第4章 拉格朗日力学
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是独立（变化）的，这些独立坐标参量的个数 s 一般称即体 系的运动自由度。
➢自由度——能够完全描述质点系位形所需要的可独立变化 的坐标参量的数目。
➢因此总能找到 s 个独立坐标参量
，只要这s 个独
立参量确定，那么 3n 个直角坐标的值就全部确定，也就是体
系的位形完全确定。当然这 s 个独立参量的选择不仅限于直
§4-1 约束
一 约束及其分类
所谓约束，如机械中的滑道，连杆，传动带，齿轮等，无 非构成限制或影响物体运动的条件，一般总是可以归结为 某种反力的作用。
自由运动: 其位置和速度完全取决于可以事先给定且有明确 形式的力(也称为主动力)和初始条件。
约束运动: 其位置和速度除了需要满足动力学方程, 同时还 要受到一些形式上不涉及任何主动力的限制关系（可以归结 于约束力）, 这些限制关系称为约束, 这类运动称为约束运动 。
分析力学的 Roadmap
自由运动 约束运动
自由度 广义坐标
广义力
拉氏函数
广义速度 拉氏方程
广义坐标 广义动量
哈密顿函数 哈密顿方程
定义和简写 力学(系): 设力学系统由n个相Hale Waihona Puke Baidu作用的质点组成｡
位形: 力学系统的位置状态｡描述n个质点的力学系的
位形
一般可用3n个直角坐标参量:
简写: 3n个坐标参量可以统一地写为:
第4章 拉格朗日力学
2020年4月22日星期三
前面介绍的力学理论属于牛顿力学范围，虽然它提供解决力 学问题的一般方案，但也存在一些困难和不足。例如牛顿力 学方法偏重于受力分析和矢量运算，对于处理少量自由质点 或刚体运动，如果力函数均为已知，尚可应付。但对于包含 大量质点的问题，一般得到由大量微分方程构成的方程组， 特别是对于包含大量约束的问题更难处理。
分析力学可以看作是经典力学的另外一种表达方式。分析力 学方法偏重于解析数学，通过一系列巧妙的数学处理方法, 对约束问题无需知道约束力, 就可以得到问题的运动微分方 程，从而得到问题的解， 实际上约束作用无法消除，只不 过它的影响是通过广义坐标和理想约束，隐含在运动方程中 。
另外分析力学以“广义坐标”，“能量”（“类能量”）代替了 牛顿力学中“坐标”和“力”的地位, 标量运算。牛顿力学和分 析力学是两种风格完全不同的力学理论，在力学范围内它 们完全等价，但是分析力学具有更加普适的表达方式，更 加方便推广到力学范围外的其它领域。
y
y
yB
B
C
vC
O
x
A
yA
vA
O
xA
xB
x
圆轮所受约束实际为 完 整约束。
在运动方程未解出之前约束方程 不可积分，所以是非完整约束。
二 广义坐标与自由度
下面研究体系因为受到几何（完整）约束，描述体系位形（位 置）的独立坐标参量数目和体系自由度问题。
➢一个自由质点的位置需要三个直角坐标x,y,z确定，并且 这三个坐标可以独立变化。
对于约束运动, 之所以约束运动能够实现，完全可以看作是 受到约束力作用的后果。 与主动力不同, 约束力不能事先给 出明确的表达式, 而是与待解运动有关, 所以在研究约束体系 时必须对包含约束力的运动方程和所有约束方程进行联合求 解, 方程的数目相对于无约束的情况，不但不能减少，反而 还要增加，因此增加了复杂性，至少可以说牛顿力学方法不 适宜处理此类问题。
非定常约束－约束方程中显含时间的约束(也叫非稳定约束)
x O
v
M y
**3. 单面约束与双面约束
双面约束—— 约束方程可以写成等式的约束 (不可解约束) 。
单面约束—— 约束方程不能写成等式、但是可以写成 不等式的约束 (可解约束) 。
(4.3)
在可解几何约束情况下, 体系可在一侧偏离等式所代表的曲面 , 但不代表脱离约束, 实际上仍在约束所规定的范围内运动。
O
l A A0
y
x
O
x
单面约束还是双面约束？
约束方程？
l A
A0 y
**4. 完整约束与非完整约束
完整约束 —— 约束方程不包含质点速度，或者虽然包含质点 速度但约束方程单独可以积分的约束。
❖几何约束是完整约束
❖某些（运动）微分约束可以单独积分,退化成几何(完整)约束
