3.3 线性方程组的消元解法
第三章 线性方程组
第三章 线性方程组§3.1 线性方程组的矩阵消元解法例3.1 求解线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=-+45342622321321321x x x x x x x x x解方程组通常采用消元法，比如将第2个方程乘2-加到第1个方程，可消去1x 得到09632=-x x ，将此方程两边除以3，约简可得03232=-x x 。
除了消元和约简，有时还要交换两个方程的位置。
这些变形运算实际上仅在变量的系数之间进行，所以只需将所有的系数和常数项列成一个矩阵，做初等行变换即可。
显然消元、约简和交换方程位置分别相当于矩阵的消去变换、倍缩变换和换行变换。
比如上面对本例的两个具体变形相当于以下矩阵初等行变换：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---411534216122→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---411534210960→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---411534210320 其中第一个变换是第2行乘2-加到第1行，第二个变换是以31乘第1行。
矩阵的初等变换可以使解方程组的过程显得紧凑、快捷、简洁。
下面我们运用初等变换的标准程序（参看§2.4）来解例3.1的线性方程组：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---4115342]1[6122→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----111990342109]6[0 −→−*⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---11]5.5[0005.1103101→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛210030101001 其中，主元都用“[ ]”号作了标记。
消元与换行可同步进行（如带“*”号的第二步），换行的目的是为了使主元呈左上到右下排列。
最后一个矩阵对应方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++200300100321x x x 实际上已得到方程组的解是11=x ，32=x ，23=x 。
写成列向量()Tx 2,3,1=，叫做解向量。
显然解向量可以从最后一个矩阵右侧的常数列直接读出，无需写出对应的方程组。
第二章曾经把一般的线性方程组（2.2）写成矩阵形式b Ax =，比如例 3.1的线性方程组，写成矩阵形式是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---436115421122x 。
线性方程组的消元法
1.2 消元法与矩阵初等变换的关系
定义
定义 2 设 n 元线性方程组
1( 3 )
2
x1
x 2 x2
2x x3
3
2 2
x3 4
(1) ， (2) ， (3) ，
解得 x3 4 ，x2 6 ，x1 12 ．
系数矩阵是阶梯形矩阵的方程组称为阶梯形方程组。
（4-1）
1.1 消元法
定义
消元法解线性方程组的实质是反复地对方程组进行变换，得到阶梯形方程组．而所作的 变换，也只有以下三种类型．
线性代数
1.1 消元法
例题
例1
2x1 x2 5x3 2
解线性方程组
x1
x2 2x3 2
x1 2x2 x3 4
(1) ， (2) ， (3) ．
解：为了更方便地表达解题过程，可用符号来表示，符号含义如下： (1) (2) 表示交
换方程 (1) 与 (2) ； (2) 2(1) 表示方程 (2) 减去方程 (1) 的 2 倍，类似地， (3) (1) 表示方程 (3)
加方程 (1) ， (3) (2) 表示方程 (3) 减去方程 (2) ； 1 (3) 表示方程 (3) 乘以 1 ．
2
2
消元法解方程组的过程表示如下．
2x1 x2 5x3 2 (1)
x1 x2 2x3 2 (1)
x1
x2 2x3 2
(2) (1)(2) 2x1 x2 5x3 2
线性方程组的消元法
线性方程组的消元法线性方程组的消元法是解决线性方程组的常用方法之一，通过逐步消去未知数的系数，将方程组转化为更简单的形式，从而求得方程组的解。
本文将详细介绍线性方程组的消元法及其应用。
1. 消元法简介消元法是一种通过逐步消除未知数的系数，将线性方程组转化为更简单形式的方法。
它的基本思想是通过不断的代入与消去操作，将方程组转化为三角形式或最简形式，从而求得方程组的解。
