对称性与群论
第6章 对称性与群论
各种正棱往体的几何构型也都具有Dnh对称性．
Dnh点群
化学中的重要点群
Dnd点群
对称元素: Cn C2(在主轴的垂面方向上) σd (一套平分每一对C2轴间夹角的垂直镜面) 例:
化学中的重要点群
Dh 点群 对称元素:
C
σv σh C2
(和键轴方向一致) (无穷多个,通过键轴的垂直镜面) (水平镜面) (无穷多个,垂直于 C )
群元素可以是数字、矩阵、算符或
对称操作等（数学对象、物理动作、 理化性质等）。 只要满足前述四 个条件的集合即为群（G）： G { A, B, C, D ,…}
对称操作群
定义：对称操作的集合构成的群称
为对称操作群，简称对称群 (symmetry group)
对称操作群也必具有数学上群的四 条基本性质．连续两个对称操作和两个 元素相乘对应。
旋转Cnm的逆操作是Cnn-m，因为
Cnm Cnn-m = Cnn = E
旋转-反映Snm的逆操作与m和n的奇偶性有关
n=是偶数，不论M是偶或奇数，它的逆操作都是Snn-m
n=是奇数，m=偶数，则Snm = Cnm ，因而它的逆操作是Cnn-m n=是奇数，m=奇数，则Snm = Cnm σ，它的逆操作应为Cnn-m σ 的 乘积，且等于Cn2n-m σ ，因而可写成单一的操作Sn2n-m
对称操作群---分子点群
分子点群有二层解释含义：
1）这些对称操作都是点操作，操作
时分子中至少有一点不动。
2）分子中全部对称元素至少通过一
个公共点，若不交于一点，分子就不能维
持有限性质。
一个分子所具有的对称操作的完全集合构成一个点群 每个点群有一个特定的符号 C2v 点群 C2v {C2 , yz , xz , E} 封闭性： C2 xz yz 元素相乘符合结合律 ：
数学中的对称之美群论与对称性的研究
数学中的对称之美群论与对称性的研究数学中的对称之美：群论与对称性的研究数学是一门探索抽象规律的科学，而对称性则是其中一种重要的数学现象。
对称性广泛存在于几乎所有数学领域中，而群论则是描述和研究对称性的重要工具。
本文将探讨数学中对称之美的本质，深入介绍群论及其在数学中的应用。
一、对称与对称性对称是指在某个变换下，物体或者规律保持不变。
比如，平面上的等边三角形通过旋转可以重合，表示存在旋转对称性。
对称性则是指对称现象的普遍性和规律性，它是一种数学上的基本性质。
二、群论的基本概念群论是一门研究代数结构的数学分支，它主要关注代数中的对称性。
在群论中，定义了一个群（Group）为一个集合和一个二元运算，满足封闭性、结合律、单位元、逆元等性质。
例如，整数集合（Z，+）构成一个群。
在这个群中，整数的加法运算满足结合律，0是加法的单位元，每个整数都有一个逆元存在（即相反数）。
群论的研究对象往往是这种抽象的代数结构。
三、对称群与置换对称群是群论中的一个重要概念，它是描述对称性的数学工具。
对于一个有限集合，对称群是所有置换（Permutation）构成的群。
置换是指集合中元素的重新排列。
举个例子，考虑一个三角形的三个顶点A、B、C。
所有可能的顶点排列方式包括ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA，它们可以形成一个置换群，即对称群。
这个群的运算是置换的复合运算。
四、群论在几何中的应用群论在几何学中扮演着重要角色，特别是在对称性的研究中。
几何中的许多性质和定理可以通过群论来解释和证明。
一种经典的应用是研究正多边形的对称性。
以正三角形为例，它的对称群有6个元素，即所有的置换方式，包括顶点的旋转和翻转。
通过研究对称群的结构，我们可以得出正三角形对称性的一些性质，如等边性、等角性等。
五、群论在物理中的应用群论在物理学中有广泛的应用，特别是在几何变换和对称性的研究中。
物理中的对称性描述了自然规律的普遍性。
一个重要的例子是Noether定理，它通过对称群的概念解释了物理的守恒定律。
群论与对称性的研究
群论与对称性的研究对称性是数学中常见且重要的概念，而群论正是研究对称性的一种数学工具。
本文将探讨群论在对称性研究中的应用，从基本概念到一些重要的结果，深入探讨群论对于对称性理解和分析的重要性。
一、引言对称性在自然界和数学领域都起着至关重要的作用。
无论是物理学中的对称性定律，还是几何学中的对称图形，都有一个共同的基础——群论。
群论是代数学的一个分支，专门研究集合中的元素以及它们之间的运算规则。
群论可以用来描述和研究各种各样的对称性，从而在许多领域产生了深远的影响。
二、群的定义与基本性质群是一个集合 G，上面定义了一个运算 *，满足以下四个条件：封闭性、结合律、存在单位元和存在逆元。
群的定义是群论研究的核心，它不仅仅是一种抽象的代数结构，更是研究对称性的基础。
通过群的定义，我们可以描述和分析各种对称性，如平移、旋转、反射等。
三、对称群与置换群对称群和置换群是群论中最常见的两种群。
对称群是一个集合中所有对称变换所组成的群，而置换群是一个集合中所有元素的排列所组成的群。
对称群和置换群是群论与对称性研究紧密联系的重要工具。
通过对称群和置换群，我们可以描述和分析各种几何图形和物理现象中的对称性。
四、群同态与群同构群同态和群同构是群之间的映射关系。
群同态是指将一个群映射到另一个群，并保持运算规则的关系。
群同构是指两个群之间存在一种一一对应关系，并且保持运算规则的关系。
群同态和群同构可以帮助我们识别和分析不同群之间的相似性和差异性，从而更深入地理解对称性的本质。
五、对称性与群表示论群表示论是研究群如何作用于向量空间的一种数学工具。
通过群表示论，我们可以将群的元素表示为矩阵或线性运算符，并且研究其在向量空间中的作用。
