空间几何体的外接球(一)---教案
高中数学外接球教案模板
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教学内容：外接球
教学目标：
1. 理解外接球的概念和性质
2. 掌握外接球的相关定理和推导方法
3. 能够应用外接球定理解决实际问题
教学重点：
1. 外接球的定义和性质
2. 外接球的定理及其应用
教学步骤：
一、导入（5分钟）
1. 引入外接球的概念，通过展示一个外接球的实际图形引起学生的兴趣和好奇心。
二、讲解（15分钟）
1. 讲解外接球的定义和性质
2. 讲解外接球的定理及证明过程
三、练习（20分钟）
1. 让学生做一些外接球的相关练习题，巩固所学知识
2. 提供一些实际问题，让学生应用外接球定理解决
四、总结（5分钟）
1. 总结外接球的基本概念和性质
2. 引导学生思考外接球在真实生活中的应用
五、作业布置（5分钟）
1. 布置一些与外接球有关的作业题目，巩固所学知识
2. 鼓励学生积极思考外接球在生活中的实际应用
教学反思：
本节课通过引入外接球的概念和性质，让学生了解外接球的基本概念和相关定理，通过练习和实际问题的解决，让学生掌握外接球的应用方法。
但是，在以后的教学中，可以增加更多的实际案例，引导学生更深入地理解外接球的应用。
人教版高中数学必修二《空间简单几何体的外接球问题》
r1 R R r2
d1
R
O O2 d2
O2 O d2
R R r2
M P1
R O d r O1
R
底面多边形有外接圆的直棱柱 底面多边形有外接圆时， 棱台存在外接球 存在外接球
底面多边形有外接圆时， 棱锥存在外接球
r1=r2=r h h1=h2= 2 h 2 2 2 R =r +( ) 2
R2=r12+d12 R2=r22+d22 h-d1=± d2 r22-r12=d12-d22=h2-2hd1 r12+h2-r22 2 2 2 d1= ,R =r1 +d1 2h
R2=r12+d12 R2=r22+d22 h-d1=± d2 r22-r12=d12-d22=h2-2hd1 r12+h2-r22 2 2 2 d1= ,R =r1 +d1 2h
侧棱相等的三棱锥存在 外接球，球心在高 O1O2上
C A
O'
B
d2=h-R R2=r22+(h-R)2
直三棱柱都有外接球 斜三棱柱无外接球
设底面正方形的中心为 解： P ABCD为正四棱锥 PO' 面ABCD且球心O在线段PO' 上 r BD 2 d OO' 4 R R2 d 2 r 2 R 2 16 8R R 2 2 R 9 4
A D O' B A C D d O' P P
2
空间简单几何体的 外接球问题
空间简单几何体的外接球问题
两条主线：
空间简单几何体的 外接球 柱体的外接球
锥体的外接球 台体的外接球
旋转 体 圆柱
圆锥 圆台
几何体的外接球
几何体的外接球几何体外接球问题的是高考的高频考点，重点考查学生的空间想象能力，难点在于准确寻找外接球的球心。
我们要抓住几何体外接球球心的本质特征：（1）外接球球心是任意两条直径的交点；（2）外接球球心在几何体任意一条棱的中垂面上；（3）外接球的球心在经过几何体任意一个平面的外心且与此平面垂直的垂线上。
所以如何交出球心是关键，一般是先找几何体某一特征平面的外心，再作经过此外心的作特征平面的垂线，空间问题转化为平面问题，然后在平面上利用球的几何性质作图交出球心。
下面结合实例的应用进行说明。
1．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．2a πB ．273a πC ．2113a πD ．25a π 1．B 【解析】∵三棱柱内接于球，且各棱都相等，则上下底面的截面圆的圆心连线过球心O ，且12ON a =，N 为截面圆的圆心且为底面正三角形的中心，则有2333AN AE a ==，∴球半径2222712OA AN ON a =+=，∴球的表面积为22743OA a ππ=． 【点评】寻找直棱柱的外接球球心，只要找到直棱柱上、下底面的外心，两外心连线即与底面垂直，此线段中点即为外接球的球心．2．三棱锥P ABC -中，ABC ∆为等边三角形，2PA PB PC ===，PA PB ⊥，三棱锥P ABC -的外接球的表面积为________．2．12π【解析】∵三棱锥P ABC -中，ABC ∆为等边三角形，2PA PB PC ===，∴PAB PAC PBC ∆≅∆≅．∵PA PB ⊥，∴PA PC ⊥，PB PC ⊥．以,,PA PB PC 为过同一顶点的三条棱，作长方体如图：则长方体的外接球同时也是三棱锥P ABC -外接球．∵长方体的对角线长为32222222=++，∴球直径为32，半径3，因此，三棱锥P ABC -外接球的表面积是πππ12)3(4422==R ．【点评】若三棱锥的三条侧棱两两垂直，补形构造正方体或长方体，通过补形将四点共球转化为八点共球．3．已知四面体P ABC -中，4PA PB ==，2PC =，25AC =，PB ⊥平面PAC ，则四面体P ABCD -外接球的表面积为 ．3．36π【解析】由4PA =2PC =，25AC =，∴222PA PC AC +=，可得PA PC ⊥；又∵PB ⊥平面PAC ，,PA PC ⊂平面PAC ，∴PB PA ⊥，PB PC ⊥，以,,PA PB PC 为长、宽、高，作长方体如图所示：则该长方体的外接球就是四面体P ABC -的外接球，∵长方体的对角线长为2224426++=，∴长方体外接球的直径26R =，得3R =；因此，四面体P ABC -的外接球体积为36V π=．【点评】若三棱锥的三条侧棱两两垂直，等效于一个“墙角”，可将“墙角”补形构造正方体或长方体，通过补形将四点共球转化为八点共球，在长方体中确定直径解决外接问题．4．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的表面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =，则此三棱锥的体积为（ ）A ．14B ．24C ．26D ．2124．C 【解析】根据题意作出图形：设球心为O ，过ABC 三点的小圆的圆心为1O ，则1OO ⊥平面ABC ，延长1CO 交球于点D ，则SD ⊥平面ABC ．由1233323CO =⨯=，116133OO =-=，得高12623SD OO ==，而ABC ∆是边长为1的正三角形，则34ABC S ∆=，得1326343V =⨯⨯ 26=． 【点评】外接球球心与几何体任意平面的外心连线垂直于该平面．5.已知如图所示的三棱锥D ABC -的四个顶点均在球O 的球面上，ABC ∆和DBC ∆所在的平面互相垂直，3AB =，3AC =，23BC CD BD ===，则球O 的体积为（ ）A ．43πB ．433πC ．323π D ．36π5.C 【解析】如图，由条件知ABC ∆是以BC 为直径的直角三角形，取BC 的中点1O ，知112r O A BC ==3=，又DBC ∆为等边三角形，ABC ∆所在的小圆面与平面DBC 垂直，得1O D ⊥平面ABC ，即球心O 在1O D 上，且13O D =，设球半径为R ，则222(3)(3)R R -+=，可得2R =，故球O 的体积为3432233ππ⨯=． 【点评】如果三棱锥的面是直角三角形，直角三角形斜边中点到三角形各顶点距离相等，即为外心.6.已知在梯形ABCD 中，CD AB //，AB AD ⊥，2=AB ，1==CD AD ，将梯形ABCD 沿对角线AC 折叠成三棱锥ABC D -，当二面角B AC D --是直二面角时，三棱锥ABC D -的外接球的体积为 .6.43π【解析】如图，由条件知ABC ∆是以AB 为直径的直角三角形，取AB 的中点1O ，知1112r O C AB ===，又1==CD AD ，取AC 的中点E ，则1222OE BC ==，22DE =，又二面角B AC D --是直二面角，知12O ED π∠=，所以12212O D ==，所以11O D =111O C O A O B ===，即1O 为三棱锥ABC D -的外接球的的球心，1R =，故三棱锥ABC D -的外接球的体积为344133ππ⨯=. 7．在四面体S ABC -中，,2,AB BC AB BC ⊥==2SA SC ==，6SB =，则该四面体外接球的表面积是（ ）A ．86πB ．6πC ．24πD ．6π7．D 【解析】因为,2,AB BC AB BC ⊥==所以2AC SA SB ===，设AC 的中点为D ，连接AD ，O2A CB S O O 1则三角形SAC 的外心1O 为在线段AD 上，且113DO SD ==，又三角形ABC 的外心为D ，又,SD AC BD AC ⊥⊥，所以AC ⊥平面SDB，过D 垂直于平面ABC 的直线与过1O 垂直于平面SAC 的直线交于点O ，则O 为四面体外接球的球心，在三角形SDB 中，由余弦定理得cos SDB ∠=，所以1sinsin()cos 23ODO SDB SDB π∠=∠-=-∠=，所以111tan 6OO O D ODO =⨯∠=，设外接圆半径为R ，则2221132R SO OO =+=，所以246S R ππ==. 【点评】外接球球心在与棱AC 垂直的的平面SBD 中，然后在平面SBD 中可以通过平面SAC 的外心1O 作垂线与过平面ABC 的外心D 并垂直平面ABC 的垂线DF 相交出外接球球心，也可以通过棱SB 的中垂线与过平面ABC 的外心D 并垂直平面ABC 的垂线DF 相交出外接球球心．8．已知边长为ABCD 中，60BAD ∠=，沿对角线BD 折成二面角A BD C --为120的四面体ABCD ，则四面体的外接球的表面积为（ ）A ．25πB ．26πC ．27πD ．28π8．D【解析】如图所示，设两三角形外心分别为23,O O ,球心为O ，1120AO C ∠=,故132,OO OO ==，球的半径为OC ==28π.【点评】外接球球心在与棱BD 垂直的的平面1AO C 中，使空间问题平面化．9．点S 、A 、B 、C 的同一球面上，点S 到平面ABC 的距离为12，AB BC CA=== 则点S 与ABC ∆中心的距离为（ ）A B C ．1 D ．129．B 【解析】设球心为O ,ABC ∆中心为1O ，ABC ∆外接圆半径13r ==， 依题意，1OO ⊥平面ABC ，∴11OO ==． 作21SO OO ⊥，垂足为2O ，则1212O O =，∴2O 为1OO 的中点，∴1SO SO R ===【点评】几何体的外接球问题的作图有时可不画出球，直接在原图形上建立几何直观，避免复杂作图． 10．在四面体S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，o 120BAC ∠=，2SA AC ==，1AB =，则该四面体的外接球的表面积为1040. .7 .11 .33A B C D ππππ 10．D 【解析】如图所示，以A 为原点建系，则13C(2,0,0),B(2-，设球心为(1,,1)O y ，则OB OC R ==，即2223311()(12y y ++=++，解得3y =210404433S R πππ==⨯= 【点评】外接球球心在几何体任意一条棱的中垂面上。
新课标人教A版高中数学必修二第一章《简单空间几何体的外接球问题》教学设计
简单空间几何体的外接球问题教学设计一、教学内容解析本节课是在全面学习了立体几何中的空间几何体之后，对空间中简单多面体与球相结合的综合问题的研究，是建立在学生熟练掌握平面几何的相关知识，类比得到空间几何体的一些结论，其中涉及到长方形外接圆的半径，三角形外接圆的半径的求法，需要学生充分发挥空间想象能力，在球中构建直角三角形求外接圆的半径。
本节课较全面的总结了多面体的外接球问题，既有对简单问题的快速便捷处理方法，又有对常见考法的系统探究，是属于中高考复习备考方法，策略的研究案例。
二、教学目标设置知识与技能：1、掌握与长方体有关的外接球问题2、理解用定义法和截面性质解决空间几何体的外接球问题。
过程与方法：通过类比平面的相关知识，建立空间感，运用外接球的定义求解外接球的半径。
情感、态度、价值观：充分发挥学生的空间想象能力，通过体会外接球半径的探索过程，正确地拓展已学知识，适时地建立模型归纳所学内容，从而完善地建立知识模块体系。
三、学生学情分析多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点，在近几年的高考题中都有出现。
球经常和其它空间几何体相结合出题，以选择题或填空题的形式出现。
在平时学习中，学生已经掌握了正方体、长方体的外接球，了解了补形法，但对一般三棱锥的外接球相关问题的求解仍有困难，主要是因为不善于抓住几何体的结构特征，不能正确回归外接球定义，寻找球心和半径。
四、教学过程设计（一）、新课引入1、图片展示：生活中的球，并让学生回答球的定义，及球心的定义.2、学生活动：展示长方形外接圆的求法学生思考：1、在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，将矩形ABCD沿AC折成一个二面角,使B-AC-D为60。
