1.1直线的倾斜角和斜率讲义.doc
《直线的倾斜角与斜率》教案及说明
《直线的倾斜角与斜率》教案及说明教案说明：本教案旨在帮助学生理解直线的倾斜角与斜率的概念，掌握计算方法，并能应用于解决实际问题。
通过本教案的学习，学生应能理解直线的倾斜角与斜率之间的关系，并能运用斜率计算直线的倾斜角，反之亦然。
教学目标：1. 理解直线的倾斜角的概念。
2. 掌握计算直线的斜率的方法。
3. 理解直线的斜率与倾斜角之间的关系。
4. 能运用直线的斜率和倾斜角解决实际问题。
教学内容：一、直线的倾斜角1. 直线的倾斜角的定义。
2. 直线的倾斜角的计算方法。
二、直线的斜率1. 直线的斜率的定义。
2. 直线的斜率的计算方法。
三、直线的斜率与倾斜角之间的关系1. 斜率与倾斜角的定义及关系。
2. 斜率与倾斜角的计算方法。
四、运用直线的斜率和倾斜角解决实际问题1. 运用斜率和倾斜角计算直线的长度。
2. 运用斜率和倾斜角计算直线的交点。
五、巩固练习1. 计算给定直线的斜率和倾斜角。
2. 解决实际问题，运用直线的斜率和倾斜角。
教学方法：1. 采用直观演示法，通过图形和实例引导学生理解直线的倾斜角和斜率的概念。
2. 采用讲解法，讲解直线的倾斜角和斜率的计算方法。
3. 采用实践法，让学生通过实际问题解决来运用直线的斜率和倾斜角。
教学评估：1. 课堂练习：学生在课堂上完成给定的练习题，检验对直线的倾斜角和斜率的理解和应用能力。
2. 课后作业：布置相关的作业题，巩固学生对直线的倾斜角和斜率的掌握。
3. 考试：设置有关直线的倾斜角和斜率的考试题目，全面评估学生的掌握情况。
教学资源：1. 教学PPT：提供直观的图形和实例，帮助学生理解直线的倾斜角和斜率的概念。
2. 练习题库：提供丰富的练习题，供学生课堂练习和课后作业。
3. 实际问题案例：提供实际问题，供学生解决，运用直线的斜率和倾斜角。
教学步骤：一、直线的倾斜角1. 引入直线的倾斜角的概念，引导学生理解直线的倾斜角的意义。
2. 讲解直线的倾斜角的计算方法，引导学生掌握计算直线的倾斜角的方法。
直线的倾斜角和斜率 课件
【解析】 (3)∵l 与 x 轴交于点 P，且倾斜角为 α，∴0°< α<180°.
又∵逆时针旋转后得到倾斜角为 α＋45°， ∴0°≤α＋45°<180°. 综上：00°°<≤αα<＋18405°°，<180°，解得 0°<α<135°. 【答案】 (1)B (2)90° (3)0°<α<135°
【思路分析】 直接用斜率公式去求． 【解析】 (1)kPQ＝－－21－－11＝32. (2)∵x1＝x2，∴斜率不存在． (3)当 m＝2 时，斜率不存在； 当 m≠2 时，kPQ＝m2－－12＝m－1 2.
题型三 直线的倾斜角与斜率的关系
例 3 (1)已知过点 A(2m，3)，B(2，－1)的直线的倾斜角为 45°，求实数 m 的值；
题型二 直线的斜率的求法
例 2 如图，已知 A(3，2)，B(－4，1)，C(0，－1)，求直线 AB，BC，CA 的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．
【思路分析】 由题目可获取以下主要信息：①已知三点 A、 B、C 的坐标；②通过斜率判断直线 AB，BC，CA 的倾斜角．
解答本题可通过斜率的定义，求出直线的斜率，根据斜率的 正、负确定直线倾斜角是锐角还是钝角．
(2)数形结合是一种常用的方法． (3)直线逆时针旋转，k 变大，顺时针旋转，k 变小．
思考题 4 经过点 P(0，－1)作直线 l，若直线 l 与连接 A(2，
1)，B(2，－3)的线段总有公共点，求直线的倾斜角与斜率的取值 范围．
【解析】 连接 PA，PB，kPA＝1－2（－－01）＝1，α1＝45°， kPB＝－3－2－ （0－1）＝－1，α2＝135°，
探究 2 根据斜率与倾斜角的关系(即当倾斜角 0°≤α< 90°时，斜率是非负的；当倾斜角 90°<α<180°时，斜率是负 的)来解答直线的倾斜角是锐角还是钝角问题．
高中数学-直线的方程基础讲义
2.1.1直线的倾斜角与斜率一、知识点1.直线倾斜角的定义：①当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴 与直线l 之间所成的角叫直线l 的倾斜角②当直线l 与x 轴平行或重合时，我们规定直线l 的倾斜角为注：（1）直线的倾斜角的取值范围为（2）从运动变化的观点来看，当直线l 与x 轴相交时，将x 轴绕直线l 与x 轴的 按 方向旋转到与直线重合时所转的 叫直线的倾斜角（3）直线的倾斜角的几何意义：从“形”上直观地描述了直线对x 轴正方向的2.直线斜率的定义：①倾斜角不为090的直线的倾斜角α的 叫做这条直线的斜率，斜率常用小写的字母k 表示，即=k②倾斜角为900的直线的斜率注：（1）直线的倾斜角α与斜率k 的关系：①当00=α时，=k ，此时直线与x 轴②当00900<<α时，k ，且k 随α的增大而③当090=α时，k ，此时直线与x 轴④当0018090<<α时，k ，且k 随α的增大而3.过两点的直线的斜率公式：过两点),(),,(222111y x P y x P )(21x x ≠的直线的斜率=k 例1.判断（1）任何一条直线都有倾斜角 （ ）（2）任何一条直线都有斜率 （ ）（3）若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为αtan （ ）（4）若直线的斜率为αtan ，则直线的倾斜角为α （ ）（5）倾斜角相等的直线，斜率也相等 （ ）（6）斜率相等的直线，倾斜角也相等 （ ）（7）倾斜角越大的直线，斜率也越大 （ ）（8）斜率越大的直线，倾斜角也越大 （ ）例2.已知直线的倾斜角为α，斜率为k ，则 ⑴若)3,6(ππα∈，则∈k ； ⑵若)65,3(ππα∈，则∈k ； ⑶若)33,3(--∈k ，则∈α ； ⑷若)1,1(-∈k ，则∈α 例3.已知点)2,3(),3,4(B A -，过点)10(-，P 的直线l 与线段AB 有公共点，求（1）直线l 的斜率k 的取值范围；（2）直线l 的倾斜角α的取值范围例4.已知实数y x ,满足82+-=x y ，且32≤≤x ，求x y 的最大值与最小值例5.已知实数y x ,满足)11(222≤≤-+-=x x x y ，求23++x y 的最大值与最小值例6.求函数)1(213≥+-=x x x y 的值域例7.已知函数)1ln()(+=x x f ，比较45ln ,34ln ,23ln 的大小例8.一束光线从点)32(，-A 射入经x 轴上点P 反射后，通过点)75(，B ，求点P 的坐标例9.已知点)14(),52(-，，B A ，在y 轴上求一点P ，使PB PA +最小，求点P 的坐标例10.证明不等式)0,0(>>>>++m a b ba mb m a例12.已知点)21(),13(),04(),32(，，，，---Q P B A ，判断直线AB 与PQ 的位置关系例13.已知)32(),24(),12(),00(D C B A -，判断四边形ABCD 的形状2.1.2 两直线的平行与垂直的判定一、知识点1.两直线的平行的判定：设两不重合的直线21,l l 的斜率分别是21,k k ，则1l ∥2l ⇔ 注：（1）1l ∥2l ⇔21k k =成立的前提：①21,l l 不重合；②斜率21,k k 都存在（2）1l ∥2l ⇒（3）21k k =⇒例1.判断直线AB 与PQ 是否平行？并说明理由.（1）)2,1(),1,3(),0,4(),3,2(---Q P B A（2）)1,1(),4,3(),1,2(),2,1(----Q P B A（3）)5,5(),2,5(),10,3(),2,3(Q P B A ---（4）)3,2(),4,3(),1,2(),1,0(Q P B A --例2.已知四边形ABCD 四个顶点分别为)0,0(A ，)1,2(-B ，)2,4(C ，)3,2(D ，试判断四边形ABCD 形状，并给出证明例3.已知平行四边形ABCD 中，)3,4(),0,1(),1,0(C B A ，求点D 的坐标2.两直线的垂直的判定：设两直线21,l l 的斜率分别是21,k k ，则⇔⊥21l l 注：（1）⇔⊥21l l 121-=k k 的前提是（2）⇒⊥21l l（3）121-=k k ⇒例4.判断直线AB 与PQ 是否垂直？并说明理由.（1）)6,6(),3,0(),6,3(),0,6(--Q P B A（2）)1,2(),1,2(),2,1(),2,1(Q P B A ----（3）)40,10(),40,10(),100,3(),4,3(Q P B A -例5.已知点)3,2(),1,1(),1,5(C B A -，试判断ABC ∆的形状例6.已知点)3,2(),2,3(),0,1(),1,0(D C B A ，试判断四边形ABCD 的形状作业：（1）已知)0,3(),2,2(),1,1(C B A -三点，求点D 的坐标，使AB CD ⊥，CB ∥AD（2）已知点)23,3(),,(),4,42(),2,3(+-----m D m m C m B m A ，若直线CD AB ⊥，求m 的值2.2 直线的方程一、知识点1.直线的方程的概念：一般地，如果一条直线l 与一个方程满足：①以这个方程的解为坐标的点都②直线上任何一点的坐标都那么这个方程称为 的方程，这条直线称为 的直线2.直线的点斜式方程：过点),(00y x P 且斜率为k 的直线方程为： ， 特别的，当直线l 的斜率0=k 时，直线l 的方程为当直线l 的斜率k 不存在时，直线l 的方程为注：（1）直线的点斜式方程只适合于 的直线（2）过点),(00y x P 的直线有 条，可以分为两类：第一类：斜率存在的直线，方程为第二类：斜率不存在的直线，方程为例1.直线1+=x y 绕其上一点)4,3(P 逆时针旋转090后得到直线l ，求直线l 的点斜式方程例2.已知直线l 过点)0,1(，且与直线)1(33-=x y 的夹角为030，求直线l 的方程3.直线的斜截式方程（1）截距的定义：我们把直线l 与x 轴的焦点)0,(a 的 称为直线l 在x 轴上的截距，又叫 ；把直线l 与y 轴的焦点),0(b 的 称为直线l 在y 轴上的截距，又叫注：由截距的定义知截距不是距离，它是直线与x 轴，y 轴交点的 和 ，距离是非负的，而截距有正有负，也可以为0，当直线与坐标轴正半轴相交时，截距为 ，当直线与坐标轴的负半轴相交时，截距是 ，当直线过原点时，截距为（2）直线的斜截式方程：斜率为k ，纵截距为b 的直线l 的方程为 注：（1）直线的截距式方程只适合于 的直线（2）斜截式方程b kx y +=中，x 的系数为直线的 ，常数项b 为直线的4.斜截式下两直线位置关系的判定：设直线1l ：11b x k y +=和2l ：22b x k y +=，则（1）21,l l 重合⇔（2）1l ∥2l ⇔（3）21,l l 相交⇔（4）21l l ⊥⇔例3.（1）过点)1,1(且与直线72+=x y 平行的直线方程为（2）过点)1,1(且与直线72+=x y 垂直的直线方程为例4.（1）当a 为何值时，直线1l :a x y 2+-=与直线2l ：2)2(2+-=x a y 平行？（2）当a 为何值时， 直线1l : 3)12(+-=x a y 与直线2l ：34-=x y 垂直？2.2.2直线的两点式方程一、知识点1.直线的两点式方程：过点),(),,(222111y x P y x P ),(2121y y x x ≠≠的直线方程为 注：（1）两点式方程只适合于 的直线（2）当21x x =时,直线的斜率 ，方程是 当21y y =时,直线的斜率为 ，方程是例1.求经过下列两点的直线的两点式方程，再化斜截式方程.（1）)3,0(),1,2(-Q P（2）)0,5(),5,0(B A（3）)0,0(),5,4(D C --例2.已知三角形的顶点是)2,0(),3,3(),0,5(C B A --（1）求BC 边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程（2）求BC 边上垂直平分线所在直线的方程（3）求BC 边上高所在直线的方程2.直线的截距式方程：过点)0)(,0(),0,( ab b B a A 的直线方程为注：（1）直线的截距式方程适用于 的直线，即直线的截距式方程不能表示 的直线例3.根据下列条件求直线方程（1）在x 轴上的截距为2，在y 轴上的截距是3；（2）在x 轴上的截距为-5，在y 轴上的截距是6；例4.已知直线l 经过点P(1,2)，并且点A(-2,3)和点B(4,-5)到直线l 的距离相等，求直线l 的方程例5.求过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距相等的直线有几条？它们的方程是什么？变式：（1）过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距互为相反数的直线有几条？（2）过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条?（3）过(1,2)并且在y 轴上的截距是x 轴上的截距的2倍的直线有几条?注：不过原点且截距相等的直线的斜率为不过原点且截距互为相反数的直线的斜率为例6.已知直线l经过点P(1,2)，且与两坐标轴的正半轴围成三角形面积是4，求直线l的方程例7.