群表示论在物理学和几何学中具有广泛的应用，例如量子力学中的旋转群表示和晶体学中的空间群表示等。
六、对称性破缺与群的标准模型对称性破缺是指在某些条件下，对称性被破坏或隐藏的现象。
群论在对称性破缺的研究中发挥了重要的作用，特别是在物理学中的标准模型的研究中。
数学中的群论与对称性
数学中的群论与对称性数学是一门充满美感和逻辑思维的学科，而群论是数学中非常重要的一个分支，关于对称性的研究也是群论中的一个重要内容。
本文将介绍群论的基本概念和对称性的数学表述，以及它们在实际问题中的应用。
一、群论的基本概念群论研究的是一种代数结构，称为群。
群是由一组元素和一个二元运算构成的，满足以下四个条件：封闭性、结合律、存在单位元和存在逆元。
其中，封闭性指的是群中的任意两个元素进行运算得到的结果仍然在群中；结合律指的是在群中进行的运算满足结合律；单位元是群中的一个特殊元素，将它与群中的任意元素进行运算得到的结果不变；逆元是指对于群中的每一个元素，都存在一个与之相结合后得到单位元的元素。
群的例子非常丰富，比较常见的有整数加法群、整数乘法群、置换群等。
在群论中，有一些重要的概念，比如子群、循环群、陪集等。
子群是群中的一部分元素构成的群，其满足群的四个条件；循环群是由一个元素经过重复运算得到的群；陪集则是通过对同一个元素进行左或右平移得到的一组元素。
二、对称性与群论的关系对称性是一种普遍存在于自然界和人类社会中的现象，同时也是艺术、科学等方面追求的美的表现形式。
在数学中，对称性有着深入的研究，而群论则是对对称性进行数学化的描述。
在群论中，对称性可以通过群的元素和群运算来进行表述。
以平面上的正方形为例，我们可以将其旋转、翻转得到不同的对称形状。
这些对称操作可以看作是正方形所形成的群的元素，群运算则是这些操作间的组合。
通过对这个群的研究，我们可以得到正方形对称性的完全描述。
群论的对称性研究不仅限于几何图形，还可以应用于其他领域。
比如在物理学中，对称性是非常重要的概念。
很多物理理论都建立在对称性的基础上，比如在相对论中，洛伦兹变换描述了物理系统在不同参考系下的对称变换；在量子力学中，波函数的对称性对粒子的性质有着重要的影响。
三、群论在实际问题中的应用群论在实际问题中有广泛的应用。
其中一个典型的例子是密码学中的应用。
物理学中的对称性与群论
物理学中的对称性与群论对称性与群论在物理学中有着重要的作用，对于理解自然界的本质和探究物质和能量的行为规律都有着不可或缺的意义。
本文将介绍对称性与群论在物理学中的应用，从对称群的定义、群表示与物理量变换、连续对称性和相对论性质等方面阐述其内涵和意义。
一、对称群的定义对称群是指一个物体或系统的所有对称操作所构成的群。
对称操作包括旋转、平移、镜像、反演等，它们是可以相互组合的，形成了一个数学结构，称为对称群。
对称群的研究可以揭示这个物体或系统的对称性质，从而为进一步研究提供了基础。
例如，一张圆形的纸片具有旋转对称性，可以将纸片顺时针或逆时针旋转若干度而看不出任何变化，这就是圆形的对称群。
另外，如果将圆形纸片剪成一条条线段，再沿着线段翻转，仍然能得到同样的图形，这就是镜像对称性。
这些对称操作构成了圆形的对称群。
二、群表示与物理量变换在物理学中，对称群不仅仅是一个数学结构，还是一种反映物理规律的基本规律。
在描述物理现象时，我们通常会用到物理量，如质量、电荷、能量等。
而这些物理量在对称操作下的变换也是非常重要的。
物理量的变换可以通过群表示的概念来描述。
群表示是将群元素映射到矩阵空间中的一个线性变换，在物理学中一般用来描述物理量的变化规律。
例如，一个物体在空间中的位置可以用一个三维矢量来表示，而空间中的平移操作可以用一个平移矩阵来表示。
这种表示方法可以方便地描述物体在平移下的位置变换。
另外，物理量的变换也可以用量子力学中的幺正变换来描述。
量子力学中，物理量由厄米矩阵表示，其变换由幺正矩阵表示。
这种表示方法可以方便地描述粒子在旋转、对称操作等对称变换下的状态变化规律。
群表示不仅适用于变换对称性的描述，还可以用来描述隐含对称性的物理规律。
例如，电荷在空间中的分布具有电荷密度对称性，这个对称性可以用群表示来描述。
此外，不少基本物理定律和理论都具有很强的对称性，如守恒定律、规范对称性等。
三、连续对称性和相对论性质对称群不仅在离散对称性中有着重要的应用，其在连续对称性中的应用也发挥着重要的作用。
群论在量子力学中的应用
群论在量子力学中的应用群论是数学中的一个重要分支，它研究的是某种集合上带有某种运算的结构。
在量子力学领域，群论扮演着至关重要的角色。
本文将介绍群论在量子力学中的应用，揭示其在这一领域中的重要性和深远影响。
一、对称性与群论1.1 群的定义群是一个集合G，配备有一个二元运算（通常用乘法表示），并满足以下条件：（1）封闭性：对于任意的a、b∈G，a*b仍然属于G；（2）结合律：对于任意的a、b和c∈G，(a*b)*c=a*(b*c)；（3）存在单位元：存在一个元素e∈G，使得对于任意的a∈G，a*e=e*a=a；（4）存在逆元：对于任意的a∈G，存在一个元素a^(-1)∈G，使得a*a^(-1)=a^(-1)*a=e。
1.2 对称群与守恒量在量子力学中，对称性与守恒量密切相关。
对称群指的是保持给定物理系统性质不变的所有操作的集合。
例如，对于一维无限深势阱中的粒子，其对称群为平移操作构成的无限循环群。
1.3 量子力学的对称变换量子力学中，对称变换是指将波函数进行某种变换后，系统的物理性质保持不变。
通过应用群论的概念，可以对对称性进行深入研究，从而探索守恒量和相应的算符。
二、群表示与物理量2.1 群表示的定义群表示是指将群中的元素映射到线性空间上的一个变换。
