一元二次方程配方法,公式法,因式分解法

一元二次方程的根

一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根

因此，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解．

例1：下面哪些数是方程0121022

=++x x 的根？

—4、—3、—2、—1、0、1、2、3、4

分析：要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可． 复习

()222

2b ab a b a ++=+ 2222)(b ab a b a +-=-

根据公式完成下面的练习：

(1)()2

2____________8-→+-x x x (2)()2

2

______3______129+→++x x x

(3)()2

2____________+→++x px x (4) ()2

2

____________6+→++x x x

(5)()2

2____________5-→+-x x x (6) ()2

2

____________9-→+-x x x

例2：解方程：2963=++x x 2532

=-x x

解：由已知，得：()232

=+x 解：方程两边同时除以3，得3

2352

=-

x x 直接开平方，得：23±=+x 配方，得2

2

2

65326535⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭

⎫

⎝⎛+-x x

即23=+x ，23-=+x 即 3649652

=⎪⎭⎫ ⎝

⎛

-x ，6765±=-x ，6765±=x

所以，方程的两根231+

-=x ，232--=x 所以，方程的两根267651=+=

x ，3

167652-=-=x 像这种求出一元二次方程的根的方法叫做配方法。

练一练：

(1)982=+x x (2)015122

=-+x x (3)044

12

=--x x

(4) 03832=-+x x (5)08922

=+-x x (6) ()x x 822

=+

练一练

一、选择题

1．方程()21=-x x 的两根为（ ）．

A ．1,021==x x

B ．1,021-==x x

C ．2,121==x x

D ．2,121=-=x x 2．方程()()0=-+-x b b x ax 的根是（ ）． A ．a x b x ==21, B ．a x b x 1,21=

= C ．a

x a x 1,21== D ．2

221,b x a x == 3．已知1-=x 是方程02

=++c bx ax 的根，则

b

c

b a +()0≠b =（ ）． A ．1 B ．－1 C ．0 D ．2

4．若()2

2

4q x p x x +=+-，那么q p 、的值分别是（ ）．

A ．2,4==q p

B ．2,4-==q p

C ．2,4=-=q p

D ．2,4-=-=q p 5．方程0932

=+x 的根为（ ）．

A ．3

B ．－3

C ．±3

D ．无实数根 6．用配方法解方程013

2

2

=+-

x x 正确的解法是（ ）

． A ．32231,98312

±==⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x B ．98312

-=⎪⎭⎫ ⎝⎛

-x ，原方程无解

C ．352,3532,9532212-=

+==⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x D ．31,35,132212

-===⎪⎭⎫ ⎝

⎛

-x x x 二、填空题

1．如果0812=-x ，那么0812

=-x 的两个根分别是1x =________，2x =__________． 2．已知方程0652

=-+mx x 的一个根是3=x ，则m 的值为________． 3．方程()()01212

=++

+x x x ，那么方程的根1x =______；2x =________．

4．若01682

=-x ，则x 的值是_________．

5．如果方程()72322

=-x ，那么，这个一元二次方程的两根是________．

6．如果b a 、为实数，满足03612432

=+-++b b a ，那么ab 的值是_______． 三、综合提高题

如果关于x 的一元二次方程()002

≠=++a c bx ax 中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证：

1-必是该方程的一个根．

一元二次方程公式法

一元二次方程()002

≠=++a c bx ax 的根由方程的系数c b a 、、而定，因此：

1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式()002

≠=++a c bx ax ，当042

≥-ac b 时，•将

c a 、、b 代入式子a

ac

b b x 242-±-=

就得到方程的根。（公式所出现的运算，恰好包括了所学过的六种运算，）

2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式。

3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法。 4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根。

例1．用公式法解下列方程．

0122=--x x

分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可。 解：112-=-==c b a 、、

()()981124142

2=+=-⨯⨯--=-ac b

()4

3

12291±=⨯±--=

x

2

1

,121-

==x x

练一练：用公式法解下列方程．

（1）()()0532=--x x （2）x x 35.12

-=+ （3）02

1

22

=+

-x x （4）02342=+-x x

一、选择题

1．用公式法解方程31242

=-x x ，得到（ ）。

A ．263±-=

x B ．263±=x C ．2

3

23±-=x D ．2323±=x 2．方程0263422

=++x x 的根是（ ）。

A ．3,221==x x

B ．2,621==x x

C ．2,2221==x x

D ．621-==x x

3．(

)()

08222

2

2

=----n m

n

m ，则22n m -的值是（ ）。

A ．4

B ．﹣2

C ．4或﹣2

D ．﹣4或2

二、填空题