
01 定义
03 坐标 05 概念拓展
目录
02 人物简介 04 拉格朗日方程
拉格朗日力学，分析力学中的一种，由拉格朗日在1788年建立，是对经典力学的一种的新的数学表述。经典 力学，最初的表述形式由牛顿建立，它着重分析位移，速度，加速度，力等矢量间的关系，又称为矢量力学。拉 格朗日引入了广义坐标的概念，运用达朗贝尔原理，得到和牛顿第二定律等价的拉格朗日方程。但拉格朗日方程 具有更普遍的意义，适用范围更广泛。并且，选取恰当的广义坐标，可以使拉格朗日方程，于1788年由约瑟夫·拉格朗日所创立。拉格朗日力学是对经典力学的一 种的新的理论表述，着重于数学解析的方法，是分析力学的重要组成部分。
拉格朗日力学力学系统由一组坐标来描述。比如一个质点的运动（在笛卡尔坐标系中）由x，y，z三个坐标 来描述。一般的，N个质点组成的力学系统由3N个坐标来描述。力学系统中常常存在着各种约束，使得这3N个坐 标并不都是独立的。力学系统的独立坐标的个数称之为自由度。对于N个质点组成的力学系统，若存在m个约束， 则系统的自由度为
拉格朗日原理
拉格朗日原理可以总结为：在所有可能的轨迹中，物体运动的真实轨迹使得作用量 S 取得最小值。
拉格朗日原理的基本原理包括以下几个方面：
1. 广义坐标与拉格朗日函数
在拉格朗日力学中，为了简化问题和描述系统的微观行为，通常采用广义坐标来描述系统的运动状态。广义坐标是一组与系统的自由度相对应的坐标，它们可以完整地描述系统的位置和运动状态。
拉格朗日方程的应用非常广泛，包括刚体运动、振动系统、流体力学、电磁学等方面。它为研究和解决各种力学问题提供了一种统一而强大的数学工具。
拉格朗日力学具有较高的自然和数学美，它克服了牛顿力学的一些固有缺陷，提供了一种更加简洁、统一的描述物体运动的方法。拉格朗日原理的应用已经深入到物理学的各个领域，并对现代科学的发展产生了重大影响。
约束是指系统在运动过程中所受到的限制，例如硬约束（如杆的长度不变），软约束（如弹簧的拉伸长度受限制）等。约束对虚位移的大小和方向有一定的限制。
3. 动力学方程
拉格朗日力学中的动力学方程是描述系统运动的基本方程，通过该方程可以求解系统的运动轨迹。
根据拉格朗日原理，系统的真实轨迹使得作用量 S 最小。作用量由广义坐标和广义速度的积分路径 L 决定。通过对作用量求取极值的条件可以推导出系统的动力学方程，即欧拉-拉格朗日方程。对于具有 n 个自由度的系统，其动力学方程为：
d/dt (∂L/∂q̇i) - ∂L/∂qi = 0, i = 1, 2, ..., n
其中 L 是拉格朗日函数，q 是广义坐标，q̇ 是广义速度。这组方程描述了系统运动的特征和规律。
4. 拉格朗日方程的应用
拉格朗日方程是解决多个自由度力学问题的一种有效方法。通过将问题转化为寻找使作用量最小的轨迹所满足的动力学方程，可以在最小的计算量下得到系统的运动规律。
流体力学 第四章 输运公式
例3 水流过一段900的渐缩弯头，进口截面绝对压强p1 221kPa , 横截面积S1 0.01m 2，出口截面面积S 2 0.0025m 2 , 速度V2 16m / s 压强则为大气压强pa 101kPa，水密度＝999kg / m 3。流动是 定常的，忽略质量力和摩擦力，求对弯头的支撑力。
CS
假设水速在进出口截面S1 , S 2上均匀分布 (V n )dA V1S1 V2 S 2 0
CS
S2 V1 V2 4m / s S1 (2)定常流动量方程 F V (V n )dA
CS
x轴方向分量方程 Fx u (V n )dA
第四章 流体力学基本方程
