第7章 应力状态和强度理论讲解
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材料力学第七章应力状态和强度理论
2
x y 2 a 0 2
x y x y 2
x y
2
) x
2
2
例题1: 已知:单元体各侧面应力 x=60MPa,
求: (1) = - 450斜截面上的应力,(2)主应力和主平面
dA
y
x y
2
sin 2 xy cos2
y
yx
应力圆
y
1 R 2
x
y
2
4 2 xy
x
yx xy x
y
R c
x y
2
2
x
xy
x´
dA
yx
y´
y
x y 1 2 2 2
40
x y
2 0.431MPa
sin( 80 ) xy cos(80 )
C
C
C
例题3：已知梁上的M、Q，试用单元体表示截面上1、2、
3、4点的应力状态。
1
2 0
2
1点 2点
1 2 0 3
3Q ＝ 2A
M x Wz
2 xy
x y
2 20.6 0.69 60 0
17.2
x y
2 (
6.4MPa
2 34.4
max(min)
x
17.20
x y
2
) xy
2
2
x
66.4MPa
60 0 60 0 2 ( ) 20.6 2 2 2 66.4(6.4) MPa
x y 2 a 0 2
x y x y 2
x y
2
) x
2
2
例题1: 已知:单元体各侧面应力 x=60MPa,
求: (1) = - 450斜截面上的应力,(2)主应力和主平面
dA
y
x y
2
sin 2 xy cos2
y
yx
应力圆
y
1 R 2
x
y
2
4 2 xy
x
yx xy x
y
R c
x y
2
2
x
xy
x´
dA
yx
y´
y
x y 1 2 2 2
40
x y
2 0.431MPa
sin( 80 ) xy cos(80 )
C
C
C
例题3：已知梁上的M、Q，试用单元体表示截面上1、2、
3、4点的应力状态。
1
2 0
2
1点 2点
1 2 0 3
3Q ＝ 2A
M x Wz
2 xy
x y
2 20.6 0.69 60 0
17.2
x y
2 (
6.4MPa
2 34.4
max(min)
x
17.20
x y
2
) xy
2
2
x
66.4MPa
60 0 60 0 2 ( ) 20.6 2 2 2 66.4(6.4) MPa
材料力学应力状态和强度理论
x 122.5MPa x 64.6MPa
σy 0
τ y 64.6
(122.5 , 64.6)
D1
B2
o
C
B1
(0 , - 64.6)
由 x ， x 定出 D1 点 由 y ， y 定出 D2 点 以 D1D2 为直径作应力圆。
D2
A1，A2 两点的横坐标分别代表 a 点的两个主应力
1 oA1 150MPa
1 x 136.5MPa
σ x 136.5MPa σy 0
τx0 τy0
2 3 0
D2 (0,0)
D1(136.5,0)
x 136.5MPa
b
σ1
σ x 136.5MPa τ x 0
σy 0
τy0
1 所在的主平面就是 x 平面 , 即梁的横截面 C 。
解析法求 a 点的主平面和主应力
解： x 100MPa, y 20MPa, x 40MPa, 300
20
300
100 40
x 100MPa, y 20MPa, x 40MPa, 300
x
2
y
x
2
y
cos
2
x
sin
2
x
2
y
sin
2
x
cos
2
300
100
(20) 2
100
(20) 2
cos( 600)
m
F
A
F
m
A
F
F
A
A 点 横截面 m—m 上的应力为： F
A
n
m
F
A
F
m
n
F
A
2
材料力学 第07章 应力状态分析与强度理论
2
sin2a t xy cos2a
18/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.3 主平面的方位及极值正应力 s x s y s x s y sa cos2a t xy sin2a 2 2 s x s y ds a 上式对a 求导 2 sin2a t xy cos2a da 2 s x s y 若a a0时，导数为 0 sin2a 0 t xy cos2a 0 0 2 2t xy tan2a 0 s x s y
7.2.5 应力圆
t
sx
tyx
sy
sx txy sy
D(sx,txy) 1. 确定点 D (s ,t ) x xy
O
D'(sy,tyx)
C
s
2. 确定点D' (sy,tyx) tyx= －txy 3. 连接DD'与s 轴交于点C 4. 以 C 为圆心，CD（CD'） 为半径画圆。
26/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.5 应力圆
sx sy sz
sxs1 100 MPas 2
0 MPas 3 120 MPa
11/95
7.1 一点的应力状态的概念 单向、二向(平面)、三向(空间)应力状态 三个主应力中仅有一个主应力不为零 单向应力状态
s1
s1
F
A
F
12/95
7.1 一点的应力状态的概念 单向、二向(平面)、三向(空间)应力状态
O
D'(sy,tyx)
C sx－ sx sy/2
s
27/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.5 应力圆 利用应力圆确定角a 斜截面上的正应力和切应力
sin2a t xy cos2a
