2020北大附中初三(上)开学考试数学
2020北京师大附属实验中学初三(上)开学考试数学含答案
0.04
A. 6<x<6.17
B. 6.17<x<6.18
C. 6.18<x<6.19
D. 6.19<x<6.20
10．已知二次函数 y ax2 bx c （a≠0)的图象如图所示，给出以下结论：
①因为a＞0，所以函数y有最大值；
②该函数的图象关于直线x=-1对称； ③当x=-2时，函数y的值等于0；
C． (x 2)2 3 0
D． (x 2)2 5 0
7．下列命题中正确的是 A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．对角线平分每一组对角的四边形是正方形
1 / 10
D. 9
8．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AE⊥BD于点E，∠AOB=45°，则∠BAE的大小为
证明：∵AF=AB，BE=AB，
∴=
．
在 ABCD 中，AD∥BC，即AF∥BE．
∴四边形ABEF为平行四边形．（
）（填推理的依据）
∵AF=AB ，
∴四边形ABEF为菱形．（
）（填推理的依据）
19．（6分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．如图1中是以格点为顶
点面积为5的正方形.
21．（6分）关于x的一元二次方程 x2 （k 3）x 2k 2 0 ．
（1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一根小于1，求k的取值范围．
22.（6分）下面给出了我国31个省份2019年居民人均可支配收入（单位：万元）：
1.9139 1.9501 2.0397 2.2082 2.2618 2.3103 2.3328 2.3828 2.3903 2.4254 2.4412 2.4563 2.4666 2.4703 2.5665 2.6262 2.6415 2.6679 2.7680 2.8319 2.8920 3.0555 3.1597 3.1820 3.5616 3.9014 4.1400 4.2404 4.9899 6.7756 6.9442 对上述数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
北京师范大学附属实验中学2020-2021学年九年级上学期开学摸底测试数学试题(解析版)
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确．
故选D．
【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
A.2B.3C.2.5D.4
【答案】B【解析】
【分析】根据中位数的计算方法计算即可；
【详解】把数据从小到大排序为2，2，3，4，5，
所以中位数是3．
【点睛】本题主要考查了中位数的计算，准确计算是解题的关键．
4.如图， 中， ， ， ，则 的长为（）
A.2B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据勾股定理计算即可；
二、填空题（每小题3分，共18分）
11.若关于 一元二次方程 的一根为1，则 的值是________．
【答案】1
【解析】
【分析】把方程的根代入方程可以求出字母系数的值．
【详解】解：把x=1代入方程有：1＋m−2m＝0
m＝1．
故答案为：1．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程可以求出字母系数的值．
【详解】解：A、 属于最简二次根式，符合题意；
B、 属于三次根式，不合题意；
C、 ＝|x|，不属于最简二次根式，不合题意；
D、 ＝3，不属于最简二次根式，不合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了最简二次根式，最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方x（x−4）+2（x−4）＝0，
（x−4）（x+2）＝0，
2020-2021北京市北大附中九年级数学上期中第一次模拟试题(带答案)
2020-2021北京市北大附中九年级数学上期中第一次模拟试题(带答案)一、选择题1．如图，BC 是半圆O 的直径，D ，E 是»BC上两点，连接BD ，CE 并延长交于点A ，连接OD ，OE ，如果40DOE ∠=︒，那么A ∠的度数为（ ）A ．35°B ．40°C ．60°D ．70° 2．如图A ，B ，C 是上的三个点，若，则等于（ ）A ．50°B ．80°C ．100°D ．130°3．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ） A ． B ． C ．D ．4．如图所示的暗礁区，两灯塔A ，B 之间的距离恰好等于圆的半径，为了使航船（S ）不进入暗礁区，那么S 对两灯塔A ，B 的视角∠ASB 必须（ ）A ．大于60°B ．小于60°C ．大于30°D ．小于30° 5．已知()222226x y y x +-=+，则22x y +的值是（ ） A ．－2 B ．3 C ．－2或3 D ．－2且36．若关于x 的方程240kx x -+=有实数根，则k 的取值范围是( )A ．k 16≤B ．1k 16≤C ．k 16≤且k 0≠D ．1k 16≤且k 0≠ 7．如图，一个游戏转盘中，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为60︒，90︒，210︒．让转盘自由转动，指针停止后落在黄色区域的概率是( )A ．16B ．14C ．13D ．7128．下列事件中，属于必然事件的是（ ）A ．任意数的绝对值都是正数B ．两直线被第三条直线所截，同位角相等C ．如果a 、b 都是实数，那么a ＋b ＝b ＋aD ．抛掷1个均匀的骰子，出现6点朝上 9．函数y=x 2+bx+c 与y=x 的图象如图所示，有以下结论：①b 2﹣4c ＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x ＜3时，x 2+（b ﹣1）x+c ＜0． 其中正确的个数为A ．1B ．2C ．3D ．410．如图，圆锥的底面半径r 为6cm ，高h 为8cm ，则圆锥的侧面积为（ ）A ．30πcm 2B ．48πcm 2C ．60πcm 2D ．80πcm 2 11．用配方法解方程2890x x ++=，变形后的结果正确的是( ) A ．()249x +=- B ．()247x +=- C ．()2425x +=D ．()247x += 12．如图，在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，AB ＝10，»»»AC CDDB ==，点E 是点D 关于AB 的对称点，M 是AB 上的一动点，下列结论：①∠BOE ＝60°；②∠CED ＝12∠DOB ；③DM ⊥CE ；④CM ＋DM 的最小值是10，上述结论中正确的个数是( )A．1B．2C．3D．4二、填空题13．如图，将正六边形ABCDEF放置在直角坐标系内，A(﹣2，0)，点B在原点，把正六边形ABCDEF沿x轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60°，经过2020次翻转之后，点C的坐标是_____．14．某药品原价是100元，经连续两次降价后，价格变为64元，如果每次降价的百分率是一样的，那么每次降价的百分率是；15．有4根细木棒，长度分别为2cm、3cm、4cm、5cm，从中任选3根，恰好能搭成一个三角形的概率是__________．16．现有甲、乙两个盒子，甲盒子中有编号为4，5，6的3个球，乙盒子中有编号为7，8，9的3个球．小宇分别从这两个盒子中随机地拿出1个球，则拿出的2个球的编号之和大于12的概率为_____．17．要为一幅矩形照片配一个镜框，如图，要求镜框的四条边宽度都相等，且镜框所占面积是照片本身面积的四分之一，已知照片的长为21cm，宽为10cm，求镜框的宽度．设镜框的宽度为xcm，依题意列方程，化成一般式为_____．18．Rt△ABC中，∠C＝90°，若直角边AC＝5，BC＝12，则此三角形的内切圆半径为________．19．一元二次方程x2=3x的解是：________．20．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：①abc＞0；②b ＜a+c；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0；其中正确的结论有_____．（填序号）三、解答题21．如图，已知抛物线y=﹣x 2+bx +c 与x 轴交于点A （﹣1，0）和点B （3，0），与y 轴交于点C ，连接BC 交抛物线的对称轴于点E ，D 是抛物线的顶点．（1）求此抛物线的解析式；（2）求点C 和点D 的坐标；（3）若点P 在第一象限内的抛物线上，且S △ABP =4S △COE ，求P 点坐标．22．如图，在等腰ABC ∆中，AB AC =，以AC 为直径作O e 交BC 于点D ，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E .（1）求证：DE 是O e 的切线.（2）若3DE =30C ∠=︒，求»AD 的长.23．已知关于x 的一元二次方程222(1)20x a x a a --+--=有两个不相等的实数根1x ，2x .（1）若a 为正整数，求a 的值；（2）若1x ，2x 满足221212-16x x x x +=，求a 的值.24．已知关于x 的方程2(31)30mx m x +++=.（1）求证：不论m 为任何实数，此方程总有实数根；（2）若抛物线()2313y mx m x =+++与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定此抛物线的解析式．25．关于x 的一元二次方程mx 2﹣（2m ﹣3）x+（m ﹣1）＝0有两个实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若m 为正整数，求此方程的根．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除1．D解析：D【解析】【分析】连接CD，由圆周角定理得出∠BDC＝90°，求出∠DCE＝20°，再由直角三角形两锐角互余求解即可，【详解】解：连接CD，如图，∵BC是半圆O的直径，∴∠BDC＝90°，∴∠ADC＝90°，∵∠DOE＝40°，∴∠DCE＝20°，∴∠A＝90°−∠DCE＝70°，故选：D．【点睛】本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理是解题的关键．2．D解析：D【解析】试题分析：根据圆周的度数为360°，可知优弧AC的度数为360°-100°=260°，然后根据同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，可求得∠B=130°．故选D考点：圆周角定理3．B解析：B【解析】由中心对称图形的定义：“把一个图形绕一个点旋转180°后，能够与自身完全重合，这样的图形叫做中心对称图形”分析可知，上述图形中，A、C、D都不是中心对称图形，只有B是中心对称图形.故选B.4．D解析：D试题解析：连接OA ，OB ，AB ，BC ，如图：∵AB=OA=OB ，即△AOB 为等边三角形，∴∠AOB=60°，∵∠ACB 与∠AOB 所对的弧都为»AB ，∴∠ACB=12∠AOB=30°， 又∠ACB 为△SCB 的外角，∴∠ACB ＞∠ASB ，即∠ASB ＜30°．故选D5．B解析：B【解析】试题分析：根据题意，先移项得()2222260x y y x +---=，即()2222260x y x y （）+-+-=，然后根据“十字相乘法”可得2222(2)(3)0x y x y +++-= ，由此解得22x y +=-2（舍去）或223x y +=.故选B.点睛：此题主要考查了高次方程的解法，解题的关键是把其中的一部分看做一个整体，构造出简单的一元二次方程求解即可.6．B解析：B【解析】【分析】当0k =时，代入方程验证即可，当0k ≠时，根据方程的判别式△≥0可得关于k 的不等式，解不等式即得k 的取值范围，问题即得解决.【详解】解：当0k =时，40x -+=，此时4x =，有实数根；当0k ≠时，∵方程240kx x -+=有实数根，∴△2(1)440k =--⨯⨯…，解得：116k …，此时116k …且0k ≠； 综上，116k …．故选B. 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟知一元二次方程的根的判别式与根的关系是解题的关键.7．B解析：B【解析】【分析】求出黄区域圆心角在整个圆中所占的比例，这个比例即为所求的概率．【详解】∵黄扇形区域的圆心角为90°，所以黄区域所占的面积比例为901= 3604，即转动圆盘一次，指针停在黄区域的概率是14，故选B．【点睛】本题将概率的求解设置于转动转盘游戏中，考查学生对简单几何概型的掌握情况，既避免了单纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体现了数学学科的基础性．用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．8．C解析：C【解析】【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【详解】A. 任意数的绝对值都是正数是随机事件，错误；B. 两直线被第三条直线所截，内错角相等是随机事件，错误；C. 如果a、b都是实数，那么a＋b＝b＋a是必然事件，正确;D. 抛掷1个均匀的骰子，出现6点朝上是随机事件，错误；故选D.【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．9．B解析：B【解析】分析：∵函数y=x2+bx+c与x轴无交点，∴b2﹣4c＜0；故①错误。
2019-2020北京市北大附中中考数学第一次模拟试题(带答案)