主要内容： 1、系统、控制体的基本概念、定义； 2、输运公式； 3、流体力学积分形式基本方程组； 4、流体力学微分形式基本方程组； 5、定解条件方程的应用。
第一节 输运公式
一、基本概念
系统：一团流体质点的集合。引入系统的概念，实际上就是
采用拉格朗日观点来描述流体的运动。
特点：（1）随质点运动而运动，包含质量不变；
Bsys ( d )，BCV ( dv)
sys CV
体积单位;
dBout dBin v dA v dA dt A2 A1 (V n )dA
CS
d d sys ( d ) dt CV ( dv) (V n )dA dt CS
上式第一项： dh dv t ( w Sh) t a S ( H h) w S dt t CV 式中因空气总质量不变，即 a S ( H h)为常量，对时间的导数 为零。h仅是时间t的函数，对时间的偏导数可改写为全导数。 连续方程的第二项： (V n )dS wV2 S 2 wV1S1
拉格朗日力学中的哈密顿形式与正则变换
拉格朗日力学中的哈密顿形式与正则变换拉格朗日力学和哈密顿力学是研究物理系统运动的两种重要方法。
在拉格朗日力学中，我们使用广义坐标和拉格朗日函数来描述系统的动力学行为，而在哈密顿力学中，我们使用广义坐标和广义动量以及哈密顿函数来描述系统。
在这篇文章中，我们将探讨拉格朗日力学中的哈密顿形式以及与之相关的正则变换。
一、拉格朗日力学中的基本原理拉格朗日力学是基于最小作用量原理的一种描述物理系统运动的方法。
它假设系统的演化是在使作用量取极值的路径上进行的。
作用量可以通过系统的拉格朗日函数L表示，其定义为：\[S=\int_{t_1}^{t_2}L(q,\dot{q},t)dt\]其中，q是广义坐标，\(\dot{q}\)是广义坐标q对时间的导数的集合，t是时间。
通常，在拉格朗日力学中，我们使用虚位移原理和欧拉-拉格朗日方程来推导系统的运动方程。
二、哈密顿形式的引入虽然拉格朗日力学在描述系统运动方面非常有效，但在处理一些特定问题时，它的形式可能较为复杂。
为了更好地描述系统的运动，我们可以引入哈密顿力学。
哈密顿力学的基本思想是通过引入广义动量p 来替代广义坐标\(\dot{q}\)。
哈密顿函数H由拉格朗日函数L和广义动量p表示：\[H=p\dot{q}-L\]利用广义坐标q和广义动量p，我们可以得到哈密顿力学中的哈密顿方程：\[\frac{{dq}}{{dt}}=\frac{{\partial H}}{{\partial p}}, \ \ \\frac{{dp}}{{dt}}=-\frac{{\partial H}}{{\partial q}}\]这些哈密顿方程与欧拉-拉格朗日方程等价，因此哈密顿力学和拉格朗日力学是等价的。
三、正则变换的概念正则变换是指在给定的广义坐标和广义动量之间进行转换的变换。
它可以将系统的描述从一个坐标系转换为另一个坐标系，使得新的坐标和动量满足哈密顿方程。
正则变换的形式可以表示为：\[Q=Q(q,p,t), \ \ \ P=P(q,p,t)\]其中，Q和P是新的广义坐标和广义动量，q和p是原有的广义坐标和广义动量，t是时间。
拉格朗日力学
拉格朗日力学拉格朗日力学（Lagrangian Mechanics）是物理力学的一种分支，它也叫作拉格朗日方程机构，是研究系统的动态的一种方法。
这种机构能充分描述位置、物体相对位置等变化，从而提供解决动力学问题的一种解释方法。
该机构由法国数学家拉格朗日发明，实践证明这种机构比较容易和明确地表达力学系统中位置变化的方法，所以在物理学研究和数值模拟中十分重要。
拉格朗日力学是基于斯坦福牛顿运动定律（Newton's Second Law of Motion）而构建的，其认为位置是由系统的动量状态确定的，并将力学问题分解为研究系统的位置变化的问题。
