圆锥曲线问题通法通解
圆锥曲线解题十招全归纳
《圆锥曲线解题十招全归纳》招式一：弦的垂直平分线问题 (2)招式二：动弦过定点的问题 (4)招式四：共线向量问题 (6)招式五：面积问题 (13)招式六：弦或弦长为定值、最值问题 (16)招式七：直线问题 (20)招式八：轨迹问题 (24)招式九：对称问题 (30)招式十、存在性问题 (33)招式一：弦的垂直平分线问题例题1、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ∆是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。
解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。
设直线:(1)l y k x =+，0k ≠，11(,)A x y ，22(,)B x y 。
由2(1)y k x y x=+⎧⎨=⎩消y 整理，得2222(21)0k x k x k +-+= ① 由直线和抛物线交于两点，得2242(21)4410k k k ∆=--=-+> 即2104k <<② 由韦达定理，得：212221,k x x k -+=-121x x =。
则线段AB 的中点为22211(,)22k k k--。
线段的垂直平分线方程为：221112()22k y x k k k --=--令y=0,得021122x k =-，则211(,0)22E k -ABE ∆为正三角形，∴211(,0)22E k -到直线AB 的距离d 。
AB =21k =+2d k=21k +=k =053x =。
【涉及到弦的垂直平分线问题】这种问题主要是需要用到弦AB 的垂直平分线L 的方程，往往是利用点差或者韦达定理．．．．．．．．产生弦AB 的中点坐标M ，结合弦AB 与它的垂直平分线L 的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线L 的方程，然后解决相关问题，比如：求L 在x 轴y 轴上的截距的取值范围，求L 过某定点等等。
有时候题目的条件比较隐蔽，要分析后才能判定是有关弦AB 的中点问题，比如：弦与某定点D 构成以D 为顶点的等腰三角形（即D 在AB 的垂直平分线上）、曲线上存在两点AB 关于直线m 对称等等。
高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结及高考试题和答案
圆锥曲线1.圆锥曲线的两定义：第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。
若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。
若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
如方程8=表示的曲线是_____（答：双曲线的左支）2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>），焦点在y 轴上时2222bx a y +＝1（0a b >>）。
方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。
若R y x ∈,，且62322=+y x ，则y x +的最大值是____，22y x +的最小值是___（答：）（2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：2222bx a y -＝1（0,0a b >>）。
方程22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么（ABC ≠0，且A ，B异号）。
如设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2=e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C 的方程为_______（答：226x y -=）（3）抛物线：开口向右时22(0)y px p =>，开口向左时22(0)y px p =->，开口向上时22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。
圆锥曲线解题方法技巧归纳(整理)
圆锥曲线解题方法技巧归纳一、知识储备:1.直线方程的形式(1)直线方程的形式有五种：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。
(2 )与直线相关的重要内容(3 )弦长公式直线y kx b 与圆锥曲线两交点 A(x 1,y 1), B(x 2,y 2)间的距离:AB 1 k 2 X 1 X2I ,：(1 k 2 )[(x1 X 2)4x 1X 2]或 AB(若A 点为交点，另一点不在圆锥曲线上，上式仍然成立。
)(4)两条直线的位置关系① l 1 l 2 k 1 k 2 =-1 ② h 〃l 2 k 1 k 2且b 1 b 22、圆锥曲线方程及性质(1)、椭圆的方程的形式(三种形式)2 2x y —1(m 0,n 0 且 m n) m n距离式方程：.(x c)2y 2 , (x c)2 y 22a参数方程：x a cos , y bsin (2)、双曲线的方程的形式有两种2 2标准方程：——1(m n 0)m n①倾斜角与斜率k tan , [0,)②点到直线的距离Ax o By 。
C .■ A 2 B 2③夹角公式：tan 1 k 2k 1④两直线距离公式I CT -C S I标准方程:参数方程：u 二atane , y = b⑶、三种圆锥曲线的通径⑹、记住焦半径公式：(1)椭圆焦点在x 轴上时为a ex o ；焦点在y 轴上时为a ey 0 ,可简记为“左加右减，上加下减”。
(2)双曲线焦点在x 轴上时为e|X o | a(3)抛物线焦点在x 轴上时为|X i | $焦点在y 轴上时为|%|(6)、椭圆和双曲线的基本量三角形 二、方法储备 1点差法(中点弦问题)2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什么？如果有两个参数怎么办?设直线的方程，并且与曲线的方程联立， 消去一个未知数，得到一个二次方程，使用判 别式 0，以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点 A(x ,, y 1), B(x 2, y 2), 将这两点代入曲线方程得到 ①②两个式子，然后01 -②，整体消元•母未知数，则要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点椭圆：空；双曲线: a 竺；抛物线：2pa⑷、 圆锥曲线的定义 ⑸、 焦点三角形面积公式:P 在椭圆上时，S F 1PF 2P 在双曲线上时，S F 1PF 2(其中F 1PF 2,cos 卅护b 2cot —2,P F 1?P F 2|P F1设A X i , y i 、B X 2, y2 ,yi 为椭圆专+詈二L ab的弦AB 中点则有x 1 x 2 x 1X 2Vi T =1;两式相减得y 1 y 2 屮 y_K AB =，若有两个字F共线解决之。
圆锥曲线解题技巧与方法综合如何通过直角坐标系解析法解决圆锥曲线问题
圆锥曲线解题技巧与方法综合如何通过直角坐标系解析法解决圆锥曲线问题圆锥曲线是数学中的重要概念之一，在几何学和代数学领域都有广泛的应用。
通过直角坐标系解析法，我们可以用简洁而准确的方式解决与圆锥曲线相关的问题。
本文将介绍圆锥曲线的基本知识，并以解析法为重点，总结圆锥曲线解题的技巧与方法。
一、圆锥曲线的基本概念圆锥曲线是由平面与圆锥相交而形成的曲线。
常见的圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线。
这些曲线在直角坐标系中有各自的特点和方程。
1. 椭圆椭圆是圆锥和平面相交所形成的曲线。
在直角坐标系中，椭圆的标准方程为：(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1其中，(h, k)为椭圆的中心坐标，a为椭圆长轴的一半长度，b为椭圆短轴的一半长度。
2. 双曲线双曲线同样是由圆锥和平面相交所形成的曲线。
在直角坐标系中，双曲线的标准方程为：(x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1其中，(h, k)为双曲线的中心坐标，a为双曲线长轴的一半长度，b为双曲线短轴的一半长度。
3. 抛物线抛物线是由圆锥和平面相交所形成的曲线。
在直角坐标系中，抛物线的标准方程为：y = ax² + bx + c其中，a、b、c为常数，决定了抛物线的形状和位置。
二、通过直角坐标系解析法解决圆锥曲线问题的技巧与方法通过直角坐标系解析法，我们可以通过曲线的方程和几何特征来解决与圆锥曲线相关的问题。
以下是一些解题的常用技巧与方法：1. 求解曲线的方程通过已知的几何信息，我们可以得到曲线的方程。
根据曲线的类型，选择合适的标准方程，并通过已知点或其他条件来确定方程中的参数。
2. 求解曲线的焦点和准线对于椭圆和双曲线，焦点和准线是重要的几何特征。
通过方程中的参数，我们可以计算焦点和准线的坐标。
3. 求解曲线的顶点和开口方向抛物线的顶点和开口方向也是重要的几何特征。
2022高考数学二轮复习 圆锥曲线经典难题之一类交点轨迹问题的通性通法研究(解析版)
微专题18 圆锥曲线经典难题之一类交点轨迹问题的通性通法研究秒杀总结交点轨迹问题的常用技巧： 1.两直线方程相乘消元2.两直线方程相除，相当于两斜率比问题，平方转韦达结构可消元3.定比点差法4.同构5.硬解坐标典型例题例1．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线2222Γ:1(0,0)x y a b a b-=>>过点()4,13，离心率:9l x =交x 轴于点A ，过点A 作直线交双曲线Γ于,M N 两点. (1)求双曲线Γ的标准方程；(2)若M 是线段AN 的中点，求直线MN 的方程；(3)设,P Q 是直线l 上关于x 轴对称的两点，直线PM 与QN 的交点是否在一条直线上？请说明你的理由.【答案】(1)221339x y -=(2)90x y +-=或90x y --=(3)直线PM 与QN 的交点在定直线，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出方程组，结合222c a b =+，求得,a b 的值，得出双曲线的标准方程， （2）设00(,)N x y ，则009(,)22x y M +，联立方程组，求得,M N 的坐标，即可求得直线MN 的方程；（3）设(9,),(9,)P t Q t -，得到9:N x M my =+，联立方程组，求得1212,y y y y +，再由直线PM 和QN 的方程，求得交点的横坐标，即可求解． (1)由题意得：22161691a b -=，ca=222+=a b c . 解得23a =，239=b ，所以双曲线Γ的标准方程为221339x y -=. (2)方法1：设()00,N x y ，则009,22x y M +⎛⎫⎪⎝⎭ 依题意有()2200220013399134394x y x y ⎧-=⎪⎪⎨+⎪-=⎪⨯⨯⎩解得04x =-，013y =± 所以直线MN 的方程为90x y +-=或90x y --=.方法2：设直线MN 的方程为()9=-y k x ，与双曲线的方程221339x y -=联立得：()()2222131881390k xk x k -+-+=.当()()42232441381390k k k ∆=+-+>时设()11,M x y ，()22,N x y ，得21221813k x x k +=--，2122813913k x x k +=--. 又因为2192x x +=，所以22293913k x k +=--，2222298139213x x k k++=--，解得21k =. 此时0∆>，所以直线MN 的方程为90x y +-=或90x y --=. (3)方法1：设()9,P t ，()9,Q t -， 直线PM 的方程为()1199y t y t x x --=--，直线ON 的方程()2299y ty t x x ++=--， 联立两方程，可得()21212999y t y t t x x x ⎛⎫+-=-- ⎪--⎝⎭① 结合（2）方法2，可得()()()()2112212121121299189999981k x t k x tt x x y t y t x x x x x x x x -+--+-+--=-=-----++ 代入①得()()1212121829981x x x x x x x +-=⋅--++故()222212122122813918292913131181831813k k x x x x k k x k x x k ⎛⎫⎛⎫+--- ⎪ ⎪-+--⎝⎭⎝⎭===+---. 所以直线PM 与QN 的交点在定直线13x =上.方法2设直线MN 的方程为9x my =+，与双曲线的方程221339x y -=联立得：()2213123410140my my -++=.设()11,M x y ，()22,N x y ，()9,P t ，()9,Q t -，由根与系数的关系，得122234131m y y m +=--，1221014131y y m =-. PM l ：()1199y t y t x x --=--，QN l ：()2299y ty t x x ++=--，联立两方程，可得： ()()()212112212112299999y t y t y t y t y y t x x t x x x my my my y ⎛⎫⎛⎫+-+-+=--=--=- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ ()()22234313199101413131mm t x t x m m --=⋅-=--⋅-，解得13x =所以直线PM 与QN 的交点在定直线13x =上.例2．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点()0,F c (0)c >到直线:20l x y --=的距离为2． (1)求抛物线C 的方程；(2)设点0(P x ，0)y 为直线l 上一动点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点，求直线AB 的方程，并证明直线AB 过定点Q ；(3)过（2）中的点Q 的直线m 交抛物线C 于A ，B 两点，过点A ，B 分别作抛物线C 的切线1l ，2l ，求1l ，2l 交点M 满足的轨迹方程．【答案】(1)24x y =(2)直线AB 的方程为00220x x y y --=，证明见解析 (3)20x y --= 【解析】 【分析】（1）利用点到直线的距离公式直接求得c 值；（2）设0(P x ，02)x -，设切点为2(,)4x x ，曲线2:4x C y =，2x y '=，从而2002480x x x x -+-=，由此能求出直线00220x x y y --=，并能证明直线AB 过定点(2,2)Q ； （3）设1(A x ，21)4x ，222(,)4x B x ，从而求出交点12(2x x M +，12)4x x ，设过Q 点的直线为(2)2y k x =-+，联立()2224y k x x y⎧=-+⎨=⎩，得24880x kx k -+-=，由此能求出点M 满足的轨迹方程为20x y --=． (1)设抛物线的方程为22x py =，∵抛物线C 的焦点()0,F c (0)c >到直线:20l x y --=的距离为2，1c =或5c =-（舍去)， ∴12p=，2p =， ∴抛物线C 的方程为24x y =． (2)设0(P x ，02)x -，设切点为2(,)4x x ，曲线2:4x C y =，2x y '=，则切线的斜率为200(2)42x x x y x x --='=-，化简得2002480x x x x -+-=， 设1(A x ，21)4x ，222(,)4x B x ，则1x ，2x 是以上方程的两根，则1202x x x +=，12048x x x =-，2212012124442ABx x x x x k x x -+===-， 直线AB 的方程为：2011()42x x y x x -=-，整理得20011242x x x x y x =-+，∵切线PA 的方程为2111()42x x y x x -=-，整理得21124x x y x =-，且点0(P x ，0)y 在切线PA 上， ∴2110024x x y x =-，即直线AB 的方程为：002x y x y =-，化简得00220x x y y --=，又∵002y x =-，∴()02240x x y --+=， 故直线AB 过定点(2,2)Q ． (3) 设1(A x ，21)4x ，222(,)4x B x ，过A 的切线2111()24x x y x x =-+，过B 的切线2222()24x x y x x =-+，则交点12(2x x M +，12)4x x 设过Q 点的直线为(2)2y k x =-+，联立()2224y k x x y⎧=-+⎨=⎩，得24880x kx k -+-=，∴124x x k +=，1282x x k =-， ∴(2,22)M k k -， ∴2y x =-．∴点M 满足的轨迹方程为20x y --=．例3．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，椭圆上的点到焦点的最小距离为1． (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且(OA OB O ⊥为坐标原点），OH AB ⊥于H 点．试求点H 的轨迹方程． 【答案】(1)22143x y +=； (2)22127x y +=. 【解析】 【分析】（1）根据题意椭圆上的点到焦点的最小距离得1a c -=，再根据离心率为12，得12c a =，即可解得椭圆C 的方程.（2）直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，根据题意求出l x ⊥轴时，点(H ， l y ⊥轴，(0,H .当直线l 的斜率存在且不为0时，设:l y kx m =+，联立直线与椭圆方程，韦达定理写出12x x +、12x x 关于k 与m 的式子，再把12y y 的式子也用k 与m 表示出来，再利用OA OB ⊥，知12120x x y y +=，代入得22712(1)m k =+，再利用OH AB ⊥得直线OH 的方程为1=-y x k，联立直线OH 与直线l ，把k 与m 用x 与y 表示出来，代入22712(1)m k =+中，化简即可得到关于x 与y 的方程，再结合①②即可得到答案.