18/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.3 主平面的方位及极值正应力 s x s y s x s y sa cos2a t xy sin2a 2 2 s x s y ds a 上式对a 求导 2 sin2a t xy cos2a da 2 s x s y 若a a0时，导数为 0 sin2a 0 t xy cos2a 0 0 2 2t xy tan2a 0 s x s y
7.2.5 应力圆
t
sx
tyx
sy
sx txy sy
D(sx,txy) 1. 确定点 D (s ,t ) x xy
O
D'(sy,tyx)
C
s
2. 确定点D' (sy,tyx) tyx= －txy 3. 连接DD'与s 轴交于点C 4. 以 C 为圆心，CD（CD'） 为半径画圆。
26/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.5 应力圆
sx sy sz
sxs1 100 MPas 2
0 MPas 3 120 MPa
11/95
7.1 一点的应力状态的概念 单向、二向(平面)、三向(空间)应力状态 三个主应力中仅有一个主应力不为零 单向应力状态
s1
s1
F
A
F
12/95
7.1 一点的应力状态的概念 单向、二向(平面)、三向(空间)应力状态
O
D'(sy,tyx)
C sx－ sx sy/2
s
27/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.5 应力圆 利用应力圆确定角a 斜截面上的正应力和切应力
工程力学c材料力学部分第七章 应力状态和强度理论
无论是强度分析还是刚度分析，都需要求出应力的极值， 无论是强度分析还是刚度分析，都需要求出应力的极值，为了找 到构件内最大应力的位置和方向 需要对各点的应力情况做出分析。 最大应力的位置和方向， 到构件内最大应力的位置和方向，需要对各点的应力情况做出分析。
受力构件内一点处所有方位截面上应力的集合，称为一点的 受力构件内一点处所有方位截面上应力的集合，称为一点的 研究一点的应力状态时， 应力状态 。研究一点的应力状态时，往往围绕该点取一个无限小 的正六面体—单元体来研究。 单元体来研究 的正六面体 单元体来研究。
σ2
σ2
σ1
σ1
σ
σ
σ3
三向应力状态
双向应力状态
单向应力状态 简单应力状态
复杂应力状态 主应力符号按代数值的大小规定： 主应力符号按代数值的大小规定：
σ1 ≥ σ 2 ≥ σ 3
平面应力状态的应力分析—解析法 §7−2 平面应力状态的应力分析 解析法
图(a)所示平面应力单元体常用平面图形(b)来表示。现欲求 )所示平面应力单元体常用平面图形( )来表示。现欲求 垂直于平面xy的任意斜截面 上的应力 垂直于平面 的任意斜截面ef上的应力。 的任意斜截面 上的应力。
二、最大正应力和最大剪应力
σα =
σ x +σ y
2
+
σ x −σ y
2
cos 2α − τ x sin 2α
τα =
令
σ x −σ y
2
sin 2α + τ x cos 2α
dσ α =0 dα
σ x −σ y
2
sin 2α +τ x cos2α = 0
可见在 τ α
=0
材料力学应力和应变分析强度理论
§7–5 广义虎克定律
y
一、单拉下旳应力--应变关系
x
x
E
y
E
x
ij 0 (i,j x,y,z)
二、纯剪旳应力--应变关系
z
E
x
z
y
xy
xy
G
i 0 (i x,y,z)
z
yz zx 0
x
x
xy
x
三、复杂状态下旳应力 --- 应变关系
y
y
x
y x
z
xy
z
x
依叠加原理,得:
x
1
(MPa)
解法2—解析法：分析——建立坐标系如图
45 25 3
95
60°
i j
x
2
y
（
x
2
y
）2
2 xy
y
1
25 3 y 45MPa
° 5
0
Ox
6095MPa 6025 3MPa
yx 25 3MPa xy
x ?
x
y
2
sin 2
xy cos 2
25 3 x 45 sin 120o 25 3 cos120o
y
z
z
y
证明: 单元体平衡 M z 0
xy x
x
( xydydz)dx( yxdzdx)dy0
xy yx
五、取单元体： 例1 画出下图中旳A、B、C点旳已知单元体。
F
A
y
F x
x
A
B
C z
x B x
zx
xz
F
Mex
yx
C
xy
FP
材料力学第七章 应力状态
主平面的方位：
tan
2a0
2 xy x
y
主应力与主平面的对应关系： max 与切应力的交点同象限
例题：一点处的平面应力状态如图所示。
已知 x 60MPa， xy 30MPa, y 40MPa, a 30。
试求（1）a 斜面上的应力； （2）主应力、主平面； （3）绘出主应力单元体。
x y cos 2a
2
x sin 2a
x
a
x y sin 2a
2
x cos 2a
300
10 30 2
10 30 cos 60020sin 600
2
2.32 MPa
300
10 30 sin 600 2
20cos 600
1.33 MPa
a
20 MPa
c
30 MPa
b
n1
y xy
a x
解：（1）a 斜面上的应力
y xy
a
x
2
y
x
2
y
cos 2a
xy
sin 2a
60 40 60 40 cos(60 ) 30sin(60 )
2
2
a x 9.02MPa
a
x
y
2
sin
2a
xy
cos
2a
60 40 sin(60 ) 30cos(60 ) 2
58.3MPa
2
1.33 MPa
300 600 x y 40 MPa
在二向应力状态下，任意两个垂直面上，其σ的和为一常数。
在二向应力状态下，任意两个垂直面上，其σ 的和为
一常数。
证明： a
x y
7-第七章 应力状态分析 强度理论.
