2013-01-2自然坐标系下的速度-加速度
2013-01-2自然坐标系下的速度-加速度解析
0
dv v 2 a n＝a x i a y j a z k dt
瞬时曲率半径
大学物理
三、推广：一般平面曲线运动 运动中的加速度
an
v
2
dv a dt
0
2
a
力学中利用加速度与曲率半径的关系求曲线轨迹上各点的曲率半径。
a
a
ds v v dt
ds v dt
1、 瞬时速率
v
：
n
S+
反映了质点任一时刻沿轨道运动的快 慢。
2、任何时刻质点的速度总沿轨道的 切线方向，速度只有切线分量而无法 向分量。
O
大学物理
二、 自然坐标系下的加速度
由加速度的定义有
d v a dt
由于质点速度的方向一定沿着轨迹的切向，因此， 自然坐标系中可将速度表示为：
2
＝1
大学物理
自然坐标系下加速度表达式：
2 dv v a n dt R
o
n
a
即圆周运动的加速度可分解为两个正交分量：
an a P
a dv dt
2 v an R
a 切向加速度，其大小表示质点速率变化的快慢 an 法向加速度，其大小反映质点速度方向变化的快慢
大学物理
Key: c
大学物理
三、推广：一般平面曲线运动中的加速度
质点的轨迹可以看成是由无穷多个圆组合而成。 对圆周运动而言：曲率半径各点相同 R, 于是对曲线上任一点，研究该点的速度、加速度情况时， 仅需要将 R 换成 就得到一般曲线运动的加速度的正交分解式。
自然坐标系
r
t
t 0
AB .
t R
ern
v2 R
en
法向加速度
a
an
v2 R
vB
B vA
R
O
A
大小，方向，作用
2. 一般圆周运动的
切向加速度和法向加速度 分析方法
vB r
v vB vA vrn vr v
vrn 表示速度方向改变量 vr 表示速度大小改变量
lim lim vr
t 0
rr t
t 0
s t
er
ds dt
er
ds dt
三、 自然坐标系下的加速度
1. 匀速圆周运动， 法向加速度
v vB
vA
v vB
vA
Δv vB vA ,
AB R
lim lim ar
t 0
则：a an2 a 2 (1.88)2 (1.2)2 2.23(m / s2 )
tg an
a
12233'
总结解题策略：
（1）分析问题特点，建立恰当的坐标系 （2）由运动方程求解速度随时间变化的表达式 （3）分别计算出切向加速度与法向加速度，再 求解合加速度的大小和方向
解：根据加速度的定义：
ar
anern
a er
v2 R
ern
dv dt
er
a an2 a 2
v
ds dt
2
R
a
d
dt
1.2t
自然坐标系的加速度公式推导详解
自然坐标系的加速度公式推导详解在物理学中，加速度是描述物体速度变化率的物理量。
在自然坐标系中，我们可以通过推导得到加速度的计算公式。
假设一个物体在自然坐标系中运动，我们可以用矢量表示其位置、速度和加速度。
考虑一个时间间隔Δt内，物体的速度从v1变为v2，位移从r1变为r2。
根据定义，平均加速度a平均可以表示为：a平均 = (v2 - v1) / Δt为了得到瞬时加速度a，我们需要让时间间隔Δt趋近于0。
这样，我们可以写出加速度的定义：a = lim(Δt→0) [(v2 - v1) / Δt]接下来，我们将推导加速度的具体计算公式。
首先，我们将速度v 与位移r之间的关系进行分析。
根据定义，速度可以表示为位移对时间的导数：v = dr / dt其中，dr表示位移的微小变化，dt表示时间的微小变化。
我们可以将位移r表示为速度v对时间t的积分：r = ∫v dt现在，我们对上述等式两边进行微分，得到：dr = v dt将上式代入加速度的定义公式，得到：a = lim(Δt→0) [(v2 - v1) / Δt]= lim(Δt→0) [(dr2 / dt - dr1 / dt) / Δt]我们可以对上式进行化简。
首先，将分子展开得到：a = lim(Δt→0) [(∆r / ∆t - ∆r / ∆t)]= lim(Δt→0) [∆r / ∆t - ∆r / ∆t]然后，我们可以将上式中的分式展开：a = lim(Δt→0) [(∆r1 / ∆t - ∆r2 / ∆t)]= lim(Δt→0) [(r1 - r2) / ∆t]我们可以将分式中的∆t约去，得到最终的加速度公式：a = lim(Δt→0) [(r1 - r2) / ∆t]= d(r1 - r2) / dt我们得到了自然坐标系中加速度的计算公式：a = d(r1 - r2) / dt这个公式描述了物体在自然坐标系中的加速度，它表示了速度的变化率。