2. 线性方程组的一般形式线性方程组的一般形式可以表示为：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ = bₙ其中，a₁₁、a₁₂、...、aₙₙ为未知数的系数，b₁、b₂、...、bₙ为常数项。
3. 消元法的步骤（1）选取主元：根据方程组的特点，选择一项作为主元，并将其系数置为1，并且使其所在的其他行对应的列的系数皆为0，这样可以简化计算过程并减少误差。
（2）代入消元：选择一个非主元进行代入，将其代入主元所在的其他方程中，从而消去该未知数。
（3）重复步骤（1）和（2），直至将所有的非主元都消去为止。
（4）最后得到一个三角形形式的线性方程组，可以通过回代法求解该方程组的解。
4. 消元法的应用消元法广泛应用于各个领域，特别是在科学和工程领域中具有重要作用。
以下是几个应用实例：（1）经济学中的输入产出模型：通过消元法可以分析不同产业之间的投入产出关系，从而得出经济模型的解释。
（2）物理学中的电路分析：通过消元法可以简化复杂的电路方程组，从而计算出电路中各个节点的电压和电流。
（3）化学反应平衡问题：通过消元法可以解决化学反应平衡过程中的复杂线性方程组，从而得到反应物和生成物的浓度。
5. 总结消元法是一种解决线性方程组的有效方法，通过逐步消除未知数的系数，将方程组转化为更简单的形式，从而求得方程组的解。
消元法求解线性方程组
消元法求解线性⽅程组
这⾥的消元法，主要是针对矩阵A可逆的情况下(如果A不可逆消元后不好回代)，即线性⽅程组只有唯⼀解的情况下，有多解的情况的解法在后⾯介绍。
其中的⼀种分解⽅法是LU分解。
这种⽅法的优势在于分解结果中L（上三⾓矩阵）和U（下三⾓矩阵）都是三⾓形矩阵，后续运算⽐较简便。
⽽且⼆者恰好相配，使⽤计算机进⾏运算时可以存储在⼀个数组中，节约存储空间。
利⽤A的LU分解解线性⽅程组的过程为将Ax=b等价变形成（LU）x=b，根据结合律有L(Ux)=b，再解Ly=b中的y，最后解Ux=y得到线性⽅程组的解。
Processing math: 100%。
线性方程组的消元解法课件
第七步，消去(8)中的x2，(8)-(10) 得
线性方程组的消元解法
x1 x2 3 (8)
x2 2 (10)
x3 2 (7)
第七步，消去(8)中的x2，(8)-(10) 得
x
1
x2
1 2
x3 2
由此得到了方程组的解。
思考：上述求解过程用到了哪些方法，从而逐步 对原方程组进行消元变简？
对于方程组的加减消元法用到的三种初等变换也只
对增广矩阵进行，反映在矩阵上即为
1、交换矩阵的某两行，记为 ri r j ; 2、用一个非零常数乘矩阵的某一行，记为 k r i ;
3、用一个数乘矩阵的某一行后加到另一行上， 记为 ri k r j .
称此三种变换为矩阵的行初等变换。
线性方程组的消元解法
由于二元一次方程表示平面上的一条直线，所以 将一次方程称为线性方程，将一次方程组称为线性 方程组。
线性方程组的消元解法
线性方程组的一般形式
a11x1 a12x2 a1n xn b1
a21x1
a22 x2
a2n xn b2
(1)
am1x1 am2x2 amn xn bm
其中有 n 个未知量 x1,x2, ,xn，m 个方程，a ij R (i 1 , ,m ;j 1 , ,n )是未知量的系数，b1, ,bmR 是常数项。
x1 x2 2 x3 1
3x2 2 x3 2
x3 2
1 2
r3
1 0
1 3
2 2
1 2
0 0 1 2
(1)-2×(3)，(2)+2×(3) 得
线性方程组的消元解法
x1 x2 2 x3 1
3x2 2 x3 2
线性方程组的解法消元法代入法高斯消元法
线性方程组的解法消元法代入法高斯消元法线性方程组的解法：消元法、代入法和高斯消元法线性方程组是数学中的基本概念之一，在现代数学和物理学的研究中有着广泛的应用。
为了求解线性方程组，人们发明了许多方法，其中最常用的有消元法、代入法和高斯消元法。
本文将介绍这三种方法的基本原理和求解步骤，并通过实例对其进行说明。
一、消元法消元法是一种通过逐步消除未知量，从而求解线性方程组的方法。
其基本原理是利用等式变换，逐步消去各个方程中的未知量，直到将方程组化为上三角形式，然后通过回代方法，求解未知量的值。
具体步骤如下：1. 将含有未知量的项都移动到等式的同一侧，即将线性方程组转化为增广矩阵形式。
2. 选取一个主元素，将该列的其他元素全部变为0，从而消去该列的未知量。
3. 依次选取下一个主元素，直到整个增广矩阵被消元成上三角形式。
4. 利用回代方法，求解未知量的值。
二、代入法代入法是一种通过将一个方程的解代入另一个方程，逐步求解未知量的方法。
其基本原理是将一个方程的未知量表示为另一个方程的已知量，不断代入，从而求解未知量的值。
具体步骤如下：1. 将一个方程的未知量表示为另一个方程的已知量。
2. 将该解代入另一个方程，求解未知量的值。
3. 重复以上步骤，直到求出所有未知量的值。
三、高斯消元法高斯消元法是一种通过矩阵变换，将线性方程组化为上三角形式，从而求解未知量的方法。
