解直角三角形知识点整理

在RT ABC ∆中，∠C=90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，则：

sin A a A c ∠=

=的对边斜边 cos A b

A c ∠==的邻边斜边

tan A a A A b ∠=

=∠的对边的邻边 c o t A b

A A a

∠==∠的邻边的对边

常用变形：sin a c A =

；sin a

c A

=等，。 二、 锐角三角函数的有关性质：

1、 当0°<∠A<90°时，0sin 1A <<；0cos 1A <<；tan 0A >；cot 0A >

2、 在0°--90°之间，正弦、正切（sin 、tan ）的值，随角度的增大而增大；余弦、余切（cos 、

cot ）的值，随角度的增大而减小。

三、 同角三角函数的关系：

22sin cos 1A A += t a n c o t 1A A = sin tan cos A A A =

c o s c o t sin A

A A

=

常用变形：2

sin 1cos A A =- 2c o s 1s i n A A =-

四、

正弦与余弦，正切与余切的转换关系：

如图1，由定义可得：sin cos cos(90)a

A B A c

=

==︒- 同理可得： sin cos(90)A A =︒- cos sin(90)A A =︒-tan cot(90)A A =︒- c o t t a n (90A A =︒-

五、

特殊角的三角函数值：

三角函数 sin α cos α tan α cot α 30°

12

32 33

3

45°

22

22 1

1

60° 32

12

3

33

六、

解直角三角形的基本类型及其解法总结：

类型 已知条件 解法

两边

两直角边a 、b

2

2c a b =+，tan a

A b

=

，90B A ∠=︒-∠ 直角边a ，斜边c 22

b c a =-，sin a A c

=，90B A ∠=︒-∠

一边 一锐角

直角边a ，锐角A 90B A ∠=︒-∠，cot b a A =，sin a

c A

=

斜边c ，锐角A

90B A ∠=︒-∠，sin a c A = ，cos b c A = 60°

30°

32

1

B

C

A

45°

22

2

B

C

A

已知ABC ∆中，∠A 、∠B 、∠C 的对应边分别是a 、b 、c ，如图2，过点A 作AD ⊥BC 于点D 。在

RT ABD ∆中，sin AD

B AB

=

，即：sin AD AB B =

（sin AD c B = ） 111

sin sin 222

ABC S BC AD a c B ac B ∆=== （其中：∠B 为a 、c 的夹角）

同理可得：111

sin sin sin 222ABC S ac B bc A ab C ∆===（三角形的面积公式）

由面积公式可得：11

sin sin 22ac B bc A =

两边同时除于12c 得： sin sin sin sin a b

a B

b A A B

=⇔=

同理可得，正弦公式：sin sin sin a b c

A B C

== 八、 余弦定理

如图2：sin AD b C = ， cos BD BC CD a b C =-=- ，在直角三角形ABD 中，由勾股定理得：

2

2222

2(sin )(cos )AB AD BD c b C a b C =+⇔=+- 整理得：

2222222222sin 2cos cos (sin cos )2cos c b C a ab C b C b C C a ab C =+-+⇔++-

2222cos c b a ab C ⇔=+- 整理得到余弦定理：2222cos c a b ab C =+-（∠C 为a 、b 的夹角）

同理可得：（余弦定理及其变形）

2

2

2

2cos a b c bc A =+- 222

cos 2b c a A bc

+-=

2

2

2

2cos b a c ac B =+- 222

cos 2a c b B ac

+-=

2

2

2

2cos c a b ab C =+- 222

cos 2a b c C ab

+-=

九、三角函数的高中定义：（图中的圆半径为单位1） 如图3，sin y y r α=

= 同理可得：cos x α=，tan y x α=，cot x

y

α= 如图4，也可以得到相同的结论，但是此时要特别注意三角函数的符号所发生的变化，从而使三角函数摆脱仅限于锐角的尴尬境地。