数理统计答案第八章答案(中山大学版)

Sw =
H 0 : μ1 = μ2 ⇔ H1 : μ1 ≠ μ2
当H０成立时，统计量的值
t (10) =
(X −Y ) z −0.1667 = = = −0.0947 SW 1/ n + 1/ n SW 2 / n 3.0469 2 / 6
因为 t (10) = 0.0947 < t0.025 (10) = 2.2281 故不能拒绝原假设. ８.解：H0: P ij = pi . ⋅ p. j , i , j = 1, 2 ，n=385.
小概率时则对原假设提出质疑，ci 为真正均值μ的 1-alpha 置信区间。 说明 若 h=0，表示在显著性水平 alpha 下，不能拒绝原假设； 若 h=1，表示在显著性水平 alpha 下，可以拒绝原假设。 原假设： H 0 : μ1 = μ2 ， ( μ1 为 X 为期望值， μ 2 为 Y 的期望值) ； 若 tail=0，表示备择假设： H 1 : μ1 ≠ μ2 （默认，双边检验） ； tail=1，表示备择假设： H 1 : μ1 > μ2 （单边检验） 。 tail=-1，表示备择假设： H 1 : μ1 < μ2 （单边检验） 程序代码： x=[0.19 0.18 0.21 0.30 0.66 0.42 0.08 0.12 0.30 0.27]; y=[0.19 0.24 1.04 0.08 0.20 0.12 0.31 0.29 0.13 0.07]; [h,sig,ci]=ttest2(x,y,0.05) 执行结果： h =0%不否定原假设。 Sig=0.9547;%p 值太大，不能否定原假设。 ci =[ -0.2130 0.2250] %真正均值 0.95 的置信区间。 2. 解：属于两个正态总体方差的假设检验，用F检验法。
β = P{ X 0 | H 1} = Pa {
1
n (ξ − a0 )
σ
<
σ ln k
n (a1 − a0 ) n (a1 − a0 ) } 2σ
+
n (a1 − a0 ) } 2σ
= Pa1 { = φ(
n (ξ − a1 )
σ
< −
σ ln k
n (a1 − a0 )
−
σ ln k
n (a1 − a0 )
又F =
S12 0.3450 = = 0.9664 ∉ W ，既不在拒绝域之中，故可认为方差无显著性差异。 2 S2 0.3570
３.解：H0:电话呼叫次数服从泊松分布。 设i为呼叫次数， vi 为对应的频数， i = 0,1,
, 7 ，m=8,则总观察次数 n = ∑ vi = 60
i =1
7
参数 λ （每分钟的平均呼叫次数）的极大似然估计为
S12 = 0.0281, S 22 = 0.0806
2 2 (n − 1) S12 + (m − 1) S 2 9 S12 + 9 S 2 Sw = = = 0.2331 n+m−2 18
所以统计量的值
t0 =
(x − y) = sw 1/ n + 1/ m
z 0.2331 1 1 + 10 10
⎛n n ⎞ p = ( pij ) = ( pi⋅ p⋅ j ) = ⎜ i⋅ ⋅ ⋅ j ⎟ ⎝n n ⎠ ⎛ n n ⎞ ⎛ 0.0793 0.3825 0.0836 ⎞ = ⎜ i⋅ ⋅ ⋅ j ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ n n ⎠ ⎝ 0.0661 0.3188 0.0697 ⎠
pij 是在H０成立是， pij 的极大似然估计，此时相应统计量的值为
2 5
故不能拒绝原假设，此分布可看作为泊松分布。 5. 解：H0：假设此分布服从均匀分布。n=800,m=10, 实际频数V=( 74 92 83 79 80 73 理论频数np=(80 80 80 80 80 80
77 80
75 80
76 80
91) 80)
χ 2 0.05 (10 − 1) = χ 2 0.05 (9) = 16.919
χ 2 (6) = ∑
i =0
7
vi2 − n = 0.5595 < 12.5916 ， 故不能拒绝原假设， 此分布可看作为泊松分布。 npi
4. 解：H0：记录的汽车辆数服从poisson分布。
vi = [92 68 28 11 1 0] ，m=6,n=200, α = 0.05 , χ 2 0.05 (6 − 1 − 1) = χ 2 0.05 (4) = 9.4877
λ= λ k e− λ
k!