，则四面体ABCD的外接球的半径为( ).【注】：在空间中，如果一个顶点与一个简单几何体的所有顶点距离都相等那么这个顶点就是简单几何体的外接球的球心。
（根据球的定义确定球心）【注】：小发现：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是外接球的球心设计意图：通过图片展示先让学生回顾球及球心的定义，通过平面图形和立体图形的对比过度得到利用定义确定球心的方法。
外接球公开课教学设计
微专题《载体法处理几何体的外接球》（一）高考地位有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点；也是高考考查的一个热点；是培养直观想象的核心素养的重要载体。
研究多面体外接球相关问题既要运用多面体的知识，又要运用球的知识；并且还要注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的联系，解法灵法多变；成为学生无法解决的难题。
今天我们以专题形式帮助同学掌握两种方法来突破外接球问题。
（二）知识储备1.外接球的定义及常见几何体的外接球（1）什么是外接球？外接球全称叫几何体的外接球，是指几何体在球内顶住球，球在几何体外面包住几何体；进一步地：若几何体是多面体，则该多面体至多一个外接球，此时多面体的顶点都在球面上，球心到各顶点的距离都相等进一步地：若几何体是旋转体，则该旋转体恰有一个外接球，此时旋转体的圆周和顶点都在球面上，球心到顶点与圆周上的每一点的距离都相等（2）外接球与内切球、棱切球的区别2.外接球的确定及度量（1）性质法利用球的性质先确定球心再用垂径定理计算半径理论依据：类比圆，球体也具备如下性质①用一个平面截球面得到的截面是一个圆，我们称作是截面圆②用一个过球心的平面截球面得到的截面圆是一个大圆，此时球心与大圆的圆心是重合③用一个不过球心的平面截球面得到的截面圆是一个小圆，此时小圆圆心与球心的连线垂直于小圆所在的平面④过截面圆圆心作截面圆的垂线必过球心⑤球面上任意三个点所在的外接圆就是球的截面圆实战演练：根据球的性质可知，我们可以通过一个大圆或者两个小圆来确定球心，通过垂径定理来计算半径。
所以球的问题，我们可以转成圆（外心）的问题。
①通过一个大圆来确定球心正方体的外接球：球心位置：大圆的圆心即体中心半径R满足：2R=a2+b2+c2圆柱的外接球：球心位置：大圆的圆心也是中间轴的中点半径R满足：R2=(h2)2+r2圆锥的外接球：球心位置--大圆的圆心半径R满足：R2=(h-R)2+r2②通过两个小圆来确定球心小结：性质法就是利用球心正好是球的大圆圆心或者是两个小圆的垂线的交点来确定的。
几何体的外接球
几何体的外接球一、球的性质回顾如右图所示：O 为球心，O’为球O 的一个小圆的圆心，则此时OO’垂直于圆O’所在平面。
二、常见平面几何图形的外接圆外接圆半径（r ）的求法1、三角形：（1）等边三角形：等边三角形也即正三角形，其满足正多边形的基本特征：五心合一，即内心、外心、重心、垂心、中心重合于一点。
内心：内切圆圆心，各角角平分线的交点；外心：外接圆圆心，各边中垂线的交点；重心：各边中线的交点；垂心：各边垂线的交点；中心：正多边形特有。
从而等边三角形的外接圆半径通常结合重心的性质进行求解：a a r 332332=⋅=（其中a 为等边三角形的边长） （2）直角三角形：结合直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；可知：直角三角形的外接圆圆心位于斜边的中点处，求解过程比较简单，该处不做重点说明。
（3）等腰三角形：结合等腰三角形中三线合一的性质可知：等腰三角形的外接圆圆心位于底边的高线即中线上。
由图可得：22)2()(a r h r +-=思考：钝角三角形和锐角三角形外接圆圆心位置的区别。
（4）非特殊三角形：考察较少，若出现除以上三种情况以外的三角形在求解外接圆半径时可以参考使用正弦定理。
2、四边形常见具有外接圆的四边形有：正方形、矩形、等腰梯形，其中正方形与长方形半径求解方法类似，等腰梯形的外接圆圆心不在中学考察范围内，不用掌握。
外接圆圆心是在几何图形所在平面的一个到各个顶点距离相同的点；外接球球心则是空间中到几何体各个顶点距离相同的点。
结合上述所讲内容，外接圆圆心与外接球球心有许多相似之处以三角形为例，过三角形的外接圆圆心作三角形所在平面的一条垂线，不难得到：该垂线上的任意一点到该三角形三个顶点的距离恒定相等。
转化到几何体中，如正方体，其外接球球心位于体心位置，其与正方体任一表面正方形的中心连线均垂直于该正方形。
从而我们得出如下结论：几何体的外接球球心与底面外心的连线垂直于底面，也即球心落在过底面外心的垂线上，简单称之为：球心落在底面外心的正上方。
空间几何体的外接球
R
A
2
O
B1
O2
C1
A1
小结
直棱柱外接球球心在上下底面外心连线的 中点上，找到底面外接圆圆心，求出底面 外接圆半径，再利用勾股定理求外接球半 径.
R2 r2 (h)2 2
O1
O
R
h
2
r O2
棱锥外接球
棱锥外接球
例1
四棱锥P - ABCD的顶点都在球O 的球面上, 四边形ABCD是矩形, PA 平面ABCD, PA 8, AB 3, AD 3 3, 求球O的表面积.
课前导练
4.已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面，其
所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球表
面积为多少？
解 : AB a AO1
3 3
a, OO1
a 2
故AO2
R2
AO12
OO12
7 12
a2
S球
4 R2
7 a2
3
C A
O1 D B
R O
A1 a
C1 O2
若一个多面体的各顶点都在一个球的 球面上，则称这个多面体是这个球的 内接多面体，这个球是这个多面体的 外接球。
课前导练
圆柱的 外接球
正方体 外接球
O2
O a
R O1 a
2
R 5a 2
D1
C1
A1
R B1
O a
D
C
A
B
R 3a 2
长方体 外接球
C1
A1
D1 B1
5 O
C D B3 A4
R5 2 2
高中数学外接球的求法教案
高中数学外接球的求法教案
目标：学生能够理解外接球的概念，掌握外接球的求法，并能够在实际问题中解决外接球相关的数学问题。
教学内容：
1. 外接球的概念及性质；
2. 外接球的求法；
3. 外接球在实际问题中的应用。
教学步骤：
一、导入（5分钟）
教师引导学生回顾一下球的基本概念，并简单介绍外接球的概念。
二、讲解（15分钟）
1. 教师通过示意图和实例，介绍外接球的性质及特点；
2. 教师详细讲解外接球的求法，包括在不同情况下的具体步骤和计算方法；
3. 教师引导学生通过例题练习外接球的求法，确保学生掌握了方法。
三、练习（15分钟）
教师提供一些练习题供学生练习，包括计算外接球的半径、外接球的体积等问题。
四、应用（10分钟）
教师引导学生思考外接球在实际问题中的应用，例如外接球能包裹多少个相同大小的球、外接球的应用场景等。
五、总结（5分钟）
教师简要总结外接球的求法及应用，强调学生掌握了解决外接球相关数学问题的能力。
六、作业布置（5分钟）
布置作业，要求学生复习外接球的求法，并尝试解决一些相关的问题。
扩展活动：
可以引导学生进行实验，通过实际测量来验证外接球的性质和求法的正确性。
《空间几何体的外接球》(获奖教案)
《空间几何体的外接球》教学设计一、课标要求三维空间是人类生存的现实空间，认识空间图形、培养和发展学生的空间想象能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力，是高中阶段数学必修系列课程的。
基本要求：1、认识柱、锥、台、球极其简单组合体的结构特征；2、了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.二、教学分析：纵观近几年高考题，几何体的外接球问题在高考中既是考查的热点又是考查的难点。
与球有关的几何体问题能很好地考查学生的空间想象能力以及化归转化能力.本节课我们将着重研究三、教学目标1、掌握确定球心、求解半径的方法。
2、通过同类问题的变式探究，培养学生空间问题平面化、几何问题代数化的能力，深刻体会化归的数学思想；通过对问题难度的升级及总结，锻炼学生的几何直观和空间想象能力，培养学生的数学直观想象素养.四、教学重难点教学重点：会求正棱柱、正棱锥及一般三棱锥的外接球半径；教学难点：确定多面体外接球的球心并求出半径.五、教法分析本节课针对高三年级学生的认知特点，在遵循启发式教学原则的基础上，借助多媒体用讲授法、讨论法、练习法等教学方法，引导学生探索以正方体或长方体的顶点为顶点的三棱锥的结构特点，由浅入深的研究三棱锥与球相联系的桥梁。
本节课坚持以学生为主体，教学中让学生自主地“做数学”，将传统意义下的“学习”数学改变为“研究”数学。
从而，使传授知识与培养能力融为一体，在转变学习方式的同时学会数学地思考。
五、教学过程教学环节教学内容与问题设置设计意图复习回顾引入新课回顾下列知识：1.球的表面积公式：_________2.球的体积公式:______________3.长方体体对角线的求法:______________4.利用正弦定理求三角形外接圆的半径:____________5. 球的性质性质1：用一个平面去截球，截面是________；用一个平面去截球面，截线是_____。
大圆截面过________，半径等于_________；小圆截面不过______性质2: 球心和截面圆心的连线垂直于________．性质3: 球心到截面的距离 d 与球的半径R 及截面的半径r 下面的关系:____________知识准备。
空间几何体的外接球内切球问题
空间几何体的外接球内切球问题空间几何体的外接球、内切球问题自己总结供参考红岩外接球问题一.棱锥的外接球三棱锥都有外接球；底面有外接圆的任意棱锥都有外接球。
1.确定棱锥外接球球心的通法先找到棱锥底面的外接圆的圆心D ，过D 作底面的垂线ＤＰ交一侧棱的中垂面于O ，点O 即为外接球的球心。
练习：1.三棱锥S-ABC 的各顶点都在同一球面上，若SB ⊥平面ABC ,SB=6，AB=AC=2120BAC ∠=?，则此球的表面积等于。
2. 点A 、B 、C 、D 均在同一球面上，其中△ ABC 是正三角形，AD ⊥平面ABC ，AD=2AB=6则该球的体积为。
3.四面体ABCD 的四个顶点在同一球面上，AB=BC=CD=DA=3，32=AC ，6=BD ，则该球的表面积为（）A ．π14 B.π15 C.π16 D.π182.补成长方体或正方体，再利用体对角线是外接球直径这一结论求解。
练习：1.三棱锥O ABC -中，,,OA OB OC 两两垂直，且22OA OB OC a ===，则三棱锥O ABC -外接球的表面积为（）A ．26a π B ．29a π C ．212a π D ．224a π2.已知,,,S A B C 是球O 表面上的点，SA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，1SA AB ==，BC =O 表面积等于（A ）4π （B ）3π （C ）2π （D ）π3.,四个顶点在同一个球面上,则此球的表面积为( )A.3πB.4πD.6π4.3.公共边所对的两个角为直角确定球心法练习1.在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B ACD --，则四面体ABCD 的外接球的体积为A.12512π B.1259π C.1256π D.1253π2.空间四边形ABCD中，1,AB BC AD DC ====ABCD 的外接球的表面积为4.利用轴截面截球为大圆确定球半径正四、六、八棱锥的外接球的一个轴截面为大圆，该圆的半径等于外接球的半径. 练习：1.正四棱锥S ABCD -S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 .2.正六棱锥EF S ABCD -的底面边长为1S A B C D 、、、、、E 、F 都在同一球面上，则此球的表面积为 .3.表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为_ C_ A_ O_ D _ BA B．13π C．23π D二.棱柱的外接球底面有外接圆的直棱柱才有外接球。
几何体外接球和内接球半径几种求法课件
目录
CONTENTS
• 几何体外接球和内接球的基本概念 • 几何体外接球的求法 • 几何体内接球的求法 • 几何体外接球和内接球的典型例题解析 • 几何体外接球和内接球的注意事项
01
CHAPTER
几何体外接球和内接球的基 本概念
定义与性质
外接球
对于一个多面体，外接球是指包 含该多面体的所有顶点的球体。
单位要统一
在计算过程中，所有的长度单位必须 统一，否则会导致计算错误。
精度问题
在计算过程中，需要注意精度问题， 以避免舍入误差导致的结果偏差。可 以使用高精度的数学库或工具进行计 算，以确保结果的准确性。
THANKS
谢谢
详细描述