其基本原理是利用初等矩阵变换，逐步将增广矩阵化为上三角形式，然后通过回代方法，求解未知量的值。
具体步骤如下：1. 将矩阵的列向量按递增顺序排列，从左到右依次选取主元素。
2. 利用初等矩阵变换，将每一列的主元素下方元素全部变为0。
3. 重复以上步骤，直到整个增广矩阵被化为上三角形式。
4. 利用回代方法，求解未知量的值。
举例说明：考虑以下线性方程组：x + 2y – z = 92x – y + 3z = –33x + y + 4z = 12采用消元法求解：将该方程组转化为增广矩阵形式：1 2 –1 | 92 –13 | –33 14 | 12选取主元素1，将第2行乘以2减去第1行，将第3行乘以3减去第1行，得到：1 2 –1 | 90 –5 5 | –210 –5 7 | –15选取主元素–5，将第3行减去第2行，得到：1 2 –1 | 90 –5 5 | –210 0 2 | 6将该矩阵化为上三角形式，然后采用回代方法，求得：x = 2y = –3z = 3同样的，采用代入法或高斯消元法也能求解出相同的结果。
线性方程组的解法(代入消元法)
线性方程组的解法(代入消元法)引言线性方程组是数学中常见的问题之一，解决线性方程组的方法有很多种。
其中，代入消元法是一种比较常用且简单的解法。
本文将介绍代入消元法的原理和步骤，以及具体的示例。
原理代入消元法的基本思想是：将一个方程的解代入到其他方程中，通过逐步消去未知数的方法求得最终的解。
这种方法适用于方程组的规模较小的情况。
步骤代入消元法的步骤如下：1. 确定方程组的个数和未知数的个数，假设方程组有n个方程和n个未知数。
2. 选择一个方程作为基本方程，将其化简为只含有一个未知数的形式。
3. 将已知方程的解代入到其他方程中，并逐步消去未知数。
4. 重复步骤2和步骤3，直到最后一个未知数的解求得。
5. 将求得的未知数的值代入到其他方程中，验证解是否正确。
示例假设有如下线性方程组：2x + y = 53x - 2y = -4我们可以选择第一个方程作为基本方程，将其化简为只含有一个未知数的形式：y = 5 - 2x然后，将y的值代入到第二个方程中：3x - 2(5 - 2x) = -4通过展开和合并同类项的运算，得到：7x - 10 = -4继续化简，得到：7x = 6解得x的值为x = 6/7。
将x的值代入到第一个方程中，得到：2(6/7) + y = 5y = 5 - 12/7化简，得到：y = 23/7因此，线性方程组的解为x = 6/7，y = 23/7。
结论代入消元法是一种简单而有效的解线性方程组的方法。
通过选择一个方程作为基本方程，并逐步代入其他方程中消去未知数，最终可以求得方程组的解。
在实际应用中，代入消元法常用于解决线性方程组个数较少的情况。
以上是关于线性方程组的解法(代入消元法)的介绍，希望对你有所帮助。
第一节 线性方程组的消元解法
解
用消元法
2 x1 − 3 x2 + 2 x3 = 9 3 x1 + 2 x2 + 9 x3 = 19 x1 + x2 + 2 x3 = 4 x1 + x2 + 2 x3 = 4 ①,③ 3 x + 2 x + 9 x = 19 1 2 3 互换 2 x1 − 3 x2 + 2 x3 = 9 x1 + x2 + 2 x3 = 4 − x + 3x = 7 2 3 −17 x3 = −34
(-3)①+② 3)① (-2)①+③ 2)①
x1 + x2 + 2 x3 = 4 (-5)②+③ 5)② − x2 + 3 x3 = 7 −5 x 2 − 2 x 3 = 1
阶梯形方程组
x1 + x 2 + 2x 3 = 4
− x 2 + 3x 3 = 7 −17x 3 = −34
− 1 ③ 17
x1 + x 2 + 2x 3 = 4 − x 2 + 3x 3 = 7 x3 = 2 =0 =1
x3 = 2
阶梯形方程组
(-3)③+② 3)③ (-2)③+① 2)③
x1 + x 2 − x2
x1
=1 x2 = −1
x3 = 2
简化阶梯形矩阵每个1对应的未知量为非自由未知量其余的为自由未知量令自由未知量为任意常数将非自由未知量用自由未知量表示出来就得到方程的全部解
第三章
线性方程组
克莱姆法则
3.3 线性方程组的消元解法
x1 -2x2+4x3 = 3
2xx22++52xx33
= =
3 8
于是得到
x3=2， x2 =3-2x3 =-1， x1=3+2x2-4x3=-7。
方程组的解为
x1=x2=-
7 1。
x3= 2
—r3-—2r2
x1
-2x2+4x3 x2+2x3
= =
3 3，
x3 = 2 最新课件
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1 5 -1 -1 -1
解： (A b)=
1 1
6 -2 -3 -3 3133
11377
10499
0 0
1 -1 -2 -2 0000
，
00000
R (A )=R (A ,b)=2 4 , 故方程组有无穷多解.