(1)由题意知：12c e a ==，1a c -=，222a b c =+，解得2a =，23b =． 故椭圆的方程为22143x y +=． (2)设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，（i ）若l x ⊥轴，可设0(H x ，0)，因OA OB ⊥，则0(A x ，0)x ±．由2200143x x +=，得20127x =，即(H ； 若l y ⊥轴，可设0(0)H y ,，同理可得(0,H ； （ii ）当直线l 的斜率存在且不为0时，设:l y kx m =+，由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：222(34)84120k x kmx m +++-=，则21212228412,3434km m x x x x k k -+=-=++， 2222121212122312()()()34m k y y kx m kx m k x x km x x m k -=++=+++=+， 由OA OB ⊥，知12120x x y y +=．故2222241231203434m m k k k --+=++， 即22712(1)m k =+（记为①)．由OH AB ⊥，可知直线OH 的方程为1=-y x k，联立方程组1y kx m y x k =+⎧⎪⎨=-⎪⎩，得2x k y x m y y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（记为②)， 将②代入①，化简得22127x y +=． 综合（1）、（2），可知点H 的轨迹方程为22127x y +=． 例4．（2022·全国·高三开学考试（理））椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>过点(). (1)求椭圆E 的方程；(2)1F ，2F 分别为椭圆E 的左､右焦点，动点A ，B 在椭圆上（不含长轴端点），且关于y 轴对称，P 为椭圆上异于A ，B 的动点，直线P A 与PB 分别交y 轴于M ，N 两点求证：直线1MF 与2NF 的交点在定圆上.【答案】(1)221168x y += (2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）依题意可得a 且b c =，再根据椭圆过点()，即可求出c ，从而得解； （2）设()11,A x y ，()22,P x y ，()11,B x y -，即可得到AP 、BP 的方程，表示出M 、N 的坐标，从而得到1MF 、2NF ，两式相乘整理即可得到交点方程； (1)解：由c a =得a ，由222c a b =-，所以b c =，把点()代入方程得228412c c+=，所以28c =， 所以椭圆E 的方程为221168x y +=.(2)解：设()11,A x y ，()22,P x y ，()11,B x y -， 由AP 方程：()211121y y y y x x x x --=--，得2112210,x y x y M x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭， 由BP 方程：()211121y y y y x x x x --=++，得2112210,x y x y N x x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭， ∴1MF 的方程为y x =+，①2NF 的方程为y x -，②由①②相乘得()()2222222112222188x y x y y x x x -=---，③ 由A ，P 在椭圆上可得221182x y =-，222282x y =-，代入③式可得：()228y x =--，即直线1MF 与2NF 的交点在定圆228x y +=上.过关测试1．（2022·上海民办南模中学高三阶段练习）如图，A 、B 是椭圆22:143x y C +=长轴的两个端点，M 、N 是椭圆上与A 、B 均不重合的相异两点，设直线AM 、BN 、AN 的斜率分别是1k 、2k 、3k ．(1)若直线MN 过点()1,0，求证：13k k ⋅为定值；(2)设直线MN 与x 轴的交点为(),0t (t 为常数且0t ≠)，试探究直线AM 与直线BN 的交点Q 是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)是，4x t=. 【解析】 【分析】(1)设直线MN 为：1x my =+，()11,M x y ，()22,N x y ，联立MN 方程和椭圆方程，根据韦达定理和斜率计算公式计算13k k ⋅即可；(2)设MN ：x my t =+，()11,M x y ，()22,N x y .联立MN 方程和椭圆方程，求得根与系数关系.联立AM 与BN 方程，消去y ，求解x ，将根与系数关系代入化简即可求解. (1)设直线MN 为：1x my =+，()11,M x y ，()22,N x y ，由221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得，()223469m y my ++-=0，∴122634my y m +=-+，122934y y m -=+， ∴()12121213212121212·223339y y y y y y k k x x my my m y y m y y =⋅=⋅=+++++++ 2222222999134969182736364393434m m m m m m m m m ---+====---++⎛⎫⎛⎫⋅-+-+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， ∴13k k ⋅为定值14-；(2)设MN ：x my t =+，()11,M x y ，()22,N x y .()222221436312043x y m y mty t x my t ⎧+=⎪⇒+++-=⎨⎪=+⎩， 122643mt y y m -∴+=+，212231243t y y m -=+，∴212643mt y y m -=-+， 则()11:22y AM y x x =++，()22:22y BN y x x =--， AM 和BN 方程联立得，()()12122222y y x x x x +=-+-， 即()()()()1212212212112122222222my t y my y t y x y x x x y my t y my y t y ++++++=⋅==--+-+- ()()2122212312624343312243t mt m t y m m t m t y m --⎛⎫⋅++⋅- ⎪++⎝⎭=-⋅+-⋅+ ()()()()()()2212213122643312243m t t mt m y m t t m y ⎡⎤-++--+⎣⎦=-+-+ ()()()()()2221221312612243312243mt m mt mt t m y m t t m y ----++=-+-+()()()()()22122131212243312243mt mt m t m y m t t m y ----++=-+-+()()()()()()221213(2)243322243m t t m y m t t t m y -+-++=+-+-+()()()()21213243223243m t m y t t m t m y -+-++=⋅-+++ 22t t+=-， 即22422x t x x t t++=⇒=--， 即直线AM 与直线BN 的交点Q 是否落在某条定直线4x t=上. 2．（2022·江苏南京·高三开学考试）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0x y a b a b +=>>)的上顶点为(0,2)A ，离心率e =过原点O 的直线(与坐标轴不重合)与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线P A ，QA 分别与x 轴交于M ，N 两点，过点M ，N 分别作直线P A ，QA 的垂线，设交点为R ． (1)求椭圆C 的方程；(2)证明：点R 在定直线上运动． 【答案】(1)22184x y +=(2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意得到2b =，再由e =28a =，即可求得椭圆的标准方程； （2）设直线PQ 的方程为y kx =，联立方程组求得122812x x k =-+，得到2122812ky y k=-+，分别求得AP 和AQ 的方程，求得112(,0)2x M y --，222(,0)2x N y --，结合,MR AP NG AQ ⊥⊥，求得MR 和NR 的方程，代入即可求解. (1)解：由题意，椭圆C ：22221(0x y a b a b+=>>)的上顶点为(0,2)A ，可得2b =，由离心率e =2222112c b a a =-=，解得28a =， 所以椭圆的方程为22184x y +=.(2)解：由题意知，直线PQ 的斜率存在，设直线PQ 的方程为y kx =，联立方程组2228y kxx y =⎧⎨+=⎩，整理得22(12)80k x +-=， 设1122(,),(,)P x y Q x y ，可得1212280,12x x x x k +==-+，则221212121228()0,12k y y k x x y y k x x k +=+===-+，又由(0,2)A ，所以直线AP 的方程为1122(0)y y x x --=-，即1122y y x x -=+， 令0y =，可得1122x x y -=-，即112(,0)2x M y --， 同理可得：直线AQ 的方程为2222y y x x -=+，点222(,0)2x N y --，因为,MR AP NR AQ ⊥⊥，所以1212,22MR NR x x k k y y --==--， 所以直线MR 的方程为11112(+)22x x y x y y -=--，可得1111222y x x y x y -=--- 直线NR 的方程为22222()22x x y x y y -=+--，可得2222222y x x y x y -=---， 所以11221122222222y x y x y y x y x y ---=-----，整理得211221122222()22y y x x y x x y y ---=---， 所以1211222121211212222424(2)(2)x y x kx x x x y x x y x y x x y y --+-++-⋅=--，又因为2211,y kx y kx ==，所以1211222121211212222424(2)(2)kx x x kx x x kx x x kx x x y x x y y --+-++-⋅=--，所以2112121222444x x x x y x x y y --+⋅=+， 所以1212122122222248441212x x x x x x y k y y k k ===+-+++ ， 因为122812x x k =-+，所以2216124124k y k -+=⋅=-+，所以点R 在定直线4y =-上运动.3．（2022·山西·一模（理））在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率e =⎛ ⎝⎭，A ，B 分别是C 的左、右顶点． (1)求C 的方程；(2)已知过点()1,0G 的直线交C 于M ，N 两点（异于点A ，B ），试证直线MA 与直线NB 的交点在定直线上．【答案】(1)22142x y +=； (2)证明见解析. 【解析】 【分析】(1)将点的坐标代入椭圆方程得出关于a 、b 的方程，结合离心率列出方程组，解方程组即可； (2)设过点G 的直线方程为1x my =+、()()1122,,M x y N x y 、，联立椭圆方程，利用韦达定理表示出1212y y y y +、，根据直线的点斜式方程求出直线AM 与BN 的方程，两式相除，化简计算可得直线AM 与BN 的交点的横坐标为4，即可证明.(1) 由题意知，222221614c a a b a b c⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，化简得2213122a b b ⎧=⎪⎨+=⎪⎩， 解得2242a b ==，，故椭圆的方程为22142x y +=；(2)设过点G 的直线方程为1x my =+，221142x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，得22(2)230m y my ++-=， 22412(2)0m m ∆=++>，设()()1122,,M x y N x y ，， 则1212222322m y y y y m m --+==++，，所以12123()2my y y y =+ 又(2,0)(2,0)A B -，，得121222AM BN y y k k x x ==+-，， 所以直线AM 的方程为11(2)2y y x x =++，直线BN 的方程为22(2)2y y x x =--，两式相除， 得121222122y x x x y x -+=⋅⋅+-，即1221(2)2(2)2x y x x y x ++=--，又12212121212221211211211233393(2)(3)3222233313(2)(1)2222y y y y y x y my y my y y x y my y my y y y y y y y ++++++=====---+-+， 即232x x +=-，解得4x =， 即直线AM 与BN 的交点的横坐标为4， 所以直线AM 与BN 的交点在定直线4x =上.4．（2022·河南·模拟预测（理））在直角坐标系xOy 中，椭圆22:14x C y +=与直线:1l x my =+交于M ，N 两点，P 为MN 的中点．(1)若0m <，且N 在x 轴下方，求tan OPN ∠的最大值；(2)设A ，B 为椭圆的左、右顶点，证明：直线AN ，BM 的交点D 恒在一条定直线上． 【答案】(1)43-(2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用三角形外角的性质，找到tan OPN ∠与直线MN ，OP 倾角的关系，从而找到斜率关系，联立直线MN 与椭圆得到韦达定理，然后利用两角和差公式以及均值不等式求解即可. （2）利用坐标分别表示出直线AN ，BM 的方程，联立方程组可发现其两直线交点横坐标为定值. (1)设()11,M x y ，()22,N x y ．（1）记l 的倾斜角为α，OP 的倾斜角为β，则OPN αβ∠=-． 由221,1,4x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()224230m y my ++-=，则1221222,43,4m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩所以()22122824x x m y y m +=++=+，于是224,44m P m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．故4OP m k =-． 所以()14144tan tan 11 34314l OP OP l m k k m m OPN k k m αβ+-⎛⎫∠=-===+≤- ⎪+⋅⎝⎭-， 当且仅当14mm -=-，即2m =-时，取到“=” ．所以tan OPN ∠的最大值为43-．(2)易知()2,0A -，()2,0B ．由题意知222AN y k x =+，112BM y k x =-， 所以直线AN 的方程为()2222y y x x =++，直线BM 的方程为()1122y y x x =--．令()()1212222 2y yx x x x -=+-+，解之得()()()()211212211221122222 426223y x y x my y y y x y x y x y y -++-+==+--+()()1221221111212324 2 8428 444222 4m m y my y y y y m m m y y y y m -⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪-++++⎝⎭⎝⎭===++⎛⎫+- ⎪+⎝⎭所以点D 恒在定直线4x =上．5．（2022·河南·模拟预测（文））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为()()–2,0,2,0A B:1l x my =+和C 交于M ，N 两点(1)当0m =时，求MN 的值；(2)设直线,AN BM 的交点为D ，证明：点D 恒在一条定直线上． 【答案】(1)||MN =(2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意可求出,a c ，再由222b a c =-，可求出2b ，从而可求出椭圆方程，将1x =代入椭圆方程中可求出M ，N 两点坐标，进而可求出MN 的值，（2）设1122(,),(,)M x y N x y ，将直线方程代入椭圆方程中消去x ，利用根与系数的关系，表示出直线AN 的方程和直线BM 的方程，联立求出其交点的横坐标化简可得答案 (1)设椭圆的半焦距为()0c c >．根据题意，2a =，因为c ac =所以222431b a c =-=-=， 所以C 的方程为2214x y +=，当0m =时，:1l x =，代入C的方程可得y =所以||MN = (2)由22114x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(4)230m y my ++-=， 设1122(,),(,)M x y N x y ，则1221222434m y y m y y m ⎧+=⎪⎪-+⎨-⎪=⎪+⎩因为2121,22AN BM y yk k x x ==+-， 所以直线AN 的方程为22(2)2y y x x =++，直线BM 的方程为11(2)2y y x x =--． 