首先，设长方体的三个边分别为a、b、c，然后利用勾股定理 计算其对角线的长度。这个对角线的长度就是外接球的直径 ，因此，通过除以2即可得到外接球的半径。
利用向量求外接球半径
总结词
利用向量求外接球半径是一种基于向量的方法。通过向量的运算和性质，结合几 何体的特征，可以求出外接球的半径。
详细描述
几何体外接球和内接球的半径公式
对于正四面体，外接球的半径 $R = frac{sqrt{6}}{4}a$，其中 $a$ 是正四面体的边长；内接球
的半径 $r = frac{sqrt{6}}{12}a$。
对于正六面体，外接球的半径 $R = frac{sqrt{3}}{2}a$，其中 $a$ 是正六面体的边长；内接球 的半径 $r = frac{a}{2sqrt{3}}$
05
CHAPTER
几何体外接球和内接球的注 意事项
确定几何体的外心和内心
确定外心
外心是外接圆的圆心，也是三条垂直平分线 的交点。对于三角形，外心是三条垂直平分 线的交点；对于矩形，外心是两条对角线中 点连线的交点；对于正四面体，外心是三条 高线与底面交点的连线的交点。
空间几何体的外接球(一)---教案
通过正方体、长方体、三棱柱的外接球问题，让学生明确直棱柱外接球球心的位置，会求其外接球体积和表面积，巩固外接球表面积和体积公式，总结外接球半径求法
复习棱锥外接球
以阳马为例，板书，重新讲解有一条侧棱与底面垂直的四棱锥外接球半径的求法，
重点讲解直接法—通法
介绍构造法及适用的情况
认真听老师讲解，将两种方法融会贯通，灵活应用
培养学生的空间想象能力，数学运算能力，突破本节难点
练习1、求正四面体外接球半径
用直接法求解，立体感好的学生可以用构造法求解
巩固直接法求外接球半径，构造法求外接球半径
讨论
讨论：哪些常见的棱锥可以用构造法求解
对于讨论的结果进行总结
高三复习课教案
绥化市第一中学高惠泽
授课时 间
2019年9月26日
课题
空间几何体的外接球(一)
教学目标
知识目标
1能找到柱体外接球球心的位置，求出外接球体积和表面积
2会用直接法和构造法求特殊棱锥的外接球半径
能力目标
培养学生的空间想象能力、数学运算能力
德育目标
培养学生观察、探究与计算能力，加强学生的合作意识。
看讨论结果决定接下来的授课内容如果有人说出对棱相等的棱锥则直接让其解决变1如果说不出来那么由老师引入变式1如果讨论出对棱相等的棱锥可以构造长方体那么可以直接解决变式1没有讨论出来的话可以由老师引导尝试解决该问题这是一个由上面讨论引出的双向选择的环节看学生的具体情况再决定如何展开下面的授课环节这个是一个特殊的棱锥类似四面体对棱相等其外接球半径只能构造如果用直接法求会非常麻烦将这个棱锥介绍给孩子们以便在日后遇到的时候解决类似问题请同学们自己总结直棱柱和一些特殊的棱锥的外接球半径的求法积极配合老师引导完成对本节课的总结培养学生的归纳概括能力也能够看出学生对本节课的接受情况便于为下一课时复杂棱锥的外接球半径问题打下基础三棱锥pabc的顶点都在球的球面上ab平面bcdabbcd的正三角形求球o的表面积因此类高考题不给图所以不配图让学生独立完成没有配图自己独立完成对此题的解答完成后与大家交流检测学生对本节课知识的掌握情况培养学生的空间想象能力作图能力运算能已知三棱锥pabcpapbpcabc的正三角形ef分别是paab的中点90cef空间几何体的外接球一例1直接法通法构造法
空间几何体的外接球与内切球优秀教学设计1
八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球一、有关定义1．球的定义：空间中到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫球面，简称球.2．外接球的定义：若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球.3．内切球的定义：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球.二、外接球的有关知识与方法1．性质：性质1：过球心的平面截球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等；性质2：经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心，该平面截球所得圆是大圆；性质3：过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面（类比：圆的垂径定理）；性质4：球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心；性质5：在同一球中，过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心（类比：在同圆中，两相交弦的中垂线交点是圆心）.初图1初图22．结论：结论1：长方体的外接球的球心在体对角线的交点处，即长方体的体对角线的中点是球心；结论2：若由长方体切得的多面体的所有顶点是原长方体的顶点，则所得多面体与原长方体的外接球相同；结论3：长方体的外接球直径就是面对角线及与此面垂直的棱构成的直角三角形的外接圆圆心，换言之，就是：底面的一条对角线与一条高（棱）构成的直角三角形的外接圆是大圆；结论4：圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连一段中点处；结论5：圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆，该矩形的对角线（外接圆直径）是球的直径；结论6：直棱柱的外接球与该棱柱外接圆柱体有相同的外接球；结论7：圆锥体的外接球球心在圆锥的高所在的直线上；结论8：圆锥体轴截面等腰三角形的外接圆是大圆，该三角形的外接圆直径是球的直径；结论9：侧棱相等的棱锥的外接球与该棱锥外接圆锥有相同的外接球.3．终极利器：勾股定理、正定理及余弦定理（解三角形求线段长度）；三、内切球的有关知识与方法1．若球与平面相切，则切点与球心连线与切面垂直.（与直线切圆的结论有一致性）.2．内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等.（类比：与多边形的内切圆）.3．正多面体的内切球和外接球的球心重合.4．正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合.5．基本方法：（1）构造三角形利用相似比和勾股定理；（2）体积分割是求内切球半径的通用做法（等体积法）.四、与台体相关的，此略.五、八大模型第一讲 柱体背景的模型类型一、墙角模型（三条棱两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径）图1-1图1-2图1-3图1-4方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式2222)2(c b a R ++=，即2222c b a R ++=，求出R 例1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ C ） A ．π16 B ．π20 C ．π24 D ．π32解： 162==h a V ，2=a ，24164442222=++=++=h a a R ，π24=S ，选C ；（2）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 π9 解：933342=++=R ，ππ942==R S ；（3）在正三棱锥S ABC -中，M N 、分别是棱SC BC 、的中点，且MN AM ⊥,若侧棱SA =,则正三棱锥ABC S -外接球的表面积是 .π36 解：引理：正三棱锥的对棱互相垂直.证明如下：如图（3）-1， 取BC AB ,的中点E D ,，连接CD AE ,，CD AE ,交于H ，连接SH ， 则H 是底面正三角形ABC 的中心，∴⊥SH 平面ABC ，∴AB SH ⊥，BC AC =，BD AD =，∴AB CD ⊥，∴⊥AB 平面SCD ，∴SC AB ⊥，同理：SA BC ⊥，SB AC ⊥，即正三棱锥的对棱互垂直， 本题图如图（3）-2， MN AM ⊥，MN SB //，∴SB AM ⊥， SB AC ⊥，∴⊥SB 平面SAC ， ∴SA SB ⊥，SC SB ⊥， SA SB ⊥，SA BC ⊥， ∴⊥SA 平面SBC ，∴SC SA ⊥，故三棱锥ABC S -的三棱条侧棱两两互相垂直，∴36)32()32()32()2(2222=++=R ，即3642=R ，∴正三棱锥ABC S -外接球的表面积是π36.(3)题-1(引理）AC(3)题-2（解答图）AC（4）在四面体S ABC -中，ABC SA 平面⊥，,1,2,120====∠︒AB AC SA BAC 则该四面体的外接球的表面积为（ D ）π11.A π7.B π310.C π340.D 解：在ABC ∆中，7120cos 2222=⋅⋅-+=BC AB AB AC BC ，7=BC ，ABC ∆的外接球直径为372237sin 2==∠=BACBCr ，∴3404)372()2()2(2222=+=+=SA r R ，340π=S ，选D （5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球的表面积是 解：由已知得三条侧棱两两垂直，设三条侧棱长分别为c b a ,,（+∈R c b a ,,），则⎪⎩⎪⎨⎧===6812ac bc ab ，∴24=abc ，∴3=a ，4=b ，2=c ，29)2(2222=++=c b a R ，ππ2942==R S ， （6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体外接球的体积为 解：3)2(2222=++=c b a R ，432=R ，23=R πππ2383334343=⋅==R V 球，类型二、对棱相等模型（补形为长方体） 题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（CD AB =，BC AD =，BD AC =） 第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱； 第二步：设出长方体的长宽高分别为c b a ,,，x BC AD ==，y CD AB ==，z BD AC ==，列方程组，⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+222222222z a c y c b x b a ⇒2)2(2222222z y x c b a R ++=++=， 补充：图2-1中，abc abc abc V BCD A 31461=⨯-=-. (6)题图（6）题直观图P图2-1第三步：根据墙角模型，22222222z y x c b a R ++=++=，82222z y x R ++=，8222z y x R ++=，求出R .思考：如何求棱长为a 的正四面体体积，如何求其外接球体积？例2（1）如下图所示三棱锥A BCD -，其中5,6,7,AB CD AC BD AD BC ======则该三棱锥外接球的表面积为 .解：对棱相等，补形为长方体，如图2-1，设长宽高分别为c b a ,,，110493625)(2222=++=++c b a ，55222=++c b a ，5542=R ，π55=S(1)题图B（2）在三棱锥BCD A -中，2==CD AB ，3==BC AD ，4==BD AC ，则三棱锥BCD A -外接球的表面积为 .π229 解：如图2-1，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为c b a ,,，则922=+b a ，422=+c b ，1622=+a c ∴291649)(2222=++=++c b a ，291649)(2222=++=++c b a ， 229222=++c b a ，22942=R ，π229=S （3）正四面体的各条棱长都为2，则该正面体外接球的体积为 （3）解答题解：正四面体对棱相等的模式，放入正方体中，32=R ，23=R ，ππ2383334=⋅=V （4）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如下图，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是 .(4)题解答图(4)题解：如解答图，将正四面体放入正方体中，截面为1PCO ∆，面积是2.