方程组的一般解为
x1 = 9 - 4x3 x2 =- 2 + x3
- 9x4 + 2x4
(x3, x4任意)
则方程组的通解为：
x1=- 9 - 4c1 - 9c2
x2=- 2 + c1 + 2c2
x3 =
c1 c1
x4 =
c2
(c1,c2 R)
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12
铃
例3．解线性方程组
x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 1 x2 + x3 - 4x4 = 1 。
x1 + 2x2 + 3x3 - x4 = 4 2x1 + 2x2 - x3 - x4 =- 6
数学复习线性方程组的高斯消元法与矩阵法
数学复习线性方程组的高斯消元法与矩阵法高中数学中，线性方程组是一个重要的概念和应用。
解线性方程组的方法有很多种，其中比较常见且实用的是高斯消元法和矩阵法。
本文将为大家详细介绍这两种解线性方程组的方法，并附有相应的答案和解析。
一、高斯消元法高斯消元法是一种基于初等行变换的算法，通过逐步化简线性方程组，将其转化为阶梯形矩阵。
以下是解线性方程组的高斯消元法步骤：1. 行初等变换对于一个包含n个未知数和m个方程的线性方程组，我们可以将其表示为增广矩阵[A|B]，其中A是一个m×n的系数矩阵，B是一个m×1的常数矩阵。
首先，我们需要对增广矩阵进行一系列的行初等变换。
行初等变换包括以下三种操作：- 将某行的倍数加到另一行上。
- 交换两行的位置。
- 将某行的元素乘以一个非零常数。
2. 消元过程在进行行初等变换后，我们需要逐行对增广矩阵进行消元操作，以得到阶梯形矩阵。
消元过程主要包括以下几个步骤：- 选取第一行的第一个非零元素作为主元素（主元素为0时向下一行继续选取）。
- 使用主元素将下方的元素消为零，得到一个新的增广矩阵。
- 重复以上步骤，直到将整个增广矩阵化为阶梯形矩阵。
3. 回代求解得到阶梯形矩阵后，我们可以通过回代的方式求解线性方程组。
回代的过程主要包括以下几个步骤：- 从最后一行开始，求解得到最后一个未知数的值。
- 将求解得到的最后一个未知数的值代入到倒数第二行的方程中，求解得到倒数第二个未知数的值。
- 重复以上步骤，直到求解得到所有的未知数的值。
高斯消元法的优点是步骤简单易懂，适用于任意规模的线性方程组。
但当系数矩阵的元素过大或过小，或者方程组的条件较差时，可能会出现误差累积的问题。
二、矩阵法矩阵法是另一种解线性方程组的常用方法，它将线性方程组转化为矩阵形式，并通过矩阵的性质求解。
以下是解线性方程组的矩阵法步骤：1. 矩阵表示将一个包含n个未知数和m个方程的线性方程组表示为矩阵形式[A|B]，其中A是一个m×n的系数矩阵，B是一个m×1的常数矩阵。
线性方程组的解法
线性方程组的解法线性方程组是初等代数中的重要概念，它描述了一组线性方程的集合。
解决线性方程组是数学和物理等领域中最为基础且重要的问题之一。
本文将介绍三种常见的线性方程组解法：高斯消元法、矩阵求逆法和矩阵的列主元素消去法。
一、高斯消元法高斯消元法是最常用的线性方程组解法之一。
其基本思想是通过一系列的行变换将线性方程组转化为阶梯形矩阵，进而求解出方程组的解。
以一个二元线性方程组为例：```a₁₁x₁ + a₁₂x₂ = b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ = b₂```通过行变换，我们可以将其转化为阶梯型矩阵：```a₁₁'x₁ + a₁₂'x₂ = b₁'a₂₂'x₂ = b₂'```其中，a₁₁'、a₁₂'、b₁'、a₂₂'、b₂'是经过行变换后的新系数。
由此可得到方程组的解。
二、矩阵求逆法矩阵求逆法是利用逆矩阵的性质来求解线性方程组的解法。
对于一个n阶线性方程组Ax = b，其中A为系数矩阵，x为未知数向量，b为常数向量。
首先，我们需要判断系数矩阵A是否可逆。
若A可逆，则可以得到A的逆矩阵A⁻¹。
方程组的解即为x = A⁻¹b。
若A不可逆，说明方程组的解不存在或者有无穷多个解。