直线l过点P(1,2)且与x轴,y轴的正半轴交于A,B两点，求使三角形AOB面积最小时直线l的方程例8.已知直线l过点P(3,2)且与x轴,y轴正半轴交于A,B两点，（1）求使△AOB面积最小时直线l的方程.PA⋅的值最小时直线l的方程.（2）求PBOA+的值最小时直线l的方程.（3）求OB（4）求△AOB周长最小时直线l的方程作业：1.已知△ABC 的顶点A(5，1),AB 边上的中线CM 所在的中线方程为2x-y-5=0,AC 边上的高BH 所在的直线方程为x-2y-5=0(1)求AC 所在的直线方程；(2)求点B 的坐标2.已知两直线1l :ax-by+4=0,2l :(a-1)x+y+b=0,求满足下列条件的a,b 的值(1)21l l 且1l 过点（-3,-1)(2)1l //2l 且坐标原点到这两条直线的距离相等3.直线过点)2,34(P 且与x 轴，y 轴的正半轴分别交于A,B 两点，O 为坐标原点，是否存在这样的直线满足下列条件：(1)△AOB 的周长为12；(2)△AOB 的面积为6，若存在，求出方程，若不存在，说明理由2.2.3直线的一般式方程一、知识点1.直线的一般式方程：注：（1）直线的一般式方程适合于 的直线（2）平面上任一条直线都可以用一个关于x,y 的二元一次方程表示；关于x,y 的二元一次方程都表示一条直线（3）对直线的一般式方程B A C By Ax ,(0=++不同时为0)①当0≠B 时，方程可化为可化为 ，其斜率为 ，纵截距为 ②当0=B 时，方程可化为 ，表示一条 的直线（4）对于直线方程的一般式，一般作如下约定：①一般按含x 项、含y 项、常数项顺序排列；②x 项的系数为正③x ，y 的系数和常数项一般不出现分数例1.设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a=0(a ∈R)．(1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程；(2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围例2.设直线l 的方程为62)12()32(22-=-++--m y m m x m m ，根据下列条件分别确定m 的值（1）l 在x 轴上的截距是-3；（2）l 的斜率是-1例3.直线0=++c by ax ，当0<ab ，0<bc 时，此直线不通过的象限是( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限例4.两条直线2x-y+k=0和4x-2y+1=0的位置关系是( )A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.平行或重合例5.若直线(m+2)x+(2-m)y=2m 在x 轴上的截距为3，则m 的值是例6.直线Ax+By+C=0通过第一、二、四象限，则（ ）(A)A ·B>0,A ·C>0 (B)A ·B>0,A ·C<0(C)A ·B<0,A ·C>0 (D)A ·B<0,A ·C<02.一般式下两直线的位置关系：设直线1l ：0111=++C y B x A ，2l ：0222=++C y B x A（1）21,l l 重合⇔（2）1l ∥2l ⇔（3）21,l l 相交⇔（4）21l l ⊥⇔例7.已知直线1l ：x+(a+1)y-2+a=0和2l ：2ax+4y+16=0，若1l ∥2l ，求a 的值例8.已知直线1l ：x-ay-1=0和2l ：a2x+y+2=0，若1l ⊥2l ，求a 的值2.3.1两条直线的交点坐标一、知识点1.两条直线的交点坐标：用代数方法求两条直线的交点坐标,只需写出这两条直线的方程,然后联立求解.一般地,将两条直线的方程联立,得方程组⎩⎨⎧=++=++00222111C y B x A C y B x A （1）若方程组有且只有一个解, 则两条直线（2）若方程组无解, 则两条直线（3）若方程组有无数解, 则两条直线例1.求直线1l ：0243=-+y x 和2l ：022=++y x 的交点坐标例2.判断下列各对直线的位置关系，如果相交,求出交点坐标.（1）1l ：0=-y x 和2l ：01033=-+y x（2）1l ：043=+-y x 和2l ：026=-y x（3）1l ：0543=-+y x 和2l ：01086=-+y x例3.若三条直线1l ：044=++y x ，2l ：01=++y mx ，3l ：01=+-y x 不能围成一个三角形，求m 的值例 4.若三条直线1l ：01=++y ax ，2l ：01=++ay x ，3l ：0=++a y x 能围成一个三角形，求m 的取值范围例5.若直线1l ：12++=k kx y ，2l ：042=-+y x 的交点在第四象限，求k 的取值范围2.3.2两点间的距离一、知识点1.平面上任意两点),(),,(2211y x B y x A 间的距离公式：=AB 注：（1）当AB ⊥x 轴时，=AB ；当AB ⊥y 轴时，=AB（2）任意一点P(x,y)到坐标原点的距离为2.斜率为k 的直线上两点),(),,(2211y x B y x A 间的距离公式：=AB == =例1.已知点)7,2(),2,1(B A -，在x 轴上求一点P ，使PB PA =，并求PA 的值例2.在直线l:3x-y+1=0上求一点P ，使点P 与两点A(1,-1),B(2,0)的距离相等例3.已知点A(7,-4) ,B(-5,6), 求线段AB 的垂直平分线的方程例4.证明：平行四边形ABCD 四条边的平方和等于两条对角线的平方和例5.证明直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等例6.已知 8422)(22+-++-=x x x x x f ，问x 取何值时)(x f 最小，最小值为多少？例7.已知8422)(22+--+-=x x x x x f ，问x 取何值时)(x f 最小，最小值为多少？例8.已知10,10<<<<y x ，求证：22)1()1()1()1(22222222≥-+-++-+-+++y x y x y x y x2.3.3点到直线的距离一、知识点1.点到直线的距离的定义：过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q 点， 的长度叫做点P 到直线l 的距离2.点到直线的距离公式：点),(00y x P 到直线l ：0=++C By Ax 的距离=d 注：（1）用此公式时直线要先化成一般式（2）当0=A 时，点),(00y x P 到直线l 的距离=d 当0=B 时，点),(00y x P 到直线l 的距离=d例1.求点P(-1,2)到直线l ：3x=2的距离注：（1）点),(00y x P 到x 轴的距离=d（2）点),(00y x P 到x 轴的距离=d（3）点),(00y x P 到直线x=a 的距离=d（4）点),(00y x P 到直线y=b 的距离=d例2.已知点A(1,3)，B(3,1)，C(-1,0)，求△ABC 的面积例3.已知直线l 经过点P(1,2),并且点A(-2,3)和点B(4,-5)到直线l 的距离相等，求直线l 的方程.例4.△ABC 中，A(3,3)，B(2,-2)，C(-7,1)，求∠A 的平分线AD 所在的直线方程注：角平分线定理：设AD 为△ABC 的∠A 的平分线(内角平分线或外角平分线)，则例5.直线l 过点P(2,-5)且与点A(3,-2)，B(-1,6)距离之比为1:2，求直线l 的方程例6.在抛物线4 y 2x 上求一点P ，使P 到直线l : y=4x-5的距离最短,并求出这个最短距离.例7.直线l 经过点 P(－2，1), 且A(-1，3)到l 的距离等于1, 求直线l 的方程2.3.4两条平行直线间的距离一、知识点1.两平行线间的距离的定义：指夹在两平行线间的 的长度2. 两条平行线间的距离公式：两平行线1l ：01=++C By Ax 和2l ：02=++C By Ax 间的距离=d注：（1）使用两条平行直线间的距离公式的前提条件： ①把直线方程化为一般式方程．②两条直线方程中x ，y 系数必须分别相等．（2）斜截式下两直线1l ：1b kx y +=,2l ：2b kx y +=间的距离=d 例1.已知直线1l ：0872=--y x ,2l ：01216=--y x ，1l 与2l 是否平行？若平行，求1l 与2l 间的距离例2.求与两平行线1l ：2x-3y+4=0，2l ：2x-3y-2=0距离相等的直线l 的方程注：与两平行线1l ：01=++C By Ax ,2l ：02=++C By Ax 距离相等的直线l 的方程为21 例3.已知直线1l 过点A(0,1)，2l 过点B(5,0)，若1l //2l ，且21,l l 距离为5，求直线21,l l 的方程例4.求与直线2x-y-1=0平行且距离为5的直线l 的方程例5.两条互相平行的直线分别过点A(6,2),B(-3,-1)，且各自绕着点A,B 旋转，设两平行线间的距离为d ，（1）求d 的取值范围（2）求当d 取最大值时两直线的方程例6.l 过点P(-2,1)，点A(-1,3)到直线l 的距离等于1，求直线l 的方程。
直线的倾斜角、斜率及直线的方程ppt
点斜式方程的局限性
点斜式方程只适用于已知一点和 斜率的直线，对于其他情况需要
使用其他形式的直线方程。
当直线与x轴垂直时，斜率不存 在，点斜式方程不适用。
在实际应用中，需要根据具体情 况选择合适的直线方程形式。
05 直线的两点式方程与斜率 的关系
点斜式方程
01
点斜式方程是直线方程的一种形 式，它表示通过一个固定点(x1, y1)和斜率m的直线。
02
点斜式方程可以用来求解直线的 方程，特别是当已知直线上的一 点和斜率时。
两点式方程
两点式方程是直线方程的另一种形式， 它表示通过两点(x1, y1)和(x2, y2)的 直线。
两点式方程也可以用来验证两点是否 在同一直线上。
整理得到$y - y_1 = m(x - x_1)$，其中$m$为直线斜率。
因此，点斜式方程为$y - y_1 = m(x - x_1)$，它是通过直线上两点坐标推导出来的。
斜率在点斜式方程中的应用
斜率$m$表示直线在坐标系上的倾斜程度，当$m > 0$时， 直线从左下到右上倾斜；当$m < 0$时，直线从左上到右下 倾斜；当$m = 0$时，直线与x轴平行。
两点式方程仅适用于已知两点坐标的情 况，对于其他情况可能不适用。
当两点坐标相同时，即直线过一个点时， 另外，当直线与坐标轴平行或重合时，
两点式方程将失去意义。
斜率不存在，此时两点式方程也无法表
示直线。
06 直线的方程在实际问题中 的应用
利用直线方程解决几何问题
确定两点间的直线方程
已知两点坐标，利用直线方程求解直线方程。
推导过程中，利用了直线上两点间斜率相等的性质，即斜率是固定的值。
2-1-1 直线的倾斜角和斜率 课件(北师大版必修二)
且直线 AB，BC 有共同的点 B，所以 A，B，C 三点共线．
题型三
直线的倾斜角和斜率的范围问题
【例 3】 (12 分)已知直线 l 过 P(－1,2)，且与以 A(－2，－3)、 B(3,0)为端点的线段相交，求直线 l 的斜率的取值范围． 审题指导 当直线绕定点由与 x 轴平行(或重合)位置按逆时针方 向旋转到与 y 轴平行(或重合)时，斜率由零逐渐增大到＋∞(即 斜率不存在)，按顺时针方向旋转到与 y 轴平行(或重合)时，斜 率由零逐渐减小至－∞(斜率不存在)． 【解题流程】 画出草图 → 求出斜率的边界值kPA、kPB → 结合倾斜角的变化，分析l斜率的变化 → 下结论
1 ②当 m＜1 时，k＝ ＜0，所以直线的倾斜角的取值范围是 m－1 (90° ，180° )． 直线的斜率是指其倾斜角 α 的正切值， α＝90° 当 时， 其正切值 tan α 是没有意义的， 这时， 我们认为直线的斜率不存 在，在解题时，切莫忽视这一点．
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活页限时训练
[规范解答] 如图，直线 l 在 PA 与 PB 之间变动．若设 PA 与 PB 的倾斜角分别是 α 和 β，则直线 l 的倾斜角由 α 增至 β，可以由 PA 与 PB 的斜率求出 l 的斜率的取值范围． 1 直线 PA 的斜率是 kPA＝5，直线 PB 的斜率是 kPB＝－2.(4 分) 当直线 l 由 PA 变化到与 y 轴平行的位置 PC 时，它的倾斜角由 α 增至 90° ，斜率的取值范围为[5，＋∞)．(7 分) 当直线 l 由 PC 变化到 PB 的位置时，它的倾斜角由 90° 增至 β，
题型二
共线与斜率的关系
【例 2】 已知三点 A(a,2)，B(3,7)，C(－2，－9a)在同一条直线 上，求实数 a 的值． [思路探索] 由于三点共线，其中任意两点都可表示出这条直线 的斜率，故可以按照求 kAB，求 kBC，再由 kAB＝kBC，求 a 的顺 序求解．
第1章1.1 直线的斜率与倾斜角-2024-2025学年新教材数学苏教版选择性必修第一册同步课件
知识点 1 直线的斜率 对于直线 l 上的任意两点 P(x1，y1)，Q(x2，y2). (1)如果 x1≠x2，那么由相似三角形的知识可知，xy22－－xy11是一个定 值，我们将其称为直线 l 的斜率． k＝yx22－－yx11(x1≠x2).