1 7 ∑ ivi = 2 ，从而可计算理论频数值 n 0=1 ,7 ，
pk =
, k 源自文库 0,1,
默认情形下给定显著水平为 α = 0.05 ，得卡方分布的上侧0.05分位数
2 2 χ 0.05 (m − 1 − 1) = χ 0.05 (6) = 12.5916 ，又在给定样本的情形下，皮尔逊 χ 2 检验统计量的值
z − μ0 |> tα / 2 ( n − 1)} s/ n z |> t0.025 (9)}( H 0成立) = {( z1 ,..., zn ) :| s / 10
计算得：z 的均值 z = 0.006 ,z 的样本标准差为 S = 0.3641 。又 n=10，所以
U=
z s / 10
=
0.006 i 10 = 0.0521. 0.1325
从而犯第一类错误的概率为
α = P{ X 0 | H 0 } = Pa {
0
n (ξ − a0 )
σ
≥
σ ln k
n (a1 − a0 )
+
n (a1 − a0 ) } 2σ
= 1−φ(
σ ln k
n (a1 − a0 )
+
n (a1 − a0 ) ) → 0(n → ∞) 2σ
犯第二类错误的概率为
=
0.006 5 = 0.0576 0.2331
因为 o.0576<0.2331.所以不能拒绝原假设，即认为处理前后含脂率的平均值无显著变 化。 解三：使用 Matlab 统计工具箱求解：使用函数函数 ttest2（） 调用格式： [h,sig,ci]=ttest2(X,Y,alpha,tail) %sig 为当原假设为真时得到观察值的概率， 当 sig 为
另解：采用两个正态总体方差相等时的均值差的t检验法.检验统计量：
t=
( X − Y ) − ( μ1 − μ2 ) ∼ t (2n − 2) = t (10), SW 1/ n + 1/ n
tα (n + m − 2) = t0.025 (10) = 2.2281
2 2 (n − 1) S12 + (m − 1) S2 = 3.0469 n+m−2
Z = X − Y , ⇒ Z ∼ N ( μ1 − μ2 , 2σ 2 ) ，令 zi = xi − yi , i = 1, 2,
,10 ,因此问题归结为检
验假设 H 0 : μ = 0; H 1: μ ≠ 0 单个正态总体均值(方差未知)的假设检验。检验的拒绝域 为
W = {( z1 ,..., zn ) :|
2 2 ，由于当H0成立时， H 0 : σ 12 = σ 2 ⇔ H1 : σ 12 ≠ σ 2
S12 / σ 12 S12 = 2 ~ F (n − 1, m − 1) = F (5,8) ；拒绝域的形式为 2 2 S2 /σ2 S2
2 W = {( x1 ,..., xn ) : s12 / s2 < F1−α / 2 (n - 1,m - 1) 2 or s12 / s2 > Fα / 2 (n - 1,m - 1) } 2 = {( x1 ,..., xn ) : s12 / s2 < F0.975 (5,8)=0.1480 2 or s12 / s2 > F0.025 (5,8)=4.8173}
根据样本计算皮尔逊 χ 检验统计量的值
2
χ 2 (9) = ∑
i =0
9
vi2 − n = 5.125 < 16.919 npi
故拒绝原假设，认为此分布不服从均匀分布。 6. 解：设 ξ 为每次抽取10个产品中的次品数。H0:
ξ ∼ b(10, P) 。
P的极大似然估计为： p =
∑ iv
i =1
11
L(a1 ) 1 2 = exp{− 2 [−2nξ (a1 − a0 ) + n(a12 − a0 )]} L(a0 ) 2σ = exp{ n (a1 − a0 )
σ
[
n (ξ − a0 )
σ
−
n (a1 − a0 ) ]} 2σ
所以由奈曼－皮尔逊基本引理，知H０的最佳否定域为
⎧ ⎫ L(a1 ) ≥ k⎬ X 0 = ⎨(ξ1 , ξ 2 , , ξ n ) : L(a0 ) ⎩ ⎭ ⎧ n (ξ − a0 ) n (a1 − a0 ) ⎫ σ ln k ⎪ ⎪ = ⎨(ξ1 , ξ 2 , , ξ n ) : ≥ + ⎬ 2σ σ n (a1 − a0 ) ⎪ ⎪ ⎩ ⎭
n (a1 − a0 ) ) → 0(n ↔→ ∞) 2σ
i
10*100
= 0.1 ，可计算得理论频数为
0.0574 0.0112 0.0015 0.0001 0.0000
P=(0.3487 0.3874 0.1937 0.0000 0.0000 0.0000).