类型三、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）图3-1图3-2 图3-3题设：如图3-1，图3-2，图3-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）第一步：确定球心O 的位置，1O 是ABC ∆的外心，则⊥1OO 平面ABC ； 第二步：算出小圆1O 的半径r AO =1，h AA OO 212111==（h AA =1也是圆柱的高）； 第三步：勾股定理：21212O O A O OA +=⇒222)2(r hR +=⇒22)2(hr R +=，解出R例3（1）一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为89，底面周长为3，则这个球的体积为 解：设正六边形边长为a ，正六棱柱的高为h ，底面外接圆的半径为r ，则21=a ，正六棱柱的底面积为833)21(4362=⋅⋅=S ，89833===h Sh V 柱，∴3=h ，4)3(14222=+=R也可1)21()23(222=+=R ），1=R ，球的体积为34π=球V ； （2）直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===,120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于 .解：32=BC ，4120sin 322==r ，2=r ，5=R ，π20=S ； （3）已知EAB ∆所在的平面与矩形ABCD 所在的平面互相垂直，︒=∠===60,2,3AEB AD EB EA ，则多面体ABCD E -的外接球的表面积为 .π16解：折叠型，法一：EAB ∆的外接圆半径为31=r ，11=OO ，231=+=R ； 法二：231=M O ，21322==D O r ，4413432=+=R ，2=R ，π16=表S ； 法三：补形为直三棱柱，可改变直三棱柱的放置方式为立式，算法可同上，略.换一种方式，通过算圆柱的轴截面的对角线长来求球的直径：162)32()2(222=+=R ，π16=表S ； （4）在直三棱柱111C B A ABC -中，4,3,6,41====AA A AC AB π，则直三棱柱111C B A ABC -的外接球的表面积为 .π3160解：法一：282164236162=⋅⋅⋅-+=BC ，72=BC ，37423722==r ，372=r ， 3404328)2(2122=+=+=AA r R ，π3160=表S ； 法二：求圆柱的轴截面的对角线长得球直径，此略.第二讲 锥体背景的模型类型四、切瓜模型（两个大小圆面互相垂直且交于小圆直径——正弦定理求大圆直径是通法）图4-1图4-2图4-3图4-41．如图4-1，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径），且P 的射影是ABC ∆的外心⇔三棱锥ABC P -的三条侧棱相等⇔三棱ABC P -的底面ABC ∆在圆锥的底上，顶点P 点也是圆锥的顶点. 解题步骤：第一步：确定球心O 的位置，取ABC ∆的外心1O ，则1,,O O P 三点共线；第二步：先算出小圆1O 的半径r AO =1，再算出棱锥的高h PO =1（也是圆锥的高）；（3）题第三步：勾股定理：21212O O A O OA +=⇒222)(r R h R +-=，解出R ；事实上，ACP ∆的外接圆就是大圆，直接用正弦定理也可求解出R .2．如图4-2，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径），且AC PA ⊥，则 利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①222)2()2(r PA R +=⇔22)2(2r PA R +=；②2122OO r R +=⇔212OO r R +=3．如图4-3，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径）21212O O C O OC +=⇔2122O O r R +=⇔2122O O R AC -=4．题设：如图4-4，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径）第一步：易知球心O 必是PAC ∆的外心，即PAC ∆的外接圆是大圆，先求出小圆的直径r AC 2=； 第二步：在PAC ∆中，可根据正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===，求出R . 例4 （1）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为32，则该球的表面积为 . 解：法一：由正弦定理（用大圆求外接球直径）；法二：找球心联合勾股定理，72=R ，ππ4942==R S ；（2）正四棱锥ABCD S -的底面边长和各侧棱长都为2，各顶点都在同一球面上，则此球体积为解：方法一：找球心的位置，易知1=r ，1=h ，r h =，故球心在正方形的中心ABCD 处，1=R ，34π=V 方法二：大圆是轴截面所的外接圆，即大圆是SAC ∆的外接圆，此处特殊，SAC Rt ∆的斜边是球半径，22=R ，1=R ，34π=V . （3）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ） A ．433 B ．33 C ．43 D ．123解：高1==R h ，底面外接圆的半径为1=R ，直径为22=R ，设底面边长为a ，则260sin 2==a R ，3=a ，433432==a S ，三棱锥的体积为4331==Sh V ； （4）在三棱锥ABC P -中，3===PC PB PA ,侧棱PA 与底面ABC 所成的角为60，则该三棱锥外接球的体积为（ ） A ．π B.3π C. 4π D.43π 解：选D ，由线面角的知识，得ABC ∆的顶点C B A ,,在以23=r 为半径的圆上，在圆锥中求解，1=R ； （5）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上,ABC ∆是边长为1的正三角形,SC 为球O 的直径,且2SC =，则此棱锥的体积为（ ）AA．6 B．6 C．3 D．2解：36)33(12221=-=-=r R OO ，362=h ，62362433131=⋅⋅==Sh V 球 类型五、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）1．题设：如图5，⊥PA 平面ABC ，求外接球半径.解题步骤：第一步：将ABC ∆画在小圆面上，A 为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD ，连接PD ，则PD 必过球心O ； 第二步：1O 为ABC ∆的外心，所以⊥1OO 平面ABC ，算出小圆1O 的半径r D O =1（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得r C c B b A a 2sin sin sin ===），PA OO 211=； 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①222)2()2(r PA R +=⇔22)2(2r PA R +=；②2122OO r R +=⇔212OO r R +=.2．题设：如图5-1至5-8这七个图形，P 的射影是ABC ∆的外心⇔三棱锥ABC P -的三条侧棱相等⇔三棱锥ABC P -的底面ABC ∆在圆锥的底上，顶点P 点也是圆锥的 顶点.图5-1图5-2图5-3图5-4图5-6图5-7图5-8解题步骤：第一步：确定球心O 的位置，取ABC ∆的外心1O ，则1,,O O P 三点共线；第二步：先算出小圆1O 的半径r AO =1，再算出棱锥的高h PO =1（也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理：21212O O A O OA +=⇒222)(r R h R +-=，解出R 方法二：小圆直径参与构造大圆，用正弦定理求大圆直径得球的直径. 例5 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为( )C A ．π3 B ．π2 C ．316πD ．以上都不对解：选C ， 法一：（勾股定理）利用球心的位置求球半径，球心在圆锥的高线上，221)3(R R =+-,32=R ,ππ31642==R S ； 法二：（大圆法求外接球直径）如图，球心在圆锥的高线上，故圆锥的轴截面三角形PMN 的外接圆是大圆，于是3460sin 22==R ，下略； 第三讲 二面角背景的模型类型六、折叠模型题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠(如图6)俯视图侧视图正视图解答图图6第一步：先画出如图6所示的图形，将BCD ∆画在小圆上，找出BCD ∆和BD A '∆的外心1H 和2H ； 第二步：过1H 和2H 分别作平面BCD 和平面BD A '的垂线，两垂线的交点即为球心O ，连接OC OE ,； 第三步：解1OEH ∆，算出1OH ，在1OCH Rt ∆中，勾股定理：22121OC CH OH =+ 注：易知21,,,H E H O 四点共面且四点共圆，证略.例6（1）三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，△PAC 和△ABC 均为边长为2的正三角形，则三棱锥ABC P -外接球的半径为 . 解：如图，3460sin 22221===r r ，3221==r r ，312=H O ， 35343121222=+=+=r H O R ，315=R ；法二：312=H O ，311=H O ，1=AH ， 352121222=++==O O H O AH AO R ，315=R ；（2）在直角梯形ABCD 中，CD AB //， 90=∠A ，45=∠C ，1==AD AB ，沿对角线BD 折成四面体BCD A -'，使平面⊥'BD A 平面BCD ，若四面体BCD A -'的顶点在同一个球面上，则该项球的表面积为 π4(2)题-2(2)题-1→A(3)题解：如图，易知球心在BC 的中点处，π4=表S ；（1）题（3）在四面体ABC S -中，BC AB ⊥，2==BC AB ，二面角B AC S --的余弦值为33-，则四面体ABC S -的外接球表面积为 π6 解：如图，法一：33)2cos(cos 211-=+∠=∠πO OO B SO ， 33sin 21=∠O OO ，36cos 21=∠O OO ， 22cos 21211=∠=O OO O O OO ，232112=+=R ，ππ642==R S ； 法二：延长1BO 到D 使111r BO DO ==，由余弦定理得6=SB ，2=SD ，大圆直径为62==SB R ； （4）在边长为32的菱形ABCD 中，60=∠BAD ，沿对角线BD 折成二面角C BD A --为120的四面体ABCD ，则此四面体的外接球表面积为 π28解：如图，取BD 的中点M ，ABD ∆和CBD ∆的外接圆半径为221==r r ，ABD ∆和CBD ∆的外心21,O O 到弦BD 的距离（弦心距）为121==d d ，法一：四边形21MO OO 的外接圆直径2=OM ，7=R ，π28=S ； 法二：31=OO ，7=R ；法三：作出CBD ∆的外接圆直径CE ,则3==CM AM ， 4=CE ，1=ME ，7=AE ，33=AC ，72147227167cos -=⋅⋅-+=∠AEC ，7233sin =∠AEC ，72723333sin 2==∠=AEC AC R ，7=R ；(5)在四棱锥ABCD 中， 120=∠BDA ，150=∠BDC ，2==BD AD ，3=CD ，二面角CBD A --(4)题图的平面角的大小为120，则此四面体的外接球的体积为 解：如图，过两小圆圆心作相应小圆所在平面的垂线确定球心，→抽象化(5)题解答图-2(5)题解答图-11B32=AB ，22=r ，弦心距32=M O ，13=BC ，131=r ，弦心距321=M O ，∴2121=O O ，72120sin 21==O O OM ，法一：∴292222=+==OM MD OD R ，29=R ，∴329116π=球V ； 法二：2522222=-=M O OM OO ，∴29222222=+==OO r OD R ，29=R ，∴329116π=球V . 类型七、两直角三角形拼接在一起(斜边相同,也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥)模型图7题设：如图7，90=∠=∠ACB APB ，求三棱锥ABC P -外接球半径（分析：取公共的斜边的中点O ，连接OC OP ,，则AB OP OC OB OA 21====，∴O 为三棱锥ABC P -外接球球心，然后在OCP 中求出半径），当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都为定值.