1.1 直线的斜率与倾斜角
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必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
1.1 直线的斜率与倾斜角
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类型 3 直线的倾斜角和斜率的综合 [探究问题] 1．在斜率公式 k＝yx22－ －yx11中，分子与分母的顺序是否可以互换？ y1 与 y2，x1 与 x2 的顺序呢？ [提示] 斜率公式中分子与分母的顺序不可以互换，但 y1 与 y2 和 x1 与 x2 可以同时互换顺序，即斜率公式也可写为 k＝yx11－ －yx22.
[解] (1)如图①，可知∠OAB 为直线 l1 的倾斜角．易知∠ABO＝ 30°，∴∠OAB＝60°，即直线 l1 的倾斜角为 60°.
(2)如图②，可知∠xAB 为直线 l2 的倾斜角，易知∠OBA＝45°， ∴∠OAB＝45°，∴∠xAB＝135°，即直线 l2 的倾斜角为 135°.
1.1 直线的斜率与倾斜角
(2)如果 x1＝x2，那么直线 l 的斜率不存在． (3)对于与 x 轴不垂直的直线 l，它的斜率也可以看作 k＝yx22－－yx11＝ 纵横坐坐标标的的增增量量＝ΔΔyx.
1.1 直线的斜率与倾斜角
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直线的斜率与倾斜角ppt
斜率的计算公式
对于直线上的两点$(x_1, y_1)$和 $(x_2, y_2)$，斜率$m$可由下式计算： $m = frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$。
当$x_2$与$x_1$相等时，斜率不存在 ，表示直线垂直于x轴。
斜率与倾斜角的关系
斜率与倾斜角$alpha$之间存在一一 对应关系，即斜率等于倾斜角正切值， 即$m = tanalpha$。
倾斜角定义
直线倾斜角是指直线与x 轴正方向之间的夹角，通 常用α表示，取值范围为 [0,π)。
计算方法
斜率m=tan(α)，其中α为 直线的倾斜角。
直线的斜率与倾斜角的关系及应用
关系
直线的斜率与倾斜角α是线性关系，即 m=tan(α)。当α在[0,π/2)范围内时，斜 率为正，表示直线从左下到右上上升； 当α在(π/2,π)范围内时，斜率为负，表 示直线从左上到右下下降。
直线的斜率与倾斜角
目录
• 直线的斜率 • 直线的倾斜角 • 直线的斜率与倾斜角的应用 • 特殊情况的讨论 • 总结与回顾
01 直线的斜率
斜率的定义
01
斜率是直线在平面上的倾斜程度 ，表示为直线上的任意两点间纵 坐标差与横坐标差之商。
02
斜率是直线的重要属性，用于描 述直线的方向和倾斜程度，是解 析几何中重要的概念之一。
中研究直线的基础。
计算距离和角度
利用直线的斜率和倾斜角，可以计 算直线上的点到直线的垂直距离， 以及两条直线之间的夹角。
解决几何问题
在解决几何问题时，如求两条直线 的交点、判断直线与圆的位置关系 等，需要使用直线的斜率和倾斜角。
在物理学中的应用
描述运动轨迹
在物理学中，直线的斜率和倾斜 角可以用来描述物体的运动轨迹， 如自由落体运动、抛物线运动等。
直线和方程讲义
直线与方程讲义教学过程（内容）备注一．直线的倾斜角与斜率1.当直线与轴相交时，我们把轴正方向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角.则直线的倾斜角的范围是.2.倾斜角不是90°的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即.特别地是，当，时，直线与x轴垂直，斜率不存在；当，时，直线与轴垂直，斜率注意：当直线与x轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0°，斜率当直线与y轴平行或者重合时，.直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，当时， 斜率，随着α的增大，斜率也增大；当时，斜率，随着α的增大，斜率也增大.如果知道直线上两点，则有斜率公式.三点共线的充要条件是练习1．直线的倾斜角和斜率分别是（）A． B． C．，不存在 D．，不存在1．若三点共线 则的值为_____________2．如果直线沿轴负方向平移个单位再沿轴正方向平移个单位后，又回到原来的位置，那么直线 的斜率是_____________________3．已知点，若直线过点与线段相交，求直线的斜率的取值范围3．若过点的直线与过点的直线平行，则= .两点式：截距式：一般式：，注意A、B不同时为0.直线一般式方程化为斜截式方程，表示斜率为，y轴上截距为的直线.例：在方程中，A,B,C为何值时，方程表示的直线：（1）过原点（2）与轴重合？（3）平行于轴？练习1．已知点，则线段的垂直平分线的方程是______________2．已知，则直线通过（）A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限3．直线，当变动时，所有直线都通过定点（）A． B． C． D．3．已知直线过点，求过点P且与直线所夹的锐角为的直线的方程。
4．过点作一直线，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积．四．两条直线的平行与垂直1．对于两条直线：（1）（2）2.对于两条直线：（1）（2）3.与直线平行的直线可设为。
1.1直线的倾斜角和斜率
解析几何是17世纪法国数学家笛卡尔和费马创立 的。解析几何的创立是数学发展史上的一个里程 碑，数学从此由常量数学进入变量数学时期。解 析几何由此成为近代数学的基础之一。
坐标法是以坐标系为桥梁，把几何问题转化为代 数问题，通过代数运算研究几何图形性质的方法， 它是解析几何中最基本的研究方法。
y
l
y
l
p
p
o
x
o
x
在平面直角坐标系中，过一点的任意直线相
对x轴的位置有哪些情形？请画出这些直线的
倾斜角，并用你自己的语言说说倾斜角的三
要素。
y
l
p
o x
y
ly
p
o x
p
o
x
y
p
l
o
x
l
倾斜角的范围是什么？
特别地,当与x轴平行或重合时,规定倾斜角为0° 倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°
倾斜角
α=0o 0o＜α＜900 α=90o 90o＜α＜1800
斜率k的范 围
K=0
k＞0
K不存在 k＜0
斜率k的增 减
逐渐增大
逐渐增大
探究：由两点确定的直线的斜率
锐角
钝角
y
y2
P2 (x2, y2 )
y1
Q(x2, y1)
P1(x1, y1)
o x1
x2 x
k
tan tanP2P1Q
跟踪训练
下列图中标出的直线的倾斜角对不对？
y
o
x
y
y
o
x o
y
x
o
x
（1）
直线的倾斜角与斜率(原卷版)--新高二暑假数学讲义
第5讲直线的倾斜角与斜率新课标要求①在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素。
②理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式。
③能根据斜率判定两条直线平行或垂直。
知识梳理一、直线的倾斜角定义当直线l 与x 轴相交时,以x 轴为基准,x 轴正向与直线l 向上的方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角规定当直线l 与x 轴平行或重合时,规定直线l 的倾斜角为0°记法α图示范围0°≤α<180°作用(1)表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度;(2)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是:直线上的一个定点以及它的倾斜角,二者缺一不可二、直线的斜率定义(α为直线的倾斜角)α≠90°一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率α=90°直线斜率不存在记法常用小写字母k 表示,即k=tan α范围R作用用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度三、直线的斜率公式如果直线经过两点P (x ,y ),P (x ,y ),(x ≠x ),则直线的斜率公式为k=y 2-y 1x -x .四、两条直线平行与斜率之间的关系设两条不重合的直线l 1,l 2,倾斜角分别为α1,α2,斜率存在时斜率分别为k 1,k 2.则对应关系如下:前提条件α1=α2≠90°α1=α2=90°对应关系l 1∥l 2⇔k 1=k 2l 1∥l 2⇔两直线斜率都不存在图示五、两条直线垂直与斜率之间的关系对应关系l 1与l 2的斜率都存在,分别为k 1,k 2,则l 1⊥l 2⇔k 1·k 2=-1l 1与l 2中的一条斜率不存在,另一条斜率为零,则l 1与l 2的位置关系是l 1⊥l 2.图示名师导学知识点1直线的斜率与倾斜角及其关系【例1-1】（广州期末）直线2y =-的倾斜角是()A ．3πB ．4πC ．6πD ．56π【例1-2】（三明期末）已知直线a 的倾斜角为45︒，则a 的斜率是()A ．1B ．2C ．3D ．4【变式训练1-1】（舟山期末）直线1y x =+的倾斜角是()A ．6πB ．4πC ．2πD ．34π【变式训练1-2】（钦州期末）直线1y =+的倾斜角为()A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒知识点2过两点的直线的斜率【例2-1】（南京期末）若直线l 经过两点(1,3)-，(3,3)-，则直线l 的斜率为()A ．23B ．23-C ．32D ．32-【例2-2】（玉林期末）已知直线l 过点(A -，(2,)B m 两点，若直线l 的倾斜角是23π，则(m =)A ．-B ．0C ．D ．【变式训练2-1】（徐州期末）已知点(1,6)M ，(7,3)N ，则直线MN 的斜率为()A ．2-B ．12-C ．12D ．2【变式训练2-2】（宁波期末）一条直线过点A (1,0)和(2,3)B -，则该直线的倾斜角为()A ．30°B ．45°C ．135°D ．150︒知识点3直线斜率的运用【例3-1】(江西赣州高一期末)已知直线l 过点P(-1,-2),且与以A(-2,3),B(3,0)为端点的线段相交,若直线l 的斜率存在,则直线l 斜率的取值范围为.【例3-2】（红桥区期中）已知(1,2)A -、(2,0)B 、(,3)C x ，且A 、B 、C 三点共线，则x =．