令1212(2)(2)22y y x x x x -=+-+， 解之得211212211221122(2)2(2)426(2)(2)3y x y x my y y y x y x y x y y -++-+==+--+1221221111212324()2()842()8422()2()44mm y my y y y y m m my y y y m ---+-+++==+++-++12128842244my m m y m -+-==+ 所以点D 恒在定直线4x =上6．（2022·河南·温县第一高级中学高三阶段练习（理））已知椭圆C ：22221x y a b +=的离心率为()30A -,，()3,0B ． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)点P 为椭圆上除A ，B 外的任意一点，直线AP 交直线x ＝4于点E ，点O 为坐标原点，过点O 且与直线BE 垂直的直线记为l ，直线BP 交y 轴于点M ，交直线l 于点N ，求N 点的轨迹方程，并探究△BMO 与△NMO 的面积之比是否为定值．【答案】(1)22193x y +=(2)214x =，是定值 【解析】 【分析】（1）求出b 后可得椭圆的方程.（2）()()0000P x y y ≠,，则计算可得2022002179N y x y x =+-，利用P 在椭圆上化简前者可得N 点的轨迹方程，从而可得三角形的面积之比. (1)（1）由题意，a ＝3，又c e a ==c则b ==C 的方程为22193x y +=.(2)设()()0000P x y y ≠,，则2200193x y +=． ∴直线AP 的方程为()0033y y x x =++，取x ＝4，可得点0074,3y E x ⎛⎫⎪+⎝⎭， ∵直线BE 的斜率为0000737433y x y x +=-+，∴直线l 的方程为0037x y x y +=-， 又直线PB 的方程为()0033y y x x =--， 联立直线l 与PB 的方程，消去y 得()00003373x y x x y x +-=--， ∴()22000000793733y x y x y x x +-⋅=--， 即222002179N y x y x =+-， ∵2200193x y +=，∴220093x y -=-，代入①解得点N 的横坐标214N x =，即N 点轨迹方程为：214x =∴1342121724BB BMO NMON N OM x x S S x OM x ⋅====⋅△△．故△BMO 与△NMO 的面积之比为4：7．7．（2022·广东珠海·高三期末）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的长轴长为4，左顶点A 到上顶点BF 为右焦点． (1)求椭圆C 的方程和离心率；(2)设直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N （不同于A ，B 两点），且直线BM BN ⊥时，求F 在l 上的射影H 的轨迹方程． 【答案】(1)2214x y +=(2)223211025x y ⎛⎛⎫-++= ⎪ ⎝⎭⎝⎭【解析】 【分析】（1）由题意可得24a =，225a b +=，可求出,a b ，再由222a b c =+可求得c ，从而可求出椭圆C 的方程和离心率；（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，当直线斜率存在时，可设:l y kx m =+代入椭圆方程消去y ，整理后利用根与系数的关系，结合1BM BN k k ⋅=-，可求出m 的值，从而可得直线l 经过定点30,5E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，当直线斜率不存在时，可设:l x t =，求出,M N 的坐标，结合1BM BN k k ⋅=-可求出t 的值，得F 在l 上的射影H 的轨迹为以EF 为直径的圆，从而可求出射影H 的轨迹方程 (1)由题意可得：24a =，225a b +=，222a b c =+， 可得2a =，c =1b =， 所以椭圆C 的方程为2214x y +=，离心率为c e a = (2)当直线斜率存在时，可设:l y kx m =+代入椭圆方程2214x y +=，得：()()222418410k x kmx m +++-=．设()11,M x y ，()22,N x y ，则()12221228414141km x x k m x x k -⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩． 因为直线BM ，BN 垂直，斜率之积为1-，所以1BM BN k k ⋅=-， 所以()()()22121212111BM BNk x x k m x x m k k x x +-++-⋅==-．将()12221228414141km x x k m x x k -⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩代入，整理化简得：()()1530m m -+=， 所以1m =或35m =-．由直线:l y kx m =+，当1m =时，直线l 经过()0,1，与B 点重合，舍去， 当35m =-时，直线l 经过定点30,5E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，当直线斜率不存在时，可设:l x t =，则M t ⎛ ⎝，,N t ⎛ ⎝， 因为1BM BNk k ⋅=-1⎛ =- ⎪⎝⎭，解得0=t ，舍去． 综上所述，直线l 经过定点30,5E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，而F 在l 上的射影H 的轨迹为以EF 为直径的圆， 其30,5E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，)F，所以圆心310⎫-⎪⎪⎝⎭，半径r =所以圆的方程为223211025x y ⎛⎛⎫++= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，即为点H 的轨迹方程． 8．（2022·河北石家庄·一模）已知抛物线C ：22y px =（0p >），过点()1,1T -的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点（A 在B 的左侧），M 为线段AB 的中点.当直线l 斜率为1-时，中点M 的纵坐标为12-.(1)求抛物线C 的方程；(2)若线段AM 上存在点N ，使得2MA MN MT =⋅，求点N 的轨迹方程. 【答案】(1)2y x =；(2)210,x y --=()(33,3x ∈-⋃+. 【解析】 【分析】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，由题设得直线:l y x =-，联立抛物线方程，由韦达定理及中点M 纵坐标求参数p ，即可得抛物线方程.（2）由M 1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭，设N (),x y 、直线l 为：()11x t y =--并联立抛物线，根据根的个数、韦达定理求t 的范围及1212,y y y y +，再由已知条件可得MA MTMN MA=，结合N 在线段AM 上得到,x y 关于t 的参数方程，进而可得N 的轨迹方程. (1)设()11,A x y ，()22,B x y ，由题意，直线:1(1)l y x -=-+，即y x =-.由22y x y px =-⎧⎨=⎩，消去x 得：220y py +=，故12+122M y y y p ==-=-，12p ∴=，则抛物线的方程为：2y x =. (2)设N (),x y ，由（1），M 点坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭， 由题意，直线得斜率不为0，设直线l 为：()11x t y =--.联立直线与抛物线的：()211x t y y x ⎧=--⎨=⎩，消去x 得：210y ty t -++=， 因为方程有两个不等实根12,y y，故02t ∆>⇒>+2t <-由韦达定理知：12121y y ty y t +=⎧⎨=+⎩，因为2MA MN MT =⋅，即MA MTMN MA=，而M ，N ，A ，T 四点共线，N 在线段AM 上； 所以121211212112222y y y yy y y y y y y ++--=++--，化简得：()()()1212124224y y y y y y y -+=+-，即()4224y t t -=--，所以，24122t y t t +==+--，()81132x t y t =--=+-，消去参数t 得：210,x y --=.由2t <-2t >+()(33,3x ∈-⋃+. 从而N 点的轨迹方程为：210,x y --=()(33,3x ∈-⋃+【点睛】关键点点睛：第二问，设直线联立抛物线，应用判别式求参数范围，由韦达定理得到相关点坐标与参数关系，再由MA MTMN MA=及点共线求得点N 横纵坐标关于t 的参数方程. 9．（2022·贵州贵阳·一模（文））已知椭圆C ：221164x y +=与直线l （不平行于坐标轴）相切于点M 00(,)x y ，过点M 且与l 垂直的直线分别交x 轴､y 轴于A (,0)m ，，B (0,)n 两点. (1)证明：直线001164xx yy +=与椭圆C 相切； (2)当点M 运动时，点P （m ，n ）随之运动，求点P 的轨迹方程. 【答案】(1)证明见解析. (2)221936x y +=()0xy ≠【解析】 【分析】 （1）将直线001164xx yy +=方程与椭圆方程联立由0∆=可证明. （2）先求出直线AB 的方程，用00,x y 表示出,m n ，再代入椭圆方程可得答案. (1)由点M 00(,)x y 在椭圆C ：221164x y +=上，可得22001164x y +=，即2200416y x =- 由220011641164x y xx yy ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，可得2200416416x y xx yy ⎧+=⎨+=⎩，消去y 可得2200164164xx x y ⎛⎫-+⨯= ⎪⎝⎭，化简可得220020x x x x -+=由22004410x x ∆=-⨯⨯=，所以直线001164xx yy +=与椭圆有唯一交点. 故直线001164xx yy +=与椭圆相切. (2)由（1）可知直线l 的方程为：001164xx yy +=，由条件直线l 不平行于坐标轴，故000x y ≠所以直线l 的斜率为：00001644x xy y -=-，所以直线AB 的斜率为004y x 则直线AB 的方程为: ()00004y y y x x x -=- 令0x =，可得03n y =-，0y =，可得034x m =即()004,,033n m y x m n =-=≠，由22001164x y +=可得22141116343m n ⎛⎫⎛⎫⨯+⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即221936m n +=()0mn ≠所以点P 的轨迹方程221936x y +=()0xy ≠10．（2022·全国·高三专题练习）设M 是椭圆C ：221124x y +=上的一点，P 、Q 、T 分别为M关于y 轴、原点、x 轴的对称点，N 为椭圆C 上异于M 的另一点，且MN ⊥MQ ，QN 与PT 的交点为E ，当M 沿椭圆C 运动时，求动点E 的轨迹方程. 【答案】()22103x y xy +=≠；【解析】 【分析】设点的坐标()()()()112211,,,0,,M x y N x y x y E x y ≠，则()()()111111,,,,,,P x y Q x y T x y ----由M 和N 满足椭圆方程得13MN QN k k ⋅=-， 求出QN 斜率和方程，联立QN 方程和PT 方程求出x ，y ，由此用x ，y 表示M 的坐标，将M 坐标代入椭圆方程就可以得E 的轨迹方程. 【详解】设点的坐标()()()()112211,,,0,,M x y N x y x y E x y ≠， 则()()()111111,,,,,,P x y Q x y T x y ----∵M 、N 在椭圆C 上，∴()()221122221,11241.2124x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 由(1)－(2)可得()()2112122113y y y y x x x x ---⋅----＝，即13MN QN k k ⋅=-，又11MQ OM y k k x ==，MN ⊥MQ ，∴11MN x k y =-，∴113QN y k x =，∴直线QN 的方程为()11113y y y x x x +=+(3)， 又直线PT 的方程为11y y x x =-(4)， 联立(3)和(4)得1111,22x x y y ==-. ∴112,2.x x y y ==-代入椭圆方程可得()2210,3x y xy +=≠此即为所求点E 的轨迹方程.11．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线24(0)=>y px p ，O 为顶点，A 、B 为抛物线上的两动点，且满足OA ⊥OB ，如果OM ⊥AB 于M 点，求点M 的轨迹方程.【答案】()222(2)40x p y p x -+=≠【解析】 【分析】设点M 的坐标为(x ，y )，OA 为y ＝kx ，OB 为y ＝－1x k，联立OA 和抛物线方程抛物线得A 坐标，联立OB 方程和抛物线方程得B 坐标，求出直线AB 、OM 方程，联立AB 和OM 方程消去k 即可得M 轨迹方程. 【详解】设点M 的坐标为(x ，y )，直线OA 的方程为y ＝kx ，显然k ≠0， 则直线OB 的方程为y ＝－1x k.由24y kx y px=⎧⎨=⎩解得A 244(,)p p k k ，同理可得B ()24,4pk pk -，从而知当k ≠±1时，22141114ABp k k k k p k k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 故得直线AB 的方程为()21441y pk x pk k k+=--，即14k y p x k⎛⎫-+= ⎪⎝⎭①直线OM 的方程为1y k x k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭②联立①②消去k 得224px x y =+，即()222(2)40x p y p x -+=≠，当k ＝1时，A (4p ，4p )，B (4p ，－4p )，M (4p ，0)，显然M (4p ，0)满足上述方程， 同理k ＝－1时，M 也满足上述方程，故点M 的轨迹方程为()222(2)40x p y p x -+=≠.12．（2022·全国·高三专题练习）12,Q Q 为椭圆222212x yb b+=上两个动点，且12OQ OQ ⊥，过原点O 作直线12Q Q 的垂线OD ，求D 的轨迹方程．【答案】22223x y b +=【解析】 【分析】依据12OQ OQ ⊥和12OD Q Q ⊥及12,,Q Q D 三点共线，直译法去求点D 的轨迹方程.【详解】直线12Q Q 斜率存在时，方程可设为y kx m =+，令111222(,),(,)Q x y Q x y ，00(,)D x y ，由222212y kx m x y b b =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得：2222(21)42()0k x kmx m b +++-=， 所以()222248(21)()0km k m b -+->，即222220k b m b -+> 则2212122242(),2121km m b x x x x k k -+=-=++ ()()()22222121212122221m b k y y kx m kx m k x x km x x m k -=++=+++=+ 因为12OQ OQ ⊥，所以120OQ OQ ⋅=即22222222212122222()2322=0212121m b m b k m b k b x x y y k k k ----+=+=+++ 22232(1)m b k ∴=+又因为直线12Q Q 方程可以是0000()xy y x x y -=--，即200000x x y x y y y =-++与y kx m =+为同一直线， 则002000x k y x y my ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩代入22232(1)m b k =+中， 化简可得：2220023x y b +=．直线12Q Q 斜率不存在时，方程可设为xn =，令12((,Q n Q n ，(,0)D n 由12OQ OQ ⊥，可得222202b n n --=，则2223n b = 故点(,0)D n 在圆2220023x y b +=上.综上，点D 的轨迹方程为22223x y b +=．13．（2022·全国·高三专题练习）已知动点P 与定点(1,0)F 的距离和它到定直线:4l x =的距离之比为12，记P 的轨迹为曲线C ． (1)求曲线C 的方程；(2)过点(4,0)M 的直线与曲线C 交于,A B 两点，,R Q 分别为曲线C 与x 轴的两个交点，直线,AR BQ 交于点N ，求证:点N 在定直线上．【答案】(1)22143x y += (2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）设动点坐标依据题意列式即可求解；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，(),N N N x y ，直线方程:4AB l x my =+，直线与椭圆方程联立，利用韦达定理可得()121232my y y y =-+，再求出直线AR l 和BQ l 的方程，联立直线AR l 和BQ l 的方程，代入()121232my y y y =-+，114x my =+、224x my =+即可求解. (1)设动点(,)P x y ，∵动点P 与定点(1,0)F 的距离和它到定直线:4l x =的距离之比为12，12=，整理得223412x y +=，∴曲线C 的方程为22143x y +=； (2)设()11,A x y ，()22,B x y ，(),N N N x y ，直线方程:4AB l x my =+，与椭圆方程联立224143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得：()223424360m y my +++=，()2222443634m m ∆=-⨯+()214440m =->，由韦达定理得：1212223624,3434m y y y y m m -=+=++，化简得：()121232my y y y =-+， 由已知得()2,0R -,()2,0Q , 则直线AR l 的方程为()1122y y x x =++，直线BQ l 的方程为()2222yy x x =--， 联立直线AR l 和BQ l ：()()11222222y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩，代入()121232my y y y =-+，114x my =+、224x my =+可得：12212126322N N x my y y x my y y ++==--+，化简可得：1N x =， 所以N 点在一条定直线上。