§2、速度、加速度的分量表达式
§2、速度、加速度的分量表达式上一次课，我们为了将运动的一些特征能直接的表示出来，而定义了速度和加速度，22;dt r d dt v d a dt r d v =≡≡ 。
在一般情况下它们往往都是时间t 的函数。
何谓定义呢？定义它本身不是可以用什么方法或者数学手段加以证明得到的，而是根据实际需要常常用到而定义下来的名称和概念。
例如过两点成一条直线……。
由于速度和加速度都是矢量，因此都可以将它们表示成分量的形式。
这次课将准备讨论速度、加速度在各种坐标系中的表达式。
一、 直角坐标系——直角坐标系又称笛卡儿坐标系在直角坐标系中，质点的位置矢径可以写成为：........z k y j x i r ++= （1）根据速度的定义可知dtr d v ≡将（1）代入，则有 1、速度： z y x v k v j v i dt dz k dt dy j dt dx i z k y j x i dt d dt r d v ++=++=++==...........................................)(于是，我们比较上面的等式，就可得到速度在直角坐标系中的分量表达式为：z dtdz v y dt dy v x dt dx v z y x ======;;可见速度沿三直角坐标轴的分量（即分速度）就等于其相应的坐标对时间t 的一阶导数。
速度的大小：222z y x v v v v v ++== 速度的方向就用方向余弦来表示：vv k v v v j v v v i v z y y ===),cos(;),cos(;),cos( 。
同理，我们由加速度的定义不难得到它的分量表达式。
2、加速度根据加速度的定义：zy x z y x a k a j a i dt dv k dt dv j dt dv i dt z d k y d j x d i dt dz k dy j dx i dt d dt v d a ++=++=++=++==2222)(比较这些恒等式可得加速度的直角坐标分量表达式：z dt z d v dv a y dt y d v dt dv a x dtx d v dt dv a z t z y y y x x x ============222222 于是可得加速度的大小为：222z y x a a a a a ++== 加速度的方向用方向余弦表示。
自然坐标系中的速度、加速度
a 0, 0 / 2, v
a 0, / 2, v const
a 0, / 2 , v
an 0 0,
直线运动
五、关于圆周运动 ( R)
an
v2 R
0
a
dv dt
a v2 nˆ dv ˆ
s
O’ oanR
a
a
R dt
若 v const
若 v const
M
S+
设M点在t=0时的初位置为 s0
则：运动方程：
s s0 a1t 2 / 2 v
ds dt
M s0
a1t O׳
an
v2 R
nˆ
a12t 2 R
nˆ
a
aM
a12t 2 R
nˆ a1ˆ
dv ˆ
dt
a1ˆ
注意：同一质点的加速度无论在直角坐标还是
a 自然坐标中总加速度
只能是一个值。
（匀速圆周运动）
dv 0 dt
a v2 nˆ R
则为变速圆周运动
例：一半径R的滑轮绕O轴运动，其上绕以绳索，绳索的
一沿端上挂一一点重M的物加，速已度知(重绳物不按伸h长，a与1t轮2 /之2 间规无律相下对降滑，动求)轮
a ? 已知：R，h a1t2 / 2 求：
解：如图建立自然坐标系O׳S+
切a向v单d位v矢v的dˆ增(量vˆ为) dˆ
O中 d
ˆ
'
dˆ
nˆ
O’
d
ads ˆ
dt dt
v dˆ ˆ dv
aan称称a为为nd切法t向向加a加速速度；dt
an
S
v
dˆ
dt
自然坐标系的加速度公式推导详解
自然坐标系的加速度公式推导详解在物理学中，加速度是描述物体运动状态的重要物理量。
加速度可以通过自然坐标系的公式进行推导和计算。
本文将详细解释自然坐标系的加速度公式的推导过程。
我们需要明确什么是自然坐标系。
自然坐标系是一种用来描述物体运动的参考系，它的基底与物体的运动方向一致。
在自然坐标系中，我们可以使用一组向量来表示物体的位置、速度和加速度。
假设一个物体在自然坐标系中的位置为P，其位置矢量为r。
我们可以将r表示为r = xi + yj + zk，其中i、j、k分别表示坐标轴x、y、z的单位向量。