对于量子力学中的算符，常常用矩阵形式表示，称为线性算符表示。
2.2 群表示的重要性群表示在量子力学中有着广泛应用。
通过对称群的表示，可以得到守恒量的操作矩阵，从而进一步研究量子力学中的各种物理现象。
2.3 时空对称性与洛伦兹群时空对称性是指物理现象在时空坐标变换下具有不变性。
洛伦兹群是描述时空对称性的群，它包括平移、旋转和洛伦兹变换。
2.4 自旋与旋转群自旋是粒子的基本属性之一，与旋转群密切相关。
旋转群描述了自旋在角动量空间中的转动，通过群表示可以研究自旋的各种性质和行为。
三、群论与量子力学的实例3.1 氢原子与球面对称群氢原子是量子力学中研究的经典系统，其波函数具有球面对称性。
对称性的群论
对称性的群论对称性是数学中一个重要的概念，它的应用范围广泛，从物理到化学，从几何到图论。
对称性的研究已成为数学的重要分支之一，而对称性的群论是研究对称性的主要工具之一。
一、群论基础群论是数学中的一个分支，研究代数结构中的集合和运算之间的关系。
一个群是一个集合，其中包含一些元素和一些运算，这些运算必须满足特定的代数性质，如封闭性、结合律、单位元、逆元等。
群论的基础在于集合和代数运算的抽象概念，因此它可以应用于各种领域。
二、对称性的群论对称性的群论是研究对称性的一种方法，它将对称性看做一种代数结构的变换，这种代数结构可以用群表示。
例如，在平面上，将一个点绕另一个点旋转，或者将一个图形通过对称轴镜像，可以看做是一个变换，这种变换可以用群表示。
群的元素表示变换，群的运算定义了这些变换的组合方式。
对称性的群论在物理学中有广泛的应用，例如对称群在量子力学中的应用，空间对称群在晶体学中的应用。
而在几何学中，对称性的群论是研究对称性的重要工具，可以用群来表示对称性，对称性可以被看做一种约束条件，用群论解决几何问题的方法被称为群论几何。
三、例子1. 正方形的对称群我们来看一个例子，一个正方形有8个对称变换，可以分别表示为：这些变换组成了正方形的对称群，可以用符号S<sub>4</sub>表示，S<sub>4</sub>的元素是正方形的8个对称变换，例如S<sub>4</sub>的元素a表示将正方形逆时针旋转90度，而S<sub>4</sub>的元素b表示将正方形相对于水平轴对称。
2. 正三角形的对称群正三角形有6个对称变换，可以表示为：这些变换组成了正三角形的对称群，可以用符号S<sub>3</sub>表示，S<sub>3</sub>的元素是正三角形的6个对称变换，例如S<sub>3</sub>的元素a表示将正三角形逆时针旋转120度，而S<sub>3</sub>的元素b表示将正三角形相对于一条对角线对称。
(完整版)第三章-分子对称性和群论初步
两个或多个对称操作 的结果，等效于某个 对称操作。
例如,先作二重旋转，再对垂直 于该轴的镜面作反映，等于对 轴与镜面的交点作反演。
对称操作的乘积示意图
2.分子点群的确定
分子可以按 “点群”或“对称群”加以分 类。在一个分子上所进行的对称操作的完全组 合构成一个“点群”或“对称群”。
Third
确定分子是否具有象转轴Sn（n为偶数），如果只 存在Sn轴而别无其它对称元素，这时分子属于假轴 向群类的Sn群。
3. 分子点群的确定
Forth
假如分子均不属于上述各群，而且具有Cn旋转轴时 可进行第四步。当分子不具有垂直于Cn轴的C2轴时，
则属于轴向群类。有以下三种可能：
没有对称面 若有n个sv对称面 若有1个sh对称面
Z s2
Y
x
独立：可以通过其它对称元素或组合来产生。
CH4中的象转轴S4与旋转反映操作
4
3
43
旋转90◦
12
2
1
2
1 反映
43
3 4
2
1
注意: C4和与之垂直的σ都不独立存在
补充：反轴（In）和旋转反演操作(In )
反轴
如果分子图形绕轴旋转一定角度（θ=2π/n）后， 再按轴上的中心点进行反演，可以产生分子的 等价图形，则将该轴和反演组合所得到的对称 元素称为反轴。
对称中心的反演操作，能使分子中各相互对应的原子 彼此交换位置。即分子图形中任意一个原子的位置 A(x,y,z)将反射到点A’(-x,-y,-z)，同时A’点将反射到A点， 从而产生分子的等价图形。示意图.exe
对分子图形若连续反演n次，可以满足：
iˆ
nLeabharlann =E(n为偶数) ˆi(n为奇数)
2分子对称性和群论初步
点群表示 点群示例
C
nv
= E ,C ,C n
2 n
,
…
,C
n 1 n
1 v
,s
,s
2 v
,
…
,s
n v
C2 v
C2 H 2Cl2
C3 v
NH 3
C v
CO
C3v
3). Cnh群
群中含有一个Cn轴，还有一个垂直于Cn轴σh面
点群示例
C 2h
C4 H 6
S8
2.5 假轴向群 Sn群
Sn：有一个n重象转轴，须考虑n的奇偶性。n为偶数时， 群中有n个元素，n为奇数时，Sn不独立存在。 只有S4是独立的点群。例如：1,3,5,7-四甲基环辛四烯， 有一个S4映转轴，没有其它独立对称元素。
S2 S4
2.6 六方群
1). Td群
若一个四面体骨架的分子，存在4个C3轴，3个C2轴，同时每 个C2轴还处在两个互相垂直的平面sd的交线上，这两个平面还 平分另外2个C2轴（共有6个这样的平面）则该分子属Td对称性。 对称操作为｛E，3C2，8C3，6S4，6sd｝共有24阶。 四 面 体 CH4 、 CCl4 对 称 性 属 Td 群 ， 一 些 含 氧 酸 根 SO42- 、 PO43-等亦是。在CH4分子中，每个C-H键方向存在1个C3轴，2 个氢原子连线中点与中心C原子间是C2轴，还有6个sd平面。
s Z 2
Y x
独立：可以通过其它对称元素或组合来产生。