例7（1）在矩形ABCD 中，4=AB ，3=BC ，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角D AC B --，则四面体ABCD 的外接球的体积为（ ）A ．π12125 B ．π9125 C ．π6125 D ．π3125解：（1）52==AC R ，25=R ，6125812534343πππ=⋅==R V ，选C（2）在矩形ABCD 中，2=AB ，3=BC ，沿BD 将矩形ABCD 折叠，连接AC ，所得三棱锥BCDA -的外接球的表面积为 ．解：BD 的中点是球心O ，132==BD R ，ππ1342==R S .第四讲 多面体的内切球问题模型类型八、锥体的内切球问题1．题设：如图8-1，三棱锥ABC P -上正三棱锥，求其内切球的半径. 第一步：先现出内切球的截面图，H E ,分别是两个三角形的外心；第二步：求BD DH 31=，r PH PO -=，PD 是侧面ABP ∆的高； 第三步：由POE ∆相似于PDH ∆，建立等式：PDPODH OE =，解出r 2．题设：如图8-2，四棱锥ABC P -是正四棱锥，求其内切球的半径第一步：先现出内切球的截面图，H O P ,,三点共线；第二步：求BC FH 21=，r PH PO -=，PF 是侧面PCD ∆的高；第三步：由POG ∆相似于PFH ∆，建立等式：PFPOHF OG =，解出3．题设：三棱锥ABC P -是任意三棱锥，求其的内切球半径方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等 第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；第二步：设内切球的半径为r ，建立等式：PBC O PAC O PAB O ABC O ABC P V V V V V -----+++=⇒r S S S S r S r S r S r S V PBC PAC PAB ABC PBC PAC PAB ABC ABC P ⋅+++=⋅+⋅+⋅+⋅=∆∆∆∆-)(3131313131第三步：解出PBCO PAC O PAB O ABC O ABCP S S S S V r -----+++=3例8 （1）棱长为a 的正四面体的内切球表面积是62a π，解：设正四面体内切球的半径为r ，将正四面体放入棱长为2a的正方体中（即补形为正方体），如图，则 2622313133aa V V ABC P =⋅==-正方体， 又 r a r a Sr V ABC P 223343314314=⋅⋅⋅=⋅=-， ∴263332a r a =，62a r =，∴内切球的表面积为(1)题D图8-1A图8-26422a r S ππ==表（注：还有别的方法，此略）（2）正四棱锥ABCD S -的底面边长为2，侧棱长为37解：如图，正四棱锥ABCD S -的高7=h ，正四棱锥ABCD S -的体积为374=-ABCD S V 侧面斜高221=h ，正四棱锥ABCD S -的表面积为284+=表S ，正四棱锥ABCD S -的体积为r r S V ABCD S ⋅+==-328431表，∴3743284=⋅+r ， 771427)122(7221728474-=-=+=+=r （3）三棱锥ABC P -中，底面ABC ∆是边长为2的正三角形，⊥PA 底面ABC ，2=PA ，则32解：如图，3=∆ABC S ，2==∆∆ACP ABP S S ，7=∆BCP S ，743++=表S ，三棱锥ABC P -的体积为332=-ABC P V ， 另一表达体积的方式是r r S V ABC P ⋅++==-347331表，∴3323473=⋅++r ，∴47332++=r习题： 1．若三棱锥ABC S -的三条侧棱两两垂直，且2=SA ，4==SC SB ，则该三棱锥的外接球半径为（ ） A.3 B.6 C.36 D.9 解：【A 】616164)2(2=++=R ，3=R【三棱锥有一侧棱垂直于底面，且底面是直角三角形】【共两种】2． 三棱锥ABC S -中，侧棱⊥SA 平面ABC ，底面ABC 是边长为3的正三角形，32=SA ，则该三棱锥的外接球体积等于 .332π(2)题(3)题B解：260sin 32==r ，16124)2(2=+=R ，42=R ，2=R ，外接球体积332834ππ=⋅ 【外心法（加中垂线）找球心；正弦定理求球小圆半径】3．正三棱锥ABC S -中，底面ABC 是边长为3的正三角形，侧棱长为2，则该三棱锥的外接球体积等于 .解：ABC ∆外接圆的半径为 ，三棱锥ABC S -的直径为3460sin 22== R ，外接球半径32=R ， 或1)3(22+-=R R ，32=R ，外接球体积2733233834343πππ=⋅==R V ， 4．三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，△PAC 边长为2的正三角形，BC AB ⊥，则三棱锥ABC P -外接球的半径为 .解：PAC ∆的外接圆是大圆，3460sin 22==R ，32=R ， 5． 三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，2=AC ，3==PC PA ，BC AB ⊥，则三棱锥ABC P -外接球的半径为 .解：973324992cos 222=⋅⋅-+=⋅-+=∠PC PA AC PC PA P ，81216)97(1sin 22⋅=-=∠P ，924sin =∠P ，42922992422===R ，829=R 6． 三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，2=AC ，PC PA ⊥，BC AB ⊥，则三棱锥ABCP -外接球的半径为 .解：AC 是公共的斜边，AC 的中点是球心O ，球半径为1=R。
高中数学外接球教案
高中数学外接球教案
教学目标：学生能够掌握外接球的基本概念，了解外接球的性质和性质的应用。
教学重点和难点：外接球的性质和应用。
教学内容和方法：
1. 复习圆的定义和性质。
2. 引入外接球的概念和性质。
3. 解决外接球相关的问题。
教学步骤：
1. 导入：通过一个生活中的例子引入外接球的概念，让学生对外接球有一个直观的认识。
2. 讲解外接球的定义和性质，例如：外接球的圆心和球心在同一直线上。
3. 指导学生如何求解外接球的半径和表面积。
4. 练习：让学生通过练习题加深对外接球相关概念的理解和应用。
5. 总结：对外接球的概念和性质进行总结，强化学生的记忆。
教学资源：
1. 教科书、课件等教学工具。
2. 练习题和解析。
教学评价：
1. 考察学生对外接球概念的理解和应用能力。
2. 分析学生在解决外接球相关问题时的思维和方法。
教学延伸：
1. 引导学生探索外接球在几何问题中的应用。
2. 鼓励学生自主学习外接球的更多性质和应用，提高他们的数学解决问题的能力。
教学反思：
1. 教师需要加强实例讲解，帮助学生更好地理解外接球的概念。
2. 鼓励学生主动思考和提问，促进学生之间的互动和合作。
最新高考数学二轮复习-专题四-微重点7-球的切接问题-学案讲义
微重点7球的切接问题空间几何体的外接球、内切球是高中数学的重点、难点，也是高考命题的热点，一般是通过对几何体的割补或寻找几何体外接球的球心求解外接球问题，利用等体积法求内切球半径等，一般出现在压轴小题位置．考点一空间几何体的外接球例1(1)(2023·杭州模拟)在四面体ABCD 中，△ABC 与△BCD 都是边长为6的等边三角形，且二面角A －BC －D 的大小为60°，则四面体ABCD 外接球的表面积是()A ．52πB ．54πC ．56πD ．60π答案A解析如图所示，设外接球半径为R ，取BC 的中点O ，连接OD ，OA ，分别取△BCD 和△ABC的外心E ，F ，过两点分别作平面BDC 和平面ABC 的垂线，交于点P ，则P 就是外接球的球心，连接OP ，DP ，则∠AOD 为二面角A －BC －D 的平面角，即∠AOD ＝60°，则△AOD 是等边三角形，其边长为6×32＝33，OE ＝13OD ＝13×33＝3，在△POE 中，∠POE ＝30°，所以PE ＝OE tan 30°＝3×33＝1，又由DE ＝23OD ＝23，所以R ＝PD ＝PE 2＋DE 2＝12＋(23)2＝13，所以四面体ABCD 外接球的表面积为4πR 2＝4π×(13)2＝52π.(2)(2023·全国乙卷)已知点S ，A ，B ，C 均在半径为2的球面上，△ABC 是边长为3的等边三角形，SA ⊥平面ABC ，则SA ＝________.答案2解析如图，将三棱锥S －ABC 转化为直三棱柱SMN －ABC ，设△ABC 的外接圆圆心为O 1，半径为r ，则2r ＝ABsin ∠ACB ＝332＝23，可得r ＝3，设三棱锥S －ABC 的外接球球心为O ，连接OA ，OO 1，则OA ＝2，OO 1＝12SA ，因为OA 2＝OO 21＋O 1A 2，即4＝3＋14SA 2，解得SA ＝2.规律方法求解空间几何体的外接球问题的策略(1)定球心：球心到接点的距离相等且为半径．(2)作截面：选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系)，达到空间问题平面化的目的．(3)求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解．跟踪演练1(1)已知四面体ABCD 中，AB ＝CD ＝25，AC ＝BD ＝29，AD ＝BC ＝41，则四面体ABCD 外接球的表面积为________．答案45π解析设四面体ABCD 外接球的半径为R ，将四面体ABCD 置于长、宽、高分别为a ，b ，c的长方体中，2＋b 2＝20，2＋c 2＝29，2＋c 2＝41，故R ＝a 2＋b 2＋c 22＝452，故四面体ABCD 外接球的表面积为4πR 2＝45π.(2)(2023·昆明模拟)故宫太和殿是中国形制最高的宫殿，其建筑采用了重檐庑殿顶的屋顶样式，庑殿顶是“四出水”的五脊四坡式，由一条正脊和四条垂脊组成，因此又称五脊殿．由于屋顶有四面斜坡，故又称四阿顶．如图，某几何体ABCDEF 有五个面，其形状与四阿顶相类似．已知底面ABCD 为矩形，AB ＝4，AD ＝EF ＝2，EF ∥底面ABCD ，且EA ＝ED ＝FB ＝FC ＝BC ，则几何体ABCDEF 外接球的表面积为()A ．22πB ．28πC ．32πD ．38π答案A解析连接AC ，BD ，设AC ∩BD ＝M ，取EF 的中点N ，连接MN ，由题意知，球心O 在直线MN 上，取BC 的中点G ，连接FG ，则FG ⊥BC ，且FG ＝2×32＝ 3.连接MG ，过点F 作FP ⊥MG 于点P ，则四边形MPFN 是矩形，MN ＝FP ，则MN ＝FP ＝FG 2－PG 2＝2，又因AM ＝12AC ，AC ＝AB 2＋BC 2＝25，则AM ＝5，因为△AMO 和△ONE 均为直角三角形，设外接球半径为R ，OM ＝x ，当球心O 在线段MN 上时，则R 2＝x 2＋(5)2，R 2＝(2－x )2＋12，解得x ＝－22(舍)，当球心O 在线段MN 外时，则R 2＝x 2＋(5)2，R 2＝(2＋x )2＋12，解得x ＝22，故R 2＝12＋5＝112，所以外接球的表面积S ＝4πR 2＝22π.考点二空间几何体的内切球例2(1)在三棱锥A －BCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，且AB ＝CD ＝4，BC ＝3，则该三棱锥内切球的体积为()A.9π16B.9π4C.16π9D.4π3答案A 解析由AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，得AB ⊥CD .又BC ⊥CD ，且AB ，BC ⊂平面ABC ，AB ∩BC ＝B ，所以CD ⊥平面ABC ，又AC ⊂平面ABC ，所以CD ⊥AC .由AB ＝CD ＝4，BC ＝3，得AC ＝BD ＝5，所以三棱锥A －BCD 的表面积S ＝2×12×3×4＋2×12×4×5＝32，三棱锥A －BCD 的体积V ＝13×12×3×4×4＝8.设三棱锥内切球球心为O ，半径为r ，由V ＝V O －ABC ＋V O －ABD ＋V O －ACD ＋V O －BCD ＝13Sr ，得r ＝3V S ＝34，所以该三棱锥内切球的体积V 球＝43πr 3＝43π＝9π16.(2)(2023·沈阳模拟)如图，圆台内有一个球，该球与圆台的侧面和底面均相切．已知圆台的下底面圆心为O 1，半径为r 1，圆台的上底面圆心为O 2，半径为r 2(r 1>r 2)，球的球心为O ，半径为R ，记圆台的表面积为S 1，球的表面积为S 2，则S1S 2的可能的取值为()A.π2B.32C.