非完整约束 —— 约束方程包含质点速度、且约束方程不可以 单独积分(必须与运动方程联立才能积分,即解出运动的同时才 能积分)的约束。 ❖可解约束也是非完整约束, 实际上可解约束的解脱条件也 与运动有关,即这类问题也要与运动方程联立求解
1. 几何约束与运动约束 约束方程:
几何约束: 只有体系的位置( 位形)受到限制的约束。
单摆(OA为刚性轻杆)
x
O
l A A0
y
一般几何约束的约束方程: (4.1)
▪独立的约束个数 ▪一个几何约束方程实际代表 3n 维空间的一个曲面 ▪常见几何约束:质点被约束在某一曲线或曲面上运动
圆轮沿水平直线无滑滚动 y
➢如果限制一个质点在 z=0 平面上运动（相当于一个几何约 束），则描述该质点的位置只需要两个独立坐标参量。
➢如果两个质点保持恒定距离 l，即存在几何约束方程：
➢所以描述这两个质点的位置只需要5个独立坐标参量。
➢对于包含 n 个质点的力学体系,如果受到 k 个几何约束， 那么确定体系位形的 3n 个直角坐标参量中只有 3n-k=s 个
O
x
l
所以自由度数 s = 广义坐标数 = 2 – 1 = 1
A(x, y)
y
一个自然(而又最佳)选择是角度 ，当然我们也不排除其它选择 ，如选 x 为广义坐标：
坐标变换方程为
或
平面双摆
O
x
a
描述系统位置(即A,B)最多需要４个坐标 A(x1, y1)
角坐标参量，还可以是任意的其它独立参量，只要它们能够确
定体系的位形即可。
➢广义坐标——凡是足以确定质点系位形的一组独立参量。
➢3n 个直角坐标和 s 个广义坐标之间满足一定的函数关系：
坐标变换关系 ➢通常把上述坐标变换关系称为坐标变换方程，通常可以根 据约束条件写出。
平面摆
描述质点位置最多需要2个直角坐标 (x, y) 还受到一个几何约束
C
vC
O
x
y yB
A
yA
vA
O
xA
B
导 弹 跟 踪 系 统
xB
x
运动约束: 体系的运动速度受到限制的约束。又称 微分约束
一般运动约束 (微分约束) 的约束方程:
(4.2)
某些运动约束 (如果可积的话) 可以转化为几何约束 .
2. 定常约束与非定常约束
定常约束－约束方程中不显含时间的约束(也叫稳定约束)：
➢自由度——能够完全描述质点系位形所需要的可独立变化 的坐标参量的数目。
➢因此总能找到 s 个独立坐标参量
，只要这s 个独
立参量确定，那么 3n 个直角坐标的值就全部确定，也就是体
系的位形完全确定。当然这 s 个独立参量的选择不仅限于直
§4-1 约束
一 约束及其分类
所谓约束，如机械中的滑道，连杆，传动带，齿轮等，无 非构成限制或影响物体运动的条件，一般总是可以归结为 某种反力的作用。
自由运动: 其位置和速度完全取决于可以事先给定且有明确 形式的力(也称为主动力)和初始条件。
约束运动: 其位置和速度除了需要满足动力学方程, 同时还 要受到一些形式上不涉及任何主动力的限制关系（可以归结 于约束力）, 这些限制关系称为约束, 这类运动称为约束运动 。
分析力学的 Roadmap
自由运动 约束运动
自由度 广义坐标
广义力
拉氏函数
广义速度 拉氏方程
广义坐标 广义动量
哈密顿函数 哈密顿方程
定义和简写 力学(系): 设力学系统由n个相Hale Waihona Puke Baidu作用的质点组成｡
位形: 力学系统的位置状态｡描述n个质点的力学系的
位形
一般可用3n个直角坐标参量:
简写: 3n个坐标参量可以统一地写为:
第4章 拉格朗日力学
2020年4月22日星期三
前面介绍的力学理论属于牛顿力学范围，虽然它提供解决力 学问题的一般方案，但也存在一些困难和不足。例如牛顿力 学方法偏重于受力分析和矢量运算，对于处理少量自由质点 或刚体运动，如果力函数均为已知，尚可应付。但对于包含 大量质点的问题，一般得到由大量微分方程构成的方程组， 特别是对于包含大量约束的问题更难处理。
分析力学可以看作是经典力学的另外一种表达方式。分析力 学方法偏重于解析数学，通过一系列巧妙的数学处理方法, 对约束问题无需知道约束力, 就可以得到问题的运动微分方 程，从而得到问题的解， 实际上约束作用无法消除，只不 过它的影响是通过广义坐标和理想约束，隐含在运动方程中 。