第七章应力状态分析强度理论7.1 应力状态概述一、工程实例1. 压缩破坏2. 弯曲拉伸破坏3. 弯曲剪切破坏4. 铸铁扭转破坏5. 低碳钢扭转破坏二、应力状态的概念1. 点的应力状态过一点所作各斜截面上的应力情况，即过一点所有方位面上的应力集合。
2. 一点应力状态的描述以该点为中心取无限小三对面互相垂直的六面体（单元体）为研究对象，单元体三对互相垂直的面上的应力可描述一点应力状态。
3. 求一点应力状态（1）单元体三对面的应力已知，单元体平衡（2）单元体任意部分平衡（3）截面法和平衡条件求得任意方位面上的应力，即点在任意方位的应力。
三、应力状态的分类1. 单元体：微小正六面体2. 主平面和主应力：主平面：无切应力的平面主应力：作用在主平面上的正应力。
3. 三种应力状态单项应力状态：三个主应力只有一个不等于零，如A 、E 点 二向应力状态：三个主应力中有两个不等于零，如B 、D 点 三向应力状态：三个主应力都不等于零四、应力状态分析的方法 1.解析法2. 图解法7.2应力状态分析的解析法一、解析法图示单元体，已知应力分量x σ、y σ、xyτ和yx τ。
xxx（一）任意截面上的正应力和切应力：利用截面法，考虑楔体bef 部分的平衡。
设ef 面的面积为dA ， ∑=0F n 0sin )Asin (cos )sin A (cos )cos A (sin )cos A (A =-+-+αασααταασαατσαd d d d d y yx x xy∑=0F tsin )Asin (cos )sin A (sin )cos A (cos )cos A (A =++--ααταασαασαατταd d d d d yx y x xy根据切应力互等定理： y x xy ττ=三角函数关系：22cos 1cos 2αα+=，22cos 1sin 2αα-=，∂=cos sin 22sin αα解得：ατασσσσσα2sin 2cos 22x x xy yy--++=（7-1）ατασστα2cos 2sin 2x xy y+-= （7-2）（二）主应力即主平面位置将式（8-1）对取一次导数，并令其等于零可确定正应力的极值和所在平面的位置。
应力状态理论与强度理论
D，承受内压 p 作用。
FN
A
p D2
p 4
p Dt
pD 4t
1
2
pD 4t
3 p 0
实例四 圆杆受扭转和拉伸共同作用
m
P
P
m
FN 4 P
A pd2
T 16m Wt p d 3
按工程应用传统观念，判断构件强度取 决于危险点的应力状态。
危险点是怎样达到破坏的呢？
在什么方向最容易破坏呢？
剪应力（应力单位为MPa）。
20
40
50 30
解：
max 30 20
min
2
30 + 20 2 2
+ 402
52.2 MPa
42.2
1 52.2MPa
20
2 50MPa
40
3 42.2MPa
max
1
3
2
47.2MPa
30
50
例6、求图示应力状态的主应力和
最大剪应力（应力单位MPa）。
第七章 应力状态理论与强度理论
本章重点 1、应力状态的概念 2、如何建立一点处的应力状态 3、平面应力状态分析 4、广义胡克定律 5、强度理论的概念 6、四种主要强度理论及其应用
问题的提出：
铸铁
低碳钢
思考：塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？
低碳钢
铸铁
思考：为什么脆性材料扭转时沿45º螺旋面断开？
P
解：刚性凹座是不变形的
Nx
Nz Ny
Nx
Ny
x y 0
Nx
x
1 E
x
(
y
+ z )
0
y
材料力学 第七章 应力状态和强度理论
y
2
2 xy
tan 2a0
2 xy x
y
max
1
2
3
主应力符号与规定： 1 2 3 （按代数值）
§7-3 空间应力状态
与任一截面相对应 的点，或位于应力 圆上，或位于由应 力圆所构成的阴影 区域内
max 1 min 3
max
1
3
2
最大切应力位于与 1 及 3 均成45的截面上
针转为正，顺时针转为负。
tg 2a 0
2 x x
y
在主值区间，2a0有两个解，与此对应的a0也有两个解，其中落
在剪应力箭头所指象限内的解为真解，另一解舍掉。
三、应力圆
由解析法知，任意斜截面的应力为
a
x y
2
a x
x
y
2
y cos2a
2
sin 2a x c
x s os2a
in
2a
广义胡克定律
1、基本变形时的胡克定律
1）轴向拉压胡克定律
x E x
横向变形
y
x
x
E
2）纯剪切胡克定律
G
y
x x
2、三向应力状态的广义胡克定律－叠加法
2
2
1
1
3
3
1
1
E
2
E
3
E
1
1 E
1
2
3
同理
2
1 E
2
3
1
广义胡克定律
3
1 E
3
1
2
7-5, 7-6
§7-4 材料的破坏形式
⒈ 上述公式中各项均为代数量，应用公式解题时，首先应写清已 知条件。
材料力学第七章
若应力状态由主应力表示，并且在max 0 和 min 0 的情况下，则式（7-7） 成为
max min
max
min
2
1 3
2
进一步讨论，由式（7-4）和式（7-6）可知
tan
21
1 tan 20
上式表明1 与 0 之间有如下关系：
1
0
4