CH4中的象转轴S4与旋转反映操作
4 3 旋转90◦ 2 4 3
1
2
1
2
1
反映
4 3
物理学中的对称性与群论
物理学中的对称性与群论近代物理学的发展给我们揭示了许多宇宙的奥秘，其中一个重要的思想就是对称性与群论。
对称性是指物理系统在某种变换下保持不变的性质，而群论则是研究对称性的数学工具。
在物理学中，对称性和群论的研究既为理论模型的构建提供了基础，也为实验结果的解释提供了重要线索。
对称性在物理学中扮演着至关重要的角色。
它不仅仅是美丽和优雅的数学概念，更是揭示了物理规律的基本性质。
物理系统的对称性可以分为几个方面，例如空间对称性、时间对称性和粒子对称性等。
其中最为著名的是空间对称性，即物理系统在空间变换下保持不变。
这包括平移、旋转和反射等变换。
通过研究系统的对称性，我们可以揭示其内在的物理规律和守恒量。
例如，根据空间平移对称性，我们可以推导出动量守恒定律；根据空间旋转对称性，我们可以推导出角动量守恒定律。
这些守恒定律是物理学中最基本的定律之一，无论是描述微观粒子还是宏观物体，都是普适适用的。
对称性的研究需要借助群论这一数学工具。
群论是研究集合上的变换和运算规律的数学分支。
通过将变换和运算抽象化，我们可以根据其性质将它们归类为不同的群。
而对称性的数学表达正是通过群的概念来进行描述的。
一个物理系统的对称性可以表示为它所对应的变换群的性质。
例如，一个物理系统具有旋转对称性，那么它所对应的变换群就是旋转群。
通过研究变换群的性质，我们可以揭示物理系统的对称性，并进一步推导出关于该系统的物理定律。
群论在物理学领域的应用非常广泛。
举例来说，对称性和群论在粒子物理学中扮演着重要角色。
粒子物理学研究的是构成宇宙的基本粒子和相互作用的规律。
通过对粒子物理模型的对称性进行研究，科学家们发现了许多物理规律，例如电荷守恒、弱力相互作用和强力相互作用等。
这些规律的背后都是对称性的数学表达。
通过群论的方法，科学家们建立了众多的粒子物理模型，并通过实验验证了它们的正确性。
这些成果不仅丰富了对物理规律的认识，也为我们解释宇宙的奥秘提供了有力工具。
《群论对称性》课件
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01
群论对称性的基本概 念
02
群论对称性的数学原 理
03
群论对称性与物理学 的关系
04
群论对称性的实际应 用
05
群论对称性的研究进 展与未来展望
06
添加章节标题
群论对称性的基 本概念
群论对称性的定义
群论：研究对称性的 数学分支
对称性：物体或系统 在某种变换下保持不
变的性质
群论对称性：研究物 体或系统在群变换下
的对称性
群：一组具有封闭性、 结合性和交换性的元
素集合
群元素：群中的元素， 可以是物体、系统或
其变换
群运算：群元素之间 的运算，如加法、乘
法等
群对称性：群元素在群 运算下的对称性，如旋
转对称、反射对称等
群论对称性的分类
单击添加项标题
线性群：线性变换构成的群
单击添加项标题
反射群：反射变换构成的群
单击添加项标题
特殊正交群：特殊正交变换构成的群
单击添加项标题
特殊酉群：特殊酉变换构成的群
单击添加项标题
旋转群：旋转变换构成的群
单击添加项标题
正交群：正交变换构成的群
单击添加项标题
酉群：酉变换构成的群
群论对称性的应用领域
物理学：在量子力学、粒子物理、凝聚 态物理等领域有广泛应用
晶体结构：晶体中原子或分子排列的规律性
群论对称性：描述晶体结构对称性的数学工具
群论对称性与晶体结构的关系：群论对称性可以描述晶体结构的对称性，如旋转对称、反射对称 等
应用：群论对称性在晶体学、固体物理、材料科学等领域有广泛应用，如晶体结构分析、晶体生 长、晶体缺陷研究等
数学中的群论与对称性
数学中的群论与对称性数学是现代科学的基础，涵盖了众多的分支学科，其中群论（Group Theory）就是一门重要的学科。
群理论作为数学中的一门基础学科，旨在研究一些具有结构的对象，如集合、变换、旋转等，以及这些对象之间的相互关系。
在现代数学中，群论的应用非常广泛，尤其在物理、化学、计算机科学等领域中，都有着重要的应用。
对称性是群论的一个重要概念，研究对称性也是数学中的一个重要分支。
对称性指的是某些对象在经过某种操作后仍能够保持它们的某些方面不变，给人们带来美感和和谐感。
在对称性的研究中，群论起着至关重要的作用。
群的定义群是指由一组元素与一个特定运算组成的结构。
该运算通常用“·”、“+”表示，具有以下三个性质：1. 封闭性：在群中任意两个元素进行运算的结果仍然在群中。
2. 结合律：群中任意三个元素a、b、c，满足(a·b)·c=a·(b·c)。
3. 单位元和逆元：群中存在一个元素e (称为单位元)，满足对于任意元素a，有a·e=e·a=a；群中任意元素都存在一个逆元a-1，满足a·a-1=a-1·a=e。
群的基本性质群的基本性质分为以下几类：1. 消去律：如果a·b=a·c，其中a、b、c都是群中的元素，那么b=c。
2. 唯一性：群中只有一个单位元。
3. 逆元唯一性：群中任意一个元素的逆元唯一。
4. 恒等式：a·b的逆元为b-1·a-1。
5. 直积：如果有两个群 (G,*) 和 (H,+)，则可以定义一个新的群(G×H,*)，称为直积。
群的作用群论的应用非常广泛，尤其在物理、化学、计算机科学等领域中有重要的应用。
下面我们来介绍一下群在这些领域中的具体应用。
1. 物理在物理中，群论的应用非常广泛。
例如：（1）对称群：许多物理现象都具有对称性，如圆周对称、面内对称、平移对称等。
对称性与群论基础