根据拉格朗日定理，力学问题可由拉格朗日函数（Lagrangian Function）来描述。
因此，拉格朗日定理应用物理研究的方法是由制定目标函数来表达物体的位移变化，然后根据目标函数和动作方程准确确定解析解。
拉格朗日定理及其机构主要用于研究非线性系统，如电磁学、流体动力学，以及多体系统等。
有时，这些系统会受到外部激励而改变，如重力、摩擦力等，我们可以使用拉格朗日函数来包括这些激励因素，用来研究其位置变化。
此外，拉格朗日力学只能适用于运动物体的空间位移或者恒定的动量变化的系统，而不能研究力学系统中的其它物理变量的变化情况，例如温度、压力等。
在工程化设计中，拉格朗日力学应用很广泛，例如控制机器人，以及各类机械装置中，都可以使用拉格朗日力学进行分析和设计。
此外，在太空航行中，拉格朗日力学也被用于地轨道的计算和轨道调整。
同时，拉格朗日力学在天文学研究中也有着广泛的应用。
例如，拉格朗日方程机构被用来模拟太阳系的运行轨道，以及运行星球上的卫星的空间运动轨迹。
通俗来讲，拉格朗日力学就是利用拉格朗日函数研究力学系统中位置变化的一种方法，因其计算简单、解析完整，以及表达力学系统活动状态方面的优点，广泛应用于物理学，以及机械、电子、航空、天文研究中。
机器人学-第4章_机器人动力学
机械手系统（包括传动装置）的总动能为：
Kt K Ka
1 2
6 i 1
i j 1
i k 1
Trace
Ti qi
Ii
Ti T qk
qj qk
1 2
6
I ai qi2
i 1
(4.20)
4.2.2 动能和位能的计算
23
4.2.2 动能和位能的计算
位能的计算 一个在高度h处质量m为的物体，其位能为：
对拉格朗日函数求导，以得到动 力学方程式。
O3 连杆2
3rp
连杆3 O2
O1 连杆1 0rp
P
连杆4 O4
O
图4.4 四连杆机械手
第四章 机器人动力学
15
4.2.1 速度的计算
连杆3上点P的速度为：
0vp
d dt
(
0
r
p
)
d dt
(T3
3
rp
)
T3 3rp
对于连杆i上任一点的速度为：
v
dr dt
4
4.1.1 刚体的动能与位能
x0 0, x0和x1均为广义坐标，有下式：
M1 x1 c( x1 x0 ) k( x1 x0 ) M1 g F M 0 x0 c( x1 x0 ) k( x1 x0 ) M 0 g F
或用矩阵形式表示为：
M1
0
0 M0
x1 x0
D212 D221 0
重力项
D1 (m1 m2 )gd1 sin1 m2 gd2 sin(1 2 ) D2 m2 gd2 sin(1 2 )
4.1.2 动力学方程的两种求法
10
拉格朗日功能平衡法
表4.1给出这些系数值及其与位置 2的关系。
力学 牛顿力学 哈密尔顿 力学 拉格朗日力学 量子力学-概述说明以及解释
力学牛顿力学哈密尔顿力学拉格朗日力学量子力学-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容应该对整篇文章的主题进行简要介绍，为读者提供背景信息和基本了解。
以下是一个可能的概述部分的内容:引言:力学是自然科学中研究物体运动规律的一个重要分支。
它涉及到如何描述、分析和预测物体在受力作用下的运动状态。
牛顿力学、哈密尔顿力学、拉格朗日力学和量子力学是力学领域的几个重要理论体系，它们对于我们理解和解释物质世界中的运动现象具有重要意义。
牛顿力学是经典力学的基础，由伊萨克·牛顿在17世纪提出。
它通过牛顿三定律和牛顿运动定律，描述了宏观物体受力运动的规律，并对大多数日常物理现象提供了简单而直观的解释。
