高中数学(理)第2章函数 §2.2函数的基本性质

(x)=
4
x2
2,
x,
1 0
x 0, x 1,
则f
3 2
=
.
答案 (1)C (2)1
解析 (1)由题意可知 f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),对于选项A, f(-x)·g(-x)=-f(x)·g
(x),所以f(x)g(x)是奇函数,故A项错误;对于选项B,|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|
(1)=- 2 .
3
(1)求证: f(x)在R上是减函数; (2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.
解析 (1)证明:∵函数f(x)对于任意x,y∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y), ∴令x=y=0,得f(0)=0. 再令y=-x,得f(-x)=-f(x).
在R上任取x1>x2,则x1-x2>0. 又∵当x>0时, f(x)<0, ∴f(x1-x2)<0, 又f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2). ∴f(x1)<f(x2). 因此f(x)在R上是减函数. (2)∵f(x)在R上是减函数, ∴f(x)在[-3,3]上也是减函数, ∴f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值分别为f(-3)与f(3). 而f(3)=3f(1)=-2, f(-3)=-f(3)=2. ∴f(x)在[-3,3]上的最大值为2,最小值为-2.
A.
1 2
, 0
,[1,+∞)
B.
,
1 2
,[0,1]
C.
1 2
,1
D.[0,1]
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答案 (1)A (2)A
解析
(1)y=(x-1)2仅在[1,+∞)上为增函数,排除B;y=2-x=
1 2
x
为减函数,排
除C;因为y=log0.5t为减函数,t=x+1为增函数,所以y=log0.5(x+1)为减函数,排除
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图 象 描 述 自左向右看图象是③ 逐渐上 自左向右看图象是④ 逐渐下降 的
升的
(2)单调区间的定义 若函数f(x)在区间I上是⑤ 单调增函数 或⑥ 单调减函数 ,则称函 数f(x)在这一区间上具有单调性,区间I叫做y=f(x)的单调区间. 2.函数的最值
前提
条件 结论
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设函数y=f(x)的定义域为A,如果存在x0∈A,使得对于 任意的x∈A,都有
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b.两个偶函数的和、积都是 偶函数 ; c.一个奇函数,一个偶函数的积是 奇函数 . 5.周期性 (1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域 内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这 个函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数, 那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 6.对称性 若函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x)或f(x)=f(2a-x),则函数f(x)的图象关于直线x=a 对称.
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3-1 已知f(x)是定义在R上的偶函数,g(x)是定义在R上的奇函数,且g(x)=f(x -1),则f(2 011)+f(2 013)的值为 ( ) A.-1 B.1 C.0 D.无法计算
3 2
B.f(-1)<f
3 2
<f(2)
D.f(2)<f
3 2
<f(-1)
答案
D
由题意得f(2)=f(-2),又-2<-3
2
<-1,所以f(2)=f(-2)<f
3 2
<f(-1).
故选D.
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4.定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x).当-3≤x<-1时, f(x)=-(x+2)2;当-1≤x< 3时, f(x)=x,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 012)等于 ( ) A.335 B.338 C.1 678 D.2 012
D;y= t 和t=x+1均为增函数,所以y= x 1 为增函数,故选A.
(2)令x2-x=1-x2得x=- 1 或x=1.
2
画出函数f(x)图象,如图.
观察图象得增区间为
1 2
,
0
和[1,+∞).故选A.
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1.讨论函数单调性,一定要先确定定义域,然后根据所给函数的结构特征及 要求选择合适的方法求解.最后结果一定要写成区间的形式,当同增(减)区 间不连续时,不能用并集符合连接. 2.用定义法证明函数的单调性的步骤:取值—作差—变形—确定符号—下 结论. 3.求复合函数y=f(g(x))的单调区间的步骤: (1)确定定义域. (2)将复合函数分解成基本初等函数:y=f(u),u=g(x). (3)分别确定这两个函数的单调区间. (4)若这两个函数同增同减,则y=f(g(x))为增函数;若一增一减,则y=f(g(x))为 减函数,即“同增异减”.
答案 B 由f(x+6)=f(x)得f(x)的周期为6,所以f(1)+f(2)+…+f(2 012)=335[f (1)+f(2)+…+f(6)]+f(1)+f(2),而f(1)=1, f(2)=2, f(3)=f(-3)=-1, f(4)=f(-2)=0, f(5)= f(-1)=-1,f(6)=f(0)=0, f(1)+f(2)+f(3)+…+f(6)=1,所以f(1)+f(2)+…+f(2 012)=33 8,故选B项.
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典例题组
函数的单调性 典例1 (1)(2014北京,2,5分)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是 () A.y= x 1 B.y=(x-1)2 C.y=2-x D.y=log0.5(x+1) (2)(2014天津武清三模)函数f(x)=max{x2-x,1-x2}的单调增区间是 ( )
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5.已知函数f(x)=x+bcos x,其中b为常数,那么“b=0”是“f(x)为奇函数”的
() A.充分而不必要条件 C.充分必要条件
B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
答案 C f(x)为奇函数⇔f(-x)=-f(x)(x∈R)⇔-x+bcos(-x)=-x-bcos x(x ∈R)⇔bcos x+bcos x=0(x∈R)⇔b=0,故选C.
f(x)≤f(x0)
f(x)≥f(x0)
ymax=f(x0)
ymin=f(x0)
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3.奇、偶函数的概念 一般地,设函数y=f(x)的定义域为A.如果对于任意的x∈A,都有⑦ f(-x)=f (x) ,那么称函数y=f(x)是偶函数. 如果对于任意的x∈A,都有⑧ f(-x)=-f(x) ,那么称函数y=f(x)是奇函数. 奇函数的图象关于⑨ 原点 对称;偶函数的图象关于⑩ y轴 对称. 4.奇、偶函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 相同 ,偶函数在关于 原点对称的区间上的单调性 相反 . (2)在公共定义域内 a.两个奇函数的和是 奇函数 ,两个奇函数的积是偶函数;
f (x1) 与1的大小.有时根据需要,需作适当的变形:如x1=x2·x1 或x2=(x2-x1)+x1.
f (x2 )
x2
2.求函数的值域常常化归为求函数的最值问题,要重视函数的单调性在确
定函数最值过程中的应用.