正五角十二面体和正三角二十面体构型的分子如B12H122−, B12 等属 Ih 点群。 C60由12个五边形和20个六边形构成，也属 Ih 点群，其五次轴与三次轴的位置如图所示。
第 二 章
a
闭合式[B12H12]2(骨架为 正三角二十面体)
b
图中：C605次轴俯视图（a）； C603次轴俯视图（b）
I3−
如N2, O2, CO2等。
⑦ D5d点群：具有一个Cn轴，n个垂直于Cn轴的C2轴和n个分 第
角对称面σd。由于有σd和C2,所以必有S2n轴。而且当n为奇 二
数时，则还应有i。
俯视图
章
D5d群: 交叉式二茂铁
D2d群：累积式丙二烯
D3d : 乙烷交错型
⑧
Td点群（四面体群）： （与3个C2重合）。
MO对称性与 反应机理
如果知道分子的对称性特征（即点群），就有可能定性地推论它的电子 结构、振动光谱以及其他性质，如偶极矩和光学活性等。
利用对称性原理探讨分子的结构和性质，是认识分 子结构、性质的重要途径，而且使许多繁杂的计算得到 简化，利用对称性也可以判断分子的一些静态性质（例 如：偶极矩，旋光性等）。总之，对称性的概念（群是 其高度概括或抽象）非常重要，在理论无机、高等有机 等课程中经常用到。
分子的对称性（即点对称性）
对称元素
对称操作
n重对称轴（旋转轴） 绕轴一次或多次旋转2π/n
第 二 对章称符号
cn
镜面（反映轴）
平面中的反映
σ
对称中心
所有原子通过中心的反演
i
n重非真旋转轴或旋转 先旋转2π/n,再对垂直于
Sn
反映轴
对称轴的平面反映（旋转
－反映）
北师大结构化学第4章分子对称性和群论
北师大结构化学第4章分子对称性和群论第4章分子对称性和群论是北师大结构化学课程的重要内容。
本章主要介绍了分子对称性和群论的基本概念，分子对称元素的分类，分子对称性的测定方法，以及如何利用群论分析分子的物理性质等内容。
首先，我们来介绍一下分子对称性的概念。
分子对称性是指分子在空间中具有对称性的特征。
对称性可以分为轴对称性和面对称性两种。
轴对称性是指分子围绕一个轴线旋转180°后能够重合，而面对称性是指分子能够分成两部分，在一个平面上旋转180°后能够重合。
根据分子对称元素的类型，分子可以分为三类：单反射面分子，具有一个反射面；多反射面分子，具有两个或更多的反射面；旋转反射面分子，具有一个旋转反射面。
这些分子对称元素的存在与否决定了分子的对称性。
测定分子对称性的方法有很多种，其中比较常用的是Infrared (IR)光谱法和微波光谱法。
IR光谱法是利用分子中特定的振动频率和对称性之间的关系来判断分子的对称性；微波光谱法则是利用分子的自由度和对称性之间的关系来判断分子的对称性。
利用群论分析分子的物理性质是分子对称性研究的一个重要方面。
群论是数学的一个分支，用来研究对称性和变换的关系。
在化学领域，群论应用广泛，可以用来描述分子中原子的位置和分子的振动等性质。
通过分子的对称群分析，可以确定分子的光谱活性、电子转移、化学反应的速率等一系列物理性质。
在分子对称性和群论的学习中，还需要了解一些基本的概念，如对称操作、置换、等价、置换群、分类、标识号等。
这些概念在群论分析中起到了重要的作用，可以帮助我们理解分子的对称性和群论的原理。
总的来说，第4章分子对称性和群论是北师大结构化学课程中的一章重要内容。
通过学习这一章，我们可以了解到分子对称性的基本概念和分类，以及如何利用群论分析分子的物理性质。
这对我们理解分子结构和性质，以及在化学研究中的应用具有重要意义。
《群论对称性》课件
一、群论对称性简介1.1 群论的定义群论是数学的一个分支，研究了具有某种对称性的数学结构。
一个群是由一组元素及它们的运算组成的集合，满足封闭性、结合律和单位元的性质。
1.2 对称性的概念对称性是指物体或结构在某种变换下保持不变的性质。
在群论中，对称性是指一个对象在某个变换作用下，仍然与原对象相同或等价。
1.3 群论对称性的应用群论对称性在数学、物理、化学等领域中具有重要意义。
例如，在物理学中，对称性原理可以帮助我们理解和解释自然界的规律。
二、群的基本性质2.1 封闭性如果一个集合中的元素经过某种运算后仍然在这个集合中，这个集合就具有封闭性。
对于群而言，封闭性是基本性质之一。
2.2 结合律结合律是指在群中，任意三个元素经过某种运算后的结果与它们的顺序无关。
即(a b) c = a (b c)。
2.3 单位元单位元是一个特殊的元素，它与其他元素相乘或相除后，结果仍然是原来的元素。
对于群而言，单位元是使群保持不变的元素。
三、群的分类3.1 循环群循环群是最简单的群之一，它的所有元素都可以表示为一个元素的循环乘积。
循环群可以分为奇循环群和偶循环群。
3.2 交换群交换群是指群中任意两个元素交换后，结果仍然是原来的元素。
交换群也称为阿贝尔群。
3.3 非交换群非交换群是指群中任意两个元素交换后，结果不再是原来的元素。
非交换群在数学和物理学中具有重要意义。
四、群的作用4.1 群的表示群的表示是指将群的作用映射到某个空间上的方法。
群的表示可以是线性的，也可以是非线性的。
表示理论在数学、物理学和计算机科学等领域中具有重要意义。
4.2 群的作用在数学中的应用群的作用在数学中可以用于解决方程、几何问题等。
例如，在代数几何中，群的作用可以帮助我们理解和解释空间的性质。
4.3 群的作用在物理学中的应用群的作用在物理学中可以用于描述粒子的对称性。
例如，在量子力学中，粒子的状态可以通过群的表示来描述。
五、群论的对称性与宇宙的规律5.1 群论在宇宙规律中的应用群论对称性可以帮助我们理解和解释宇宙中的规律。
第2章,对称性与群论简介
其中，任何具有一条C2轴，2个对称面和 恒等操作这四种对称操作组合的分子属于 C2v “点群”。
H2O分子就属于C2v点群.