π3D.43答案A解析如图，作出圆台的轴截面，作DF ⊥BC ，垂足为F ，由题意知圆O 与梯形ABCD 相切，则DC ＝DE ＋CE ＝O 2D ＋O 1C ＝r 2＋r 1，又DC ＝DF 2＋FC 2＝4R 2＋(r 1－r 2)2，故4R 2＋(r 1－r 2)2＝r 1＋r 2，化简可得R 2＝r 1r 2，则S 1S 2＝π(r 21＋r 22)＋π(r 1＋r 2)(r 1＋r 2)4πR 2＝r 21＋r 22＋r 1r 22r 1r 2＝r 21＋r 222r 1r 2＋12>2r 1r 22r 1r 2＋12＝32(r 1>r 2，故取不到等号)，由于32，π3，43都不大于32，故S 1S 2的可能的取值为π2.规律方法空间几何题的内切球问题，一是找球心，球心到切点的距离相等且为球的半径，作出截面，在截面中求半径；二是利用等体积法直接求内切球的半径．跟踪演练2(1)在封闭的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球，若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝6，则V 的最大值是()A ．16π B.32π3C ．36π D.125π3答案B解析由题意，因为AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，所以AC ＝10，可得△ABC 内切圆的半径r ＝6×86＋8＋10＝2，又由AA 1＝6，故在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1内部的球的半径最大为R ＝2，所以此时V 的最大值为43πR 3＝43×π×23＝32π3.(2)(2023·贵阳联考)SF 6(六氟化硫)具有良好的绝缘性，在电子工业上有着广泛的应用，其分子结构如图所示：六个元素F 分别位于正方体六个面的中心，元素S 位于正方体中心，若正方体的棱长为a ，记以六个F 为顶点的正八面体为T ，则T 的体积为__________，T 的内切球表面积为__________．答案a 36πa 23解析正八面体T 可视为两个全等的正四棱锥拼接而成，且该正四棱锥的底面边长＝22a ，高为a2，所以正八面体的体积V ＝2×13××a 2＝a 36，由图可知，正八面体T 的每个面都是棱长为22a 的等边三角形，所以正八面体T 的表面积S ＝8×34×＝3a 2，设正八面体T 的内切球半径为r ，则V ＝13Sr ，所以r ＝3V S ＝a 323a 2＝36a ，因此，正八面体T 的内切球的表面积为4πr 2＝4π＝πa 23.专题强化练1.如图，在三棱锥V －ABC 中，VA ⊥底面ABC ，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝VA ＝2，则该三棱锥外接球的体积为()A ．12πB ．43πC.163π3D.43π3答案B解析因为VA ⊥底面ABC ，AB ，AC ⊂底面ABC ，所以VA ⊥AB ，VA ⊥AC ，又因为∠BAC ＝90°，所以AB ⊥AC ，而AB ＝AC ＝VA ＝2，所以三条互相垂直且共顶点的棱，可以看成正方体中共顶点的长、宽、高，因此该三棱锥外接球的半径R ＝12×22＋22＋22＝3，所以外接球的体积V ＝43πR 3＝43π.2．(2023·成都模拟)在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥底面ABC ，AB ＝2，AC ＝AP ，BC ⊥CA ，若三棱锥P －ABC 外接球的表面积为5π，则BC 等于()A ．1 B.2 C.3D.5答案C解析因为PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以BC ⊥PA ，由BC ⊥CA ，CA ∩PA ＝A ，CA ，PA ⊂平面PAC ，所以BC ⊥平面PAC ，由AB ⊂平面ABC ，得PA ⊥AB ，由PC ⊂平面PAC ，得BC ⊥PC ，由PB 是Rt △PBC 和Rt △PBA 的公共斜边，得PB 是三棱锥的外接球直径，由S ＝4πR 2＝5π得R ＝52，设AC ＝AP ＝m ，则PB ＝2R ＝m 2＋4＝5，则m ＝1，BC ＝4－1＝ 3.3．在四棱锥P －ABCD 中，平面PAB ⊥平面ABCD ，△PAB 为边长为1的等边三角形，底面ABCD 为矩形．若四棱锥P －ABCD 存在一个内切球，则内切球的表面积为()A ．4πB ．πC.4π3D.π3答案D解析由于平面PAB ⊥平面ABCD ，△PAB 为边长为1的等边三角形，底面ABCD 为矩形，所以四棱锥P －ABCD 的内切球在等边△PAB 上的“正投影”是等边△PAB 的内切圆，设等边△PAB 的内切圆半径为r ，则S △P AB ＝12×(1＋1＋1)×r ＝12×1×1×sin π3，解得r ＝36，所以内切球的半径为36，其表面积为4π＝π3.4．(2023·湖北多校联考)已知在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝3，AC ＝5，以AC 为轴旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的表面积为()A.49π36B.576π49C.576π25D.344π25答案B解析旋转体的轴截面如图所示，其中O 为内切球的球心，过O 作AB ，BC 的垂线，垂足分别为E ，F ，则OE ＝OF ＝r (r 为内切球的半径)，故AO ＝r sin ∠BAC ＝53r ，CO ＝r sin ∠BCA ＝54r ，故5＝AO ＋OC ＝53r ＋54r ，解得r ＝127，故该旋转体的内切球的表面积为4π＝576π49.5．(2023·张掖模拟)图1为两块大小不同的等腰直角三角形纸板组成的平面四边形ABCD ，其中小三角形纸板的斜边AC 与大三角形纸板的一条直角边长度相等，小三角形纸板的直角边长为a ，现将小三角形纸板ACD 沿着AC 边折起，使得点D 到达点M 的位置，得到三棱锥M －ABC ，如图2，若二面角M －AC －B 的大小为2π3，则所得三棱锥M －ABC 的外接球的表面积为()A.7π3a 2B ．4πa 2C.14π3a 2D.742π27a 2答案C解析如图，取AC 的中点E ，AB 的中点F ，连接ME ，EF .因为MA ＝MC ，所以ME ⊥AC .易知EF ∥BC ，因为BC ⊥AC ，所以EF ⊥AC ，所以∠MEF ＝2π3.过点E 作OE ⊥平面MAC ，过点F 作OF ⊥平面ABC ，OE ∩OF ＝O ，连接OA ，易知E ，F 两点分别是△MAC 和△ABC 的外心，所以点O 是三棱锥M －ABC 的外接球的球心．因为MA ＝MC ＝a ，所以AC ＝BC ＝2a ，AB ＝2a ，所以EF ＝22a ，因为∠MEF ＝2π3，∠MEO ＝π2，所以∠OEF ＝π6，所以OF ＝EF ×tan π6＝2a 2×tan π6＝66a ，又AF ＝12AB ＝a ，所以OA ＝OF 2＋AF 2＝426a ，则三棱锥M －ABC 外接球的半径为426a ，所以外接球的表面积S ＝4πR 2＝14π3a 2.6．(多选)(2023·阳泉模拟)已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的六个顶点都在球O 的球面上，AB 1＝BC 1＝CA 1＝4.若点O 到三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有面的距离都相等，则()A ．BB 1⊥平面ABC B ．AB ＝AA 1C ．平面A 1B 1C 1截球O 所得截面圆的周长为4πD ．球O 的表面积为24π答案AC解析选项A ，三棱柱ABC －A 1B 1C 1的六个顶点都在球O 的球面上，根据球的对称性可知三棱柱ABC －A 1B 1C 1为直棱柱，所以BB 1⊥平面ABC ，因此A 正确；选项B ，因为AB 1＝BC 1＝CA 1＝4，所以AB ＝BC ＝CA .因为点O 到三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有面的距离都相等，所以三棱柱ABC －A 1B 1C 1的内切球与外接球的球心重合．设该三棱柱的内切球的半径为r ，与底面以及侧面相切于H ，M ，连接AH 并延长，交BC 于N ，如图，则AA 1＝2r ，OM ＝OH ＝r ，由于M 为矩形BCC 1B 1的对角线交点，所以HN ＝r ，而△ABC 为等边三角形，所以HN ＝13AN ＝13×32AB ，所以AB ＝23r ，所以AB ＝3AA 1，因此B 错误；选项C ，由AB 1＝4，可知BB 21＋AB 2＝4r 2＋12r 2＝16r 2＝16，解得r ＝1(负值舍去)，则AB ＝BC ＝CA ＝23.易得△A 1B 1C 1的外接圆的半径r 1＝23AN ＝23×32AB ＝2，所以平面A 1B 1C 1截球O 所得截面圆的周长为2πr 1＝4π，因此C 正确；选项D ，三棱柱ABC －A 1B 1C 1外接球的半径R ＝22＋12＝5，所以球O 的表面积S ＝4πR 2＝20π，因此D 错误．7．(多选)(2023·新高考全国Ⅰ)下列物体中，能够被整体放入棱长为1(单位：m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有()A ．直径为0.99m 的球体B ．所有棱长均为1.4m 的四面体C ．底面直径为0.01m ，高为1.8m 的圆柱体D ．底面直径为1.2m ，高为0.01m 的圆柱体答案ABD 解析对于A ，因为0.99m<1m ，即球体的直径小于正方体的棱长，所以能够被整体放入正方体内，故A 正确；对于B ，因为正方体的面对角线长为2m ，且2>1.4，所以能够被整体放入正方体内，故B 正确；对于C ，因为正方体的体对角线长为3m ，且3<1.8，所以不能够被整体放入正方体内，故C 错误；对于D ，因为1.2m>1m ，可知底面正方形不能包含圆柱的底面圆，如图，过AC 1的中点O 作OE ⊥AC 1，设OE ∩AC ＝E ，可知AC ＝2，CC 1＝1，AC 1＝3，OA ＝32，那么tan ∠CAC 1＝CC 1AC ＝OE AO，即12＝OE 32，解得OE ＝64，且＝38＝924>925＝0.62，即64>0.6，所以以AC 1为轴可能对称放置底面直径为1.2m 的圆柱，若底面直径为1.2m 的圆柱与正方体的上下底面均相切，设圆柱的底面圆心为O 1，与正方体下底面的切点为M ，可知AC 1⊥O 1M ，O 1M ＝0.6，那么tan ∠CAC 1＝CC 1AC ＝O 1M AO 1，即12＝0.6AO 1，解得AO 1＝0.62，根据对称性可知圆柱的高为3－2×0.62≈1.732－1.2×1.414＝0.0352>0.01，所以能够被整体放入正方体内，所以D 正确．8.如图，某几何体由共底面的圆锥和圆柱组合而成，且圆柱的两个底面和圆锥的顶点均在体积为36π的球面上，若圆柱的高为2，则圆锥的侧面积为________．答案46π解析依题意，作球的轴截图如图所示，其中，O 是球心，E 是圆锥的顶点，EC 是圆锥的母线，由题意可知43πR 3＝36π，解得R ＝3，由于圆柱的高为2，则OD ＝1，DE ＝3－1＝2，DC ＝32－12＝22，母线EC ＝22＋8＝23，故圆锥的侧面积S ＝π·DC ·EC ＝π×22×23＝46π.9．(2023·开封模拟)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 为棱A 1D 1的中点，则四棱锥P －ABCD 外接球的表面积为________．答案41π16解析设四棱锥P －ABCD 的外接球球心为O ，取AD 的中点E ，连接PE ，取△PAD 、四边形ABCD 的外心O 1，O 2，连接OO 1，OO 2，EO 2，O 2C ，OC ，因为正方体的棱长为1，P 为棱A 1D 1的中点，所以PA ＝PD ＝1＋122＝52，PE ＝1，O 2C ＝22，sin ∠PAD ＝sin ∠APA 1＝152＝25，O 1P ＝12·PD sin ∠PAD ＝12×5225＝58，O 1E ＝OO 2＝1－58＝38，所以OC ＝OO 22＋O 2C 2＝382＋222＝418，外接球的表面积S ＝4π×418＝41π16.10.如今中国被誉为“基建狂魔”，可谓逢山开路，遇水架桥．公路里程、高铁里程双双都是世界第一．建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先．如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切．若AB ＝12，则该模型中最小球的半径为____________．答案64解析如图所示，设O 为大球的球心，正四面体的底面中心为E ，CD 的中点为F ，棱长为a ，高为h 大，连接OA ，OB ，OC ，OD ，则BE ＝23BF ＝33a ，EF ＝13BF ＝36a ，大球所对应的正四面体的高h 大＝AE ＝AB 2－BE 2＝63a ，设正四面体内切球半径为r 大，因为V 正四面体＝4V O －ABC ，所以13×S △ABC ×h 大＝4×13×S △ABC ×r 大，所以r 大＝14h 大，因为正四面体的棱长为12，所以h 大＝63×12＝46，r 大＝14h 大＝6，设中等球的半径为r 中，对应的四面体高为h 中，h 中＝h 大－2r 大＝26，r 中＝14中＝62，设模型中最小球的半径为r 小，对应的四面体的高为h 小，h 小＝h 中－2r 中＝6，r 小＝14h 小＝64.。