三、矩阵的列主元素消去法矩阵的列主元素消去法是一种改进的高斯消元法，其目的是尽量减小计算误差。
在高斯消元法中，我们选择主元素为每一行首非零元素。
而在列主元素消去法中，我们选择主元素为每一列的绝对值最大的元素。
类似于高斯消元法，列主元素消去法也通过一系列的行变换将线性方程组转化为阶梯形矩阵。
通过后向代入的方法，可以得到方程组的解。
总结线性方程组的解法有多种，其中包括高斯消元法、矩阵求逆法和矩阵的列主元素消去法。
这些解法在不同场景下都有其应用价值，具体的选择取决于问题的特点和所需计算的精度。
通过掌握这些解法，并结合具体问题的特点，我们可以高效解决线性方程组，进而应用到更广泛的数学和物理等领域中。
第9讲：线性方程组的消元解法
课题：线性方程组的消元解法教学目的：掌握线性方程组的定义，矩阵表示式，消元解法教学重点：高斯消元法教学时数：二学时教学设计：I •引入课题在行列式的学习中，我们学到了克莱姆法则，可以利用行列式来解线性方程组，如X i X2 - X3 =0«2石+3x2+ x3 = 73石一2x2 _2x3 = -31 1由克莱姆法则，有D=2 33 -2故X1 = 1, x 2 =1,X3 =2。
克莱姆法则可以作为一种解方程组的方法，但计算量比较大，而且只能解方程个数与未知数个数相同的线性方程组，比较有局限性，今天开始，我们来学习普通的方程组的解法，并由此引入向量组的相关问题。
第三章线性方程组与向量组的线性相关性II .新课设计3.1线性方程组的消元解法一.线性方程组a“X1 +a12X2 +■八+amx n =6a21X1 +a22 X2 +"八+a2n X n =b2形如< 的方程组，称为线性方程组，若令i a m1X1 *a m2X2 衣*a mn x n =b ma11 a12 a1 n f 、X1A = a 21 a 22・・・a 2 n ---系数矩阵，X = X2 I----未知数矩阵，b = b2--常数矩阵。
& m1 a m 2・・・amn」2n」-1 0 1 -11 =16 , D1 =7 3 1 =16 ,-2 -3 -2 -21 1 02 3 7 =323 -2 -30 -17 1 =16 , D3-3 -2D2(6)线性方程组的分类若b =0，则线性方程组为 AX =0，称为齐次线性方程组 若b = 0，则线性方程组为 AX =b ，称为非齐次线性方程组 。
对于AX b 若只改变b = 0，则称AX 0为原方程组的到处方程组。
二•线性方程组的消元解法---高斯消元法例1 •解线性方程组（每写一个方程组，同时写出对应的增广矩阵）X i +X 2—X 3 =0r1 1 -1 0a,彳2X t + 3x 2 + x 3 = 72 3 1 7 --A3X i 一2x 2 一2X 3 = -33 J-2-2_3J解：(1)汉一2+(2), (1)疋 d +3X i +X 2 -X 3 =0 q 1 一 1b, <X 2 十3x 3 =71 3 1 —B一 5X 2 +X 3 = -3-51~2J(4) 5 - (5)d + X 2 - X 3 = 0 「11-1 0 ' < x 2 +3x 3 = 70 13 7 J6x 3 =321632」116X 1 + x 2 -x 3 =01 _1 0、X 2 — 3X 3 =7 0 1 3 7,X 3 =2<0 012」ai2ainb i 、 增广矩阵：(Ab )=a21a22・ ・a2nb 2i a m1am 2・ ・amnb n J则方程组可用矩阵可表示为:AX = b ---方程组的矩阵表示以后，要求能根据方程组写出增广矩阵, （举例说明）反之，给出增光矩阵，能写出对应的方程组。
解线性方程组的消元法
注： 初等矩阵是可逆的，逆矩阵仍为初等矩阵。
变换 ri rj 的逆变换是其本身， 则 E ( i , j ) 1 E ( i , j ) ；
1 变换 ri k 的逆变换为 ri ， k 1 1 则 E ( i ( k )) E ( i ( )); k
变换 ri krj 的逆变换为ri ( k )rj， 则 E ( ij ( k ))1 E ( ij ( k )) .
