极化恒等式

巧用极化恒等式秒杀高考向量题

冷世平整理

说明：由于前几天，大家经常提到极化恒等式，本人便收集整理了一些相关资料，相对较系统，且加入了群里大家讨论的部分题目，由于相当一部分内容非原创，所以只和大家分享一下自己整理的好东西而已，故不作投稿使用。

高中数学中存在着大量等量关系，如立方差(和)公式、二项展开式、两角和与差公式等.在高中数学中常能见到这些等量关系的身影，这也是高中教学重点关注的对象.但有些等量关系看似冷门，甚至课本上都不出现，但它在问题解决过程中却能起到立竿见影的效果，实现对问题的快速“秒杀”，极化恒等式就是可以“秒杀”高考向量题的一个有力工具。 1.极化恒等式

极化恒等式最初出现于高等数学中的泛函分析，它表示数量积可以由它诱导出的范数来表示，把这

个极化恒等式降维至二维平面即得：21()()4

a b a b a b 2

⎡⎤⋅=+--⎣⎦ ，有时也可将其写成。

22

4()(a b a b a b ⋅=+-- )注：21()()4a b a b a b ⎡⋅=+--⎣ 2⎤⎦表明向量的内积运算可以由向量线性运算的模导出(也是向量内积的另一种定义)，是沟通向量内积运算和线性运算的重要公式.若是实数，则恒等式,a b 21()()4

a b a b a b ⎡⋅=+--⎣2⎤⎦也叫“广义平方差”公式； 极化恒等式的几何意义是:向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角

线”与“差对角线”平方差的14，即2222

14a b AD BC AM BM ⎡⎤⋅=

-=-⎣

⎦ （如图）

在三角形中，也可以用三角形的中线来表示，22214

a b AM BM AM BC ⋅=-=-2

，它揭示了三角

形的中线与边长的关系。

此恒等式的精妙之处在于建立起了向量与几何长度(数量)之间的桥梁，实现了向量与几何、代数的巧妙结合。

2．极化恒等式的应用

自向量引入高中数学以后，由于它独特的性质(代数与几何的桥梁)，在近几年全国各地的高考中迅速成为创新题命制的出发点，向量试题有着越来越综合，越来越灵活的趋势，在浙江省数学高考中尤为突出，也出现了一些非常精美的向量题。

例1在ABC ∆中，M 是BC 的中点，3,10AM BC ==，则______AB AC ⋅=

（年浙江省数学高考理科试题第15题）

2012【分析】该问题就是利用极化恒等式解决的极好范例，因为21925162

AB AC AM BC ⋅=-=-=-

。

下面我们再来看年浙江省数学高考选择题第题:

20137例2设是边0,ABC P ∆AB 上一定点，满足01

4

P B AB =，且对于边AB 上任一点，恒有

P

00PB PC P B P C ⋅≥⋅

.90A ABC ∠= ，则

.9B BAC ∠= 0.C AB AC = .D AC BC =

(年浙江省数学高考选择题第题)

20137【分析】考生普遍反映该题无从入手，笔者认为主要原因有2个:⑴该题呈现方式比较新颖;⑵学生解题工具使用不当，以致费时费力且不得要领。 【解析

1】如图，

取BC 的中点D ，连接，在内使用极化恒等式得0,PD P D PBC ∆22

PB PC PD BD ⋅=- ，在内

使用极化恒等式得，由条件知恒有0P BC ∆22

BD - 00P C P D ⋅= 0P B 0P D ≥PD ，即，故0P D AB ⊥AC BC =，故选D 。

【解析2】如图，

取线段BC 的中点M ，则22

224()4()4PB PC PB PC PB PC PM BC ⋅=+--=- ，要使的

值最小，只需PB PC ⋅ PM 取得最小值，所以只有当MP AB ⊥时，PM

取得最小值，且点与点必须重合，P 0P M 是线段BC 的中点，只有时才能成立，故选AC BC =D 。 很多一线教师都认为这个题目在10个选择题中是最难的，应该放在压轴的位置，笔者却不这样认为，其实这个题目只是在例1的基础上对极化恒等式的应用灵活化，步子迈得更大一些而己，这个题目的姊妹题也出现在年浙江省高中数学联赛中：

2013例3如图，已知直线与抛物线交于点为的中点，C 为抛物线上一个动点，若

满足AB 24y =x ,,A B M AB 0C {}

00A C B CA CB ⋅=⋅

min C

，则下列一定成立的是（ ）

0.A C M AB ⊥ 0.B C M l ⊥，其中l 为抛物线过点的切线

0C 00.C C A C B ⊥ 01

.2

D C M AB =

（20年浙江省高中数学联赛试题）

13

【解析1】由{}

00min C A C B CA CB ⋅=⋅

得00CA CB C A C B ⋅≥⋅ 22

0C M 2y ⑴，由极化恒等式知式⑴等价于，即，即抛物线22CM AM 220C M AM -≥- CM ≥ 4x =上所有点到M 的距离最近的点即

，故以0C M 为圆心，0MC 为半径的圆与抛物线内切，故选B 。

【解析2】2244CB CA CM AB ⋅=- ，因为AB 给定，显然要使CB CA ⋅ 最小，只需CM

最小，即，其中l 是抛物线过点的切线。

0C M l ⊥0C 需要说明的是，命题组并没有说明l 是一条什么样的直线，其实直线是:当以定点l M 为圆心的圆与抛物线相切时的公切线。

24y =x 例4在正中，ABC ∆D 是BC 上的点，3,1AB BD ==，则______AB AD ⋅=

(年上海市数学高考试题第11题)

2011【分析】这是极化恒等式的直接变式范例。 【解析】设BD 的中点为E

，则

222222

244AE 44113AB AD BD AO OE BD ⎡⎤⋅=-+-=+-=⎢⎥⎣⎦

=，则152AB AD ⋅= 。 例5已知是平面内个互相垂直的单位向量，若向量,a b

2c 满足()()a c b c 0-⋅-= ，则c 的最大值是

( )

.1A .2B

C

2

D (年浙江省数学高考理科试题第题)

20089【解析】本题从表面上看似乎和“极化恒等式”并没有关系，事实上，根据“极化恒等式”有

，从而224()()()()()()a c b c a c b c a c b c ⎡⎤⎡-⋅-=-+-----⎣⎦⎣ ⎤⎦22

()(22a b a b c +--=

。 如图，

设OA ，且为线段的中点，显然

OB ⊥ ,,,OA a OB b OC c D ===

AB 21

,(22

2

=a b a b a b OD

DC c ++-==-=

，上式表明，DC 是有固定起点，固定模长的动向量，即

点C 的轨迹是以D 为起点，以2为半径的圆，因此，c ，故选C 。

事实上，类似的问题时有看到，只是很多时候用其他的方法取代了“极化恒等式”，或在无意中使用“极化恒等式”。 例6在中，是边ABC ∆2,3,AB AC D ==BC 的中点，则_____AD BC ⋅=

(2年天津市数学高考文科试题第15题)

007【解析】根据“极化恒等式”有2215

()()22

AB AC AD BC AC AB AC AB +⋅=

⋅-=-=2

。 本题的解决涉及到三角形的边及中线的关系，这可以看作是年浙江省数学高考试题第题的最初原型。

20137例7设正方形的边长为，动点在以为直径的圆弧ABCD 4P AB APB 上(如图所示)，则 PC PD ⋅

的取值范围是