2019-2020 北京市北大附中中考数学第一次模拟试题( 带答案 )一、选择题1．如图，矩形ABCD 中， AB=3 ， BC=4 ，动点 P 从 A 点出发，按A→B→C的方向在AB 和 BC 上挪动，记PA=x ，点 D 到直线 PA 的距离为y，则 y 对于 x 的函数图象大概是（）A．B．C．D．2．如图，将 ?ABCD 沿对角线AC 折叠，使点 B 落在 B′处，若∠ 1=∠ 2=44°，则∠ B 为（）A． 66°B． 104 °C． 114 °D． 124 °3．已知二次函数y＝ ax2+bx+c(a≠ 0)的图象如图，则以下结论中正确的选( )项是A ． abc ＞ 0B ． b 2﹣ 4ac ＜ 0C ． 9a+3b+c ＞0D ． c+8a ＜ 0 P m + 3 ， m + 1 ）在 x 轴上，则 P 点坐标为（ ）4．点 （A ．（ 0，﹣ 2）B ．（ 0，﹣ 4）C ．（ 4， 0）D ．（ 2， 0）5． 如图ABC 中 , ∠ ACB=90° , ∠ ABC=60° , BD 均分∠ ABC ,P 点是 BD 的中点 , 若 , 在△ AD=6 , 则 CP 的长为 ( )A ． 3.5B ． 3C ． 4D ． 4.56． 如图是二次函数 y=ax 2+bx+c （ a ， b ， c 是常数， a ≠0）图象的一部分，与 x 轴的交点 A在点（ 2， 0）和（ 3， 0）之间，对称轴是 x=1．对于以下说法： ①ab ＜0； ②2a+b=0 ；③ 3a+c ＞0； ④ a+b ≥m（ am+b ）（ m 为实数）； ⑤ 当﹣ 1＜ x ＜3 时， y ＞0，此中正确的选项是（）A ．①②④7．如图，B ． ①②⑤O 为坐标原点，菱形 OABC 的极点C ． ②③④D ． ③④⑤A 的坐标为 ( 34)， ，极点 C 在 x 轴的负半轴上，函数yk ( x0) 的图象经过极点B ，则k 的值为（ ）xA ． 12B ． 27C ． 32D ． 36 8． 矩形 ABCD 与 CEFG ，如图搁置，点 B ， C ，E 共线，点 C ， D ，G 共线，连结 AF ，取AF 的中点 H ，连结 GH ．若 BC=EF=2 ， CD=CE=1 ，则 GH= （）A ． 12 2 D ．5 B ．C ．2329． 如图，正比率函数y=k 1x 与反比率函数 y=k 2的图象订交于点 A 、B 两点，若点 A 的x坐标为（ 2， 1），则点 B 的坐标是（）A ．（ 1， 2）B ．（－ 2， 1）C ．（－ 1，－ 2）D ．（－ 2，－ 1）10． 平均的向一个容器内灌水，在灌水过程中，水面高度 h 与时间 t 的函数关系如图所示，则该容器是以下中的（）A ．B ．C ．D ．11． 如图， AB 为⊙ O 直径，已知为∠ DCB=20°，则∠ DBA 为（ ）A ．50°B ． 20°C ． 60°D ． 70° 12． 若一元二次方程 x 2 ﹣ 2kx k 2 0 的一根为 x ＝﹣ 1 ，则 k的值为（ ）+ ＝ A ．﹣ 1B ． 0C ．1 或﹣ 1D ．2或 0二、填空题13．如图，Rt AOB 中，AOB90 ，极点 A ，B分别在反比率函数y 1x 0 与xy5tan BAO 的值为_____．x 0 的图象上，则x14．甲、乙两人在1200 米长的直线道路上跑步，甲、乙两人同起点、同方向出发，并分别以不一样的速度匀速行进，已知，甲出发30 秒后，乙出发，乙到终点后立刻返回，并以本来的速度行进，最后与甲相遇，此时跑步结束．如图，y（米）表示甲、乙两人之间的距离，x（秒）表示甲出发的时间，图中折线及数据表示整个跑步过程中y 与 x 函数关系，那么，乙抵达终点后_____秒与甲相遇．15．农科院新培养出A、 B 两种新麦种，为了认识它们的抽芽状况，在推行前做了五次发芽实验，每次随机各自取相同种子数，在相同的培养环境中分别实验，实验状况记录以下：种子数目10020050010002000出芽种子数961654919841965A0.960.830.980.980.98抽芽率出芽种子数961924869771946B0.960.960.970.980.97抽芽率下边有三个推测：①当实验种子数目为100 时，两各种子的抽芽率均为0.96，因此他们抽芽的概率相同；②跟实在验种子数目的增添， A 种子出芽率在0.98 邻近摇动，显示出必定的稳固性，能够预计 A 种子出芽的概率是0.98；③在相同的地质环境下播种， A 种子的出芽率可能会高于 B 种子．此中合理的是__________（只填序号）．16．正六边形的边长为8cm，则它的面积为____cm2．17．分解因式： 2x2﹣ 18＝_____．18．以下图，过正五边形ABCDE 的极点 B 作一条射线与其内角EAB 的角均分线订交于点 P ，且ABP 60 ，则APB_____度．19．二元一次方程组x y6的解为 _____．2x y720．若式子x 3 在实数范围内存心义，则x 的取值范围是 _____．三、解答题x21 .21．解方程：1xx22．（问题背景）如图 1，在四边形ABCD 中， AB ＝ AD ，∠ BAD ＝ 120°，∠ B＝∠ ADC ＝ 90°，点 E、F 分别是边 BC 、CD 上的点，且∠ EAF ＝ 60°，尝试究图中线段 BE、 EF、 FD 之间的数目关系．小王同学研究此问题的方法是：延长FD 到点 G，使 GD＝ BE ，连结 AG ，先证明△ABE ≌△ ADG ，再证明△ AEF ≌△ AGF ，可得出结论，他的结论应是．（研究延长）如图 2，若在四边形ABCD 中， AB ＝AD ，∠ B+∠ D＝ 180°，点 E、 F 分别是边 BC、 CD 上的点，且∠ EAF ＝∠ BAD，上述结论能否仍旧建立，并说明原因．（学致使用）如图 3，在四边形ABCD 中， AD ∥ BC （BC＞ AD ），∠ B ＝ 90°， AB ＝ BC＝ 6， E 是边AB 上一点，当∠ DCE ＝45°， BE＝ 2 时，则 DE 的长为．23．如图，菱形ABCD 中， ABC 120 ，P是对角线 BD 上的一点，点E在 AD的1延长线上，且 PA PE，PE交CD于F，连结CE.（ 1）证明： △ ADP ≌△CDP ；（ 2）判断 △CEP 的形状，并说明原因 .（3）如图 2，把菱形 ABCD 改为正方形 ABCD．． AP与线，其余条件不变，直接 写出线段 段 CE 的数目关系 .24． 将平行四边形纸片 ABCD 按如图方式折叠，使点 C 与 A 重合，点 D 落到 D 处，折痕为EF ．（ 1）求证： VABE ≌VAD F ； （ 2）连结 CF ，判断四边形 AECF 是什么特别四边形？证明你的结论． 25． 已知 n 边形的内角和 θ=（ n-2）× 180.°（ 1）甲同学说， θ能取 360°；而乙同学说， θ也能取 630°.甲、乙的说法对吗？若对，求出边数 n.若不对，说明原因；（2）若 n 边形变成（ n+x ）边形，发现内角和增添了360°，用列方程的方法确立 x.【参照答案】 *** 试卷办理标志，请不要删除一、选择题1．B分析： B【分析】 【剖析】①点P 在AB 上时，点D 到AP 的距离为AD 的长度，②点P 在BC 上时，依据同角的余角相等求出∠ APB=∠PAD ，再利用相像三角形的列出比率式整理获得 y 与 x的关系式，进而得解．①点 P 在 AB上时， 0≤x≤3，点 D 到 AP的距离为AD的长度，是定值4；②点 P 在 BC上时， 3＜x≤5，∵∠ APB+∠BAP=90°，∠PAD+∠BAP=90°，∴∠ APB=∠PAD，又∵∠ B=∠DEA=90°，∴△ ABP∽△ DEA，∴ AB=AP AB AP，DE AD DE AD3x即，y 4∴y= 12，x纵观各选项，只有 B 选项图形切合，应选 B．2．C分析： C【分析】【剖析】依据平行四边形性质和折叠性质得∠BAC=∠ ACD =∠ B′AC= 1∠ 1，再依据三角形内角和定2理可得 .【详解】∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠ ACD =∠BAC，由折叠的性质得：∠BAC=∠ B′A C，∴∠ BAC=∠ ACD=∠ B′AC= 1∠ 1=22°2∴∠ B=180°-∠ 2-∠ BAC=180°-44 °-22 °=114°；应选 C．【点睛】本题考察了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；娴熟掌握平行四边形的性质，求出∠BAC 的度数是解决问题的重点．分析： D【分析】【剖析】【详解】试题剖析：依据图象可知抛物线张口向下，抛物线与y 轴交于正半轴，对称轴是x=1＞ 0，因此 a＜ 0，c＞ 0， b＞0，因此 abc＜ 0，因此 A 错误；由于抛物线与x 轴有两个交点，因此b24ac ＞0，因此B错误；又抛物线与x 轴的一个交点为（ -1,0），对称轴是x=1，因此另一个交点为（3,0），因此9a3b c0 ，因此C错误；由于当x=-2 时，y4a 2bb1，因此b=-2a，因此y 4a2b c 8a c ＜0，所c ＜0，又x2a以 D 正确，应选 D.考点：二次函数的图象及性质.4．D分析： D【分析】【剖析】依据点在 x 轴上的特点 ,纵坐标为 0,可得 m+1=0, 解得 :m=-1, 而后再代入 m+3,可求出横坐标 . 【详解】解: 由于点 P（m + 3， m + 1）在 x 轴上 ,因此 m+1=0, 解得 :m=-1,因此 m+3=2,因此 P 点坐标为（ 2，0） .应选 D.【点睛】本题主要考察点在座标轴上的特点,解决本题的重点是要娴熟掌握点在座标轴上的特点. 5．B分析： B【分析】【剖析】【详解】解：∵∠ ACB＝ 90°，∠ ABC＝ 60°，∴∠ A＝ 30°，∵BD 均分∠ ABC，∴∠ ABD ＝1∠ ABC ＝ 30°，2∴∠ A＝∠ ABD ，∴BD＝AD＝6，∵在 Rt△BCD 中， P 点是 BD 的中点，∴CP＝1BD＝3．2应选 B．6．A分析： A【分析】【剖析】由抛物线的张口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与y 轴的交点判断 c 与 0 的关系，而后依据对称轴判断 b 与 0 的关系以及2a+b=0；当 x= ﹣ 1 时， y=a﹣ b+c；而后由图象确立当x 取何值时， y＞ 0．【详解】①∵对称轴在y 轴右边，∴a、 b 异号，∴a b＜ 0，故正确；②∵对称轴 xb1, 2a∴2a+b=0 ；故正确；③∵ 2a+b=0，∴b= ﹣ 2a，∵当 x= ﹣ 1 时， y=a﹣ b+c＜ 0，∴a﹣（﹣ 2a） +c=3a+c ＜ 0，故错误；④依据图告知，当 m=1 时，有最大值；当m≠1时，有 am2+bm+c≤ a+b+c，因此 a+b≥m（am+b）（ m 为实数）．故正确．⑤如图，当﹣ 1＜ x＜3 时， y 不不过大于 0．故错误．应选 A．【点睛】本题主要考察了二次函数图象与系数的关系，重点是娴熟掌握①二次项系数 a 决定抛物线的张口方向，当a＞ 0 时，抛物线向上张口；当a＜ 0 时，抛物线向下张口；②一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的地点：当 a 与 b 同号时（即ab＞ 0），对称轴在y 轴左；当 a 与 b 异号时（即ab＜ 0），对称轴在y 轴右．（简称：左同右异）③常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点，抛物线与y 轴交于（ 0， c）．7．C分析： C【分析】【剖析】【详解】∵A （﹣ 3， 4），∴OA= 3242=5，∵四边形 OABC 是菱形，∴ A O=CB=OC=AB=5，则点 B 的横坐标为﹣ 3﹣ 5=﹣ 8，故 B 的坐标为：（﹣ 8， 4），k k将点 B 的坐标代入 y得， 4=x8，解得： k= ﹣ 32．应选 C ．考点：菱形的性质；反比率函数图象上点的坐标特点．8．C分析： C【分析】剖析：延长 GH 交 AD 于点 P ，先证 △APH ≌△ FGH 得 AP=GF=1 ， GH=PH= 1PG ，再利用2勾股定理求得 PG=2 ，进而得出答案．详解：如图，延长GH 交AD 于点 P ，∵四边形 ABCD 和四边形 CEFG 都是矩形，∴∠ ADC= ∠ ADG= ∠ CGF=90° ， AD=BC=2 、 GF=CE=1 ，∴AD ∥ GF ，∴∠ GFH= ∠PAH ，又∵ H 是 AF 的中点，∴ A H=FH ，在△APH 和 △FGH 中，PAHGFH∵AH FH，AHPFHG∴△ APH ≌△ FGH （ASA ），∴ A P=GF=1 ， GH=PH= 1PG ，2∴PD=AD ﹣ AP=1 ，∵C G=2 、CD=1 ，∴DG=1 ，则GH=1PG=1×PD2DG 2 = 2 ，222应选： C．点睛：本题主要考察矩形的性质，解题的重点是掌握全等三角形的判断与性质、矩形的性质、勾股定理等知识点．9．D分析： D【分析】【剖析】【详解】解：依据正比率函数与反比率函数对于原点对称的性质，正比率函数y=k 1x与反比率函数y= k 2的图象的两交点 A 、 B 对于原点对称；x由 A 的坐标为（ 2， 1），依据对于原点对称的点的坐标是横、纵坐标都互为相反数的坐标特点，得点 B 的坐标是（－ 2，－ 1）．应选： D10．D分析： D【分析】【剖析】由函数图象可得容器形状不是平均物体剖析判断，由图象及容积可求解．【详解】依据图象折线可知是正比率函数和一次函数的函数关系的大概图象；切斜程度（即斜率）能够反应水面高升的速度；由于 D 几何体下边的圆柱体的底圆面积比上边圆柱体的底圆面积小 ,因此在平均灌水的前提下是先快后慢;应选 D.【点睛】本题主要考察了函数图象，解决本题的重点是依据用的时间长短来判断相应的函数图象．11．D分析： D【分析】题分析：∵ AB 为⊙ O 直径，∴∠ ACB=90°，∴∠ ACD=90°-∠ DCB =90°-20 °=70°，∴∠ DBA =∠ ACD =70°．应选 D．【点睛】本题考察了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．12．A分析： A【分析】【剖析】把 x＝﹣ 1 代入方程计算即可求出k 的值．【详解】解：把 x＝﹣ 1 代入方程得：1+2k+k2＝ 0，解得： k＝﹣ 1，应选： A．【点睛】本题考察了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．二、填空题13．【分析】【剖析】过作轴过作轴于于是获得依据反比率函数的性质获得根据相像三角形的性质获得求得依据三角函数的定义即可获得结论【详解】过作轴过作轴于则∵极点分别在反比率函数与的图象上∴∵∴∴∴∴∴∴故答案分析： 5 ．【分析】【剖析】过A作AC x 轴，过B作BD x 轴于 D ，于是获得 BDOACO90 ，依据反5，SAOC 1比率函数的性质获得S BDO，依据相像三角形的性质获得22SBOD OB 25 ，求得OB5 ，依据三角函数的定义即可获得结论．SOAC OA OA【详解】过A作AC x 轴，过B作BD x 轴于，则 BDOACO 90 ，∵极点 A ，B分别在反比率函数y1x 0 与 y 5x 0 的图象上，x x∴S BDO 51，SAOC，22∵AOB 90 ，∴BOD DBOBODAOC 90 ，∴DBO AOC ，∴BDO :OCA ，SBOD25 2OB 5 ，∴OA1SOAC2∴ OB5 ，OAOB5 ，∴ tan BAOOA 故答案为：5 ．【点睛】本题考察了相像三角形的判断与性质、反比率函数的性质以及直角三角形的性质．解题时注意掌握数形联合思想的应用，注意掌握协助线的作法．14．30【分析】【剖析】由图象能够 V 甲＝ 9030＝3m/sV 追＝ 90120-30 ＝1m/s 故 V 乙＝ 1+3＝4m/s 由此可求得乙走完整程所用的时间为： 12004＝ 300s 则能够求得此时乙与甲的距离即可求出分析： 30【分析】【剖析】由图象能够 V 甲 ＝＝3m/s ， V 追 ＝＝ 1m/s ，故 V 乙 ＝ 1+3＝ 4m/s ，由此可求得乙走完整程所用的时间为：＝ 300s ，则能够求得此时乙与甲的距离，即可求出最后与甲相遇的时间．【详解】由图象可得 V 甲 ＝＝3m/s ， V 追 ＝＝ 1m/s ，∴V 乙＝ 1+3 ＝4m/s ，∴乙走完整程所用的时间为：＝ 300s ，此时甲所走的行程为：（300+30） ×3＝990m ．此时甲乙相距： 1200﹣ 990＝210m则最后相遇的时间为：＝ 30s故答案为： 30【点睛】本题主要考察一次函数图象的应用，利用函数图象解决行程问题．此时就要求掌握函数图象中数据表示的含义．15．②③【分析】剖析：依据随机事件发生的频次与概率的关系进行剖析解答即可详解：（ 1）由表中的数据可知当实验种子数目为100 时两各种子的抽芽率固然都是 96 但联合后续实验数据可知此时的抽芽率其实不稳固故不可以确分析：②③【分析】剖析：依据随机事件发生的“频次”与“概率”的关系进行剖析解答即可.