2 3 1 1
1 2 0 7 r r ( 4) x 2 x 7 0 6 5 24 ( 1 ) r r ( 2) 1 2 (1)( 4 ) ( 2 ) (1)( 2 ) ( 3) ( 2 ) 6 x 5 x 24 2 3 0 5 3 13 5 x2 3 x3 13 (3)
ai(1) 1 i (1) (2) a22
(i 3,
n)
照此消元，直至第 n 1步得到三角形方程组
(0) (0) (0) 0) a11 x1 a12 x 2 a13 x3 a1(n x n b1( 0) (1) (1) (1) (1) a x a x a x b 22 2 23 3 2n n 2 ( 2) ( 2) ( 2) a33 x3 a 3 x b n n 3 ( n 1) ( n 1) a x b nn n n
(0) 11
a12 a 22
a1n a2n
a n 2 a nn
a a a
(0) 13 (1) 23 ( 2) 33
b1 b2 a r r bn a
n n1 11
a21 r1 a11 a r3 31 r1 a11 r2
线性方程组的消元解法
满足以下两个条件：
1）各非零行的第一个非零元素都是1。
2）所有第一个非零元素所在列的其余元素均为零。 则称该矩阵为行简化阶梯形矩阵。
例如
1 0 2 5 3
1 3 0 2 0 1
0 0
1 0
4 0
0 0
10、
0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 3
等，均为行简化阶梯形矩阵。
1.4 线性方程组的解法
0
0 1
2③ ①
0
01
0
0
0 0 0 1 1
0 0 1 0 0
0 0 0
1
1
x1 1
于是得方程组的解为
x2 x3
1 0
x4 1
由上例可知，利用矩阵的有关知识解线性方
程组的具体步骤为：
1)写出该线性方程组的增广矩阵 A 。 2)把此增广矩阵 A 划成行简化阶梯形矩阵。
3)“读出”线性方程组的解来。
数学
0 0
6
3
3
0 0 0
51
51
1④
51
1 0
1 1
2 1
1 3
③
0 0 1 0 0 0
3 4
1 5
9④③
1 0
1 1
2 1
9 9 4④ ②
0 0 1
1
1
3④
Hale Waihona Puke ①0 0 00 0 0 1
2
1
0
1
1 1 0 0 2
1 0 0 0 1
3③②
0
1
0
0
1
②①
0
1
数学
线性方程组的消元解法
线性方程组消元法
§1 线性方程组消元法引例：用消元法求解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-=-+2875342622321321321x x x x x x x x x解：为观察消元过程，我们将消元过程中每个步骤的方程组及与其对应的矩阵一并列出：⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-=-+2875342622321321321x x x x x x x x x ①←→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2836141722512 ① ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+-=-+1327202936223232321x x x x x x x ②←→ ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--13062/72/91232002 ② ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+-=-+132130293622332321x x x x x x ③←→ ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--13062/132/91032002 ③ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+-=-+20293622332321x x x x x x ④←→ ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--20612/91032002 ④ 从最后一个方程得到X3=2，将其代入第二个方程可得到x2=3，再将x2=3 与X3=2一起代入第一个方程得到x1=1。
通常我们把过程①——④称为消元过程，矩阵④是行阶梯型矩阵，与之对应的方程组④则称为行阶梯型方程组。
从上述过程可以看出，用消元法求解线性方程组的具体做法就是对方程组反复实施以下三种变换：（1） 交换某两个方程的位置；（2） 用一个非0数乘某一个方程的两边；（3） 将一个方程的倍数加到另一个方程上去。
以上三种变换称为线性方程组的初等变换。
而消元法的目的就是利用方程组的初等变换将原方程组化为阶梯形方程组，显然这个阶梯形方程组与原方程组同解。