可见，切应力取得极值的平面与主平面之间的夹角为 45 。
若三个主应力中，只有一个主应力不等于零，这样的应力状态称为 单向应力状态。若三个主应力中有两个不等于零，称为二向应力状态或 平面应力状态。若三个主应力皆不为零，称为三向应力状态或空间应力 状态。
第二节 平面应力状态分析——解析法
一、斜截面上的应力
图 7-1 所示为平面应力状态的最一般情况。已知 x ， y ， xy 和 yx 。现 在研究图中虚线所示任一斜截面上的应力，设截面上外法向 n 与 x 轴的夹角 为 。
令 d /d 0 ，由式（7-1）可得
x
2
y
sin
2
xy
cos 2
0
解得
（7-3）
tan 20
2 xy x y
通过运算，可以得到斜截面上正应力的极值为
（7-4）
max min
x
y 2
x
2
y
2
2 xy
（7-5）
由式（7-4）可知， 取得极值的角0 有两个，二者相差 90 ，即最大正应 力 max 和最小正应力 min ，二者分别作用在两个相互垂直的截面上。当 0 ， 取得极值时，该斜截面上的切应力 0 ，即正应力就是主应力。
（a）
（b） 图7-6
例 7-4 悬臂梁受力如图 7-7（a）所示。试求截面 n n 上 A 点处的主应力 大小和方向，并按主平面画出单元体。
材料力学刘鸿文第六版最新课件第七章 应力和应变分析 强度理论
不相同，此即应力的点的概念。
5
7-1 应力状态的概述
直杆拉伸斜截面上的应力
k
F
{ F
p cos cos2
k
F
k p
k
p sin cos sin sin 2
2
直杆拉伸应力分析结果表明：即 使同一点不同方向面上的应力也是各
不相同的，此即应力的面的概念。
6
7-1 应力状态的概述
点的应力状态：
虚线：主压应力迹线 实线：主拉应力迹线
思考：在钢筋混泥土梁中，钢筋怎么放置最佳。 30
内容小结：
（1）根据已知点的应力状态求任意截面的应力。 （2）根据已知点的应力状态求主应力、主平面。 （3）结合前五章内容，掌握梁在拉、压、剪、扭、弯 等状态下，求某点的应力，并计算主应力和主平面。
31
第七章 应力和应变分析
58.3MPa 22
7-3 二向应力状态分析-解析法
（2）主应力、主平面
y xy
max
x
y
2
(
x
y
)2
2 xy
2
68.3MPa
x
min
x
y
2
(
x
y
)2
2 xy
2
48.3MPa
1 68.3MPa, 2 0, 3 48.3MPa
23
7-3 二向应力状态分析-解析法
y
主平面的方位：
2
2sin cos sin2
并注意到 yx xy （切应力互等）
化简得出：
1 2
( x
y)
1 2
(
x
y ) cos 2
xy
sin
2
5
7-1 应力状态的概述
直杆拉伸斜截面上的应力
k
F
{ F
p cos cos2
k
F
k p
k
p sin cos sin sin 2
2
直杆拉伸应力分析结果表明：即 使同一点不同方向面上的应力也是各
不相同的，此即应力的面的概念。
6
7-1 应力状态的概述
点的应力状态：
虚线：主压应力迹线 实线：主拉应力迹线
思考：在钢筋混泥土梁中，钢筋怎么放置最佳。 30
内容小结：
（1）根据已知点的应力状态求任意截面的应力。 （2）根据已知点的应力状态求主应力、主平面。 （3）结合前五章内容，掌握梁在拉、压、剪、扭、弯 等状态下，求某点的应力，并计算主应力和主平面。
31
第七章 应力和应变分析
58.3MPa 22
7-3 二向应力状态分析-解析法
（2）主应力、主平面
y xy
max
x
y
2
(
x
y
)2
2 xy
2
68.3MPa
x
min
x
y
2
(
x
y
)2
2 xy
2
48.3MPa
1 68.3MPa, 2 0, 3 48.3MPa
23
7-3 二向应力状态分析-解析法
y
主平面的方位：
2
2sin cos sin2
并注意到 yx xy （切应力互等）
化简得出：
1 2
( x
y)
1 2
(
x
y ) cos 2
xy
sin
2
材料力学第七章知识点总结
研究应力状态的目的：找出一点处沿不同方向应力的变化
规律，确定出最大应力，从而全面考虑构件破坏的原因，建 立适当的强度条件。
材料力学
3、一点的应力状态的描述
研究一点的应力状态，可对一个 包围该点的微小正六面体——单 元体进行分析
在单元体各面上标上应力 各边边长 dx , dy , dz
——应力单元体
三、几个对应关系
点面对应——应力圆上某一点的坐标值对应着单元体某一截面
上的正应力和切应力；
y
σy
n
τ
H (σα ,τα )
τ yxHτ xy来自αxσx
(σy ,Dτyx)
2α A (σx ,τxy)
c
σ
σx +σ y
2
转向对应——半径旋转方向与截面法线的旋转方向一致； 二倍角对应——半径转过的角度是截面法线旋转角度的两倍。
α =α0
=
−2⎢⎡σ x
⎣
−σ y
2
sin 2α0
+τ xy
cos
2α
0
⎤ ⎥
⎦
=0
=
−2τ α 0
τα0 = 0
tg
2α 0
=
− 2τ xy σx −σ y
可以确定出两个相互垂直的平面——主平面，分别为
最大正应力和最小正应力所在平面。
主平面的方位
(α0 ; α0′ = α0 ± 900 )