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2-1 已知函数f(x)对于任意x,y∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时, f(x)<0, f
= 1 ln 2.当x≤0时, f(x)在x=-1处取得最大值2.结合函数f(x)=eax(x>0)的单调性
2
知,要满足函数f(x)在区间[-2,2]上的最大值为2,只需a≤ 1 ln 2.故选D.
2
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1.对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义,结合题目所给
性质和相应的条件,对任意x1,x2在所给区间内比较f(x1)-f(x2)与0的大小,或
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4.已知函数的单调性求参数的取值范围,可以通过解不等式或转化为不等 式恒成立问题求解.需注意的是,若函数在区间[a,b]上是单调的,则该函数在 此区间的任意子集上也是单调的.特别地,要注意定义域这一隐性的限制条 件.
1-1 求函数y=log1 (2x2-3x+1)的递减区间.
2
解析 由2x2-3x+1>0,
2
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1-2
已知函数f(x)=
x
x2
2 2
2x, x, x
x 0, 0.
若f(3-a2)<f(2a),则实数a的取值范围是
.
答案 -3<a<1
解析 根据所给的分段函数,画函数图象如下:
可知已知函数在整个定义域上是单调递减的,由f(3-a2)<f(2a)可知,3-a2>2a, 解得-3<a<1.
答案 A ∵函数在[3,6]上是增函数,∴f(6)=8, f(3)=-1,又函数为奇函数, ∴2f(-6)+f(-3)=-2f(6)-f(3)=-2×8+1=-15,选A.
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3.若偶函数f(x)在(-∞,-1]上是增函数,则下列关系式中成立的是 ( )
A.f
3 2
<f(-1)<f(2)
C.f(2)<f(-1)<f
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函数的奇偶性与周期性
典例3 (1)(2014课标Ⅰ,3,5分)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函 数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是 ( ) A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数 C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数 (2)(2014四川,12,5分)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数,当x∈[-1,1)时, f
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课标版 理数 § 2.2 函数的基本性质
知识梳理
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1.函数的单调性 (1)单调函数的定义
增函数
减函数
一般地,设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某 定义 个区间D上的任意两个自变量x1,x2
当x1<x2时,都有① f(x1)<f(x2) ,那么 当x1<x2时,都有② f(x1)>f(x2) ,那么 就说函数f(x)在区间D上是增函数 就说函数f(x)在区间D上是减函数
得函数的定义域为
,
1 2
∪(1,+∞).
令t=2x2-3x+1,则y=log1 t,
2
∵t=2x2-3x+1=2
x
3 4
2
-
1 8
,
∴(1,+∞)为t=2x2-3x+1的单调增区间.
又y=log1 t在(0,+∞)上是减函数,
2
∴函数y=log1 (2x2-3x+1)的单调减区间为(1,+∞).
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利用函数单调性求最值
典例2
(2014辽宁沈阳质检四,11)若函数f(x)=
2
x3
3x ]上的最大值为2,则实数a的取值范围是 ( )
x 0,在区间[-
x0
A.
1 2
ln
2,
B.
0,
1 2
ln
2
C.(-∞,0] 答案 D
D.
,
1 2
ln
2
解析 f(-1)=2×(-1)3+3×(-1)2+1=2.当函数f(x)=eax(x>0)的图象过点(2,2)时,a
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1.下列函数中,在区间(0,1)上是增函数的是 ( )
A.y=|x|
B.y=3-x
1
C.y= x
D.y=-x2+4
答案 A y=3-x在R上递减,y= 1在(0,+∞)上递减,y=-x2+4在(0,+∞)上递
x
减,故选A.
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2.已知f(x)为奇函数,在[3,6]上是增函数,且在[3,6]上的最大值为8,最小值为1,则2f(-6)+f(-3)等于 ( ) A.-15 B.-13 C.-5 D.5
(2)f
3 2
=f
1 2
2
=f
1 2
=-4×
1 2
2
+2=1.
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1.判断函数的奇偶性,首先应该判断函数定义域是否关于原点对称,若不对 称,则函数是非奇非偶函数;若对称,再判断是否满足f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x). “函数定义域关于原点对称”是函数具有奇偶性的必要不充分条件. 2.若函数是奇(偶)函数,则对定义域内的每一个x,均有f(-x)=-f(x)(f(-x)=f(x)), 而不能说存在x0使f(-x0)=-f(x0)(f(-x0)=f(x0)). 3.判断函数的周期性只需证明对定义域内任意x,均有f(x+T)=f(x)(T≠0)便可 证明函数是周期函数,且周期为T,函数的周期性常与函数的其他性质综合 命题.
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g(x),所以|f(x)|g(x)是偶函数,故B项错误;对于选项C, f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,所
以f(x)|g(x)|是奇函数,故C项正确;对于选项D,|f(-x)g(-x)|=|-f(x)g(x)|=|f(x)g(x)|,
所以|f(x)g(x)|是偶函数,故D项错误,选C.