当物体运动时，其位置会随时间发生变化。
假设物体在t时刻的位置为P(t)，则其位置矢量r(t)也会随时间变化。
我们可以通过求导的方式来描述物体的速度和加速度。
首先我们求解速度。
速度是位置矢量对时间的导数，即v = dr/dt。
由于位置矢量r = xi + yj + zk，我们可以将速度v表示为v = (dx/dt)i + (dy/dt)j + (dz/dt)k。
这就是自然坐标系中的速度公式。
接下来，我们求解加速度。
加速度是速度对时间的导数，即 a = dv/dt。
我们已经知道速度v = (dx/dt)i + (dy/dt)j + (dz/dt)k，因此我们需要对速度进行求导。
对速度的各个分量进行求导，得到加速度的公式：ax = d²x/dt²ay = d²y/dt²az = d²z/dt²这就是自然坐标系中的加速度公式。
根据这个公式，我们可以计算物体在自然坐标系中的加速度。
需要注意的是，自然坐标系中的加速度公式是基于时间的二阶导数计算得到的。
因此，在实际应用中，我们需要通过测量物体的位置随时间的变化来计算加速度。
可以使用传感器或者运动学实验来获取位置和时间的数据，从而计算出加速度。
总结一下，自然坐标系的加速度公式是通过对速度进行求导得到的。
加速度是描述物体运动状态的重要物理量，可以通过测量物体的位置随时间的变化来计算。
自然坐标系
自然坐标系
作者：Michaelexe
自然坐标系中的速度和加速度
在质点的平面曲线运动中，当运动轨迹已知时，常用自然坐标系表述质点的位置、路程、速度和加速度。
如图所示，在某质点运动的轨迹线上任取一点O为自然坐标原点，以质点所在位置P点与O点间轨迹的长度s来确定质点的位置，则称s为质点的自然坐标，即
当质点经Δt从P点达Q点时，Δt内质点运动的路程为
设t时刻质点处于P点，在质点上做相互垂直的两个坐标轴，一个轴沿轨道切向指向质点前进方向，其单位矢量用表示；另一轴沿轨道法向指向轨道凹侧，其单位矢量用表示。
由于切向和法向坐标轴随
质点沿轨道的运动自然变换位置和方向，通常称这种坐标系为自然坐标系。
当质点沿平面曲线运动时，其速度矢量的大小（速率）可以写为
考虑其速度方向为轨道的切向，则速度矢量可表示为
下面我们讨论质点的加速度
为质点的切向加速度，它只改变速度的大小，所以
为质点的法向加速度，它只改变速度方向，所以
，其中为轨道曲线在该点的曲率半径（因为始终指向轨道内侧，故ρ始终大于0，所以ρ也可以定义为）
所以，
现在来求平面曲线y=f(x)的曲率和曲率半径
曲率的定义：
曲率半径的定义：
下面来求k和ρ的公式所以，。
用自然坐标表示平面曲线运动中的速度和加速度
解 ds
vx2
v
2 y
v z2dt
A 2 cos2 t A 2 sin2 t B2 dt
s
s
ds
t
A2 2 B2dt
0
0
v
vτ
dsτ
A2 2
B2
τ
dt
A2 2 B2t
例 将一根光滑的钢丝弯成一个竖直平面内的曲线，质点可沿
当 t 0 时
τ (t)
τ
τ (t)
θ θ
τ
//
n
θ
τ
τ
θ
n
τ (t t)
因而 dτ lim τ lim θ n lim θ s n 1vn dt t0 t t0 t t0 s t ρ
O 参考物
( lim
r
τ)
ds
dsτ
vτ
t0 s dt dt
速度矢量在切线上的投影
二. 加速度
v
dsτ
vτ
dt
a
dv dt
d dt
(dsτ) dt
d2s dt 2
τ
ds dt
dτ dt
第一项：d2s dt 2
τ
叫切向加速度
aτ
dy P ds
Ox
sin ds dy
v v0
vdv
y y0
gdy
v2
v
2 0
2g( y0
y)
径的圆弧所构成
01-2自然坐标系中的描述及相对运动
(1) a 0 匀速率运动； a 0 变速率运动
(2) an 0 直线运动; an
0
曲线运动
第二讲 自然坐标系：切向加速度和法向加速度、相对运动
例1.由楼窗口以水平初速度v0射出一发子弹，取枪 口为原点，沿v0为x轴，竖直向下为y轴，并取发射 时t=0.试求： (1)子弹在任一时刻t的位置坐标及轨道方程； (2)子弹在t时刻的速度，切向加速度和法向加速度。
C
v2
法向加速度大小等于速率平方除以曲率半径， 方向沿轨道的法线指向。
第二讲 自然坐标系：切向加速度和法向加速度、相对运动
dv v a a an n dt
a a
2
a an
a
a an
2 2 2
2
2 v dv dt
2 2
相对性：参照系、坐标系
直角坐标