圆锥曲线解题技巧和方法综合全
圆锥曲线的解题技巧一、常规七大题型：（1）中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论），消去四个参数。
x 2y 2如：（1）2+2=1(a >b >0)与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有a b x 0y 0+2k =0。
2a b x 2y 2（2）2-2=1(a >0,b >0)与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有a b x 0y0-2k =02a b （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p.y 2=1。
典型例题给定双曲线x -过A （2，1）的直线与双曲线交于两点P1及P 2，22求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。
（2）焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。
x 2y 2典型例题设P(x,y)为椭圆2+2=1上任一点，F 1(-c ,0)，F 2(c ,0)为焦点，a b ∠PF 1F 2=α，∠PF 2F 1=β。
（1）求证离心率e=sin(α+β)；sinα+sinβ3（2）求|PF1|+PF2|的最值。
3（3）直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。
典型例题抛物线方程y2=p(x+1)(p>0)，直线x+y=t与x轴的交点在抛物线准线的右边。
（1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点（2）设直线与抛物线的交点为A、B，且OA⊥OB，求p关于t的函数f(t)的表达式。
高中数学圆锥曲线经典难题之一类交点轨迹问题的通性通法研究(解析版)
微专题圆锥曲线经典难题之一类交点轨迹问题的通性通法研究【秒杀总结】交点轨迹问题的常用技巧：1.两直线方程相乘消元2.两直线方程相除，相当于两斜率比问题，平方转韦达结构可消元3.定比点差法4.同构5.硬解坐标【典型例题】例1.(2023·全国·高三专题练习)已知双曲线Γ:x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)过点4,13 ，离心率为14，直线l :x =9交x 轴于点A ，过点A 作直线交双曲线Γ于M ,N 两点.(1)求双曲线Γ的标准方程；(2)若M 是线段AN 的中点，求直线MN 的方程；(3)设P ,Q 是直线l 上关于x 轴对称的两点，直线PM 与QN 的交点是否在一条直线上？请说明你的理由.【解析】(1)由题意得：16a 2-169b2=1，ca =14，a 2+b 2=c 2.解得a 2=3，b 2=39，所以双曲线Γ的标准方程为x 23-y 239=1.(2)方法1：设N x 0,y 0 ，则M x 0+92,y 02依题意有x 023-y 0239=1x 0+9 23×4-y 0239×4=1解得x 0=-4，y 0=±13所以直线MN 的方程为x +y -9=0或x -y -9=0.方法2：设直线MN 的方程为y =k x -9 ，与双曲线的方程x 23-y 239=1联立得：13-k 2 x 2+18k 2x -81k 2+39 =0.当Δ=324k 4+413-k 2 81k 2+39 >0时设M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，得x 1+x 2=-18k 213-k 2，x 1x 2=-81k 2+3913-k 2.又因为x 1=x 2+92，所以x 2=-9k 2+3913-k 2，x 22+9x 22=-81k 2+3913-k 2，解得k 2=1.此时Δ>0，所以直线MN 的方程为x +y -9=0或x -y -9=0.(3)方法1：设P 9,t ，Q 9,-t ，直线PM 的方程为y -t =y 1-t x 1-9x -9 ，直线ON 的方程y +t =y 2+tx 2-9x -9 ，联立两方程，可得2t =y 2+t x 2-9-y 1-tx 1-9 x -9 ①结合(2)方法2，可得y 2+t x 2-9-y 1-tx 1-9=k x 2-9 +t x 2-9-k x 1-9 -t x 1-9=t x 1+x 2-18 x 1x 2-9x 1+x 2 +81代入①得2=x 1+x 2-18x 1x 2-9x 1+x 2 +81⋅x -9故x =2x 1x 2-9x 1+x 2 x 1+x 2-18=2-81k 2+3913-k 2 -9-18k 213-k 2 18k 213-k 2-18=13.所以直线PM 与QN 的交点在定直线x =13上.方法2：设直线MN 的方程为x =my +9，与双曲线的方程x 23-y 239=1联立得：13m 2-1 y 2+234my +1014=0.设M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，P 9,t ，Q 9,-t ，由根与系数的关系，得y 1+y 2=-234m 13m 2-1，y 1y 2=101413m 2-1.l PM ：y -t =y 1-t x 1-9x -9 ，l QN ：y +t =y 2+tx 2-9x -9 ，联立两方程，可得：2t =y 2+t x 2-9-y 1-t x 1-9 x -9 =y 2+t my 2-y 1-t my 1 x -9 =y 1+y 2my 1y 2t x -9 =-234m 13m 2-1m ⋅101413m 2-1⋅t x -9 =-313t x -9 ，解得x =13所以直线PM 与QN 的交点在定直线x =13上.例2.(2023·全国·高三专题练习)已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F 0,c (c >0)到直线l :x -y -2=0的距离为322．(1)求抛物线C 的方程；(2)设点P (x 0，y 0)为直线l 上一动点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点，求直线AB 的方程，并证明直线AB 过定点Q ；(3)过(2)中的点Q 的直线m 交抛物线C 于A ，B 两点，过点A ，B 分别作抛物线C 的切线l 1，l 2，求l 1，l 2交点M 满足的轨迹方程．【解析】(1)设抛物线的方程为x 2=2py ，∵抛物线C 的焦点F 0,c (c >0)到直线l :x -y -2=0的距离为322，∴|0-c -2|2=322，解得c =1或c =-5(舍去)，∴p2=1，p =2，∴抛物线C 的方程为x 2=4y ．(2)设P (x 0，x 0-2)，设切点为x ,x 24 ，曲线C :y =x 24，y ′=x2，则切线的斜率为x 24-(x 0-2)x -x 0=y ′=x 2，化简得x 2-2x 0x +4x 0-8=0，设A x 1，x 124 ，B x 2,x 224，则x 1，x 2是以上方程的两根，则x 1+x 2=2x 0，x 1x 2=4x 0-8，k AB =x 124-x 224x 1-x 2=x 1+x 24=x 02，直线AB 的方程为：y -x 124=x 02(x -x 1)，整理得y =x 02x -x 0x 12+x 124，∵切线PA 的方程为y -x 124=x 12(x -x 1)，整理得y =x 12x -x 124，且点P (x 0，y 0)在切线PA 上，∴y 0=x 12x 0-x 124，即直线AB 的方程为：y =x02x -y 0，化简得x 0x -2y -2y 0=0，又∵y 0=x 0-2，∴x 0x -2 -2y +4=0，故直线AB 过定点Q (2,2)．(3)设A x 1，x 124 ，B x 2,x 224，过A 的切线y =x 12(x -x 1)+x 124，过B 的切线y =x 22(x -x 2)+x 224，则交点M x 1+x 22，x 1x 24设过Q 点的直线为y =k (x -2)+2，联立y =k x -2 +2x 2=4y，得x 2-4kx +8k -8=0，∴x 1+x 2=4k ，x 1x 2=8k -2，∴M (2k ,2k -2)，∴y =x -2．∴点M 满足的轨迹方程为x -y -2=0．例3.(2023·全国·高三专题练习)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12，椭圆上的点到焦点的最小距离为1．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且OA ⊥OB (O 为坐标原点)，OH ⊥AB 于H 点．试求点H 的轨迹方程．【解析】(1)由题意知：e =c a =12，a -c =1，a 2=b 2+c 2，解得a =2，b 2=3．故椭圆的方程为x 24+y 23=1．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，(i )若l ⊥x 轴，可设H (x 0，0)，因OA ⊥OB ，则A (x 0，±x 0)．由x 024+x 023=1，得x 20=127，即H ±127,0；若l ⊥y 轴，可设H (0,y 0)，同理可得H 0,±127；(ii )当直线l 的斜率存在且不为0时，设l :y =kx +m ，由y =kx +m x 24+y 23=1，消去y 得：(3+4k 2)x 2+8km x +4m 2-12=0，则x 1+x 2=-8km 3+4k 2,x 1x 2=4m 2-123+4k 2，y 1y 2=(kx 1+m )(kx 2+m )=k 2x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2=3m 2-12k 23+4k 2，由OA ⊥OB ，知x 1x 2+y 1y 2=0．故4m 2-123+4k 2+3m 2-12k 23+4k 2=0，即7m 2=12(k 2+1)(记为①)．由OH ⊥AB ，可知直线OH 的方程为y =-1kx ，联立方程组y =kx +m y =-1k x，得k =-x ym =x 2y+y(记为②)，将②代入①，化简得x 2+y 2=127．综合(1)、(2)，可知点H 的轨迹方程为x 2+y 2=127．例4.(2023·全国·高三开学考试)椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的离心率为22，且过点22,2 .(1)求椭圆E 的方程；(2)F 1，F 2分别为椭圆E 的左､右焦点，动点A ，B 在椭圆上(不含长轴端点)，且关于y 轴对称，P 为椭圆上异于A ，B 的动点，直线PA 与PB 分别交y 轴于M ，N 两点求证：直线MF 1与NF 2的交点在定圆上.【解析】(1)解：由c a =22得a =2c ，由c 2=a 2-b 2，所以b =c ，把点22,2 代入方程得82c 2+4c2=1，所以c 2=8，所以椭圆E 的方程为x 216+y 28=1.(2)解：设A x 1,y 1 ，P x 2,y 2 ，B -x 1,y 1 ，由AP 方程：y -y 1=y 2-y 1x 2-x 1x -x 1 ，得M 0,x 2y 1-x 1y 2x 2-x 1 ，由BP 方程：y -y 1=y 2-y 1x 2+x 1x +x 1 ，得N 0,x 2y 1+x 1y 2x 2+x 1 ，∴MF 1的方程为y =x 2y 1-x 1y 222x 2-x 1x +22 ，①NF 2的方程为y =x 2y 1+x 1y 2-22x 2+x 1x -22 ，②由①②相乘得y 2=x 22y 21-x 21y 22-8x 22-x 21 x 2-8 ，③由A ，P 在椭圆上可得y 21=8-x 212，y 22=8-x 222，代入③式可得：y 2=-x 2-8 ，即直线MF 1与NF 2的交点在定圆x 2+y 2=8上.例5.(【全国市级联考】山西省晋中市2023届高三1月高考适应性调研考试数学(理)试题)已知抛物线C ：y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆M ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点，且两曲线有公共点23，263(1)求椭圆M 的方程；(2)椭圆M 的左、右顶点分别为A 1，A 2，若过点B 4，0 且斜率不为零的直线l 与椭圆M 交于P ，Q 两点，已知直线A 1P 与A 2Q 相较于点G ，试判断点G 是否在一定直线上？若在，请求出定直线的方程；若不在，请说明理由.【解析】试题分析：(1)由条件易得：a 2-b 2=149a 2+249b2=1，从而得到椭圆M 的方程；(2)先由特殊位置定出G 1,-332，猜想点G 在直线x =1上，由条件可得直线PQ 的斜率存在， 设直线PQ :y =k x -4 k ≠0 ，联立方程y =k x -4 3x 2+4y 2-12=0，消y 得：3+4k 2 x 2-32k 2x +64k 2-12=0有两个不等的实根，利用韦达定理转化条件即可.试题解析：(1)将23，263代入抛物线C :y 2=2px 得p =2∴抛物线的焦点为1,0 ，则椭圆M 中c =1，又点23,263在椭圆M 上，∴a 2-b 2=149a 2+249b2=1， 解得a 2=4,b 2=3，椭圆M 的方程为x 24+y 23=1(2)方法一当点P 为椭圆的上顶点时，直线l 的方程为3x +4y -43=0，此时点P 0,3 ，Q 85,335，则直线l A 1P :3x -2y +23=0和直线l A 2Q :33x +2y -63=0，联立3x -2y +23=033x +2y -63=0，解得G 1,332，当点P 为椭圆的下顶点时，由对称性知： G 1,-332. 猜想点G 在直线x =1上，证明如下：由条件可得直线PQ 的斜率存在， 设直线PQ :y =k x -4 k ≠0 ，联立方程y =k x -43x 2+4y 2-12=0，消y 得：3+4k 2 x 2-32k 2x +64k 2-12=0有两个不等的实根，Δ=322k 4-4⋅43+4k 2 16k 2-3 =16⋅91-4k 2 >0，∴0<k 2<14设P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，则x 1+x 2=32k 23+4k 2，x 1⋅x 2=64k 2-123+4k 2*则直线l A 1P :y =y 1x 1+2x +2 与直线l A 2Q :y =y 2x 2-2x -2联立两直线方程得y 1x 1+2x +2 =y 2x 2-2x -2 (其中x 为G 点横坐标)将x =1代入上述方程中可得3y 1x 1+2=-y 2x 2-2，即3k x 1-4 x 2-2 =-k x 2-4 x 1+2 ，即证4x 1x 2-10x 1+x 2 +16=0将* 代入上式可得4×64k 2-12 3+4k 2-10×32k 23+4k 2+16=1616k 2-3-20k 2+3+4k 23+4k 2=0，此式成立∴点G 在定直线x =1上.方法二由条件可得直线PQ 的斜率存在， 设直线PQ :y =k x -4 k ≠0联立方程y =k x -4 3x 2+4y 2-12=0，消y 得：3+4k 2 x 2-32k 2x +64k 2-12=0有两个不等的实根，Δ=322k 4-4⋅43+4k 2 16k 2-3 =16⋅91-4k 2 >0，∴0<k 2<14设P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ,G x 3,y 3 ，则x 1+x 2=32k 23+4k 2，x 1⋅x 2=64k 2-123+4k 2∴x 1-x 2 =x 1+x 2 2-4x 1x 2=121-4k 23+4k 2，由A 1，P ，G 三点共线，有： y 1x 1+2=y 3x 3+2由A 2，Q ，G 三点共线，有： y 3x 3-2=y 2x 2-2上两式相比得x 3+2x 3-2=y 2x 1+2 y 1x 2-2 =k x 2-4 x 1+2 k x 1-4 x 2-2=x 1x 2-x 1+x 2 +3x 2-x 1 -8x 1x 2-3x 1+x 2 +x 1-x 2 +8=-3，解得x 3=1∴点G 在定直线x =1上．例6.(安徽省淮北市树人高级中学、萧县实验中学2022-2023学年高三上学期期中联考数学试题)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右顶点分别为A 1，A 2，右焦点为F 2(1,0)，点B 1,32 在椭圆上．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l ：y =k (x -4)(k ≠0)与椭圆C 交于M ，N 两点，已知直线A 1M 与A 2N 相交于点G ，证明：点G 在定直线上，并求出此定直线的方程．【解析】解:(1)因为F 2(1,0),所以c =1,由题意知:a 2=1+b 21a 2+94b 2=1 ,解得a =2b =3 ,则椭圆的方程为:x 24+y 23=1.