主应力的大小
材料力学
四、在应力圆上标出极值应力
τ
τ max
x
R
O σ min
2α12α0A(σx ,τxy)
c
σ
σ
max
(σy ,τyx) D
规律，确定出最大应力，从而全面考虑构件破坏的原因，建 立适当的强度条件。
材料力学
3、一点的应力状态的描述
研究一点的应力状态，可对一个 包围该点的微小正六面体——单 元体进行分析
在单元体各面上标上应力 各边边长 dx , dy , dz
——应力单元体
三、几个对应关系
点面对应——应力圆上某一点的坐标值对应着单元体某一截面
上的正应力和切应力；
y
σy
n
τ
H (σα ,τα )
τ yxHτ xy来自αxσx
(σy ,Dτyx)
2α A (σx ,τxy)
c
σ
σx +σ y
2
转向对应——半径旋转方向与截面法线的旋转方向一致； 二倍角对应——半径转过的角度是截面法线旋转角度的两倍。
α =α0
=
−2⎢⎡σ x
⎣
−σ y
2
sin 2α0
+τ xy
cos
2α
0
⎤ ⎥
⎦
=0
=
−2τ α 0
τα0 = 0
tg
2α 0
=
− 2τ xy σx −σ y
可以确定出两个相互垂直的平面——主平面，分别为
最大正应力和最小正应力所在平面。
主平面的方位
(α0 ; α0′ = α0 ± 900 )
主应力的大小
材料力学
四、在应力圆上标出极值应力
τ
τ max
x
R
O σ min
2α12α0A(σx ,τxy)
c
σ
σ
max
(σy ,τyx) D
材料力学 第七章 应力状态与强度理论
取三角形单元建立静力平衡方程
n 0
dA ( xdA cos ) sin ( xdA cos ) cos ( y dA sin ) cos ( y dA sin ) sin 0
t 0
dA ( xdA cos ) cos ( xdA cos ) sin ( y dA sin ) sin ( y dA sin ) cos 0
2 2
cos 2 x sin 2
2 x y 2 x y ( ) ( cos 2 x sin 2 )2
2
2
x y
sin 2 x cos 2
( 0) (
x y
2
2
sin 2 x cos 2 )
max x y x y 2 x 2 2 min
2
max
1 3
2
例7-2 试求例7-1中所示单元体的主应力和最大剪应力。
（1）求主应力的值
x 10MPa, y 30MPa, x 20MPa max x y x y 2 2 x min 2
复杂应力状态下（只就主应力状态说明） 有三个主应力
1 , 2 , 3
1
E
由 1引起的线段 1应变 1
由 2引起的线段 1应变 1
2
由 3引起的线段1应变 1
3
E
E
沿主应力1的方向的总应变为：
1 1 1 1
1 42.4 1 3 2 0 MPa 由 max 3 2.4 2
第07章 强度理论
强度理论的统一形式： s r [s ]
sr称为相当应力，分别为：
• 最大拉应力(第一强度)理论：
s r1 s1
• 最大伸长线应变(第二强度)理论：
s r2 s1 s 2 s 3
• 最大切应力(第三强度)理论： s r3 s1 s 3
• 形状改变能密度(第四强度)理论：
安全，可用。
3）最大切应力理论(第三强度理论)
假设最大切应力max是引起材料塑性屈服的因
素，则：
max u
对低碳钢等塑性材料，单向拉伸时的屈服是
由45°斜截面上的切应力引起的，因而极限应力u
可由单拉时的屈服应力求得，即：
u
ss
2
常数
因为：
max
s1
s3
2
由此可得，强度条件为：
假设最大伸长线应变1是引起脆性破坏的主要
因素，则：
1 u
u用单向拉伸测定，即：
u
su
E
因为：
1
1 E
s1
s 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
s3
因此有： s1 s 2 s 3 s u
强度条件为：
s1 s 2
s
3
su
n
[s ]
实验验证：
a) 可解释大理石单压时的纵向裂缝； b) 铸铁二向、三向拉应力状态下的实验不符； c) 对铸铁一向拉、一向压的二向应力状态偏于
来建立，因为s与之间会相互影响。
研究复杂应力状态下材料破坏的原因，根据一 定的假设来确定破坏条件，从而建立强度条件，这 就是强度理论的研究内容。
4）材料破坏的形式 常温、静载时材料的破坏形式大致可分为：
材料力学课件——应力状态理论和强度理论
Me B
Me
B Me/Wn
P Me
C Me
C
第二节 二向应力状态下斜截面上的应力
目的 — 用一点某个微元上的应力表示其它
无限多微元上的应力 伴随结果
•应力极值 — 主应力状态 •从一个斜截面的应力构造一个单元体的应力
• 分析方法：1 解析法
•
2 图解法
二向应力状态下斜截面上的应力（续）
正应力符号规定
τα M τβ
σβ (c)
cos2
1
2
sin 2
cos2
1 sin 2
2
应力状态理论（续）
P
B
A
max A
max
M W
y
y
B
B
My
I
QS
Ib
应力状态理论（续）
P
P
A
A P/A
a) 一对横截面，两对纵截面
b)横截面，周向面，直径面 各一对
c) 同b)，但从上表面截取
应力
要指明
哪一点？