22Leabharlann 2222
x
x
x
x
x
第二讲 自然坐标系：切向加速度和法向加速度、相对运动
2-1. 在自然坐标中描述质点的运动
1. 位置：在轨道上取一固定点O，用质点距离O的路程
长度 s，可唯一确定质点的位置。位置 s有正负之分
2. 位置变化: s 3. 速度： 沿切线方向。
解：(1) x v0 t
2
1 2 y gt 2
o
v0
x
1 x g y 2 2 v0
an
y g
a
第二讲 自然坐标系：切向加速度和法向加速度、相对运动
(2) v x v0 , v y gt
o
2 0 2 2
自然坐标系的加速度公式推导详解
自然坐标系的加速度公式推导详解在物理学中，加速度是描述物体速度变化率的量。
在自然坐标系中，加速度可以通过公式推导得出。
本文将详细解释自然坐标系下的加速度公式推导过程。
我们需要了解自然坐标系的基本概念。
自然坐标系是一种以物体所在位置为原点的坐标系，它的坐标轴与物体的运动方向相一致。
在自然坐标系中，物体的加速度可以分解为水平加速度和垂直加速度两个分量。
接下来，我们来推导自然坐标系下的加速度公式。
假设物体的水平加速度为a_x，垂直加速度为a_y。
根据牛顿第二定律，物体的合力等于质量乘以加速度。
在自然坐标系中，合力可以分解为水平分力和垂直分力。
水平分力可以用物体质量乘以水平加速度来表示。
垂直分力可以用物体质量乘以垂直加速度来表示。
根据分力的定义，我们可以得到以下两个方程：F_x = m * a_x (1)F_y = m * a_y (2)其中，F_x和F_y分别代表物体的水平分力和垂直分力，m代表物体的质量。
我们可以利用三角函数来表示加速度和分力之间的关系。
根据三角函数的定义，我们可以得到以下两个方程：F_x = F * cosθ (3)F_y = F * sinθ (4)其中，F代表物体的合力，θ代表合力与水平方向的夹角。
将方程(3)和方程(4)代入方程(1)和方程(2)，我们可以得到以下两个方程：m * a_x = F * cosθ (5)m * a_y = F * sinθ (6)接下来，我们可以通过方程(5)和方程(6)来推导自然坐标系下的加速度公式。
我们将方程(6)除以方程(5)，得到以下等式：a_y / a_x = (F * sinθ) / (F * cosθ)化简后可以得到：a_y / a_x = tanθ根据三角函数的定义，我们知道tanθ等于斜率。
因此，我们可以得到以下等式：a_y / a_x = 斜率这意味着自然坐标系下的加速度的垂直分量与水平分量之间的比值等于斜率。
我们可以通过求导来得到自然坐标系下的加速度公式。
掌握用自然坐标法求点的速度加速度的方法步骤
3、匀变速直线运动 an=0，a = aτ=dv/dt=常量。若已知点的运动的初 始条件，当t=0时，s= s0，v= v0，则积分可得
v = v0 + at s = s0+ v0t +at²/2 由上式消去t 可得 v 2= v0 2+2a（s-s0）
则有 v2 / an 20 / 0.894 22.37
3、全加速度a:在自然轴系中，称点的加速度为 全加速度。
全加速度a的大小及方向：
a a 2 an2 (dv / dt)2 (v2 / )2 tan a
an
式中：β为全加速度a与法向轴n正向所夹的锐角。
四、点的运动的几种特殊情况
1、匀速直线运动 v =常量，ρ→∞，故aτ=0， an =0，即a=0。 若已知点的运动的初始条件，当t=0时，s= s0， 则有v = ds/dt，积分得 s－s0=vt。
4、匀变速曲线运动
an= v2/ρ， aτ=dv/dt=常量。若已知点的运动 的初始条件，当t=0时，s= s0，v= v0，则积分 可得 v = v0 +aτt s = s0+ v0t +aτt²/2 由上式消去t可得 v2= v02+2aτ（s-s0）
例3：如图a所示：杆AB的A端铰接固定，环M将AB杆 与半径为R的固定圆环套在一起，AB与垂线之夹角为 φ=ωt，求套环M的运动方程、速度、加速度。
a dv d (v ) dv v d
dt dt
dt dt
aτ
aτ τ
dv dt
τ
an
ann
v
1-2自然坐标系
s t ( lim
r
)
ds
t0 s t0 t t0 s dt
v
s P s
•
O1
r
Q
L
r (t )
r (t t )
O 参考物
t趋近于0时，lim 的切线方向。 t 0
r s
1 ，并且
r 的方向趋近于P点
r v ( lim