(2)由椭圆对称性知G 在x =x 0上,假设直线 l 过椭圆上顶点,则M (0,3),则k =-34,而N 85,335,l A 1M :y =32(x +2),l A 2N :y =-332(x -2),其交点G 1,332,所以G 在定直线x =1上;当M 不在椭圆顶点时,设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ,由y =k (x -4)x 24+y 23=1,整理得:3+4k 2 x 2-32k 2x +64k 2-12=0,则x 1+x 2=32k 23+4k 2,x 1x 2=64k 2-123+4k 2,l A 1M :y =y 1x 1+2(x +2),l A 2N :y =y 2x 2-2(x -2),当x =1时,3y 1x 1+2=-y 2x 2-2,得3k x 1-4 x 1+2=-k x 2-4 x 2-2,得2x 1x 2-5x 1+x 2 +8=0,得2×64k 2-123+4k 2-5×32k 23+4k 2+8=0,上式显然成立,所以G 在定直线x =1上.例7.(【全国百强校】黑龙江省双鸭山市第一中学2022-2023学年高三4月月考数学(理)试题)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为12，且经过点1,32 .(1)求椭圆C 的方程；(2)动直线l :y =k x -4 k ≠0 与椭圆C 相交于点M ，N ，椭圆C 的左右顶点为A 1,A 2,直线A 1M 与A 2N 相交于点G ，证明点G 在定直线上，并求出定直线的方程.【解析】(1)离心率为12，即c a =12，而a 2=b 2+c 2所以b 2=34a 2 ①，椭圆经过点1,32.所以1a 2+94b 2=1②，由①②联立方程组，解得a 2=4,b 2=3，所以椭圆的方程为x 24+y 23=1(2)由椭圆的对称性可知点G 一定在x =x 0上，假设直线l 过椭圆的上顶点，则M (0,3)，l :y =k x -4 k ≠0 ，显然直线l 过定点(4，0)所以k =-34，椭圆方程与直线方程联立，求出点N 的坐标为85,335l A 1M :y =32(x +2) l A 2N :y =-332(x -2)两方程联立，解得交点G 1,332，所以G 在定直线x =1上．当M 不是椭圆顶点时，设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)椭圆方程与直线l 联立y =k (x -4)x 24+y 23=1消去y ，整理得(3+4k 2)x 2-32k 2x +64k 2-12=0所以有x 1+x 2=32k 23+4k 2,x 1⋅x 2=64k 2-123+4k 2l A 1M :y =y 1x 1+2(x +2)l A 2N :y =y 2x 2-2(x -2)当x =1时，3y 1x 1+2=-y 2x 2-2把y 1=k x 1-4 ,y 2=k x 2-4 代入整理得：2x 1⋅x 2-5(x 1+x 2)+8=0 所以有2×64k 2-123+4k 2-5×32k 23+4k 2+8=0,显然成立，所以G 在定直线x =1上．例8.(山西省晋城市2023届高三上学期第一次模拟考试数学试题)已知点P 1,32 在椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 上，F 2为椭圆C 的右焦点，A 1、A 2分别为椭圆C 的左、右两个顶点.若过点B 4,0 且斜率不为0的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，且线段MA 1、MA 2的斜率之积为-34.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线A 1M 与A 2N 相交于点G ，证明：G 、P 、F 2三点共线.【解析】(1)设点M x 1,y 1 ，其中y 1≠0，则x 21a 2+y 21b 2=1，可得y 21=b 2-b 2x 21a2，易知点A 1-a ,0 、A 2a ,0 ，k MA 1k MA2=y 1x 1+a ⋅y 1x 1-a =b 21-x 21a 2x 21-a 2=b 2a 2-x 21a 2x 21-a 2=-b 2a 2=-34，所以，1a 2+94b 2=1b 2a 2=34 ，解得a 2=4，b 2=3，因此，椭圆C 的方程为x 24+y 23=1.(2)易知点F 21,0 、A 1-2,0 、A 22,0 ，设点M x 1,y 1 、N x 2,y 2 ，设直线l 的方程为x =my +4，其中m ≠0，联立x =my +43x 2+4y 2=12，可得3m 2+4 y 2+24my +36=0，Δ=242m 2-1443m 2+4 =144m 2-4 >0，解得m <-2或m >2，由韦达定理可得y 1+y 2=-24m 3m 2+4，y 1y 2=363m 2+4，k A 1M =-34k A 2M=-34y 1x 1-2=-3my 1+2 4y 1，直线A 1M 的方程为y =-3my 1+2 4y 1x +2 ，k A 2N =y 2x 2-2=y 2my 2+2，直线A 2N 的方程为y =y 2my 2+2x -2 ，联立y =-3my 1+24y 1x +2 y =y 2my 2+2x -2可得-34⋅x +2x -2=y 1y 2my 1+2 my 2+2=y 1y 2m 2y 1y 2+2m y 1+y 2 +4=3636m2-48m2+43m2+4=94，解得x=1，即点G的横坐标为1，因此，G、P、F2三点共线.例9.(广东省东莞市2022-2023学年度第一学期期末教学质量检查高三数学试题)已知椭圆C:x2 a2+y2 b2=1a>b>0的两个焦点分别是F1，F2，点P在椭圆C上，且PF1+PF2=4，记椭圆C的左右顶点分别为A1，A2，上顶点为B，ΔA1A2B的面积为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)不过点B的直线l:y=kx+m与椭圆C相交于M、N两点，记直线BM、BN的斜率分别为k1、k2，且k1⋅k2=2．试问：直线MN是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．【解析】(1)设椭圆C的长半轴为a．依题意，PF1+PF2=4=2a得a=2，由ΔA1A2B的面积为2得SΔA1A2B=ab=2得b=1所以，椭圆C的方程是x24+y2=1(2)将直线MN的方程y=kx+m代入x24+y2=1，消去y，整理得1+4k2x2+8km x+4m2-4=0Δ=64k2m2-41+4k24m2-4=164k2-m2+1>0(*)设M x1,y1,N x2,y2,则．x1+x2=-8km1+4k2，x1x2=4m2-41+4k2由题意k BM k BN=2⇒y1-1x1y2-1x2=2，将y1=kx1+m,y2=kx2+m代入上式并化简得整理得k2-2x1x2+k m-1x1+x2+m-12=0将式代入k2-24m2-41+4k2+k m-1-8km1+4k2+m-12=0由直线不过点B得m≠1，从而化简后：-7m-9=0⇒m=-9 7所以直线MN过定点0,-9 7【过关测试】1.(四川省2023届高三大数据精准教学第二次统一监测数学试题)在直角坐标系内，点A，B的坐标分别为-2,0，2,0，P是坐标平面内的动点，且直线PA，PB的斜率之积等于-14.设点P的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程；(2)某同学对轨迹C的性质进行探究后发现：若过点1,0且倾斜角不为0的直线l与轨迹C相交于M，N两点，则直线AM，BN的交点Q在一条定直线上.此结论是否正确？若正确，请给予证明，并求出定直线方程；若不正确，请说明理由.【解析】(1)设点P 的坐标为x ,y ，由y x +2⋅y x -2=-14，得4y 2=4-x 2，即x 24+y 2=1y ≠0 .故轨迹C 的方程为：x 24+y 2=1y ≠0(2)根据题意，可设直线MN 的方程为：x =my +1，由x =my +1x 24+y 2=1，消去x 并整理得m 2+4 y 2+2my -3=0其中，Δ=4m 2+12m 2+4 =16m 2+48>0.设M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，则y 1+y 2=-2m m 2+4，y 1y 2=-3m 2+4.因直线l 的倾斜角不为0，故x 1，x 2不等于±2(y 1，y 2不为0)，从而可设直线AM 的方程为y =y 1x 1+2x +2 ①，直线BN 的方程为y =y 2x 2-2x -2 ②，所以，直线AM ，BN 的交点Q x 0,y 0 的坐标满足：x 0+2=y 2x 1+2y 1x 2-2⋅x 0-2而y 2x 1+2 y 1x 2-2 =y 2my 1+3 y 1my 2-1=my 1y 2+3y 2my 1y 2-y 1=-3m m 2+4+3-2m m 2+4-y 1 -3m m 2+4-y 1=-9m -3m 2+4 y 1-3m -m 2+4 y 1=3，因此，x 0=4，即点Q 在直线x =4上.所以，探究发现的结论是正确的.2.(浙江省杭州第二中学2022-2023学年高三上学期期中数学试题)已知圆M :(x -3)2+y 2=9以及圆C :x 2+y 2=4.(1)求过点(1，2)，并经过圆M 与圆C 的交点的圆的标准方程；(2)设D (2,0)，过点D 作斜率非0的直线l 1，交圆M 于P 、Q 两点.(i )过点D 作与直线l 1垂直的直线l 2，交圆M 于EF 两点，记四边形EPFQ 的面积为S ，求S 的最大值；(ii )设B (6，0)，过原点O 的直线OP 与BQ 相交于点N ，试讨论点N 是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由.【解析】(1)联立两圆方程，可得(x-3)2+y2=9x2+y2=4，消去y整理可得：x2-6x+9+4-x2=9，解得x=23，则y=±423，则所求圆所过点分别为A1,2，A123,423，A223,-423，由A1A2的中垂线为x轴，则可设圆心H a,0，由AH=A1H，则1-a2+22=23-a2+4232，解得a=32，故所求圆的半径r1=1-3 22+22=172，故圆H的标准方程为x-322+y2=174.(2)(i)由M:(x-3)2+y2=9，则圆心M3,0，半径r=3，由直线l1过点D且斜率非0，则可设l1:kx-y-2k=0，即点M到直线l1的距离d1=3k-2k1+k2=k1+k2，故QP=2r2-d12=29-k21+k2=28k2+91+k2，由l1⊥l2，且直线l2过点D，则可设l2:x+ky-2=0，即点M到直线l2的距离d2=3-21+k2=11+k2，故EF=2r2-d22=29-11+k2=29k2+81+k2，故S=12⋅EF⋅QP=12⋅28k2+91+k2⋅29k2+81+k2=28k2+99k2+81+k22≤2171+k221+k2=17，当且仅当9k2+8=8k2+9，即k=±1时，取等号，故四边形EPFQ的面积为S最大值为17.(ii)设P x1,y1,Q x2,y2，设直线PQ:x=my+2，联立(x-3)2+y2=9x=my+2，消x得m2+1y2-2my-8=0，则y1+y2=2m1+m2,y1y2=-81+m2，即y1+y2y1y2=-m4，直线OP的方程为y=y1x1x，直线BQ的直线方程为y=y2x2-6x-6，联立y=y1x1xy=y2x2-6x-6，消y得y1x1x=y2x2-6x-6，解得x=6x1y2x1y2-y1x2-6=6my1+2y2my1+2y2-y1my2-4，由y1+y2y1y2=-m4，则my1y2=-4y1+y2，即3my1y2+2y22y1+y2=3-4y1-4y2+2y22y1+y2=-6，N在定直线x=-6.3.(江苏省南通市海安高级中学2022-2023学年高三上学期期中数学试题)古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积．即椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C 1的中心为坐标原点，焦点F 1，F 2均在x 轴上，椭圆C 1的面积为23π，且短轴长为23．椭圆C 2:x 2m +y 23=1(0<m <3)与椭圆C 1有相同的离心率．(1)求m 的值与椭圆C 1的标准方程；(2)过椭圆C 1的左顶点A 作直线l ，交椭圆C 1于另一点B ，交椭圆C 2于P ，Q 两点(点P 在A ，Q 之间)．①求△OPQ 面积的最大值(O 为坐标原点)；②设PQ 的中点为M ，椭圆C 1的右顶点为C ，直线OM 与直线BC 的交点为N ，试探究点N 是否在某一条定直线上运动，若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由．【解析】(1)由题意可得ab =23ππ2b =23解得a =2，b =3因为椭圆C 1的焦点在x 轴上，所以C 1的标准方程为x 24+y 23=1椭圆C 1的离心率为12，椭圆C 2得焦点在y 轴上，则12=1-m3则m =94(2)①当直线AB 与x 轴重合时，O ，P ，Q 三点共线，不符合题意故设直线AB 的方程为：x =ty -2且t ≠0设P x 1,y 1 ，Q x 2,y 2由(1)知椭圆C 2的方程为：4x 29+y 23=1联立方程4x 29+y 23=1x =ty -2消去x 得：4t 2+3 y 2-16ty +7=0由韦达定理得：y 1+y 2=16t 4t 2+3；y 1y 2=74t 2+3又S △POQ =S △AOQ -S △AOP =12|AO |⋅y 1-y 2 =y 1-y 2=16t 4t 2+3 2-4⋅74t 2+3=23⋅12t 2-74t 2+32令4t 2+3=s (s >3)23⋅12t 2-74t 2+32=23⋅3s -16s 2=23⋅-161s -332 2+964≤334此时s=32 3>3∴△OPQ面积的最大值为：334②由①知：y1+y2=16t4t2+3，则x1+x2=-124t2+3∴M-64t2+3,8t 4t2+3∴直线OM的斜率：k OM=-4t3则直线OM的方程为：y=-4t 3x联立方程x=ty-2x24+y23=1消去x得：3t2+4y2-12ty=0，解得：y B=12t 3t2+4∴x B=t⋅12t3t2+4-2=6t2-84t2+3∴k BC=12t3t2+46t2-83t2+4-2=-12t16=-3t4则直线BC的方程为：y=-3t4(x-2)联立直线OM和BC的方程y=-4t3xy=-3t4(x-2)解得：N-187,24t7∴点N在定值直线x=-187运动.4.(湖南省部分校教育联盟2022-2023学年高三上学期入学摸底测试数学试题)设F1,F2是双曲线C:x2 a2-y2b2=1a>0,b>0的左､右两个焦点，O为坐标原点，若点P在双曲线C的右支上，且OP=OF1=2,△PF1F2的面积为3.(1)求双曲线C的渐近线方程；(2)若双曲线C的两顶点分别为A1-a,0,A2a,0，过点F2的直线l与双曲线C交于M，N两点，试探究直线A1M与直线A2N的交点Q是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由.【解析】(1)由OP=OF1=2得c=2，且PF1⊥PF2所以PF1- PF2=2a 12PF1. PF2=3 ,PF 12+PF 2 2=4c 2=16=PF 1 -PF 2 2+2PF 1 PF 2即4a 2+12=16解得a =1,又a 2+b 2=c 2=4,b =3,故双曲线的渐近线方程为y =±ba x =±3x .(2)由(1)可知双曲线的方程为x 2-y 23=1.(i )当直线l 的斜率不存在时，M 2,3 ,N 2,-3 ，直线A 1M 的方程为y =x +1，直线A 2N 的方程为y =-3x +3，联立直线A 1M 与直线A 2N 的方程可得Q 12,32，(ii )当直线l 的斜率存在时，易得直线l 不和渐近线平行，且斜率不为0，设直线l 的方程为y =k x -2 k ≠0,k ≠±3 ,M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，联立y =k x -2 x 2-y 23=1得3-k 2 x 2+4k 2x -4k 2-3=0,∴Δ>0,x 1+x 2=4k 2k 2-3,x 1x 2=4k 2+3k 2-3∴直线A 1M 的方程为y =y 1x 1+1x +1 ，直线A 2N 的方程为y =y 2x 2-1x -1 ，联立直线A 1M 与直线A 2N 的方程可得：x +1x -1=y 2x 1+1 y 1x 2-1 ，两边平方得x +1x -1 2=y 22x 1+1 2y 21x 2-1 2，又M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 满足x 2-y 23=1，∴y 22x 1+1 2y 21x 2-1 2=3x 22-1 x 1+1 23x 21-1 x 2-1 2=x 2+1 x 1+1 x 1-1 x 2-1=x 1x 2+x 1+x 2 +1x 1x 2-x 1+x 2 +1.=4k 2+3k 2-3+4k 2k 2-3+14k 2+3k 2-3-4k 2k 2-3+1=4k 2+3+4k 2+k 2-34k 2+3-4k 2+k 2-3=9，∴x +1x -1 2=9,∴x =12，或x =2，(舍去).综上，Q 在定直线上，且定直线方程为x =12.5.(上海市格致中学2023届高三上学期期中数学试题)椭圆C 1：x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的焦点F 1，F 2是等轴双曲线C 2：x 22-y 22=1的顶点，若椭圆C 1与双曲线C 2的一个交点是P ，△PF 1F 2的周长为4+22.(1)求椭圆C 1的标准方程；(2)点M 是双曲线C 2上任意不同于其顶点的动点，设直线MF 1、MF 2的斜率分别为k 1，k 2，求证k 1，k 2的乘积为定值；(3)过点Q -4,0 任作一动直线l 交椭圆C 1与A ，B 两点，记AQ =λQBλ∈R ，若在直线AB 上取一点R ，使得AR =-λ RB，试判断当直线l 运动是，点R 是否在某一定直线上运动？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由.