费马点与中考试题

识别“费马点”思路快突破

例1 探究问题：

（1）阅读理解：

①如图（A），在已知△ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形顶点的

距离之和最小，则称点P为△ABC的费马点，此时PA＋PB＋PC的值为△ABC的费马距离.

②如图（B），若四边形ABCD的四个顶点在同一圆上，则有AB·CD＋BC·DA ＝AC·BD.此为托勒密定理.

（2）知识迁移：

①请你利用托勒密定理，解决如下问题：

如图（C），已知点P为等边△ABC外接圆的BC上任意一点.求证：PB＋PC＝PA.

②根据（2）①的结论，我们有如下探寻△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于120°）的费马点和费马距离的方法：

第一步：如图（D），在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆；第二步：在BC上任取一点P′，连结P′A、P′B、P′C、P′D.易知P′A＋P′B ＋P′C＝P′A＋（P′B＋P′C）＝P′A＋；

第三步：请你根据（1）①中定义，在图（D）中找出△ABC的费马点P，并请指出线段的长度即为△ABC的费马距离.

（3）知识应用：

2010年4月，我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象，许多村庄出现了人、畜饮水困难，为解决老百姓的饮水问题，解放军某部来到云南某地打井取水.

已知三村庄A、B、C构成了如图（E）所示的△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于120°），现选取一点P打水井，使从水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值.

（1）平面内一点P到△ABC三顶点的之和为PA+PB+PC，当点P为费马点时，距离之和最小.

特殊三角形中：

(2)三内角皆小于120°的三角形，分别以 AB，BC，CA，为边，向三角

形外侧做正三角形ABC

1，ACB

1

，BCA

1

，然后连接AA

1

，BB

1

，CC

1

，则三线交于一

点P，则点P就是所求的费马点.

(3)若三角形有一内角大于或等于120度，则此钝角的顶点就是所求.

(4)当△ABC为等边三角形时，此时外心与费马点重合.

可见，永州卷这道考题对于费马点只是以课题学习为问题载体，考得比较直截了当；巧合的是

例2 如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.

⑴ 求证：△AMB≌△ENB；

⑵ ①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；

②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；

⑶ 当AM＋BM＋CM的最小值为1

3 时，求正方形的边长.

思路探求：⑴略；

⑵ ①要使AM ＋CM 的值最小，根据“两点之间线段最短”，需设法将AM ＋CM 转化为一条线段，连接AC 即可获取；

②要使AM ＋BM ＋CM 的值最小，由例3积累的知识经验：点M 应该是△ABC 的费马点.由例3中（2）的求解示范，只要连接CE 即可获得CE 为AM ＋BM ＋CM 的值最小.这样获到M 点至少帮助我们在思路获取上提高了效率.理由说明供助于第（1）问的全等获得BM=BN ，将三条线段转化到CE 上去，问题化为两点之间线段最短.

⑶根据题意，添加辅助线，构造直角三角形，过E 点作EF ⊥BC 交CB 的延长线于F . 设正方形的边长为x ，则BF ＝2

3x ，EF ＝2

x .在Rt △EFC 中，由勾股定理

得（2

x

）2＋（

2

3x ＋x ）2＝(

)2

1

3+，解得即可.

简答：⑴略；

⑵①当M 点落在BD 的中点时，AM ＋CM 的值最小. ②如图，连接CE ，当M 点位于BD 与CE 的交点处时，

AM ＋BM ＋CM 的值最小.

理由如下：连接MN.由⑴知，△AMB

∴AM ＝EN .

∵∠MBN ＝60°，MB ＝NB ， ∴△BMN 是等边三角形.

B

F

B

∴BM ＝MN .

∴AM ＋BM ＋CM ＝EN ＋MN ＋CM .

根据“两点之间线段最短”，得EN ＋MN ＋CM ＝EC 最短

∴当M 点位于BD 与CE 的交点处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小，即等于EC 的长. ⑶过E 点作EF ⊥BC 交CB 的延长线于F ，∴∠EBF ＝90°－60°＝30°. 设正方形的边长为x ，则BF ＝

2

3x ，EF ＝2

x .

在Rt △EFC 中，∵EF 2＋FC 2＝EC 2，∴（2

x ）2＋（2

3x ＋x ）2＝(

)2

1

3+.

解得，x ＝

2

（舍去负值）.∴正方形的边长为2

.

点评：本题中“AM ＋BM ＋CM 的值最小”如果没有费马点的知识积累，会在探究点M 的位置上花费不少时间，这对紧张的考试来说，势必造成“隐性失分”．