τ ) ds ds τ vτ
t0 s dt dt
在自然坐标系中，只要知道质点的运动学方程s=f(t), 就可 以求出质点在任意时刻速度的大小和方向。
10
圆周运动
速度
v R j
沿切线方向
法向加速度
an
R 2
v2 R
沿半径方向指向圆心
切向加速度
a
R
dv dt
沿切线方向
2015/3/16
DUT 常葆荣
11
三、自然坐标系
速度： s s ( t t ) s (t )
r
r s
v lim lim (
)
(
t
lim
0
r )t(
t 0
lim s )
速度
v dr i r j
dt
速度只有
v R j 沿切线方
dr dR
向的分量
0
dt dt
d2r
加速度
a
(
d2r dt 2
r 2
)i
(r 2vr) j
dt 2 0
dr vr dt 0
a R2i R j
2015/3/16
DUT 常葆荣
2
加速度
a R2i R j
ji
O
O/
大学物理精品课件1.2 自然坐标系
vA
B
vB v A at 23.3m s 2 t 2 vB 2 an 106m s r
在点 B 的加速度
AB 3.5km
r a n
at
o
a
vB
a 与法向之间夹角
a
2 at
2 an
109m s
为
2
at arctan 12.4 an
1.3
自然坐标系
1
第一章 运动的描述
已知： vA 1940km h
所转过的角度 为 （2）在时间 t 内矢径 r
A
t 3s
AB 3.5km
vB 2192km h 1
vA
B
1 2 At t 2
飞机经过的路程为
r a n
at
o
a
vB
o
R
第一章 运动的描述 1.3 自然坐标系 2.判断下列说法的正、误： a. 加速度恒定不变时，物体的运动方向必定不变。 b. 平均速率等于平均速度的大小。
v s / t 依据 平均速率 平均速度的大小 v r / t
c. 不论加速度如何，平均速率的表达式总可以写成
v (v1 v2 ) / 2 ,其中 v1是初速度， v2 是末速度。
d. 运动物体的速率不变时，速度可以变化。 例如：物体做抛体运动，加速度恒定，而速度方 向改变。
1.3
自然坐标系
第一章 运动的描述
例 如图一超音速歼击机在高空 A 时的水平速率为 1940 km/h , 沿近似于圆弧的曲线俯冲到点 B ,其速率为 2192 km/h , 所经历的时间为 3s , 设圆弧 AB 的半径约为 3.5km , 且飞机从A 到B 的俯冲过程可视为匀变速率圆 周运动 , 若不计重力加速度的影响, 求: (1) 飞机在点B 的加速度; (2)飞机由点A 到点B 所经历的路程 . 解（1）因飞机作匀变速率 vA A 运动所以 a t 和 为常量 . B dv
大学物理-速度与加速度
dt
dt
d2x d2 y d2z dt 2 i dt 2 j dt 2 k
axi ay j azk
加速度的大小：
a a
d2 (
dt
x
2
)2
(
d2 dt
y
2
)2
(
d 2z dt 2
)2
三、切向加速度与法向加速度
质点在平面自然坐标系中的速度
v
v
o
根据加速度的定义，有：
a
d dt
d( dt
v
l0
h
l (t )
O
x
随堂练习
例2: 一质点作圆周运动(顺时针运动)，其路程与 时间的关系为
0 和b 都是正的常数，圆周半径为r. (1) 求质点在t 时刻的速度大小; (2) t 为何值时，质点的切向加速度和法向加速
度的大小相等。
υB
υA
B
υdBBBddn
A υA
dθ
dθ A
OR
O
d n ——速度方向改变量 d ——速度大小改变量
t 时刻， A点；t +dt 时刻，B点
a
a
ann
d dt
2 R
n
a
——速度大小变化率
an ——速度方向改变量
三、切向加速度与法向加速度
3、一般平面曲线运动中的加速度
分析思路：
曲率加速度
设运动质点经 t 时间，从A点运动到B点。
速度增量 v vB vA vA
1、平均加速度
vB
a
v
t
2、瞬时加速度
A
B
Δv
vB
a
lim
Δt 0
速度与加速度的直角坐标法
Z
螺旋线运动
已知点的运动方程
求∶点的运动轨迹
点的速度 点的加速度
然后回到母线上，转一周，增加h
x = r cosω ⋅ t y = r sin ω ⋅ t
dq 由vq = , q = x, y , z dt vx = −ω ⋅ r sin ω ⋅ t v y = ω ⋅ r cos ω ⋅ t
O x y=r.z=h/4 y
2
a =