哈密尔顿力学是经典力学发展的重要阶段，由威廉·哈密尔顿在19世纪提出。
它通过哈密尔顿原理和哈密尔顿方程，以广义坐标和广义动量为描述变量，建立了描述物体运动的一种更为普遍和优雅的数学形式。
拉格朗日力学是另一种重要的经典力学形式，由约瑟夫·拉格朗日在18世纪提出。
它通过拉格朗日方程和虚功原理，利用拉格朗日函数来描述系统的动力学行为，适用于多体系统和复杂的约束情况。
量子力学是20世纪物理学的重大突破，研究微观领域中的粒子行为。
它提出了波粒二象性和薛定谔方程，对微观粒子的运动和性质进行了深入研究。
量子力学的基本概念和数学形式与经典力学截然不同，为我们理解微观世界的奇特现象提供了新的视角。
本文旨在探讨牛顿力学、哈密尔顿力学、拉格朗日力学和量子力学这四个力学理论的基本原理和应用。
通过对这些理论的比较和分析，我们可以更全面地了解力学在不同尺度和领域中的应用，以及它们对我们对物质世界的理解和探索的贡献。
在结论部分，我们将对力学的发展和未来的展望进行综合总结。
1.2 文章结构文章结构部分的内容可以从以下几个方面进行阐述：首先，文章将按照牛顿力学、哈密尔顿力学、拉格朗日力学和量子力学的顺序进行组织。
理论力学-拉格朗日方程
涨落力广泛应用于统计物理、凝聚态物理、材料科学等领域。
多体动力学问题的求解
拉格朗日方程也可以应用于多体动力学问题，下面将展示拉格朗日方程求解多体系统运动规律的实例。
数学表述
多体系统问题可以表示为n个质 点组成的整体。设第i个质点的 坐标为ri，速度为vi，将其表示 为广义坐标和广义速度，得到n 个广义坐标和广义速度的描述 向量Q。
应用
广泛应用于天体物理学、量 子力学、粒子物理学等领域。
数学表达
拉格朗日方程的核心在于始终作用量原理。通过最小作用量原理，我们可以得到物理系统的拉格朗日方程。
协变性
拉格朗日力学描述物体运动规律 不随坐标系的选择而改变。
数学形式
实验验证
拉格朗日方程为求解动力学问题 提供了一种非常便捷的数学语言。
大量实验结果证明拉格朗日方程 可以准确描述物体的运动规律。
优点
相比于牛顿运动定律，拉格朗日方程更加简明、严谨。
应用领域
涉及众多领域，如物理、数学、历史等。
研究意义
对拉格朗日方程深入理解有助于人们掌握某些方面的物理知识，提高人们的综合分析和问题 解决能力。
公式推导
拉格朗日力学与哈密顿力学是两种常用的力学描述方式。接下来，我们将比较两种描述方式，并展示拉 格朗日方程的具体公式表达。
1
拉格朗日力学
将物理问题转化为描述系统能量的拉格朗日函数，通过一组广义坐标和广义速度来表示 系统的状态。
2
哈密顿力学
基于哈密顿量，通过广义坐标和广义动量表示系统状态。哈密顿量表示粒子对系统全能 量的贡献。
公式推导
通过哈密顿原理或变分原理， 推导出Lagrangian和Lagrange's equations of motion，这样就可 以写下多体系统的Lagrangian方 程。
第4章拉格朗日力学
拉格朗日力学
§§4-1 约束 §4-2 虚功原理 §4-3 拉格朗日方程 §4-4 小振动
前面介绍的力学理论属于牛顿力学范围，虽然它提供解决力 学问题的一般方案，但也存在一些困难和不足。例如牛顿力 学方法偏重于受力分析和矢量运算，对于处理少量自由质点 或刚体运动，如果力函数均为已知，尚可应付。但对于包含 大量质点的问题，一般得到由大量微分方程构成的方程组， 特别是对于包含大量约束的问题更难处理。
= 3n-k 3n-k-r 广义坐标数
s(自由度) =
无论是几何或微分约束,都限制了坐标参量的独立变化
§4-2 虚功原理
一、 虚位移
为什么要引进虚位移？