2 χ 0.05 (9) = 16.919
根据样本计算皮尔逊 χ 检验统计量的值
2
χ 2 (11 − 1 − 1) = χ 2 (9) = ∑
1 n 1 n 0.1667, z = − s = ∑i ∑ zi − z n i =1 n − 1 i =1
N=6, z =
(
)
2
= 5.8793 .
在H０成立时，t的统计量的值为
t (5) =
z − μ0 −0.1667 = = −0.0694. | t (5) |= 0.0694 < 2.5706 ， 故不能拒绝原假设. s / n 5.8793 / 6
又计算可得 t α ( n − 1) = t0.025 (9) = 2.2622.
2
由于 0.0521 <2.2622,则不能否定原假设，即可认为处理前后含脂率的平均值无显著变 化。 解二：用 t 检验.法。设 H 0 : μ1 = μ 2 ⇔ H1 : μ1 ≠
μ2 ，拒绝域为
W = {|
sw
(x − y) |> tα / 2 (n + m − 2) = t0.025 (18) }，t0.025 (18)=2.10 1/ n + 1/ m
第八章 假设检验 课后习题参考答案 解一： 这是成对数据下均值差的假设检验，∵ X ∼ N ( μ1 , σ ), Y ∼ N ( μ 2 , σ ) ,分别有
2 2
1.
样本x=[0.19 0.18 0.21 0.30 0.66 0.42 0.08 0.12 0.30 0.27]]，y=[0.19 0.24 1.04 0.08 0.20 0.12 0.31 0.29 0.13 0.07];令
2
Z = X − Y ⇒ Z ∼ N ( μ1 − μ2 , 2σ 2 ) = N ( μ , 2σ 2 ) ，提出原假设： H 0 : μ1 = μ2 ,即μ =0 .
转化为单个正态总体方差未知情形下均值是否为零的假设检验，我们可采用t检验法，建立 统计量：
t=
z − μ0 ∼ t (n − 1) = t (6 − 1) = t (5) s/ n
i =0
10
vi2 − n = 5.1295 < 16.919 npi
故不能拒绝原假设，认为此分布是服从二项分布。 ７.解：这是成对数据下正态总体均值差的假设检验，并且具有共同的方差（未知） ，设
X~N(μ1 , σ 2 ), Y ~N(μ2 , σ 2 ) α = 0.05 ， tα (n − 1) = t0.025 (5) = 2.5706 令
ˆ ij ) 2 (nij − np = 3.0762 < χ 2 0.95 (2) = 5.9915 χ = ∑∑ ˆ np i =1 j =1 ij
2 2 3
故不能拒绝原假设.即认为慢性气管炎与吸烟量是相关的. 9. 解：当 a1 > a0 时，设 ξ1 , ξ 2 ,
, ξ n 为总体 ξ 的样本，由于似然比
λ 的极大似然估计为
λ=
1 m ∑ ivi = 0.8050 ，计算理论频数得 n i =1
p = n * v = (0.447 0.359 0.1448 0.03887 0.00782 0.001267)
从而皮尔逊 χ 检验统计量的值
2
vi2 χ (6) = ∑ − n = 2.1596 < 9.4877 i = 0 npi