解直角三角形知识点整理

在RT ABC ∆中，∠C=90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，则：
sin A a A c ∠=
=的对边斜边 cos A b
A c ∠==的邻边斜边
tan A a A A b ∠=
=∠的对边的邻边 c o t A b
A A a
∠==∠的邻边的对边
常用变形：sin a c A =
；sin a
c A
=等，。

二、 锐角三角函数的有关性质：
1、 当0°<∠A<90°时，0sin 1A <<；0cos 1A <<；tan 0A >；cot 0A >
2、 在0°--90°之间，正弦、正切（sin 、tan ）的值，随角度的增大而增大；余弦、余切（cos 、
cot ）的值，随角度的增大而减小。

三、 同角三角函数的关系：
22sin cos 1A A += t a n c o t 1A A = sin tan cos A A A =
c o s c o t sin A
A A
=
常用变形：2
sin 1cos A A =- 2c o s 1s i n A A =-
四、
正弦与余弦，正切与余切的转换关系：
如图1，由定义可得：sin cos cos(90)a
A B A c
=
==︒- 同理可得： sin cos(90)A A =︒- cos sin(90)A A =︒-tan cot(90)A A =︒- c o t t a n (90A A =︒-
五、
特殊角的三角函数值：
三角函数 sin α cos α tan α cot α 30°
12
32 33
3
45°
22
22 1
1
60° 32
12
3
33
六、
解直角三角形的基本类型及其解法总结：
类型 已知条件 解法
两边
两直角边a 、b
2
2c a b =+，tan a
A b
=
，90B A ∠=︒-∠ 直角边a ，斜边c 22
b c a =-，sin a A c
=，90B A ∠=︒-∠
一边 一锐角
直角边a ，锐角A 90B A ∠=︒-∠，cot b a A =，sin a
c A
=
斜边c ，锐角A
90B A ∠=︒-∠，sin a c A = ，cos b c A = 60°
30°
32
1
B
C
A
45°
22
2
B
C
A
已知ABC ∆中，∠A 、∠B 、∠C 的对应边分别是a 、b 、c ，如图2，过点A 作AD ⊥BC 于点D 。

在
RT ABD ∆中，sin AD
B AB
=
，即：sin AD AB B =
（sin AD c B = ） 111
sin sin 222
ABC S BC AD a c B ac B ∆=== （其中：∠B 为a 、c 的夹角）
同理可得：111
sin sin sin 222ABC S ac B bc A ab C ∆===（三角形的面积公式）
由面积公式可得：11
sin sin 22ac B bc A =
两边同时除于12c 得： sin sin sin sin a b
a B
b A A B
=⇔=
同理可得，正弦公式：sin sin sin a b c
A B C
== 八、 余弦定理
如图2：sin AD b C = ， cos BD BC CD a b C =-=- ，在直角三角形ABD 中，由勾股定理得：
2
2222
2(sin )(cos )AB AD BD c b C a b C =+⇔=+- 整理得：
2222222222sin 2cos cos (sin cos )2cos c b C a ab C b C b C C a ab C =+-+⇔++-
2222cos c b a ab C ⇔=+- 整理得到余弦定理：2222cos c a b ab C =+-（∠C 为a 、b 的夹角）
同理可得：（余弦定理及其变形）
2
2
2
2cos a b c bc A =+- 222
cos 2b c a A bc
+-=
2
2
2
2cos b a c ac B =+- 222
cos 2a c b B ac
+-=
2
2
2
2cos c a b ab C =+- 222
cos 2a b c C ab
+-=
九、三角函数的高中定义：（图中的圆半径为单位1） 如图3，sin y y r α=
= 同理可得：cos x α=，tan y x α=，cot x
y
α= 如图4，也可以得到相同的结论，但是此时要特别注意三角函数的符号所发生的变化，从而使三角函数摆脱仅限于锐角的尴尬境地。

D
A
B
C
十、三角函数与相似：
如图5，可以利用相似进行求解，也可以利用三角函数进行求解：
3.2cos 610AD AB x x A AE AC +=
=⇔= sin DE BC
A AE AC
== 如图6，6
tan 48DE BC x A AE AB =
=⇔= 备注：三角函数，在解决直角三角形的一些问题中，有时候会比相似书写更简洁一些
十一、相似与直角三角形的射影定理：
直角三角形射影定理：2CD AD BD = 2A C A D A B = 2
B C B D
A B = 2tan tan CD BD A BCD CD AD BD AD CD =
=∠=⇔=
2cos AC AD A AC AD AB AB AC ==⇔= 2
c o s B C B D B B C B D A B
A B B C ==⇔= 十二、三角函数与一次函数
设一次函数y kx b =+经过点11(,)A x y 与22(,)B x y 那么我们可以列出方程组：
1122
y kx b y kx b =+⎧⎨
=+⎩则可以得到：21
21y y k x x -=- 如下图所示：tan k α=
α
αy 2-y 1
x 2-x 1
y 2
y 1x 2x 1
B(x 2,y 2)
A(x 1,y 1)O。