【变式训练3-1】设点A(3,-5),B(-2,-2),直线l 过点P(1,1)且与线段AB 相交,则直线l 的斜率k 的取值范围是()A.(-∞,-3]∪[1,+∞)B.[-3,1]C.[-1,3]D.以上都不对【变式训练3-2】（绍兴期末）已知点(1,1)A ，(0,1)B -，(,)C a b 在同一直线上，则2a b -=．知识点4两直线平行的判定【例4-1】（济南校级月考）判断下列各小题中的直线l 1与l 2是否平行:(1)l 1经过点A (-1,-2),B (2,1),l 2经过点M (3,4),N (-1,-1);(2)l 1的斜率为1,l 2经过点A (1,1),B (2,2);(3)l 1经过点A (0,1),B (1,0),l 2经过点M (-1,3),N (2,0);(4)l 1经过点A (-3,2),B (-3,10),l 2经过点M (5,-2),N (5,5).【变式训练4-1】（长高一调研）已知A (-2,m ),B (m ,4),M (m+2,3),N (1,1),若AB ∥MN ,则m 的值为.知识点5两直线垂直的判定【例5-1】（合肥质检）(1)直线l 1经过点A (3,2),B (3,-1),直线l 2经过点M (1,1),N (2,1),判断l 1与l 2是否垂直;(2)已知直线l 1经过点A (3,a ),B (a-2,3),直线l 2经过点C (2,3),D (-1,a-2),若l 1⊥l 2,求a 的值.【变式训练5-1】（全国高二课时练习）已知直线1l 经过()3,4A -，()8,1B --两点，直线2l 的倾斜角为135 ，那么1l 与2l （）A ．垂直B ．平行C ．重合D ．相交但不垂直知识点6平行与垂直的综合应用【例6-1】如图所示,在平面直角坐标系中,四边形OPQR 的顶点坐标按逆时针顺序依次为O (0,0),P (1,t ),Q (1-2t ,2+t ),R (-2t ,2),其中t>0.试判断四边形OPQR 的形状.【变式训练6-1】（湖南衡阳五中月考）已知在平行四边形ABCD 中，(1,2),(5,0),(3,4)A B C .（1）求点D 的坐标；（2）试判断平行四边形ABCD 是否为菱形.名师导练A 组-[应知应会]1．（淮安期中）已知直线:3l x π=，则直线l 的倾斜角为()A ．3πB ．2πC ．4πD ．6π2．（广陵区校级期中）若直线l 经过坐标原点和(3,3)-，则它的倾斜角是()A ．135︒B ．45︒C ．45︒或135︒D ．45-︒3．，则此直线的倾斜角等于()A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒4．（郑州期末）过两点(0,)A y ，3)B -的直线的倾斜角为60︒，则(y =)A ．9-B ．3-C ．5D ．65．（银川一中高二月考）已知，过A (1,1)、B (1，－3)两点的直线与过C (－3，m )、D (n,2)两点的直线互相垂直，则点(m ，n )有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个6．（沙坪坝区校级期末）过点(2,1)A ，(,3)B m 的直线的倾斜角α的范围是3(,)44ππ，则实数m 的取值范围是()A ．02m <B ．04m <<C ．24m <D ．02m <<或24m <<7．（公安县期末）若直线l 经过(2,1)A ，(1B ，2)()m m R -∈两点，则直线l 的倾斜角α的取值范围是()A ．04παB ．2παπ<<C ．42ππα<D ．324ππα<8．（多选）（惠州期末）如图，直线1l ，2l ，3l 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，倾斜角分别为1α，2α，3α，则下列选项正确的是()A ．132k k k <<B ．321k k k <<C ．132ααα<<D ．321ααα<<9．（多选）（无锡期末）下列关于直线的斜率和倾斜角的叙述正确的有()A ．平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角B ．平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率C ．若一条直线的斜率为tan α，则该直线的倾斜角为αD ．若一条直线的倾斜角为(90)αα≠︒，则该直线的斜率为tan α10．（多选）下列命题中正确的为()A.若两条不重合的直线的斜率相等，则它们平行；B.若两直线平行，则它们的斜率相等；C.若两直线的斜率之积为1-，则它们垂直；D.若两直线垂直，则它们的斜率之积为1-.11．（资阳期末）若过点(4,)A a ，(2,3)B -的直线的倾斜角为34π，则a =．12．（宜兴市月考）若直线l 的斜率为1，则直线l 的倾斜角为．13．（北碚区校级期末）已知两点(3,4)A -，(3,2)B ，直线l 经过点(2,1)P -且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是．14．（闵行区期末）若直线l 的倾斜角的范围为[4π，3π，则l 的斜率的取值范围是．15．已知()1,0A ，()3,2B ，()0,4C ，点D 满足AB CD ⊥，且//AD BC ，则点D 的坐标为______16．（金凤区校级期末）若三点(3,1)A ，(2,)B b -，(8,11)C 在同一直线上，则实数b 等于．17．（山东潍坊三中期中）判断下列各小题中的直线l 1与l 2的位置关系．(1)l 1的斜率为－10，l 2经过点A (10,2)，B (20,3)；(2)l 1过点A (3,4)，B (3,100)，l 2过点M (－10,40)，N (10,40)；(3)l 1过点A (0,1)，B (1,0)，l 2过点M (－1,3)，N (2,0)；(4)l 1过点A (－3,2)，B (－3,10)，l 2过点M (5，－2)，N (5,5)．18．（平遥县月考）已知直线l 过点(1,2)A ，(,3)B m ，求直线l 的斜率和倾斜角的取值范围．19．（全国课时练）已知()222,3A m m +-，()23,2B m m m --，()21,32C n n +-三点，若直线AB 的倾斜角为45︒，且直线AC AB ⊥，求点A ，B ，C 的坐标．20．（武城县校级月考）（1）求证：(1,1)A -，(2,7)B --，(0,3)C -三点共线．（2）若三点1(2,3),(3,4),(,)2A B m C m --共线，求m 的值．21．（芜湖期末）已知点(5,1)A -，(1,1)B ，(2,)C m ．（1）若A ，B ，C 三点共线，求实数m 的值．（2）若ABC ∆为直角三角形，求实数m 的值．22．（静宁县校级期末）已知(1,1)M -，(2,2)N ，(3,0)P ．（1）求点Q 的坐标，满足PQ MN ⊥，//PN MQ ．（2）若点Q 在x 轴上，且NQP NPQ ∠=∠，求直线MQ 的倾斜角．23．（孝感期末）已知(1,3)A ，(5,1)B ，(3,7)C ，A ，B ，C ，D 四点构成的四边形是平行四边形，求点D 的坐标．B 组-[素养提升]1．（芜湖期末）已知直线l 方程为(,)0f x y =，11(P x ，1)y 和22(P x ，2)y 分别为直线l 上和l 外的点，则方程(f x ，1)(y f x -，12)(y f x -，2)0y =表示()A ．过点1P 且与l 垂直的直线B ．与l 重合的直线C ．过点2P 且与l 平行的直线D ．不过点2P ，但与l 平行的直线2．（全国月考）中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家张遂在编制《大衍历》中发明了一种二次不等距插值算法：若函数()y f x =在1x x =，2x x =，3123()x x x x x =<<处的函数值分别为11()y f x =，22()y f x =，33()y f x =，则在区间1[x ，3]x 上()f x 可以用二次函数来近似代替：111212()()()()f x y k x x k x x x x =+-+--，其中21121y y k x x -=-，3232y y k x x -=-，131z k k k x x -=-．若令10x =，22x π=，3x π=，请依据上述算法，估算sin5π的值是()A ．1425B ．35C ．1625D ．17253．（越城区校级期中）已知两点(1,2)A -，(,3)B m ．且实数3[13m ∈--1]-，求直线AB 的倾斜角α的取值范围．。
《直线的倾斜角与斜率》教案及说明
《直线的倾斜角与斜率》教案及说明一、教学目标1. 理解直线的倾斜角的概念，能够求出直线的倾斜角。
2. 掌握直线的斜率与倾斜角的关系，能够计算直线的斜率。
3. 能够运用直线的倾斜角和斜率解决实际问题。
二、教学内容1. 直线的倾斜角的概念：直线与x轴正方向所成的角称为直线的倾斜角。
2. 直线的斜率与倾斜角的关系：直线的斜率k等于tan(倾斜角)。
3. 直线的斜率的计算：给定直线的倾斜角，可以计算出直线的斜率。
三、教学方法1. 采用讲解法，讲解直线的倾斜角的概念和斜率与倾斜角的关系。
2. 采用例题解析法，通过例题讲解如何计算直线的斜率。
3. 采用练习法，让学生通过练习题巩固所学知识。
四、教学步骤1. 导入新课：通过提问方式引导学生回顾初中阶段学习的直线倾斜角的概念。
2. 讲解直线的倾斜角的概念，解释斜率与倾斜角的关系。
3. 讲解直线的斜率的计算方法，并通过例题进行讲解。
4. 布置练习题，让学生巩固所学知识。
五、教学评价1. 课堂讲解：评价学生对直线倾斜角的概念和斜率与倾斜角的关系的理解程度。
2. 练习题：评价学生运用直线的倾斜角和斜率解决问题的能力。
说明：本教案分为五个部分，包括教学目标、教学内容、教学方法、教学步骤和教学评价。
在教学过程中，要注意引导学生理解直线的倾斜角的概念，掌握斜率与倾斜角的关系，并通过练习题让学生巩固所学知识。
教案中的教学内容可以根据实际情况进行调整。
六、教学拓展1. 讨论斜率的正负性：解释当倾斜角大于45度时，斜率为正；小于45度时，斜率为负。
2. 探究斜率与倾斜角的关系：引导学生通过绘制不同倾斜角的直线，观察斜率的变化。
七、实际应用1. 生活实例：举例说明直线的倾斜角和斜率在生活中的应用，如建筑物的屋顶斜率、道路的坡度等。
2. 数学应用：引导学生运用直线的倾斜角和斜率解决数学问题，如计算直线与坐标轴的交点、直线的方程等。
八、课堂小结1. 回顾本节课所学的内容，强调直线的倾斜角的概念和斜率与倾斜角的关系。
高中数学同步课件 直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系
因为－1≤sin α≤1，
所以k∈[－1，1]. 所以－1≤3－32m≤1， 解得 0≤m≤3.