另外分析力学以“广义坐标”，“能量”（“类能量”）代替了 牛顿力学中“坐标”和“力”的地位, 标量运算。牛顿力学和分 析力学是两种风格完全不同的力学理论，在力学范围内它 们完全等价，但是分析力学具有更加普适的表达方式，更 加方便推广到力学范围外的其它领域。
y
y
yB
B
C
vC
O
x
A
yA
vA
O
xA
xB
x
圆轮所受约束实际为 完 整约束。
在运动方程未解出之前约束方程 不可积分，所以是非完整约束。
二 广义坐标与自由度
下面研究体系因为受到几何（完整）约束，描述体系位形（位 置）的独立坐标参量数目和体系自由度问题。
➢一个自由质点的位置需要三个直角坐标x,y,z确定，并且 这三个坐标可以独立变化。
对于约束运动, 之所以约束运动能够实现，完全可以看作是 受到约束力作用的后果。 与主动力不同, 约束力不能事先给 出明确的表达式, 而是与待解运动有关, 所以在研究约束体系 时必须对包含约束力的运动方程和所有约束方程进行联合求 解, 方程的数目相对于无约束的情况，不但不能减少，反而 还要增加，因此增加了复杂性，至少可以说牛顿力学方法不 适宜处理此类问题。
非定常约束－约束方程中显含时间的约束(也叫非稳定约束)
x O
v
M y
**3. 单面约束与双面约束
双面约束—— 约束方程可以写成等式的约束 (不可解约束) 。
单面约束—— 约束方程不能写成等式、但是可以写成 不等式的约束 (可解约束) 。
(4.3)
在可解几何约束情况下, 体系可在一侧偏离等式所代表的曲面 , 但不代表脱离约束, 实际上仍在约束所规定的范围内运动。
O
l A A0
y
x
O
x
单面约束还是双面约束？
约束方程？
l A
A0 y
**4. 完整约束与非完整约束
完整约束 —— 约束方程不包含质点速度，或者虽然包含质点 速度但约束方程单独可以积分的约束。
❖几何约束是完整约束
❖某些（运动）微分约束可以单独积分,退化成几何(完整)约束
非完整约束 —— 约束方程包含质点速度、且约束方程不可以 单独积分(必须与运动方程联立才能积分,即解出运动的同时才 能积分)的约束。 ❖可解约束也是非完整约束, 实际上可解约束的解脱条件也 与运动有关,即这类问题也要与运动方程联立求解
1. 几何约束与运动约束 约束方程:
几何约束: 只有体系的位置( 位形)受到限制的约束。
单摆(OA为刚性轻杆)
x
O
l A A0
y
一般几何约束的约束方程: (4.1)
▪独立的约束个数 ▪一个几何约束方程实际代表 3n 维空间的一个曲面 ▪常见几何约束:质点被约束在某一曲线或曲面上运动
圆轮沿水平直线无滑滚动 y
➢如果限制一个质点在 z=0 平面上运动（相当于一个几何约 束），则描述该质点的位置只需要两个独立坐标参量。
➢如果两个质点保持恒定距离 l，即存在几何约束方程：
➢所以描述这两个质点的位置只需要5个独立坐标参量。
➢对于包含 n 个质点的力学体系,如果受到 k 个几何约束， 那么确定体系位形的 3n 个直角坐标参量中只有 3n-k=s 个
O
x
l
所以自由度数 s = 广义坐标数 = 2 – 1 = 1
A(x, y)
y
一个自然(而又最佳)选择是角度 ，当然我们也不排除其它选择 ，如选 x 为广义坐标：
坐标变换方程为
或
平面双摆
O
x
a
描述系统位置(即A,B)最多需要４个坐标 A(x1, y1)
角坐标参量，还可以是任意的其它独立参量，只要它们能够确
定体系的位形即可。
➢广义坐标——凡是足以确定质点系位形的一组独立参量。
➢3n 个直角坐标和 s 个广义坐标之间满足一定的函数关系：
坐标变换关系 ➢通常把上述坐标变换关系称为坐标变换方程，通常可以根 据约束条件写出。
平面摆
描述质点位置最多需要2个直角坐标 (x, y) 还受到一个几何约束
C
vC
O
x
y yB
A
yA
vA
O
xA
B
导 弹 跟 踪 系 统
xB
x
运动约束: 体系的运动速度受到限制的约束。又称 微分约束
一般运动约束 (微分约束) 的约束方程:
(4.2)
某些运动约束 (如果可积的话) 可以转化为几何约束 .
2. 定常约束与非定常约束
定常约束－约束方程中不显含时间的约束(也叫稳定约束)：