详解：（1）由表中的数据可知，当实验种子数目为100 时，两各种子的抽芽率固然都是96%，但联合后续实验数据可知，此时的抽芽率其实不稳固，故不可以确立两各种子抽芽的概率就是96%，因此①中的说法不合理；（2）由表中数据可知，跟实在验次数的增添， A 各种子抽芽的频次渐渐稳固在98%左右，故能够预计 A 各种子抽芽的概率是98%，因此②中的说法是合理的；（3）由表中数据可知，跟实在验次数的增添， A 各种子抽芽的频次渐渐稳固在98%左右，而 B 各种子抽芽的频次稳固在97%左右，故能够预计在相同条件下， A 各种子抽芽率大于B 各种子抽芽率，因此③中的说法是合理的.故答案为：②③.点睛：理解“随机事件发生的频次与概率之间的关系”是正确解答本题的重点. 16．【分析】【剖析】【详解】以下图正六边形ABCD 中连结 OCOD 过 O作 OE⊥CD；∵此多边形是正六边形∴∠ COD=60°；∵ OC=OD∴△ COD 是等边三角形∴OE=CE?tan60°=cm∴ S△ OCD分析：3【分析】【剖析】【详解】以下图，正六边形ABCD 中，连结OC、 OD ，过 O 作 OE⊥ CD ；∵此多边形是正六边形，∴∠ COD=60°；∵OC=OD ，∴△ COD 是等边三角形，∴OE=CE?tan60°=834 3 cm，211∴S△OCD= CD?OE=×8×4 3 =16 3 cm2．22∴S 正六边形 =6S△OCD =6 ×163 =963 cm2．考点：正多边形和圆17．2（x+3）（ x﹣3）【分析】【剖析】原式提取 2 再利用平方差公式分解即可【详解】原式＝ 2（ x2﹣9）＝ 2（ x+3）（ x﹣3）故答案为： 2（ x+3）（ x﹣3）【点睛】本题考察了提公因式法与公式法的综合分析： 2（ x+3）（ x﹣ 3）【分析】【剖析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可．【详解】原式＝ 2（ x2﹣ 9）＝ 2（ x+3）（ x﹣ 3），故答案为： 2（ x+3 ）（ x﹣ 3）【点睛】本题考察了提公因式法与公式法的综合运用，娴熟掌握因式分解的方法是解本题的重点．18．66【分析】【剖析】第一依据正五边形的性质获得度而后依据角均分线的定义获得度再利用三角形内角和定理获得的度数【详解】解：∵五边形为正五边形∴度∵是的角均分线∴度∵∴故答案为：66【点睛】本题考察了多分析： 66【分析】【剖析】第一依据正五边形的性质获得EAB108 度，而后依据角均分线的定义获得PAB 54 度，再利用三角形内角和定理获得APB 的度数．【详解】解：∵五边形ABCDE 为正五边形，∴EAB 108 度，∵ AP 是EAB 的角均分线，∴PAB 54 度，∵ ABP 60，∴APB 180 60 54 66 ．故答案为： 66．【点睛】本题考察了多边形内角与外角，题目中还用到了角均分线的定义及三角形内角和定理．19．【分析】【剖析】由加减消元法或代入消元法都可求解【详解】②﹣①得③将③代入①得∴故答案为：【点睛】本题考察的是二元一次方程组的基本解法本题属于基础题比较简单x1分析：y 5【分析】【剖析】由加减消元法或代入消元法都可求解．【详解】x y 6 ①，2x y7 ②②﹣①得 x 1 ③将③代入①得y5x1∴5yx1故答案为：y5【点睛】本题考察的是二元一次方程组的基本解法，本题属于基础题，比较简单．20．x≥﹣ 3【分析】【剖析】直接利用二次根式的定义求出x 的取值范围【详解】解：若式子在实数范围内存心义则x+3≥0解得： x≥﹣ 3 则 x 的取值范围是： x≥﹣ 3 故答案为： x≥﹣ 3【点睛】本题主要考察了二次根式分析： x≥﹣3【分析】【剖析】直接利用二次根式的定义求出x 的取值范围．【详解】.解：若式子x 3 在实数范围内存心义，则 x+3≥0，解得： x≥﹣3，则 x 的取值范围是： x≥﹣ 3．故答案为： x≥﹣3．【点睛】本题主要考察了二次根式存心义的条件，正确掌握二次根式的定义是解题重点．三、解答题21．x 2 .【分析】【剖析】分式方程去分母转变成整式方程，求出整式方程的解获得x 的值，经查验即可获得分式方程的解．【详解】去分母得： x2-2x+2=x 2-x，解得： x=2 ，查验：当x=2 时，方程左右两边相等，因此 x=2 是原方程的解．【点睛】本题考察认识分式方程，利用了转变的思想，解分式方程注意要查验．22．【问题背景】：EF＝BE +FD ；【研究延长】：结论EF＝ BE+DF 仍旧建立，看法析；【学致使用】： 5.【分析】【剖析】[ 问题背景 ] 延长 FD 到点 G．使 DG ＝ BE ．连结 AG ，即可证明△ ABE ≌△ ADG ，可得 AE ＝AG ，再证明△ AEF ≌△ AGF ，可得 EF＝ FG，即可解题；[ 研究延长 ] 延长 FD 到点 G．使 DG ＝ BE ．连结 AG ，即可证明△ABE ≌△ ADG ，可得 AE＝AG ，再证明△[ 学致使用 ] 过点AEF ≌△ AGF ，可得C 作 CG⊥AD 交 ADEF＝ FG，即可解题；的延长线于点G，利用勾股定理求得DE 的长．【详解】[ 问题背景】解：如图在△ ABE 和△ ADG1，中，DG BE∵BADG，AB AD∴△ ABE ≌△ ADG （ SAS），∴AE ＝ AG ，∠ BAE ＝∠ DAG ，∵∠ EAF ＝1∠BAD ，2∴∠ GAF ＝∠ DAG +∠ DAF ＝∠ BAE +∠ DAF ＝∠ BAD ﹣∠ EAF ＝∠ EAF ，∴∠ EAF ＝∠ GAF ，在△ AEF 和△ GAF 中，AE AG∵EAF GAF ，AF AF∴△ AEF ≌△ AGF （ SAS），∴E F＝ FG，∵FG＝ DG +DF ＝ BE+FD，∴E F＝BE +FD；故答案为： EF＝BE +FD．[ 研究延长 ] 解：结论EF＝BE +DF 仍旧建立；原因：如图2，延长 FD 到点 G．使 DG ＝BE ．连结 AG ，在△ ABE 和△ ADG 中，DG BE∵BADG，AB AD∴△ ABE ≌△ ADG （ SAS），∴AE ＝ AG ，∠ BAE ＝∠ DAG ，∵∠ EAF ＝1 ∠BAD，2∴∠ GAF ＝∠ DAG +∠ DAF ＝∠∴∠ EAF ＝∠ GAF ，在△ AEF 和△ GAF 中，BAE+∠ DAF ＝∠ BAD ﹣∠ EAF ＝∠ EAF ，AE AG∵EAF GAF ，AF AF∴△ AEF ≌△ AGF （ SAS），∴E F＝ FG，∵FG＝DG DF BE FD，+ ＝+∴EF＝BE +FD；[ 学致使用 ] 如图 3，过点 C 作 CG⊥ AD ，交 AD 的延长线于点G，由【研究延长】和题设知：DE ＝DG+BE，设 DG＝ x，则 AD ＝ 6﹣ x， DE＝ x+3，在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD2 AE2DE2+＝，∴（ 6﹣ x）2+32＝（ x+3）2，解得 x＝ 2．∴DE ＝ 2+3＝ 5．故答案是： 5．【点睛】本题是一道把等腰三角形的判断、勾股定理、全等三角形的判断联合求解的综合题．考察学生综合运用数学知识的能力，解决问题的重点是在直角三角形中运用勾股定理列方程求解．123 ）CE2AP.23． （ ）证明看法析；（ ） CEP 是等边三角形，原因看法析；（【分析】【剖析】（1）由菱形 ABCD 性质可知， AD CD ， ADP CDP ，即可证明；（2）由△ PDA ≌△ PDC ，推出 PA=PC ，由 PA=PE ，推出 DCP DEP ，可知CPF EDF 60 ，由，即可证明△ PEC 是等边三角形； PA ═ PE=PC（ 3）由△ PDA ≌△ PDC ，推出 PA=PC ，∠ 3=∠1，由 PA=PE ，推出∠ 2=∠ 3，推出∠ 1= ∠ 2，由∠ EDF=90° ，∠ DFE= ∠ PFC ，推出∠ FPC=EDF=90° ，推出△ PEC 是等腰直角三角形即可解答；【详解】（1）证明：在菱形 ABCD 中， AD CD ， ADP CDP ，在 ADP 和 CDPADCDADP CDP ，DPDP∴ADPCDP SAS .（2）CEP 是等边三角形，DCP ， AP CP ，由（ ）知， ADPCDP ，∴ DAP1∵ PAPE ，∴ DAPDEP ，∴ DCP DEP ，∵CFP EFD （对顶角相等），∴ 180PFC PCF180DFE DEP ，即CPF EDF60，又∵PA PE ，AP CP ；∴PE PC，∴CEP 是等边三角形.（3）CE2AP .过程以下：证明：如图 1 中，∵四边形 ABCD 是正方形，∴AD=DC ，∠ ADB= ∠ CDB=45°，∠ ADC=90°，在△PDA 和△PDC 中，PD＝PDPDA＝PDC ，，DA＝DC∴△ PDA ≌△ PDC，∴P A=PC，∠3=∠1，∵PA=PE，∴∠ 2=∠ 3，∴∠ 1=∠ 2，∵∠ EDF=90°，∠ DFE= ∠ PFC，∴∠ FPC=EDF=90°，∴△ PEC 是等腰直角三角形．∴C E= 2PC = 2AP .【点睛】本题考察正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判断和性质、等边三角形判断、等腰直角三角形性质等知识，解题的重点是正确找寻全等三角形解决问题，属于中考常考题型．24．（ 1）证明看法析；（2）四边形AECF是菱形．证明看法析.【分析】【剖析】（1）依据平行四边形的性质及折叠的性质我们能够获得∠B= ∠D′， AB=AD′，∠ 1=∠ 3，进而利用 ASA 判断△ABE ≌△ AD′F；（2）四边形AECF 是菱形，我们能够运用菱形的判断，有一组邻边相等的平行四边形是菱形来进行考证．【详解】解: （ 1）由折叠可知：∠ D= ∠D′， CD=AD′，∠C= ∠D′AE．∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴∠ B=∠ D ，AB=CD ，∠ C= ∠BAD ．∴∠ B=∠ D′， AB=AD′，∠D′AE=∠ BAD ，即∠ 1+∠ 2=∠ 2+ ∠ 3．∴∠ 1=∠ 3．在△ABE 和△AD′F中D B∵{AB AD 13∴△ ABE ≌△ AD′F（ ASA ）．（2）四边形AECF 是菱形．证明：由折叠可知：AE=EC ，∠ 4=∠ 5．∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC．∴∠ 5=∠ 6．∴∠ 4=∠ 6．∴A F=AE ．∵AE=EC ，∴A F=EC ．又∵ AF∥ EC，∴四边形 AECF 是平行四边形．又∵ AF=AE ，∴平行四边形 AECF 是菱形．考点： 1.全等三角形的判断； 2.菱形的判断．25．（ 1）甲对，乙不对,原因看法析；（2） 2.【分析】试题剖析：（ 1）依据多边形的内角和公式判断即可；（2）依据题意列方程，解方程即可.试题分析：（ 1）甲对，乙不对.∵θ=360°，∴（ n-2）×180°=360°，解得 n=4.∵θ=630°，∴（ n-2）×180°=630°，解得 n=.∵n 为整数，∴θ不可以取 630°.（2）由题意得，（n-2）×180+360=（n+x-2）×180，解得 x=2.考点：多边形的内角和.。
北大附中河南分校初三上学期数学期中试卷及答案
北大附中河南分校初三上学期数学期中试卷及答案初三数学考试时刻120分钟；试卷总分100分※ 考生注意：请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效。
一、选择题(每小题2分，共16分) 1、下列方程，是一元二次方程的是（▲） ①3x 2+x=20，②2x 2-3xy+4=0，③x 2-1x =4，④x 2=0，⑤x 2-3x+3=0 A ．①② B ．①④⑤ C ．①③④ D ．①②④⑤ 2、已知1=x 是方程022=++ax x 的一个根，则方程的另一个根为（▲） A ．2 B ．2- C ．3 D ．3-3、观看下列表格，一元二次方程21.1x x -=的一个近似解是（▲）x1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.92x x - 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 1.71A ．0.11B ．1.6C ．1.7D ．1.194、如图，已知菱形ABCD 的边长为2，∠DAB =60°，则对角线BD 的长是 （▲） A ．1B ．3C ．2D ．234题图5题图a b cA B C DEF mn6题图5、如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m 、n 与a 、b 、c 分别交于点A 、C 、E 、B 、D 、F ，AC ＝ 4，CE ＝ 6，BD ＝ 3，则BF 等于（▲） A ． 7 B ． 7.5C ． 8D ． 8.56、某小组做“用频率估量概率”的实验时，统计了某一结果显现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（▲） A ．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”B ．一副去掉大、小王的一般扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃C ．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球D ．掷一个质地平均的正六面体骰子，向上的面点数是47、如图，矩形ABCG(AB<BC)与矩形CDEF 全等，点B 、C 、D 在同一条直线上，∠APE 的顶点在线段BD 上移动，使∠APE 为直角的点P 的个数是（▲） A ．0 B ．1 C ．2 D ．38、如图，边长一定的正方形ABCD ，Q 为CD 上一个动点，AQ 交BD 于点M ，过M 作MN ⊥AQ 交BC 于点N ，作NP ⊥BD 于点P ，连接NQ ，下列结论：①AM=MN ；②MP=BD ；③BN+DQ=NQ ；④为定值．其中一定成立的是（▲）A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④7题图11题图8题图二、填空题（每小题2分，共16分)9、()x x 6542=+-化成一样形式是___▄▄▄▄__，其中一次项系数是___▄▄▄▄__。
2020-2021学年北京大学附中九年级(上)开学数学试卷
