函数的奇偶性和周期性复习PPT优秀课件

立足教育 开创未来
1.函数的奇偶性和周期性 （1）函数f（x）,g（x）在区间［-a,a］上 都 是 奇 函 数 ， 设 h （ x ） =f （ x ） +g （ x ） , v（x）=f（x）·g（x），判断h（x）,v（x） 的 奇 偶 性 ， h （ x ） 是 奇函数 ； v （ x ） 是 偶函数 .
（2）已知f（x）=
a
1 2x 1
，
1 若f（x）+f（-x）=0，则a= 2 .
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（3）已知R上的函数f（x）满足f（x+2）
= 1 .若f（1）= 1 ，则f（2011）
f (x)
2011
= 2011 .
2
取x=-1，则f（1）=f（-1）+f（2）=
-f（1）+f（2），得f（2）=2f（1）.因为 f（1）= 1 ，所以f（2）=1.故f（5）=f（3+2） =f（3）+2 f（2）=f（1+2）+f（2）=f（1）+2f （2）= 5 .
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-f
（a）+2=0,故选B.
答案：B
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2.偶函数f（x）在（-∞,0］上是增函数， 若f（a）≤f（2），则a的取值范围是（ ）
A. （-∞,2］ B. ［-2,+∞） C. ［-2,2］ D. （-∞,-2］∪［2,+∞）
（4）函数f（x）=ax2+bx+3a+b是区间
1 ［a-1,2a］上的偶函数，则a= 3 ，b= 0 .
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3.抽象函数的奇偶性与周期性
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2.函数的周期性
设函数y=f（x）， x∈D，如果存在一 个 非零常数 T ， 使 得 对 任 何 x∈D ， 都 有 f（x+T）=f（x） ，则称函数f（x）为 周期函数，T为y=f（x）的一个周期.如果在 所有的周期中存在一个 最小正数 ，那么这 个 最小正数 叫做f（x）的最小正周期，简 称周期.
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方 法 1 ： 因 为 f （ a ） =2, 即 a3+sina+1=2,所以a3+sina=1,
所 以 f （ -a ） = （ -a ） 3+sin （ -a ） +1= -（a3+sina）+1=-1+1=0.
方法2：易知h（x）=f（x）-1为奇函数，
所以f（-a）=h（-a）+1=-h（a）+1=
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（2）给出下列函数：（ⅰ）y=lg|x|；（ⅱ）
y=x·sinx ； （ ⅲ ） y=x·cosx ； （ ⅳ ） y=2x+2-x ，
其中偶函数的个数是 .
3
（3）已知函数f（x）=cos2x，若对于正
数b，π 有f（2b+x）=f（x），则b的最小值 为2 .
因为f（x）为偶函数，所以f（-2） =f（2）.而f（x）在（-∞,0］上递增，且f（a） ≤f（2），所以a≤-2或a≥2,故选D.
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3. 已 知 函 数 f （ x ） 满 足 f （ x+2 ） =
-f（x）.当x∈［1,3］时，f（x）= 1 x ， 则 f（-6）=（ ）
若f（ ）>1 0>f（ 的个数是 2 .
），3 则方程f（x）=0的根
数形结合，易知方程f（x）=0在区
间故原（方程3 共, 有 12 2）个,根（.
1 2
, 3 ）上各有一个根，
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5.设函数f（x）为R上的奇函数，f（1） = 1 ，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）= .
（4）分析函数f（x）=x2+ a 1 的奇偶性： 若a=1，则是偶函数， x
若a≠1，则是非奇非偶函数 .
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2.函数的奇偶性与周期性的应用 （1）已知f（x）=x3+bsinx+1（b≠0）. 若f（-3）=5，则f（3）= -3 .
第二章 函 数
第六课时
函数的奇偶性和周期性
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1．函数的奇偶性 （1）如果对于函数f（x）的定义域内任意一 个x，都有 f（-x）=f（x） ，那么函数f(x)就 叫做偶函数，其图象关于 y轴 对称. （2）如果对于函数f（x）的定义域内任意一 个x，都有 f（-x）=-f（x），那么函数f（x）就 叫做奇函数，其图象关于 原点 对称.
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1. （ 2008· 福 建 卷 ） 函 数 f （ x ） =x3+sinx+1 （ x∈R ） , 若 f （ a ） =2, 则 f（-a）的值为（ ）
A. 3
B. 0
C. -1
D. -2

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A. 1
B. 3
C. -1
D. 3
由f（x+2）=-f（x），得f（x+4）
=-f（x+2）=f（x），所以f（x）的周期是4，
所以f（-6）=f（-2）=f（2）= ,故3 选D.
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4.偶函数f（x）在（0,+∞）上是减函数，