力学体系一般受到约束条件的限制，假如只考虑约束的话， 体系在任一时刻都存在着各种可能的运动（只要满足约束即 可），在分析力学中，就是通过引进虚位移的概念，把真实 运动与这些可能的运动进行比较（依据哈密顿原理,从众多 可能的轨道中，找出作用量 S 取极值的真实轨道）, 从而 找出真实运动应该满足的方程。
(i=1,2,...,n)
(q1, q2 , , qs )
( xi , yi , zi )
(i 1, 2,..., n)
通常把上述坐标变换关系称为坐标变换方程，通常可以根据 约束条件写出。
平面摆
描述质点位置最多需要2个直角坐标 (x, y) 还受到一个几何约束 x y l
2 2 2
O
x
l
所以自由度数 s = 广义坐标数 = 2 – 1 = 1 y
A(x, y)
一个自然(而又最佳)选择是角度 ，当然我们也不排除其它选择， 如选 x 为广义坐标：
x l sin 坐标变换方程为 y l cos
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§4-1 约束
一 约束及其分类
所谓约束，如机械中的滑道，连杆，传动带，齿轮等，无 非构成限制或影响物体运动的条件，一般总是可以归结为 某种反力的作用。
自由运动: 其位置和速度完全取决于可以事先给定且有明确 形式的力(也称为主动力)和初始条件。
约束运动: 其位置和速度除了需要满足动力学方程, 同时还 要受到一些形式上不涉及任何主动力的限制关系（可以归结 于约束力）, 这些限制关系称为约束, 这类运动称为约束运动 。
➢如果限制一个质点在 z=0 平面上运动（相当于一个几何约 束），则描述该质点的位置只需要两个独立坐标参量。
➢如果两个质点保持恒定距离 l，即存在几何约束方程：
➢所以描述这两个质点的位置只需要5个独立坐标参量。
➢对于包含 n 个质点的力学体系,如果受到 k 个几何约束， 那么确定体系位形的 3n 个直角坐标参量中只有 3n-k=s 个
角坐标参量，还可以是任意的其它独立参量，只要它们能够确
定体系的位形即可。
➢广义坐标——凡是足以确定质点系位形的一组独立参量。
➢3n 个直角坐标和 s 个广义坐标之间满足一定的函数关系：
坐标变换关系 ➢通常把上述坐标变换关系称为坐标变换方程，通常可以根 据约束条件写出。
平面摆
描述质点位置最多需要2个直角坐标 (x, y) 还受到一个几何约束
对于约束运动, 之所以约束运动能够实现，完全可以看作是 受到约束力作用的后果。 与主动力不同, 约束力不能事先给 出明确的表达式, 而是与待解运动有关, 所以在研究约束体系 时必须对包含约束力的运动方程和所有约束方程进行联合求 解, 方程的数目相对于无约束的情况，不但不能减少，反而 还要增加，因此增加了复杂性，至少可以说牛顿力学方法不 适宜处理此类问题。
第4章 拉格朗日力学
2020年4月22日星期三
前面介绍的力学理论属于牛顿力学范围，虽然它提供解决力 学问题的一般方案，但也存在一些困难和不足。例如牛顿力 学方法偏重于受力分析和矢量运算，对于处理少量自由质点 或刚体运动，如果力函数均为已知，尚可应付。但对于包含 大量质点的问题，一般得到由大量微分方程构成的方程组， 特别是对于包含大量约束的问题更难处理。
O
x
lLeabharlann 所以自由度数 s = 广义坐标数 = 2 – 1 = 1
A(x, y)
y
一个自然(而又最佳)选择是角度 ，当然我们也不排除其它选择 ，如选 x 为广义坐标：
坐标变换方程为
或
平面双摆
O
x
a
描述系统位置(即A,B)最多需要４个坐标 A(x1, y1)