2020-2021学年北京大学附中九年级（上）开学数学试卷一、选择题（本题共32分，每小题4分）在下列各题的选项中，只有一个是符合题意的．1．（4分）1x -实数范围内有意义，则x 的取值范围是( )A ．1x >B ．1xC ．1x <D ．1x2．（4分）垃圾分类功在当代利在千秋，下列垃圾分类指引标志图形中，是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A ．厨余垃圾Food WasteB ．可回收物RecyclableC ．其他垃圾Residual Waste D ．有害垃圾Hazardous Waste 3．（4分）下列各式中，从左向右变形正确的是( )A ．42=±B ．2(3)3-=C ．623=-⨯-D ．8210+=4．（4分）已知1(2,)P m -，2(1,)P n 是函数21y x =-+图象上的两个点，则m 与n 的大小关系是( )A ．m n >B ．m n <C ．m n =D ．无法确定5．（4分）如图，在菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，点E 是边AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，若2AB =，则PB PE +的最小值是( )A ．1B 3C ．2D ．236．（4分）如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，2AB =，60ABO ∠=︒，线段EF 绕点O 转动，与AD ，BC 分别相交于点E ，F ，当60AOE ∠=︒时，EF 的长为( )A．1B．3C．2D．47．（4分）已知ABC∆（如图1)，按图2图3所示的尺规作图痕迹，（不需借助三角形全等）就能推出四边形ABCD是平行四边形的依据是()A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形B．对角线互相平分的四边形是平行四边形C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形8．（4分）如图，动点P在边长为2的等边ABC→→→∆的边上．它从点A出发，沿A C B A 的方向以每秒1个单位长度的速度运动．如果点P的运动时间为t秒，点P与点C之间的距离记为y，那么y与t之间的函数关系用图象表示大致是()A．B．C ．D ．二、填空趣（本趣共24分，每小题4分）9．（4分）写出一个比3大且比13小的整数是 ．10．（4分）已知关于x 的一元二次方程22(2)40a x x a -++-=的一个根是 0 ，则a 的值为 ．11．（4分）一次函数图象经过第一、二、三象限，且过点(0,2)，写出一个满足条件的一次函数表达式 ．12．（4分）在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，1AC BC ==，点Q 在直线BC 上，且2AQ =，则线段BQ 的长为 ．13．（4分）如图，ABC ∆的周长为17，点D ，E 在边BC 上，ABC ∠的平分线垂直于AE ，垂足为点N ，ACB ∠的平分线垂直于AD ，垂足为点M ，若6BC =，则MN 的长度为 ．14．（4分）在平面直角坐标系xOy 中，一次函数1y k b =+与2y x m =+的图象如图所示，若它们的交点的横坐标为2，则下列三个结论中正确的是 （填写序号）．①直线2y x m =+与x 轴所夹锐角等于45︒；②0k b +>；③关于x 的不等式kx b x m +<+的解集是2x <．三、解答题（本题共44分，第15、16题每題5分，第17、18题每题7分，第19、20题每题6分，第21题8分）15．（5分）解方程：2310x x +-=（公式法）．16．（5分）已知31x =+，求代数式22x x -的值．17．（7分）关于x 的一元二次方程20x x m ++=有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若m 为符合条件的最大整数，求此时方程的解．18．（7分）如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是AD 的中点，点F ，G 在AB 上，EF AB ⊥，//OG EF ．（1）求证：四边形OEFG 是矩形；（2）若10AD =，4EF =，求OE 和BG 的长．19．（6分）在平面直角坐标系xOy 中，一次函数(0)y kx b k =+≠的图象由函数y x =的图象平移得到，且经过点(1,2)．（1）求这个一次函数的解析式；（2）当1x >时，对于x 的每一个值，函数(0)y mx m =≠的值大于一次函数y kx b =+的值，直接写出m 的取值范围．20．（6分）2017年国务院印发《新一代入工智能发展规划》，将人工智能上升为国家战略，我国人工智能领域迎来新的发展契机．根据相关信息，回答问题：（1）图1反映了我国人工智能专利授权量（单位：件）近些年的变化情况．2017年，中国人工智能专利授权量为件；（2）图2是2017年前20名中国人工智能国内专利权人的专利授权量的频数分布直方图．x<之间的数据分是129，154，155，165，170，170，186，数据被分成5组，其中在100200190．则20个专利授权量的中位数是；（3）2017年中国人工智能国内专利权人的专利授权量在基础算法、基础硬件和垂直应用三个分支位于前20的统计折线图如图3．依据折线图推断，基础算法、基础硬件和垂直应用三个分支的专利授权量的方差最小的是．21．（8分）在ABC>，D是AB的中点．E为直线AC上一动点，∆中，90∠=︒，AC BCC连接DE．过点D作DF DE⊥，交直线BC于点F，连接EF．（1）如图1，当E是线段AC的中点时，设AE a=，求EF的长（用含a，b的式=，BF b子表示）；（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF之间的数量关系，并证明．四、附加题（本题10分）22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，把图形G 上的点到直线l 距离的最大值d 定义为图形G 到直线l 的最大距离．如图1，直线l 经过(0,3)点且垂直于y 轴，(2,2)A -，(2,2)B ，(0,2)C -，则ABC ∆到直线l 的最大距离为5．（1）如图2，正方形ABCD 的中心在原点，顶点都在坐标轴上，(0,2)A ．①求正方形ABCD 到直线4y x =+的最大距离．②当正方形ABCD 到直线y x b =+的最大距离小于32时，直接写出b 的取值范围．（2）若正方形边长为2，中心P 在x 轴上，且有一条边垂直于x 轴，该正方形到直线y x =的最大距离大于22，求P 点横坐标的取值范围．2020-2021学年北京大学附中九年级（上）开学数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共32分，每小题4分）在下列各题的选项中，只有一个是符合题意的．1．（4分）1x -实数范围内有意义，则x 的取值范围是( )A ．1x >B ．1xC ．1x <D ．1x【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x 的不等式，求出x 的取值范围即可．【解答】解：1x -实数范围内有意义，10x ∴-，解得1x ．故选：D ．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．2．（4分）垃圾分类功在当代利在千秋，下列垃圾分类指引标志图形中，是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A ．厨余垃圾Food WasteB ．可回收物RecyclableC ．其他垃圾Residual Waste D ．有害垃圾Hazardous Waste 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B 、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C 、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；D 、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意．故选：D ．【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3．（4分）下列各式中，从左向右变形正确的是( )A ．42=±B ．2(3)3-=C ．623=-⨯-D ．8210+=【分析】根据二次根式的性质和运算法则逐一判断即可得．【解答】解：A ．42=，此选项错误；B ．2(3)|3|3-=-=，此选项计算正确；C ．623=⨯，此选项错误；D ．8222232+=+=，此选项错误；故选：B ．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的性质和运算法则．4．（4分）已知1(2,)P m -，2(1,)P n 是函数21y x =-+图象上的两个点，则m 与n 的大小关系是( )A ．m n >B ．m n <C ．m n =D ．无法确定【分析】先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据21-<即可得出结论．【解答】解：一次函数21y x =-+中，20k =-<，y ∴随着x 的增大而减小．1(2,)P m -，2(1,)Pn 是函数21y x =-+图象上的两个点，21-<， m n ∴>．故选：A ．【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．5．（4分）如图，在菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，点E 是边AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，若2AB =，则PB PE +的最小值是( )A ．1B 3C ．2D ．23【分析】找出B 点关于AC 的对称点D ，连接DE 交AC 于P ，则DE 就是PB PE +的最小值，求出即可．【解答】解：连接DE 交AC 于P ，连接DE ，DB ，由菱形的对角线互相垂直平分，可得B 、D 关于AC 对称，则PD PB =，PE PB PE PD DE ∴+=+=，即DE 就是PE PB +的最小值，120ABC ∠=︒，60BAD ∴∠=︒，AD AB =，ABD ∴∆是等边三角形，AE BE =，DE AB ∴⊥（等腰三角形三线合一的性质）． 在Rt ADE ∆中，223DE AD AE =-=．即PB PE +的最小值为3，故选：B ．【点评】本题主要考查轴对称-最短路线问题，菱形的性质，勾股定理等知识点，确定P 点的位置是解答本题的关键．6．（4分）如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，2AB =，60ABO ∠=︒，线段EF 绕点O 转动，与AD ，BC 分别相交于点E ，F ，当60AOE ∠=︒时，EF 的长为( )A ．1B 3C ．2D ．4【分析】证得ABO ∆为等边三角形，得出60BAO ∠=︒，由三角形内角和求出90AEO ∠=︒，得出四边形ABFE 为矩形，则可得出答案．【解答】解：四边形ABCD 是矩形，OA OB ∴=，90ABC BAD ∠=∠=︒，又60ABO ∠=︒，ABO ∴∆为等边三角形，60BAO ∴∠=︒，30OAE ∴∠=︒，线段EF 绕点O 转动，60AOE ∠=︒，180603090AEO ∴∠=︒-︒-︒=︒，∴四边形ABFE 为矩形，2AB EF ∴==．故选：C ．【点评】本题考查了矩形的判定与性质，旋转的性质，等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键．7．（4分）已知ABC ∆（如图1)，按图2图3所示的尺规作图痕迹，（不需借助三角形全等）就能推出四边形ABCD 是平行四边形的依据是( )A ．两组对边分别平行的四边形是平行四边形B ．对角线互相平分的四边形是平行四边形C ．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形【分析】根据平行四边形的判定和作图依据进行判断即可．【解答】解：由图可知先作AC 的垂直平分线，再连接AC 的中点O 与B 点，并延长使BO OD =，可得：AO OC=，=，BO OD进而得出四边形ABCD是平行四边形，故选：B．【点评】本题考查了复杂的尺规作图，解题的关键是根据平行四边形的判定解答．8．（4分）如图，动点P在边长为2的等边ABC→→→∆的边上．它从点A出发，沿A C B A 的方向以每秒1个单位长度的速度运动．如果点P的运动时间为t秒，点P与点C之间的距离记为y，那么y与t之间的函数关系用图象表示大致是()A．B．C．D．【分析】分段求出函数表达式即可求解．【解答】解：（1）当点P在AC上运动时，=-，2y t（2）当点P在BC上运动时，y t=-，2（3）当点P 在AB 上运动时，过点C 作CH AB ⊥于点H ，则3sin 23CH AC A ===1AH =； 当点P 在点H 右侧时， 222223(5)1028y PC CH PH t t t =++--+；该函数为一条曲线，当点P 在CH 左侧时，同理函数为一条曲线；故选：D ．【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解答本题的关键是分段讨论y 与x 的函数关系式．二、填空趣（本趣共24分，每小题4分）9．（4313小的整数是 2，3 ．【分析】313【解答】解：132<<，3134<，∴3132，3．故答案为：2，3．【点评】本题主要考查了估算无理数的大小，31310．（4分）已知关于x 的一元二次方程22(2)40a x x a -++-=的一个根是 0 ，则a 的值为 2- ．【分析】方程的根即方程的解， 就是能使方程两边相等的未知数的值， 利用方程解的定义就可以得到关于a 的方程， 从而求得a 的值 ．【解答】解： 把 0 代入方程有：240a -=，24a =，2a ∴=±；20a -≠，2a ∴=-，故答案为：2-．【点评】本题考查的是一元二次方程的解， 把方程的解代入方程可以求出字母系数的值 ． 根据根与系数的关系， 由两根之和可以求出方程的另一个根 ．11．（4分）一次函数图象经过第一、二、三象限，且过点(0,2)，写出一个满足条件的一次函数表达式 2y x =+ ． 【分析】由一次函数的图象经过的象限判断出k ，b 的取值范围，然后根据其经过的点即可确定最后的答案．【解答】解：一次函数y kx b =+的图象经过第一、二、三象限，0k ∴>，0b >，经过(0,2)，∴一次函数可以是2y x =+故答案是：2y x =+．【点评】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k 、b 的关系．解答本题注意理解：直线y kx b =+所在的位置与k 、b 的符号有直接的关系．0k >时，直线必经过一、三象限；0k <时，直线必经过二、四象限；0b >时，直线与y 轴正半轴相交；0b =时，直线过原点；0b <时，直线与y 轴负半轴相交．12．（4分）在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，1AC BC ==，点Q 在直线BC 上，且2AQ =，则线段BQ 的长为 31+或31- ．【分析】分两种情况：（1）点Q 在线段BC 的延长线上；（2）点Q 在线段CB 的延长线上，分别用勾股定理求得QC 的长，情况（1）中BQ QC BC =+，情况（2）中BQ QC BC =-．【解答】解：分两种情况：（1）点Q 在线段BC 的延长线上，如图：90ACB ∠=︒，1809090ACQ ∴∠=︒-︒=︒，1AC =，2AQ =， 22213QC ∴=-=，1BC =，31BQ QC BC ∴=+=+；（2）点Q 在线段CB 的延长线上，如图：90ACB ∠=︒，1AC =，2AQ =，22213QC ∴=-=，1BC =，31BQ QC BC ∴=-=-．综上，线段BQ 的长为31+或31-．故答案为：31+或31-．【点评】本题考查了勾股定理在等腰直角三角形及一般的直角三角形的边长计算中的应用，数形结合并分类讨论是解题的关键．13．（4分）如图，ABC ∆的周长为17，点D ，E 在边BC 上，ABC ∠的平分线垂直于AE ，垂足为点N ，ACB ∠的平分线垂直于AD ，垂足为点M ，若6BC =，则MN 的长度为 2.5 ．