空间几何体外接球专题讲解
专题 外接球一、知识衔接——外接圆 1.平面几何图形，如三角形、正方形、长方形等，存 在外接圆；当然，并不是所有的平面几何图形均有 接圆;在四边形中，若不满足对角互补，则该四边形 便不存在外接圆.B 的外接圆.外接圆的圆心到各个顶点的距离相等，均 代表外接圆的半径.反之，若一个点到各个顶点的距 离相等，则该点即为外接圆的圆心.外接圆的圆心可 能在平面几何图形的内部或外部或边上. 3.圆的问题多围绕圆的半径展开.外接圆多以三角形 的外接圆居多.求三角形外接圆的半径有两大思路： ①确定圆心再求半径；②直接利用正弦定理求半径. 二、类比推新——外接球 1.存在外接球；当然，不是所有的空间几何体都有外接球. S2.定义：经过空间几何体所有顶点的球称为该空间 几何体的外接球.外接球的球心到各个顶点的距离 相等，均为外接球的半径.反之，若空间中有一个点 到各个顶点的距离相等，则该点即为外接球的球心. 3.外接球的问题多涉及外接球的半径，而求半径需 先确定外接球的球心.可以说，外接球问题的本质就 是球心位置的确定. 三、常见空间几何体的外接球 1.直三棱柱： A 1 B 2 O 2 C 1OA B O 1 C在直三棱柱中，上下两个地面三角形外心连线的中 点即为直三棱柱外接球的球心. 2.正三棱锥(正四棱锥) SO` A B O 1 C 正三棱锥(正四棱锥)外接球的球心在正三棱锥(正四 棱锥)的高上，为高上的某一点，不见得必为高的中 点，需结合已知条件求解.3.正方体(长方体)D 1 C 1A 1 B1 OD CA B正方体(长方体)体对角线的中点即为正方体(长方体) 外接球的球心. 四、填补图形求外接球 对于有些空间几何体，可将其补充为直三棱柱、正 方体、长方体等；补充后的几何体与原几何体共外 接球，从而可转化为求直三棱柱、正方体、长方体 等的外接球. S S M N ⟹A AB C B C在三棱锥S −ABC 中，侧棱SA ⊥平面ABC .可将三棱锥S −ABC 补充为直三棱柱SMN −ABC ，二者共外接球，求三棱锥外接球即求直三棱柱外接球. S S O ⟹ M A A D B D B C C在四棱锥S −ABCD 中，侧棱SA ⊥平面ABC .在上述情况下，可将四棱锥补充为直四棱柱(正方体 或长方体)，且二者共外接球.求四棱锥的外接球等价 于求直四棱柱(正方体、长方体)的外接球.五、切面圆求外接球在圆中： 取弦AB ，则弦AB 平分线n 必过圆心.再取弦CD ，则弦CD 的 垂直平分线m 也必过圆 心，要求两弦不平行. 则两弦垂直平分线的交点即为圆的圆心，可以以此 确定圆心位置.同样地，在球中：对球切割，切面均为圆；当切面不经过球心O 时，所得 O 切面圆称为小圆；将球心O与小圆圆心连接，所得连线 O 1必与小圆所在平面垂直.据此，在球上任取两个不平行的切面圆，过两圆的 圆心作两圆所在平面的垂线，则两面的垂线必相交 且交点即为外接球的球心. 由上述可知，确定外接球的球心只需确定小圆圆心 与垂线. 在实际操作中，确定外接球的球心，即确定空间几 何体某个面的外接圆的圆心与过圆心的垂线.原因 在于对空间几何体的外接球切割时，可以就地取材 沿着空间几何体的某个面切割，所得切面圆即为该 面的外接圆，圆心即为该面对应多边形的外心.【例1】三棱锥D−ABC中，AB=CD=√6，其余四条棱长均为2，则三棱锥D−ABC的外接球的表面积为（）A.7πB.14πC.21πD.28π解析：[法一填补几何体]结合三棱锥D−ABC的棱长，可将其填补为一个底面为棱长√3的正方形，高为1的长方体，如下图所示:A其中，AD111三棱锥D−ABC与长方体AD1BC1−FCED共外接球. 对于长方体而言，体对角线C1D的中点即为外接球的球心，体对角线长为外接球的直径长.∴2R=√DD12+D1A2+BD12=√7即R=√72故外接球的表面积S=4πR2=7π.[法二切面圆求外接球]DECH OA GM B在∆ACB与∆ADB中，∵AD=BD=AC=BC=2且AB为两三角形的公共边∴∆ADB≅∆ACB且为等腰三角形.取AB的中点M，连接MD，MC，则MD⊥AB，MC⊥AB；结合外接圆的性质及三角形的形状，可知∆ABD与∆ABC外接圆的圆心在底边上的高MD，MC 上，不妨设为G，H，分别过G，H作平面ABC，平面ABD的垂线，两垂线的交点设为O，即为外接球的球心. ⋯⋯外接球球心位置的确定在Rt∆BMC中，∵BC=2，BM=√62∴MC=√102且sinB=MCBC =√104由正弦定理可知：∆ABC的外接圆的半径满足2r=AC sinB =4√105即CG=r=2√105MG=MC−GC=√1010∵∆ABD与∆ABC全等∴DM=MC=√102DH=CG=2√105MH=MG=√1010连接MO并延长交CD于E.∵OH⊥平面ABD，OG⊥平面ABC∴∆MHO与∆MGO为全等的直角三角形，故MO为∠GMH的角平分线，又因为∆DMC是以MD=MC=√102为两腰的等腰三角形，故E为底边DC的中点在Rt∆MEC中，MC=√102，EC=√62∴ME=1tan∠CME=ECME=√62在Rt∆MGO中，tan∠OMG=OGMG=√62∴OG=√1510在Rt∆OGC中，OG=2+GC2=√72即为外接球半径故表面积S=4πR2=7π ⋯⋯算半径答案：A【例2】已知四棱锥P−ABCD的外接球为球O，底面ABCD为矩形，面PAD⊥底面ABCD且PA=PD=AD=2，AB=4，则球O的表面积为________.解析：[法一填补几何体求外接球]根据四棱锥P−ABCD的结构特征，可将该四棱锥填补为正三棱柱：P1BDORP AO1rD四棱锥P−ABCD与正三棱柱PAD−P1BD共外接球对于正三棱柱PAD−P1BD而言，外接球球心为上下两个全等三角形外心连线的中点，如图中O，O1为底面正三角形的外心.在等边∆PAD中，外接圆半径r满足2r=PDsinA=4√33∴r=2√33在Rt∆OO1A中，OO1=12AB=2∴OA =R =√OO 12+r 2=4√33故球O 的表面积为S =4πR 2=64π3[法二 切面圆求外接球]C BO 1 O D M O 2A P 由已知条件可知：该四棱锥有两个面上的多边形较 特殊，即∆PAD 为正三角形，四边形ABCD 为长方形； 沿着平面PAD 与平面ABCD 切割外接球，所得切面圆为二者的外接圆，圆心为二者的外心. 对于正∆PAD ，其外心为高的三等分点；对于长方形ABCD ，其外心为两条对角线的交点. 取棱AD 的中点M ，取长方形ABCD 对角线AC 的中点O 1连接O 1M ，MP ，则MP ⊥AD ，O 1M ⊥AD在MP 上取靠近M 的三等分点O 2，则O 2即为∆PAD 的外心. ∵平面PAD ⊥平面ABCD 且平面PAD ∩平面ABCD=AD ∴MP ⊥平面ABCD ，O 1M ⊥平面PAD 过O 2作OO 2//O 1M ，过O 1作O 1O//MP ，则O 1O ⊥平 面ABCD ，O 2O ⊥平面PAD ，交点O 为外接球的球心. 在四边形MO 2OO 1，∵ O 1M//O 2O ，O 2M//O 1O 且O 1M ⊥O 2M ∴ 四边形MO 2OO 1为长方形 ∴OO 2=12AB =2在Rt∆OO 2P 中，O 2P =23MP =2√33外接球半径R =OP =√OO 12+O 2P 2=4√33所以外接球的表面积为S =4πR 2=64π3[]x取AD 的中点O ，连接OP ，取BC 的中点O 1，连接OO 1则OP ⊥AD ，OO 1⊥AD .∵面PAD ⊥面ABCD ，且面PAD ∩面ABC =AD ∴OP ⊥平面ABCD ，OO 1⊥平面PAD 即直线OA ， OP ，OO 1两两垂直，以OA ，OP ，OO 1所在直线为x 轴 y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则：A(1，0，0)，D(−1，0，0)，P(0，√3，0)与 B(1，0，4).设外接球球心M(x ，y ，z)，半径为R ，则有：{√(x −1)2+y 2+z 2=R √(x +1)2+y 2+z 2=R √x 2+(y −√3)2+z 2=R√(x −1)2+y 2+(z −4)2=R解得：x =0，y =√33，z =2 R =4√33故外接球的表面积S =4πR 2=64π3答案：64π3【模拟练习】 1.已知侧棱长为√2的正四棱锥P −ABCD 的五个顶点都在同一个球面上，且球心O 在地面正方形上， 则球O 的表面积为（ ）A.4πB.3πC.2πD.π 2.已知四面体ABCD 的外接球球心O 恰好在棱AD 上 且AB =BC =√2，AC =2，DC =2√3，则这个四面体的体积为（ ） A.23B.5√33C.4√33D.2√333.已知空间四边形ABCD ，∠BAC =2π3，AB =AC =2√3，BD =CD =6，且平面ABC ⊥平面BCD ，则空 间四边形ABCD 的外接球的表面积为_________.4.[湖南师大附中2018届高三模拟]三棱锥P −ABC 中， PA 、PB 、PC 互相垂直，PA =PB =1，M 是线段BC 上一个动点，若直线AM 与平面PBC 所成角的正切值 的最大值为√62，则三棱锥P −ABC 的外接球的表面 积为（ ）A.2πB.4πC.8πD.16π5.已知四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面AB6.三棱锥P−ABC中，AB=BC=√15，AC=6，PC CD,其中ABCD为正方形，∆PAD为等腰直角三角⊥平面ABC，PC=2，则该三棱锥的外接球表面积形且PA=PD=√2，则四棱锥P−ABCD外接球为（）的表面积为（） A.25π3B.25π2C.83π3D.83π2A.10πB.4πC.16πD.8π8.在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=120°且AP=√2，AB=2，M是线段BC上一个动点，线段7.空间四点A、B、C、D都在球心为O的球面上且PM长度最小值为√3，则三棱锥P−ABC的外接球的表AD⊥平面ABC，AD=2，AB=BC=AC=2则面积为（）球O的表面积为（） A.9π2B.40πC.9√2πD.18πA.32π3B.28π3C.16π3D.4π。
高中数学必修二《简单多面体外接球问题》教学设计
教 学 设 计课题：简单几何体的外接球问题 一．教学分析：球是高考出题的热点之一，在近几年的高考题中都有出现。
球经常和其它空间几何体相结合出题，以选择题或填空题的形式出现。
二．学情分析：学生在必修二初，对立体几何不是很熟悉，加上线面位置关系没上，所以本节课只解决几类特殊的几何体外接球问题。
有一部分学生已经能解决长方体的外接球问题。
三.预设目标：知识与技能：学生学会用构造法解决空间几何体的外接球问题。
过程与方法：学生建立空间感，体会转化的数学思想方法。
情感、态度、价值观：完善学生知识体系，增进学生对数学的信心和兴趣。
四.教学重点及难点： 重点：学会转化的思想方法。
难点：构造法的要点；球心位置的确定五、学法分析高中的学生已经具备一定的动手能力，虽然空间想象能力不够完善，将班级的空间几何体的实物模型提前一天分给各个学习小组，加上辅助线，合作，构造自己需要的模型。
因此，在教学中，安排学生以小组为单位讨论交流，对什么样的三棱锥可以构造成长方体一目了然。
从中体现出学生活跃的思维、浓厚的兴趣、 强烈的参与意识和自主探究能力．六 .教学准备： 几何体实物模型 ， 微课， 预习讲义教法过程：（一）复习球的性质1. 球心和截面圆心的连线垂直于截面2.球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面圆的半径r 的关系：222d r R +=3.外接球的定义：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体， 这个球是这个几何体的外接球。
4.正方体，长方体的外接球问题A正方体外接球的直径等于正方体的体对角线。
设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，长方体外接球的直径等于长方体体对角线教学设想：通过这4个问题的设置，强化外接圆的性质，为确定圆心具体位置做铺垫。
知道正方体，长方体两个特殊的几何体外接球问题，将解决一系列问题。