如果用矩阵表示其系数及常数项，则将原方程组化为阶梯形方程组的过程就是将对应矩阵化为行阶梯形矩阵的过程。
将一个方程组化为行阶梯形方程组的步骤并不是唯一的，所以，同一个方程组的行阶梯形方程组也不是唯一的。
1线性方程组的消元解法
dr1 0 时，方程组有解
r( A ) r( Ab )
r n 时，方程组有唯一解 r( A ) r( Ab ) n r n 时，方程组有无穷多解 r( A ) r( Ab ) n
即： 线性方程组化为阶梯形后，有 r( A ) r( Ab ) 无解
r( A ) r( Ab ) n 唯一解
x1
13 7
3 7
c1
13 7
c2
x2
4 7
2 7
c1
4 7
c2
x3 c1
x4
c2
四、齐次线性方程组的求解 1、定理3.2 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件
是： r( A ) n
例5 解齐次线性方程组
x1 x2 5 x3 x4 0
x1 x2 2 x3 3x4 0
则方程组可写为： AX b
Ab
a11 a12 a1n b1
a21 a22 a2n b2
am1
am2
amn
bm
2、求解步骤：
① 写出增广矩阵
② 化为阶梯形
③ 判断是否有解，如有解
④ 进行回代
称为增广矩阵
化为阶梯形
a'
11
x1
a' 12 x2 a' 22 x2
1 0 1 7
0
1
4 1
8 9
2 4
方程组有无穷多个解
引例3 线性方程组
x31x1
2
x2 x2
3x3 5x3
x4 3x4
1
2
2x1 x2 2x3 2x4 3
解：消元得
x1
2x2 5x2
3x3 x4 4x3 1
线性代数—解线性方程组的消元法
例4 t 为何值时线性方程组
x1 x3 t 4x1 x2 2x3 t 2 6x1 x2 4x3 2t 3
有解? 并求解.
解
1 0 1 t 1 0 1
t
A 4 1 2 t 2 0 1 2 3t 2
6 1 4 2t 3 0 1 2 4t 3
1 0 1 t 当 t1时 ， r(A )r(A )2,
若( A) i k j (B), 则(B) i k j ( A).
由于三种变换都是可逆的，所以变换前的 方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种 变换是同解变换．
8
因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系 数和常数进行运算，未知量并未参与运算．
若记
2 1 1 1 2
A(Ab) 341
1 6
6
2 2
若 d r 1 0 , 则 r (A ) r (A ) r, 若 d r 1 0 , 则 r (A ) r (A ) 1 ,
线性方程组解的判定定理
线 性 方 程 组 A b 有 解 的 x 充 分 必 要 条 件 是 r(A)r(A).
在有解的情况下，
当 r(A )n时 有 唯 一 解 ； 当 r(A ) n 时 有 无 穷 多 解 ； 这 时 自 由 未 知 量 个 数 为 n r ( A ).
(1)
1 2 3 2
2x1 x2 x3 x4 2, 2x1 3x2 x3 x4 2,
2 3
3x1 6x2 9x3 7x4 9, 4
3
x1 x2 2x3 x4 4, 1
2x1 x2 x3 x4 2, 2x1 3x2 x3 x4 2,
2 3
3x1 6x2 9x3 7x4 9, 4
x1 x2 2 x3 x4 4, 1
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a11 a12 a1n
x1
b1
A=
a21
a22 a2n
， x=
x2
， b=
b2
。
am1 am2 amn
xn
bm
A、x、b分别称为方程组的系数矩阵、n元未知列向量、
常数项列向量。
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一、线性方程组的矩阵表示：
n元线性方程组
第四步，写出方程组的解。
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例2．解线性方程组
x1 + 5x2 - 5x3 - x4 =- 1 x1 + 6x2 - 2x3 - 3x4 =- 3 。 x1 + 3x2 + x3 + 3x4 = 3 x1 + x2 + 3x3 + 7x4 = 7
1 5 -1 -1 -1
解： (A b)=
1 1
6 -2 -3 -3 3133
11377
1 5 -1 -1 -1
0 1 -1 -2 -2 0 -2 2 4 4
0 -4 4 8 8
1 5 -1 -1 -1
0 1 -1 -2 -2 00000
00000
10499 0 1 -1 -2 -2 ，
00000 00000
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例2．解线性方程组
（2）有唯一解 R (A )=R (A ,b)=n; （3）有无穷多解 R (A )=R (A ,b)n.
