函数图象的变换及应用

横标缩短
1 2
而得。
y=si n x
y=si1n x 2
y=sin2x
2π
x
O
y=sin
1 2
x图象由y=sinx图象（纵标不变），
横标伸长2倍而得。
a
9
函数图象伸缩变换的规律：
纵向伸缩： y=f(x)
y=Af(x)
A＞1（横标不变）纵标伸长到原来的A倍 0＜A＜1（横标不变）纵标缩短到原来的A倍
专 题 研 究
高三总复习
a
1
你想利用图象的直观性来解决问题吗？ 那么你首先应该认识与掌握
函数图象的三大变换
平移 对称 伸缩
a
2
问题1：如何由f(x)=x2的图象得到下列各函数的
图象？
y
（1）f(x-1)=(x-1)2 （2）f(x+1)=(x+1)2
y=f(x)+1 y=f(x+1)
y=f(x-1)
y=si n x
y=1 sinx 2
O
2π
x
纵y=标12缩sin短x图1象而由得a y。=sinx图象（横标不变）， 8
2
问题4：如何由函数f(x)=sinx的图象得到下列函数 的图象？
(1)y=2sinx
y
(2)y= 1 sinx (3)y=sin2x (4)y=sin1 x
2
2
y=sin2x图象由y=sinx图象（纵标不变），
当a=4时，方程有三个解;
当a>4时, 方程有两个解.
当a>4或a=0时,方程有两个解.a
4
-1 O 1
x
y=a(a=0) 有两个交点
-4
15
1.（2002年全国高考）函数
y
y
1 1
O 1 x O1
x -1
a
13
例3.已知函数y=|2x-2|
（1）作出函数的图象； 如图 （2）指出函数 的单调区间； （3）指出x取何值时，函数有最值。
y 当x=1时，函数有最小值为0
y=2x
y=2x-2
y=|2x-2|
1
y=|2x-2|
O 1 23 x -1
f(x)在(-∞,1]单调减a；在[1,+∞）单调增
练习1：
1、将函数f(x)=2x的图象（ A ）可得到
函数f(x)=2x-1的图象 A、向右平移一个单位 B、向左平移一个单位
C、向下平移一个单位 D、向上平移一个单位
2、若奇函数f(x)=kax-a-x(a>0,a1)在R上是增函数，
那y 么g(x)=㏒ya(x+k)的大致图象是y（ C ）
y
01 2 x
横向伸缩： y=f(x)
y=f(ax)
a＞1（纵标不变）横标缩短到原来的
1 a
0＜a＜1（纵标不变）横标伸长到原来的
1 a
a
10
例1：如何由y=sinx
的图象得到y=3sin(2x+
π 3
)
方法1：
y
y=sinx
纵向伸长3倍
y=3sinx
y=3sinx
左移 π 3π
y=3横si向n(缩x+短31)
（3）f(x)+1=x2+1 （4）f(x)-1=x2-1
1
-1 O 1
x
y=f(x)-1 -1
函数图象的平移变换：
y=f(x)左右平移 y=f(x+a)
a>0,向左平移a个单位 a<0,向右平移|a|个单位
上下平移
k>0,向上平移k个单位
y=f(x)
y=f(x)+k
a
k<0,向下平移|k|个单3位
O 1y=log2x x
(6)由y=f(x)的图象作 y=|f(x)|的图象：
保留y=f(x)中x轴上 方部分，再加上下方部分关 于x轴对称的图形.
a
6
练习2：
1、函数f(x)=loga|x|(a>1)的图象可能是（A ）
y
y
y
y
1
-1 0 1 x A
-1 0 1 x B
0
x
C
0
1x
D
2、已知函数f(x)=lgx则函数g(x)=|f(1-x)|的图象大致是（A ）
3
y=sinx
－ O 6
y=3sin(2x+ ) )
3
x
y=3sin2x
a
12
例2.画出函数
y
=
2 x
-x -1
的图象
y
=
2 x
-x -1
=
-(x -1) x-1
+1
=
-1 +
1 x -1
y
=
1 x
x换成x-1
向右平移1个单位
y
=
1 x -1
向下平移1个单位
y
O
1
x
-1 （1，-1）
y = 1 -1
y
y
y
y
0
1x
A
-1 0
x
-2 -1 0 x 0
1x
B
C
a
D
7
问题4：如何由函数f(x)=sinx的图象得到下列函数 的图象？
(1)y=2sinx
ywk.baidu.com
(2)y= 1 sinx (3)y=sin2x (4)y=sin 1 x
2
2
y=2sinx图象由y=sinx图象（横标不变）， 纵标伸长2倍而得。
y= 2s in x
y
(2)y=-2x
y
1 Ox
1
O
-1
x
(3)y=-2-x
y
(4)y=log2x
y
1
O
x
-1
1 O1 x
换 对（1）y=f(x)与y=f(-x)的图象关于 y 轴 称（2）y=f(x)与y=-f(x)的图象关于 x 轴 变（3）y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于 原 点
对称； 对称； 对称；
（4）y=f(x)与y=f -1(x)的图象关于 直线y=x 对称.
2
01
x
-1 0 x
-1 0 x
A
B
C
D
13my 、=(若-1f,(0x))平=a移x(a的y>图01,a象≠大1)满致足是f（-1(1yB)12 <）0则函数f(x1y)的图象沿
a
4
0A
x0 B
x0 C
x0 D x
问题2：说出下列函数的图象与指数函数y=2x的图象的 关系，并画出它们的示意图.
(1)y=2-x
a
5
问题3：分别在同一坐标系中作出下列各组函数的图 象，并说明它们之间有什么关系？
（1）y=2x与y=2|x|
y
y=2|x|
（2）y=log2x与y=|log2x|
y
y=|log2x|
1 y=2x
O
x
(5)由y=f(x)的图象作 y=f(|x|)的图象：
保留y=f(x)中y轴 右侧部分，再加上这部分 关于y轴对称的图形.
2
y=3sin(2x+ π)
3
y=sinx
－
3
－
6
O
y=3sin(2x+ ) )
3
x
y=3sin(x+ ) 3
a
11
例1：如何由y=sinx
的图象得到y=3sin(2x+
π 3
)
方法2：
y
y=sinx
纵向伸长3倍
y=3sinx
y=3sinx
横向缩短 1 2
y=3sin2x
左移 π 6
y=3sin(2x+π )
14
例4.关于x的方程|x2+2x-3|=a(a∈R)
的不同实根的个数。
y=a(a>4)有二个交点
y
解：在同一坐
标系中，作出 y=|x2+2x-3|和
y=a(a=4) 有三个交点
y=a的图象。 y=a(0<a<4)
有四个交点
由图可知：
当a<0时, 方程无解;
当a=0时, 方程有两个解; y=a(a<0) 当0<a<4时,方程有四个解; 没有交点