2013-01-2自然坐标系下的速度-加速度

a
a
0，an
a
an
0
为匀速率曲线运动（圆 周运动）
dv dt
0
v2
n0
a an
a
a a a 2 an 2 dv dt2 v2 2
加速度总是指向曲线的凹侧
大学物理
自然坐标系中总加速度为：
a a an
改变速度大小
大小 a a 2 an2
加速度
方向 tan 1 an
大学物理
a dv d v(t)
以圆周运动为例：
dt dt
( dv ) v d
dt
dt
v dv
d B v
A
d 1 d n d ds n v n
dt dt
ds dt
d
dS d
d 1 ds
2d 1
a
dv
dt
v2
n0
＝1
大学物理
自然坐标系下加速度表达式：
a dv v 2 n
dt
解：(1)
x v0t y 1 gt 2
2
o
1 x2g
y 2
v02
y
v0
x
an
a
g
大学物理
(2) vx v0 , vy gt
o v0
x
v vx2 vy2 v02 g2t2
arctg gt
y
v0
an
a
g
dv
g2t
a dt v02 g2t 2
与速度同向
an
g2 a 2
v0 g v02 g2t2
a
？ 两组单位矢量 i jk 与
n
的区别是什么？
a
a
an
o
大学物理
练习
1: 下列哪一种说法是正确的（ ） （A）运动物体加速度越大，速度越快 （B）作直线运动的物体，加速度越来越小，速
度也越来越小 （C）切向加速度为正值时，质点运动加快 （D）法向加速度越大，质点运动的法向速度变
化越快
大学物理
Key: c
t v0 b
大学物理
（3）当a = b 时，t = v0/b ，质点历经的弧长为
s v0t bt2/2
v02/2b
它与圆周长之比即为圈数：
n s v02
2R 4Rb
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选择=结果
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ay
j
azk
瞬时曲率半径
大学物理
三、推广：一般平面曲线运动 运动中的加速度
v2
an
dv a dt
0
a
力学中利用加速度与曲率半径的关系求曲线轨迹上各点的曲率半径。
a
a 2 an2
v2
2
dv dt
2
v2
a2
dv
2
dt
1 yx2
3 2
yx
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பைடு நூலகம்
四、讨论几种特殊情况：
与切向加速度垂直
大学物理
例题
一质点沿半径为R的圆周按规律 s v0t b运t 2动/ 2，
v0、b 都是正的常量。求：
（1） t 时刻质点的总加速度的大小
（2） t 为何值时，总加速度的大小b
s
（3）当总加速度大小为b时，质点沿圆周运
行了多少圈。
o
P
R
大学物理
解：先作图如右，t = 0 时，质点位于s = 0 的 p 点处。
R
即圆周运动的加速度可分解为两个正交分量：
o a
n
a n
P a
a
dv dt
a n
v2 R
aavn
切向加速度，其大小表示质点速率变化的快慢 法向加速度，其大小反映质点速度方向变化的快慢
大学物理
aan
aann00
切向加速度、反映速度大小变化， 法向加速度、反映速度方向变化，
an 0，a 0 变速直线运动；
下面三种情况分别代表那一类运动？
１. ，an＝0， a 0, 2. ＝常量，an 0，a＝0, 3. ＝常量，an 0，a 0,
１. 变速直线运动 ２. 匀速率圆周运动 ３. 变速率圆周运动
大学物理
讨论
质点沿固定的圆形轨道， 若速率 v 均匀增加，at 、an、
a以及加速度与速度间的夹角中哪些量随时间变化？
S+
n
O
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二、 自然坐标系下的加速度
由加速度的定义有
a
dv dt
由于质点速度的方向一定沿着轨迹的切向，因此， 自然坐标系中可将速度表示为：
v
v
a
dv dt
d
v dt
大学物理
讨论物理意义：
以圆周运动为例讨论上式中两个分项的物理意义：
a
dv dt
dv
dt
难点：
d的大小如何？方向如何？
dt
在t 时刻，质点运动到位置 s 处。其速度大小为：
v
ds dt
v0
bt
s
o
P
R
大学物理
（1）t 时刻切向加速度、法向加速度及加速度大小:
aτ
dv dt
d2s dt 2
b
an v 2
(v 0
bt)2
R
R
a
aτ2 an2
(v0 bt)2 (bR)2 R
（2）令a = b ，即
a (v0 bt)2 (bR)2 b R
an at
an at
a
v2 an R
变化
a t 均匀=不变
a
a
a
2 t
a
2 n
变化
tg an
at
变化
大学物理
例、由楼窗口以水平初速度v0射出一发子弹，取枪 口为原点，沿v0为x轴，竖直向下为y轴，并取发射 时t=0.试求：
(1)子弹在任一时刻t的位置坐标及轨道方程；
(2)子弹在t时刻的速度，切向加速度和法向加速度。
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三、推广：一般平面曲线运动中的加速度
质点的轨迹可以看成是由无穷多个圆组合而成。
对圆周运动而言：曲率半径各点相同 R,
于是对曲线上任一点，研究该点的速度、加速度情况时，
仅需要将 R 换成 就得到一般曲线运动的加速度的正交分解式。
a n
v2
0
at
dv dt
a
dv dt
v2
n＝a
x
i
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上册
自然坐标系
在运动轨道上任一点建立正交坐 标系,其一根坐标轴沿轨道切线方 向,正方向为运动的前进方向；
另一根沿轨道法线方向，正方向 指向轨道内凹的一侧。
v,a
n
n
切向单位矢量
法向单位矢量 n
显然，轨迹上各点处，自然坐标轴的方位不断变化。
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一、自然坐标系下的速度
s s(t t) s(t)
v lim r
t0 t
ds
dt
vr ds v v v
dt
z
v
p s
s
r q
r(t)
r(t t)
o
y x
自然坐标系下的 速度表达式
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讨论物理意义：
vr ds v v v
dt
ds v dt
1、 瞬时速率 v：
反映了质点任一时刻沿轨道运动的快 慢。
2、任何时刻质点的速度总沿轨道的 切线方向，速度只有切线分量而无法 向分量。