•那个面在
• 在哪一个面上？
哪个方位？
• 一点的应力状态：过一点不同方向面上应力的集合
•
称之为这一点的应力状态
•
State of the Stresses of a Given
Point
应力状态理论（续）
三向（空间）应力状态
Three-Dimensional State of Stresses
第七章 应力状态理论和强度理论
Theory of Stress State and Intensity
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节 第八节
第七章：应力状态、强度理论
s
2 2
s
2 3
2 s1s 2
s 3s 2
s1s 3 )
1 t 2 0 (t )2 2 0 0 t (t ))
2E
s1
1 t 2
E
G
E
21
)
§7–6 强度理论及其相当应力
强度理论：是关于“材料发生强度破坏或失效”的假设
材料的破坏形式： ⑴ 脆性断裂 如铸铁在拉伸和扭转时的突然断裂 ⑵ 塑性屈服 如低碳钢在拉伸和扭转时明显的塑性变形
sx
t 绕研究对象顺时针转为正；
y
txy
逆时针为正。
Ox
图1
s
sx
y
sy
ttxy
Ox 图2
设：斜截面面积为dA，由分离体平衡得：
Fn 0
n s dA (t xydAcos )sin (s xdAcos ) cos t (t yxdAsin ) cos (s ydAsin )sin 0
容器表面用电阻应变片测得环向应变 t =350×10-6，若已知容器平均 直径D=500 mm，壁厚=10 mm，容器材料的 E=210GPa，=0.25
试求:1.导出容器横截面和纵截面上的正应力表达式； 2.计算容器所受的内压力。
s1 sm
p p
p
x
l
图a
D
y
xp
AO
B
解：容器的环向和纵向应力表达式 1、轴向应力:(longitudinal stress) 用横截面将容器截开，受力如图b所示,根据平衡方程
第七章 应力状态和强度理论
§7–1 概述 §7–2 平面应力状态的应力分析.主应力 §7–3 空间应力状态的概念
§7–4 复杂应力状态下的应力 -- 应变关系 ——（广义虎克定律）
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2、广义胡克定律及其应用。 3、强度理论的概念、常用的四个强度理论的观点、强度条件及其 强度计算。
难点：
1、应力状态的概念，从具体受力杆件中截面单元体并标明单元体 上的应力情况。
2、斜截面上的应力计算公式中关于正负符号的约定。 3、应力主平面、主应力的概念，主应力的大小、方向的确定。 4、广义胡克定律及其应用。 5、常用四个强度理论的理解；危险点的确定及其强度计算。
由 sx ,t xy 定出D 点，由sy ,t yx 定出D′点， 以DD′为直径作应力圆
A1,A2 两点的横坐标分别代
t
表 a 点的两个主应力s1 和s3
(122.5 , 64.6) D
s1 OA1 150MPa s 2 OA2 27MPa
A2 B
s
O
C
A A1
A1 点对应于单元体上 s1所
a
2m
b
解: ①首先计算支反力, 并作出
250KN
梁的剪力图和弯矩图 FSmax =FC左 = 200 kN
A
B
C
1.6m
Mmax = MC = 80 kN·m
2m
s My t FS Sz*
Iz
Izd
200kN
+
Iz
120 3003 12
111 2703 12
50kN
+
88 106mm 4
2α0 135 α0 67.5
-22.5°
sx s3 txy
s1
sy
因为|-22.5|<|67.5|, 所以0= -22.5°
s max s min
sx
s
2
y
s
(
x
s
2
y )2
t
2 x
80.7MPa 60.7MPa
s1 80.7MP s 2 0
s 3 60.7MPa
s x B
s x
s x
s x
tzx
txz
A
§7–2 二向应力状态分析——解析法
y
sy
sy
sx
txy
等价
y
sx
txy
x
z
O
x
一、任意斜截面上的应力
规定： s 与截面外法线同向为正；
t 绕研究对象顺时针转为正；
逆时针为正。
sy
s
y
sx
txy
sx
y
sy
ttx y
n
图1
O
x
O
x
s min
2
s
x
2
s
y
2
t
2 xy
O
x
t0 0极值正应力就是主应力 ！
s max s1;s min 0时，s min s 2 ;s 3 0 s min 0时，s 2 0;s min s 3
令 : dt d 1
0
tg21
2
2
58.3MPa
τ 60
σx
σy 2
sin2α τxycos2α
60 40 sin120 2
50cos120 18.3MPa
n
60°
② 求主应力和主单元体的方位
tan2 α 0
2τxy σx σy
2 50 60 40
1
45
22.5
y Ox
s x ?
s 6095MPa t 6025 3MPa
t
s
x
s
2
y
s
in2
t
xy
cos2
例 两端简支的焊接工字钢梁及其荷载如图所示,梁的横截面尺 寸示于图中.试绘出截面C上a , b两点处的应力圆,并用应力圆求出 这两点处的主应力.