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解线性方程组的一般步骤： 第一步，对增广矩阵施以初等行变换，化成
行阶梯形矩阵； 第二步，根据定理3判断方程组是否有解； 第三步，如果方程组有解，则对上述行阶梯
形矩阵继续施以初等行变换，化成行最简形矩阵；
a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2
+ + - =
am1x1 + am2x2 + + amnxn = bm
可以用矩阵形式表示为 Ax=b，其中
矩阵
a11 a12 a1n b1
—r1—r2
1 -2 4 3 3 -5 14 12
-1 4 1 5
r2-3r1 —r—3+r1
1 -2 01
4 2
3 3
0258
r3-2r2 1 -2 4 3 —— 0 1 2 3
0012
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r1 + 2 r2 1 0 8 9 r1 - 8 r3 1 0 0 - 7
x1 + 5x2 - 5x3 - x4 =- 1 x1 + 6x2 - 2x3 - 3x4 =- 3 。 x1 + 3x2 + x3 + 3x4 = 3 x1 + x2 + 3x3 + 7x4 = 7
1 5 -1 -1 -1
解： (A b)=
1 1
6 -2 -3 -3 3133
11377
10499
0 1 0 0 4
0 0
0 0
0 0
1 0
-2 0
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例1．解线性方程组
+3x1-5x2+14x3=12 + x1-2x2+ 4x3= 3
。
- x1+4x2+ x3= 5
解：
—r1—r2 —rr2—3-+3rr11
+3x1-5x2+14x3=12 + x1-2x2+ 4x3= 3 - x1+4x2+ x3= 5
0 0
1 0
2 1
3 2
r2 - 2 r3
0 0
1 0
0 1
-1 2
故方程组的解为
x1 x2
= =
-7 -1.
x 3 = 2
1 -2 4 3 0123 0012
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线性方程组解的判定定理：
定理3：n元线性方程组Ax=b
（1）无解 R(A)R(A,b);
0 0
(A b)=
a21
a22
a2n
b2
am1 am2 amn bm
称为线性方程组的增广矩阵。
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一、线性方程组的矩阵表示：
n元线性方程组 a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2 + + - = am1x1 + am2x2 + + amnxn = bm
可以用矩阵形式表示为 Ax=b，其中
方程组Ax=o 称为n元齐次线性方程组，Ax=b(bo)称为n 元非齐次线性方程组。
问答练习
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定义：若A是行阶梯形矩阵，并且还满足：（1）非零 行的首非零元为1；（2）首非零元所在列的其它元全为0。
则称A为行最简形矩阵。（见教材P47）
例如： 1 0 0 0 7
x1 -2x2+ 4x3 = 3 3x1 -5x2+14x3 =12 -x1 +4x2+ x3 = 5
x1 -2x2+4x3 = 3
2xx22++52xx33
= =
3 8
于是得到
x3=2， x2 =3-2x3 =-1， x1=3+2x2-4x3=-7。
方程组的解为
x1=x2=-
7 1。
x3= 2
—r3-—2r2
x1 -2x2+ 4x3 = 3 3x1 -5x2+14x3 =12 -x1 +4x2+ x3 = 5
x1 -2x2+4x3 = 3
2xx22++52xx33
= =
3 8
—r3-—2r2
x1
-2x2+4x3 x2+2x3
= =
3 3，
x3 = 2
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3 -5 14 12
(A b)= 1 -2 4 3 -1 4 1 5
一、线性方程组的矩阵表示：
n元线性方程组
a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2
+ + - =
am1x1 + am2x2 + + amnxn = bm
可以用矩阵形式表示为 Ax=b，其中
x1
-2x2+4x3 x2+2x3
= =
3 3，
x3 = 2
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求解过程与矩阵的初等行变换：
用消元法解线性方程组的过程，实质上就是对该方程组
的增广矩阵施以初等行变换的过程。
解：
+3ห้องสมุดไป่ตู้1-5x2+14x3=12 + x1-2x2+ 4x3= 3
- x1+4x2+ x3= 5
—r1—r2 —rr2—3-+3rr11