思维升华
一般地，若已知 a＝(u，v)为直线 l 的一个方向向量，则 λa(λ∈R，且 λ≠0) 均是直线 l 的方向向量，且有 (1)当 u＝0 时，直线 l 的斜率不存在，倾斜角为 90°； (2)当 u≠0 时，直线 l 的斜率存在，此时(1，k)与 a＝(u，v)都是直线 l 的方向向量，由直线的任意两个方向向量共线可知 1×v＝k×u，从而 k ＝vu，因此可知倾斜角 α 满足 tan α＝vu.
(2)若π4≤α≤34π，求斜率 k 的取值范围；
由正切函数的性质，可得当π4≤α＜π2时，k＝tan α≥1； 当π2＜α≤34π时，k＝tan α≤－1；当 α＝π2时，斜率 k 不存在. 综上，斜率 k 的取值范围是{k|k≤－1，或 k≥1}. 特别地，当 α＝π2时，斜率 k 不存在.
(3)若－ 3≤k≤－ 33，求倾斜角 α 的取值范围； 由－1≤k≤ 3，可得－1≤tan α≤ 3. 又 0≤α＜π，所以由正切函数的性质， 得倾斜角 α 的取值范围是α23π≤α≤56π.
(2)直线 l 经过 A(2，1)，B(3，t2)(t∈R)两点，则直线 l 的倾斜角的取值范围是
A.0，π4
√C.0，π2∪34π，π
B.0，π D.0，π4∪π2，π
由题意得，直线l的斜率k＝t2－1≥－1， 故tan α≥－1，
根据正切函数的图象与性质可知， 0≤α＜π2或34π≤α＜π.
1.1直线的倾斜角和斜率
作业： 必做： 课本P63 练习
3、4、5
选做：求经过点A（m,3），B（1,2） 两点的直线的斜率，并指出倾斜角的 取值范围。
检测题：
1.直线x=1、直线y=1的倾斜角 分别为 多少度?斜率呢？ 2.若过点M（-2，m），N（m,4） 的直线的倾斜角为 45 ， 求m的值。 3.已知A（x,0）和B（2, 3）， 且直线的倾斜角为 60 ，求直线AB 的斜率和x的值。
倾 斜 角 斜 率
加强训练： 经过下列两点的直线的斜率是否存 在？若存在，求出其斜率，并判断其 倾斜角是锐角还是钝角。 （1）（1,1）， （2,4） （2）（-3,5）， （0,2） （3）（4,4）， （4,5） （4）（10,2），（-10,2）
1.1 直线的倾斜角和斜率
学Байду номын сангаас目标
1.理解直线的倾斜角、斜率的 概念. 2.掌握过两点的直线的斜率公 式.
自学指导 请认真看课本P59-P62练习前的内 容，注意以下几个方面： 1.确定直线位置的几何条件是什么？ 2.斜率与倾斜角的关系是什么 ？ 3.过两点的直线斜率如何计算？ 4.学习例1如何计算直线的斜率？ 8分钟后，比谁能用本节知识做对 检测题。
直线的倾斜角与斜率 课件
斜率 _0__
k＞0 _不__存__在__
k＜0
y2－y1
4.公式：经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式 k＝_x_2_－__x_1.
[化解疑难] 1．直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率．当倾斜角是 90°时， 直线的斜率不存在，并不是该直线不存在，此时，直线垂直于 x 轴(平行于 y 轴或与 y 轴重合)． 2．当 0°≤α＜90°时，斜率越大，直线的倾斜程度越大；当 90°＜α＜180° 时，斜率越大，直线的倾斜程度也越大.
[特别提醒] 在[0°，180°)范围内的一些特殊角的正切值要熟记．
倾斜角 α 0° 30° 45° 60° 120° 135° 150°
斜率 k
0
3 3
1
3
－ 3 －1
－
3 3
直线的斜率 1．定义：倾斜角不是 90°的直线，它的__正__切__值___叫作这条直线的斜率． 2．记法：斜率常用___k__表示，即__k_＝__ta_n__α__. 3．斜率与倾斜角的对应关系
图示
倾斜角 α＝0° 0_°__＜__α__＜__9_0_° α＝90° _9_0_°__＜__α_＜__1_8_0_°
[归纳升华] 1．根据定义求直线的倾斜角的关键是根据题意画出草图，则直线向上的 方向与 x 轴的正方向所成的角，即为直线的倾斜角． 2．直线的斜率 k 随倾斜角 α 增大时的变化情况： ①当 0°≤α＜90°时，随 α 的增大，k 在[0，＋∞)范围内增大； ②当 90°＜α＜180°时，随 α 的增大，k 在(－∞，0)范围内增大.
解析： (1)直线 AB 的斜率 k＝tan 135°＝－1， 又 k＝－2－3－4y，由－2－3－4y＝－1，得 y＝－5. (2)由斜率公式 k＝4m－＋m2＝1，得 m＝1. (3)当 m＝3 时，直线 AB 平行于 y 轴，斜率不存在． 当 m≠3 时，k＝－m2－－31＝－m－3 3＝1，解得 m＝0. 答案： (1)－5 (2)1 (3)0
直线的倾斜角与斜率1hao
例1 、如图，已知A(4,2)、B(-8,2)、C(0,-2)，求直线AB、BC、CA的斜率，并判断这 些直线的倾斜角是什么角？
y
x
o
.
.
.
.
..... Nhomakorabea.
A
B
C
直线AB的斜率
202X
单击此处添加副标题
第二章1.直线与直线的方程
1.1直线的倾斜角与斜率
汇报日期
下图是一段登山路线。
[问题1] 同样是登山，从A处到B处、与从B处到C处哪一段会感觉比较轻松，哪一段会感觉比较吃力。想想看，为什么？
y/m
x/m
o
xB
xC
yB
yC
“陡峭” 是生活用语，如何量化曲线AB、BC的陡峭程度呢？
按倾斜角去分类，直线可分几类？
倾斜角相同能确定一条直线吗？
相同倾斜角可作无数互相平行的直线
体现了直线对x轴正方向的倾斜程度 在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角。
3、直线倾斜角的意义
4、如何才能确定直线位置？
一点+倾斜角 确定一条直线
过一点且倾斜角为 能不能确定一条直线？
01
倾斜角为锐角时,k>0;倾斜角为钝角时,k<0;倾斜角为00时,k=0.
倾斜角为900时,k不存在。
02
例如：
思考?日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？
如图3.1-3，日常生活中，我们经常用“升高量与前进量的比”表示倾斜面的“坡度”（倾斜程度），即
升高量
前进量
A
B
C
直线的倾斜角与斜率、直线的方程-讲义
直线的倾斜角与斜率、直线的方程知识点1 直线的倾斜角与斜率1直线的倾斜角(1) 定义当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.特别地，当直线l与x轴平行或重合时，规定α=0∘.(2)范围α∈[0∘ ,180∘).l与x轴垂直时， α=90∘.2直线的斜率(1)定义直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，记作k=tan α(α≠90∘) .当直线l与x轴平行或重合时，α=0∘， k=tan 0∘=0;当直线l与x轴垂直时， α=90∘ ,k不存在.(2)倾斜角α与斜率k之间的关系k=tan α，α∈[0∘ ,180∘)，如左图，当α∈[0∘ ,90∘)时，k(α)是递增的；右图中斜率为k1 ,k2的直线对应的倾斜角为α1 ,α2，其中0<α2<α1<π，而k1>k2>0；2如左图，当α∈(90∘ ,180∘)时，k(α)也是递增的；右图中斜率为k3 ,k4的直线对应的倾斜角为α3 ,α4，<α3<α4<π，而k3<k4<0.其中π2(斜率大小看倾斜角，直线越陡斜率绝对值|k|越大)(3) 斜率公式.经过两点P1(x1 ,y1) ,P2(x2 ,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式是 k=y2−y1x2−x1使用斜率公式的时候要注意x1≠x2的前提条件.(4)求斜率的方法(1)已知直线上两点，根据斜率公式k==y2−y1(x1≠x2)求斜率；x2−x1(2)已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数根据k=tan α(α≠90∘)来求斜率.(5) 利用斜率证明三点共线的方法已知A(x1 ,y1) ,B(x2 ,y2) ,C(x3 ,y3) ，若x1=x2=x3或k AB=k BC，则有A、B、C三点共线.知识点2直线的方程1 直线方程的几种形式(1) 利用点斜式求直线方程时，需要先判断斜率存在与否.(2) 截距与距离的区别：截距的值有正、负、零.距离的值是非负数.(3) 用截距式方程表示直线时，要注意方程的条件限制为两个截距均不能为零.【题型一】直线的倾斜角与斜率的关系π，则m的值为. 【典题1】已知直线过A(3,m+1),B(4,2m+1)两点且倾斜角为56【典题2】直线x+ycosθ−5=0的倾斜角α的取值范围是.【典题3】设点A(2 ,−3)，B(−3 ,−2)，直线l过点P(1 ,1)且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围为.课堂练习1下列叙述正确的是()A．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率B．直线倾斜角α的取值范围是0°≤α<180°C．若一条直线的倾斜角为α(α≠90°)，则此直线的斜率为tanαD．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是0°或90°2 若直线经过两点A(m ,2)，B(−m ,2m−1)且倾斜角为45°，则m的值为.3 已知在直角坐标系中，等边△ABC中A与原点重合，若AB的斜率为√3，则BC的斜率可能2为.4已知θ∈R，则直线xsinθ−√3y+1=0的倾斜角的取值范围是.5直线l经过点A(2,1),B(3,t2)，(−√2≤t≤√2)，则直线l倾斜角的取值范围是.6已知两点A(−3 ,4)，B(3 ,2)，过点P(1 ,0)的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是.7P(x ,y)在线段AB上运动，已知A(2 ,4) ,B(5 ,−2)，则y+1的取值范围是.x+1【题型二】求直线方程【典题1】根据所给条件求直线方程(1)直线过点A(3 ,2)，倾斜角α的正弦值为35；(2)直线过点A(1 ,3)，且在两坐标轴上的截距之和为8；(3)直线过点A(2 ,4)，B(−3 ,8).课堂练习1【多选题】下列说法中，正确的有()A．过点P(1 ,2)且在x、y轴截距相等的直线方程为x+y−3=0B．直线y=3x−2在y轴上的截距为−2C．直线x−√3y+1=0的倾斜角为60°D．过点(5 ,4)并且倾斜角为90°的直线方程为x−5=02【多选题】下列有关直线l：x+my−1=0(m∈R)的说法中不正确的是()A．直线l的斜率为−m B．直线l的斜率为−1 mC．直线l过定点(0 ,1)D．直线l过定点(1 ,0)3已知直线mx+3y−12=0在两个坐标轴上截距之和为7，则实数m的值为.4 若直线过点(1 ,1)且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，则这样的直线有条.5 已知等边△ABC的两个顶点A(0 ,0) ,B(4 ,0)，且第三个顶点在第四象限，则BC边所在的直线方程是.【题型三】直线方程的综合运用【典题1】设直线l：(3+2λ)x+(4+λ)y−19−6λ=0 ,(λ∈R)．(1)求证：直线l恒过定点M，并求出定点M坐标；(2)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；(3)设直线l与x轴、y轴的正半轴交于点A ,B，求当|MA||MB|(点M为(1)中的定点)取得最小值时直线l的方程．【典题2】 如图，将一块等腰直角三角板ABO 置于平面直角坐标系中，已知AB =OB =1，AB ⊥OB ，点P(12 ,14)是三角板内一点，现因三角板中部分(△POB 内部，不含边界)受损坏，要把损坏的部分锯掉，可用经过P 的任意一直线MN 将其锯成△AMN ． (1)求直线MN 的斜率的取值范围；(2)若P 点满足MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，这样的直线MN 是否存在，如不存在，请说明理由；若存在，求出此时直线MN 的方程；(3)如何确定直线MN 的斜率，才能使锯成的△AMN 的面积取得最大值和最小值？并求出最值．课堂练习1已知直线l的方程为：(2+m)x+(1−2m)y+(4−3m)=0．(1)求证：不论m为何值，直线必过定点M；(2)过点M引直线l1，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求l1的方程．2已知直线l经过点P(3 ,2)．(1)若直线l在x轴、y轴上的截距互为相反数，求直线l的方程；(2)若直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A ,B两点．当|PA|2+|PB|2取得最小值时，求直线l的方程．3如图，射线OA ,OB与x轴正半轴的夹角分别为45°和30°，过点P(1 ,0)的直线l分别交OA，OB于点A ,B．(1)当线段AB的中点为P时，求l的方程；(2)当线段AB的中点在直线y=x2上时，求l的方程．4 已知直线l：kx－y+1+2k=0(k∈R)．(1)证明：直线l过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程．5 在直角坐标系中，已知射线OA：x−y=0(x≥0)，过点P(3 ,1)作直线分别交射线OA，x轴正半轴于点A、B．(1)当AB的中点为P时，求直线AB的方程；(2)求PA∙PB的最小值．。
直线倾斜角和斜率资料
求该直线的斜率.