【分析】证明BNA BNE ∆≅∆，得到BA BE =，即BAE ∆是等腰三角形，同理CAD ∆是等腰三角形，根据题意求出DE ，根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：BN 平分ABC ∠，BN AE ⊥，NBA NBE ∴∠=∠，BNA BNE ∠=∠，在BNA ∆和BNE ∆中，ABN EBN BN BNANB ENB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()BNA BNE ASA ∴∆≅∆，BA BE ∴=，BAE ∴∆是等腰三角形，同理CAD ∆是等腰三角形，∴点N 是AE 中点，点M 是AD 中点（三线合一），MN ∴是ADE ∆的中位线，1717611BE CD AB AC BC +=+=-=-=，5DE BE CD BC ∴=+-=， 12.52MN DE ∴==． 故答案为：2.5．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．14．（4分）在平面直角坐标系xOy 中，一次函数1y k b =+与2y x m =+的图象如图所示，若它们的交点的横坐标为2，则下列三个结论中正确的是 ①② （填写序号）．①直线2y x m =+与x 轴所夹锐角等于45︒；②0k b +>；③关于x 的不等式kx b x m +<+的解集是2x <．【分析】结合一次函数的性质、一次函数与不等式的关系，根据图象观察，得出结论．【解答】解：由2y x m =+知：直线与坐标轴的截距相等，所以，直线2y x m =+与x 轴所夹锐角等于45︒，故①的结论正确；由图知：当1x =时，函数1y 图象对应的点在x 轴的上方，因此0k b +>故②的结论正确； 由图知：当2x >时，函数1y 图象对应的点都在2y 的图象下方，因此关于x 的不等式kx b x m +<+的解集是2x >，故③的结论不正确；故答案为：①②．【点评】本题考查了一次函数与不等式（组)的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．三、解答题（本题共44分，第15、16题每題5分，第17、18题每题7分，第19、20题每题6分，第21题8分）15．（5分）解方程：2310x x +-=（公式法）．【分析】根据公式法，可得方程的解．【解答】解：1a =，3b =，1c =-△24130b ac =-=>x ∴==1x =，2x =． 【点评】本题考查了解一元二次方程，利用公式法是解题关键，要用根的判别式．16．（5分）已知1x =，求代数式22x x -的值．【分析】直接将原式分解因式，再把x 的值代入进而计算得出答案．【解答】解：22(2)x x x x -=-，当1x 时，原式1)=2=．【点评】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确运用乘法公式是解题关键．17．（7分）关于x 的一元二次方程20x x m ++=有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若m 为符合条件的最大整数，求此时方程的解．【分析】（1）根据判别式的意义得到△140m =-，然后解不等式即可得到m 的范围；（2）在（1）中m 的取值范围内确定满足条件的m 的值，再解方程即可得到结论．【解答】解：（1）根据题意得△140m =->， 解得14m <； （2）14m， m ∴的最大整数为0，此时方程变形为20x x +=，解得10x =，21x =-．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根与△24b ac =-有如下关系：当△0>时，方程有两个不相等的两个实数根；当△0=时，方程有两个相等的两个实数根；当△0<时，方程无实数根．18．（7分）如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是AD 的中点，点F ，G 在AB 上，EF AB ⊥，//OG EF ．（1）求证：四边形OEFG 是矩形；（2）若10AD =，4EF =，求OE 和BG 的长．【分析】（1）根据菱形的性质得出OB OD =，再由点E 是AD 的中点，所以，AE DE =，进而判断出OE 是三角形ABD 的中位线，得到12AE OE AD ==，推出//OE FG ，求得四边形OEFG 是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；（2）根据菱形的性质得到BD AC ⊥，10AB AD ==，得到152OE AE AD ===；由（1）知，四边形OEFG 是矩形，求得5FG OE ==，根据勾股定理得到223AF AE EF =-=，于是得到结论．【解答】解：（1）四边形ABCD 是菱形，BD AC ∴⊥，DAO BAO ∠=∠，OB OD =E 是AD 的中点， 12AE OE DE AD ∴===， EAO AOE ∴∠=∠，AE DE =OE ∴是三角形ABD 的中位线，//OE FG ∴，//OG EF ，∴四边形OEFG 是平行四边形，EF AB ⊥，90EFG ∴∠=︒，∴四边形OEFG 是矩形；（2）四边形ABCD 是菱形，BD AC ∴⊥，10AB AD ==，90AOD ∴∠=︒，E 是AD 的中点，152OE AE AD ∴===； 由（1）知，四边形OEFG 是矩形，5FG OE ∴==，5AE =，4EF =，223AF AE EF ∴=-=，10352BG AB AF FG ∴=--=--=．【点评】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．19．（6分）在平面直角坐标系xOy 中，一次函数(0)y kx b k =+≠的图象由函数y x =的图象平移得到，且经过点(1,2)．（1）求这个一次函数的解析式；（2）当1x >时，对于x 的每一个值，函数(0)y mx m =≠的值大于一次函数y kx b =+的值，直接写出m 的取值范围．【分析】（1）先根据直线平移时k 的值不变得出1k =，再将点(1,2)A 代入y x b =+，求出b 的值，即可得到一次函数的解析式；（2）根据点(1,2)结合图象即可求得．【解答】解：（1）一次函数(0)y kx b k =+≠的图象由直线y x =平移得到，1k ∴=，将点(1,2)代入y x b =+，得12b +=，解得1b =，∴一次函数的解析式为1y x =+；（2）把点(1,2)代入y mx =，求得2m =，当1x >时，对于x 的每一个值，函数(0)y mx m =≠的值大于一次函数1y x =+的值， 2m ∴．【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键．20．（6分）2017年国务院印发《新一代入工智能发展规划》，将人工智能上升为国家战略，我国人工智能领域迎来新的发展契机．根据相关信息，回答问题：（1）图1反映了我国人工智能专利授权量（单位：件）近些年的变化情况．2017年，中国人工智能专利授权量为 17477 件；（2）图2是2017年前20名中国人工智能国内专利权人的专利授权量的频数分布直方图．x<之间的数据分是129，154，155，165，170，170，186，数据被分成5组，其中在100200190．则20个专利授权量的中位数是；（3）2017年中国人工智能国内专利权人的专利授权量在基础算法、基础硬件和垂直应用三个分支位于前20的统计折线图如图3．依据折线图推断，基础算法、基础硬件和垂直应用三个分支的专利授权量的方差最小的是．【分析】（1）根据图1中的数据，可以写出2017年，中国人工智能专利授权量；（2）根据题意和题目中的数据，可以得到20个专利授权量的中位数；（3）根据图3中的数据和波动越小，方差越小，可以解答本题．【解答】解：（1）由图1可知，2017年，中国人工智能专利授权量为17477件，故答案为：17477；（2）由题意可得，20个专利授权量的中位数是(129154)2141.5+÷=，故答案为：141.5；（3）由图3可知，基础硬件波动最小，故三个分支的专利授权量的方差最小的是基础硬件，故答案为：基础硬件．【点评】本题考查频数分布直方图、频数分布折线图、中位数、方差，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．21．（8分）在ABC∆中，90C∠=︒，AC BC>，D是AB的中点．E为直线AC上一动点，连接DE．过点D作DF DE⊥，交直线BC于点F，连接EF．（1）如图1，当E是线段AC的中点时，设AE a=，BF b=，求EF的长（用含a，b的式子表示）；（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF之间的数量关系，并证明．【分析】（1）由三角形的中位线定理得//DE BC，12DE BC=，进而证明四边形CEDF是矩形得DE CF=，得出CF，再根据勾股定理得结果；（2）过点B作//BM AC，与ED的延长线交于点M，连接MF，证明ADE BDM∆≅∆得AE BM=，DE DM=，由垂直平分线的判定定理得EF MF=，进而根据勾股定理得结论．【解答】解：（1）D是AB的中点，E是线段AC的中点，//DE BC ∴，12DE BC=，90ACB∠=︒，90DEC∴∠=︒，DF DE⊥，90EDF∴∠=︒，∴四边形CEDF是矩形，12DE CF BC ∴==， CF BF b ∴==，CE AE a ==，2222EF CF CE a b ∴=+=+；（2）222AE BF EF +=．证明：过点B 作//BM AC ，与ED 的延长线交于点M ，连接MF ，则AED BMD ∠=∠，90CBM ACB ∠=∠=︒，D 点是AB 的中点，AD BD ∴=，在ADE ∆和BDM ∆中，AED BMD ADE BDM AD BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADE BDM AAS ∴∆≅∆，AE BM ∴=，DE DM =，DF DE ⊥，EF MF ∴=，222BM BF MF +=，222AE BF EF ∴+=．【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，垂直平分线的判定，关键在于构造全等三角形．四、附加题（本题10分）22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，把图形G 上的点到直线l 距离的最大值d 定义为图形G 到直线l 的最大距离．如图1，直线l 经过(0,3)点且垂直于y 轴，(2,2)A -，(2,2)B ，(0,2)C -，则ABC ∆到直线l 的最大距离为5．（1）如图2，正方形ABCD 的中心在原点，顶点都在坐标轴上，(0,2)A ．①求正方形ABCD 到直线4y x =+的最大距离．②当正方形ABCD 到直线y x b =+的最大距离小于32时，直接写出b 的取值范围．（2）若正方形边长为2，中心P 在x 轴上，且有一条边垂直于x 轴，该正方形到直线y x =的最大距离大于22，求P 点横坐标的取值范围．【分析】（1）①延长CB 交直线4y x =+于点E ，根据正方形的性质和勾股定理求出CE 的长度便是正方形ABCD 到直线4y x =+的最大距离；②由①可知，当4b =时，正方形ABCD 到直线y x b =+的最大距离为32，不难知道当4b =-时，正方形ABCD 到直线y x b =+的最大距离也应该为32ABCD 到直线y x b =+的最大距离小于32b 的取值范围；（2）根据最大距离的定义，确定最大距离为22P 点的位置，便可求得P 点的横坐标的取值范围．【解答】解：（1）①如图2，延长CB 交直线4y x =+于点E ，记直线4y x =+与y 轴交于点F ，与x 轴交于点G ，令0x =，得44y x =+=，(0,4)F ∴，4OF ∴=，令0y =，得40y x =+=，解得，4x =-，(4,0)G ∴-，4OG ∴=，OF OG ∴=，45OGF OFG ∴∠=∠=︒，四边形ABCD 是正方形，45ACB ∴∠=︒，EF EC ∴=，90CEF ∠=︒，(0,2)A ，2OA ∴=，2OA OC ∴==，6CF OC OF ∴=+=，222CE EF CF +=，32CE EF ∴==即正方形ABCD 到直线4y x =+的最大距离为32②由①可知，当4b =时，正方形ABCD 到直线y x b =+的最大距离为32若要使正方形ABCD到直线y x b=+的最大距离小于32，则b的取值范围为：44-<<；b（2）当正方形ABCD在如图3所示位置时，该正方形到直线y x=的距离为22，此时点P的横坐标为2-或2，若要该正方形到直线y x=的最大距离大于22则点P横坐标的取值范围为2x>．x<-或2【点评】本题主要考查了新定义，一次函数的图形与性质，正方形的性质，勾股定理，第（1）题的②小题关键在于正方形ABCD到直线y x b=+的最大距离为32b的值，第（2）题关键在于确定正方形到直线y x=的最大距离等于22P点的位置．。
北京市清华附中2019-2020学年初三上学期开学考试数学试卷
北京市清华附中2019-2020学年初三上学期开学考试数学试卷2019北京清华附中初三（上）开学考试数学一、选择题(本题共24分，每小题3分)1.下列四组数可作为直角三角形三边长的是A.4cm、5cm、6cmB.1cm、2cm、3cmC.2cm、3cm、4cmD.1cm、√2cm、√3cm2,己知△ABC(如图1),按照图2图3所示的尺规作图痕迹，(不需要借助三角形全等)就能推出四边形ABCD是平行四边形的依据是A.两组对边分别平行的四边形是平行四边形B.对角线互相平分的四边形是平行四边形C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D.两组对边分别相等的四边形是平行四边形3、下列各图象中，不是y关于x的函数的是4、甲、乙、丙、丁四人进行100m短跑训练，统计近期10次测试的平均成绩都是13.2s, 10次测试成绩的方差如下表，则这四个人中发挥最稳定的是选手甲乙丙丁方差（S2）0.020 0.019 0.021 0.0225、在平面直角坐标系中，将抛物线y=-2x2+3向左平移1个单位，再向下平移1个单位后所得抛物线得表达式为A.y=?2(x+1)2+2B. y=?2(x+1)2?2C. y=?2(x?1)2+2D. y=?2(x?1)2?26.缺题7、如图，在矩形ABCD中，点A的坐标是（1,0)，点C的坐标是(2，4)则B的长A.6B.3√3C.5D.4√28.2018年我国科技实力进一步增加，嫦娥探月、北斗组网、航母测试、鲲龙击水、港珠澳大桥的正式通车……。
这些成就的取得离不开国家对科技研发的大力投入，下图是2014年—2018年我国研究与试验发展(R&D)经费支出及增长速度情况。
2018年我国研究与试验发展(R&D)经费支出为19657亿元，比上年增长11.6%，其中基础研究经费1118亿元。