一些化学中重要的点群 点群 对 称 元 素(未包括恒等元素) Cs 仅有一个对称面 C1 无对称性 Cn 仅有一根n-重旋转轴 Cnv n-重旋转轴和通过该轴的镜面 Cnh n-重旋转轴和一个水平镜面 C∞v 无对称中心的线性分子 Dn n-重旋转轴和垂直该轴的n根C2轴 Dnh Dn的对称元素、再加一个水平镜面 D∞h 有对称中心的线性分子 Dnd Dn的对称元素、再加一套平分每一C2轴的垂直镜面 Sn 有唯一对称元素(Sn映轴) Td 正四面体分子或离子，4C3、3C2、3S4和6d Oh 正八面体分子或离子，3C4、4C3、6C2、6d、3h、i Ih 正二十面体，6C5、10C3、15C2及15σ 举例 ONCl, HOCl SiFClBrI H2O2, PPh3 H2O, NH3 反－N2F2 CO，HCN Cr(C2O4)33－ BF3，PtCl42－ H2, Cl2
在数学上，群(group)是由一定结合规则(称为乘法)联 系起来的元素的集合． 群中元素数目若为无限的，称为无限群；若为有限的， 称为有限群． 构成群的元素可以是数、矩阵或对称操作等．从化学 的角度，我们感兴趣的群，首先是由分子中全部对称 操作的集合所构成的对称操作群． 例如，上一节曾提到过的水分子，它的对称元素包括： 一根二重轴C2和两个通过二重轴的镜面σv(xz) 和σv‘(yz)
(3) n重对称轴(旋转轴)Cn
如果一个分子绕一根轴旋转 2/n的 角度后产生一个不可分辨的构型，这根轴 就是对称轴，例如,平面形的BF3分子具有 一根三重轴C3和三根二重轴C2。 分子的较高重旋转轴通常取作 z 轴。
分子的对称性和群伦
O H
1
旋 转1 80
H 2
H 2
旋
转
O H
1
O
360º
H
H
1
2
水分子的旋转操作
2.1.1 旋转操作与对称轴
旋转操作（rotation operation）：围绕通 过分子的某一根轴转动2/n能使分子复原的 操作。
旋转轴Cn：Ｃ表示旋转，n表示旋转阶次，
即使分子在2范围内作n次都能与原来的构 型相重合。
对称元素：4C3，3C2，3C4，6C2′， i，3S4，4S6， 3σd，6σd 。
C3轴：通过一对相对的三角形表面中心
C2轴：与x、y、z轴重合
C4轴：与 C2轴共线
S4轴：与C4轴共线
S6轴：与C3轴共线
C2′轴：平分八面体对边 σh ：分别通过八面体6个顶点中的4个 σd ：分别通过两个顶点并平分相对的棱边
11． Sn点群
只有一个的对称元素是Sn映轴，例如S4N4F4分子。 4个S原子和4个F原子
处在同一平面，具有一个 垂直于该平面的C4轴；4个 N原子中2个N原子在该平 面的上方， 2个N原子在平 面下方。C4旋转后，不能 分子复原，须以该平面为 对称面反映一次，才能使 分子复原
12． Td 点群
1个Cn轴和n个垂直于Cn轴的C2轴—Dn点群。 例如：[Co(en)3]2+属D3点群
[Co(en)3]2+配离子中的C3轴和C2轴
8． D nh点群
Dn点群的对称元素外，再加上一个水平反映面 σh，就得到Dnh点群。
C2O42-、N2O4—D2h XeF4、[PtCl4]2-—D4h C6H6 — D6h
记为A，反对称— B。
第四章 对称性与群论
令 2j n 和 2l n ，则
cos cos sin sin C C sin cos cos sin 0
j n l n
cos sin sin cos cos cos sin sin 0 cos sin sin cos cos cos sin sin 0
j
l
l
j
j l
j
n j
I。
cos2j n sin 2j n 0 cos2l n sin 2l n 0 l C sin 2j n cos2j n 0 ， C n sin 2l n cos2l n 0 ， 0 0 1 0 0 1
1 1
一类。
(ii) 设 Abel 群的阶为 h ，又群中的每一元素自成一类，即共轭类的数目为 h 。根据 4.5.2 定理 1，群的不可约表示的数目等于共轭类数，不可约表示的数目为 h 。根据
h
4.5.2 定理 2，群的不可约表示维数平方和等于阶数，即
n
i 1
2 i
h ，这要求所有的
sin 2 cos 2 0
0 0 1
0 0 C n ( ) 1
8. 证明 Abel 群的两个性质：(i)群中的每一元素自成一类；(ii)所有不可约表示都是一维的。 解： (i) 对于 Abel 群有， AB BA 。对此式两边同乘以 B 得 B AB A ，即 A 自成
v ( 2) v ( ) C n ( ) 。
解：
cos C n ( ) sin 0
sin cos 0
数学物理中的群论和对称性
数学物理中的群论和对称性群论和对称性是数学和物理学中非常重要的概念。
它们有着深刻的内在联系和相互依存的关系。
在本文中，我将详细探讨这两个概念，并阐明它们的应用和意义。
一、群论群论是研究集合上的代数结构的分支学科，它的基本概念是群。
群是一种数学结构，它由一组元素和一个二元运算组成，满足结合律、闭合性、恒等元素和逆元素等基本性质。
群论不仅仅是数学学科，而且在物理学、化学、计算机科学等领域也有着广泛的应用。
例如，量子力学中的对称性问题，晶体结构分析乃至密码学都涉及到了群论的相关知识。
群论的应用可以归纳为以下三个方面：对称性、代数下的几何学和群表示论。
其中，对称性是群论的最基础也是最广泛的应用之一。
二、对称性对称性是自然世界中各种现象的重要特征，例如，对称性可以用于描述物质结构中的周期性、分子电子结构的对称性、元素的周期性等等。
对于物理学家来说，对称性甚至是发现自然规律的一把钥匙。