5
解:
(1)当a 0时, cos 0, 900 , k不存在;
(2)当a 0时,| a | 5, [0, ),
sin
a2 1
25 a2 ,
k
tan
25
s
in
5
25 a2 .
cos
a
所以,当a 0时所求直线的斜率不存 在;
当a 0时所求直线的斜率为
25 a2 .
第22页/共44页
22
数学应用
例2：经过点A(3,2)画直线，使直线的斜率 分别为① 0，② 不存在， ③ 2， ④ -2.
解：① 过(3，2)，(0，2)
画一条直线即得
y
②过(3，2)，(3，0) 画一条直线即得
3
2
1
A(3,2）
o 123
x
第23页/共44页
23
数学应用
例2：经过点A(3，2)画直线，使直线的斜率
到点（4）4，，2）再，向上平移2个单位后得到点（4，o 1 2 3 4
x
因此通过点(3，2)，(4，4)画直线即为所求 ④ 将点(3，2)向右平移1个单位，再向下平移2个单位后 得到点(4，0)，过(3，2)和(4，0)画直线即为所求
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练习
2．在图中的直线l1, l2 , l3的斜率k1 , k2y , k3的大小
27
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已知三点A(-3,-3),B(-1,1),C(2,7),
求KAB，KBC
KAB=2
KBC=2
问题9：如果KAB=KBC,那么A、B、C三点有怎样的关系？
A、B、C三点共线
28
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直线的倾斜角和斜率.doc
直线的倾斜角和斜率教学目标（1）了解直线方程的概念．（2）正确理解直线倾斜角和斜率概念．理解每条直线的倾斜角是唯一的，但不是每条直线都存在斜率．（3）理解公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．（4）通过直线倾斜角概念的引入和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．（5）通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．教学建议1．教材分析（1）知识结构本节内容首先根据一次函数与其图像——直线的关系导出直线方程的概念；其次为进一步研究直线，建立了直线倾斜角的概念，进而建立直线斜率的概念，从而实现了直线的方向或者说直线的倾斜角这一直线的几何属性向直线的斜率这一代数属性的转变；最后推导出经过两点的直线的斜率公式．这些充分体现了解析几何的思想方法．（2）重点、难点分析①本节的重点是斜率的概念和斜率公式．直线的斜率是后继内容展开的主线，无论是建立直线的方程，还是研究两条直线的位置关系，以及讨论直线与二次曲线的位置关系，直线的斜率都发挥着重要作用．因此，正确理解斜率概念，熟练掌握斜率公式是学好这一章的关键．②本节的难点是对斜率概念的理解．学生对于用直线的倾斜角来刻画直线的方向并不难接受，但是，为什么要定义直线的斜率，为什么把斜率定义为倾斜角的正切两个问题却并不容易接受．2．教法建议（1）本节课的教学任务有三大项：倾斜角的概念、斜率的概念和斜率公式．学生思维也对应三个高潮：倾斜角如何定义、为什么斜率定义为倾斜角的正切和斜率公式如何建立．相应的教学过程也有三个阶段①在教学中首先是创设问题情境，然后通过讨论明确用角来刻画直线的方向，如何定义这个角呢，学生在讨论中逐渐明确倾斜角的概念．②本节的难点是对斜率概念的理解．学生认为倾斜角就可以刻画直线的方向，而且每一条直线的倾斜角是唯一确定的，而斜率却不这样．学生还会认为用弧度制表示倾斜角不是一样可以数量化吗．再有，为什么要用倾斜角的正切定义斜率，而不用正弦、余弦或余切哪?要解决这些问题，就要求教师帮助学生认识到在直线的方程中体现的不是直线的倾斜角，而是倾斜角的正切，即直线方程（一次函数的形式，下同）中x的系数恰好就是直线倾斜角的正切．为了便于学生更好的理解直线斜率的概念，可以借助几何画板设计：(1) α变化→直线变化→ 中的系数变化（同时注意的变化）． (2) 中的系数变化→直线变化→α变化（同时注意的变化）．运用上述正反两种变化的动态演示充分揭示直线方程中系数与倾斜角正切的内在关系，这对帮助学生理解斜率概念是极有好处的．③在进行过两点的斜率公式推导的教学中要注意与前后知识的联系，课前要对平面向量，三角函数等有关内容作一定的复习准备．④在学习直线方程的概念时要通过举例清晰地指出两个条件，最好能用充要条件叙述直线方程的概念，强化直线与相应方程的对应关系．为将来学习曲线方程做好准备．（2）本节内容在教学中宜采用启发引导法和讨论法，设计为启发、引导、探究、评价的教学模式．学生在积极思维的基础上，进行充分的讨论、争辩、交流、和评价．倾斜角如何定义、为什么斜率定义为倾斜角的正切和斜率公式的建立，这三项教学任务都是在讨论、交流、评价中完成的．在此过程中学生的思维和能力得到充分的发展．教师的任务是创设问题情境，引发争论，组织交流，参与评价．教学设计示例教学目标：（1）了解直线方程的概念，正确理解直线倾斜角和斜率概念，（2）理解公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．（3）培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．（4）帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．教学重点、难点：直线斜率的概念和公式教学用具：计算机教学方法：启发引导法，讨论法教学过程：（一）直线方程的概念如图1，对于一次函数，和它的图像——直线有下面关系：（1）有序数对（0，1）满足函数，则直线上就有一点A，它的坐标是（0，1）．（2）反过来，直线上点B（1，3），则有序实数对（1，3）就满足．一般地，满足函数式的每一对，的值，都是直线上的点的坐标（，）；反之，直线上每一点的坐标（，）都满足函数式，因此，一次函数的图象是一条直线，它是以满足的每一对x，y的值为坐标的点构成的．从方程的角度看，函数也可以看作是二元一次方程，这样满足一次函数的每一对，的值“变成了”二元一次方程的解，使方程和直线建立了联系．定义：以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的所有点坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线就叫做这个方程的直线．以上定义改用集合表述：，的二元一次方程的解为坐标的集合，记作．若（1）（2），则．问：你能用充要条件叙述吗？答：一条直线是一个方程的直线，或者说这个方程是这条直线的方程的充要条件是……．（二）直线的倾斜角【问题1】请画出以下三个方程所表示的直线，并观察它们的异同．；；过定点，方向不同．如何确定一条直线？两点确定一条直线．还有其他方法吗？或者说如果只给出一点，要确定这条直线还应增加什么条件？学生：思考、回忆、回答：这条直线的方向，或者说倾斜程度．【导入】今天我们就共同来研究如何刻画直线的方向．【问题2】在坐标系中的一条直线，我们用怎样的角来刻画直线的方向呢？讨论之前我们可以设想这个角应该是怎样的呢？它不仅能解决我们的问题，同时还应该是简单的、自然的．学生：展开讨论．学生讨论过程中会有错误和不严谨之处，教师注意引导．通过讨论认为：应选择α角来刻画直线的方向．根据三角函数的知识，表明一个方向可以有无穷多个角，这里只需一个角即可（开始时可能有学生认为有四个角或两个角），当然用最小的正角．从而得到直线倾斜角的概念．【板书】定义：一条直线l向上的方向与轴的正方向所成的最小正角叫做直线的倾斜角．（教师强调三点：（1）直线向上的方向，（2）轴的正方向，（3）最小正角．）特别地，当与轴平行或重合时，规定倾斜角为0°．由此定义，角的范围如何？0°≤α＜180°或0≤α＜π 如图3 至此问题2已经解决了，回顾一下是怎么解决的．（三）直线的斜率【问题3】下面我们在同一坐标系中画出过原点倾斜角分别是30°、45°、135°的直线，并试着写出它们的直线方程．然后观察思考：直线的倾斜角在直线方程中是如何体现的？学生：在练习本上画出直线，写出方程．30° ß--à ＝45° ß--à ＝135°ß--à ＝（注：学生对于写出倾斜角是45°、135°的直线方程不会困难，但对于倾斜角是30°可能有困难，此时可启发学生借用三角函数中的30°角终边与单位圆的交点坐标来解决．）【演示动画】观察直线变化，倾斜角变化，直线方程中系数变化的关系 (1) 直线变化→α变化→ 中的系数变化（同时注意α的变化）． (2) 中的x系数k变化→直线变化→α变化（同时注意α的变化）．教师引导学生观察，归纳，猜想出倾斜角与的系数的关系：倾斜角不同，方程中的系数不同，而且这个系数正是倾斜角的正切！【板书】定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率．记作，即．这样我们定义了一个从“形”的方面刻画直线相对于轴（正方向）倾斜程度的量——倾斜角，现在我们又定义一个从“数”的方面刻画直线相对于轴（正方向）倾斜程度的量——斜率．指出下列： (1) ＝- (2) ＝tg60° (3) ＝tg(-30°) 学生思考后回答，师生一起订正：（1）0°；（2）60°；(3)150°(为什么不是-30°呢？)画图，指出倾斜角和斜率．结合图3（也可以演示动画），观察倾斜角变化时，斜率的变化情况．注意：当倾斜角为90°时，斜率不存在．α＝0° ß--à ＝0 0°＜α＜90° ß--à ＞0 α＝90° ß--à 不存在90°＜α＜180°ß--à＜0（四）直线过两点斜率公式的推导【问题4】如果给定直线的倾斜角，我们当然可以根据斜率的定义＝tgα求出直线的斜率；如果给定直线上两点坐标，直线是确定的，倾斜角也是确定的，斜率就是确定的，那么又怎么求出直线的斜率呢？即已知两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)（其中x1≠x2），求直线P1P2的斜率．思路分析：首先由学生提出思路，教师启发、引导：运用正切定义，解决问题． (1)正切函数定义是什么？（终边上任一点的纵坐标比横坐标．） (2)角α是“标准位置”吗？（不是．） (3)如何把角α放在“标准位置”？（平移向量，使P1与原点重合，得到新向量．） (4)P的坐标是多少？（x2-x1，y2-y1） (5)直线的斜率是多少？＝tgα= （x1≠x2） (6)如果P1 和P2的顺序不同，结果还一样吗？（一样）．评价：注意公式中x1≠x2，即直线P1 P2不垂直x轴．因此当直线P1P2不垂直x轴时，由已知直线上任意两点的坐标可以求得斜率，而不需要求出倾斜角．【练习】 (1)直线的倾斜角为α，则直线的斜率为α？ (2)任意直线有倾斜角，则任意直线都有斜率？ (3)直线 (-330°)的倾斜角和斜率分别是多少？ (4)求经过两点(0，0)、 (-1， )． (5)课本第37页练习第2、4题．教师巡视，观察学生情况，个别辅导，订正答案（答案略）．【总结】教师引导：首先回顾前边提出的问题是否都已解决．再看下边的问题： (1)直线倾斜角的概念要注意什么？ (2)直线的倾斜角与斜率是一一对应吗？ (3)已知两点坐标，如何求直线的斜率？