（二）两招搞定简单多面体外接球问题外接球的问题：简单多面体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点，此类问题实质是解决球的半径尺或确定球心0的位置问题，其中球心的确定是关键．1.构造正方体或长方体长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处．以下是常见的、基本的几何体补成正方体或长方体的途径与方法．途径1：正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是是直角三角形的三棱锥都分别可构造正方体．途径2：同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥都分别可构造长方体和正方体．途径3：若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体．途径4：若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体．教学设想：通过几个特殊问题的设置，让学生理解并应用球的性质，确定球心位置，计算求出球的半径。
基于数学核心素养的高中数学可视化教学设计——以“几何体的外接球”为例
基于数学核心素养的高中数学可视化教学设计——以“几何体的外接球”为例《普通高中数学课程标准（2017年版）》将数学核心素养定为学科育人目标，这意味着为了更好地培养学生的核心素养，教师应不断努力转变传统的教学方式，优化课堂教学，以便学生在学习过程中获得知识并提高学科素养。
在此背景下，本文以《几何体的外接球》为例谈谈如何利用可视化教学优化高中数学教学，进而促进学生的核心素养不断发展。
1 教学设计1.1教材内容分析本节课是苏教版必修二第13章第三节内容，在本节课内容之前学生已经学习了常见几何体即柱体、椎体和台体的特征，同时学生也掌握了球的体积和表面积以及正方体、长方体的边与外接球半径的关系.本节课内容是对球内容的拓展与延续，是培养学生核心素养的重要素材.1.2学生基础情况分析本节课的授课对象是四星级高中的高一学生，学生具备了一定的自主探究学习能力、运算能力以及解决问题的能力，通过上节课的学习，学生已经对球的基本知识有一定的理解以及会解决简单几何体如正方体和长方体的外接球的问题，球是高考中的热点，经常与几何体相结合出现，对学生的空间想象力要求比较高，高一的学生空间想象力有限，几何体的外接球问题是高一学生的薄弱点.1.3教学目标(1)掌握几何体外接球的常见模型，学会用补体法解决空间几何体的外接球问题;(2)掌握解决几何体外接球问题的分析思路和常用方法，培养转化的意识，逐步提升学生的数学核心素养；(3)完善学生知识体系，让学生能够用完整的知识体系解决几何体外接球的问题，消退学生对球问题的畏难情绪，增进学生对数学的信心和兴趣.1.4 教学重点、难点重点:几何体外接球的常见模型;难点:几何体外接球球心的确定.2 教学过程2.1复习引入问题1通过上节课的学习，你们对球有哪些认识？生1：通过祖暅原理我们学会了如何求球的体积.生2：通过等体积法我们学会了如何求球的表面积.生3：通过GGB软件演示我们知道了正方体、长方体边长与其外接球半径的关系即（正方体边长为），（长方体的长，宽，高分别为）生4：过球心与球的截面圆的圆心的直线垂直于球的的截面圆所在的平面.设计意图：通过回顾球的知识为研究几何体外接球做知识准备，通过GGB软件演示正方体与长方体外接球，可视化了正方体、长方体边长与其外接球半径的关系，这加深了学生对该关系的理解同时发展了学生直观想象与数学抽象素养.2.2新课讲解例1已知直三棱柱的底面是边长为3,4,5的直角三角形且高为2，若该三棱柱的所有顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为___________.生5：根据上节课的学习看到垂直条件可以考虑将直三棱柱补体为长方体即该长方体的长宽高分别为4,3,2,则长方体的外接球与直三棱柱的外接球相同，而长方体的外接球半径为与边长关系为，则该球的表面积为.生6：根据球的性质，我们可以先找到上下底面三角形的外心，直角三角形的外心是斜边的中点，设上底面三角形的外心为,下底面三角形的外心为，而球心与外心得连线垂直于上下底面，则的中点就是球心O，根据球心O得位置可以求得球的半径.如图所示为球的半径，在直角三角形中，,即,则该球的表面积为.活动：教师将上述两位学生的解法过程通过GGB软件呈现出来，演示结果如上图.变式1已知直三棱柱的底面是边长为2的等边三角形且高为2，若该三棱柱的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为___________.生7：该直三棱柱无法补体成长方体，只能根据球的性质，我们可以先找到上下底面三角形的外心，等边三角形外心是其中心，其余解题过过程跟生6一样.师：对于该题你们的收获是是什么？师生总结：(1)当几何体中垂直条件比较多时，解决几何体的外接球问题可以考虑补体的方法;(2)直棱柱的外接球解题是先找上下底面的外心，后找两个外心所构成的线段的中点即球心.设计意图：生1是通过的补体的方法将直三棱柱外接球转化为长方体的外接球，而长方体的外接球上节课已学过且容易求得半径；生6、生7是根据上节课球的性质找到了球心的位置，从而将空间问题转化为平面问题.生5的方法是解决特殊直三棱柱外接球问题，生6、生7的方法是解决直三棱柱外接球的一般方法.教师的GGB软件演示过程可视化了两位学生的解题过程与解题方法，暴露了整个思维过程，加深了学生对该题的理解.该题的设计是让学生掌握解决直三棱柱外接球问题，增强了学生的转化意识和空间想象力，培养了学生用联系的观点去看待问题，提升了学生的直观想象素养.例2已知正四面体的棱长为2，若该正四面体所有顶点都在同一个球面上，则该球的体积为___________.生8：因为正四面体的所有棱长都相等，可以考虑将正四面体补体为正方体，如图所示正四面体的棱长为正方体的面对角线，所以正方体的边长为,根据上节课的学习正方体的外接球半径为与边长关系为即，则该球的体积为.生9：正四面体中顶点D在底面ABC上的射影为的外心，设为E，则DE为正四面体的高，根据球的性质球心O在高DE上，如图所示，正四面体的高为，在等边三角形ABC中，是等边三角形的中心，所以,则在三角形BEO中,解得，则该球的体积为.活动：教师将上述两位学生的解法过程通过GGB软件呈现出来，演示结果如上图.变式2已知正四棱锥底面是边长为2的正方形且侧棱长为3，若该正四棱锥的所有顶点都在同一个球面上，则该球的体积为___________.生10：该正四棱锥无法补体成长方体或者正方体，只能根据球的性质，我们可以得到球心在正四棱锥的高上，解题过程跟生9一样.师：对于该题你们的收获是是什么？师生总结：解决正棱锥的外接球问题有两种方法，法1:将正棱锥补体为正方体或者长方体；法2：正棱锥的球心在高上，通过直角三角形的勾股定理可以求得球的半径.设计意图：生8是通过的补体的方法将正四面体外接球转化为正方体的外接球，而正方体的外接球上节课已学过且容易求得半径；生9、生10是根据上节课球的性质找到了正棱锥的外接球的球心在正棱锥高上，通过直角三角形的勾股定理可以求得球的半径.从而将空间问题转化为平面问题.教师的GGB软件演示过程可视化了两位学生的解题过程与解题方法，巩固了学生寻找球心位置的解题思想.该题的设计是让学生掌握正棱锥外接球问题的解题思路，增强了学生的转化意识和空间想象力，培养了学生用联系的观点去看待问题，提升了学生的直观想象素养、数学抽象素养以及数学运算素养.例3在三棱锥中，，，，AD垂直于底面垂直于底面,则其外接球的表面积为_________．生11：设三角形的外接圆圆心为,三棱锥外接球的球心为,根据球的性质垂直于底面BCD,因为垂直于底面垂直于底面，所以平行于.因为=，所以=.在三角形中，由余弦定理得，所以,由正弦定理得,所以.在直角三角形中，由勾股定理得,所以该三棱锥的外接球表面积为.活动：教师将上述学生的解法过程通过GGB软件呈现出来，演示结果如上图.师：对于该题你们的收获是是什么？师生总结：(1)解决非特殊几何体外接球问题我们要学会根据球的性质来定位球心的位置即过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面.(2)我们要学会用正余弦定理求解三角形的外接球半径.设计意图：本题有两个关键点：一是寻找球心的位置，生11是通过球的性质来寻找球心的位置，由此可见此方法是解决非特殊几何体外接球问题的常规思路方法；二是求解外接圆半径，生11是通过正余弦定理来求解三角形外接圆的半径.教师的GGB软件演示过程可视化了学生的解题过程与解题方法，加深了学生对于非特殊几何体寻求球心的通法即通过外接圆来寻求球心.该题的设计是让学生掌握非特殊几何体外接球问题的常规解题思路，同时要学会用正余弦定理来求解三角形的外接圆半径.本题的设计增强了学生的空间想象力，提升了学生的直观想象素养、数学运算素养.2.3 课堂小结问题2这节课你学到了什么？请谈谈你的收获.师生总结：(1)我们要学会用补体的方法解决特殊几何体的外接球问题；(2)我们要会定位正棱锥和直棱柱的外接球的球心位置；(3)对于非特殊几何体我们要会根据球的性质即过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面，来定位球心的位置.设计意图：利用开放性的小结，可以使不同层次的学生参与进来.通过系统的知识回顾让学生对解决几何体的外接球问题有一个更深刻的整体的认识同时发展了学生数学抽象与直观想象的核心素养.3教学反思数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现.它意味着教学目标的升级，因此需要重视知识点的形成过程，突出数学的思维过程，挖掘数学思想及其数学本质，故在教学中要发展学生的数学核心素养就得注重数学可视化教学。
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构造法求特殊棱柱、棱锥的外接球半径
教学难点
直接法求棱锥的外接球半径
教学内容
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导学案、知识回顾
利用导学案简单复习球的性质
1、球被平面所截得到的图形
2、球大圆、小圆定义
3、球心与截面圆心连线与截面的关系
4、截面圆半径、球心到截面距离、球半径的关系
5、球体积和表面积公式
重点讲解直接法—通法
介绍构造法及适用的情况
认真听老师讲解，将两种方法融会贯通，灵活应用
培养学生的空间想象能力，数学运算能力，突破本节难点
练习1、求正四面体外接球半径
用直接法求解，立体感好的学生可以用构造法求解
巩固直接法求外接球半径，构造法求外接球半径
讨论
讨论：哪些常见的棱锥可以用构造法求解
对于讨论的结果进行总结
根据课前老师布置的问题，尽量解决这两个问题，在课堂上用投影仪展示，争取总结出直棱柱外接球半径的求法
通过正方体、长方体、三棱柱的外接球问题，让学生明确直棱柱外接球球心的位置，会求其外接球体积和表面积，巩固外接球表面积和体积公式，总结外接球半径求法
复习棱锥外接球
以阳马为例，板书，重新讲解有一条侧棱与底面垂直的四棱锥外接球半径的求法，
6、球内接多面体、外接球定义
通过导学案直接回答老师给出的问题
通过一系列问题对以前学习过的知识进行复习，为接下来要讲的内容打下基础，构建学生知识体系
课前导练
提问：圆柱、正方体、长方体外接球半径
回位置埋下伏笔
提问：课前布置的2个三棱柱的外接球的表面积和体积
空间几何体的外接球(一)---教案
高三复习课教案
绥化市第一中学高惠泽
授课时 间
2019年9月26日
课题
空间几何体的外接球(一)
教学目标
知识目标
1能找到柱体外接球球心的位置，求出外接球体积和表面积
2会用直接法和构造法求特殊棱锥的外接球半径
能力目标
培养学生的空间想象能力、数学运算能力
德育目标
培养学生观察、探究与计算能力，加强学生的合作意识。
培养学生的归纳，概括能力，也能够看出学生对本节课的接受情况，便于为下一课时复杂棱锥的外接球半径问题打下基础
巩固提升
三棱锥P-ABC的顶点都在球O的球面上， 平面BCD， 是边长为1的正三角形，求球O的表面积
因此类高考题不给图，所以，不配图，让学生独立完成此题
没有配图，自己独立完成对此题的解答，完成后与大家交流
积极配合老师的引导，将讨论的结果形成直观图，展示给同学们
培养学生的空间想象能力，作图的规范意识
变式1
三棱锥 中， ,则其外接球表面积为多少？
看讨论结果决定接下来的授课内容，如果有人说出对棱相等的棱锥，则直接让其解决变式1，如果说不出来，那么由老师引入变式1
如果讨论出对棱相等的棱锥可以构造长方体，那么可以直接解决变式1，没有讨论出来的话，可以由老师引导，尝试解决该问题
这是一个由上面讨论引出的双向选择的环节，看学生的具体情况，再决定如何展开下面的授课环节
这个是一个特殊的棱锥，类似四面体，对棱相等，其外接球半径只能构造，如果用直接法求会非常麻烦，将这个棱锥介绍给孩子们，以便在日后遇到的时候解决类似问题
课堂总结
请同学们自己总结直棱柱和一些特殊的棱锥的外接球半径的求法
积极配合老师引导，完成对本节课的总结
检测学生对本节课知识的掌握情况，培养学生的空间想象能力，作图能力，运算能力
作
业
设
计
已知三棱锥 的四个顶点都在球O的球面上， 是边长为2的正三角形，E.F分别是PA,AB的中点， 则球O的体积为多少？
板
书
设
计
空间几何体的外接球(一)
例1、直接法—通法构造法：画图
构造长方体、三棱柱
板书解法
教
学
反
思
精彩之处
需要修改的地方