∑ a
2 q
=
∑(
dvq dt
) ,q = x, y,z
2
a q v v c o s ( a , iq ) = ,q = x , y , z a
ω
应用举例
y
A
r
O
ϕ
C x
ψ度 ω ， 考虑三角形OAC与CAB得 v = dt ≈ −rω(sinω ⋅ t ϕ = ω ⋅t 1 r rsinϕ = l sinψ + ⋅ sin2ω ⋅ t) 求滑块B的 2 l
ω ⋅t z = h 2π r ,ω , h为 常 数
解∶运动分析
ω vz = h 2π
2 q
x2 + y2 = r2
所以，动点M在半径 为r的圆柱面上运动。
t=0,x=r,y=z=0. ω t 增加,y和z增加，x减小。 t=360 o，x=r,y=0,z=h
h 2 v = ∑v = ω ⋅ r 1+ ( ) 2πa t再增加,y减小， x的绝对值增加。 r r v h z ω t=180 o， cos(v, k ) = = 2 v h + (2πr)2 x=-r,y=0,z=h/2
7-4 速度与加速度的直角坐标法
向径 速度 加速度 应用举例
自然坐标系中的速度、加速度
速度的矢量表示
总结词
速度的矢量表示包括大小和方向两个方 面，通常用箭头表示方向，用绝对值表 示大小。
VS
详细描述
矢量表示法是速度最常用的表示方法，它 能够完整地描述速度的大小和方向。在自 然坐标系中，速度的大小由箭头的长度表 示，箭头的指向代表速度的方向。
速度的标量表示
总结词
速度的标量表示只考虑速度的大小，忽略方向，通常用绝对值表示。
特点
自然坐标系与质点运动的具体轨迹相 关，可以直观地描述速度和加速度的 方向和大小。
自然坐标系的应用
描述曲线运动
自然坐标系常用于描述质点在曲线上 的运动，如行星绕太阳的椭圆轨道运 动。
分析动力学
在分析力学中，自然坐标系用于描述 质点的速度和加速度，进而研究其动 力学行为。
自然坐标系与直角坐标系的区别与联系
02
03
健康管理
在健康管理中，个人的速度和加速度 可以用来监测身体的运动状态，从而 进行科学的健身计划和健康管理。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
定义法
根据加速度的定义式计算，即加速度等于速度的变化量除以时间的变化量。
公式法
根据加速度的公式计算，即加速度等于速度的导数或切向加速度。
02
速度在自然坐标系中的 表示
速度的定义
总结词
速度是描述物体运动快慢的物理量，定义为物体在单位时间内通过的位移。
详细描述
速度是矢量，具有大小和方向，通常用符号"v"表示。在自然坐标系中，速度的 大小等于物体在单位时间内通过的直线距离，方向则与物体位移的方向相同。
详细描述
匀速直线运动是指物体在直线轨道上以恒定速度进行的运动，其方程为 $s = v_0t$，其中 $s$ 是位移， $v_0$ 是初始速度，$t$ 是时间。
自然坐标系--切向加速度和法向加速度
第二节
自然坐标系 切向加速度 法向加速度
一、自然坐标系
自然坐标系是建立在物体运动 轨迹上的，有两个坐标轴，
切向坐标和法向坐标。
自然坐标系是动坐系标。
nv
nv
v
v
•向切一向致坐, 标v0
v沿运动轨迹的切线方向，正方向与运动方
为切线方向的单位矢量。
•线法凹向侧坐，标nv0n为v沿法运线动方轨向迹的的单法位线矢方量向。，正方向指向曲
§2切向加速度、法向加速度/二、a、an
二、切向加速度、法向加速度
自然坐标系中
因为 v v
a dv dv v d dv v2 n
dt dt
dt dt
an 2
2t a 1 t 2
an
a2 a2
2 1 t2
v2 2(1 t2 )32
an
t 1s, 4 2m, a 2m / s2, an 2m / s2
匀速直线运动； 匀变速直线运动； 匀速率圆周运动； 变速曲线运动；
圆周运动的角量描述这部分，可用类比的方 法自学，在刚体一章将有详细介绍和应用！
§2切向加速度、法向加速度/二、a、an
例：一质点作半径为R的圆周运动，其速
率满足 v kRt， k为常数，求：切向加 速度、法向加速度和加速度的大小。
n
a ann
质点P •
切向加速度
a
dv dt
反映速度大小（速率）的变化
法向加速度
an
v2
反映速度方向的变化
总加速度 a a2 an2
03运动学圆周运动 (自然坐标系、角速度、角加速度、切向加速度、法向加速度)
这时加速度可以表示为 a aτ t an n
6
由于τ与n相互垂直，加速度a的大小与aτ 、an的 关系为 2 2