120
270
250kN
9
A
B
C
z
1.6m
第七章 主要内容
§7–1 应力状态的概念 §7–2 二向应力状态分析——解析法 §7–3 二向应力状态分析——图解法 §7–4 三向应力状态研究——应力圆法 §7–5 广义胡克定律 §7–6 复杂应力状态下的应变能密度 §7–7 强度理论及其应用
重点：
1、平面、空间应力状态下斜截面上的应力计算，主应力及主方向 的计算，最大剪应力的计算。
t
sx
s y
2
sin 2
t xy cos2
二、极值应力
令 :
ds d
0
sx
s y
sin 20 2t xy cos20 0
由此的两个驻点：
tg20
2t xy sx s y
sy
0、（ 0
2
）和两个极值：
y
sx
txy
s max s x s y
ya 135mm
Sz*a 120 15 (150 7.5) 256000mm 3 120
270
② 横截面 C上a 点的应力为
sa
MC Iz
ya
122.5MPa
ta
FS
S
* za
Izd
64.6MPa
a点的单元体如图所示
9 z
a b
tyx
sx
a
sx
txy
③ 做应力圆
sx =122.5MPa,t xy =64.6MPa sy=0,t xy =-64.6MPa
§7–１ 应力状态的概念
一、引言
1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？
F 低碳钢拉伸
铸铁压缩
F
F
M
低碳钢
铸铁
2、问题：组合变形杆将怎样破坏？ F
M
二、一点的应力状态：
过一点各个截面上应力情况的集合，称为这点的应力状态
三、单元体：
单元体——包围被研究点的无限小的几何体，常用的是正六面体
y
Ox
t
BC O
E( s , t
x
两面夹角
D(sx ,txy) 0 s
且转向一致。
F
D’(sy ,tyx)
两半径夹角2 ；
四、在应力圆上标出极值应力
1.求单元体上任一截面上的应力 2.求主应力数值和主平面位置
s s
1 3
OCR半径
3.求最大切应力
t
t max
x
s
x
s
t
2 xy
tg2
0
2t xy s x s
y
0
45
tg21s2xtsxy y 010
破坏分析
低碳钢:s s 240 MPa;t s 200 MPa
低碳钢
灰口铸铁:s Lb 98~280MPa
铸铁
s yb640~960MPa;tb198~300MPa
例: 单元体的应力状态如图所示，试求主应力并确定主平面
知识点回顾：
1、单元体应力状态分布
2、单元体内任意截面所受应力符号判定及计算
s
sx
s 2
y
s
x
s 2
y
cos2
t xy
sin 2
t
sx
s y
2
sin 2
t xy cos2
3、单元体内正应力、切应力极值确定；主应力、主 平面确定；主应力排序规则
s max s x s y
Ox
t n D( s , t
2
C O
B(sy ,tyx)
x
A(sx ,txy) s
和B(sy，tyx) AB与sa 轴的交点C便是圆心。
以C为圆心，以AC为半径画
圆——应力圆；
sy
n 三、单元体与应力圆的对应关系
s
sx
面上的应力(s ，t )
t txy
应力圆上一点(s ，t )
在坐标系内画出点
A(95,25 3)
25 3
s2
45 B 95
A
150° 0 25 3
s1
B(45,25 3)
AB的垂直平分线与 s 轴的交点C便是 圆心，以C 为圆心， 以AC为半径画圆—
—应力圆
t (MPa)
B
s3
O
s2
A
20
C
20MPa
s1
s
(MPa)
主应力及主平面如图
s 1 120 s 220 s 30 0 30
主平面(Principal Plane)：
切应力为零的截面。
x
主应力(Principal Stress ）：
主面上的正应力。
s1
主应力排列规定：按代数值大小，
s3
s 1s 2 s 3
三向应力状态： 三个主应力都不为零的应力状态。
二向应力状态： 一个主应力为零的应力状态。
单向应力状态： 一个主应力不为零的应力状态。
s min
2
s x
sy
2
2
t
2 xy
tg20
2t xy sx s y
t max t m in
s x
sy
2
2
t
2 xy
tg21
s
x s 2t xy
y
例 画出如图所示梁S截面的应力状态单元体.
难点：
1、应力状态的概念，从具体受力杆件中截面单元体并标明单元体 上的应力情况。
2、斜截面上的应力计算公式中关于正负符号的约定。 3、应力主平面、主应力的概念，主应力的大小、方向的确定。 4、广义胡克定律及其应用。 5、常用四个强度理论的理解；危险点的确定及其强度计算。
由 sx ,t xy 定出D 点，由sy ,t yx 定出D′点， 以DD′为直径作应力圆
A1,A2 两点的横坐标分别代
t
表 a 点的两个主应力s1 和s3
(122.5 , 64.6) D
s1 OA1 150MPa s 2 OA2 27MPa
A2 B
s
O
C
A A1
A1 点对应于单元体上 s1所
a
2m
b
解: ①首先计算支反力, 并作出
250KN
梁的剪力图和弯矩图 FSmax =FC左 = 200 kN
A
B
C
1.6m
Mmax = MC = 80 kN·m
2m
s My t FS Sz*
Iz
Izd
200kN
+
Iz
120 3003 12
111 2703 12
50kN
+
88 106mm 4
2α0 135 α0 67.5
-22.5°
sx s3 txy
s1
sy
因为|-22.5|<|67.5|, 所以0= -22.5°
s max s min
sx
s
2
y
s
(
x
s
2
y )2
t
2 x
80.7MPa 60.7MPa
s1 80.7MP s 2 0
s 3 60.7MPa
s x B
s x
s x
s x
tzx
txz
A
§7–2 二向应力状态分析——解析法
y
sy
sy
sx
txy
等价
y
sx
txy
x
z
O
x
一、任意斜截面上的应力
规定： s 与截面外法线同向为正；
t 绕研究对象顺时针转为正；
逆时针为正。
sy
s
y
sx
txy
sx
y
sy
ttx y
n
图1
O
x
O
x
s min
2
s
x
2
s
y
2
t
2 xy
O
x
t0 0极值正应力就是主应力 ！
s max s1;s min 0时，s min s 2 ;s 3 0 s min 0时，s 2 0;s min s 3
令 : dt d 1
0
tg21
2
2
58.3MPa
τ 60
σx
σy 2
sin2α τxycos2α
60 40 sin120 2
50cos120 18.3MPa
n
60°
② 求主应力和主单元体的方位
tan2 α 0
2τxy σx σy
2 50 60 40
1
45
22.5
y Ox
s x ?