根据统计图提供的信息，下列说法中合理的是A.2014—年2018年，我国研究与试验发展(R&D)经费支出的增长速度始终在增加B.2014—年2018年，我国研究与试验发展(R&D)经费支出增长速度最快的年份是2017年C. 2014—年2018年，我国研究与试验发展(R&D)经费支出增长最多的年份是2017年D.2018年，基础研究经费约占该年研究与试验发展(R&D)经费支出的10%二、填空题(本题共24分，每小题3分)9.如果关于x 的方程x 2-3x-2k=0没有实数根，则k 的取值范围为 . 10.若直线y=2x+1下移后经过点((5,1)，则平移后的直线解析式为.11.如图是二次函数y=a x 2+bx+c(a ≠0)图象的一部分，对称轴为直线x=12，抛物线与x 轴的交点为A 、B ，则A,B 两点的距离是.12.己知一组据1，4,a,3,5，若它的平均数是3，则这组数据的中位数是. 13.若二次函数y=a x 2-bx+5(a ≠5)的图象与x 轴交于(1,0)，则b-a+2014的值是 . 14.如图，正方形AOCB 的顶点C,A 分别在x 轴，y 轴上，BC 是菱形BDCE 的对角线。
北京人大附中2020-2021学年九年级(上)开学数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）
A．1，1，1B．2，3，4C．1，2，3D．3，4，5
2．下列曲线中，表示y是x的函数的是（）
（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）连接OE，若 ， ，求OE的长．
23．小宇观看奥运会跳水比赛，对运动会每一跳成绩的计算方法产生了浓厚的兴趣，查阅资料后，小宇了解到跳水比赛的计分规则为：
a．每次试跳的动作，按照其完成难度的不同，对应一个难度系数H；
b．每次试跳都有7名裁判进行打分（0-10分，分数为0.5的整数倍），在7个得分中去掉2个最高分和两个最低分，剩下3个得分的平均值为这次试跳的完成分p；
13．如图，在平面直角坐标系 中，菱形ABCD的顶点 ， ，若点C在x轴正半轴上，则点B的坐标为__________．
14．小宇参加了社会实践调查，他发现，某品牌的空气净化器今年三月份的销售量为8万台，五月份为9.68万台，设销售量的月平均增长率为x，则可列方程为__________．
15．小宇在纸上写了六个两两不等的数 ， ， ， ， ， ，并记录下这组数的中位数 和方差 ，然后他将这六个数中大于 的三位数分别加1，小于 的三个数分别减1，得到了新的一组数，再次记录下新的这组数的中位数 和方差 ，则 __________ ， _________ ．（两空均填“ ”“=”或“ ”）
16．在平面直角坐标系 中，直线 与x轴，y轴分别交于A，B，直线 与x轴，y轴分别交于C，D其中 ，M，N均为线段AB上任意两点，P，Q为线段CD上任意两点，记点M，N，P，Q组成的四边形为图形G．
北京市海淀区北京大学附属中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷(含答案)
2024～2025学年度第一学期期中练习九年级数学学科试卷2024年11月考生须知：1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题．满分100分．考试时间120分钟．2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名．3．答案一律填涂或书写在答题卡相应位置上，用黑色字迹签字笔作答．4．考试结束，只交答题卡，并妥善保管试卷．一、选择题（共16分，每题2分）第1～8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ）．A ．B ．C ．D ．2．在平面直角坐标系内，点关于原点的对称点Q 的坐标为（ ）．A ．B ．C ．D ．3．一元二次方程的解是（ ）．A ．，B ．C ．，D ．，4．抛物线的顶点坐标是（ ）．A ．B ．C ．D ．5．如图是一个标准的五角星，若将它绕旋转中心旋转一定角度后能与自身重合，则至少应将它旋转的度数是（ ）．A ．B ．C ．D ．6．北京市2021年人均可支配收入为7.5万元，2023年达到8.18万元，若2021年至2023年间每年人均可支配收入的增长率都为x ，则下面所列方程正确的是（ ）．A ．B．()3,2P -()3,2-()3,2()2,3-()3,2--20x x +=10x =21x =121x x ==11x =-21x =10x =21x =-()212y x =-+()1,2()1,2-()1,2-()1,2--144︒90︒72︒60︒()28.1817.5x +=()27.518.18x +=C ．D ．7．如图所示，在4×4的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，则其旋转中心是（ ）．A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D8．如图，是边长为4的等边三角形，D 是BC 的中点，E 是直线上的一个动点，连接，将线段绕点C 逆时针旋转得到，连接．下列说法中正确的个数是（ ）．①；②；③；④点E 的运动过程中，的最小值是1．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（共16分，每题2分）9．请写出一个图象开口向上，且与y 轴交于点）的二次函数的解析式__________．10．关于x 的一元二次方程有一个根是，则__________．11．若关于x 的方程有两个相等的实数根，则实数a 的值是__________．12．如图，为的直径，点C 是上的一点，，则__________°．13．点，在抛物线上，则__________（填“＞”“＜”或“＝”）．14．如图，在平面直角坐标系中，点，，以点B 为旋转中心，把线段顺时针旋转得到线段，则点C 的坐标为__________．()27.518.18x -=+()28.1817.5x -=MNP △111M N P △ABC △AD EC EC 60︒FC DF 2DC =FCD ECA ∠=∠CE CF =DF ()0,1230x x m -+=1x =m =20x x a -+=AB O e O e 70ABC ∠=︒BAC ∠=()13,A y -()22,B y 22y x =1y 2y xOy ()0,2A ()1,0B BA 90︒BC15．如图，将绕顶点C 逆时针旋转得到，且点B 刚好落在上，若，，则等于__________°．16．已知函数，下列结论：①若该函数图象与x 轴只有一个交点，则；②方程至少有一个整数根；③若，则的函数值都是负数；④不存在实数a ，使得对任意实数x 都成立．所有正确结论的序号是__________．三、解答题（共68分，第17题8分，18～25题每题5分，第26题6分，第27、28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．解方程：（1）；（2）．18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的部分图象经过点，．（1）求该抛物线的解析式；（2）结合函数图象，直接写出时，x 的取值范围．19．已知m 是方程的一个根，求代数式的值．20．已知：如图，为锐角三角形，．求作：一点P ，使得．ABC △A B C ''△A B ''25A ∠=︒45BCA =∠'︒A BA '∠()211y ax a x =-++1a =()2110ax a x -++=11x a<<()211y ax a x =-++()2110ax a x -++≤24250x -=2280x x +-=xOy 22y ax x c =++()0,3A -()1,0B 0y <2220x x --=()()()22111m m m -+-+ABC △AB AC =APC BAC ∠=∠作法：①以点A 为圆心，长为半径画圆；②以点B 为圆心，长为半径画弧，交于点C ，D 两点；③连接并延长交于点P ．点P 即为所求．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明：证明：连接，．∵，∴点C 在上．∵，∴∠______＝∠______．∴．∵点D ，P 在上，∴．（__________）（填推理的依据）∴．21．如图，是等边三角形，点D 在边上，以为边作等边，连接，．求证：．22．已知关于x 的一元二次方程．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程两个根差为1，求此时m 的值．23．学校计划利用一片空地建一个长方形自行车车棚，其中一面靠墙，墙的长度为8米．在与墙平行的一面开一个2米宽的门，已知现有的木板材料可修建的总长为26米，且全部用于除墙外其余三面外墙的修建．（1）长方形车棚与墙垂直的一面至少为__________米；（2）如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路（如图中阴影），若车棚与墙AB BC A e DA A e PC BD AB AC =A e BC BD =12BAC CAD ∠=∠A e 12CPD CAD ∠=∠APC BAC ∠=∠ABC △AC CD CDE △BD AE BD AE =()2320m x x m -+++=垂直的一面长按（1）中的最小长度，则停放电动车的区域面积能否达到54平方米，若能，此时小路的宽度是多少米？若不能，请说明理由．24．如图，是直径，是的一条弦，且于点E ，连接、和．（1）求证：；（2）若，，求的半径．25．有机肥作为一种富含有机质及多样营养元素的优质肥料，对于土壤改良及肥力提升具有显著效果．将其应用于小树施肥，不仅能有效供给必要的养分，还能优化土壤结构，进而促进小树的茁壮成长．在针对金叶女贞和连翘这两种植物的培育过程中，我们统一施用了A 种有机肥，并确保了它们在浇水、松土、除草等抚育管理措施上的一致性．以下表格详细记录了A 种有机肥对这两种植物增长高度的影响：天数t /天1530456090金叶女贞增长的高度 3.3 6.39.612.615.919.3连翘增长的高度 1.14.09.115.636.2（1）通过分析数据，发现与t 之间近似满足正比例函数关系．请在给出的平面直角坐标系中，画出关于t 的函数的图象；（2）观察图象，补全表格（结果保留小数点后一位）；（3）实验前，测量金叶女贞的高度为，连翘的高度为，大概在第__________天时，连翘和金叶女贞一样高（结果保留到整数）．26．已知关于x 的二次函数上两个不同的点，．（1）求顶点坐标；（2）若且时，总有，求m 的取值范围．27．已知，点D 是直线上一动点（不含B 点），连接，将线段绕点A 逆时针旋转得到线段，连接线段，过点E 作交直线于点F ．AB O e CD O e CD AB ⊥AC BD OC ACO D ∠=∠2BE =CD =O e 1cm h 2cmh 1h 2h 43.6cm 31.2cm 221y mx mx m =-+-()11,A x y ()22,B x y 145x <<221x m =-12y y <60ABC ∠=︒BC AD AD 60︒AE ED EF AB ⊥AB图1备用图（1）如图1，点D 在点B 右侧时，①依题意补全图形；②用等式表示与的数量关系，并证明；③用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明；（2）当点D 在直线上运动时，请直接写出线段，，之间的数量关系．28．在平面直角坐标系中，点，点为定点，对于点P 作如下变换，将点P 绕点M 逆时针旋转得到点，再将点绕点N 逆时针旋转后得到点Q ，则称点Q 为点P 的“双逆转点”．备用图1 备用图2（1）若点P 为线段上的一点，则在点，，中，点P 的“双逆转点”可能为__________；（2）若点P 的“双逆转点”在x 轴上，请写出一个满足条件的点P 的坐标__________；（3）若点P 坐标为，点Q 为点P 的“双逆转点”，①当长度最短时，求m 的值；②已知半径为2，若存在过点Q 的直线被所截得的弦长为2，则m 的取值范围为__________．EAB ∠EDB ∠BF BD AB BC BF BD AB xOy ()0,2M ()1,0N 90︒1P 1P 90︒MN ()1,1A --()1,0B -()2,1C -(),4m m +PQ N e N e初三第一学期期中练习答案和评分标准数学2024.11一、选择题（本题共6分，每小题2分）题号12345678答案CADACBBD二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（答案不唯一） 10．2 11．12．2013．＞14．15．40 16．②④（答对一个给1分，多选或错选不得分）三、解答题（共68分，第17题8分，18～25题每题5分，第26题6分，第27、28题每题7分）17．（1）（一个答案2分，如果只会移项给1分）（2），，．（不限方法，不全对的酌情给分）18．（1）由题意知，（2分）解得，解析式为．（3分）（2）．（5分）19．解．原式．（3分）∵，∴，（4分）∴原式．（5分）20．（1）如图所示．（2分）（2），，一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．（5分）21．证明：∵，均为等边三角形，∴，，．21y x =+14()3,152x =±2280x x +-=14x =-22x =3230c a =-⎧⎨+-=⎩31c a =-⎧⎨=⎩223y x x =+-31x -<<()()222212123m m m m m =--++=--2220m m --=222m m -=231=-=-BAC BAD ABC △CDE △AC BC =CD CE =60ACB ACE ∠=∠=︒在与中，，∴≌（SAS ），（4分）∴．（5分）22．（1）∵，∴方程总有两个实数根．（2分）（2）解：∵，∴，∴，．∵方程两个根的差为1，∴或0．∴或．（5分）23．解：（1）．（2分）（2）设小路的宽为a 米，根据题意得，．（4分）整理得；，解得：（舍去），．（5分）答：小路的宽为1米．24．（1）证明；∵，∴，∵，∴．（2分）（2）解，设的半轻为r ，则．∵，∴（3分）在中，，解得．（ 5分）25．（1）（2分）（2）23～30之间均可．（4分）（3）78～86之间均可．（5分）26．（1）由题意可知：，∵，∴顶点坐标为．（2分）BCD △ACE △60AC BC ACB ACE CD CE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩BCD △ACE △BD AE =()()()234210m m m ∆=+-+=+≥()2320x m x m -+++=()()210x m x ---=12x m =+21x =22m +=0m =2-10x ≥()()821054a a --=214130a a -+=13a =1a =OA OC =ACO A ∠=∠A D ∠=∠ACO D ∠=∠O e 2OE r =-CD AB ⊥1122CE DE CD ===⨯=Rt OCE △(()2222r r +-=3r =0m ≠()()2222121111y mx mx m m x x m x =-+-=-+-=--()1,1-法2：对称轴，当时，，∴顶点坐标为．（2分）（2）当时，对称轴是直线，当时，y 随x 的增大而增大；当时，y 随x 的增大而减小．∵，∴点始终在对称轴右侧，若A 、B 在对称轴右侧，，即时，∵，∴，∴，若A 、B 在对称轴异侧，，即时，关于对称轴的对称点是．∵，∴，即，∴（舍） ．综上所述：．（4分）当时，对称轴是直线，当时，y 随x 的增大而减小；当时，y 随x 的增大而增大．∵，，∴，，关于对称轴的对称点是 ．∵，∴，即，2122b m x a m-=-=-=1x =211y m m m =-+-=-()1,1-0m >1x =1x ≥1x <145x <<()11,A x y 2211x m =->1m >12y y <215m -≥3m ≥2211x m =-<1m <()22,B x y ()222,B x y '-12y y <225x -≥()2215m --≥1m ≤-3m ≥0m <1x =1x ≥1x <221x m =-145x <<2211x m =-<1145x <<<()22,B x y ()222,B x y '-12y y <224x -≤()2214m --≤∴，∴．（6分）综上所述：或．27．（1）①补全图形，如图所示（1分）②，（2分）理由如下：∵线段绕点A 逆时针旋转得到线段，∴，，∴是等边三角形，∴．∵，∴．∵在四边形中，，∴，∴．（3分）③，理由如下：（4分）延长线段至点G 使得，连结，．∵，，∴．∵是等边三角形，∴．在和中，，∴≌（SAS ），（5分），∴．∵，∴．∵，，，∴．（6分）（2）当点D 在点B 右侧时，，当点D 在点B 左侧时，．（7分）12m ≥-102m -≤<102m -≤<3m ≥180EAB BDE ∠+∠=︒AD 60︒AE AE AD =60EAD ∠=︒AED △60AED ∠=︒60ABC ∠=︒180120ABD ABC ∠=︒-∠=︒ABDE 360EAB ABD BDE DEA ∠+∠+∠+∠=︒12060360EAB BDE ∠+︒+∠+︒=︒180EAB BDE ∠+∠=︒2BF AB BD =+BA AG BD =EG EB 180EAG EAB ∠+∠=︒180EAB EDB ∠+∠=︒EAG EDB ∠=∠AED △EA ED =EGA △EBD △EA EDEAG EDB GA BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩EGA △EBD △EG EB =EF BF ⊥GF FB =BG BA GA =+GA BD =2BG BF =2BF BA BD =+2BF AB BD =+2BF AB BD =-28．（1）A ，C ．（2分）（2）答案不唯一，纵坐标为1即可．（3分）（3）①（5分）②或（7分）2m =-m≥m ≤。