斜率公式中脚标1和2有顺序吗？学生边讨论边总结： (1)向上的方向，正方向，最小，正角．(2)不是，当α=90°时，α不存在． (3) ＝（），没有．【作业】 1．课本第37页习题7．1第3、4、5题． 2．思考题（1）方程是单位圆的方程吗？（2）你能说出过原点，倾斜角是45°的直线方程吗？（3）你能说出过原点，斜率是2的直线方程吗？（4）你能说出过（1，1）点，斜率是2的直线方程吗？板书设计 7．1一、直线方程二、直线的倾斜角三、直线的斜率四、斜率公式练习小结作业教学目标（1）了解直线方程的概念．（2）正确理解直线倾斜角和斜率概念．理解每条直线的倾斜角是唯一的，但不是每条直线都存在斜率．（3）理解公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．（4）通过直线倾斜角概念的引入和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．（5）通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．教学建议1．教材分析（1）知识结构本节内容首先根据一次函数与其图像——直线的关系导出直线方程的概念；其次为进一步研究直线，建立了直线倾斜角的概念，进而建立直线斜率的概念，从而实现了直线的方向或者说直线的倾斜角这一直线的几何属性向直线的斜率这一代数属性的转变；最后推导出经过两点的直线的斜率公式．这些充分体现了解析几何的思想方法．（2）重点、难点分析①本节的重点是斜率的概念和斜率公式．直线的斜率是后继内容展开的主线，无论是建立直线的方程，还是研究两条直线的位置关系，以及讨论直线与二次曲线的位置关系，直线的斜率都发挥着重要作用．因此，正确理解斜率概念，熟练掌握斜率公式是学好这一章的关键．②本节的难点是对斜率概念的理解．学生对于用直线的倾斜角来刻画直线的方向并不难接受，但是，为什么要定义直线的斜率，为什么把斜率定义为倾斜角的正切两个问题却并不容易接受．2．教法建议（1）本节课的教学任务有三大项：倾斜角的概念、斜率的概念和斜率公式．学生思维也对应三个高潮：倾斜角如何定义、为什么斜率定义为倾斜角的正切和斜率公式如何建立．相应的教学过程也有三个阶段①在教学中首先是创设问题情境，然后通过讨论明确用角来刻画直线的方向，如何定义这个角呢，学生在讨论中逐渐明确倾斜角的概念．②本节的难点是对斜率概念的理解．学生认为倾斜角就可以刻画直线的方向，而且每一条直线的倾斜角是唯一确定的，而斜率却不这样．学生还会认为用弧度制表示倾斜角不是一样可以数量化吗．再有，为什么要用倾斜角的正切定义斜率，而不用正弦、余弦或余切哪?要解决这些问题，就要求教师帮助学生认识到在直线的方程中体现的不是直线的倾斜角，而是倾斜角的正切，即直线方程（一次函数的形式，下同）中x的系数恰好就是直线倾斜角的正切．为了便于学生更好的理解直线斜率的概念，可以借助几何画板设计：(1) α变化→直线变化→ 中的系数变化（同时注意的变化）． (2) 中的系数变化→直线变化→α变化（同时注意的变化）．运用上述正反两种变化的动态演示充分揭示直线方程中系数与倾斜角正切的内在关系，这对帮助学生理解斜率概念是极有好处的．③在进行过两点的斜率公式推导的教学中要注意与前后知识的联系，课前要对平面向量，三角函数等有关内容作一定的复习准备．④在学习直线方程的概念时要通过举例清晰地指出两个条件，最好能用充要条件叙述直线方程的概念，强化直线与相应方程的对应关系．为将来学习曲线方程做好准备．（2）本节内容在教学中宜采用启发引导法和讨论法，设计为启发、引导、探究、评价的教学模式．学生在积极思维的基础上，进行充分的讨论、争辩、交流、和评价．倾斜角如何定义、为什么斜率定义为倾斜角的正切和斜率公式的建立，这三项教学任务都是在讨论、交流、评价中完成的．在此过程中学生的思维和能力得到充分的发展．教师的任务是创设问题情境，引发争论，组织交流，参与评价．教学设计示例教学目标：（1）了解直线方程的概念，正确理解直线倾斜角和斜率概念，（2）理解公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．（3）培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．（4）帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．教学重点、难点：直线斜率的概念和公式教学用具：计算机教学方法：启发引导法，讨论法教学过程：（一）直线方程的概念如图1，对于一次函数，和它的图像——直线有下面关系：（1）有序数对（0，1）满足函数，则直线上就有一点A，它的坐标是（0，1）．（2）反过来，直线上点B（1，3），则有序实数对（1，3）就满足．一般地，满足函数式的每一对，的值，都是直线上的点的坐标（，）；反之，直线上每一点的坐标（，）都满足函数式，因此，一次函数的图象是一条直线，它是以满足的每一对x，y的值为坐标的点构成的．从方程的角度看，函数也可以看作是二元一次方程，这样满足一次函数的每一对，的值“变成了”二元一次方程的解，使方程和直线建立了联系．定义：以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的所有点坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线就叫做这个方程的直线．以上定义改用集合表述：，的二元一次方程的解为坐标的集合，记作．若（1）（2），则．问：你能用充要条件叙述吗？答：一条直线是一个方程的直线，或者说这个方程是这条直线的方程的充要条件是……．（二）直线的倾斜角【问题1】请画出以下三个方程所表示的直线，并观察它们的异同．；；过定点，方向不同．如何确定一条直线？两点确定一条直线．还有其他方法吗？或者说如果只给出一点，要确定这条直线还应增加什么条件？学生：思考、回忆、回答：这条直线的方向，或者说倾斜程度．【导入】今天我们就共同来研究如何刻画直线的方向．【问题2】在坐标系中的一条直线，我们用怎样的角来刻画直线的方向呢？讨论之前我们可以设想这个角应该是怎样的呢？它不仅能解决我们的问题，同时还应该是简单的、自然的．学生：展开讨论．学生讨论过程中会有错误和不严谨之处，教师注意引导．通过讨论认为：应选择α角来刻画直线的方向．根据三角函数的知识，表明一个方向可以有无穷多个角，这里只需一个角即可（开始时可能有学生认为有四个角或两个角），当然用最小的正角．从而得到直线倾斜角的概念．【板书】定义：一条直线l向上的方向与轴的正方向所成的最小正角叫做直线的倾斜角．（教师强调三点：（1）直线向上的方向，（2）轴的正方向，（3）最小正角．）特别地，当与轴平行或重合时，规定倾斜角为0°．由此定义，角的范围如何？0°≤α＜180°或0≤α＜π 如图3 至此问题2已经解决了，回顾一下是怎么解决的．（三）直线的斜率【问题3】下面我们在同一坐标系中画出过原点倾斜角分别是30°、45°、135°的直线，并试着写出它们的直线方程．然后观察思考：直线的倾斜角在直线方程中是如何体现的？学生：在练习本上画出直线，写出方程．30° ß--à ＝45° ß--à ＝135°ß--à ＝（注：学生对于写出倾斜角是45°、135°的直线方程不会困难，但对于倾斜角是30°可能有困难，此时可启发学生借用三角函数中的30°角终边与单位圆的交点坐标来解决．）【演示动画】观察直线变化，倾斜角变化，直线方程中系数变化的关系 (1) 直线变化→α变化→ 中的系数变化（同时注意α的变化）． (2) 中的x系数k变化→直线变化→α变化（同时注意α的变化）．教师引导学生观察，归纳，猜想出倾斜角与的系数的关系：倾斜角不同，方程中的系数不同，而且这个系数正是倾斜角的正切！【板书】定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率．记作，即．这样我们定义了一个从“形”的方面刻画直线相对于轴（正方向）倾斜程度的量——倾斜角，现在我们又定义一个从“数”的方面刻画直线相对于轴（正方向）倾斜程度的量——斜率．指出下列： (1) ＝- (2) ＝tg60° (3) ＝tg(-30°) 学生思考后回答，师生一起订正：（1）0°；（2）60°；(3)150°(为什么不是-30°呢？)画图，指出倾斜角和斜率．结合图3（也可以演示动画），观察倾斜角变化时，斜率的变化情况．注意：当倾斜角为90°时，斜率不存在．α＝0° ß--à ＝0 0°＜α＜90° ß--à ＞0 α＝90° ß--à 不存在90°＜α＜180°ß--à＜0（四）直线过两点斜率公式的推导【问题4】如果给定直线的倾斜角，我们当然可以根据斜率的定义＝tgα求出直线的斜率；如果给定直线上两点坐标，直线是确定的，倾斜角也是确定的，斜率就是确定的，那么又怎么求出直线的斜率呢？即已知两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)（其中x1≠x2），求直线P1P2的斜率．思路分析：首先由学生提出思路，教师启发、引导：运用正切定义，解决问题． (1)正切函数定义是什么？（终边上任一点的纵坐标比横坐标．） (2)角α是“标准位置”吗？（不是．） (3)如何把角α放在“标准位置”？（平移向量，使P1与原点重合，得到新向量．） (4)P的坐标是多少？（x2-x1，y2-y1） (5)直线的斜率是多少？＝tgα= （x1≠x2） (6)如果P1 和P2的顺序不同，结果还一样吗？（一样）．评价：注意公式中x1≠x2，即直线P1 P2不垂直x轴．因此当直线P1P2不垂直x轴时，由已知直线上任意两点的坐标可以求得斜率，而不需要求出倾斜角．【练习】 (1)直线的倾斜角为α，则直线的斜率为α？ (2)任意直线有倾斜角，则任意直线都有斜率？ (3)直线 (-330°)的倾斜角和斜率分别是多少？ (4)求经过两点(0，0)、 (-1， )． (5)课本第37页练习第2、4题．教师巡视，观察学生情况，个别辅导，订正答案（答案略）．【总结】教师引导：首先回顾前边提出的问题是否都已解决．再看下边的问题： (1)直线倾斜角的概念要注意什么？ (2)直线的倾斜角与斜率是一一对应吗？ (3)已知两点坐标，如何求直线的斜率？斜率公式中脚标1和2有顺序吗？学生边讨论边总结： (1)向上的方向，正方向，最小，正角．(2)不是，当α=90°时，α不存在． (3) ＝（），没有．【作业】 1．课本第37页习题7．1第3、4、5题． 2．思考题（1）方程是单位圆的方程吗？（2）你能说出过原点，倾斜角是45°的直线方程吗？（3）你能说出过原点，斜率是2的直线方程吗？（4）你能说出过（1，1）点，斜率是2的直线方程吗？板书设计 7．1一、直线方程二、直线的倾斜角三、直线的斜率四、斜率公式练习小结作业教学目标（1）了解直线方程的概念．（2）正确理解直线倾斜角和斜率概念．理解每条直线的倾斜角是唯一的，但不是每条直线都存在斜率．（3）理解公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．（4）通过直线倾斜角概念的引入和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．（5）通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．教学建议1．教材分析（1）知识结构本节内容首先根据一次函数与其图像——直线的关系导出直线方程的概念；其次为进一步研究直线，建立了直线倾斜角的概念，进而建立直线斜率的概念，从而实现了直线的方向或者说直线的倾斜角这一直线的几何属性向直线的斜率这一代数属性的转变；最后推导出经过两点的直线的斜率公式．这些充分体现了解析几何的思想方法．（2）重点、难点分析①本节的重点是斜率的概念和斜率公式．直线的斜率是后继内容展开的主线，无论是建立直线的方程，还是研究两条直线的位置关系，以及讨论直线与二次曲线的位置关系，直线的斜率都发挥着重要作用．因此，正确理解斜率概念，熟练掌握斜率公式是学好这一章的关键．②本节的难点是对斜率概念的理解．学生对于用直线的倾斜角来刻画直线的方向并不难接受，但是，为什么要定义直线的斜率，为什么把斜率定义为倾斜角的正切两个问题却并不容易接受．2．教法建议（1）本节课的教学任务有三大项：倾斜角的概念、斜率的概念和斜率公式．学生思维也对应三个高潮：倾斜角如何定义、为什么斜率定义为倾斜角的正切和斜率公式如何建立．相应的教学过程也有三个阶段①在教学中首先是创设问题情境，然后通过讨论明确用角来刻画直线的方向，如何定义这个角呢，学生在讨论中逐渐明确倾斜角的概念．②本节的难点是对斜率概念的理解．学生认为倾斜角就可以刻画直线的方向，而且每一条直线的倾斜角是唯一确定的，而斜率却不这样．学生还会认为用弧度制表示倾斜角不是一样可以数量化吗．再有，为什么要用倾斜角的正切定义斜率，而不用正弦、余弦或余切哪?要解决这些问题，就要求教师帮助。