【解析】(1)有由题可知：c =2，由△PF 1F 2的周长为4+22所以PF 1 +PF 2 =4+22-22=4，即2a =4⇒a =2所以b 2=a 2-c 2=2所以椭圆的方程为x 24+y 22=1(2)设M x ,y ，由F 1-2,0 ,F 22,0 所以k 1=y x +2,k 2=y x -2所以k 1⋅k 2=y 2x 2-2，又x 22-y 22=1，则y 2=x 2-2所以k 1⋅k 2=1(3)依题可知：直线的斜率存在，设方程为y =k x +4 ，A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 所以y =k x +4x 24+y 22=1⇒1+2k 2 x 2+16k 2x +32k 2-4=0所以Δ=16k 2 2-4×1+2k 2 ×32k 2-4 =161-6k 2 >0x 1x 2=32k 2-41+2k 2,x 1+x 2=-16k 21+2k 2由AQ =λQB ⇒-4-x 1=λx 2+4 ⇒λ=-4+x 1x 2+4，设R x 0,y 0由AR =-λ RB⇒x 0-x 1=-λx 2-x 0所以x 0=x 1-λx 21-λ=x 1+4+x 1x 2+4x 21+4+x 1x 2+4=2x 1x 2+4x 1+x 2 x 1+x 2+8所以x 0=2×32k 2-41+2k 2+4×-16k 21+2k 2 -16k 21+2k 2+8=-16.(黑龙江省齐齐哈尔市2022-2023学年高三上学期期末考试数学(理)试题)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的离心率e =12，F 为椭圆的右焦点，P 为椭圆上的动点，PF 的最大值为3.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)A ，B 分别为椭圆C 的左、右顶点，过点F 作直线交椭圆C 于M ，N 两点，直线AM 、BN 交于点T ，试探究点T 是否在某条定直线上，若是，请求出该定直线方程，若不是，请说明理由.【解析】(1)由题意得：e=ca=12，a+c=3，则a=2，c=1，b=a2-c2=3，∴椭圆的标准方程为x24+y23=1.(2)由题知，A-2,0，B2,0，F(1,0)，设M x1,y1，N x2,y2，设直线MN的方程为x=my+1，将其与x24+y23=1联立，消去x并整理得3m2+4y2+6my-9=0，由韦达定理得y1+y2=-6m3m2+4①，y1y2=-93m2+4②，联立①②得my1y2=32y1+y2，设直线AM方程为y=y1x1+2x+2③，直线BN方程为y=y2x2-2x-2④，联立③④得x-2x+2=y1x2-2y2x1+2=y1my2+1-2y2my1+1+2=my1y2-y1my1y2+3y2=32y1+y2-y132y1+y2+3y2=12y1+32y232y1+92y2=13，则x-2x+2=13，解得x=4，即T点在定直线x=4上.7.(湖北省云学新高考联盟学校2022-2023学年高三上学期10月联考数学试题)在平面直角坐标系中，圆M是以A(1,-3),B(3,3)两点为直径的圆，且圆N与圆M关于直线y=x对称．(1)求圆N的标准方程；(2)设C(0,1),D(0,4)，过点C作直线l1，交圆N于P、Q两点，P、Q不在y轴上．①过点C作与直线l1垂直的直线l2，交圆N于EF两点，记四边形EPFQ的面积为S，求S的最大值；②设直线OP,DQ相交于点G，试讨论点G是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由．【解析】(1)由题意得：M为线段AB的中点，故圆M的圆心坐标为M(2,0)，半径r=12|AB|=2圆M的方程为：(x-2)2+y2=4，因为圆N关于圆M关于直线y=x对称，所以圆N的圆心为N(0,2)所以圆N的标准方程为：x2+(y-2)2=4.(2)设直线l1的方程为y=kx+1，即kx-y+1=0，则圆心N(0,2)到直线l1的距离d1=|-2+1|k2+1=1k2+1，所以|PQ|=24-1k2+1=24k2+3k2+1，(ⅰ)若k=0，则直线l2斜率不存在，则|PQ|=23，|EF|=4,则S=12|EF|⋅|PQ|=43，若k≠0，则直线l2的方程为y=-1k x+1，即x+ky-k=0，则圆心N(0,2)到直线l1的距离d2=kk2+1，所以|EF|=24-k2k2+1=23k2+4k2+1，则S=12|EF|.|PQ|=24k2+33k2+4k2+12=212k2+12+k2k2+12=212+k2k2+12=212+1k2+1k2+2≤212+12k2⋅1k2+2=7，当且仅当k2=1k2，即k=±1时，等号成立.综上所述，因为7=49>43，所以S的最大值为7；(ⅱ)设P x1,y1,Q x2,y2，联立方程组得：x2+(y-2)2=4 y=kx+1消y得k2+1x2-2kx-3=0，则x1+x2=2kk2+1,x1x2=-3k2+1，直线OP的方程为y=y1x1x，直线DQ的方程为y=y2-4x2x+4，联立解得x=4x1x23x1+x2则y=y1x1⋅4x1x23x1+x2=4y1x23x1+x2=4kx1+1x23x1+x2=4kx1x2+4x23x1+x2=-6x1-2x23x1+x2=-2，所以G4x1x23x1+x2,-2，所以点G在定直线y=-2上.8.(江苏省南京市第九中学2022-2023学年高三上学期期末模拟数学试题)在平面直角坐标系中，圆M是以A(1,3)，B(3,-3)两点为直径的圆，且圆N与圆M关于直线y=x对称.(1)求圆N的标准方程；(2)设C(0,1)，D(0,4)，过点C作直线l1，交圆N于P、Q两点，P、Q不在y轴上.(i)过点C作与直线l1垂直的直线l2，交圆N于E、F两点，记四边形EPFQ的面积为S，求S的最大值；(ii)设直线OP，DQ相交于点G，试讨论点G是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由.【解析】(1)由题意得：圆M的半径为|AB|2=(3-1)2+(-3-3)22=2，圆心M即AB的中点为(2,0)，圆M的方程为：(x-2)2+y2=4，因为圆N与圆M关于直线y=x对称，所以圆N的圆心N(0,2)，半径为2，所以圆N的标准方程为：x2+(y-2)2=4；(2)依题意可知，直线l1的斜率存在，设直线l1的方程为y=kx+1，即kx-y+1=0，则圆心N(0,2)到直线l1的距离d1=|-2+1|k2+1=1k2+1，所以|PQ|=24-1k2+1=24k2+3k2+1，(i)若k=0，则直线l2斜率不存在，则|PQ|=23，|EF|=4，则S=12|EF|⋅|PQ|=43，若k≠0，则直线l2的方程为y=-1k x+1，即x+ky-k=0，则圆心N(0,2)到直线l2的距离d2=|k|k2+1，所以|EF|=24-k2k2+1=23k2+4k2+1，则S=12|EF|⋅|PQ|=2(4k2+3)(3k2+4)(k2+1)2=212(k2+1)2+k2(k2+1)2=212+k2(k2+1)2=212+1k2+1k2+2≤212+12k2⋅1k2+2=7，当且仅当k2=1k2即k=±1时取等号，综上所述，因为7=49>43，所以S的最大值为7；(ii)设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，联立x2+y-22=4y=kx+1，消去y得(k2+1)x2-2kx-3=0，Δ=4k2+12(k2+1)>0恒成立，则x1+x2=2kk2+1，x1x2=-3k2+1，直线OP的方程为y=y1x1x=kx1+1x1x=k+1x1x，直线DQ的方程为y=y2-4x2x+4=kx2-3x2x+4=k-3x2x+4，联立y=k+1x1xy=k-3x2x+4，解得x=4x1x23x1+x2，因为x1+x2=2kk2+1，x1x2=-3k2+1，所以x1+x2x1x2=2kk2+1-3k2+1=-2k3，所以k=-3(x1+x2)2x1x2，则y=k+1 x1⋅4x1x23x1+x2=4kx1+1x23x1+x2=4kx1x2+4x23x1+x2=-6(x1+x2)+4x23x1+x2=-6x 1-2x 23x 1+x 2=-2，所以G 4x 1x 23x 1+x 2,-2，所以点G 在定直线y =-2上.9.(【市级联考】江苏省盐城市2018~2019学年高三第二学期期末考试数学(文理合卷)试题)如图，已知椭圆C 1:x 24+y 22=1与椭圆C 2:y 22+x 2m 2=10<m <2 的离心率相同．(1)求m 的值；(2)过椭圆C 1的左顶点A 作直线l ，交椭圆C 1于另一点B ，交椭圆C 2于P ,Q 两点(点P 在A ,Q 之间)．①求ΔOPQ 面积的最大值(O 为坐标原点)；②设PQ 的中点为M ，椭圆C 1的右顶点为C ，直线OM 与直线BC 的交点为R ，试探究点R 是否在某一条定直线上运动，若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由．【解析】(1) 由椭圆C 1方程知：a 1=2，b 1=2 ∴c 1=a 21-b 21=2∴离心率：e1=c 1a 1=22又椭圆C 2中，a 2=2，b 2=m ∴c 2=2-m 2∴e 2=c 2a 2=22=2-m 22，又0<m <2，解得：m =1(2)①当直线AB 与x 轴重合时，O ,P ,Q 三点共线，不符合题意故设直线AB 的方程为：x =my -2且m ≠0设P x 1,y 1 ，Q x 2,y 2由(1)知椭圆C 2的方程为：y 22+x 2=1联立方程消去x 得：y 2+2my -2 2-2=0即：1+2m 2 y 2-8my +6=0解得：y 1=4m -4m 2-61+2m 2，y 2=4m +4m 2-61+2m 2，m ≥62又S ΔPOQ =S ΔAOQ -S ΔAOP =12AO y 1-y 2 =24m 2-61+2m 2令1+2m 2=t ≥4∴24m 2-61+2m 2=22t -8t =22t -8t 2=-81t2+2t ≤24，此时t =8∴ΔOPQ 面积的最大值为：24②由①知：y 1+y 2=8m 1+2m 2 ∴x 1+x 2=-41+2m 2∴M -21+2m 2,4m1+2m 2∴直线OM 的斜率：k OM =-2m则直线OM 的方程为：y =-2mx联立方程x 24+y 22=1x =my -2消去x 得：m 2+2 y 2-4my =0，解得：y B =4m m 2+2∴x B =4m 2m 2+2-2=2m 2-4m 2+2 ∴k BC =4mm 2+22m 2-4m 2+2-2=-m 2则直线BC 的方程为：y =-m2x -2联立直线OM 和BC 的方程y =-2mx y =-m 2x -2，解得：R -23,-4m3 ∴点R 在定直线x =-23上运动10.(四川省内江市2022-2023学年高三上学期期末考试数学(理)试题)已知圆M :(x -3)2+y 2=9．设D 2,0 ，过点D 作斜率非0的直线l 1，交圆M 于P 、Q 两点．(1)过点D 作与直线l 1垂直的直线l 2，交圆M 于EF 两点，记四边形EPFQ 的面积为S ，求S 的最大值；(2)设B 6,0 ，过原点O 的直线OP 与BQ 相交于点N ，试讨论点N 是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由．【解析】(1)由圆M :(x -3)2+y 2=9知，圆心为M 3,0 ，半径r =3，因为直线l 1过点D 2,0 且斜率非0，所以设直线l 1方程为：y -0=k x -2 ，即kx -y -2k =0，则点M 到直线l 1的距离为：d 1=3k -2k1+k2=k1+k2，所以PQ =2r 2-d 21=232-k1+k 22=29-k 21+k 2=28k 2+91+k 2，由l 1⊥l 2，且直线l 2过点D ，所以设直线l 2方程为：y -0=-1kx -2 ，即x +ky -2=0，则点M 到直线l 2的距离为：d 2=3-21+k 2=11+k 2，所以EF =2r 2-d 22=232-11+k 22=29-11+k 2=29k 2+81+k 2，故S =12⋅EF ⋅PQ =12⋅28k 2+91+k 2⋅29k 2+81+k 2=28k2+9 9k 2+81+k 22≤2×8k2+9 +9k 2+8221+k 22=2×171+k221+k2=17，当且仅当8k2+9=9k2+8⇒k=±1时取等号，所以四边形EPFQ的面积S的最大值为17. (2)点N在定直线x=-6上.证明：设P x1,y1,Q x2,y2，直线PQ过点D，则设直线PQ方程为：x=my+2，联立x=my+2x-32+y2=9，消去x整理得：m2+1y2-2my-8=0，y1+y2=2mm2+1,y1y2=-8m2+1，所以y1+y2y1y2=-m4⇒my1y2=-4y1+y2，由k OP=y1-0x1-0=y1x1，所以直线OP的方程为：y=y1x1x，k BQ=y2-0x2-6=y2x2-6，所以直线BQ的方程为：y=y2x2-6x-6，因为直线OP与直线BQ交于点N，所以联立y=y1x1xy=y2x2-6x-6，所以x N=6x1y2x1y2-y1x2-6=6my1+2y2my1+2y2-y1my2+2-6=6my1y2+12y2my1y2+2y2-my1y2+4y1=3my1y2+6y2 y2+2y1=3×-4×y1+y2+6y2y2+2y1=-12y1-12y2+6y2y2+2y1=-12y1-6y2y2+2y1=-6，所以x N=-6，所以点N 在定直线x =-6上.11.(一题打天下之椭圆与方程(39问))已知①如图，长为23，宽为12的矩形ABCD ，以A ､B 为焦点的椭圆M :x 2a 2+y 2b2=1恰好过CD 两点，②设圆(x +3)2+y 2=16的圆心为S ，直线l 过点T (3,0)，且与x 轴不重合，直线l 交圆S 于CD 两点，过点T 作SC 的平行线交SD 于M ，判断点M 的轨迹是否为椭圆，若是，求出椭圆方程，(1)在①②两个条件中任选一个条件，求椭圆M 的标准方程；(2)根据(1)所得椭圆M 的标准方程，若AB 是椭圆M 的左右顶点，过点(1,0)的动直线l 交椭圆M 与CD 两点，试探究直线AC 与BD 的交点是否在一定直线上，若在，请求出该直线方程，若不在，请说明理由.【解析】(1)若选①，可得2c =23，所以c =3，令x =c ，可得BC =b 2a =12，由a 2=b 2+c 2,可得a =2,b =1，所以椭圆M 的标准方程为x 24+y 2=1，若选②，如图所示，圆的半径为4，易知CS =SD ，所以TM ⎳SC ，所以TM =MD ，所以MS +MT =MS +MD =SD =4>ST =23，所以M 点轨迹为以S ，T 为焦点的椭圆，2a =4,2c =23，所以a =2,b =1，所以椭圆方程为x 24+y 2=1(y ≠0)，所以不是椭圆；(2)当斜率为0时，直线AC 与BD 都和x 轴重合，当斜率不为0时，设直线方程为x =my +1，代入椭圆方程可得(m 2+4)y 2+2my -3=0，设C (x 1,y 1),D (x 2,y 2)，有y 1+y 2=-2m m 2+4,y 1y 2=-3m 2+4，x 1+x 2=8m 2+4，x 1x 2=-4+8m 2+4，所以直线AC 方程为y =y 1x 1+2(x +2)，直线BD 方程为y =y 2x 2-2(x -2)，联立两直线方程可得：x +2x -2=y 2(x 1+2)y 1(x 2-2)=y 2(my 1+3)y 1(my 2-1)=my 1y 2+3y 2my 1y 2-y 1=m⋅-3m2+4+3-y1-2mm2+4m⋅-3m2+4-y1=-9m-3(m2+4)y1-3m-(m2+4)y1=3，所以x+2x-2=3，解得x=1，故直线AC与BD的交点在定直线x=1上.12.(【全国百强校】河北省邢台市育才中学2023届高三上学期第三次月考数学试题)已知A1,A2分别是焦距为2的椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点，P为椭圆C上非顶点的点，直A1P,A2P线的斜率分别为k1,k2，且k1k2=-3 4.(1)求椭圆C的方程；(2)直线l(与x轴不重合)过点(1,0)且与椭圆C交于M、N两点，直线A1M与A2N交于点S，试求S 点的轨迹是否是垂直x轴的直线，若是，则求出S点的轨迹方程，若不是，请说明理由.【解析】试题分析：(1)由题意可求得a2=4,b2=3，则椭圆C的方程为x24+y23=1.(2)由题意分类讨论直线斜率存在和斜率不存在两种情况可得点S的轨迹方程为x=4.试题解析：(1)设P x0,y0为椭圆C上非顶点的点，∴k A1P⋅k A2P=y02x02-a2=-34，又∵x02a2+y02b2=1,∴y02a2-x02=b2a2, ∴b2a2=34，即b2=34a2，∴c2=a2-b2=14a2=1,a2=4,b2=3，故椭圆C的方程为x24+y23=1.(2)当过点1,0直线l斜率不存在时，不妨设M1,3 2,N1,-32，直线A1M的方程是y=12x+1，直线A2N的方程是y=32x-3，交点为S14,3.若M1,-32,N1,32，由对称性可知交点为S24,-3.点S在直线x=4上，当直线斜率存在时，设l的方程为x=my+1，由x24+y23=1x=my+1得3m2+4y2+6my-9=0，记M x1,y1,N x2,y2，则y1+y2=-6m3m2+4,y1y2=-93m2+4.A1M的方程是y=y1x1+2x+2,A2N的方程是y=y2x2-2x-2，由y=y1x1+2x+2,y=y2x2-2x-2,得y1x1+2x+2=y2x2-2x-2，即x=2⋅y2x1+2+y1x2-2y2x1+2-y1x2-2=2⋅y2my1+3+y1my2-2y2my1+2-y1my2-2=2⋅2my1y2+3y2-y13y2+y1=2⋅2m⋅-93m2+4+3-6m3m2+4-y1-y13-6m3m2+4-y1+y1=4.综上所述，点S的轨迹方程为x=4.13.(广东省新高考2023届高三下学期开学调研数学试题)已知A,B两点的坐标分别为-1,0，1,0，直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积为4．(1)求点P的轨迹方程；(2)过点12,0的直线l与点P的轨迹交于C，D两点，试探究直线AC与BD的交点M是否在某条定直线上，若是求出该定直线方程，若不是请说明理由．【解析】(1)设P x,y，由题意可知k AP⋅k BP=4，即yx+1⋅yx-1=4x≠±1，化简整理，得x2-y24=1x≠±1，所以点P的轨迹方程为x2-y24=1x≠±1.(2)由题意可设l的方程为x=my+12m≠±12，联立x=my+12x2-y24=1，消x整理得4m2-1y2+4my-3=0，设C x1,y1，D x2,y2，则Δ=64m2-12>0，即m2>3 16，由韦达定理有y1+y2=-4m4m2-1y1y2=-34m2-1 ，又直线AC的方程为y=y1x1+1(x+1)，直线BD的方程为y=y2x2-1(x-1)，联立y=y1x1+1x+1y=y2x2-1x-1，解得x=x1y2+x2y1-y1+y2x1y2-x2y1+y1+y2=my1+12y2+my2+12y1-y1+y2my1+12y2-my2+12y1+y1+y2。