对称性可以被形式化地定义为一个操作下的不变性。
例如，在平面上一个图形的旋转、镜像和平移都不影响其形状和大小，这就是对称性的体现。
在对称操作下不变的对象被称为对称群。
例如，一个正方形的对称群有8个元素，它包括4个旋转和4个镜像操作。
对称群的大小（群的元素个数）等于在该群中的操作数目。
对称群中的元素可以表示为置换符号，它们的乘积可以组成置换群，而置换群恰好是对称群的一个子群。
对于物理学家来说，研究对称性问题可以为他们发现自然规律提供重要线索。
物理学中经常用对称群来描述自然规律。
同时，对称性有利于简化计算。
例如，在研究统计物理问题时，对称性是研究系统能量的简化方法。
三、对称性和群论的应用对称性和群论在物理学中有着广泛的应用。
例如，对于原子和分子的电子结构问题，对称性可以用来预测能级和谱线。
在晶体学中，对称性是判断晶体结构的一种重要手段。
在相对论物理中，对称性和群论用于描述基本粒子和其相互作用的规律。
另外，对称性也在高能物理中使用，例如，对称性的不变性可以帮助研究强相互作用的强子之间的相互作用。
第二章对称性与群论基础
节面通过成键原子
四 化学反应中的轨道对称性
化学键的形成与否取决于参与成键的轨道的对称性，具有相似对称性的相 互作用有利于反应的发生，即是允许的反应。对称性不同的相互作用是禁阻的 反应。对于一个双分子的反应，在反应时，在前线轨道中的电子流向是由一个 分子的最高占据分子轨道流向另一个分子的最低未占据轨道。
综上所述，这两种相互作用方式都是不可能的，说明H2与I2 的作用是双分子反应难以成立。
现在研究表明，H2与I2的反应是一个叁分子自由基反应，I2分 子先离解为I原子，I原子再作为自由基同H2分子反应。
(a)顺式－[Co(en)2Cl2]+ 具有旋光性
(b)反式－[Co(en)2Cl2]+ 没有旋光性
三 原子轨道和分子轨道的对称性
原子轨道或分子轨道 s p d f * * δ 对称性 节面数 节面方位 g o 无节面 u 1 节面通过成键原子 g 2 节面通过成键原子 u 3 节面通过成键原子 g u u g g o 1 1 2 2 无节面 节面位于成键原子之间 节面通过成键原子
C2v E C2 σxz σyz A1 1 1 1 1 B2 1 －1 －1 1
类似地，将py 、pz 进行操作可以得到
E C2 σxz σyz pz→ pz pz pz pz py→ py －py －py py 特征标表
pz py
2.4 对称性在无机化学中的应用 一 分子的对称性与偶极矩判定
分子的偶极矩被用来衡量分子极性的大小。对于多原子分子，它的偶极矩 就是分子中所有分偶极矩的矢量和。
Байду номын сангаас
其中，任何具有一条C2轴，2个对称面和 恒等操作这四种对称操作组合的分子属于 C2v “点群”。
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E
x y z
=
1 0 0 0 1 0 0 0 1
x y z
x
v(xy) y
x
1 =
0
0
x
=
y
-z 0 1 0
0
0
1
0
0
-1 1
y
z 0 0
z
1 v(xy) ＝ 0 0
0 0 -1
, v(xz) ＝ 0 -1 0 0
0 1
v(yz) =
-1 0 0
0 1 0
0 0 1
3,反演操作i的相应矩阵i 反演操作只能改变所有质点的坐标符号，不能改变质点与原点间 的距离，其表示矩阵为负单位矩阵：
4.4.2 群表示 若群G能用一个与其同态（包括同 构）的矩阵群来表示即：
群
G E.A1 .A2 AN
矩阵群 E.B1.B2 BN m n 则称为G的一 个表示.或者说：一个抽象群G同态（包括同构） 于矩阵群 则称 为G的一个表示。 中矩阵的 阶称表示的维数，记为 d 群有忠实表示和不忠实表示、等价表示和不等 价表示、可约表示和不可约表示等。
(C2v(yz))v(xz) = E
C2v群的乘法表
C2v E C2 v(xz) v(yz)
E
C2 v(xz) v(yz)
E
C2 v(xz) v(yz)
C2
E v(yz) v(xz)
v(xz)
v(yz) E C2
v(yz)
v(xz) C2 E
4.2.2群的乘法表 将群元素之间的关系的结合关系排列成一张表
例：[M(en)3]n+，[M(ox)3]3-等
n+
N N M N N N N
D3
⑤ Dnh点群：对称元素为Cn，h, n个垂直与 主轴的C2轴，有4n个对称操作
Y
例：多角双锥，平面型XYn (Dnh)
Y
X
D3h
Y
例：有i的直线型分子CO2, [Ag(CN)2]-, O2
N C Ag C N
Dh
(v h d)
4.2 分子对称点群 在一个分子中有许多个对称元素，这些元素以一定的方式构成一个对称系， 如果该对称系中的全部对称元素所生成的对称操作的总和（集合）满足群的 运算法则，则此集合称为对称操作群，简称：对称群。由于全部对称操作必 须通过某一公共点，故这种对称群称为点群或分子点群。
例：平面正方形的XY4，正八面体型的XY6
2+ H2O Cu H2O OH2 OH2
正四面体型的XY4 ，平面三角形的XY3有没有对 称中心？
㈣ 旋转-反映(象转)：
先绕某一轴旋转 360 ° /n（n=2，3，4 等整 数），然后沿垂直该轴的平面进行反映，分子 能够复原的操作，用Sn表示。
Sn = Cnh = h Cn
C3
例：正四面体型分子AB4
C2,S4
⑧ Oh 点群：对称元素为 3C4，4C3，6C2 ，i，3S4, 3h, 4S6，6d，有48个对称操作
C4/S4/C2 L3 L2 C3/S6
例：正八面体型分子AB6
L4
L1
L5 L6