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直线的倾斜角和斜率讲义复习引入：在初中，我们已经学习过一次函数，并接触过一次函数的图象，现在，请同学们作一下问顾：1.一次函数的图象特点：一次函数形如y = kx + b,它的图象是一条直线.2.对于一给定函数y = 2x + l,作出它的图象的方法：由于两点确定一条直线，所以在直线上任找两点即可.3.这两点与函数式的关系：这两点就是满足函数式的两对值.因此，我们可以得到这样一个结论：一般地，一次函数y = /a + b的图象是一条直线，它是以满足y = kx + b的每一对的值为坐标的点构成的.由于函数式y =奴+。
也可以看作二元一次方程.所以我们可以说，这个方程的解和直线上的点也存在这样的对应关系.有了上述基础，我们也就不难理解“直线的方程”和“方程的直线”的基本概念，知识要点：一、直线方程的概念：以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线，在平面直角坐标系中研究直线时，就是利用直线与方程的这种关系，建立直线的方程的概念，并通过方程来研究直线的有关问题.为此，我们先研究直线的倾斜角和斜率，二、直线的倾斜角与斜率：1、倾斜角的定义：在平面直角坐标系中，对于-•条与x轴相交的直线，如果把工轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为Q ,那么Q就叫做直线的倾斜角.2、倾斜角的范围：当直线和尤轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0° . 因此，根据定义，我们可以得到倾斜角的取值范围是0° WQV180。
，3、斜率的定义：倾斜角不是90。
的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用化表示.倾斜角是90。
的直线没有斜率.关于直线的倾斜角和斜率，下列哪些说法是正确的：A.任一条直线都有倾斜角，也都有斜率；B.直线的倾斜角越大，它的斜率就越大；C.平行于尤轴的直线的倾斜角是0或兀；D.两直线的倾斜角和等，它们的斜率也和等.E.直线斜率的范围是（一8, +8）.辨析：上述说法中，E正确，其余均错误，原因是：A.与x轴垂直的直线倾斜角为兰，但斜2率不存在；B.举反例说明，120。
>30°，但tanl20（,=-V3<tan30°= —； C.平行于x轴的直线的倾斜角为。
；D.如果两直线的倾斜角都亳，但斜率不存在，也就谈不上相等.说明：①当直线和x轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0。
；②直线倾斜角的取值范围是0°<6Z<1800；③倾斜角是90°的直线没有斜率.4.已知直线的倾斜角的取值范围，利用正切函数的性质，讨论直线斜率的变化情况:(1)0°<a<90°作出y = tanQ在［0°,90°)区间内的函数图象；由图象观察可知：当a《［0°,90°), y = tant>0,并且随着。
的增大，y不断增大。
(2)90° < a <180°作出y = tana在(90°,180°)区间内的函数图象,由图象观察可知:当a e (90°,180°), y = tanoV0,并且随着。
的增大，y = tan a不断增大。
针对以上结论，虽然有当。
£［0°,90。
)，随着a增大直线斜率不断增大；当。
仁(90。
,180°), 随着。
增大直线斜率不断增大.但是当 a &［0°,90°) U (90°,180°)日寸，随着。
的增大直线斜率不断增大却是一错误结论.原因在于正切函数y = tana在区间［0°,90°)内为单调增函数，在区间(90°,180°)内也是单调增函数，但在［0°,90°) U (90°,180°)区间内，却不具有单调性，三、斜率公式：1、斜率公式：经过两点6O［，V］)，4(DS)的直线的斜率公式：k=一—(尤1壬"■»・・尤2一玉・2、斜率公式的形式特点及适用范围：%1斜率公式与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的前后次序可同时颠倒;%1斜率公式表明，直线对于x轴的倾斜程度，可以通过直线上任意两点坐标表示，而不需求出直线的倾斜角；%1斜率公式是研究直线方程各种形式的基础，必须熟记，并且会灵活运用；%1当玉=也5/力时，直线的倾斜角。
=90。
，没有斜率. | 题型讲解：喝例1 如图，直线的倾斜角%=30。
,直线Zj ± /2,求4、A的斜率.分析：对于直线4的斜率，可通过计算tan30°直接获得，而直线匕的斜率则需要先求出倾斜角％,而根据平面儿何知识，％=名+90°,然后再求tan%即可.解: /1的斜率A】=tan a x =tan30° ・.W的倾斜角% =90° +30°，的斜率=tanl20° =tan (180° -60° ) =-tan60° = — JL评述：此题要求学生掌握己知直线的倾斜角求斜率，其中涉及到三角函数的诱导公式及特殊角正切值的确定.例2 巳知直线的倾斜角，求直线的斜率：(1)。
=0°； (2)。
=60°； (3)。
=90°； (4) a = —4分析：通过此题训练，意在使学生熟悉特殊角的斜率.解：(l)・.・tanO。
=0..・倾斜角为0。
的直线斜率为0；(2)Vtan60°=际二倾斜角为60°的直线斜率为占；(3)Vtan90°不存在.L倾斜角为90°的直线斜率不存在；(4)V tan—= tan(^- —) = —tan—= —1,.••倾斜角为兰兀的直线斜率为一1.4 4 4 4例3求经过A (-2, 0)、B (-5, 3)两点的直线的斜率和倾斜角.3-()解：k= =-\ ,就是tano = —l v 0° < 6Z < 180°,.・.。
=135。
-5 - (-2)因此，这条直线的斜率是一1,倾斜角是135°.点评：此题要求学生会通过斜率公式求斜率，并根据斜率求直线的倾斜角.例4求过下列两点的直线的斜率&及倾斜角。
%1匕(-2,3)、乙(-2,8); 斜率不存在，。
=90。
%1R (5,-2)、P2 (-2,-2) ; * = 0 ,。
= 0。
3 3%1Py (—1,2) > 己(3,-4) k ——— , oc ~ 7t — arctun —点评：结合反三角的知识写出斜率在不同取值范围内所对应的倾斜角表达式：①当上>0 时，a = arctan k；②当上=0 时，a = 0°；③当RvO时，a = 7r-arctan|Z:|.例5若三点A(2,3), B(3,-2), C(-,m)共线，求m的值2An J J -2 — 3 727 — 3 21解：K AH = k AC => -------- =------ n m = —土3 + 2 1 + 2 22例6己知三角形的顶点0(0,5), fi(l,-2), C(-6,冷，BC中点为D,当A。
的斜率为1时，求m的值及|AD|的长,m-2 5 ___________ 解：。
点坐标为。
［一°, —- ， k AD =—— = 1 => m = 7* \AD\ = J(—)2 +(5-—)2=冬度》I 2 2 J 40 5 V 2 2 2A. a 二4, b 二0B. a 二—4, b 二—3C. a=4, b=—36. 己知两点M(2, —3)、N( — 3, -2),直线1过点P(l, 的取值范围是(A ) .A.k^-或 kW —4B. —4WkW°C. &kW4 4 4 47. 直线/经过原点和点(-1,-1),则它的倾斜角是(A. —B. — C-—或一 4 4 4 48. 过点P(-2, in)和Q(m, 4)的直线的斜率等于1,则m 的值为(A. 1B.4C. 1 或 3D. a=—4, b=3 D 且与线段MN 相交，则直线/的斜率k D. — &kW4 4 D." 4 A ) D. 1 或4 12.随堂演练：1. 若直线/过(-2, 3)和(6, —5)两点，则直线/的斜率为-1，倾斜角为_135°2. 已知直线＜ 的倾斜角为。
】，贝"关于尤轴对称的直线4的倾斜角。
2：为当=0时，。
2 = 0, 当 0。
V 。
]V180。
时，。
2=180° —。
i.3. 已知直线/过A(-2,代+写2)、B (2, (t--)2)两点，则此直线斜率为_一 1 ,倾斜角为_135° _。
t t4. 己知两点人(、，-海(3,。
)，并且直林的斜率为!，则—5. 斜率为2的直线经过(3, 5)、(a, 7)、(一l,b)三点，则a 、b 的值是(C )9. 已知A(2, 3)、B(-l, 4),则直线AB 的斜率是 一土3 10. 己知M(a, b)、N(a, c) (b#c)，则直线MN 的倾斜角是 90°11. 己知 0(0, 0)、P(a,b)(aU0),直线 0P 的斜率是- .己知6W ，M ),Rg ，y2)，当玉壬约时，直线4R 的斜率R =—业二21x 2 - x x y, = y 2时，直线VR 的斜率为 0 ，倾斜角为 0° .13. 已知两点A( —3,4)、B(3, 2),过点P(2, 一1)的直线/与线段AB 有公共点.求直线/的斜率 k 的取值范围.(答案：kW — 1或kN3)14. 如果直线/沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位 置，求直线/的斜率.(答案：一」)315. 过P(—1,2)的直线/与x 轴和y 轴分别交于A 、B 两点，若P 恰为线段AB 的中点，求直线的 斜率。
(答案：2)16. 已知直线的倾斜角，求直线的斜率：(1) a =30° ； (2) a =45° ； (3) a = -—； (4) a ———； 63 解：⑴・.・tan30° = —, A 直线斜率为土；(2) Vtan45° =1, A 直线的斜率为1；3 3⑶Atan—= , A直线斜率为一曳6 3 3 (4) V tan --- =— V3 , 直线斜率为—。