a a an
例1、半径R=0.5米的飞轮绕中心轴转动， 其运动函数 为θ=t3+3t(SI)求t=2秒时，轮缘上一点的角速度角加速 度以及切向加速度、法向加速度。 解：ω=3t2+3
dr d d v R sin i R cos j R d ( sin i cos j ) dt dt dt dt
Y
V
r
d R [cos( )i sin( ) j ] dt 2 2
X
括号中的项是与r垂直的单位矢量
d lim t 0 t dt
2
平均角加速度 t
t 0
瞬时角加速度 lim d
t dt
(SI)单位：rad/s2 角速度与角加速度都是矢量，角速度的方向由右手定 则确定。（规定用右手螺旋定则来判定：四指方向为 绕向，大拇指方向为角速度方向！！ ） α与ω同向。质点作加速圆周运动。
an=gcos γ =gV x/V=9.13m/s2
aτ=gcosβ=gVy/V=3.53m/s2
ρ=V2/an=25.03m
11
5 质点运动学小结： 1、描述运动的物理量 ：t、Δt、r、Δr、v、a 、 s dv dr 加速度： a 2、定义：速度 v dt dt 对一维的情况：v=dx/dt a=dv/dt 3、质点运动学的两类问题： 1）已知运动方程，求速度、加速度。 解法：用求导数的方法解决。 2）已知速度（或加速度）及初始条件求运动方程。
△τ=1× △ θ 当△t→0时， dτ=1× d θ、方向指向曲率中 心（即法向）。 d d n dt dt
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a
a
0，an
a
an
0
为匀速率曲线运动（圆 周运动）
dv dt
0
v2
n0
a an
a
a a a 2 an 2 dv dt2 v2 2
加速度总是指向曲线的凹侧
大学物理
自然坐标系中总加速度为：
a a an
改变速度大小
大小 a a 2 an2
加速度
方向 tan 1 an
下面三种情况分别代表那一类运动？
１. ，an＝0， a 0, 2. ＝常量，an 0，a＝0, 3. ＝常量，an 0，a 0,
１. 变速直线运动 ２. 匀速率圆周运动 ３. 变速率圆周运动
大学物理
讨论
质点沿固定的圆形轨道， 若速率 v 均匀增加，at 、an、
a以及加速度与速度间的夹角中哪些量随时间变化？
v lim r
t0 t
ds
dt
vr ds v v v
dt
z
v
p s
s
r q
r(t)
r(t t)
o
y x
自然坐标系下的 速度表达式
大学物理
讨论物理意义：
vr ds v v v
dt
ds v dt
1、 瞬时速率 v：
反映了质点任一时刻沿轨道运动的快 慢。
2、任何时刻质点的速度总沿轨道的 切线方向，速度只有切线分量而无法 向分量。
与切向加速度垂直
大学物理
例题
一质点沿半径为R的圆周按规律 s v0t b运t 2动/ 2，
v0、b 都是正的常量。求：
（1） t 时刻质点的总加速度的大小
（2） t 为何值时，总加速度的大小b
s
（3）当总加速度大小为b时，质点沿圆周运
行了多少圈。
o
P
R
大学物理
解：先作图如右，t = 0 时，质点位于s = 0 的 p 点处。
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上册
自然坐标系
在运动轨道上任一点建立正交坐 标系,其一根坐标轴沿轨道切线方 向,正方向为运动的前进方向；
另一根沿轨道法线方向，正方向 指向轨道内凹的一侧。
v,a
n
n
切向单位矢量
法向单位矢量 n
显然，轨迹上各点处，自然坐标轴的方位不断变化。
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一、自然坐标系下的速度
s s(t t) s(t)
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三、推广：一般平面曲线运动中的加速度
质点的轨迹可以看成是由无穷多个圆组合而成。
对圆周运动而言：曲率半径各点相同 R,
于是对曲线上任一点，研究该点的速度、加速度情况时，
仅需要将 R 换成 就得到一般曲线运动的加速度的正交分解式。
a n
v2
0
at
dv dt
a
dv dt
v2
n＝a
x
i
解：(1)
x v0t y 1 gt 2
2
o
1 x2g
y 2
v02
y
v0
x
an
a
g