s 6095MPa t 6025 3MPa
t
s
x
s
2
y
s
in2
t
xy
cos2
例 两端简支的焊接工字钢梁及其荷载如图所示,梁的横截面尺 寸示于图中.试绘出截面C上a , b两点处的应力圆,并用应力圆求出 这两点处的主应力.
120
270
250kN
9
A
B
C
z
1.6m
第七章 主要内容
§7–1 应力状态的概念 §7–2 二向应力状态分析——解析法 §7–3 二向应力状态分析——图解法 §7–4 三向应力状态研究——应力圆法 §7–5 广义胡克定律 §7–6 复杂应力状态下的应变能密度 §7–7 强度理论及其应用
重点：
1、平面、空间应力状态下斜截面上的应力计算，主应力及主方向 的计算，最大剪应力的计算。
t
sx
s y
2
sin 2
t xy cos2
二、极值应力
令 :
ds d
0
sx
s y
sin 20 2t xy cos20 0
由此的两个驻点：
tg20
2t xy sx s y
sy
0、（ 0
2
）和两个极值：
y
sx
txy
s max s x s y
ya 135mm
Sz*a 120 15 (150 7.5) 256000mm 3 120
270
② 横截面 C上a 点的应力为
sa
MC Iz
ya
122.5MPa
ta
FS
S
* za
Izd
64.6MPa
a点的单元体如图所示
9 z
a b
tyx
sx
a
sx
txy
③ 做应力圆
sx =122.5MPa,t xy =64.6MPa sy=0,t xy =-64.6MPa
§7–１ 应力状态的概念
一、引言
1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？
F 低碳钢拉伸
铸铁压缩
F
F
M
低碳钢
铸铁
2、问题：组合变形杆将怎样破坏？ F
M
二、一点的应力状态：
过一点各个截面上应力情况的集合，称为这点的应力状态
三、单元体：
单元体——包围被研究点的无限小的几何体，常用的是正六面体
y
Ox
t
BC O
E( s , t
x
两面夹角
D(sx ,txy) 0 s
且转向一致。
F
D’(sy ,tyx)
两半径夹角2 ；
四、在应力圆上标出极值应力
1.求单元体上任一截面上的应力 2.求主应力数值和主平面位置
s s
1 3
OCR半径
3.求最大切应力
t
t max
x
s
x
s
t
2 xy
tg2
0
2t xy s x s
y
0
45
tg21s2xtsxy y 010
破坏分析
低碳钢:s s 240 MPa;t s 200 MPa
低碳钢
灰口铸铁:s Lb 98~280MPa
铸铁
s yb640~960MPa;tb198~300MPa
例: 单元体的应力状态如图所示，试求主应力并确定主平面
知识点回顾：
1、单元体应力状态分布
2、单元体内任意截面所受应力符号判定及计算
s
sx
s 2
y
s
x
s 2
y
cos2
t xy
sin 2
t
sx
s y
2
sin 2
t xy cos2
3、单元体内正应力、切应力极值确定；主应力、主 平面确定；主应力排序规则
s max s x s y
Ox
t n D( s , t
2
C O
B(sy ,tyx)
x
A(sx ,txy) s
和B(sy，tyx) AB与sa 轴的交点C便是圆心。
以C为圆心，以AC为半径画
圆——应力圆；
sy
n 三、单元体与应力圆的对应关系
s
sx
面上的应力(s ，t )
t txy
应力圆上一点(s ，t )
在坐标系内画出点
A(95,25 3)
25 3
s2
45 B 95
A
150° 0 25 3
s1
B(45,25 3)
AB的垂直平分线与 s 轴的交点C便是 圆心，以C 为圆心， 以AC为半径画圆—
—应力圆
t (MPa)
B
s3
O
s2
A
20
C
20MPa
s1
s
(MPa)
主应力及主平面如图
s 1 120 s 220 s 30 0 30
主平面(Principal Plane)：
切应力为零的截面。
x
主应力(Principal Stress ）：
主面上的正应力。
s1
主应力排列规定：按代数值大小，
s3
s 1s 2 s 3
三向应力状态： 三个主应力都不为零的应力状态。
二向应力状态： 一个主应力为零的应力状态。
单向应力状态： 一个主应力不为零的应力状态。
s min
2
s x
sy
2
2
t
2 xy
tg20
2t xy sx s y
t max t m in
s x
sy
2
2
t
2 xy
tg21
s
x s 2t xy
y
例 画出如图所示梁S截面的应力状态单元体.