C2
4.4 群的表示及性质 4.4.1对称操作的矩阵形式
一个对称操作可以用矩阵来描述。将分子置于笛卡儿坐标系种，被某 一对称操作作用时，组成质点的坐标系将发生变化，这种变化可以用矩 阵的线性变换得来。五种对称操作相应矩阵表示为： 1，恒等操作E和相应得矩阵E 当坐标为（x,y,z）的点被恒等操作作用时，他的新坐标点（x’,y’,z’）与 原坐标点（x,y,z）相同。变换矩阵的线性变换为：
1 2 3 i i
i
如果一个表示不能分解为一些较低维表示之 和，该表示就称为不可约表示。因此，把一 个表示约化为一些不可约表示之和，才算对 该表示完成了彻底的约化。我们以 群为例， 说明群函数和基函数，及群可约表示与不可 约表示的关系，下表列出 群以 C （x,y,z）,(x,y),Rz,(x2-y2),xy以及S轨道为基函 数时，分别得到相应的表示 ， ， ，， x. y z， Rz 及 xy s
sin cos 0
x cos Cn ( y ) y sin z 0
同理，可以推出：
即 cn ( z )
cos sin 0
cn ( y )
cos 0 sin
0 sin 1 0 0 cos
对称元素：
对称轴
主轴： 轴次最高的对称轴（n最大）
例：H2O, NH3, Ni(CN)42-, C5H5-, C6H6, CO
C2 C3 C4 C5 C6 C
与n重对称轴相对应的旋转操作有：
c c , c ,........c
2 n 3
n n
n
n
㈡ 反映: 通过某一平面将分子各点反映到镜面的另 一侧位置，反映后分子又恢复原状的操作，称 为反映对称操作，用表示。
cn ( x )
0 1 0 cos 0 sin
sin cos 0
( sn )
5、非真转动的相应矩阵
矢量 r r x. y.z 绕子轴转动 ( 2n ) 角，再对面反映
即 sn n cn 那么相应的矩阵应为 和 cn
( R2 )
0 1 ( R2 ) ( R ) 2 2 3 ( R2 ) 0
( R3 )
0 1 ( R3 ) ( R ) 2 3 3 ( R3 ) 0
3 之直和 2 ， 则 被约化为 1 ，
可约表示和不可约表示 若一个群的表示中的所有元素R1、R2、R3、 ( R )， ( R ) 的表示矩阵( R ) ， 都可以用某种数 学手续（相似变换）变换成为下对角块形式， 方块以外的所有元素皆为零，则称 是可约的
1
2 3
( R1 )
0 1 ( R1 ) ( R ) 2 1 3 ( R1 ) 0
的乘积：( sn ) n cn
1 0 0 cos sin 0 0 1 0 sin cos 0 0 0 1 0 0 1
cos sin 0 sin cos 0 0 0 1
H
对称元素为 Cn、nv ，有 2n 个对称 ③ Cnv点群： 操作，即Cn1,Cn2,---,Cnn = E, nv 例：无i的直线型分子CO [Fe(CN)5(NO)]2- C4v Cv
四方锥形的 CuCl53- 属于哪种点群？
④ Dn点群：对称元素为Cn，n个垂直与主轴 的C2轴，有2n个对称操作
y=rsin θ y’=rsin (θ +ф) =rsinθcos ф+ rcosθsin ф =ycos ф+xsinф X Y
0 x 0 y z 1
0 0 1
= cos ф -sin ф sin ф cos ф
sin cos 0
x
i
y z
＝
-1 0 0 -1 0 0
0 0 -1
x y z
即：
i=
-1 0 0
0 0 -1 0 0 -1
4，旋转操作Cn的相应矩阵
(Cn)
定义z轴为旋转轴，由于绕轴旋转不改变z轴的坐标，因此 (Cn)矩阵的一部 分 是：
0 0
0
0
1
其余部分可视为x,y平面中的二维空间。假定：x,y平面中，任意点的坐标为 x,y,其矢量为r,且r与x轴的夹角为θ，旋转某一角度ф后，矢量r’的坐标点 z （x’,y’)。
v: 包含主轴的镜面
对称元素： 镜面
h: 与主轴垂直的镜面
d: 包含主轴并平分垂直于主
v
C2 C3 C4 C6 C5
轴的两个C2轴夹角的镜面
例：C6H6
C1
d
㈢ 反演： 通过分子中的一个点（对称中心）进行反 演，即将原子移到与该点连线的延长线上， 且两边距离相等，此时分子又恢复原状， 即为反演对称操作，用i表示。
反-[Co(NH3)4Cl2]+属于什么点群？
⑥ Dnd点群：对称元素为Cn，nd, n个垂直与主轴的 C2轴，有4n个对称操作
H H C H C C H
例：丙二烯C3H4
D2d
交错式二茂铁属于哪种点群？
Fe
D5d
⑦ Td点群：对称元素为4C3，3个C2轴， 3个S4, 6个d, 有24个对称操作
• ㈣ 旋转--反映(象转，rotation-reflection) • ㈤ 恒等操作(identity operation)
㈠ 旋转：
在分子坐标 系选一直线 ，绕此直线 使分子旋转 3 60 ° /n （n=2，3，4 等整数）后能使分子复原进入等价构型，称此直线 为n重旋转对称轴用Cn表示，对应的操作叫旋转操作（ Cn )
分子对称群至少有一个点在对称操作 点群： 下保持不变，故称点群
点群的阶：构成点群的对称操作的总数，用 h表示
常见分子点群：
① Cn 点群：对称元素为 Cn 轴，有 n 个对称操作，即 Cn1,Cn2,---,Cnn = E。
H
例：H2O2
H
O
O
C2
+
N
例：顺-[Co(en)2Cl2]+离子
N Co N
4.2.1群的定义： ① 集合中任意二元素之“积”，任意一个元素的平方也是 群中的一个元素（封闭性）。 λa = b Є G or a2 ＝ C Є G ② 群中包含一个单位元素E，对于任意元素A都有：