高中数学：求解圆锥曲线问题的方法和技巧
高中数学：求解圆锥曲线问题的方法和技巧圆锥曲线中的知识综合性较强，因而解题时就需要运用多种基础知识、采用多种数学手段来处理问题。
熟记各种定义、基本公式、法则固然重要，但要做到迅速、准确解题，还须掌握一些方法和技巧。
一. 紧扣定义，灵活解题灵活运用定义，方法往往直接又明了。
例1. 已知点A（3，2），F（2，0），双曲线，P为双曲线上一点。
求的最小值。
解析：如图所示，双曲线离心率为2，F为右焦点，由第二定律知即点P到准线距离。
二. 引入参数，简捷明快参数的引入，尤如化学中的催化剂，能简化和加快问题的解决。
例2. 求共焦点F、共准线的椭圆短轴端点的轨迹方程。
解：取如图所示的坐标系，设点F到准线的距离为p（定值），椭圆中心坐标为M（t，0）（t为参数），而再设椭圆短轴端点坐标为P（x，y），则消去t，得轨迹方程三. 数形结合，直观显示将“数”与“形”两者结合起来，充分发挥“数”的严密性和“形”的直观性，以数促形，用形助数，结合使用，能使复杂问题简单化，抽象问题形象化。
熟练的使用它，常能巧妙地解决许多貌似困难和麻烦的问题。
例3. 已知，且满足方程，又，求m范围。
解析：的几何意义为，曲线上的点与点（－3，－3）连线的斜率，如图所示四. 应用平几，一目了然用代数研究几何问题是解析几何的本质特征，因此，很多“解几”题中的一些图形性质就和“平几”知识相关联，要抓住关键，适时引用，问题就会迎刃而解。
例4. 已知圆和直线的交点为P、Q，则的值为________。
解：五. 应用平面向量，简化解题向量的坐标形式与解析几何有机融为一体，因此，平面向量成为解决解析几何知识的有力工具。
例5. 已知椭圆：，直线：，P是上一点，射线OP交椭圆于一点R，点Q在OP上且满足，当点P在上移动时，求点Q的轨迹方程。
分析：考生见到此题基本上用的都是解析几何法，给解题带来了很大的难度，而如果用向量共线的条件便可简便地解出。
解：如图，共线，设，，，则，点R在椭圆上，P点在直线上，即化简整理得点Q的轨迹方程为：（直线上方部分）六. 应用曲线系，事半功倍利用曲线系解题，往往简捷明快，收到事半功倍之效。
解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型
解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型一、解圆锥曲线问题常用的八种方法：1.直线的交点法：利用直线与圆锥曲线的交点来解题，求出直线与曲线的交点坐标，从而得到问题的解。
该方法适用于直线与圆锥曲线有交点的情况。
2.过顶点的直线法：通过过顶点的直线与圆锥曲线的交点性质来解题。
一般情况下，过顶点的直线与圆锥曲线有两个交点，利用这两个交点可以得到问题的解。
3.平行线法：对于平行线与圆锥曲线的交点性质进行分析，可以得到问题的解。
一般情况下，平行线与圆锥曲线有两个交点，通过求解这两个交点可以得到问题的解。
4.切线法：利用切线与圆锥曲线的交点性质来解题。
一般情况下，切线与圆锥曲线有一个交点，通过求解这个交点可以得到问题的解。
5.对称法：通过对称性质，将圆锥曲线转化为标准形式或特殊形式，从而简化问题的求解过程。
6.几何平均法：利用几何平均的性质，将圆锥曲线的方程进行变换，从而得到问题的解。
7.参数方程法：通过给定的参数方程，求解参数，从而得到与曲线相关的问题的解。
8.解析几何法：通过解析几何的方法，将问题抽象为代数方程，从而求解问题。
二、解圆锥曲线问题常规题型：1.已知曲线方程，求曲线的性质：如给定椭圆的方程，求椭圆的长短轴、焦点、离心率等。
2.已知曲线性质，求曲线方程：如给定一个椭圆的长短轴、焦点、离心率等，求椭圆的方程。
3.已知曲线方程和一个点，判断该点是否在曲线上：如给定一个椭圆的方程和一个点P，判断点P是否在椭圆上。
4.已知曲线方程和一个直线，判断该直线是否与曲线有交点：如给定一个椭圆的方程和一条直线L，判断直线L是否与椭圆有交点。
5.已知曲线方程和一个点，求该点到曲线的距离：如给定一个椭圆的方程和一个点P，求点P到椭圆的距离。
6.已知曲线方程和一个点，求该点在曲线上的切线方程：如给定一个椭圆的方程和一个点P，求点P在椭圆上的切线方程。
7.已知曲线方程和两个点，求该曲线上两点之间的弧长：如给定一个椭圆的方程和两个点A、B，求椭圆上从点A到点B的弧长。
高中数学高分秘籍圆锥曲线的解策略
高中数学高分秘籍圆锥曲线的解策略在高中数学的学习中，圆锥曲线无疑是一个重点和难点。
它不仅在高考中占据着重要的地位，而且对于培养我们的数学思维和解题能力也有着极大的帮助。
然而，很多同学在面对圆锥曲线问题时，常常感到无从下手，或者在解题过程中出现各种错误。
那么，如何才能在圆锥曲线这一板块取得高分呢？下面我将为大家分享一些实用的解题策略。
一、扎实掌握基础知识要想在圆锥曲线的题目中取得高分，首先必须扎实掌握相关的基础知识。
这包括圆锥曲线的定义、标准方程、性质等。
椭圆的定义是平面内到两个定点的距离之和等于常数（大于两定点间的距离）的动点的轨迹。
其标准方程有两种形式：当焦点在 x 轴上时，方程为\（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a＞ b ＞ 0\））；当焦点在 y 轴上时，方程为\（＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝1\）（＼（a ＞b ＞0\））。
椭圆的性质包括范围、对称性、顶点、离心率等。
双曲线的定义是平面内到两个定点的距离之差的绝对值等于常数（小于两定点间的距离）的动点的轨迹。
其标准方程也有两种形式：当焦点在 x 轴上时，方程为\（＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2} ＝1\）；当焦点在 y 轴上时，方程为\（＼frac{y^2}｛a^2} ＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\）。
双曲线的性质包括渐近线、离心率等。
抛物线的定义是平面内到一定点和一条定直线的距离相等的动点的轨迹。
其标准方程有四种形式：＼（y^2 ＝ 2px\）（＼（p ＞ 0\）），＼（y^2 ＝－2px\）（＼（p ＞ 0\）），＼（x^2 ＝ 2py\）（＼（p ＞0\）），＼（x^2 ＝－2py\）（＼（p ＞ 0\））。
抛物线的性质包括焦点、准线等。
只有对这些基础知识了如指掌，我们才能在解题时迅速准确地运用它们。
二、学会分析题目条件在面对圆锥曲线的题目时，我们要学会仔细分析题目所给出的条件。
圆锥曲线解题的万能套路
圆锥曲线解题的万能套路圆锥曲线是数学中研究的一类曲线，包括椭圆、双曲线和抛物线。
这三种曲线都有着各自独特的性质和特点，解题时可以根据这些特点来进行分析和求解。
下面将介绍一些圆锥曲线解题的常用套路。
1.椭圆的解题套路：椭圆的标准方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别表示椭圆的长半轴和短半轴。
-根据方程的形式，可以判断椭圆的方向（水平或垂直）和长短半轴的比例关系。
-判断椭圆是否关于x轴或关于y轴对称，可以使用对称性质简化计算。
-利用椭圆的性质，可以求解椭圆的焦点、准线和主轴方程。
-在给定椭圆上求点的距离、坐标或方程时，可以利用椭圆的定义方程与给定条件相互联立求解。
2.双曲线的解题套路：双曲线的标准方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其中a和b分别表示双曲线的长半轴和短半轴。
-根据方程的形式，可以判断双曲线的方向（水平或垂直）和长短半轴的比例关系。
-判断双曲线是否关于x轴或关于y轴对称，可以使用对称性质简化计算。
-利用双曲线的性质，可以求解双曲线的焦点、准线和中心点坐标。
-在给定双曲线上求点的距离、坐标或方程时，可以利用双曲线的定义方程与给定条件相互联立求解。
3.抛物线的解题套路：抛物线的标准方程为y^2 = 2px，其中p为焦距的一半，表示抛物线的焦点到顶点的距离。
-根据方程的形式，可以判断抛物线的开口方向（上下）和焦点的位置。
-判断抛物线是否关于x轴或关于y轴对称，可以使用对称性质简化计算。
-利用抛物线的性质，可以求解抛物线的焦点坐标、准线方程和顶点坐标。
-在给定抛物线上求点的距离、坐标或方程时，可以利用抛物线的定义方程与给定条件相互联立求解。
以上是圆锥曲线解题的一些常用套路。
对于不同类型的圆锥曲线，需要根据其方程的形式和曲线的特点来确定解题的具体方法。
熟练掌握这些套路，并在实际问题中灵活运用，可以更加高效地解决圆锥曲线相关的问题。
圆锥曲线问题通法通解
解圆锥曲线问题常用方法【学习要点】解圆锥曲线问题常用以下方法：1、数形结合法解析几何是代数与几何的一种统一，常要将代数的运算推理与几何的论证说明结合起来考虑问题，在解题时要充分利用代数运算的严密性与几何论证的直观性，尤其是将某些代数式子利用其结构特征，想象为某些图形的几何意义而构图，用图形的性质来说明代数性质。
如“2x+y ”，令2x+y=b ，则b 表示斜率为-2的直线在y 轴上的截距；如“x 2+y 2”,令d y x =+22，则d 表示点P （x ，y ）到原点的距离；又如“23+-x y ”，令23+-x y =k ，则k 表示点P （x 、y ）与点A （-2，3）这两点连线的斜率……2、参数法（1）点参数利用点在某曲线上设点（常设“主动点”），以此点为参数，依次求出其他相关量，再列式求解。
如x 轴上一动点P ，常设P （t ，0）；直线x-2y+1=0上一动点P 。
除设P （x 1,y 1）外，也可直接设P （2y,-1,y 1） （2）斜率为参数当直线过某一定点P(x 0,y 0)时，常设此直线为y-y 0=k(x-x 0)，即以k 为参数，再按命题要求依次列式求解等。
（3）角参数当研究有关转动的问题时，常设某一个角为参数，尤其是圆与椭圆上的动点问题。
3、代入法这里所讲的“代入法”，主要是指条件的不同顺序的代入方法，如对于命题：“已知条件P 1,P 2求（或求证）目标Q ”，方法1是将条件P 1代入条件P 2，方法2可将条件P 2代入条件P 1，方法3可将目标Q 以待定的形式进行假设，代入P 1,P 2,这就是待定法。
不同的代入方法常会影响解题的难易程度，因此要学会分析，选择简易的代入法。
【典型例题】例1：已知P(a,b)是直线x+2y-1=0上任一点，求S=136422+-++b a b a 的最小值。
分析：由此根式结构联想到距离公式， 解：S=22)3()2(-++b a 设Q(-2,3),则S=|PQ|,它的最小值即Q 到此直线的距离 ∴S min5535|1322|=-⨯+- 点评：此题也可用代入消元的方法转化为二次函数的最小值问题（注：可令根式内为t 消元后，它是一个一元二次函数）例2：已知点P(x,y)是圆x 2+y 2-6x-4y+12=0上一动点，求xy的最值。
浅析圆锥曲线中的解题通法
２００７年第１期组学习，并联系本校教学实际，进行讨论。
此外，规定全体教师每月阅读２—３篇教育理论文章。
（４）公开课观摩：每周观摩一节公开课，组内全员参加，然后评课，分析得失。
（５）专题讲座：定期定人向有关年级学生举办外语学习方法及外国文化等方面的专题讲座，促进学生的学习，开阔他们的视野。
（６）课题研究：教研组集体申报国家级、省级或市级课题，然后分工研究；或者同级教师确定年级组课题，教师自己确定个人课题，深入本校、本班的教学实际，就如何提高本校外语教学质量展开全面研究。
（７）专业课程学习：选择一套富有新的教学理念、新的教学方法、日常语言鲜活、地道的专业教材，教研组全员在职学习。
主要以自学为主，定期讨论，限时学完。
此项活动旨在提高教师专业素养，不断“充电”，防止知识“老化”。
例如，可选择外研社出版的顾曰国教授主编的《高级英语自学系列教程》，该教材知识全面、内容新颖、语言文化并重、适宜于自学，对中学英语教学（尤其是高中教学）极有帮助。
（８）英语沙龙：定期举办英语沙龙专题漫谈活动，能够提高外语教师的口头表达能力，为课堂教学夯实口语基础。
教研组内全员参加，也可邀请外校教师或专职翻译参加，互相学习交流，增加与外界的接触。
（９）走出去、请进来的学习培训：ａ．每学期安排教师到外校观摩学习；ｂ．派教师参加全国、全省、全市优质课观摩，然后向全组汇报；ｃ．参加各类继续教育教师培训、新课程标准改革培训。
每学期请一名省内、外学科专家传递最新教学信息，并就教材教法、现代教学技术和手段、测评技术等给予指导。
（１０）办外文刊物：教研组内教师分工牵头，带动学生，办一份外语刊物。
刊名从学生中征集。
教师充分调动学生的积极性投稿，教师也要撰写稿件。
参考文献［１］梅汝莉：为什么必须“学而不厌”，才能“诲人不倦”【Ｊ】．北京教育：２００２（１０）：４［２］刘艳玲：构建学习型组织，促进学校可持续发展［Ｊ］．学科教育：２００２（９）．２８—３０［３］俞声弟：试论教师的继续教育和可持续发展［Ｊ］．中小学外语教学：２０００（９）．１９—２１（责任编辑：晓仁）浅析圆锥曲线中的解题通法卢仲学（西北师范大学２００４级教育硕士（数学）甘肃兰州７３００７０）圆锥曲线是高考的重点内容，从每年的高考试卷看，一般有２～３道客观题和一道解答题，难度上易、中、难三档题都有，主要考查圆锥曲线的概念和性质，直线与圆锥曲线的位置关系等，题型变化多端且综合性较强，对学生综合应用知识的能力要求较高．所以为了突破这一点，教会学生一些解题通法是十分必要的，下面就这部分解题通法作一浅析．一、圆锥曲线的概念和性质的“ａ、ｂ、ｃ、ｅ、ｐ法”这种通法的本质是借助于圆锥曲线的基本参数之间的关系，利用其概念和性质解决有关问题，这是高考常考查的解题方法．例１．（０５全国文科，５）已知双曲线ｘ２ａ２－ｙ２＝１（ａ＞０）的一条准线为ｘ＝３２，则该双曲线的离心率为（）：（Ａ）３!２（Ｂ）３２（Ｃ）６!２（Ｄ）２３!３分析：根据双曲线中ａ、ｂ、ｃ、ｅ之间的关系，有２ａ２＝３ｃ，ｃ２＝ａ２＋ｂ２，ｂ２＝１，以及ｅ＝ｃ：ａ，易得答案Ｄ是正确的．二、直线与圆锥曲线的位置关系的“△法”此通法是指先把直线方程和圆锥曲线方程联立方程组，消去一个变量，化成关于另一个变量的一元二次方程，利用△＞０得直线与曲线有两个公共点；△＝０得直线与曲线只有一个公共点；△＜０得直线与曲线无公共点．此通法也是圆锥曲线中“设而不解”方法的基础，但要注意当二次项的系数含有参数时需讨论．例２．（０５全国文科，２２）已知椭圆的中心为坐标原点Ｏ，焦点在ｘ轴上，斜率为１且过椭圆右焦点Ｆ的直线交椭圆于Ａ、Ｂ两点，Ｏ#$Ａ＋Ｏ#$Ｂ与ａ＝（３，－１）共线．学科教学４２－－２００７年第１期（１）求椭圆的离心率；（２）（略）．分析：（１）设椭圆方程为ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞ｂ＞０），Ｆ（ｃ，０）．则直线ＡＢ的方程为ｙ＝ｘ－ｃ，代入ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１，化简得（ａ２＋ｂ２）ｘ２－２ａ２ｃｘ＋ａ２ｃ２－ａ２ｂ２＝０．令Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），则ｘ１＋ｘ２＝２ａ２ｃａ２＋ｂ２，ｘ１ｘ２＝ａ２ｃ２－ａ２ｂ２ａ２＋ｂ２．由Ｏ!"Ａ＋Ｏ!"Ｂ＝（ｘ１＋ｘ２，ｙ１＋ｙ２），ａ＝（３，－１），Ｏ!"Ａ＋Ｏ!"Ｂ与ａ共线，得３（ｙ１＋ｙ２）＋（ｘ１＋ｘ２）＝０．又ｙ１＝ｘ１－ｃ，ｙ２＝ｘ２－ｃ，∴３（ｘ１＋ｘ２－２ｃ）＋（ｘ１＋ｘ２）＝０，∴ｘ１＋ｘ２＝３ｃ２．即２ａ２ｃａ２＋ｂ２＝３ｃ２，所以ａ２＝３ｂ２．∴ｃ＝ａ２－ｂ２#＝６#ａ３，故离心率ｅ＝ｃａ＝６#３．三、直线与圆锥曲线相交所成的“弦长公式法”此法是指计算线与圆锥曲线相交所成弦的长度的计算或应用．其公式是ＰＱ＝１＋ｋ２#（ｘ１＋ｘ２）２－４ｘ１ｘ２#，其中Ｐ（ｘ１，ｙ１），Ｑ（ｘ２，ｙ２）是直线与圆锥曲线的交点，ｋ是直线的斜率．特别地，当曲线是抛物线时公式为ＰＱ＝ｘ１＋ｘ２＋ｐ．例３．（０２上海，１８）已知点Ａ（－３#，０）和Ｂ（３#，０），动点Ｃ到Ａ、Ｂ两点的距离之差的绝对值为２，点Ｃ的轨迹与直线ｙ＝ｘ－２交于Ｄ、Ｅ两点，求线段ＤＥ的长．分析：设点Ｃ（ｘ，ｙ），则ＣＡ－ＣＢ＝±２，根据双曲线的定义，Ｃ的轨迹方程为ｂ２ｘ２－ａ２ｙ２＝ａ２ｂ２．由２ａ＝２，２ｃ＝２３#，得ａ２＝１，ｂ２＝２．故Ｃ的轨迹方程为２ｘ２－ｙ２＝２．由已知直线方程和所求的双曲线方程联立方程组得ｘ２＋４ｘ－６＝０，∴ｘ１＋ｘ２＝－４，ｘ１ｘ２＝－６，而ｋ＝１，∴ＤＥ＝１＋１２#（－４）２－４×（－６）#＝４５#．四、“点线距离法”，即点到直线的距离公式法此法是指与圆锥曲线有关的一点Ｐ（ｘｏ，ｙｏ）到一直线Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝０的距离为ｄ＝Ａｘｏ＋Ｂｙｏ＋ＣＡ２＋Ｂ２#．应用此法可以计算或证明与圆锥曲线有关的线段的长度、三角形面积、角相等或大小等问题．例４．（０５江西理科，２２）设抛物线Ｃ：ｙ＝ｘ２的焦点为Ｆ，动点Ｐ在直线ｌ：ｘ－ｙ－２＝０上运动，过Ｐ作抛物线Ｃ的两条切线ＰＡ、ＰＢ，且与抛物线Ｃ分别相切于Ａ、Ｂ两点．（１）求△ＡＰＢ的重心Ｇ的轨迹方程．（２）证明∠ＰＦＡ＝∠ＰＦＢ．分析：（１）略；（２）设切点Ａ、Ｂ坐标分别为（ｘ，ｘ０２）和（ｘ１，ｘ１２）（ｘ１≠ｘ０），①当ｘ１ｘ０＝０时，由ｘ１≠ｘ０，不妨设ｘ０＝０，则ｙ０＝０，所以Ｐ点坐标为（ｘ１２，０），则Ｐ点到直线ＡＦ的距离为：ｄ１＝ｘ１２；而直线ＢＦ的方程：ｙ－１４＝ｘ１２－１４ｘ１ｘ，即（ｘ２１－１４）ｘ－ｘ１ｙ＋１４ｘ１＝０．所以Ｐ点到直线ＢＦ的距离为：ｄ２＝（ｘ１２－１４）ｘ１２＋ｘ１４（ｘ１２－１４）２＋（ｘ１）２(＝ｘ１２，所以ｄ１＝ｄ２，即得∠ＡＦＰ＝∠ＰＦＢ．②当ｘ１ｘ０≠０时，直线ＡＦ的方程：（ｘ０２－１４）ｘ－ｘ０ｙ＋１４ｘ０＝０，直线ＢＦ的方程：（ｘ１２－１４）ｘ－ｘ１ｙ＋１４ｘ１＝０，所以Ｐ点到直线ＡＦ的距离为：ｄ１＝（ｘ０２－１４）（ｘ０＋ｘ１２）－ｘ０２ｘ１＋１４ｘ０（ｘ０２－１４）２＋ｘ０２(＝ｘ０－ｘ１２，同理可得到Ｐ点到直线ＢＦ的距离ｄ２＝ｘ１－ｘ０２，因此由ｄ１＝ｄ２，可得到∠ＡＦＰ＝∠ＰＦＢ．五、计算圆锥曲线的焦半径的“两点距离法”此法是指用两点之间距离公式计算焦半径（圆锥曲线上一点与焦点之间的距离）的通法．例５．（９８全国理科，２）椭圆ｘ２＋４ｙ２＝１２的焦点为Ｆ１和Ｆ２，点Ｐ在椭圆上．如果线段ＰＦ１的中点在ｙ轴上，那么ＰＦ１是ＰＦ２的（）Ａ．７倍Ｂ．５倍Ｃ．４倍Ｄ．３倍分析：不妨设Ｆ１（－３，０），Ｆ２（３，０），由条件得Ｐ（３，±３(２），即ＰＦ２＝３(２，ＰＦ１＝１４７(２，因此ＰＦ１＝７ＰＦ２，故选Ａ．六、求过圆锥曲线上一点切线的“四变，一不变法”所谓四变是指把ｘ２、ｙ２、ｘ、ｙ分别变为ｘ０ｘ、ｙ０ｙ、（ｘ＋ｘ０）÷２，常量不变，其中Ｐ（ｘ０，ｙ０）是圆锥曲线上一点．如过抛物线ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０）上一点Ｐ（ｘ０，ｙ０）的切线方程为ｙ０ｙ＝２ｐ（ｘ０＋ｘ）÷２＝ｐ（ｘ０＋ｘ）．例６．（０５江西理科，２２）如图，设抛物线Ｃ：ｙ＝ｘ２的焦点为Ｆ，动点Ｐ在直线ｌ：ｘ－ｙ－２＝０上运动，过Ｐ作抛物线Ｃ的两条切线ＰＡ、ＰＢ，且与抛物线Ｃ分别相切于Ａ、Ｂ两点．（１）求△ＡＰＢ的重心Ｇ的轨迹方程；（２略）．分析：（１）设切点Ａ、Ｂ坐标分别为（ｘ，ｘ０２）和（ｘ１，ｘ１２）（ｘ１≠ｘ０），∴切线ＡＰ的方程为：２ｘ０ｘ－ｙ－ｘ０２＝０；切线ＢＰ的方程为：２ｘ１ｘ－ｙ－ｘ１２＝０；解得Ｐ点的坐标为ｘｐ＝ｘ０＋ｘ１２，ｙｐ＝ｘ０ｘ１所以△ＡＰＢ的重心Ｇ的坐标为ｘＧ＝ｘ０＋ｘ１＋ｘｐ３＝ｘｐ，ｙＧ＝ｙ０＋ｙ１＋ｙｐ３＝ｘ０２＋ｘ１２＋ｘ０ｘ１３＝（ｘ０＋ｘ１）２－ｘ０ｘ１３＝４ｘｐ２＋ｙｐ３，所以ｙｐ＝－３ｙＧ＋４ｘＧ２，由点Ｐ在直线ｌ上运动，得到重心Ｇ的轨迹方程为：ｘ－（－３ｙ＋４ｘ２）－２＝０，即ｙ＝１３（４ｘ２－ｘ＋２）．（责任编辑：科言）学科教学４３－－。