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(2) vx v0 , vy gt
o v0
x
v vx2 vy2 v02 g2t2
arctg gt
y
v0
an
a
g
dv
g2t
a dt v02 g2t 2
与速度同向
an
g2 a 2
v0 g v02 g2t2
ay
j
azk
瞬时曲率半径
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三、推广：一般平面曲线运动 运动中的加速度
v2
an
dv a dt
0
a
力学中利用加速度与曲率半径的关系求曲线轨迹上各点的曲率半径。
a
a 2 an2
v2
2
dv dt
2
v2
a2
dv
2
dt
1 yx2
3 2
yx
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四、讨论几种特殊情况：
R
即圆周运动的加速度可分解为两个正交分量：
o a
n
a n
P a
a
dv dt
a n
v2 R
aavn
切向加速度，其大小表示质点速率变化的快慢 法向加速度，其大小反映质点速度方向变化的快慢
大学物理
aan
aann00
切向加速度、反映速度大小变化， 法向加速度、反映速度方向变化，
an 0，a 0 变速直线运动；
S+
n
O
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二、 自然坐标系下的加速度
由加速度的定义有
a
dv dt
由于质点速度的方向一定沿着轨迹的切向，因此， 自然坐标系中可将速度表示为：
v
v
a
dv dt
d
v dt
大学物理
讨论物理意义：
以圆周运动为例讨论上式中两个分项的物理意义：
a
dv dt
dv
dt
难点：
d的大小如何？方向如何？
dt
大学物理
a dv d v(t)
以圆周运动为例：
dt dt
( dv ) v d
dt
dt
v dv
d B v
A
d 1 d n d ds n v n
dt dt
ds dt
d
dS d
d 1 ds
2d 1
a
dv
dt
v2
n0
＝1
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自然坐标系下加速度表达式：
a dv v 2 n
dt
在t 时刻，质点运动到位置 s 处。其速度大小为：
v
ds dt
v0
bt
s
o
P
R
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（1）t 时刻切向加速度、法向加速度及加速度大小:
aτ
dv dt
d2s dt 2
b
an v 2
(v 0
bt)2
R
R
a
aτ2 an2
(v0 bt)2 (bR)2 R
（2）令a = b ，即
a (v0 bt)2 (bR)2 b R
t v0 b
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（3）当a = b 时，t = v0/b ，质点历经的弧长为
s v0t bt2/2
v02/2b
它与圆周长之比即为圈数：
n s v02
2R 4Rb
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an at
an at
a
v2 an R
变化
a t 均匀=不变
a
a
a
2 t
a
2 n
变化
tg an
at
变化
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例、由楼窗口以水平初速度v0射出一发子弹，取枪 口为原点，沿v0为x轴，竖直向下为y轴，并取发射 时t=0.试求：
(1)子弹在任一时刻t的位置坐标及轨道方程；
(2)子弹在t时刻的速度，切向加速度和法向加速度。
a
？ 两组单位矢量 i jk 与
n
的区别是什么？
a
a
an
o
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练习
1: 下列哪一种说法是正确的（ ） （A）运动物体加速度越大，速度越快 （B）作直线运动的物体，加速度越来越小，速
度也越来越小 （C）切向加速度为正值时，质点运动加快 （D）法向加速度越大，质点运动的法向速度变
化越快
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