2019-2020学年北京人大附中朝阳学校九年级(上)开学数学试卷
（2）①由函数图象可知，该函数的顶点坐标为 (1, −4) ， ②由图象可得，当 x > 1时， y 随 x 的增大而增大，
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20．（5 分）下面是小明设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程． 已知：如图 1，直线 BC 及直线 BC 外一点 P ．
求作：直线 PE ，使得 PE / /BC ．
3．（2 分）北京市 6 月某日 10 个区县的最高气温如下表：（单位： ° C)
区县 大兴 通州 平谷 顺义 怀柔 门头沟 延庆 昌平 密云 房山
最高气温 32 32 30 32 30 32 29 32 30 32
则这 10 个区县该日最高气温的中位数是 ( )
A．32
B．31
C．30
D．29
【解答】这 10 个区县该日最高气温分别为：29、30、30、30、32、32、32、32、32、32，
移植的幼树 n / 棵 500 1000 2000 4000 7000 10000 12000 15000
成活的幼树 m / 棵 423 868 1714 3456 6020 8580 10308 12915
成活的频率 m n
0.846 0.868 0.857 0.864 0.860 0.858 0.859 0.861
13．（2 分）如图，AB 是 O 的直径，CD 是弦，CD ⊥ AB 于点 E ，若 O 的半径是 5，CD = 8 ，则 AE = ．
【解答】设 AE 为 x ，连接 OC ，
AB 是 O 的直径，弦 CD ⊥ AB 于点 E ， CD = 8 ，∴∠CEO= 90° ， C=E D=E 4 ， 由勾股定理得： O= C2 CE2 + OE2 ， 52 = 42 + (5 − x)2 ，解得： x = 2 ，则 AE 是 2， 14．（2 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中， ∆AOB 可以看作是 ∆OCD 经过若干次图形的变化（平移、轴 对称、旋转）得到的，写出一种由 ∆OCD 得到 ∆AOB 的过程： ．
2019-2020学年北京人大附中翠微分校九年级(上)开学数学试卷附答案
2019-2020学年北京人大附中翠微分校九年级（上）开学数学试卷一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1．（3分）一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．1，﹣2，﹣3B．1，﹣2，3C．1，2，3D．1，2，﹣3 2．（3分）如图，▱ABCD中，AE⊥CD于点E，若∠EAD＝35°，则∠B的度数为（）A．35°B．55C．65°D．125°3．（3分）用配方法解方程x2+4x+1＝0时，原方程应变形为（）A．（x+2）2＝3B．（x﹣2）2＝3C．（x+2）2＝5D．（x﹣2）2＝5 4．（3分）如图所示，△ABP是由△ACE绕A点旋转得到的，若∠BAP＝40°，∠B＝30°，则∠E的度数为（）A．70°B．100°C．110°D．130°5．（3分）二次函数y＝﹣（x+1）2﹣2的顶点坐标是（）A．（1．﹣2）B．（﹣1．﹣2 ）C．（1.2）D．（﹣1.2）6．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．7．（3分）近几年，手机支付用户规模增长迅速，据统计2015年手机支付用户约为3.58亿人，连续两年增长后，2017年手机支付用户达到约5.27亿人．如果设这两年手机支付用户的年平均增长率为x，则根据题意可以列出方程为（）A．3.58（1+x）＝5.27B．3.58（1+2x）＝5.27C．3.58（1+x）2＝5.27D．3.58（1﹣x）2＝5.278．（3分）如图，正比例函数y1＝ax与一次函数y2＝x+b的图象交于点P．下面四个结论：①a＜0；②b＜0；③不等式ax＞x+b的解集是x＜﹣2；④当x＞0时，y1y2＞0．其中正确的是（）A．①②B．②③C．①④D．①③二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）已知点P（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是．10．（2分）将抛物线y＝﹣x2向右平移1个单位，得到的抛物线的解析式是．11．（2分）若关于x的方程ax2+2bx+1＝0有两个相等的实数根，请写出一组符合条件的a 和b的值：a＝，b＝．12．（2分）在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．如果AB∥CD，请你添加一个条件，使得四边形ABCD成为平行四边形，这个条件可以是．（写出一种情况即可）13．（2分）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝x2的图象经过点M（x1，y1），N（x2，y2）两点，若﹣4＜x1＜﹣2，0＜x2＜2，则y1 y2 ．（用“＜”，“＝”或“＞”号连接）14．（2分）小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示的菱形，并测得∠B＝60°，对角线AC的长为30cm，接着活动学具成为图2所示的正方形，则图2中对角线AC的长为cm．15．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2，若直线y＝k（x ﹣1）与线段BC有公共点，则k的取值范围是．16．（2分）如图1，点O为正六边形对角线的交点，机器人置于该正六边形的某顶点处，小宇操作机器人以每秒1个单位长度的速度在图1中给出的线段路径上运行，他将机器人运行的时间设为t秒，机器人到点A的距离设为y，得到的函数图象如图2．通过观察函数图象，可以得到下列推断：①机器人一定经过点D；②机器人一定经过点E；③当t＝3时，机器人一定位于点O；④存在符合图2的运行路线，使机器人能够恰好经过六边形的全部6个顶点；其中正确的是（填序号）．三、解答题（本题共60分，第17～19题，毎小题5分，第20～24题，每小题5分第25题7分，第26题8分）17．（5分）解方程：x（x﹣3）＝x+518．（5分）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，对角线BD平分∠ABC，E，F分别是BD，CD的中点．求证：AD∥EF．19．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+2m2＝0（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；（2）若x＝1是该方程的根，求代数式2（m﹣1）2﹣3的值．20．（6分）已知直线l1：y＝x+b过点A（3，0），直线l2：y＝﹣2x与直线l1交于点B．（1）求直线l1的解析式和点B的坐标；（2）如果抛物线C的顶点为B，且它还过点A，求抛物线C的解析式21．（6分）如图1，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AE∥BD，BE∥AC，OE＝CD．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如图2，若∠ADC＝60°，AD＝4，求AE的长．22．（6分）“垂直”是平面几何中的一个重要概念，也是生活中必不可缺的重要元素问题1：下面是“过直线外一点作已知直线的垂线”的一个作图过程．已知：直线1和直线外的一点P求作：过点P且与直线1垂直的直线PQ，垂足为点Q．作法：①以点P为圆心，适当长度为半径作弧，交直线l于A，B两点；②连结P A，PB，作∠APB的平分线，交直线l于点Q；③作直线PQ，则直线PQ即为所求的垂线．（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）（2）判断PQ⊥l的数学依据是．问题2：利用垂直，可以作出一些特殊的几何图形已知：线段AB．求作：等腰直角△ABC，使AB＝AC，∠BAC＝90°（3）使用直尺和圆规，作出问题2中要求的图形（不写作法，保留作图痕迹）23．（6分）对于一些比较复杂的方程，可以利用函数图象来研究方程的根．问题：探究方程2x（|x|﹣2）＝1的实数根的情况．下面是小董同学的探究过程，请帮她补全：（1）设函数y＝2x（|x|﹣2），这个函数的图象与直线y＝1的交点的横坐标就是方程2x （|x|﹣2）＝1的实数根．（2）注意到函数解析式中含有绝对值，所以可得：当x≤0时，y＝﹣2x2﹣4x；当x＞0时，y＝；（3）在下图的坐标系中，已经画出了当x≤0时的函数图象，请根据（2）中的解析式，通过描点，连线，画出当x＞0时的函数图象．（4）画直线y＝1，由此可知2x（|x|﹣2）＝1的实数根有个．（5）深入探究：若关于x的方程x（|x|﹣2）＝有三个不相等的实数根，且这三个实数根的和为非负数，则m的取值范围是．24．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3（a≠0）与x轴交于A，B 两点（点A在点B左侧）（1）求抛物线的对称轴；（2）若AB＝4，求该抛物线的解析式；（3）若AB≤4，直接写出a的取值范围．25．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D为BC的中点，将线段AD绕点D顺时针旋转90°，得到线段DE，连接CE，过点D作CE的垂线，与CE交于点F，与线段AB交于点G．（1）依题意补全图形；（2）设∠ABC＝α，求∠CDF的度数（用含α的代数式表示）；（3）探究DG，DF和CE之间的等量关系，并给出证明．26．（8分）对于平面直角坐标系xOy中的点A和点P，若将点P绕点A逆时针旋转90°后得到点Q，则称点Q为点P关于点A的“垂链点”，图1为点P关于点A的“垂链点”Q的示意图．（1）已知点A的坐标为（0，0），点P关于点A的“垂链点”为点Q；①若点P的坐标为（2，0），则点Q的坐标为．②若点Q的坐标为（﹣2，1），则点P的坐标为．（2）如图2，已知点C的坐标为（1，0），点D在直线y＝x+1上，若点D关于点C 的“垂链点”在坐标轴上，试求出点D的坐标．（3）如图3，已知图形G是端点为（1，0）和（0，﹣2）的线段，图形H是以点O为中心，各边分别与坐标轴平行的边长为6的正方形，点M为图形G上的动点，点N为图形H上的动点，若存在点T（0，t），使得点M关于点T的“垂链点”恰为点N，请直接写出t的取值范围．2019-2020学年北京人大附中翠微分校九年级（上）开学数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1．【解答】解：一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，﹣2，﹣3．故选：A．2．【解答】解：∵∠EAD＝35°，AE⊥CD，∴∠D＝55°，∵▱ABCD，∴∠B＝55°，故选：B．3．【解答】解：x2+4x＝﹣1，x2+4x+4＝3，（x+2）2＝3，故选：A．4．【解答】解：∵∠BAP＝40°，∠B＝30°，∴∠APB＝180°﹣40°﹣30°＝110°，∵△ABP是由△ACE绕A点旋转得到的，∴∠E＝∠APB＝110°，故选：C．5．【解答】解：∵抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2﹣2，∴二次函数图象的顶点坐标是（﹣1，﹣2）．故选：B．6．【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选：A．7．【解答】解：设这两年手机支付用户的年平均增长率为x，依题意，得3.58（1+x）2＝5.27．故选：C．8．【解答】解：因为正比例函数y1＝ax经过二、四象限，所以a＜0，①正确；一次函数y2＝x+b经过一、二、三象限，所以b＞0，②错误；由图象可得：不等式ax＞x+b的解集是x＜﹣2，③正确；当x＞0时，y1y2＜0，④错误；故选：D．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．【解答】解：点P（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（﹣2，3），故答案为：（﹣2，3）．10．【解答】解：抛物线y＝﹣x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向右平移1个单位所得对应点的坐标为（1，0），所以平移后的抛物线的解析式是y＝﹣（x﹣1）2．故答案为y＝﹣（x﹣1）2．11．【解答】解：根据题意得△＝（2b）2﹣4a＝0，即b2＝a，令b＝1，a＝1．故答案为1，1．12．【解答】解：∵AB∥CD，∴当AB＝CD时，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可知四边形ABCD为平行四边形，故答案为：AB＝CD（或AD∥BC等，答案不唯一）．13．【解答】解：由y＝x2可知，∵a＝1＞0，∴抛物线的开口向上，∵抛物线的对称轴为y轴，∴当x＞0时，y随x的增大而增大，∵﹣4＜x1＜﹣2，0＜x2＜2，∴2＜﹣x1＜4，∴y1＞y2．