圆锥曲线解题的万能套路
圆锥曲线解题的万能套路可以归纳为以下步骤：
1. 确定焦点位置：根据题目给定的条件，确定圆锥曲线的焦点位置，是位于X 轴上还是Y轴上。
2. 设而不求：设定圆锥曲线上的两点坐标，然后根据点在曲线上的性质，列出方程，但不求解。
3. 点差法：如果题目涉及弦的中点问题，可以使用点差法。
将两个点在曲线上的坐标分别带入方程，然后作差，化简后可以求得中点的坐标。
4. 联立方程：将题目给定的图形方程与圆锥曲线方程联立，形成一元二次方程组。
5. 使用韦达定理：利用韦达定理，将方程组的解用函数的k表示出来。
6. 求切线方程：如果需要求切线方程，可以通过图形的一个切点代入，求得切线斜率，进而得到切线方程。
7. 弦长公式：如果需要求弦长，可以使用弦长公式，将直线方程与图形方程联立，化简后得到一元二次不等式，通过韦达定理求解。
8. 求最值：根据题目给定的条件，利用函数关系或几何关系求出最值。
9. 求轨迹方程：根据题目给定的条件，利用待定系数法或定义法求出轨迹方程。
以上步骤可以作为圆锥曲线解题的万能套路，但具体解题过程中还需根据题目的具体情况进行灵活应用。
高中数学，不会解圆锥曲线怎么办？八个秒杀方法，教你“提分冲刺”
高中数学，不会解圆锥曲线怎么办？八个秒杀方法，教你“提
分冲刺”
高中数学中，圆锥曲线占19个知识点。
试卷中，会考察到一半以上的知识点，侧重对直线、圆、圆锥曲线知识点的考察。
题型相对稳定，一半是选填题2个，解答题一个，分值在22分左右。
难度不大，但会与其他知识点相联系，比如方程、不等式。
然而高中数学知识中，圆锥曲线是一部分比较难以吃透的知识，虽然学起来比较难，但同学们还是要牢牢地掌握住这部分的知识。
如果已经知晓这个结论，常规笨方法按部就班做出来可能需要5-8分钟，秒杀结论可以让你在一分钟之内得出答案，无疑为后面的大题争取更多做答时间，同时也为检查试卷争取了时间。
所以今天学姐就给同学们带来了解圆锥曲线问题常用的八种秒杀方法与七种常规题型。
希望能够帮助高中同学攻克这一章节的难点，直接秒杀所有难题！快速让你提分冲刺！。
一类圆锥曲线最值问题的通解探究
分 支 内，则 ｌ ＭＦＩ Ｉ ＋ Ｍ ｌ 最 小 值 是 ＩＦｌ 的 Ａ ，
此 时 点 Ｍ 是 该 双 曲 线 分 支 与 线 段 Ｆ 的
交 点，但 没 有 最 大 值．当 限 定 点 Ｍ 在 双 曲
线 的 另 一 支 上 时，Ｉ ＭＦｌ １ Ａ 的 最 小 值 ＋ Ｍ Ｉ 是 Ｉ Ｉ ｌＦ ｌ ２ ， 时 点 是双 曲线 的 Ａ 或 Ａ ＋ ０ 此
交点 ．
Ｉ ＭＦＩ Ｉ ＋ ＭＡＩ １ （ ＝ ０＋ ［ ＭＡＩ ＭＦ，， —Ｉ Ｉ ） ｌＦ Ｉ ｖ － Ａ ＝２ ｑ ． ￣
由三 角形 的性 质， 一Ｉ Ｆ Ｉ Ｉ 得 ≤ Ｍ ｌ —
ｌ Ａ ， ＭＦ ｌ Ｆ Ｉ ≤［ ．
当 点 Ｍ 是 椭 圆 与 线 段 Ｆ 延 长 线 的 交
２１ 年第 ９ ０２ 期
数 学戡 学
９ ｌ 一５
一
类 圆锥 曲线 最值 问题 的通 解 探 究
２ ０４ 上海 市闵行 第三 中学 张宝贵 ０ ２０
近几年 的高考 常考 查这样 一类 问题： 圆 求
锥 曲 线 上 的 动 点 Ｍ 到 一 焦 点 Ｆ 与 一 定 点 的
距离 的最值． 这类 问题也屡见 于高 中课本 和教 辅书 ， 呈现 形式 看似 简练 ， 时解 答起 来却 极 有 为棘手 ， 既要熟练掌握 圆锥 曲线 的定义 、性质 ，
还需灵活运用转化与化归 、数形结合等思想方 法 ， 直 觉 思 维 能 力 的 要求 也较 高 ． 对
除 了上海 高 中课本 ， 各省 市高 中课本 大多
都 介 绍 了 圆 锥 曲 线 的 统 一 定 义 ，上 述 问题 常
2007年高考试题中有关圆锥曲线问题的通法分析
2007年高考试题中有关圆锥曲线问题的通法分析
金钟植
【期刊名称】《高中数理化（高二）》
【年(卷),期】2007(000)010
【摘要】《圆锥曲线》作为高中数学中一个非常重要的知识块．蕴涵着高中数学中主要的数学思想和方法，所以解决有关解析几何问题中涉及的通法也是多样的，由于教材编写的局限性，不可能在教材中系统归纳有关的通法．本文从2007年高考试题中的解答题选出4个典型例子，试图从通法运用的角度进行分析．由于解析几何解答题的综合性，解决每个题目所运用到的通法可能是多种通法，所以本文针对每个题目分析出解决相关问题时，分别归纳出需要运用的通法．
【总页数】3页(P9-11)
【作者】金钟植
【作者单位】吉林省长春市东北师范大学附属实验学校
【正文语种】中文
【中图分类】O1
【相关文献】
1.朴实无华陷无奈峰回路转显神奇——从一道高考试题谈与圆锥曲线焦点弦、离心率相关的一类问题 [J], 何乃文
2.解几类直线与圆锥曲线问题的通法探究 [J], 何升吉
3.一道新课标高考试题解法机理分析及其通性通法 [J], 李红庆
4.圆锥曲线问题的代数通法研究 [J], 张金海;
5.圆锥曲线一类对称问题的通法探究 [J], 王利辉
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解圆锥曲线问题常用方法【学习要点】解圆锥曲线问题常用以下方法：1、数形结合法解析几何是代数与几何的一种统一，常要将代数的运算推理与几何的论证说明结合起来考虑问题，在解题时要充分利用代数运算的严密性与几何论证的直观性，尤其是将某些代数式子利用其结构特征，想象为某些图形的几何意义而构图，用图形的性质来说明代数性质。
如“2x+y ”，令2x+y=b ，则b 表示斜率为-2的直线在y 轴上的截距；如“x 2+y 2”,令d y x =+22，则d 表示点P（x ，y ）到原点的距离；又如“23+-x y ”，令23+-x y =k ，则k 表示点P （x 、y ）与点A （-2，3）这两点连线的斜率…… 2、参数法（1）点参数利用点在某曲线上设点（常设“主动点”），以此点为参数，依次求出其他相关量，再列式求解。
如x 轴上一动点P ，常设P （t ，0）；直线x-2y+1=0上一动点P 。
除设P （x 1,y 1）外，也可直接设P （2y,-1,y 1） （2）斜率为参数当直线过某一定点P(x 0,y 0)时，常设此直线为y-y 0=k(x-x 0)，即以k 为参数，再按命题要求依次列式求解等。
（3）角参数当研究有关转动的问题时，常设某一个角为参数，尤其是圆与椭圆上的动点问题。
3、代入法这里所讲的“代入法”，主要是指条件的不同顺序的代入方法，如对于命题：“已知条件P 1,P 2求（或求证）目标Q ”，方法1是将条件P 1代入条件P 2，方法2可将条件P 2代入条件P 1，方法3可将目标Q 以待定的形式进行假设，代入P 1,P 2,这就是待定法。
不同的代入方法常会影响解题的难易程度，因此要学会分析，选择简易的代入法。
【典型例题】例1：已知P(a,b)是直线x+2y-1=0上任一点，求S=136422+-++b a b a 的最小值。
分析：由此根式结构联想到距离公式，解：S=22)3()2(-++b a 设Q(-2,3),则S=|PQ|,它的最小值即Q 到此直线的距离 ∴S min5535|1322|=-⨯+- 点评：此题也可用代入消元的方法转化为二次函数的最小值问题（注：可令根式内为t 消元后，它是一个一元二次函数）例2：已知点P(x,y)是圆x 2+y 2-6x-4y+12=0上一动点，求xy的最值。
解：设O （0，0），则x y 表示直线OP 的斜率，由图可知，当直线OP 与圆相切时，xy取得最值，设最值为k ，则切线：y=kx,即kx-y=0圆(x-3)2+(y-2)2=1,由圆心（3，2）到直线kx-y=0的距离为1得11|23|2=+-k k ,∴433±=k ∴433,433maxmin +=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛x y x y 例3：直线l ：ax+y+2=0平分双曲线191622=-y x 的斜率为1的弦，求a 的取值范围. 分析：由题意，直线l 恒过定点P(0,-2)，平分弦即过弦中点，可先求出弦中点的轨迹，再求轨迹上的点M 与点P的连线的斜率即-a 的范围。
解：设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)是双曲线上的点，且AB 的斜率为1，AB 的中点为M(x 0,y 0)则： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-1916191622222121y x y x①-②得01916,09160022122212=⋅-=---y x y y x x 即 即M(X 0,y 0)在直线9x-16y=0上。
由9x-16y=0 得C ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--79,716,D ⎪⎪⎭⎫⎝⎛79,716191622=-y x ∴点M 的轨迹方程为9x-16y=0(x<-7716或x>7716) k PD =167297160792,167297160792+=---=-=++-PD k ① ②由图知，当动直线l 的斜率k ∈⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⋃⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-16729,169169,16729时，l 过斜率为1的弦AB 的中点M ，而k=-a∴a 的取值范围为：⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⋃⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-16972,169169,16729 点评：此题是利用代数运算与几何特征相结合的方法而解得的，由图得知，弦AB 中点轨迹并不是一条直线（9x-16y=0），而是这条直线上的两条射线（无端点）。
再利用图形中的特殊点（射线的端点C 、D ）的属性（斜率）说明所求变量a 的取值范围。
例4：过y 2=x 上一点A （4，2）作倾斜角互补的两条直线AB 、AC 交抛物线于B 、C 两点。
求证：直线BC 的斜率是定值。
分析：（1）点A 为定点，点B 、C 为动点，因直线AB 、AC 的倾斜角互补，所以k AB 与k AC 相反，故可用“k 参数”法，设AB 的斜率为k ，写出直线AB 的方程，将AB 的方程与抛物线方程联立，因A 为已知交点，则方程有一根已知故用韦达定理容易解出点B 坐标，同理可得点C 坐标，再求BC 斜率。
（2）因点B 、C 在抛物线上移动，也可用“点参数”法，设B （x 1,y 1）,C(x 2,y 2),因x 1=y 12,x 2=y 22,即可设B （y 12,y 1）,C(y 22,y 2)。
再考虑k AB =-k AC 得参数y 1,y 2的关系。
解法1：设AB 的斜率为k ，则AC 的斜率为-k AB ：y-2=k(x-4),与y 2=x 联立得： y-2=k(y 2-4),即ky 2-y-4k+2=0 ∵y=2是此方程的一解， ∴2y B=kky k k B 21,24-=+-x B =y B2=,44122kk k +- ∴B ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-k k k k k 21,44122 ∵k AC =-k,以-k 代替k 代入B 点坐标得C ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+++k k k k k 21,44122 ∴k BC =414414412121222-=+--++--+-k kk k k k k kk k 为定值 解法2：设B （y 12,y 1）,C(y 22,y 2)，则 k BC =122122121y y y y y y +=--∵k AB =2142,214222221121+=--=+=--y y y k y y y AB 由题意，k AB =-k AC , ∴4,21212121-=++-=+y y y y 则 则：k BC =41-为定值。
点评：解法1运算量较大，但其方法是一种基本方法，因k 的变化而造成了一系列的变化，最终求出BC 的斜率为定值；解法2利用点B ，C 在抛物线上设点，形成含两个参数y 1,y 2的问题，用整体思想解题，运算量较小。
例5：在圆x 2+y 2=4上，有一定点A （2，0）和两动点B ，C （A ，π求△ABC 的重心的轨迹。
分析：圆周角∠BAC=3π可转化为圆心角∠BOC=32π令B （2cos θ，2sin θ）则C(2cos(θ+32π),2sin(θ+32π))则重心可用θ表示出来。
解：连OB ，OC ，∵∠BAC=3π，∴∠BOC=32π设B （2cos θ,2sin θ）(0<θ<34π),则C(2cos(θ+32π),2sin(θ+32π))设重心G （x ，y ），则：x=)]32cos(2cos 22[31πθθ+++y=)]32sin(2sin 20[31πθθ+++ 即： x=)]3cos(1[32πθ++ )3cos(123πθ+=-xy=)3sin(32πθ+ )3sin(23πθ+=yθ+)35,3(3πππ∈ ∴1)23()123(22=+-y x 。
（x<21）即)21(94)32(22<=+-x y x点评：要注意参数θ的范围，θ+3π∈（3π，35π）它是一个旋转角，因此最终的轨迹是一 段圆弧，而不是一个圆。
例6、求直线3x-4y+10=0与椭圆1222=+y ax (a>0)有公共点时a 的取值范围分析:将直线方程代入椭圆方程消元得一元二次方程应有解,用判别式△≥0可求得a 的取值范围。
也可考虑另一代入顺序，从椭圆方程出发设公共点P （用参数形式），代入直线方程，转化为三角问题：asinx+bcosx=c 何时有解。
解法一：由直线方程3x-4y+10=0得2543+=x y 代入椭圆方程得1)2543(1222=++x x a∴0421415)1691(22=+++x x a△≥0，得0)1691(4214)415(22≥+⋅⋅-a 解得3282≥a ，又a>0,∴372≥a 解法二：设有公共点为P ，因公共点P 在椭圆上，利用椭圆方程设P （acos ϕ，sin ϕ）再代入直线方程得3acos ϕ-4sin ϕ+10=04sin ϕ-3acos ϕ=10。
16910cos 1693sin 1694222+=+-+a a a a ϕϕ令sin α=16932+a a ，cos α=16942+a ，则sin(ϕ-α)=169102+a ，由1)sin(≤-αϕ 即sin 2(ϕ-α)≤1得11691002≤+a ∴9a 2≥84，a 2≥328(a>0) ∴a ≥3212点评：解法1，2给出了两种不同的条件代入顺序，其解法1的思路清晰，是常用方法，但运算量较大，对运算能力提出较高的要求，解法2先考虑椭圆，设公共点再代入直线，技巧性强，但运算较易，考虑一般关系：“设直线l ：Ax+By+C=0与椭圆12222=+b y a x 有公共点,求应满足的条件”此时，若用解法一则难于运算，而用解法二，设有公共点P ，利用椭圆，设P （acos ϕ，bsin ϕ）代入直线方程得Aacos ϕ+Bbsin ϕ=-C 。
∴12222≤+-bB a AC 时上式有解。
∴C 2≤A 2a 2+B 2b 2因此，从此题我们可以体会到条件的代入顺序的重要性。
【同步练习】1、若实数x 、y 满足x 2+y 2-2x+4y=0，则x-2y 的最大值是（ ）A 、5B 、10C 、9D 、5+252、若关于x 的方程)2(12-=-x k x 有两个不等实根，则实数k 的取值范围是 （ ） A 、)33,33(-B 、)3,3(-C 、⎥⎦⎤ ⎝⎛-0,33D 、⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛--33,2121,33 3、方程03)1()3(22=+---++y x y x 表示的图形是（ ） A 、椭圆 B 、双曲线 C 、抛物线 D 、以上都不对4、已知P 、Q 分别在射线y=x(x>0)和y=-x(x>0)上，且△POQ 的面积为1，（0为原点），则线段PQ 中点M 的轨迹为（ ） A 、双曲线x 2-y 2=1 B 、双曲线x 2-y 2=1的右支 C 、半圆x 2+y 2=1(x<0) D 、一段圆弧x 2+y 2=1(x>22) 5、一个等边三角形有两个顶点在抛物线y 2=20x 上，第三个顶点在原点，则这个三角形的面积为 6、设P(a,b)是圆x 2+y 2=1上的动点，则动点Q(a 2-b 2,ab)的轨迹方程是 7、实数x 、y 满足3x 2+2y 2=6x ，则x+y 的最大值为8、已知直线l ：2x+4y+3=0，P 是l 上的动点，O 为坐标原点，点Q 分为1：2，则点Q 的轨迹方程为9、椭圆191622=+y x 在第一象限上一动点P ，若A(4，0)，B(0，3)，O(0，0)，则APBO S 四边形的最大值为 10、已知实数x 、y 满足x+y=4，求证：225)1()2(22≥-++y x11、△ABC 中,A(3,0)2=BC ，BC 在y 轴上，且在[-3,3]间滑动，求△ABC 外心的轨迹方程。