分析力学可以看作是经典力学的另外一种表达方式。分析力 学方法偏重于解析数学，通过一系列巧妙的数学处理方法, 对约束问题无需知道约束力, 就可以得到问题的运动微分方 程，从而得到问题的解， 实际上约束作用无法消除，只不 过它的影响是通过广义坐标和理想约束，隐含在运动方程中 。
另外分析力学以“广义坐标”，“能量”（“类能量”）代替了 牛顿力学中“坐标”和“力”的地位, 标量运算。牛顿力学和分 析力学是两种风格完全不同的力学理论，在力学范围内它 们完全等价，但是分析力学具有更加普适的表达方式，更 加方便推广到力学范围外的其它领域。
非定常约束－约束方程中显含时间的约束(也叫非稳定约束)
x O
v
M y
**3. 单面约束与双面约束
双面约束—— 约束方程可以写成等式的约束 (不可解约束) 。
单面约束—— 约束方程不能写成等式、但是可以写成 不等式的约束 (可解约束) 。
(4.3)
在可解几何约束情况下, 体系可在一侧偏离等式所代表的曲面 , 但不代表脱离约束, 实际上仍在约束所规定的范围内运动。
分析力学的 Roadmap
自由运动 约束运动
自由度 广义坐标
广义力
拉氏函数
广义速度 拉氏方程
广义坐标 广义动量
哈密顿函数 哈密顿方程
定义和简写 力学(系): 设力学系统由n个相互作用的质点组成｡
位形: 力学系统的位置状态｡描述n个质点的力学系的
位形
一般可用3n个直角坐标参量:
简写: 3n个坐标参量可以统一地写为:
是独立（变化）的，这些独立坐标参量的个数 s 一般称即体 系的运动自由度。
➢自由度——能够完全描述质点系位形所需要的可独立变化 的坐标参量的数目。
➢因此总能找到 s 个独立坐标参量
，只要这s 个独
立参量确定，那么 3n 个直角坐标的值就全部确定，也就是体
系的位形完全确定。当然这 s 个独立参量的选择不仅限于直
C
vC
O
x
y yB
A
yA
vA
O
xA
B
导 弹 跟 踪 系 统
xB
x
运动约束: 体系的运动速度受到限制的约束。又称 微分约束
一般运动约束 (微分约束) 的约束方程:
(4.2)
某些运动约束 (如果可积的话) 可以转化为几何约束 .
2. 定常约束与非定常约束
定常约束－约束方程中不显含时间的约束(也叫稳定约束)：
O
l A A0
y
x
O
x
单面约束还是双面约束？
约束方程？
l A
A0 y
**4. 完整约束与非完整约束
完整约束 —— 约束方程不包含质点速度，或者虽然包含质点 速度但约束方程单独可以积分的约束。
❖几何约束是完整约束
❖某些（运动）微分约束可以单独积分,退化成几何(完整)约束
非完整约束 —— 约束方程包含质点速度、且约束方程不可以 单独积分(必须与运动方程联立才能积分,即解出运动的同时才 能积分)的约束。 ❖可解约束也是非完整约束, 实际上可解约束的解脱条件也 与运动有关,即这类问题也要与运动方程联立求解
y
y
yB
B
C
vC
O
x
A
yA
vA
O
xA
xB
x
圆轮所受约束实际为 完 整约束。
在运动方程未解出之前约束方程 不可积分，所以是非完整约束。
二 广义坐标与自由度
下面研究体系因为受到几何（完整）约束，描述体系位形（位 置）的独立坐标参量数目和体系自由度问题。
➢一个自由质点的位置需要三个直角坐标x,y,z确定，并且 这三个坐标可以独立变化。
1. 几何约束与运动约束 约束方程:
几何约束: 只有体系的位置( 位形)受到限制的约束。
单摆(OA为刚性轻杆)
x
O
l A A0
y
一般几何约束的约束方程: (4.1)
▪独立的约束个数 ▪一个几何约束方程实际代表 3n 维空间的一个曲面 ▪常见几何约束:质点被约束在某一曲线或曲面上运动
圆轮沿水平直线无滑滚动 y