14．【解答】解：如图1，2中，连接AC．在图2中，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠B＝90°，∵AC＝30，∴AB＝BC＝15，在图1中，∵∠B＝60°，BA＝BC，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝BC＝15，故答案为：1515．【解答】解：∵正方形OABC的边长为2，∴B（2，2），C（0，2）．把B（2，2）代入y＝k（x﹣1），得2＝k（2﹣1），此时k＝2．把C（0，2）代入y＝k（x﹣1），得2＝k（0﹣1），此时k＝﹣2．∴k的取值范围是k≤﹣2或k≥2．故答案是：k≤﹣2或k≥2．16．【解答】解：由图象可知，机器人距离点A1个单位长度，可能在F或B点，则正六边形边长为1．故①正确；观察图象t在3﹣4之间时，图象具有对称性则可知，机器人在OB或OF上，则当t＝3时，机器人距离点A距离为1个单位长度，机器人一定位于点O，故②正确；所有点中，只有点D到A距离为2个单位，故③正确；因为机器人可能在F点或B点出发，当从B出发时，不经过点E，故④错误．故答案为：①②③．三、解答题（本题共60分，第17～19题，毎小题5分，第20～24题，每小题5分第25题7分，第26题8分）17．【解答】解：x2﹣4x﹣5＝0，（x﹣5）（x+1）＝0，x﹣5＝0或x+1＝0，所以x1＝5，x2＝﹣1．18．【解答】证明：∵E，F分别是BD，CD的中点，∴EF∥BC，∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABD，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABD，∴∠ADB＝∠DBC，∴AD∥BC，∴AD∥EF．19．【解答】（1）证明：△＝（4m）2﹣4•2m2＝8m2≥0，所以不论m为何值，该方程总有两个实数根；（2）解：把x＝1代入方程得1﹣4m+2m2＝0，则2m2﹣4m＝﹣1，所以2（m﹣1）2﹣3＝2m2﹣4m+2﹣3＝﹣1+2﹣3＝﹣2．20．【解答】解：（1）∵直线l1：y＝x+b过点A（3，0），∴3+b＝0，解得b＝﹣3，∴直线l1的解析式为y＝x﹣3；解得∴点B的坐标为（1，﹣2）；（2）设抛物线C的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣2，∵抛物线C的顶点为B，且它还过点A，∴4a﹣2＝0，解得a＝，∴抛物线C的解析式为y＝（x﹣1）2﹣2．21．【解答】证明：（1）∵AE∥BD，BE∥AC，∴四边形AEBO是平行四边形，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC＝AB．∵OE＝CD，∴OE＝AB．∴平行四边形AEBO是矩形，∴∠BOA＝90°．∴AC⊥BD．∴平行四边形ABCD是菱形；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD＝4，AC⊥BD，BO＝DO，AO＝CO，∠ADO＝30°，∴AO＝2，DO＝AO＝2＝BO，∴四边形OBEA是平行四边形，∴AE＝OB＝222．【解答】解：问题1：（1）如图，PQ为所作；（2）∵P A＝PB，∴△P AB为等腰三角形，∵PQ平分∠APB，∴PQ⊥AB；故答案为等腰三角形的三线合一；问题2：（3）如图2，△ABC为所作．23．【解答】解：（1）函数y＝2x（|x|﹣2）的图象与直线y＝1的交点的横坐标就是方程2x （|x|﹣2）＝1的实数根．（2）当x＞0时，y＝2x（|x|﹣2）＝2x（x﹣2）＝2x2﹣4x，故答案为﹣2x2﹣4x；（3）画出函数的图象如图：（4）由图象可知，直线y＝1与函数图象有3个交点，所以，2x（|x|﹣2）＝1的实数根有3个，故答案为3．（5）由图象可知：直线y＝在x轴的上方（≥0），与函数y＝x（|x|﹣2）的交点的横坐标x1＜x2＜0＜x3，且x1+x2＝﹣2，x2≥2，∴x1+x2+x3≥0，∴m≥0，∴关于x的方程x（|x|﹣2）＝有三个不相等的实数根，且这三个实数根的和为非负数，则m的取值范围是m≥0，故答案为m≥0．24．【解答】解：（1）函数的对称轴为：x＝﹣＝﹣＝1；（2）AB＝4，函数对称轴为：x＝1，则点A坐标为（﹣1，0），将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝a+2a﹣3，解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；（3）函数对称轴为：x＝1，设AB＝2m≤4，则点A（1﹣m，0），同理将点A的坐标代入抛物线表达式并整理得：，而0＜m≤2，即：﹣1≤≤8，解得：a≤﹣3或a≥．25．【解答】解：（1）图形如图所示．（2）∵∠BAC＝90°，BD＝CD，∴AD＝DB＝DC，∴DBA＝∠DAB＝α，∴∠ADC＝∠DBA+∠DAB＝2α，∵DA⊥DC，∴∠ADE＝90°，∴∠CDE＝90°﹣2α，∵DE＝DA＝DC，DF⊥EC，∴∠CDF＝∠EDF＝∠CDF＝45°﹣α．（3）结论：2（DF﹣DG）＝EC．理由：如图，作BH⊥FG交FG于H．∵∠H＝90°，∴∠DBH+∠BDH＝90°，∵∠BDH＝45°﹣α，∴∠DBH＝45°+α，∵∠ABC＝α，∴∠HBG＝45°，∴∠HBG＝∠BGH＝45°，∴BH＝HG，∵∠H＝∠DFC＝90°，BD＝DC，∠BDH＝∠CDF，∴△BDH≌△CDF（ASA），∴CF＝BH，DF＝DH，∵DC＝DE，DF⊥EC，∴CF＝EF，EC＝2CF，∴DF﹣DG＝DH﹣DG＝HG＝BH＝CF，∴2（DF﹣DG）＝EC．26．【解答】解：（1）A的坐标为（0，0），即点A是原点，根据旋转的性质得：①点Q（0，2），点P（1，2），故答案为：（0，2），（1，2）；（2）①当点D在第一象限时，则点D关于点C的“垂链点”在x轴上，点CD⊥x轴，故点D（1，）；②当点D在第二象限时，如下图：设点D（m，m+1），点D′（0，n），点D的“垂链点”D′在y轴上，过点D作DH⊥x轴于点H，∵∠DCH+∠HDC＝90°，∠OCD′+∠DCH＝90°，∴∠HDC＝∠OCD′，∵∠DHC＝∠COD′＝90°，DC＝D′C，∴△DHC≌△COD′（AAS），则DH＝OC，即：m+1＝1，解得：m＝0，故点D（0，1），综上，点D（0，1）或（1，）；（3）图形G所在直线的表达式为：y＝2x﹣2，设点M（m，2m﹣2），其中0≤m≤1，①当点T在y＝﹣3下方时，TN与正方形不相交，故不存在“垂链点”；②点T在y＝﹣3和y＝﹣2时，存在“垂链点”，即：t＝﹣3或﹣2；③当TM与H图形右侧的边相交时，如下图：分别过点M、N作y轴的垂线交于点H、G，同理可证△NGT≌△THM（AAS）TH＝GN，即t﹣（2m﹣2）＝3，t＝2m+1，而0≤m≤1，则1≤t≤3；④当TN与正方形的上面的一条边相交时，同理可得：t＝3﹣m，而0≤m≤1，解得：2≤t≤3，综上，t的取值范围为：1≤t≤3或t＝﹣3或﹣2．。
北京人大附中朝阳学校2019-2020学年九年级(上)开学数学试卷
+
|
3−2| +
(−3)2−(− 3)．
18. 小李拿到四张大小、质地均相同的卡片，上面分别标有数字1，2，3，4，他将标有 数字的一面朝下扣在桌子上，从中随机抽取一张（不放回），再从桌子上剩下的3张中
随机抽取第二张． （1）用画树状图的方法，列出小李这两次抽得的卡片上所标数字的所有可能情况；
（2）计算小李抽得的两张卡片上的数字之积为奇数的概率是多少？
A.
饕餮纹
B.
三兔纹
C.
凤鸟纹
D.
花卉纹
5. 如图，在Rt △ ABC中，∠ACB＝90 ∘ ，∠ABC＝31 ∘ ，将 △ ABC绕点C顺时针旋转α角 (0 ∘ < α < 180 ∘ )至 △ ABC，使得点A′恰好落在AB边上，则α等于（ ）
A.149 ∘
B.69 ∘
C.62 ∘
D.31 ∘
23. 一次函数y＝kx + b(k ≠ 0)的图象经过点A(3, 1)和点B(0, −2)， （1）求一次函数的表达式；
（2）若点C在y轴上，且S △ ABC＝2S △ AOB，直接写出点C的坐标．
24. 如图1，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝4cm，BD＝2cm．E，F分
别是AB，BC的中点，点P是对角线AC上的一个动点设AP＝xcm，PE＝y1cm，PF＝y2cm．
9. 写出一组直角三角形的三边长________．（要求是勾股数但3、4、5和6、8、10除外）
3
10. 已知a是方程2x2 + 4x−3＝0的一个根，则代数式a2 + 2a＝________2 ．
11. 如果把代数式x2−2x + 3化成(x−h)2 + k的形式，其中h，k为常数，那么h + k的值是 ________．
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20.2017 年国务院印发《新一代人工智能发展规划》，将人工智能上升为国家战略，我国人工智能领域迎来新的发 展契机.
根据相关信息，回答问题：
（1）图 1 反映了我国人工智能专利授权量（单位：件）这些年的变化情况，2017 年，中国人工智能专利授权
量为
件；
（2）图 2 是 2017 年前 20 名中国人工智能国内专利权人的专利授权量的频数分布直方图，
.
12.在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=1，点 Q 在直线 BC 上，且 AQ=2，则线段 BQ 的长为
.
13.如图，△ABC 的周长为 17，点 D，E 在边 BC 上，∠ABC 的平分线垂直于 AE，垂足为点 N，∠ACB 的平分线垂
直于 AD，垂足为点 M，若 BC=6，则 MN 的长度为
3/6
19.在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y=kx+b（k≠0）的图象由函数 y=x 的图象平移得到，且经过点（1，2） （1）求这个一次函数的解析式； （2）当 x>1 时，对于 x 的每一个值，函数 y=mx（m≠0）的值大于一次函数 y=kx+b 的值，直接写出 m 的取值范 围.
A. 2
B. 3
C. 1
D. 4
7.已知△ABC（如图 1），按照图 2、图 3 所示的尺规作图痕迹，（不需要借助三角形全等）就能推出四边形 ABCD 是平行四边形的依据是（ ）
1/6
A. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 C. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 8.如图，动点 P 在边长为 2 的等边△ABC 的边上，它从点 A 出发，沿 A→C→B→A 的方向以每 秒 1 个单位长度的速度运动，如果点 P 的运动时间为 t 秒，点 P 与点 C 之间的距离记为 y, 那么 y 与 t 之间的函数关系用图象表示大致是（ ）
5.如图，在菱形 ABCD 中，∠ABC=120°，点 E 是边 AB 的中点，P 是对角线 AC 上的 一个动点，若 AB=2，则 PB+PE 的最小值是（ ）
A. 5
B. 2
C. 3
角线 AC，BD 相交于点 O，AB=2，∠ABO=60°，线段 EF 绕 点 O 转动，与 AD，BC 分别相交于点 E，F，当∠AOE=60°时，EF 的长为（ ）
（2）当点 E 在线段 CA 的延长线上时，依题意补全图 2，用等式表示线段 AE、EF、BF 之间的数量关系，并证 明.
四、附加题（本题 10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，把图形 G 上的点到直线 l 距离的最大值 d 定义为图形 G 到直线 l 的最大距离. 如图 1，直线 l 经过（0，3）点且垂直于 y 轴，A（-2，2），B（2，2），C（0，-2），则△ABC 到直线 l 的最 大距离为 5.
.
21.在△ABC 中，∠C=90°，AC>BC，D 是 AB 的中点，E 为直线 AC 上一动点，连接 DE，过点 D 作 DF⊥DE，交 直线 BC 于点 F，连接 EF.
（1）如图 1，当 E 是线段 AC 的中点时，设 AE=a,BF=b,直接写出 EF 的长（用含 a, b 的式子表示）；
4/6
数据被分成 5 组，其中在 100≤x<200 之间的数据分别是 129，154，155，165，170，170，186，190.则 20 个专
利授权量的中位数是
；
（3）2017 年中国人中智能国内专利权人的专利授权量在基础算法、基础硬件和垂直应用三个分支位于前 20 的 统计折线图如图 3.依据折线图推断，基础算法、基础硬件和垂直应用三个分支的专利授权量的方差最小的是
（1）求 m 的取值范围； （2）若 m 为符合条件的最大整数，求此时方程的解. 18.如图，菱形 ABCD 对角线 AC，BD 相交于点 O，E 是 AD 的中点，点 F，G 在 AB 上，EF⊥AB，OG∥EF. （1）求证：四边形 OEFG 是矩形； （2）若 AD=10，EF=4，求 OE 和 BG 的长.
3.下列各式中，从左向右变形正确的是（ ）
A. 4 = 2
B. (−3)2 = 3
C. 6 = −2 −3
D.
8 + 2 = 10
4.已知 P1(−2, m), P2 (1, n) 是函数 y=-2x+1 图象上的两个点，则 m 与 n 的大小关系是（ ）
A. m>n
B. m<n
C. m=n
D. 无法确定
三、解答题（本题共 44 分，第 15、16 题每题 5 分，第 17、18 题每题 7 分，第 19、20 题每题 6 分，第 21 题 8 分）
15.解方程 x2 + 3x −1 = 0 16.已知 x = 3 +1 ，求代数式 x2 − 2x 的值. 17.关于 x 的一元二次方程 x2 + x + m = 0 有两个不相等的实数根.
二、填空题（本题共 24 分，每小题 4 分）
9.写出一个比 3 大且比 13 小的整数是
.
10.关于 x 的一元二次方程 (a − 2)x2 + x + a2 − 4 = 0 的一个根是 0，则 a 的值是
.
11.一次函数图象经过第一、二、三象限，且过点（0，2），写出一个满足条件的一次函数表达式
2020 北大附中初三（上）开学考试
数学
班级
姓名
成绩
一、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分）在下列各题的选项中，只有一个是符合题意的
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
答案
1. 1− x 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ ）
A. x≠1
B. x ≥1
C. x ≤1
D. x<1
2.下列垃圾分类指引标志图形中，是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
.
14.在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y1 = kx + b 与 y2 = x + m 的图象如图所示，若它们的交点的横坐标为 2，
则下列三个结论中正确的是
.（填写序号）.
①直线 y2 = x + m 与 x 轴所夹锐角等于 45°；
②k+b>0;
2/6
③关于 x 的不等式 kx+b<x+m 的解集是 x<2.